กลศาสตร์ทฤษฎีบรรยาย 2 หลักสูตร กลศาสตร์พื้นฐานสำหรับ Dummies

เป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตร การศึกษาฟิสิกส์เริ่มต้นด้วยกลศาสตร์ ไม่ได้มาจากทฤษฎี ไม่ได้มาจากการประยุกต์และไม่ใช่การคำนวณ แต่มาจากกลศาสตร์คลาสสิกแบบเก่าที่ดี กลศาสตร์นี้เรียกอีกอย่างว่ากลศาสตร์ของนิวตัน ตามตำนาน นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกำลังเดินอยู่ในสวน เห็นแอปเปิ้ลตก และนี่คือปรากฏการณ์ที่กระตุ้นให้เขาค้นพบกฎ แรงโน้มถ่วง. แน่นอนว่ากฎมีอยู่เสมอ และนิวตันเพียงให้รูปแบบที่ผู้คนเข้าใจได้ แต่ข้อดีของเขานั้นประเมินค่าไม่ได้ ในบทความนี้ เราจะไม่อธิบายกฎของกลไกของนิวตันอย่างละเอียดที่สุดเท่าที่จะทำได้ แต่เราจะสรุปข้อมูลพื้นฐาน ความรู้พื้นฐาน คำจำกัดความ และสูตรต่างๆ ที่สามารถเล่นได้ในมือคุณ

กลศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุและปฏิกิริยาระหว่างกัน

คำว่าตัวเองมี ต้นกำเนิดกรีกและแปลว่า "ศิลปะการสร้างเครื่องจักร" แต่ก่อนจะสร้างเครื่องจักร เรายังต้องไปอีกยาวไกล ดังนั้น ให้เดินตามรอยบรรพบุรุษของเรา และศึกษาการเคลื่อนที่ของก้อนหินที่ขว้างไปในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า

ทำไมการศึกษาฟิสิกส์เริ่มต้นด้วยกลศาสตร์? เพราะมันเป็นเรื่องธรรมชาติล้วนๆ ไม่ต้องเริ่มจากสมดุลทางอุณหพลศาสตร์หรอกหรือ!

กลศาสตร์เป็นหนึ่งในศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด และในอดีต การศึกษาฟิสิกส์เริ่มต้นอย่างแม่นยำด้วยพื้นฐานของกลศาสตร์ ภายใต้กรอบของเวลาและพื้นที่ ในความเป็นจริง ผู้คนไม่สามารถเริ่มต้นจากสิ่งอื่นได้ ไม่ว่าพวกเขาจะต้องการมากแค่ไหนก็ตาม การเคลื่อนไหวร่างกายเป็นสิ่งแรกที่เราใส่ใจ

การเคลื่อนไหวคืออะไร?

การเคลื่อนไหวทางกลคือการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของร่างกายในอวกาศที่สัมพันธ์กันเมื่อเวลาผ่านไป

หลังจากคำจำกัดความนี้เองที่เรามักใช้แนวคิดของกรอบอ้างอิง การเปลี่ยนตำแหน่งของร่างกายในอวกาศที่สัมพันธ์กันคำสำคัญที่นี่: สัมพันธ์กัน . ท้ายที่สุดแล้ว ผู้โดยสารในรถเคลื่อนที่สัมพันธ์กับบุคคลที่ยืนอยู่ข้างถนนด้วยความเร็วหนึ่ง และพักเทียบกับเพื่อนบ้านในที่นั่งใกล้เคียง และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วอื่นเมื่อเทียบกับผู้โดยสารในรถที่ แซงพวกเขา

นั่นคือเหตุผลที่เราจำเป็นต้องวัดค่าพารามิเตอร์ของวัตถุที่เคลื่อนที่ตามปกติเพื่อไม่ให้สับสน ระบบอ้างอิง - ตัวอ้างอิงที่เชื่อมต่อถึงกันอย่างแน่นหนา ระบบพิกัดและนาฬิกา ตัวอย่างเช่น โลกเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์ในกรอบอ้างอิงแบบเฮลิโอเซนทรัล ในชีวิตประจำวัน เราดำเนินการวัดเกือบทั้งหมดในระบบอ้างอิงทางภูมิศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับโลก โลกเป็นวัตถุอ้างอิงที่สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่ของรถยนต์ เครื่องบิน คน สัตว์

กลศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์มีหน้าที่ของตัวเอง งานของกลศาสตร์คือการรู้ตำแหน่งของร่างกายในอวกาศได้ตลอดเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลศาสตร์สร้างคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนไหวและพบความเชื่อมโยงระหว่าง ปริมาณทางกายภาพลักษณะมัน

เพื่อก้าวต่อไปเราต้องมีแนวคิดที่ว่า “ จุดวัสดุ ". พวกเขากล่าวว่าฟิสิกส์เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน แต่นักฟิสิกส์รู้ว่าต้องมีการประมาณและการตั้งสมมติฐานมากน้อยเพียงใดเพื่อที่จะเห็นด้วยกับความแม่นยำนี้ ไม่มีใครเคยเห็นจุดวัตถุหรือดมก๊าซในอุดมคติ แต่มันมีอยู่จริง! พวกเขาอยู่ได้ง่ายกว่ามาก

จุดที่เป็นวัสดุคือร่างกายที่มีขนาดและรูปร่างที่สามารถละเลยได้ในบริบทของปัญหานี้

ส่วนของกลศาสตร์คลาสสิก

กลศาสตร์ประกอบด้วยหลายส่วน

จลนศาสตร์
พลวัต
วิชาว่าด้วยวัตถุ

จลนศาสตร์จากมุมมองทางกายภาพ ศึกษาว่าร่างกายเคลื่อนไหวอย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วนนี้กล่าวถึงลักษณะเชิงปริมาณของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว เส้นทาง - งานทั่วไปของจลนศาสตร์

พลวัตแก้ปัญหาว่าทำไมมันถึงเคลื่อนไหวอย่างที่มันเป็น กล่าวคือพิจารณาแรงที่กระทำต่อร่างกาย

วิชาว่าด้วยวัตถุศึกษาความสมดุลของร่างกายภายใต้การกระทำของกองกำลังนั่นคือมันตอบคำถาม: ทำไมมันไม่ตกเลย?

ข้อจำกัดของการบังคับใช้ของกลศาสตร์คลาสสิก

กลศาสตร์คลาสสิกไม่ได้อ้างว่าเป็นวิทยาศาสตร์ที่อธิบายทุกอย่างอีกต่อไป (เมื่อต้นศตวรรษที่ผ่านมาทุกอย่างแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง) และมีขอบเขตการใช้งานที่ชัดเจน โดยทั่วไป กฎของกลศาสตร์คลาสสิกมีผลกับโลกที่เราคุ้นเคยในแง่ของขนาด (มาโครเวิร์ล) พวกเขาหยุดทำงานในกรณีของโลกแห่งอนุภาค เมื่อโลกคลาสสิกถูกแทนที่ด้วย กลศาสตร์ควอนตัม. นอกจากนี้ กลศาสตร์คลาสสิกยังใช้ไม่ได้กับกรณีที่การเคลื่อนที่ของวัตถุเกิดขึ้นที่ความเร็วใกล้เคียงกับความเร็วแสง ในกรณีเช่นนี้ ผลสัมพัทธภาพจะเด่นชัดขึ้น พูดคร่าวๆ ภายในกรอบของกลศาสตร์ควอนตัมและสัมพัทธภาพ - กลศาสตร์คลาสสิก นี่ กรณีพิเศษเมื่อขนาดลำตัวใหญ่และความเร็วน้อย คุณสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้จากบทความของเรา

โดยทั่วไป เอฟเฟกต์ควอนตัมและสัมพัทธภาพจะไม่หายไป นอกจากนี้ ยังเกิดขึ้นระหว่างการเคลื่อนที่ตามปกติของวัตถุขนาดมหภาคด้วยความเร็วที่ต่ำกว่าความเร็วแสงมาก อีกอย่างคือการกระทำของเอฟเฟกต์เหล่านี้มีขนาดเล็กมากจนไม่ได้ไปไกลที่สุด การวัดที่แม่นยำ. กลไกแบบคลาสสิกจะไม่สูญเสียความสำคัญพื้นฐานไป

เราจะศึกษาพื้นฐานทางกายภาพของกลศาสตร์ต่อไปในบทความต่อๆ ไป เพื่อความเข้าใจกลไกที่ดีขึ้น คุณสามารถหันไปหาได้เสมอ ซึ่งจะช่วยอธิบายให้ชัดเจนขึ้น จุดด่างดำงานที่ยากที่สุด

1 สไลด์

หลักสูตรการบรรยายเกี่ยวกับกลศาสตร์ทฤษฎีพลศาสตร์ (ฉันส่วนหนึ่ง) Bondarenko A.N. มอสโก - 2550 หลักสูตรการฝึกอบรมอิเล็กทรอนิกส์เขียนขึ้นบนพื้นฐานของการบรรยายโดยผู้เขียนสำหรับนักเรียนที่เรียนพิเศษของ SZhD, PGS และ SDM ที่ NIIZhT และ MIIT (1974-2006) วัสดุการศึกษาสอดคล้องกับแผนปฏิทินในจำนวนสามภาคเรียน ในการใช้เอฟเฟกต์ภาพเคลื่อนไหวอย่างสมบูรณ์ระหว่างการนำเสนอ คุณต้องใช้ตัวแสดง Power Point ไม่ต่ำกว่า Microsoft Office ในตัว ระบบปฏิบัติการ Windows-XP มืออาชีพ สามารถส่งความคิดเห็นและข้อเสนอแนะทางอีเมล: [ป้องกันอีเมล]. มอสโก มหาวิทยาลัยของรัฐการรถไฟ (MIIT) ภาควิชากลศาสตร์ทฤษฎีศูนย์วิทยาศาสตร์และเทคนิคเทคโนโลยีการขนส่ง

2 สไลด์

เนื้อหา การบรรยาย 1. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพลวัต กฎและสัจพจน์ของพลวัตของจุดวัสดุ สมการพื้นฐานของไดนามิก สมการเชิงอนุพันธ์และธรรมชาติของการเคลื่อนที่ สองภารกิจหลักของไดนามิก ตัวอย่างการแก้ปัญหาตรงของไดนามิก บรรยายที่ 2 การแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก คำแนะนำทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก ตัวอย่างการแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก การเคลื่อนไหวของวัตถุที่ทำมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ การบรรยายที่ 3 การแกว่งเป็นเส้นตรงของจุดวัสดุ เงื่อนไขการเกิดความผันผวน การจำแนกประเภทของการสั่นสะเทือน ฟรีแรงสั่นสะเทือนโดยไม่คำนึงถึงแรงต้าน การสั่นสะเทือนที่ทำให้ชื้น ลดการสั่นไหว การบรรยาย 4. การบังคับการสั่นของจุดวัสดุ เสียงก้อง. อิทธิพลของความต้านทานต่อการเคลื่อนไหวระหว่างแรงสั่นสะเทือนแบบบังคับ การบรรยาย 5. การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดวัสดุ แรงเฉื่อย. กรณีเฉพาะของการเคลื่อนไหวสำหรับการเคลื่อนย้ายแบบพกพาประเภทต่างๆ อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อความสมดุลและการเคลื่อนที่ของวัตถุ การบรรยายครั้งที่ 6 พลวัตของระบบเครื่องกล ระบบเครื่องกล ภายนอกและ กองกำลังภายใน. จุดศูนย์กลางมวลของระบบ ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล กฎหมายอนุรักษ์. ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล การบรรยาย 7. แรงกระตุ้น ปริมาณการเคลื่อนไหว ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม กฎหมายอนุรักษ์. ทฤษฎีบทออยเลอร์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม โมเมนต์ของโมเมนตัม ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม บรรยายที่ 8 กฎหมายการอนุรักษ์. องค์ประกอบของทฤษฎีโมเมนต์ความเฉื่อย โมเมนต์ Kinetic ของร่างกายที่แข็งทื่อ สมการเชิงอนุพันธ์ของการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ ทฤษฎีเบื้องต้นของไจโรสโคป วรรณกรรมที่แนะนำ 1. Yablonsky A.A. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ตอนที่ 2 ม.: บัณฑิตวิทยาลัย. 2520. 368 น. 2. เมชเชอร์สกี้ ไอ.วี. การรวบรวมปัญหาในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ม.: วิทยาศาสตร์. 2529 416 น. 3. การรวบรวมงานสำหรับ เอกสารภาคเรียน/ เอ็ด. เอเอ ยาบลอนสกี้ ม.: ม. 2528 366 น. 4. Bondarenko A.N. “ กลศาสตร์เชิงทฤษฎีในตัวอย่างและงาน พลวัต” (คู่มืออิเล็กทรอนิกส์ www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 1 พลศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาการเคลื่อนที่เชิงกลจากมุมมองที่กว้างที่สุด การเคลื่อนไหวนี้พิจารณาจากแรงที่กระทำต่อวัตถุ ส่วนนี้ประกอบด้วยสามส่วน: พลศาสตร์ของจุดวัสดุ พลศาสตร์ของระบบกลไก กลศาสตร์วิเคราะห์ ■ พลศาสตร์ของจุด - ศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ โดยคำนึงถึงแรงที่ก่อให้เกิดการเคลื่อนไหวนี้ วัตถุหลักคือจุดวัสดุ - วัตถุที่มีมวลซึ่งขนาดสามารถละเลยได้ สมมติฐานพื้นฐาน: - มีพื้นที่แน่นอน (มีคุณสมบัติทางเรขาคณิตล้วนๆ ที่ไม่ขึ้นอยู่กับสสารและการเคลื่อนที่ของวัตถุ - มีเวลาที่แน่นอน (ไม่ขึ้นอยู่กับสสารและการเคลื่อนที่ของวัตถุ) จากนี้ไป: - มี กรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไม่ได้โดยเด็ดขาด - เวลาไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของกรอบอ้างอิง - มวลของจุดเคลื่อนที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของกรอบอ้างอิง สมมติฐานเหล่านี้ใช้ในกลศาสตร์คลาสสิกที่สร้างโดยกาลิเลโอและนิวตัน ยังคงมีขอบเขตค่อนข้างกว้างเนื่องจากระบบเครื่องกลที่พิจารณาในวิทยาศาสตร์ประยุกต์ไม่มีมวลและความเร็วในการเคลื่อนที่ขนาดใหญ่เช่นนี้ซึ่งจำเป็นต้องคำนึงถึงอิทธิพลที่มีต่อเรขาคณิตของอวกาศ เวลา การเคลื่อนไหว เช่น ทำในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ (ทฤษฎีสัมพัทธภาพ) ■ กฎพื้นฐานของไดนามิก - ค้นพบครั้งแรกโดยกาลิเลโอและกำหนดโดยนิวตันเป็นพื้นฐานของวิธีการทั้งหมดในการอธิบายและวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของระบบกลไกและปฏิสัมพันธ์แบบไดนามิก การกระทำภายใต้อิทธิพลของกองกำลังต่างๆ ■ กฎความเฉื่อย (กฎกาลิเลโอ-นิวตัน) - จุดวัตถุที่แยกออกจากร่างกายยังคงสถานะพักหรือเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอจนกว่าแรงที่ใช้จะบังคับให้เปลี่ยนสถานะนี้ นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกันของสภาวะพักและการเคลื่อนไหวโดยความเฉื่อย (กฎสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ) กรอบอ้างอิงซึ่งสัมพันธ์กับการปฏิบัติตามกฎความเฉื่อยเรียกว่าเฉื่อย คุณสมบัติของวัตถุชี้ไปที่พยายามรักษาความเร็วของการเคลื่อนที่ (สถานะจลนศาสตร์) ไม่เปลี่ยนแปลงเรียกว่าความเฉื่อย ■ กฎสัดส่วนของแรงและความเร่ง (สมการพื้นฐานของไดนามิก - กฎของนิวตัน II) - ความเร่งที่ให้กับจุดวัตถุด้วยแรงจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงและเป็นสัดส่วนผกผันกับมวลของจุดนี้ หรือ m คือ มวลของจุด (หน่วยวัดความเฉื่อย) วัดเป็นกิโลกรัม เท่ากับน้ำหนักหารด้วยความเร่ง ตกฟรี: F คือแรงกระทำ วัดเป็น N (1 N ให้จุดที่มีมวล 1 กก. ความเร่ง 1 m / s2, 1 N \u003d 1 / 9.81 kg-s) ■ พลวัตของระบบกลไก - ศึกษาการเคลื่อนที่ของชุดของจุดวัสดุและวัตถุแข็ง ซึ่งรวมกันเป็นหนึ่งโดยกฎปฏิสัมพันธ์ทั่วไป โดยคำนึงถึงแรงที่ก่อให้เกิดการเคลื่อนไหวนี้ ■ กลศาสตร์วิเคราะห์ - ศึกษาการเคลื่อนที่ของระบบกลไกที่ไม่เป็นอิสระโดยใช้วิธีการวิเคราะห์ทั่วไป หนึ่ง

4 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 1 (ต่อ - 1.2) สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ: - สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดในรูปแบบเวกเตอร์ - สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดใน แบบฟอร์มประสานงาน. ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้จากการฉายภาพอย่างเป็นทางการของสมการอนุพันธ์เวกเตอร์ (1) หลังจากจัดกลุ่มแล้ว ความสัมพันธ์ของเวกเตอร์จะถูกแบ่งออกเป็นสามสมการสเกลาร์: ในรูปแบบพิกัด: เราใช้ความสัมพันธ์ของเวกเตอร์รัศมีกับพิกัดและเวกเตอร์แรงกับเส้นโครง: สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่บนแกนพิกัดตามธรรมชาติ (เคลื่อนที่) หรือ: - สมการธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของจุด ■ สมการพื้นฐานของไดนามิก: - สอดคล้องกับวิธีเวกเตอร์ในการระบุการเคลื่อนที่ของจุด ■ กฎความเป็นอิสระของการกระทำของแรง - ความเร่งของจุดวัตถุภายใต้การกระทำของแรงหลาย ๆ อันเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของความเร่งของจุดหนึ่งจากการกระทำของแรงแต่ละอันแยกกัน: หรือ กฎนี้มีผล สำหรับสถานะจลนศาสตร์ของร่างกาย พลังของการโต้ตอบที่ถูกนำไปใช้กับจุดต่าง ๆ (ร่างกาย) นั้นไม่สมดุล ■ กฎแห่งความเท่าเทียมกันของการกระทำและปฏิกิริยา (กฎของนิวตัน III) - ทุกการกระทำสอดคล้องกับปฏิกิริยาที่เท่าเทียมกันและตรงไปตรงมา: 2

5 สไลด์

ปัญหาหลักของไดนามิกสองประการ: 1. ปัญหาโดยตรง: ให้การเคลื่อนที่ (สมการของการเคลื่อนที่, วิถีโคจร) จำเป็นต้องกำหนดแรงภายใต้การกระทำของการเคลื่อนไหวที่กำหนด 2. ปัญหาผกผัน: กองกำลังภายใต้การกระทำที่เกิดขึ้นจะได้รับ จำเป็นต้องหาพารามิเตอร์การเคลื่อนที่ (สมการการเคลื่อนที่ วิถีการเคลื่อนที่) ปัญหาทั้งสองได้รับการแก้ไขโดยใช้สมการพื้นฐานของไดนามิกและการฉายภาพบนแกนพิกัด หากพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดที่ไม่ว่าง หลักการของการปลดปล่อยจากพันธะเช่นเดียวกับในสถิตย์ จากผลของปฏิกิริยา พันธะจะรวมอยู่ในองค์ประกอบของแรงที่กระทำต่อจุดวัสดุ การแก้ปัญหาแรกเกี่ยวข้องกับการดำเนินการสร้างความแตกต่าง การแก้ปัญหาผกผันต้องการการรวมสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน และนี่ยากกว่าการสร้างความแตกต่างอย่างมาก ปัญหาผกผันยากกว่าปัญหาโดยตรง การแก้ปัญหาโดยตรงของไดนามิก - มาดูตัวอย่างกัน: ตัวอย่างที่ 1 ห้องโดยสารที่มีน้ำหนัก G ของลิฟต์ถูกยกขึ้นด้วยสายเคเบิลที่มีการเร่งความเร็ว a . กำหนดความตึงของสายเคเบิล 1. เลือกวัตถุ (รถลิฟต์เคลื่อนที่ไปข้างหน้าและถือเป็นจุดวัสดุ) 2. เรายกเลิกการเชื่อมต่อ (สายเคเบิล) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา R 3. เขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: กำหนดปฏิกิริยาของสายเคเบิล: กำหนดความตึงของสายเคเบิล: ด้วยการเคลื่อนที่ของห้องโดยสาร ay = 0 และ ความตึงของสายเคเบิลเท่ากับน้ำหนัก: T = G เมื่อสายเคเบิลขาด T = 0 และความเร่งของห้องโดยสารเท่ากับความเร่งของการตกอย่างอิสระ: ay = -g 3 4. เราฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกบนแกน y: y ตัวอย่างที่ 2 จุดมวล m เคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวแนวนอน (ระนาบ Oxy) ตามสมการ: x = a coskt, y = b coskt กำหนดแรงที่กระทำต่อจุด 1. เลือกวัตถุ (จุดวัสดุ) 2. เราละทิ้งการเชื่อมต่อ (ระนาบ) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา N. 3. เพิ่มแรงที่ไม่รู้จัก F ให้กับระบบของแรง 4. เขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: 5. ฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกเข้าสู่ แกน x,y: กำหนดเส้นโครงของแรง: โมดูลัสแรง: โคไซน์ของทิศทาง: ดังนั้น ขนาดของแรงจึงเป็นสัดส่วนกับระยะห่างของจุดถึงจุดศูนย์กลางของพิกัด และมุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางตามแนวเส้นที่เชื่อมจุดไปยังจุดศูนย์กลาง วิถีการเคลื่อนที่ของจุดคือวงรีที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด: O r Lecture 1 (ต่อ - 1.3)

6 สไลด์

การบรรยายที่ 1 (ตอนต่อ 1.4) ตัวอย่างที่ 3: ภาระของน้ำหนัก G ถูกแขวนไว้บนสายเคเบิลที่มีความยาว l และเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางวงกลมในระนาบแนวนอนด้วยความเร็วที่แน่นอน มุมเบี่ยงเบนของสายเคเบิลจากแนวตั้งเท่ากับ กำหนดความตึงของสายเคเบิลและความเร็วของโหลด 1. เลือกสิ่งของ (cargo) 2. ยกเลิกการเชื่อมต่อ (เชือก) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา R. 3. เขียนสมการหลักของไดนามิก: จากสมการที่สาม กำหนดปฏิกิริยาของสายเคเบิล: กำหนดความตึงของสายเคเบิล: แทนค่าของปฏิกิริยา ของสายเคเบิลความเร่งปกติในสมการที่สองและกำหนดความเร็วของโหลด: 4. ฉายไดนามิกของเพลาสมการหลัก n, b: ตัวอย่างที่ 4: รถน้ำหนัก G เคลื่อนที่บนสะพานนูน (รัศมีความโค้งคือ R ) ด้วยความเร็ว V. กำหนดความดันของรถบนสะพาน 1. เราเลือกวัตถุ (รถเราละเลยมิติและถือว่าเป็นจุด) 2. เราละทิ้งการเชื่อมต่อ (พื้นผิวขรุขระ) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา N และแรงเสียดทาน Ffr 3. เราเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกส์: 4. เราฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกส์บนแกน n: จากที่นี่ เรากำหนดปฏิกิริยาปกติ: เรากำหนดความดันของรถบนสะพาน: จากที่นี่ เราสามารถกำหนดความเร็วได้ สอดคล้องกับแรงดันศูนย์บนสะพาน (Q = 0): 4

7 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 2 หลังจากการแทนที่ค่าที่พบของค่าคงที่ เราได้รับ: ดังนั้นภายใต้การกระทำของระบบแรงเดียวกัน จุดวัสดุสามารถดำเนินการระดับของการเคลื่อนไหวทั้งหมดที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น พิกัดเริ่มต้นคำนึงถึงตำแหน่งเริ่มต้นของจุด ความเร็วเริ่มต้นที่ได้จากการคาดคะเนคำนึงถึงอิทธิพลที่มีต่อการเคลื่อนที่ไปตามส่วนที่พิจารณาของวิถีโคจรของแรงที่กระทำต่อจุดก่อนมาถึงส่วนนี้ กล่าวคือ สถานะจลนศาสตร์เริ่มต้น การแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก - ในกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ของจุด แรงที่กระทำต่อจุดนั้นเป็นตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับเวลา พิกัด และความเร็ว การเคลื่อนที่ของจุดอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองสามสมการ: หลังจากรวมแต่ละสมการเข้าด้วยกันแล้ว จะมีค่าคงที่หกตัว C1, C2,…., C6: ค่าของค่าคงที่ C1, C2,… ., C6 หาได้จากหกเงื่อนไขเริ่มต้นที่ t = 0: ตัวอย่างที่ 1 ของการแก้ปัญหาผกผัน: จุดวัสดุอิสระที่มีมวล m เคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของแรง F ซึ่งมีค่าคงที่ในขนาดและขนาด . ในช่วงเริ่มต้น ความเร็วของจุดคือ v0 และใกล้เคียงกับทิศทางของแรง กำหนดสมการการเคลื่อนที่ของจุด 1. เราเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: 3. เราลดลำดับของอนุพันธ์: 2. เราเลือกระบบอ้างอิงคาร์ทีเซียน โดยกำหนดแกน x ตามทิศทางของแรง และฉายสมการหลักของไดนามิกบนแกนนี้: หรือ x y z 4. แยกตัวแปร: 5. คำนวณปริพันธ์จากทั้งสองส่วนของสมการ : 6. ลองแทนการฉายภาพความเร็วเป็นอนุพันธ์เวลาของพิกัด: 8. คำนวณอินทิกรัลของทั้งสองส่วนของสมการ: 7. แยก ตัวแปร: 9. ในการกำหนดค่าคงที่ C1 และ C2 เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น t = 0, vx = v0 , x = x0: เป็นผลให้เราได้สมการ การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ(แกน x): 5

8 สไลด์

คำแนะนำทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาทางตรงและทางผกผัน ขั้นตอนการแก้ปัญหา: 1. การรวบรวมสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่: 1.1. เลือกระบบพิกัด - สี่เหลี่ยม (คงที่) กับวิถีการเคลื่อนที่ที่ไม่รู้จัก ธรรมชาติ (เคลื่อนที่) กับวิถีที่รู้จัก เช่น วงกลมหรือเส้นตรง ในกรณีหลังนี้ สามารถใช้พิกัดเส้นตรงได้หนึ่งพิกัด จุดอ้างอิงควรรวมกับตำแหน่งเริ่มต้นของจุด (ที่ t = 0) หรือกับตำแหน่งสมดุลของจุด หากมี ตัวอย่างเช่น เมื่อจุดผันผวน 6 1.2. วาดจุดที่ตำแหน่งที่สอดคล้องกับช่วงเวลาที่กำหนด (สำหรับ t > 0) เพื่อให้พิกัดเป็นค่าบวก (s > 0, x > 0) เรายังถือว่าการฉายภาพความเร็วในตำแหน่งนี้เป็นบวกด้วย ในกรณีของการแกว่ง การฉายภาพความเร็วจะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น เมื่อกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ในที่นี้ควรสันนิษฐานว่า ณ ช่วงเวลาที่พิจารณา จุดจะเคลื่อนออกจากตำแหน่งสมดุล การดำเนินการตามคำแนะนำนี้มีความสำคัญในอนาคตเมื่อทำงานกับกองกำลังต้านทานที่ขึ้นอยู่กับความเร็ว 1.3. ปลดปล่อยจุดวัสดุจากพันธะ แทนที่การกระทำด้วยปฏิกิริยา เพิ่มแรงแอคทีฟ 1.4. เขียนกฎพื้นฐานของไดนามิกในรูปแบบเวกเตอร์ โปรเจ็กต์บนแกนที่เลือก แรงที่กำหนดหรือแรงปฏิกิริยาในแง่ของเวลา พิกัดหรือตัวแปรความเร็ว หากสิ่งเหล่านี้ขึ้นอยู่กับพวกมัน 2. คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์: 2.1. ลดอนุพันธ์ถ้าสมการไม่ลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ (มาตรฐาน) ตัวอย่างเช่น: หรือ 2.2 แยกตัวแปร เช่น หรือ 2.4 คำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดที่ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ เช่น 2.3 หากมีตัวแปรสามตัวในสมการ ให้ทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เช่น แล้วแยกตัวแปรออก ความคิดเห็น แทนที่จะประเมินอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน เราสามารถประเมินอินทิกรัลที่แน่นอนด้วยขีดจำกัดบนของตัวแปรได้ ขีด จำกัด ล่างแสดงถึงค่าเริ่มต้นของตัวแปร (เงื่อนไขเริ่มต้น) จากนั้นจึงไม่จำเป็นต้องค้นหาค่าคงที่แยกต่างหากซึ่งรวมอยู่ในการแก้ปัญหาโดยอัตโนมัติเช่นการใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเช่น t = 0 , vx = vx0, กำหนดค่าคงที่ของการรวม: 2.5 แสดงความเร็วในรูปอนุพันธ์ของเวลาของพิกัด เช่น ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2.2 -2.4 หมายเหตุ ถ้าสมการถูกลดรูปเป็นรูปแบบบัญญัติซึ่งได้ โซลูชันมาตรฐาน, นั่นคือ โซลูชั่นแบบเบ็ดเสร็จและถูกนำมาใช้ ยังคงพบค่าคงที่ของการรวมตัวจากเงื่อนไขเริ่มต้น ดูตัวอย่าง ความผันผวน (บทที่ 4 หน้า 8) บรรยาย 2 (ต่อ 2.2)

9 สไลด์

บรรยายที่ 2 (ต่อ 2.3) ตัวอย่างที่ 2 ของการแก้ปัญหาผกผัน: แรงขึ้นอยู่กับเวลา ภาระของน้ำหนัก P เริ่มเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวแนวนอนเรียบภายใต้การกระทำของแรง F ซึ่งมีขนาดเป็นสัดส่วนกับเวลา (F = kt) กำหนดระยะทางที่เดินทางโดยโหลดในเวลา t 3. เขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: 5. ลดลำดับของอนุพันธ์: 4. ฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกบนแกน x: หรือ 7 6. แยกตัวแปร: 7. คำนวณอินทิกรัลของทั้งสองส่วนของ สมการ: 9. แสดงการฉายภาพของความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา: 10. คำนวณอินทิกรัลของสมการทั้งสองส่วน: 9. แยกตัวแปร: 8. กำหนดค่าคงที่ C1 จาก เงื่อนไขเริ่มต้น t = 0, vx = v0=0: เป็นผลให้เราได้รับสมการการเคลื่อนที่ (ตามแกน x) ซึ่งให้ค่าของระยะทางที่เดินทางสำหรับเวลา t: 1. เราเลือกระบบอ้างอิง (คาร์ทีเซียน) พิกัด) เพื่อให้ร่างกายมีพิกัดบวก: 2. เรานำวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นจุดวัตถุ (ร่างกายเคลื่อนที่ไปข้างหน้า) ปล่อยออกจากการเชื่อมต่อ (ระนาบอ้างอิง) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา (ปฏิกิริยาปกติของ ผิวเรียบ) : 11. กำหนดค่าคงที่ C2 จากเงื่อนไขเริ่มต้น t = 0, x = x0=0: ตัวอย่างที่ 3 ของการแก้ปัญหาผกผัน: แรงขึ้นอยู่กับพิกัด จุดมวลสาร m พุ่งขึ้นจากพื้นผิวโลกด้วยความเร็ว v0 แรงโน้มถ่วงของโลกเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะทางจากจุดถึงจุดศูนย์ถ่วง (ศูนย์กลางของโลก) กำหนดความเร็วขึ้นอยู่กับระยะทาง y ถึงศูนย์กลางของโลก 1. เราเลือกระบบอ้างอิง (พิกัดคาร์ทีเซียน) เพื่อให้ร่างกายมีพิกัดบวก: 2. เราเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: 3. เราฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกบนแกน y: หรือ สัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสามารถ หาโดยใช้น้ำหนักของจุดบนพื้นผิวโลก: R ดังนั้นสมการอนุพันธ์จะออกมาดังนี้: หรือ 4. ลดลำดับของอนุพันธ์: 5. เปลี่ยนตัวแปร: 6. แยกตัวแปร: 7. คำนวณ อินทิกรัลของสมการทั้งสองข้าง: 8. แทนที่ขีดจำกัด: เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์สำหรับความเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด y: ความสูงสูงสุดของเที่ยวบินสามารถพบได้โดยเทียบความเร็วเป็นศูนย์: ระดับความสูงสูงสุดของเที่ยวบิน เมื่อตัวส่วนกลายเป็นศูนย์: จากที่นี่ เมื่อตั้งค่ารัศมีของโลกและความเร่งของการตกอย่างอิสระ จะได้ความเร็วจักรวาล II:

10 สไลด์

บทเรียนที่ 2 (ต่อ 2.4) ตัวอย่างที่ 2 ของการแก้ปัญหาผกผัน: แรงขึ้นอยู่กับความเร็ว เรือมวล m มีความเร็ว v0 ความต้านทานของน้ำต่อการเคลื่อนที่ของเรือนั้นแปรผันตามความเร็ว กำหนดเวลาที่ใช้สำหรับความเร็วของเรือที่จะลดลงครึ่งหนึ่งหลังจากดับเครื่องยนต์ เช่นเดียวกับระยะทางที่เรือเดินทางเพื่อหยุดโดยสมบูรณ์ 8 1. เราเลือกระบบอ้างอิง (พิกัดคาร์ทีเซียน) เพื่อให้ร่างกายมีพิกัดบวก: 2. เรานำวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นจุดวัสดุ (เรือเคลื่อนที่ไปข้างหน้า) ปราศจากพันธะ (น้ำ) และแทนที่ ด้วยปฏิกิริยา (แรงลอยตัว - แรงอาร์คิมิดีส) และแรงต้านการเคลื่อนที่ด้วย 3. เพิ่มพลังแอคทีฟ (แรงดึงดูด) 4. เราเขียนสมการหลักของไดนามิก: 5. เราฉายสมการหลักของไดนามิกบนแกน x: หรือ 6. เราลดลำดับของอนุพันธ์: 7. เราแยกตัวแปร: 8. เราคำนวณอินทิกรัลจากทั้งสอง บางส่วนของสมการ: 9. เราแทนที่ขีดจำกัด: ได้รับนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับความเร็วและเวลา t ซึ่งคุณสามารถกำหนดเวลาของการเคลื่อนไหว: เวลาของการเคลื่อนไหว ในระหว่างที่ความเร็วจะลดลงครึ่งหนึ่ง: มันคือ น่าสนใจที่จะสังเกตว่าเมื่อความเร็วเข้าใกล้ศูนย์ เวลาของการเคลื่อนไหวมีแนวโน้มที่จะอนันต์ กล่าวคือ ความเร็วสุดท้ายไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ทำไมไม่ "เคลื่อนไหวตลอดไป"? อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ระยะทางที่เดินทางไปยังจุดแวะจะเป็นค่าจำกัด เพื่อกำหนดระยะทางที่เดินทาง เราหันไปที่นิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดลำดับของอนุพันธ์ และทำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร: หลังจากการรวมและการแทนที่ขีดจำกัด เราได้รับ: ระยะทางที่เดินทางไปยังจุดแวะ: ■ การเคลื่อนที่ของจุดที่ถูกโยนไปที่ มุมสู่ขอบฟ้าในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ ขจัดเวลาจากสมการการเคลื่อนที่ เราได้รับสมการวิถี: เวลาบินถูกกำหนดโดยพิกัด y เท่ากับศูนย์: ช่วงการบินถูกกำหนดโดยการแทนที่ เวลาบิน:

11 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 3 การสั่นของจุดวัสดุเป็นเส้นตรง - การสั่นของจุดวัสดุเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่มีแรงฟื้นคืนซึ่งมีแนวโน้มที่จะเปลี่ยนจุดไปยังตำแหน่งสมดุลสำหรับการเบี่ยงเบนใด ๆ จากตำแหน่งนี้ 9 มีแรงคืนสภาพ ตำแหน่งสมดุลคงที่ ไม่มีแรงคืนตัว ตำแหน่งสมดุลไม่เสถียร ไม่มีแรงคืนตัว ตำแหน่งสมดุลไม่แยแส มันถูกนำไปยังตำแหน่งสมดุลเสมอ ค่าเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการยืดตัวเชิงเส้น (สั้นลง) ของสปริง เท่ากับค่าเบี่ยงเบนของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล: c คือค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งสปริง ตัวเลข มีกำลังเท่ากันภายใต้การกระทำที่สปริงเปลี่ยนความยาวทีละหนึ่งหน่วยวัดเป็น N / m ในระบบ SI x y O ประเภทของการสั่นสะเทือนของจุดวัสดุ: 1. การสั่นแบบอิสระ (โดยไม่คำนึงถึงความต้านทานของตัวกลาง) 2. การแกว่งอิสระโดยคำนึงถึงความต้านทานของตัวกลาง (การสั่นแบบหน่วง) 3. แรงสั่นสะเทือน 4. การบังคับแกว่งโดยคำนึงถึงความต้านทานของตัวกลาง ■ การสั่นแบบอิสระ - เกิดขึ้นภายใต้การกระทำของแรงฟื้นเท่านั้น มาเขียนกฎพื้นฐานของไดนามิกกันดีกว่า: ให้เลือกระบบพิกัดที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล (จุด O) และฉายสมการบนแกน x: นำสมการที่ได้มาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (มาตรฐาน): สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่สอง รูปแบบของการแก้ปัญหาถูกกำหนดโดยรากของสมการคุณลักษณะที่ได้จากการแทนที่สากล: รากของสมการคุณลักษณะเป็นจำนวนจินตภาพและเท่ากับ: การตัดสินใจร่วมกันสมการอนุพันธ์มีรูปแบบดังนี้ ความเร็วของจุด: เงื่อนไขเริ่มต้น: มากำหนดค่าคงที่กัน: ดังนั้น สมการ การสั่นสะเทือนฟรีมีรูปแบบดังนี้ สมการสามารถแสดงด้วยนิพจน์ระยะเดียว โดยที่ a คือแอมพลิจูด คือเฟสเริ่มต้น ค่าคงที่ใหม่และ - เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ C1 และ C2 โดยความสัมพันธ์: ลองนิยาม a และ: สาเหตุของการแกว่งอิสระคือการกระจัดเริ่มต้น x0 และ/หรือความเร็วเริ่มต้น v0

12 สไลด์

10 การบรรยายที่ 3 (ตอนต่อ 3.2) การสั่นแบบหน่วงของจุดวัสดุ - การเคลื่อนที่แบบสั่นของจุดวัสดุเกิดขึ้นเมื่อมีแรงฟื้นคืนและแรงต้านทานการเคลื่อนที่ การพึ่งพาแรงต้านการเคลื่อนที่จากการกระจัดหรือความเร็วนั้นพิจารณาจากลักษณะทางกายภาพของตัวกลางหรือการเชื่อมต่อที่ขัดขวางการเคลื่อนที่ การพึ่งพาที่ง่ายที่สุดคือการพึ่งพาความเร็วเชิงเส้น (ความต้านทานความหนืด): - สัมประสิทธิ์ความหนืด x y O สมการพื้นฐานของไดนามิก: การฉายภาพของสมการไดนามิกบนแกน: มุมมองมาตรฐาน: โดยที่ สมการลักษณะเฉพาะมีราก: คำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์นี้มีรูปแบบที่แตกต่างกันไปตามค่าของราก: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - กรณีที่มีความต้านทานความหนืดสูง: - รากจริงต่างกัน หรือ - ฟังก์ชันเหล่านี้เป็น aperiodic: 3. n = k: - รากเป็นของจริง, ทวีคูณ ฟังก์ชันเหล่านี้ยังเป็น aperiodic:

13 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 3 (ต่อ 3.3) การจำแนกประเภทของสารละลายของการแกว่งอิสระ การเชื่อมต่อสปริง ความแข็งเทียบเท่า y y 11 ความแตกต่าง อักขระสมการ สมการราก สมการ การแก้สมการอนุพันธ์ กราฟ nk n=k

14 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 4 แรงสั่นสะเทือนแบบบังคับของจุดวัสดุ - แรงที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะจะกระทำควบคู่ไปกับแรงคืนสภาพ ซึ่งเรียกว่าแรงก่อกวน แรงที่ก่อกวนสามารถมีลักษณะที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีพิเศษ ผลกระทบเฉื่อยของมวลไม่สมดุล m1 ของโรเตอร์ที่หมุนอยู่ทำให้เกิดการคาดคะเนแรงที่เปลี่ยนแปลงอย่างกลมกลืน: สมการหลักของไดนามิก: การฉายภาพของสมการไดนามิกบนแกน: ลองนำสมการมาสู่มาตรฐาน รูปแบบ: 12 คำตอบของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์นี้ประกอบด้วยสองส่วน x = x1 + x2: x1 เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน และ x2 เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ เราเลือกคำตอบเฉพาะในรูปของ ด้านขวา: ผลที่ได้จะต้องได้รับความพึงพอใจสำหรับ t ใด ๆ จากนั้น: หรือ ดังนั้น ด้วยการกระทำพร้อมกันของแรงฟื้นฟูและแรงรบกวน จุดวัสดุจะทำการซับซ้อน การเคลื่อนที่แบบสั่นซึ่งเป็นผลมาจากการบวก (ซ้อน) ของการแกว่งอิสระ (x1) และแรงบังคับ (x2) ถ้าพี< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием โซลูชั่นที่สมบูรณ์(!): ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ: ถ้า p > k (บังคับการสั่นของความถี่สูง) ดังนั้นเฟสของการแกว่งจะตรงข้ามกับเฟสของแรงรบกวน:

15 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 4 (ความต่อเนื่อง 4.2) 13 สัมประสิทธิ์ไดนามิก - อัตราส่วนของแอมพลิจูดของการแกว่งบังคับต่อการเบี่ยงเบนคงที่ของจุดภายใต้การกระทำของแรงคงที่ H = const: แอมพลิจูดของการแกว่งบังคับ: ค่าเบี่ยงเบนคงที่สามารถพบได้จาก สมการสมดุล: ที่นี่: ดังนั้น: ดังนั้น ที่ p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (ความถี่สูงของการสั่นแบบบังคับ) สัมประสิทธิ์ไดนามิก: เสียงสะท้อน - เกิดขึ้นเมื่อความถี่ของการสั่นแบบบังคับเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติ (p = k) สิ่งนี้มักเกิดขึ้นเมื่อเริ่มต้นและหยุดการหมุนของโรเตอร์ที่สมดุลไม่ดีซึ่งติดตั้งอยู่บนระบบกันสะเทือนแบบยืดหยุ่น สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นที่มีความถี่เท่ากัน: ไม่สามารถหาคำตอบเฉพาะในรูปของด้านขวาได้เพราะ จะได้สารละลายที่ขึ้นกับเชิงเส้น (ดูวิธีแก้ปัญหาทั่วไป) วิธีแก้ปัญหาทั่วไป: แทนที่ในสมการอนุพันธ์: ลองหาคำตอบเฉพาะในรูปแบบและคำนวณอนุพันธ์: ดังนั้น ได้วิธีแก้ปัญหา: หรือ การสั่นแบบบังคับที่เรโซแนนซ์จะมีแอมพลิจูดที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดตามสัดส่วนของเวลา อิทธิพลของความต้านทานต่อการเคลื่อนไหวระหว่างแรงสั่นสะเทือนแบบบังคับ สมการเชิงอนุพันธ์เมื่อมีความต้านทานหนืดมีรูปแบบ: เลือกวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจากตาราง (บทที่ 3 หน้า 11) ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของ n และ k (ดู) เราใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบและคำนวณอนุพันธ์: แทนที่ในสมการอนุพันธ์: เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่เท่ากัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติเราได้รับระบบสมการ โดยการเพิ่มสมการทั้งสองยกกำลังและบวกเข้าด้วยกัน เราจะได้แอมพลิจูดของการแกว่งแบบบังคับ: โดยการหารสมการที่สองด้วยสมการแรก เราจะได้เฟสกะของการแกว่งแบบบังคับ ดังนั้น สมการ ของการเคลื่อนที่สำหรับการบังคับแกว่ง โดยคำนึงถึงการต้านทานการเคลื่อนไหว เช่น ที่ n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 สไลด์

บทที่ 5 การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดวัสดุ - สมมติว่าระบบพิกัดเคลื่อนที่ (ไม่เฉื่อย) Oxyz เคลื่อนที่ตามกฎหมายบางข้อที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่ (เฉื่อย) O1x1y1z1 การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ M (x, y, z) ที่สัมพันธ์กับระบบเคลื่อนที่ Oxyz นั้นสัมพันธ์กัน สัมพันธ์กับระบบที่ไม่เคลื่อนที่ O1x1y1z1 นั้นสัมบูรณ์ การเคลื่อนที่ของระบบมือถือ Oxyz เทียบกับระบบคงที่ O1x1y1z1 เป็นการเคลื่อนที่แบบพกพา 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O สมการพื้นฐานของไดนามิก: ความเร่งสัมบูรณ์ของจุด: แทนที่ความเร่งสัมบูรณ์ของจุดลงในสมการหลักของไดนามิก: ลองเปลี่ยนเงื่อนไขด้วยการเร่งความเร็วการแปลและการเร่งความเร็วโคลิโอลิสไปทางด้านขวา: เงื่อนไขที่ถ่ายโอนมีมิติของแรงและถือเป็นแรงเฉื่อยที่สอดคล้องกัน เท่ากับ: จากนั้นการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดนั้นถือได้ว่าเป็นแบบสัมบูรณ์ หากเราเพิ่มแรงแปลและแรงเฉื่อยของแรงเฉื่อยให้กับแรงกระทำ: ในการคาดการณ์บน แกนของระบบพิกัดเคลื่อนที่ เรามี: ชนิดที่แตกต่างการเคลื่อนที่เชิงการแปล: 1. การหมุนรอบแกนคงที่: หากการหมุนสม่ำเสมอ ดังนั้น εe = 0: 2. การเคลื่อนที่โค้งตามการแปล: หากการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ดังนั้น = : หากการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ ระบบเคลื่อนที่จะเป็น เฉื่อยและการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ถือได้ว่าเป็นสัมบูรณ์ : ไม่มีปรากฏการณ์ทางกลใดที่สามารถตรวจจับเส้นตรงได้ การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ(หลักการสัมพัทธภาพของกลศาสตร์คลาสสิก). อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อความสมดุลของร่างกาย - สมมติว่าร่างกายอยู่ในสภาวะสมดุลบนพื้นผิวโลกที่ละติจูด φ (เส้นขนาน) ตามอำเภอใจ โลกหมุนรอบแกนจากตะวันตกไปตะวันออกด้วยความเร็วเชิงมุม: รัศมีของโลกอยู่ที่ประมาณ 6370 กม. S R คือปฏิกิริยาทั้งหมดของพื้นผิวที่ไม่เรียบ G - แรงดึงดูดของโลกสู่ศูนย์กลาง Ф - แรงเหวี่ยงของความเฉื่อย สภาวะสมดุลสัมพัทธ์: ผลลัพธ์ของแรงดึงดูดและความเฉื่อยคือแรงโน้มถ่วง (น้ำหนัก): ขนาดของแรงโน้มถ่วง (น้ำหนัก) บนพื้นผิวโลกคือ P = มก. แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเป็นส่วนเล็ก ๆ ของแรงโน้มถ่วง: ความเบี่ยงเบนของแรงโน้มถ่วงจากทิศทางของแรงดึงดูดก็มีน้อยเช่นกัน: ดังนั้นอิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อความสมดุลของร่างกายจึงมีขนาดเล็กมาก และไม่ได้นำมาพิจารณาในการคำนวณเชิงปฏิบัติ มูลค่าสูงสุดแรงเฉื่อย (ที่ φ = 0 - ที่เส้นศูนย์สูตร) มีค่าเท่ากับ 0.00343 ของแรงโน้มถ่วง

17 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 5 (ความต่อเนื่อง 5.2) 15 อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อการเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามโน้มถ่วงของโลก - สมมติว่าวัตถุตกลงสู่พื้นโลกจากความสูง H เหนือพื้นผิวโลกที่ละติจูด φ . มาเลือกกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ที่เชื่อมต่อกับโลกอย่างแน่นหนา นำแกน x, y ไปตามแนวเส้นขนานและเส้นเมอริเดียนแทนกัน: สมการการเคลื่อนที่สัมพัทธ์: ในที่นี้ ความเล็กของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางของความเฉื่อยเมื่อเทียบกับแรงโน้มถ่วงคือ นำเข้าบัญชี. ดังนั้นแรงโน้มถ่วงจึงระบุด้วยแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้ เราถือว่าแรงโน้มถ่วงตั้งฉากกับพื้นผิวโลกเนื่องจากการโก่งตัวเพียงเล็กน้อย ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ความเร่งโคริโอลิสจะเท่ากับและกำกับขนานกับแกน y ไปทางทิศตะวันตก แรงเฉื่อยโคริโอลิสมีทิศทางไปในทิศทางตรงกันข้าม เราฉายสมการการเคลื่อนที่สัมพัทธ์บนแกน: คำตอบของสมการแรกให้: เงื่อนไขตั้งต้น: คำตอบของสมการที่สามให้: เงื่อนไขตั้งต้น: สมการที่สามอยู่ในรูปแบบ: เงื่อนไขตั้งต้น: คำตอบจะได้: ผลลัพธ์ที่ได้ แสดงว่าร่างกายเบี่ยงไปทางทิศตะวันออกเมื่อตกลงมา ให้เราคำนวณค่าเบี่ยงเบนนี้ เช่น เมื่อตกลงมาจากความสูง 100 เมตร เราพบเวลาตกจากคำตอบของสมการที่สอง ดังนั้น อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อการเคลื่อนที่ของวัตถุจึงน้อยมาก สำหรับความสูงและความเร็วที่ใช้งานได้จริง และไม่ได้นำมาพิจารณาในการคำนวณทางเทคนิค การแก้สมการที่สองยังบอกเป็นนัยถึงการมีอยู่ของความเร็วตามแนวแกน y ซึ่งควรทำให้เกิดและทำให้เกิดความเร่งที่สอดคล้องกันและแรงเฉื่อยโคลิโอลิสด้วย อิทธิพลของความเร็วนี้และแรงเฉื่อยที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่จะน้อยกว่าแรงเฉื่อยโคริโอลิสที่พิจารณาซึ่งสัมพันธ์กับความเร็วแนวตั้ง

18 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 6 พลวัตของระบบเครื่องกล ระบบจุดวัสดุหรือระบบกลไก - ชุดของจุดวัสดุหรือจุดวัสดุเหล่านั้นรวมกันโดยกฎทั่วไปของการโต้ตอบ (ตำแหน่งหรือการเคลื่อนไหวของแต่ละจุดหรือร่างกายขึ้นอยู่กับตำแหน่งและการเคลื่อนไหวของจุดอื่น ๆ ทั้งหมด) ระบบจุดอิสระ - การเคลื่อนที่ที่ไม่จำกัดโดยการเชื่อมต่อใดๆ (เช่น ระบบดาวเคราะห์ ซึ่งถือว่าดาวเคราะห์เป็น คะแนนวัสดุ). ระบบของจุดที่ไม่ว่างหรือระบบกลไกที่ไม่อิสระ - การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุหรือวัตถุถูกจำกัดโดยข้อจำกัดที่กำหนดไว้ในระบบ (เช่น กลไก เครื่องจักร ฯลฯ) 16 แรงที่กระทำต่อระบบ นอกเหนือจากการจำแนกกองกำลังที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ (แรงปฏิกิริยาและแรงปฏิกิริยา) จะมีการแนะนำการจำแนกประเภทใหม่: 1. แรงภายนอก (e) - กระทำต่อจุดและวัตถุของระบบจากจุดหรือวัตถุที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสิ่งนี้ ระบบ. 2. แรงภายใน (i) - แรงของปฏิสัมพันธ์ระหว่างจุดวัสดุหรือวัตถุที่รวมอยู่ใน ระบบนี้. แรงเดียวกันสามารถเป็นได้ทั้งแรงภายนอกและแรงภายใน ทุกอย่างขึ้นอยู่กับระบบทางกลที่พิจารณา ตัวอย่างเช่น: ในระบบของดวงอาทิตย์ โลก และดวงจันทร์ แรงโน้มถ่วงทั้งหมดระหว่างพวกมันอยู่ภายใน เมื่อพิจารณาระบบโลกและดวงจันทร์ แรงดึงดูดจากด้านข้างของดวงอาทิตย์จะอยู่ภายนอก: C Z L ตามกฎแห่งการกระทำและปฏิกิริยา แรงภายในแต่ละแรง Fk จะสัมพันธ์กับแรงภายในอีกอันหนึ่ง Fk' ซึ่งเท่ากับค่าสัมบูรณ์และตรงข้ามใน ทิศทาง. คุณสมบัติเด่นสองประการของแรงภายในเป็นไปตามนี้: เวกเตอร์หลักของแรงภายในทั้งหมดของระบบ ศูนย์: โมเมนต์หลักของแรงภายในทั้งหมดของระบบที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดๆ เท่ากับศูนย์: หรือในการฉายภาพบนแกนพิกัด: หมายเหตุ แม้ว่าสมการเหล่านี้จะคล้ายกับสมการสมดุล แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น เนื่องจากกำลังภายในถูกนำไปใช้กับ จุดต่างๆหรือเนื้อความของระบบและอาจทำให้จุดเหล่านี้ (body) เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน จากสมการเหล่านี้พบว่าแรงภายในไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของระบบโดยพิจารณาโดยรวม จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุ เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของระบบโดยรวม เราขอแนะนำ จุดเรขาคณิตเรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งเวกเตอร์รัศมีถูกกำหนดโดยนิพจน์ โดยที่ M คือมวลของระบบทั้งหมด หรือในการฉายภาพบนแกนพิกัด: สูตรสำหรับจุดศูนย์กลางมวลจะคล้ายกับสูตรสำหรับจุดศูนย์กลาง ของแรงโน้มถ่วง อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลนั้นกว้างกว่า เนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงหรือแรงโน้มถ่วง

19 สไลด์

บรรยายที่ 6 (ต่อ 6.2) 17 ทฤษฎีบทว่าด้วยการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ - พิจารณาระบบของจุดวัสดุ n จุด เราแบ่งแรงที่ใช้กับแต่ละจุดออกเป็นแรงภายนอกและภายใน และแทนที่ด้วยผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน Fke และ Fki มาเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกในแต่ละจุดกัน หรือ ลองรวมสมการเหล่านี้กับทุกจุดกัน ทางด้านซ้ายของสมการ เราจะแนะนำมวลภายใต้เครื่องหมายของอนุพันธ์ และแทนที่ผลรวมของอนุพันธ์ด้วยอนุพันธ์ ของผลรวม: จากคำจำกัดความของจุดศูนย์กลางมวล: แทนที่ลงในสมการผลลัพธ์: เราได้รับหรือ: ผลคูณของมวลของระบบและความเร่งของมวลศูนย์กลางเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอก ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่เป็นจุดวัสดุที่มีมวลเท่ากับมวลของทั้งระบบ ซึ่งแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบจะถูกนำไปใช้ ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ (กฎการอนุรักษ์): 1. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ Re = 0 ดังนั้นความเร็วของ จุดศูนย์กลางมวลคงที่ vC = const (จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ - กฎการอนุรักษ์การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล) 2. หากในช่วงเวลา การฉายภาพของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบบนแกน x เท่ากับศูนย์ Rxe = 0 ดังนั้นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกน x จะคงที่ vCx = const (จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่สม่ำเสมอตามแนวแกน) ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z ตัวอย่าง: คนสองคนที่มีมวล m1 และ m2 อยู่ในเรือที่มีมวล m3 ในช่วงเวลาเริ่มต้น เรือกับผู้คนก็หยุดนิ่ง กำหนดการเคลื่อนที่ของเรือถ้าบุคคลที่มีมวล m2 ย้ายไปที่หัวเรือในระยะทาง a. 3. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ Re = 0 และในช่วงเวลาเริ่มต้นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลจะเป็นศูนย์ vC = 0 ดังนั้นเวกเตอร์รัศมีของ จุดศูนย์กลางมวลคงที่ rC = const (จุดศูนย์กลางมวลอยู่นิ่งคือกฎการอนุรักษ์ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล) 4. หากในช่วงเวลา การฉายภาพของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบบนแกน x เท่ากับศูนย์ Rxe = 0 และในช่วงเริ่มต้น ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกนนี้จะเป็นศูนย์ , vCx = 0 ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกน x จะคงที่ xC = const (จุดศูนย์กลางมวลไม่เคลื่อนที่ไปตามแกนนี้) ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z 1. วัตถุของการเคลื่อนไหว (เรือกับผู้คน): 2. เราละทิ้งการเชื่อมต่อ (น้ำ): 3. เราแทนที่การเชื่อมต่อด้วยปฏิกิริยา: 4. เพิ่มพลังที่ใช้งาน: 5. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของมวล: โครงการบนแกน x: O กำหนดว่าคุณต้องเคลื่อนย้ายบุคคลที่มีมวล m1 ไปไกลแค่ไหน เพื่อให้เรืออยู่กับที่: เรือจะเคลื่อนที่เป็นระยะทาง l ไปในทิศทางตรงกันข้าม

20 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 7 แรงกระตุ้นคือการวัดปฏิกิริยาทางกลที่บ่งบอกถึงลักษณะการส่งสัญญาณ การเคลื่อนไหวทางกลจากแรงที่กระทำต่อจุดในช่วงเวลาที่กำหนด: 18 ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: ในกรณีของแรงคงที่: ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: โมเมนตัมของผลลัพธ์เท่ากับผลรวมเรขาคณิตของ แรงกระตุ้นของแรงที่ใช้กับจุดในช่วงเวลาเดียวกัน: dt: มารวมกันในช่วงเวลาที่กำหนด: โมเมนตัมของจุดเป็นหน่วยวัดการเคลื่อนที่เชิงกล ซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของมวลจุดและ เวกเตอร์ความเร็วของมัน: ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบ - พิจารณาระบบของจุดวัสดุ n จุด เราแบ่งแรงที่ใช้กับแต่ละจุดออกเป็นแรงภายนอกและภายใน และแทนที่ด้วยผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน Fke และ Fki เราเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกสำหรับแต่ละจุด: หรือ ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบจุดวัสดุ - ผลรวมเรขาคณิตปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ: ตามคำจำกัดความของจุดศูนย์กลางมวล: เวกเตอร์ของโมเมนตัมของระบบมีค่าเท่ากับผลคูณของมวลของระบบทั้งหมดโดยเวกเตอร์ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ จากนั้น: ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: อนุพันธ์เวลาของเวกเตอร์โมเมนตัมของระบบเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบ เรามารวมสมการเหล่านี้กับทุกจุดกัน: ทางด้านซ้ายของสมการ เราแนะนำมวลภายใต้เครื่องหมายของอนุพันธ์ และแทนที่ผลรวมของอนุพันธ์ด้วยอนุพันธ์ของผลรวม: จากคำจำกัดความของโมเมนตัมของระบบ: ในการฉายภาพบนแกนพิกัด:

21 สไลด์

ทฤษฎีบทออยเลอร์ - การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบต่อการเคลื่อนที่ของตัวกลางต่อเนื่อง (น้ำ) 1. เราเลือกปริมาณน้ำที่อยู่ในช่องโค้งของกังหันเป็นเป้าหมายของการเคลื่อนที่: 2. เราละทิ้งการเชื่อมต่อและแทนที่การกระทำของพวกเขาด้วยปฏิกิริยา (Rpov - ผลลัพธ์ของแรงพื้นผิว) 3. เพิ่มแรงที่ใช้งานอยู่ (Rb - ผลลัพธ์ของแรงของร่างกาย): 4. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบ: ปริมาณการเคลื่อนที่ของน้ำในแต่ละครั้ง t0 และ t1 จะแสดงเป็นผลรวม: การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของน้ำในช่วงเวลา : การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของน้ำในช่วงเวลาจำกัด dt: โดยที่ F1 F2 รับผลคูณของความหนาแน่น พื้นที่หน้าตัด และความเร็วต่อมวลวินาที เราได้รับ: การแทนที่ส่วนต่างของโมเมนตัมของระบบเป็นทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลง เราได้รับ: ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบ (กฎการอนุรักษ์): 1. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ Re = 0 แล้ว การเคลื่อนที่ของเวกเตอร์ปริมาณคงที่ Q = const คือกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบ) 2. หากในช่วงเวลา การฉายภาพของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบบนแกน x เท่ากับศูนย์ Rxe = 0 ดังนั้นการฉายภาพโมเมนตัมของระบบบนแกน x จะคงที่ Qx = คอนเทมโพรารี ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z บรรยายที่ 7 (ต่อ 7.2) ตัวอย่าง: ระเบิดมือมวล M บินด้วยความเร็ว v ระเบิดออกเป็นสองส่วน ความเร็วของเศษชิ้นส่วนมวล m1 เพิ่มขึ้นในทิศทางของการเคลื่อนที่เป็นค่า v1 กำหนดความเร็วของส่วนที่สอง 1. วัตถุของการเคลื่อนไหว (ระเบิดมือ): 2. วัตถุเป็นระบบอิสระไม่มีการเชื่อมต่อและปฏิกิริยาของพวกมัน 3. เพิ่มพลังปฏิบัติการ: 4. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม: โครงการบนแกน: β แบ่งตัวแปรและรวมเข้าด้วยกัน: อินทิกรัลด้านขวาเกือบเป็นศูนย์เพราะ เวลาระเบิด t

22 สไลด์

การบรรยายที่ 7 (ตอนต่อ 7.3) 20 โมเมนตัมเชิงมุมของจุดหรือโมเมนต์การเคลื่อนที่เชิงจลนที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดจุดหนึ่งเป็นการวัดการเคลื่อนที่เชิงกล ซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์เท่ากับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีของจุดวัสดุและ เวกเตอร์ของโมเมนตัม: โมเมนต์จลนศาสตร์ของระบบจุดวัสดุที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดจุดหนึ่งเป็นผลรวมของโมเมนต์ของจำนวนการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุทั้งหมดที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางเดียวกันทางเรขาคณิต: ในการฉายภาพบนแกน: ในการคาดการณ์บน แกน: ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาของโมเมนตัมของระบบ - พิจารณาระบบของ n จุดวัสดุ เราแบ่งแรงที่ใช้กับแต่ละจุดออกเป็นแรงภายนอกและภายใน และแทนที่ด้วยผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน Fke และ Fki มาเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกในแต่ละจุดกัน หรือ ลองรวมสมการเหล่านี้กับทุกจุดกัน ลองแทนที่ผลรวมของอนุพันธ์ด้วยอนุพันธ์ของผลรวม: นิพจน์ในวงเล็บคือโมเมนต์โมเมนตัมของระบบ จากที่นี่: เราคูณเวกเตอร์แต่ละความเท่าเทียมกันด้วยเวกเตอร์รัศมีทางด้านซ้าย: ลองดูว่าเป็นไปได้ไหมที่จะหาเครื่องหมายอนุพันธ์นอกผลคูณเวกเตอร์: ดังนั้นเราจึงได้: ศูนย์กลาง ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: อนุพันธ์ของโมเมนตัมของระบบที่สัมพันธ์กับบางแกนของเวลา เท่ากับโมเมนต์หลักของแรงภายนอกของระบบที่สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน

23 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 8 21 ■ ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ (กฎการอนุรักษ์): 1. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์ของโมเมนต์หลักของแรงภายนอกของระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดจุดหนึ่งจะเท่ากัน เป็นศูนย์ MOe = 0 จากนั้นเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางเดียวกันจะคงที่ KO = const คือกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบ) 2. หากในช่วงเวลาหลักของแรงภายนอกของระบบที่สัมพันธ์กับแกน x เท่ากับศูนย์ Mxe = 0 ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่สัมพันธ์กับแกน x จะคงที่ Kx = const ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z 2. โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกน: โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุรอบแกนเท่ากับผลคูณของมวลของจุดและกำลังสองของระยะห่างของจุดถึงแกน โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์มวลของแต่ละจุดและกำลังสองของระยะห่างของจุดนี้จากแกน ■ องค์ประกอบของทฤษฎีโมเมนต์ความเฉื่อย - ด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง การวัดความเฉื่อย (ความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่) คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนของการหมุน พิจารณาแนวคิดพื้นฐานของคำจำกัดความและวิธีการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย 1. โมเมนต์ความเฉื่อยของวัสดุที่ชี้ไปที่แกน: ในการเปลี่ยนจากมวลขนาดเล็กที่ไม่ต่อเนื่องไปเป็นมวลจุดเล็กๆ อย่างอนันต์ ขีดจำกัดของผลรวมดังกล่าวจะถูกกำหนดโดยปริพันธ์: โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง . นอกจากโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนของวัตถุแข็งเกร็งแล้ว ยังมีโมเมนต์ความเฉื่อยประเภทอื่นๆ ได้แก่ โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่แข็งกระด้าง โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็ง 3. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งเกี่ยวกับแกนคู่ขนาน - สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นแกนคู่ขนาน: โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนอ้างอิง โมเมนต์ความเฉื่อยคงที่เกี่ยวกับแกนอ้างอิง มวลกาย ระยะห่างระหว่างแกน z1 และ z2 ดังนั้น : โมเมนต์เป็นศูนย์:

24 สไลด์

บรรยายที่ 8 (ต่อ 8.2) 22 โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนสม่ำเสมอของส่วนคงที่รอบแกน: x z L เลือกปริมาตรเบื้องต้น dV = Adx ที่ระยะทาง x: x dx มวลเบื้องต้น: เพื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกลาง (ผ่านจุดศูนย์ถ่วง) ก็เพียงพอที่จะเปลี่ยนตำแหน่งของแกนและตั้งค่าขีดจำกัดการรวม (-L/2, L/2) ที่นี่เราแสดงสูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นแกนคู่ขนาน: zС 5 โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกทึบที่เป็นเนื้อเดียวกันรอบแกนสมมาตร: H dr r ให้เราแยกแยะปริมาตรเบื้องต้น dV = 2πrdrH (ทรงกระบอกเล็กรัศมี r) : มวลเบื้องต้น: ในที่นี้เราใช้สูตรปริมาตรทรงกระบอก V=πR2H ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวง (หนา) ก็เพียงพอที่จะกำหนดขีดจำกัดการรวมจาก R1 ถึง R2 (R2> R1): 6. โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกบางรอบแกนสมมาตร (t

25 สไลด์

การบรรยายที่ 8 (ความต่อเนื่อง 8.3) 23 ■ สมการเชิงอนุพันธ์ของการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกน: ลองเขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่: โมเมนตัมของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนอยู่คือ: โมเมนต์ ของแรงภายนอกรอบแกนหมุนเท่ากับแรงบิด (ปฏิกิริยาและแรงไม่สร้างโมเมนต์แรงโน้มถ่วง): เราแทนที่โมเมนต์จลนศาสตร์และแรงบิดลงในทฤษฎีบท ตัวอย่าง: คนสองคนที่มีน้ำหนักเท่ากัน G1 = G2 แขวนอยู่บนเชือก โยนข้ามบล็อกทึบที่มีน้ำหนัก G3 = G1/4 เมื่อถึงจุดหนึ่ง หนึ่งในนั้นเริ่มปีนเชือกด้วยความเร็วสัมพัทธ์ u กำหนดความเร็วในการยกของแต่ละคน 1. เลือกวัตถุของการเคลื่อนไหว (บล็อกด้วยคน): 2. ยกเลิกการเชื่อมต่อ (อุปกรณ์สนับสนุนของบล็อก): 3. แทนที่การเชื่อมต่อด้วยปฏิกิริยา (แบริ่ง): 4. เพิ่มแรงเคลื่อนตัว (แรงโน้มถ่วง): 5. เขียนลงไป ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนต์จลนศาสตร์ของระบบเทียบกับแกนหมุนของบล็อก: R เนื่องจากโมเมนต์ของแรงภายนอกมีค่าเท่ากับศูนย์ โมเมนต์จลนศาสตร์จะต้องคงที่: ณ โมเมนต์เริ่มต้นของเวลา t = 0 นั่น คือสมดุลและ Kz0 = 0 หลังจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวของบุคคลหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเชือกทั้งระบบเริ่มเคลื่อนไหว แต่โมเมนต์จลน์ของระบบจะต้องเท่ากับศูนย์: Kz = 0 โมเมนตัมเชิงมุมของ ระบบคือผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของทั้งสองคนและบล็อก: ในที่นี้ v2 คือความเร็วของบุคคลที่สอง เท่ากับความเร็วของสายเคเบิล ตัวอย่าง: กำหนดคาบของการแกว่งอิสระเล็กๆ ของแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันของมวล M และ ความยาว l ระงับโดยปลายด้านหนึ่งไปยังแกนหมุนคงที่ หรือ: ในกรณีของการแกว่งเล็กน้อย sinφ φ: คาบการสั่น: โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่ง:

26 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 8 (ความต่อเนื่อง 8.4 - วัสดุเพิ่มเติม) 24 ■ ทฤษฎีเบื้องต้นของไจโรสโคป: ไจโรสโคปเป็นวัตถุที่แข็งทื่อซึ่งหมุนรอบแกนสมมาตรของวัสดุ หนึ่งในจุดคงที่ ไจโรสโคปอิสระได้รับการแก้ไขในลักษณะที่จุดศูนย์กลางมวลยังคงนิ่งและแกนของการหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวลและสามารถอยู่ในตำแหน่งใดก็ได้ในอวกาศเช่น แกนของการหมุนจะเปลี่ยนตำแหน่งเหมือนแกนของการหมุนของร่างกายเองระหว่างการเคลื่อนที่แบบทรงกลม สมมติฐานหลักของทฤษฎีโดยประมาณ (เบื้องต้น) ของไจโรสโคปคือเวกเตอร์โมเมนตัม (โมเมนต์จลนศาสตร์) ของโรเตอร์นั้นถูกพิจารณาว่ามุ่งตรงไปตามแกนการหมุนของตัวมันเอง ดังนั้น แม้ว่าในกรณีทั่วไปโรเตอร์จะมีส่วนร่วมในการหมุนสามครั้ง แต่จะพิจารณาเฉพาะความเร็วเชิงมุมของการหมุนของมันเอง ω = dφ/dt พื้นฐานสำหรับสิ่งนี้ก็คือใน เทคโนโลยีที่ทันสมัยโรเตอร์ไจโรสโคปหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมที่ลำดับ 5,000-8,000 rad/s (ประมาณ 50000-80000 รอบต่อนาที) ในขณะที่ความเร็วเชิงมุมอีกสองความเร็วที่เกี่ยวข้องกับ precession และ nutation ของแกนหมุนของตัวเองนั้นมีนับหมื่นครั้ง น้อยกว่าความเร็วนี้ คุณสมบัติหลักของไจโรสโคปแบบอิสระคือแกนโรเตอร์รักษาทิศทางเดียวกันในอวกาศโดยเทียบกับระบบอ้างอิงเฉื่อย (ดาว) (แสดงโดยลูกตุ้มฟูโกต์ ซึ่งทำให้ระนาบการแกว่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับดวงดาว, 1852) สิ่งนี้เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนต์จลนศาสตร์ที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวลของโรเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าแรงเสียดทานในตลับลูกปืนของแกนกันสะเทือนของโรเตอร์ เฟรมด้านนอกและด้านในถูกละเลย: แรงกระทำบนแกนอิสระ ไจโรสโคป ในกรณีของแรงที่ใช้กับแกนโรเตอร์ โมเมนต์ของแรงภายนอกที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวลจะไม่เท่ากับศูนย์: แรง ω ω С และต่อเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงนี้ กล่าวคือ จะหมุนไม่เกี่ยวกับแกน x (กันกระเทือนภายใน) แต่เกี่ยวกับแกน y (กันกระเทือนภายนอก) เมื่อแรงสิ้นสุดลง แกนโรเตอร์จะยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิม ซึ่งสอดคล้องกับ วินาทีสุดท้ายระยะเวลาของแรงเพราะ จากช่วงเวลานี้ โมเมนต์ของแรงภายนอกจะเท่ากับศูนย์อีกครั้ง ในกรณีของแรงกระทำระยะสั้น (การกระแทก) แกนของไจโรสโคปจะไม่เปลี่ยนตำแหน่งในทางปฏิบัติ ดังนั้นการหมุนอย่างรวดเร็วของโรเตอร์ทำให้ไจโรสโคปสามารถตอบโต้อิทธิพลแบบสุ่มที่มีแนวโน้มที่จะเปลี่ยนตำแหน่งของแกนการหมุนของโรเตอร์และเมื่อ การกระทำถาวรแรงรักษาตำแหน่งของระนาบตั้งฉากกับแรงกระทำซึ่งแกนโรเตอร์ตั้งอยู่ คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ใน ระบบเฉื่อยการนำทาง

บทนำ

กลศาสตร์เชิงทฤษฎีเป็นหนึ่งในสาขาวิชาทางวิทยาศาสตร์ขั้นพื้นฐานที่สำคัญที่สุด มีบทบาทสำคัญในการฝึกอบรมวิศวกรของความเชี่ยวชาญพิเศษทั้งหมด สาขาวิชาวิศวกรรมทั่วไปขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ได้แก่ ความแข็งแรงของวัสดุ ชิ้นส่วนเครื่องจักร ทฤษฎีกลไกและเครื่องจักร และอื่นๆ

งานหลักของกลศาสตร์ทฤษฎีคือการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การกระทำของแรง ปัญหาเฉพาะที่สำคัญคือการศึกษาความสมดุลของร่างกายภายใต้การกระทำของกองกำลัง

หลักสูตรการบรรยาย กลศาสตร์เชิงทฤษฎี

โครงสร้างของกลศาสตร์เชิงทฤษฎี พื้นฐานของสถิตยศาสตร์

เงื่อนไขสมดุลของระบบแรงตามอำเภอใจ

สมการสมดุลร่างกายแข็ง

ระบบแรงแบน

กรณีพิเศษของความสมดุลของร่างกายที่แข็งกระด้าง

ปัญหาความสมดุลของคาน

การหาแรงภายในในโครงสร้างแท่ง

พื้นฐานของจลนศาสตร์จุด

พิกัดธรรมชาติ

สูตรออยเลอร์

การกระจายความเร่งของจุดของร่างกายที่แข็งกระด้าง

การเคลื่อนไหวแปลและการหมุน

ระนาบ-การเคลื่อนที่แบบขนาน

การเคลื่อนไหวของจุดที่ซับซ้อน

พื้นฐานของพลวัตของจุด

สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุด

ประเภทของสนามพลังพิเศษ

พื้นฐานของพลวัตของระบบคะแนน

ทฤษฎีบททั่วไปของพลวัตของระบบคะแนน

พลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย

Dobronravov V.V. , Nikitin N.N. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ม. ม.ปลาย, 2526.

Butenin N.V. , Lunts Ya.L. , Merkin D.R. หลักสูตรกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ตอนที่ 1 และ 2 ม. มัธยมศึกษาตอนปลาย พ.ศ. 2514

Petkevich V.V. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี ม. เนาคา, 1981.

การรวบรวมงานที่มอบหมายสำหรับเอกสารภาคเรียนเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี เอ็ด เอ.เอ. ยาบลอนสกี้ ม.อุดมศึกษา 2528.

บรรยาย 1โครงสร้างของกลศาสตร์เชิงทฤษฎี พื้นฐานของสถิตยศาสตร์

ในกลศาสตร์ตามทฤษฎี จะศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่นๆ ซึ่งเป็นระบบอ้างอิงทางกายภาพ

กลศาสตร์ไม่เพียงแต่จะอธิบายได้เท่านั้น แต่ยังช่วยทำนายการเคลื่อนไหวของร่างกาย สร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุในปรากฏการณ์ที่หลากหลายและหลากหลาย

โมเดลนามธรรมพื้นฐานของวัตถุจริง:

จุดวัสดุ - มีมวล แต่ไม่มีมิติ

อย่างแน่นอน แข็ง - ปริมาตรของมิติที่ จำกัด ซึ่งเต็มไปด้วยสสารและระยะห่างระหว่างจุดสองจุดของตัวกลางที่เติมปริมาตรจะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนไหว

สื่อเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่อง - เติมปริมาณ จำกัด หรือพื้นที่ไม่ จำกัด ; ระยะห่างระหว่างจุดของตัวกลางดังกล่าวอาจแตกต่างกันไป

ระบบเหล่านี้:

ระบบคะแนนวัสดุฟรี

ระบบที่มีการเชื่อมต่อ

ร่างกายที่แข็งแรงสมบูรณ์พร้อมโพรงที่เต็มไปด้วยของเหลว ฯลฯ

"เสื่อมโทรม"รุ่น:

แท่งบางอนันต์

แผ่นบางอนันต์;

แท่งและเกลียวที่ไม่มีน้ำหนักเชื่อมต่อจุดวัสดุ ฯลฯ

จากประสบการณ์: ปรากฏการณ์ทางกลดำเนินไปในทางที่ต่างกันใน ที่ต่างๆระบบอ้างอิงทางกายภาพ คุณสมบัตินี้เป็นความไม่เท่าเทียมกันของพื้นที่ซึ่งกำหนดโดยระบบอ้างอิงทางกายภาพ ความแตกต่างที่นี่เป็นที่เข้าใจกันว่าการพึ่งพาธรรมชาติของการเกิดขึ้นของปรากฏการณ์ในสถานที่ที่เราสังเกตปรากฏการณ์นี้

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งคือ แอนไอโซโทรปี (ไม่ใช่ไอโซโทรปี) การเคลื่อนไหวของวัตถุที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงทางกายภาพอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับทิศทาง ตัวอย่าง: แม่น้ำตามเส้นเมอริเดียน (จากเหนือจรดใต้ - แม่น้ำโวลก้า); วิถีกระสุนปืน ลูกตุ้มฟูโกต์

คุณสมบัติของระบบอ้างอิง (heterogeneity และ anisotropy) ทำให้สังเกตการเคลื่อนไหวของร่างกายได้ยาก

ในทางปฏิบัติเป็นอิสระจากสิ่งนี้ geocentricระบบ: ศูนย์กลางของระบบอยู่ที่ศูนย์กลางของโลกและระบบไม่หมุนสัมพันธ์กับดาวฤกษ์ที่ "คงที่") ระบบ geocentric นั้นสะดวกสำหรับการคำนวณการเคลื่อนไหวบนโลก

สำหรับ กลศาสตร์ท้องฟ้า(สำหรับตัวระบบสุริยะ): กรอบอ้างอิงเฮลิโอเซนทรัลที่เคลื่อนที่ด้วยจุดศูนย์กลางมวล ระบบสุริยะและไม่หมุนสัมพันธ์กับดาว "คงที่" สำหรับระบบนี้ ยังไม่เจอความหลากหลายและแอนไอโซโทรปีของอวกาศ

เกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์

จึงขอนำเสนอบทคัดย่อ เฉื่อยกรอบอ้างอิงซึ่งช่องว่างเป็นเนื้อเดียวกันและ isotropic เกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์

กรอบอ้างอิงเฉื่อย- ผู้ที่ไม่สามารถตรวจจับการเคลื่อนไหวของตัวเองได้จากประสบการณ์ทางกล การทดลองทางความคิด: "จุดที่อยู่คนเดียวในโลกทั้งใบ" (โดดเดี่ยว) อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ

กรอบอ้างอิงทั้งหมดที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับเส้นตรงเดิมจะเป็นเส้นตรงเฉื่อยสม่ำเสมอ สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเพียงระบบเดียว พื้นที่ดังกล่าวเรียกว่า ยุคลิด.

ข้อตกลงแบบมีเงื่อนไข - ใช้ระบบพิกัดที่ถูกต้อง (รูปที่ 1)

ที่ เวลา– ในกลศาสตร์คลาสสิก (ไม่สัมพันธ์กัน) อย่างแน่นอนซึ่งเหมือนกันสำหรับระบบอ้างอิงทั้งหมด กล่าวคือ ช่วงเวลาเริ่มต้นเป็นสิ่งที่ไม่แน่นอน ตรงกันข้ามกับกลศาสตร์สัมพัทธภาพซึ่งใช้หลักการสัมพัทธภาพ

สถานะของการเคลื่อนที่ของระบบ ณ เวลา t ถูกกำหนดโดยพิกัดและความเร็วของจุดในขณะนั้น

วัตถุจริงโต้ตอบกัน และกองกำลังเกิดขึ้นซึ่งเปลี่ยนสถานะการเคลื่อนที่ของระบบ นี่คือแก่นแท้ของกลศาสตร์เชิงทฤษฎี

กลศาสตร์เชิงทฤษฎีมีการศึกษาอย่างไร?

หลักคำสอนเรื่องความสมดุลของชุดเนื้อหาในกรอบอ้างอิง - ส่วน วิชาว่าด้วยวัตถุ.

บท จลนศาสตร์: ส่วนหนึ่งของกลศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่บ่งบอกถึงสถานะการเคลื่อนที่ของระบบ แต่ไม่พิจารณาถึงสาเหตุที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในสถานะของการเคลื่อนที่

หลังจากนั้นให้พิจารณาอิทธิพลของกำลัง [ส่วนหลัก]

บท พลวัต: ส่วนหนึ่งของกลศาสตร์ซึ่งพิจารณาอิทธิพลของแรงที่มีต่อสถานะการเคลื่อนที่ของระบบวัตถุที่เป็นวัตถุ

หลักการสร้างหลักสูตรหลัก - พลวัต:

1) ขึ้นอยู่กับระบบสัจพจน์ (ตามประสบการณ์การสังเกต);

อย่างต่อเนื่อง - การควบคุมการปฏิบัติที่โหดเหี้ยม เครื่องหมายของวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน - การปรากฏตัวของตรรกะภายใน (ไม่มี - ชุดของสูตรที่ไม่เกี่ยวข้อง)!

คงที่ส่วนนั้นของกลศาสตร์เรียกว่าซึ่งเงื่อนไขที่จะต้องได้รับการตอบสนองโดยแรงที่กระทำต่อระบบของจุดวัสดุจะถูกศึกษาเพื่อให้ระบบอยู่ในสมดุลและเงื่อนไขสำหรับความเท่าเทียมกันของระบบแรง

ปัญหาสมดุลในสถิตยศาสตร์เบื้องต้นจะได้รับการพิจารณาโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตโดยเฉพาะตามคุณสมบัติของเวกเตอร์ วิธีนี้ใช้ใน สถิตยศาสตร์ทางเรขาคณิต(ตรงข้ามกับสถิตยศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ซึ่งไม่พิจารณาในที่นี้)

ตำแหน่งของวัตถุต่างๆ จะถูกส่งไปยังระบบพิกัด ซึ่งเราจะถือว่าคงที่

โมเดลในอุดมคติของตัววัสดุ:

1) จุดวัสดุ - จุดเรขาคณิตที่มีมวล

2) ร่างกายที่แข็งกระด้างอย่างยิ่ง - ชุดของจุดวัสดุระยะห่างระหว่างซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วยการกระทำใด ๆ

โดยกองกำลังเราจะเรียก เหตุผลวัตถุประสงค์ซึ่งเป็นผลมาจากการทำงานร่วมกันของวัตถุที่สามารถทำให้เกิดการเคลื่อนไหวของร่างกายจากสภาวะพักหรือเปลี่ยนการเคลื่อนไหวที่มีอยู่ของหลัง

เนื่องจากแรงถูกกำหนดโดยการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้น มันจึงมีลักษณะสัมพันธ์กัน ขึ้นอยู่กับการเลือกกรอบอ้างอิง

การพิจารณาปัญหาธรรมชาติของกองกำลัง ในวิชาฟิสิกส์.

ระบบของจุดวัตถุจะอยู่ในภาวะสมดุล หากเมื่ออยู่นิ่ง จะไม่มีการเคลื่อนไหวใดๆ จากแรงที่กระทำต่อมัน

จากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน: แรงเป็นเวกเตอร์ในธรรมชาติ นั่นคือ ขนาด ทิศทาง แนวการกระทำ จุดใช้งาน สภาวะสมดุลของแรงที่กระทำต่อวัตถุแข็งกระด้างจะลดลงตามคุณสมบัติของระบบเวกเตอร์

กาลิเลโอและนิวตันสรุปประสบการณ์จากการศึกษากฎทางกายภาพของธรรมชาติ ได้กำหนดกฎพื้นฐานของกลศาสตร์ซึ่งถือได้ว่าเป็นสัจพจน์ของกลศาสตร์เนื่องจากมี ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงการทดลอง

สัจพจน์ 1การกระทำของหลายกองกำลังบนจุดของร่างกายที่แข็งกระด้างนั้นเทียบเท่ากับการกระทำของหนึ่ง แรงลัพธ์,สร้างขึ้นตามกฎของการเพิ่มเวกเตอร์ (รูปที่ 2)

ผลที่ตามมาแรงที่กระทำต่อจุดของวัตถุแข็งเกร็งจะถูกเพิ่มตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สัจพจน์ 2สองกองกำลังนำไปใช้กับร่างกายที่แข็งกระด้าง สมดุลกันก็ต่อเมื่อพวกมันมีขนาดเท่ากัน มุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามและอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

สัจพจน์ที่ 3การกระทำของระบบแรงบนวัตถุที่แข็งกระด้างจะไม่เปลี่ยนแปลงหาก เพิ่มไปยังระบบนี้หรือออกจากระบบนี้แรงสองแรงที่มีขนาดเท่ากัน พุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามและนอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ผลที่ตามมาแรงที่กระทำต่อจุดของวัตถุแข็งเกร็งสามารถถ่ายโอนไปตามแนวการกระทำของแรงโดยไม่ต้องเปลี่ยนความสมดุล (กล่าวคือ แรงเป็นเวกเตอร์เลื่อน รูปที่ 3)

1) Active - สร้างหรือสร้างการเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็งกระด้างได้ เช่น แรงของน้ำหนัก

2) Passive - ไม่สร้างการเคลื่อนไหว แต่ จำกัด การเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็งกระด้างป้องกันการเคลื่อนไหว ตัวอย่างเช่น แรงดึงของเกลียวที่ขยายไม่ได้ (รูปที่ 4)

สัจพจน์ที่ 4การกระทำของวัตถุหนึ่งในส่วนที่สองมีค่าเท่ากันและตรงข้ามกับการกระทำของวัตถุที่สองในตัวแรก ( การกระทำเท่ากับปฏิกิริยา).

เงื่อนไขทางเรขาคณิตที่จำกัดการเคลื่อนที่ของจุดจะเรียกว่า การเชื่อมต่อ

เงื่อนไขการสื่อสาร: ตัวอย่างเช่น

- ก้านยาวทางอ้อม l.

- เกลียวยาวยืดไม่ได้ l.

แรงที่เกิดจากพันธะและป้องกันการเคลื่อนไหวเรียกว่า แรงปฏิกิริยา

สัจพจน์ 5.พันธะที่กำหนดในระบบของจุดวัสดุสามารถแทนที่ด้วยแรงปฏิกิริยาซึ่งการกระทำนั้นเทียบเท่ากับการกระทำของพันธะ

เมื่อพลังแฝงไม่สามารถปรับสมดุลการกระทำของกองกำลังปฏิบัติการได้ การเคลื่อนไหวก็เริ่มขึ้น

สองปัญหาเฉพาะของสถิตยศาสตร์

1. ระบบการบรรจบกันที่กระทำต่อร่างกายที่แข็งกระด้าง

ระบบการบรรจบกันของกองกำลังระบบกำลังดังกล่าวเรียกว่าแนวการกระทำที่ตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งสามารถใช้เป็นแหล่งกำเนิดได้เสมอ (รูปที่ 5)

ประมาณการของผลลัพธ์:

;

ถ้า แรงทำให้เกิดการเคลื่อนที่ของวัตถุที่แข็งกระด้าง

สภาวะสมดุลของระบบแรงบรรจบกัน:

2. ความสมดุลของสามกองกำลัง

ถ้าแรงสามแรงกระทำบนวัตถุแข็งเกร็ง และแนวกระทำของแรงสองแรงตัดกันที่จุด A จุดใดจุดหนึ่ง ดุลยภาพก็เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อแนวการกระทำของแรงที่สามยังผ่านจุด A ด้วย และแรงเองก็เท่ากัน ในขนาดและทิศทางตรงข้ามกับผลรวม (รูปที่ 6)

ตัวอย่าง:

โมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุด Oกำหนดเป็นเวกเตอร์ , ในขนาดเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ฐานซึ่งเป็นเวกเตอร์แรงที่มีจุดยอดที่จุดที่กำหนด O; ทิศทาง- ตั้งฉากกับระนาบของสามเหลี่ยมที่พิจารณาในทิศทางจากตำแหน่งที่มองเห็นการหมุนที่เกิดจากแรงรอบจุด O ทวนเข็มนาฬิกาคือโมเมนต์ของเวกเตอร์เลื่อน และ is เวกเตอร์ฟรี(รูปที่ 9)

ดังนั้น: หรือ

ที่ไหน ;;.

โดยที่ F คือโมดูลัสของแรง h คือไหล่ (ระยะทางจากจุดไปยังทิศทางของแรง)

โมเมนต์แรงรอบแกนเรียกว่าค่าพีชคณิตของการฉายภาพบนแกนเวกเตอร์ของโมเมนต์แรงเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง O ที่ถ่ายบนแกน (รูปที่ 10).

นี่คือสเกลาร์ที่ไม่ขึ้นกับการเลือกจุด แน่นอนเราขยาย :|| และในเครื่องบิน

เกี่ยวกับช่วงเวลา: ให้ О 1 เป็นจุดตัดกับระนาบ แล้ว:

ก) จาก - ช่วงเวลา => ฉาย = 0.

b) จาก - ช่วงเวลาตาม => เป็นการฉายภาพ

ดังนั้น,โมเมนต์เกี่ยวกับแกนคือโมเมนต์ขององค์ประกอบแรงในระนาบตั้งฉากกับแกนเกี่ยวกับจุดตัดของระนาบและแกน

ทฤษฎีบทของ Varignon สำหรับระบบการบรรจบกัน:

โมเมนต์ของแรงลัพธ์ สำหรับระบบการบรรจบกันของกองกำลังสัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่ง A เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของส่วนประกอบทั้งหมดของแรงที่สัมพันธ์กับจุด A เดียวกัน (รูปที่ 11)

การพิสูจน์ในทฤษฎีเวกเตอร์คอนเวอร์เจนซ์

คำอธิบาย:การเพิ่มแรงตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน => แรงที่ได้จะให้โมเมนต์ทั้งหมด

คำถามทดสอบ:

1. ตั้งชื่อแบบจำลองหลักของวัตถุจริงในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี

2. กำหนดสัจพจน์ของสถิตยศาสตร์

3. โมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับจุดหนึ่งเรียกว่าอะไร?

บรรยาย 2สภาวะสมดุลของระบบแรงตามอำเภอใจ

จากสัจพจน์พื้นฐานของสถิตย์ ปฏิบัติการเบื้องต้นเกี่ยวกับแรงดังต่อไปนี้:

1) แรงสามารถถ่ายโอนไปตามแนวการกระทำ

2) แรงที่เส้นการกระทำตัดกันสามารถเพิ่มได้ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ตามกฎของการบวกเวกเตอร์)

3) ในระบบของแรงที่กระทำต่อวัตถุที่แข็งกระด้าง เราสามารถเพิ่มแรงสองแรงได้เสมอซึ่งมีขนาดเท่ากัน นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม

การดำเนินการเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนสถานะทางกลของระบบ

ขอชื่อสองระบบของกองกำลัง เทียบเท่าหากสามารถหาได้จากที่อื่นโดยใช้การดำเนินการเบื้องต้น (เช่นในทฤษฎีการเลื่อนเวกเตอร์)

เรียกว่าระบบแรงคู่ขนานกันซึ่งมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้ามเรียกว่า กองกำลังคู่(รูปที่ 12).

โมเมนต์ของแรงคู่- เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ของคู่และชี้ไปทางมุมฉากกับระนาบของทั้งคู่ในทิศทางที่การหมุนที่รายงานโดยเวกเตอร์ของทั้งคู่สามารถเห็นได้ ทวนเข็มนาฬิกา

นั่นคือ โมเมนต์ของแรงรอบจุด B

กองกำลังคู่หนึ่งมีลักษณะเฉพาะอย่างเต็มที่ตามช่วงเวลา

แรงคู่หนึ่งสามารถถ่ายโอนได้โดยการปฏิบัติการเบื้องต้นไปยังระนาบใดๆ ที่ขนานกับระนาบของทั้งคู่ เปลี่ยนขนาดของแรงของทั้งคู่ตามสัดส่วนผกผันกับไหล่ของทั้งคู่

สามารถเพิ่มคู่ของแรงได้ ในขณะที่โมเมนต์ของแรงคู่จะถูกเพิ่มตามกฎของการบวกเวกเตอร์ (ฟรี)

นำระบบแรงที่กระทำต่อวัตถุแข็งกระด้างไปยังจุดที่ต้องการ (ศูนย์ลด)- หมายถึงการแทนที่ระบบปัจจุบันด้วยระบบที่ง่ายกว่า: ระบบสามกำลังซึ่งหนึ่งในนั้นผ่านล่วงหน้า คะแนนที่กำหนดและอีกสองคนเป็นตัวแทนของคู่

ได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการเบื้องต้น (รูปที่ 13)

ระบบกำลังบรรจบกันและระบบแรงคู่

- แรงที่เกิด

คู่ผลลัพธ์

ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องแสดง

สองระบบของกองกำลังจะ มีค่าเท่ากันถ้าหากทั้งสองระบบถูกลดขนาดลงเป็นหนึ่งแรงลัพท์และหนึ่งคู่ผลลัพธ์ นั่นคือภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

กรณีทั่วไปของความสมดุลของระบบแรงที่กระทำต่อวัตถุแข็งเกร็ง

เรานำระบบกำลังมาสู่ (รูปที่ 14):

แรงส่งผ่านจุดกำเนิด

คู่ผลลัพธ์ยิ่งไปกว่านั้นผ่านจุด O

นั่นคือพวกเขานำไปสู่และ - สองกองกำลังซึ่งหนึ่งในนั้นผ่านจุดที่กำหนด O

ดุลยภาพ ถ้าอีกเส้นตรงหนึ่งเส้นเท่ากัน มุ่งตรงไปตรงข้าม (สัจพจน์ 2)

แล้วผ่านจุด O นั่นคือ

ดังนั้น, ข้อกำหนดและเงื่อนไขทั่วไปความสมดุลของร่างกายที่แข็งกระด้าง:

เงื่อนไขเหล่านี้ใช้ได้สำหรับจุดใดก็ได้ในอวกาศ

คำถามทดสอบ:

1. รายการปฏิบัติการเบื้องต้นเกี่ยวกับกองกำลัง

2. ระบบใดที่เรียกว่าแรงเท่ากัน?

3. เขียนเงื่อนไขทั่วไปสำหรับความสมดุลของร่างกายที่แข็งกระด้าง

บรรยาย 3สมการสมดุลร่างกายแข็ง

ให้ O เป็นที่มาของพิกัด คือแรงผลลัพธ์ คือโมเมนต์ของคู่ผลลัพธ์ ให้จุด O1 เป็นศูนย์ลดใหม่ (รูปที่ 15)

ระบบแรงใหม่:

เมื่อเปลี่ยนจุดร่าย => เปลี่ยนเท่านั้น (ในทิศทางเดียวด้วยเครื่องหมายเดียว ในอีกทางหนึ่ง) นั่นคือประเด็น: ตรงกับเส้น

วิเคราะห์: (colinearity ของเวกเตอร์)

; พิกัดจุด O1

นี่คือสมการของเส้นตรงสำหรับทุกจุดที่ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์ตรงกับทิศทางของโมเมนต์ของคู่ผลลัพธ์ - เรียกว่าเส้นตรง ไดนาโม

หากอยู่บนแกนของไดนามา => ระบบจะเทียบเท่ากับแรงลัพท์เดียวซึ่งเรียกว่า แรงลัพธ์ของระบบในกรณีนี้เสมอนั่นคือ

สี่กรณีของการนำกำลัง:

1.) ;- ไดนาโม

2.) ; - ผลลัพธ์

3.) ;-คู่.

4.) ;- ความสมดุล

สมการสมดุลเวกเตอร์สองสมการ: เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักมีค่าเท่ากับศูนย์,

หรือหกสมการสเกลาร์ในการฉายภาพบนแกนพิกัดคาร์ทีเซียน:

ที่นี่:

ความซับซ้อนของประเภทของสมการขึ้นอยู่กับการเลือกจุดลด => ศาสตร์ของเครื่องคิดเลข

การหาสภาวะสมดุลของระบบวัตถุแข็งเกร็งในการโต้ตอบ<=>ปัญหาความสมดุลของร่างกายแต่ละส่วนแยกจากกันและร่างกายได้รับผลกระทบจากแรงภายนอกและแรงภายใน (ปฏิสัมพันธ์ของร่างกายที่จุดสัมผัสด้วยแรงที่เท่ากันและตรงกันข้าม - สัจพจน์ IV, รูปที่ 17)

เราคัดสรรมาเพื่อทุกระบบ หนึ่งศูนย์อ้างอิงจากนั้นสำหรับแต่ละร่างกายที่มีหมายเลขเงื่อนไขสมดุล:

, , (= 1, 2, …, k)

โดยที่ , - แรงผลลัพธ์และโมเมนต์ของคู่ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมด ยกเว้นปฏิกิริยาภายใน

แรงที่เกิดขึ้นและโมเมนต์ของแรงคู่ที่เกิดจากปฏิกิริยาภายใน

สรุปอย่างเป็นทางการและคำนึงถึงสัจพจน์ IV

เราได้รับ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความสมดุลของร่างกายแข็ง:

ตัวอย่าง.

สมดุล: = ?

คำถามทดสอบ:

1. ระบุทุกกรณีในการนำระบบกำลังมาสู่จุดเดียว

2. ไดนาโมคืออะไร?

3. กำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความสมดุลของระบบวัตถุแข็งเกร็ง

บรรยาย 4ระบบแรงราบ

กรณีพิเศษของการส่งมอบงานทั่วไป

ปล่อยให้แรงกระทำทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน - ตัวอย่างเช่นแผ่น ให้เราเลือกจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของการลดทอน - ในระนาบเดียวกัน เราได้แรงผลลัพธ์และคู่ผลลัพธ์ในระนาบเดียวกัน นั่นคือ (รูปที่ 19)