Bir xonali natural son. Butun sonlar

Butun sonlar

Butun sonlar ta'rifi musbat butun sonlardir. Natural sonlar ob'ektlarni hisoblashda va boshqa ko'plab maqsadlarda qo'llaniladi. Mana raqamlar:

Bu raqamlarning tabiiy qatoridir.
Nol natural sonmi? Yo'q, nol natural son emas.
Qancha natural son bor? Natural sonlarning cheksiz to'plami mavjud.
Eng kichik natural son nima? Ulardan biri eng kichik natural sondir.
Eng katta natural son nima? Uni aniqlab bo'lmaydi, chunki natural sonlarning cheksiz to'plami mavjud.

Natural sonlar yig'indisi natural sondir. Shunday qilib, a va b natural sonlarini qo'shish:

Natural sonlarning mahsuloti natural sondir. Shunday qilib, a va b natural sonlarining mahsuloti:

c har doim natural sondir.

Natural sonlar farqi Har doim ham natural son bo'lavermaydi. Agar minuend ayirishdan katta bo'lsa, u holda natural sonlarning farqi natural son bo'ladi, aks holda u emas.

Natural sonlar bo'limi Har doim ham natural son bo'lavermaydi. Agar a va b natural sonlar uchun

Bu yerda c natural son, demak, a b ga teng bo‘linadi. Bu misolda a - dividend, b - bo'luvchi, c - qism.

Natural sonning boʻluvchisi birinchi son teng boʻlinadigan natural sondir.

Har bir natural son 1 ga va oʻziga boʻlinadi.

Oddiy natural sonlar faqat 1 ga va o'zlariga bo'linadi. Bu erda biz butunlay bo'linishni nazarda tutamiz. Misol, raqamlar 2; 3; beshta; 7 faqat 1 ga va o'ziga bo'linadi. Bu oddiy natural sonlar.

Bittasi tub son hisoblanmaydi.

Birdan katta bo'lgan va tub bo'lmagan sonlar kompozit sonlar deyiladi. Kompozit raqamlarga misollar:

Bittasi kompozit son hisoblanmaydi.

Natural sonlar to'plami bitta, tub sonlar va qo'shma sonlardan iborat.

Natural sonlar to'plami belgilanadi Lotin harfi N.

Natural sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish xossalari:

qo‘shishning kommutativ xususiyati

qo'shishning assotsiativ xususiyati

(a + b) + c = a + (b + c);

ko'paytirishning almashinish xususiyati

ko'paytirishning assotsiativ xususiyati

(ab)c = a(bc);

ko'paytirishning distributiv xususiyati

A (b + c) = ab + ac;

Butun sonlar

Butun sonlar natural sonlar, nol va natural sonlarga qarama-qarshidir.

Natural sonlarga qarama-qarshi sonlar manfiy butun sonlardir, masalan:

1; -2; -3; -4;...

Butun sonlar to‘plami lotincha Z harfi bilan belgilanadi.

Ratsional sonlar

Ratsional sonlar butun sonlar va kasrlardir.

Har qanday ratsional sonni davriy kasr sifatida ifodalash mumkin. Misollar:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Misollardan ko'rish mumkinki, har qanday butun son davri nolga teng davriy kasrdir.

Har qanday ratsional son m/n kasr sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda m butun sondir son, n tabiiy raqam. Oldingi misoldagi 3,(6) sonni shunday kasr sifatida ifodalaylik.

Natural va natural bo'lmagan sonlar nima? Bolaga qanday tushuntirish kerak, yoki bolaga emas, balki ularning orasidagi farqlar qanday? Keling, buni aniqlaylik. Bizga ma'lumki, 5-sinfda natural bo'lmagan va natural sonlar o'rganiladi va bizning maqsadimiz o'quvchilarga haqiqatan ham nima va qanday ekanligini tushunishlari va o'rganishlari uchun tushuntirishdir.

Tarix

Natural sonlar eng qadimgi tushunchalardan biridir. Qadim zamonlarda, odamlar hali ham hisoblashni bilmaganlarida va raqamlar haqida tasavvurga ega bo'lmaganlarida, biror narsani, masalan, baliqlarni, hayvonlarni sanash kerak bo'lganda, ular taqillatdilar. turli mavzular arxeologlar keyinchalik aniqlaganidek, nuqta yoki tire. O'sha paytda ular uchun yashash juda qiyin edi, lekin tsivilizatsiya avval Rim sanoq tizimiga, keyin esa o'nlik sanoq tizimiga o'tdi. Hozir deyarli hamma arab raqamlaridan foydalanadi.

Hammasi natural sonlar haqida

Natural sonlar - kundalik hayotimizda miqdor va tartibni aniqlash uchun ob'ektlarni sanashda foydalanadigan tub sonlar. Biz hozirda raqamlarni yozish uchun kasr belgilaridan foydalanamiz. Har qanday raqamni yozish uchun biz o'nta raqamdan foydalanamiz - noldan to'qqizgacha.

Natural sonlar - biz ob'ektlarni sanashda yoki biror narsaning seriya raqamini ko'rsatishda foydalanadigan raqamlar. Misol: 5, 368, 99, 3684.

Raqamlar qatoriga natural sonlar deyiladi, ular ortib boruvchi tartibda joylashtirilgan, ya'ni. birdan cheksizgacha. Bu qator bilan boshlanadi eng kichik raqam- 1 va eng katta natural son yo'q, chunki raqamlar qatori shunchaki cheksizdir.

Umuman olganda, nol natural son hisoblanmaydi, chunki u biror narsaning yo'qligini anglatadi, shuningdek, ob'ektlarni hisoblash ham yo'q.

Arabcha sanoq tizimi zamonaviy tizim biz har kuni ishlatadigan. Bu hind (o'nlik) variantlaridan biridir.

Bu sanoq sistemasi arablar tomonidan ixtiro qilingan 0 raqami tufayli zamonaviy bo'lib qoldi. Ungacha Hindiston tizimida yo'q edi.

natural bo'lmagan sonlar. Nima bu?

Natural sonlar manfiy sonlarni va butun bo'lmagan sonlarni o'z ichiga olmaydi. Shunday qilib, ular - natural bo'lmagan sonlar

Quyida misollar keltirilgan.

Tabiiy bo'lmagan sonlar:

Salbiy raqamlar, masalan: -1, -5, -36.. va hokazo.
O'nli kasrlarda ifodalangan ratsional sonlar: 4,5, -67, 44,6.
Oddiy kasr shaklida: 1/2, 40 2/7 va boshqalar.

Irratsional sonlar, masalan, e = 2,71828, √2 = 1,41421 va shunga o'xshashlar.

Umid qilamizki, biz sizga tabiiy bo'lmagan va natural sonlar bilan ko'p yordam berdik. Endi siz uchun bu mavzuni bolangizga tushuntirish osonroq bo'ladi va u buni buyuk matematiklar kabi o'rganadi!

Matematika umumiy falsafadan miloddan avvalgi VI asrda paydo bo'lgan. e. va shu paytdan boshlab uning butun dunyo bo'ylab g'alabali yurishi boshlandi. Rivojlanishning har bir bosqichi yangi bir narsani kiritdi - elementar hisob rivojlandi, differentsial va integral hisoblarga aylandi, asrlar o'zgardi, formulalar tobora chalkash bo'lib qoldi va "eng murakkab matematika- undan barcha raqamlar g'oyib bo'ldi. Lekin asos nima edi?

Vaqtning boshlanishi

Natural sonlar birinchisi bilan teng paydo bo'ldi matematik operatsiyalar. Bir marta umurtqa pog'onasi, ikkita umurtqa pog'onasi, uchta umurtqa pog'onasi ... Ular birinchi pozitsiyani aniqlagan hind olimlari tufayli paydo bo'ldi.

"Pozitsiyalilik" so'zi raqamdagi har bir raqamning joylashuvi qat'iy belgilanganligini va uning toifasiga mos kelishini anglatadi. Misol uchun, 784 va 487 raqamlari bir xil raqamlar, lekin raqamlar ekvivalent emas, chunki birinchisida 7 yuz, ikkinchisida esa atigi 4. hindlarning yangiligi arablar tomonidan qabul qilingan va raqamlarni dunyoga keltirgan. Biz hozir bilgan shakl.

Qadimgi davrlarda raqamlarga mistik ma'no berilgan, Pifagor bu raqam asosiy elementlar - olov, suv, er, havo bilan birga dunyoning yaratilishiga asoslanadi, deb hisoblagan. Agar biz hamma narsani faqat matematik tomondan ko'rib chiqsak, unda natural son nima? Natural sonlar maydoni N bilan belgilanadi va butun va musbat sonlar qatori cheksizdir: 1, 2, 3, … + ∞. Nol bundan mustasno. U asosan narsalarni sanash va tartibni ko'rsatish uchun ishlatiladi.

Matematikada nima bor? Peano aksiomalari

N maydoni elementar matematika tayanadigan asosiy maydondir. Vaqt o'tishi bilan, butun sonlar, ratsional,

Italiyalik matematik Juzeppe Peanoning ishi arifmetikaning keyingi tuzilishiga imkon berdi, uning rasmiyligiga erishdi va N sohasidan tashqariga chiqadigan keyingi xulosalar uchun yo'l ochdi.

Natural son nima, u avvalroq ma'lum bo'lgan oddiy til, Peano aksiomalariga asoslangan matematik ta'rif quyida ko'rib chiqiladi.

Bittasi natural son hisoblanadi.
Natural sondan keyin keladigan son natural sondir.
Bittadan oldin natural son yo'q.
Agar b soni c soniga ham, d soniga ham ergashsa, c=d.
Induksiya aksiomasi, bu o'z navbatida natural son nima ekanligini ko'rsatadi: agar parametrga bog'liq bo'lgan ba'zi bir bayonot 1 raqami uchun to'g'ri bo'lsa, u holda N natural sonlar maydonidan n soni uchun ham ishlaydi deb faraz qilamiz. gap N natural sonlar maydonidan n =1 uchun ham to'g'ri.

Natural sonlar maydoni uchun asosiy amallar

N maydoni matematik hisob-kitoblar uchun birinchi bo'lganligi sababli, ta'rif sohalari ham, quyidagi operatsiyalarning qiymatlari diapazonlari ham unga tegishli. Ular yopiq va yo'q. Asosiy farq shundaki, yopiq operatsiyalar, qanday raqamlar ishtirok etishidan qat'i nazar, N to'plam ichida natija qoldirishi kafolatlanadi. Ularning tabiiy bo'lishi kifoya. Qolgan raqamli o'zaro ta'sirlarning natijasi endi unchalik aniq emas va to'g'ridan-to'g'ri ifodada qanday raqamlar ishtirok etishiga bog'liq, chunki u asosiy ta'rifga zid bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yopiq operatsiyalar:

qo'shish - x + y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
ko'paytirish - x * y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
eksponentsiya - x y , bu erda x, y N maydoniga kiritilgan.

"Natural son nima" ta'rifi kontekstida natijasi mavjud bo'lmasligi mumkin bo'lgan qolgan operatsiyalar quyidagilardir:

N maydoniga tegishli sonlarning xossalari

Keyingi barcha matematik mulohazalar quyidagi xususiyatlarga asoslanadi, eng ahamiyatsiz, ammo muhim emas.

Qo'shishning kommutativ xossasi x + y = y + x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan. Yoki hammaga ma'lum bo'lgan "ayrimlarning joylarini o'zgartirishdan yig'indi o'zgarmaydi".
Ko'paytirishning kommutativ xususiyati x * y = y * x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan.
Qo'shishning assotsiativ xossasi (x + y) + z = x + (y + z) bo'lib, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan.
Ko'paytirishning assotsiativ xususiyati (x * y) * z = x * (y * z) bo'lib, bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.
taqsimot xossasi - x (y + z) = x * y + x * z, bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.

Pifagor stoli

Maktab o'quvchilarining boshlang'ich matematikaning butun tuzilishini bilishdagi birinchi qadamlardan biri, ular o'zlari uchun qaysi raqamlar tabiiy deb atalishini tushunganlaridan so'ng, bu Pifagor jadvalidir. Uni nafaqat ilm-fan nuqtai nazaridan, balki qimmatli ilmiy yodgorlik sifatida ham qarash mumkin.

Vaqt o'tishi bilan bu ko'paytirish jadvali bir qator o'zgarishlarga duch keldi: undan nol o'chirildi va 1 dan 10 gacha bo'lgan raqamlar buyurtmalarni hisobga olmagan holda o'zlarini bildiradi (yuzlab, minglab ...). Bu jadval bo'lib, unda satrlar va ustunlar sarlavhalari raqamlardan iborat bo'lib, ularning kesishgan kataklari tarkibi ularning mahsulotiga tengdir.

So'nggi o'n yilliklarda o'qitish amaliyotida Pifagor jadvalini "tartibda" yodlash zarurati paydo bo'ldi, ya'ni yodlash birinchi o'ringa chiqdi. 1 ga ko'paytirish chiqarib tashlandi, chunki natija 1 yoki undan ko'p edi. Ayni paytda, yalang'och ko'z bilan jadvalda siz naqshni ko'rishingiz mumkin: raqamlar mahsuloti bir bosqichga o'sadi, bu chiziq sarlavhasiga teng. Shunday qilib, ikkinchi omil bizga kerakli mahsulotni olish uchun birinchisini necha marta olishimiz kerakligini ko'rsatadi. Bu tizim O'rta asrlarda qo'llanilganidan farqli o'laroq: hatto natural son nima ekanligini va u qanchalik ahamiyatsiz ekanligini tushunib, odamlar ikkining kuchiga asoslangan tizim yordamida kundalik hisoblashni murakkablashtirishga muvaffaq bo'lishdi.

Matematikaning beshigi sifatida kichik to'plam

Ustida bu daqiqa natural sonlar maydoni N faqat kompleks sonlarning kichik to'plamlaridan biri sifatida ko'rib chiqiladi, ammo bu ularni fanda kamroq qimmatli qilmaydi. Natural son - bu bolaning o'zini va uning atrofidagi dunyoni o'rganish orqali o'rganadigan birinchi narsa. Bir barmoq, ikki barmoq ... Unga rahmat, inson shakllanadi mantiqiy fikrlash, shuningdek, sababni aniqlash va natijani xulosa qilish qobiliyati buyuk kashfiyotlar uchun yo'l ochib beradi.

Eng oddiy raqam natural son. Ular ichida ishlatiladi Kundalik hayot hisoblash uchun buyumlar, ya'ni. ularning soni va tartibini hisoblash uchun.

Natural son nima: natural sonlar uchun ishlatiladigan raqamlarni ayting ob'ektlarni hisoblash yoki barcha bir hil buyumning seriya raqamini ko'rsatish uchun buyumlar.

Butun sonlarbirdan boshlanadigan raqamlardir. Ular hisoblashda tabiiy ravishda hosil bo'ladi.Masalan, 1,2,3,4,5... -birinchi natural sonlar.

eng kichik natural son- bitta. Eng katta natural son yo'q. Raqamni hisoblashda nol ishlatilmaydi, shuning uchun nol natural sondir.

tabiiy sonlar qatori barcha natural sonlar ketma-ketligidir. Natural sonlarni yozing:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Natural sonlarda har bir son oldingisidan bittaga ko'p bo'ladi.

Natural qatorda nechta son bor? Tabiiy qator cheksiz, eng katta natural son yo'q.

Har qanday toifadagi 10 ta birlik eng yuqori tartibdagi 1 birlikni tashkil etgandan beri o'nlik. pozitsion shunday raqamning qiymati uning raqamdagi o'rniga qanday bog'liq, ya'ni. qayd qilingan toifadan.

Natural sonlar sinflari.

Har qanday natural sonni 10 ta arab raqamlari yordamida yozish mumkin:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natural sonlarni o'qish uchun ular o'ngdan boshlab har biri 3 ta raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi. 3 birinchi o'ngdagi raqamlar - birliklar sinfi, keyingi 3 - minglar sinfi, keyin millionlar, milliardlar vava boshqalar. Sinf raqamlarining har biri uning deyiladitushirish.

Natural sonlarni solishtirish.

2 ta natural sondan sanashda oldin chaqirilgan son kamroq. Misol uchun, raqam 7 Kamroq 11 (bunday yozilgan:7 < 11 ). Qachon bitta raqam soniyadan ko'proq, u shunday yozilgan:386 > 99 .

Raqamlar jadvali va raqamlar sinflari.


1-sinf birligi	1-raqam birligi 2-o'rin o'n 3-darajali yuzlab
2-sinf ming	Minglarning 1-raqamli birliklari 2-raqam o'n minglar 3-o'rin - yuz minglab
3-sinf millionlar	1-raqamli birliklar million 2-raqam o'n millionlar 3-raqam - yuzlab millionlar
4-sinf milliardlar	1-raqamli birliklar milliard 2-raqam - o'nlab milliardlar 3-raqam - yuzlab milliardlar

5-sinf va undan yuqori raqamlarga tegishli katta raqamlar. 5-sinf birliklari - trillion, 6-chi sinf - kvadrillonlar, 7-sinf - kvintillionlar, 8-sinf - sekstilionlar, 9-sinf - epitilonlar.

Natural sonlarning asosiy xossalari.

Qo'shishning kommutativligi . a + b = b + a
Ko'paytirishning kommutativligi. ab=ba
Qo'shishning assotsiativligi. (a + b) + c = a + (b + c)
Ko'paytirishning assotsiativligi.
Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

Natural sonlar ustida amallar.

4. Natural sonlarni bo‘lish ko‘paytirishga teskari amaldir.

Agar b ∙ c \u003d a, keyin

Bo'linish formulalari:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(lekin∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(lekin∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Raqamli ifodalar va sonli tengliklar.

Raqamlar harakat belgilari bilan bog'langan belgi raqamli ifoda.

Masalan, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Tenglik belgisi 2 ta sonli ifodani birlashtirgan yozuvlar raqamli tengliklar. Tenglikning chap tomoni va o'ng tomoni bor.

Arifmetik amallarni bajarish tartibi.

Sonlarni qo‘shish va ayirish birinchi darajali amallar, ko‘paytirish va bo‘lish ikkinchi darajali amallardir.

Agar raqamli ifoda faqat bir darajali harakatlardan iborat bo'lsa, ular ketma-ket bajariladi chapdan o'ngga.

Agar ifodalar faqat birinchi va ikkinchi darajali harakatlardan iborat bo'lsa, u holda birinchi navbatda harakatlar amalga oshiriladi ikkinchi darajali, keyin esa - birinchi darajali harakatlar.

Ifodada qavslar mavjud bo'lganda, birinchi navbatda qavs ichidagi amallar bajariladi.

Masalan, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Butun sonlar- ob'ektlarni hisoblash uchun ishlatiladigan raqamlar . Har qanday natural son o'nlik yordamida yozilishi mumkin raqamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Raqamlarning bunday yozuvi deyiladi. kasr.

Barcha natural sonlar ketma-ketligi deyiladi tabiiy yonma-yon .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Ko'pchilik kichik natural son - bitta (1). Tabiiy qatorda har bir keyingi raqam oldingisidan 1 taga ko'p. tabiiy seriyalar cheksiz eng katta raqam yo'q.

Raqamning ma'nosi uning raqam yozuvidagi o'rniga bog'liq. Misol uchun, 4 raqami, agar u turgan bo'lsa, 4 birlik degan ma'noni anglatadi oxirgi joy raqam kiritishda (birliklar joyida); 4 o'n, agar u oxirgi o'rinda bo'lsa (o'nlik qatorida); 4 yuzlab, agar u oxiridan uchinchi o'rinda bo'lsa (in yuzlab o'rinlar).

0 raqami degani ushbu toifadagi birliklarning etishmasligi sonning o'nli yozuvida. Bu raqamni belgilash uchun ham xizmat qiladi " nol". Bu raqam "yo'q" degan ma'noni anglatadi. Hisob 0:3 futbol o'yini birinchi jamoa raqib darvozasiga birorta ham gol urolmaganini aytadi.

Nol kiritmang natural sonlarga. Va haqiqatan ham narsalarni hisoblash hech qachon noldan boshlanmaydi.

Agar natural sonda faqat bitta raqam bo'lsa – bir raqam, keyin chaqiriladi aniq. Bular. aniqnatural son- yozuvi bitta belgidan iborat natural son – bitta raqam. Masalan, 1, 6, 8 raqamlari bir xonali.

ikki raqamlinatural son- natural son, yozuvi ikki belgidan iborat - ikki raqam.

Masalan, 12, 47, 24, 99 raqamlari ikki xonali.

Shuningdek, berilgan raqamdagi belgilar soniga ko'ra, boshqa raqamlarga nomlar beriladi:

raqamlari 326, 532, 893 - uch raqamli;

raqamlari 1126, 4268, 9999 - to'rt raqamli va hokazo.

Ikki raqam, uchta raqam, to'rt raqam, besh raqam va boshqalar. raqamlar chaqiriladi ko'p xonali raqamlar .

Ko'p xonali raqamlarni o'qish uchun ular o'ngdan boshlab, har biri uchta raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi (eng chap guruh bir yoki ikkita raqamdan iborat bo'lishi mumkin). Bu guruhlar deyiladi sinflar.

Million ming ming (1000 ming), 1 million yoki 1 000 000 deb yoziladi.

milliard 1000 mln. U 1 milliard yoki 1 000 000 000 bilan qayd etilgan.

O'ngdagi dastlabki uchta raqam birliklar sinfini, keyingi uchtasi - minglar sinfini, keyin millionlar, milliardlar va boshqalar sinflarini tashkil qiladi. (1-rasm).

Guruch. 1. Millionlar sinfi, minglar sinfi va birliklar sinfi (chapdan o'ngga)

Bit panjarasida 15389000286 raqami yozilgan (2-rasm).