Як визначити середню швидкість, якщо відома швидкість. За якою формулою розраховується середня швидкість

Дуже просто! Потрібно весь шлях розділити на час, який об'єкт руху знаходився у дорозі. Висловлюючись інакше, можна визначити середню швидкістьяк середнє арифметичне всіх швидкостей руху об'єкта. Але існують деякі нюанси під час вирішення завдань даного напряму.

Наприклад, для обчислення середньої швидкості дається такий варіант завдання: мандрівник спочатку йшов зі швидкістю 4 км на годину протягом години. Потім попутна машина «підібрала» його, і решту шляху він проїхав за 15 хвилин. Причому автомобіль йшов із швидкістю 60 км на годину. Як визначити середню швидкість переміщення мандрівника?

Не слід просто складати 4 км та 60 і ділити їх навпіл, це буде неправильний хід рішення! Адже пройдені шляхи пішки та на машині нам невідомі. Отже, спочатку треба вирахувати весь шлях.

Першу частину шляху знайти легко: 4 км на годину Х 1 год = 4 км

З другою частиною колії невеликі проблеми: швидкість виражена у годинах, а час руху – у хвилинах. Цей аспект часто заважає визначити правильну відповідь, коли поставлені питання, як визначити середню швидкість, шлях або час.

Виразимо 15 хвилин у годинах. Для цього 15 хв: 60 хв = 0,25 годин. Тепер розрахуємо, який шлях мандрівник пройшов на попутці?

60 км/год Х 0,25 год = 15 км

Тепер знайти весь подоланий подорожнім шлях не складе особливої праці: 15 км. + 4 км. = 19 км.

Час руху також досить легко вирахувати. Це 1:00 + 0,25 години = 1,25 години.

І тепер уже зрозуміло, як знайти середню швидкість: потрібно весь шлях поділити на час, який мандрівник витратив на його подолання. Тобто 19 км: 1,25 години = 15,2 км/година.

Є такий анекдот у тему. Чоловік, що поспішає на запитує власника поля: «Чи можна мені пройти до вокзалу через вашу ділянку? Я трохи запізнююсь і хотів би скоротити свій шлях, пройшовши безпосередньо. Тоді я безперечно встигну до електрички, яка відходить о 16 годині 45 хвилин!» - «Звичайно, ви можете скоротити свій шлях, пройшовши через мій луг! І якщо вас там помітить мій бик, то ви встигнете навіть на ту електричку, яка відходить о 16 годині 15 хвилин».

Ця комічна ситуація, тим часом, має пряме відношення до такого математичного поняття, як середня швидкість руху. Адже потенційний пасажир намагається скоротити свій шлях з тієї простої причини, що знає середню швидкість свого руху, наприклад, 5 км на годину. І пішохід, знаючи, що обхідний шлях асфальтованою дорогою дорівнює 7,5 км, зробивши подумки прості обчислення, розуміє, що йому знадобиться на цю дорогу півтори години (7,5 км: 5 км/год = 1,5 год).

Він же, вийшовши з дому надто пізно, обмежений у часі, тому вирішує скоротити свій шлях.

І ось тут ми стикаємося з першим правилом, яке диктує нам, як знайти середню швидкість руху: з огляду на пряма відстаньміж крайніми точкамишляху або саме прораховуючи З вищесказаного всім ясно: слід вести розрахунок, беручи до уваги траєкторію шляху.

Скоротивши шлях, але не змінюючи свою середню швидкість, об'єкт від імені пішохода отримує виграш у часі. Фермер же, припускаючи середню швидкість «спринтера», що тікає від розлюченого бика, також робить прості розрахункита видає свій результат.

Автомобілісти часто використовують друге, важливе, правило обчислення середньої швидкості, що стосується часу перебування у дорозі. Це стосується того питання, як знайти середню швидкість у випадку, якщо об'єкт має під час зупинки.

У цьому варіанті зазвичай, якщо немає додаткових уточнень, для розрахунку беруть повний час, включаючи зупинки. Тому водій авто може сказати, що його середня швидкість руху вранці вільною дорогою набагато вище, ніж середня швидкість руху в годину-пік, хоча спідометр показує одну і ту ж цифру в обох варіантах.

Знаючи ці цифри, досвідчений шофер ніколи і нікуди не запізниться, заздалегідь припустивши, якою буде його середня швидкість пересування в місті різний часдіб.

Щоб обчислити середню швидкість, скористайтесь простою формулою: Швидкість = Пройдений шлях Час (\displaystyle (\text(Швидкість))=(\frac (\text(Пройдений шлях))(\text(Час)))). Але в деяких завданнях даються два значення швидкості - на різних ділянках пройденого шляху або різні проміжки часу. У цих випадках слід користуватися іншими формулами для обчислення середньої швидкості. Навички вирішення подібних завдань можуть стати в нагоді в реального життя, а самі завдання можуть зустрітися на іспитах, тому запам'ятайте формули та усвідомте принципи розв'язання задач.

Кроки

За одним значенням шляху та одним значенням часу

довжина шляху, пройденого тілом;
час, протягом якого тіло пройшло цей шлях.
Наприклад: автомобіль проїхав 150 км за 3 год. Знайдіть середню швидкість автомобіля.

Формула: , де v (\displaystyle v)- Середня швидкість, s (\displaystyle s)- пройдений шлях, t (\displaystyle t)- час, протягом якого пройдений шлях.

У формулу підставте пройдений шлях.Значення шляху підставте замість s (\displaystyle s).
- У прикладі автомобіль проїхав 150 км. Формула запишеться так: v = 150 t (\displaystyle v=(\frac (150)(t))).
У формулу підставте час.Значення часу підставте замість t (\displaystyle t).
- У прикладі автомобіль їхав протягом 3 год. Формула запишеться так: .
Розділіть шлях на час.Ви знайдете середню швидкість (як правило, вона вимірюється за кілометри на годину).
- У нашому прикладі:
  v = 150 3 (\displaystyle v=(\frac (150)(3)))
  
  Таким чином, якщо автомобіль проїхав 150 км за 3 год, він рухався із середньою швидкістю 50 км/год.
Обчисліть загальний пройдений шлях.Для цього складіть значення пройдених ділянок колії. У формулу підставте загальний пройдений шлях (замість s (\displaystyle s)).
- У нашому прикладі автомобіль проїхав 150 км, 120 км та 70 км. Загальний пройдений шлях: .
T (\displaystyle t)).
- . Отже, формула запишеться так: .
- У нашому прикладі:
  v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
  
  Таким чином, якщо автомобіль проїхав 150 км за 3 год, 120 км за 2 год, 70 км за 1 год, то він рухався із середньою швидкістю 57 км/год (округлено).

За декількома значеннями швидкостей і декількома значеннями часу

Подивіться дані величини.Скористайтеся цим методом, якщо дані такі величини:

Запишіть формулу для обчислення середньої швидкості.Формула: v = s t (\displaystyle v=(\frac (s)(t))), де v (\displaystyle v)- Середня швидкість, s (\displaystyle s)- загальний пройдений шлях, t (\displaystyle t)- загальний час, за який пройдено шлях.
Обчисліть загальний шлях.Для цього помножте кожну швидкість на відповідний час. Так ви знайдете довжину кожної ділянки колії. Щоб визначити загальний шлях, складіть значення пройдених ділянок шляху. У формулу підставте загальний пройдений шлях (замість s (\displaystyle s)).
- Наприклад:
  50 км/год протягом 3 год. 50 × 3 = 150 (\displaystyle 50\times 3=150)км
  60 км/год протягом 2 год. 60 × 2 = 120 (\displaystyle 60\times 2=120)км
  70 км/год. протягом 1 год = 70 × 1 = 70 (\displaystyle 70\times 1=70)км
  Загальна пройдена дорога: 150 + 120 + 70 = 340 (\displaystyle 150 +120 +70 = 340)км. Таким чином, формула запишеться так: v = 340 t (\displaystyle v=(\frac (340)(t))).
Обчисліть загальний час у дорозі.Для цього складіть значення часу, за які було пройдено кожну ділянку колії. У формулу підставте загальний час (замість t (\displaystyle t)).
- У нашому прикладі автомобіль їхав протягом 3 год., 2 год. і 1 год. Загальний час у дорозі: 3 + 2 + 1 = 6 (\displaystyle 3+2+1=6). Таким чином, формула запишеться так: v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6))).
Розділіть спільний шлях на загальний час.Ви знайдете середню швидкість.
- У нашому прикладі:
  v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
  v = 56 , 67 (\displaystyle v = 56,67)
  Таким чином, якщо автомобіль рухався зі швидкістю 50 км/год протягом 3 год, зі швидкістю 60 км/год протягом 2 год, зі швидкістю 70 км/год протягом 1 год, він рухався зі середньою швидкістю 57 км/год заокруглено).

За двома значеннями швидкостей та двома однаковими значеннями часу

Подивіться дані величини.Скористайтеся цим методом, якщо дані такі величини та умови:
- два чи кілька значень швидкостей, із якими рухалося тіло;
- тіло рухалося з певними швидкостями протягом рівних проміжків часу.
- Наприклад: автомобіль рухався зі швидкістю 40 км/год протягом 2 год і зі швидкістю 60 км/год протягом інших 2 год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху.
Запишіть формулу для обчислення середньої швидкості, якщо дані дві швидкості, з якими тіло рухається протягом рівних проміжків часу. Формула: v = a + b 2 (\displaystyle v=(\frac (a+b)(2))), де v (\displaystyle v)- Середня швидкість, a (\displaystyle a)- швидкість тіла протягом першого проміжку часу; b (\displaystyle b)- Швидкість тіла протягом другого (такого ж, як перший) проміжку часу.
- У таких завданнях значення проміжків часу не важливі – головне, щоб вони були рівними.
- Якщо дано кілька значень швидкостей та рівні проміжки часу, перепишіть формулу так: v = a + b + c 3 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c)(3)))або v = a + b + c + d 4 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c+d)(4))). Якщо проміжки часу рівні, складіть усі значення швидкостей та розділіть їх на кількість таких значень.
У формулу підставте значення швидкостей.Неважливо, яке значення підставити замість a (\displaystyle a), а яке - замість b (\displaystyle b).
- Наприклад, якщо перша швидкість дорівнює 40 км/год, а друга швидкість дорівнює 60 км/год, формула запишеться так: .
Складіть значення двох швидкостей.Потім суму розділіть на дві. Ви знайдете середню швидкість протягом усього шляху.
- Наприклад:
  v = 40 + 60 2 (\displaystyle v=(\frac (40+60)(2)))
  v = 100 2 (\displaystyle v=(\frac (100)(2)))
  v = 50 (\displaystyle v=50)
  Таким чином, якщо автомобіль рухався зі швидкістю 40 км/год протягом 2 год і зі швидкістю 60 км/год протягом інших 2 год, середня швидкість автомобіля протягом усього шляху становила 50 км/ч.

Поняття швидкості – одне з головних понять у кінематиці.
Багатьом напевно відомо, що швидкість – це фізична величина, що показує наскільки швидко (або наскільки повільно) переміщається в просторі тіло, що рухається. Зрозуміло, мова йдепро переміщення у вибраній системі відліку. Чи відомо вам, що використовуються не одне, а три поняття швидкості? Є швидкість у Наразічасу, звана миттєвою швидкістю, і є два поняття середньої швидкості за даний проміжок часу – середня дорожня швидкість (англійською speed) та середня швидкість переміщення (англійською velocity).
Розглянемо матеріальну точку в системі координат x, y, z(Рис. А).

Положення Aточки в момент часу tхарактеризуємо координатами x(t), y(t), z(t), що представляють три складові радіусу-вектора ( t). Крапка рухається, її положення в обраній системі координат з часом змінюється - кінець радіуса-вектора ( t) описує криву, звану траєкторією точки, що рухається.
Траєкторія, описана за проміжок часу від tдо t + Δt, показано малюнку б.

Через Bпозначено положення точки в момент t + Δt(його фіксує радіус-вектор ( t + Δt)). Нехай Δs− довжина аналізованої криволінійної траєкторії, тобто шлях, пройдений точкою за час від tдо t + Δt.
Середню дорожню швидкість точки за даний проміжок часу визначають співвідношенням

Очевидно, що v п − скалярна величина; вона характеризується лише числовим значенням.
Показаний на малюнку б вектор

називають переміщенням матеріальної точкиза час від tдо t + Δt.
Середню швидкість переміщення за даний проміжок часу визначають співвідношенням

Очевидно, що v порівн− векторна величина. Напрямок вектору v порівнзбігається з напрямком переміщення Δr.
Зауважимо, що у разі прямолінійного руху середня шляхова швидкість точки, що рухається, збігається з модулем середньої швидкості по переміщенню.
Рух точки прямолінійної чи криволінійної траєкторії називають рівномірним, якщо у співвідношенні (1) величина vп не залежить від Δt. Якщо, наприклад, зменшити Δtвдвічі, то й довжина пройденого точкою шляху Δsзменшиться у 2 рази. За рівномірного руху точка проходить за рівні проміжки часу шляху рівної довжини.
Питання:
Чи можна вважати, що при рівномірному русі точки від Δtне залежить також вектор середньої швидкості по переміщенню?

Відповідь:
Так можна вважати лише у разі прямолінійного руху (при цьому, нагадаємо, модуль середньої швидкості по переміщенню дорівнює середній колійній швидкості). Якщо ж рівномірний рух відбувається по криволінійній траєкторії, то зі зміною проміжку усереднення Δtбудуть змінюватися як модуль, так і напрямок вектора середньої швидкості переміщення. При рівномірному криволінійному русі рівним проміжкам часу Δtвідповідатимуть різні вектори переміщення Δr(Отже, і різні вектори v порівн).
Щоправда, у разі рівномірного рухупо колу рівним проміжкам часу відповідатимуть рівні значення модуля переміщення |r|(а отже, і рівні |v порівн |). Але напрями переміщень (а отже, і векторів v порівн) і в даному випадку будуть різними для однакових Δt. Це видно на малюнку,

Де рівномірно рухається по колу точка описує рівні проміжки часу рівні дуги AB, BC, CD. Хоча вектори переміщень 1 , 2 , 3 мають однакові модулі, проте напрями вони різні, отже про рівність цих векторів годі й говорити.
Примітка
З двох середніх швидкостей у завданнях зазвичай розглядають середню дорожню швидкість, а середню швидкість переміщення використовують досить рідко. Однак вона заслуговує на увагу, оскільки дозволяє ввести поняття миттєвої швидкості.

Пам'ятайте, що швидкість визначається як чисельним значенням, так і напрямком.Швидкість визначає швидкість зміни положення тіла, а також напрямок, в якому рухається це тіло. Наприклад, 100 м/с (на південь).

Знайдіть загальне переміщення, тобто відстань та напрямок між початковою та кінцевою точками шляху.Як приклад, розглянемо тіло, що рухається з постійною швидкістю в одному напрямку.

Наприклад, ракета була запущена у північному напрямку і рухалася протягом 5 хвилин із постійною швидкістю 120 метрів за хвилину. Щоб обчислити загальне переміщення, скористайтесь формулою s = vt: (5 хвилин) (120 м/хв) = 600 м (на північ).
Якщо завдання постійне прискорення, скористайтеся формулою s = vt + ½at 2 (у наступному розділі описується спрощений спосіб роботи з постійним прискоренням).

Знайдіть загальний час у дорозі.У прикладі ракета переміщається протягом 5 хвилин. Середню швидкість можна виразити в будь-яких одиницях виміру, але в міжнародної системиодиниць швидкість вимірюється в метрах за секунду (м/с). Конвертуйте хвилини в секунди: (5 хвилин) х (60 секунд/хвилина) = 300 секунд.

Якщо навіть у науковому завданнічас дано в годиннику або інших одиницях вимірювання, краще спочатку обчислити швидкість, а потім перетворити її на м/с.

Обчисліть середню швидкість.Якщо ви знаєте значення переміщення та загальний час у дорозі, обчислити середню швидкість можна за формулою v ср = Δs/Δt. У прикладі середня швидкість ракети дорівнює 600 м (на північ) / (300 секунд) = 2 м/с (на північ).

Не забудьте вказати напрямок руху (наприклад, «наперед» або «на північ»).
У формулі v ср = Δs/Δtсимвол "дельта" (Δ) означає "зміна величини", тобто Δs/Δt означає "зміна положення до зміни часу".
Середня швидкість може бути записана як v сер або як v з горизонтальною рисою зверху.

Рішення більше складних завданьнаприклад, якщо тіло обертається або прискорення не є постійним.У цих випадках середня швидкість, як і раніше, обчислюється як відношення загального переміщення до загального часу. Не має значення, що відбувається з тілом між початковою та кінцевою точками шляху. Ось кілька прикладів задач з однаковим загальним переміщенням та загальним часом (а, отже, і однаковою середньою швидкістю).

Анна йде на захід із швидкістю 1 м/с протягом 2 секунд, потім миттєво прискорюється до 3 м/с і продовжує йти на захід протягом 2 секунд. Її загальне переміщення становить (1 м/с)(2 с) + (3 м/с)(2 с) = 8 м (на захід). Загальний час у дорозі: 2 с + 2 с = 4 с. Її середня швидкість: 8 м/4 с = 2 м/с (на захід).
Борис йде на захід зі швидкістю 5 м/с протягом 3 секунд, потім розгортається і йде на схід зі швидкістю 7 м/с протягом 1 секунди. Ми можемо розглядати рух на схід як "негативний рух" на захід, тому загальне переміщення дорівнює (5 м/с)(3 с) + (-7 м/с)(1 с) = 8 метрів. Загальний час дорівнює 4 с. Середня швидкість дорівнює 8 м (на захід)/4 с = 2 м/с (на захід).
Юля проходить 1 метр на північ, потім проходить 8 метрів на захід, а потім проходить 1 метр на південь. Загальний час у дорозі становить 4 секунди. Намалюйте схему цього руху на папері, і ви побачите, що воно закінчується за 8 метрів на захід від початкової точки, тобто загальне переміщення дорівнює 8 м. Загальний час у дорозі становить 4 секунди. Середня швидкість дорівнює 8 м (на захід)/4 с = 2 м/с (на захід).

Середньою швидкістю називається швидкість, що виходить, якщо весь шлях поділити на час, за який об'єкт подолав цей шлях. Формула середньої швидкості:

V ср = S/t.

S = S1 + S2 + S3 = v1 * t1 + v2 * t2 + v3 * t3
V ср = S/t = (v1 * t1 + v2 * t2 + v3 * t3) / (t1 + t2 + t3)

Щоб не плутатися з годинником та хвилинами, переводимо всі хвилини в години: 15 хв. = 0,4 год, 36 хв. = 0,6 год. Підставляємо числові значення в останню формулу:

V ср = (20 * 0,4 + 0,5 * 6 + 0,6 * 15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20/1,5 = 13,3 км/год

Відповідь: середня швидкість V ср = 13,3 км/год.

Як знайти середню швидкість руху з прискоренням

Якщо швидкість початку руху відрізняється від швидкості в його кінці, такий рух називають прискореним. Причому далеко не завжди тіло дійсно рухається все швидше та швидше. Якщо рух сповільнюється, все одно кажуть, що він рухається з прискоренням, тільки прискорення буде негативним.

Іншими словами, якщо автомобіль, рушаючи з місця, через секунду розігнався до швидкості 10 м/сек, то його прискорення дорівнює 10 м в секунду за секунду а = 10 м/сек². Якщо наступної секунди автомобіль зупинився, його прискорення теж дорівнює 10 м/сек², тільки зі знаком мінус: а = -10 м/сек².

Швидкість руху з прискоренням наприкінці тимчасового відрізка обчислюється за такою формулою:

V = V0 ± at,

де V0 – початкова швидкість руху, a – прискорення, t – час, за який спостерігалося дане прискорення. Плюс або мінус у формулі ставиться залежно від того, чи збільшувалася швидкість, чи зменшувалася.

Середня швидкість за відрізок часу t обчислюється як середнє арифметичне початкової та кінцевої швидкості: