"lösning av rationella bråkekvationer". Rationella ekvationer

Den minsta gemensamma nämnaren används för att förenkla given ekvation. Denna metod används när du inte kan skriva den givna ekvationen med ett rationellt uttryck på varje sida av ekvationen (och använda korsmultiplikationsmetoden). Denna metod används när du får en rationell ekvation med 3 eller fler bråk (vid två bråk är korsmultiplikation bättre).

Hitta den minsta gemensamma nämnaren för bråk (eller minsta gemensamma multipel). NOZ är minsta antal, som är jämnt delbart med varje nämnare.

• Ibland är NOZ ett självklart nummer. Till exempel, om ekvationen ges: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, så är det uppenbart att den minsta gemensamma multipeln av talen 3, 2 och 6 kommer att vara 6.
• Om NOD inte är uppenbart, skriv ner multiplerna av den största nämnaren och hitta bland dem en som också är en multipel av de andra nämnarna. Du kan ofta hitta NOD genom att helt enkelt multiplicera två nämnare tillsammans. Till exempel, om ekvationen x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ges, då är NOZ = 8*9 = 72.
• Om en eller flera nämnare innehåller en variabel är processen något mer komplicerad (men inte omöjlig). I detta fall är NOZ ett uttryck (som innehåller en variabel) som är delbart med varje nämnare. Till exempel, i ekvationen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), eftersom detta uttryck är delbart med varje nämnare: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multiplicera både täljaren och nämnaren för varje bråkdel med ett tal lika med resultatet av att dividera NOZ med motsvarande nämnare för varje bråkdel. Eftersom du multiplicerar både täljaren och nämnaren med samma tal, multiplicerar du ett bråktal med 1 (till exempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

• Så i vårt exempel, multiplicera x/3 med 2/2 för att få 2x/6, och multiplicera 1/2 med 3/3 för att få 3/6 (3x + 1/6 behöver inte multipliceras eftersom nämnaren är 6).
• Fortsätt på samma sätt när variabeln finns i nämnaren. I vårt andra exempel NOZ = 3x(x-1), så 5/(x-1) gånger (3x)/(3x) är 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x gånger 3(x-1)/3(x-1) för att få 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplicera med (x-1)/(x-1) och du får 2(x-1)/3x(x-1).

Hitta x. Nu när du har reducerat bråken till en gemensam nämnare kan du bli av med nämnaren. För att göra detta, multiplicera varje sida av ekvationen med en gemensam nämnare. Lös sedan den resulterande ekvationen, det vill säga hitta "x". För att göra detta, isolera variabeln på ena sidan av ekvationen.

• I vårt exempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan lägga till 2 bråk med samma nämnare, så skriv ekvationen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multiplicera båda sidor av ekvationen med 6 och bli av med nämnare: 2x+3 = 3x +1. Lös och få x = 2.
• I vårt andra exempel (med en variabel i nämnaren) ser ekvationen ut (efter reduktion till en gemensam nämnare): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med NOZ blir du av med nämnaren och får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Lös och få: x = -5/14.

Enkelt uttryckt är dessa ekvationer där det finns minst en med en variabel i nämnaren.

Till exempel:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exempel inte fraktionerad rationella ekvationer:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Hur löses rationella bråkekvationer?

Det viktigaste att komma ihåg om rationella bråkekvationer är att du måste skriva i dem. Och efter att ha hittat rötterna, se till att kontrollera dem för tillåtlighet. Annars kan främmande rötter dyka upp, och hela lösningen kommer att anses vara felaktig.

Algoritm för att lösa en rationell bråkekvation:

Skriv ut och "lös" ODZ.

Multiplicera varje term i ekvationen med en gemensam nämnare och reducera de resulterande bråken. Nämnarna kommer att försvinna.

Skriv ekvationen utan öppna parenteser.

Lös den resulterande ekvationen.

Kontrollera de hittade rötterna med ODZ.

Skriv ner som svar rötterna som klarade testet i steg 7.

memorera inte algoritmen, 3-5 lösta ekvationer - så kommer den att komma ihåg av sig själv.

Exempel . Lös rationell bråkekvation \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Lösning:

Svar: \(3\).

Exempel . Hitta rötterna till den rationella bråkekvationen \(=0\)

Lösning:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Vi skriver ner och "löser" ODZ. Expandera \(x^2+7x+10\) till formeln: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Lyckligtvis har vi redan hittat \(x_1\) och \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Uppenbarligen den gemensamma nämnaren för bråk: \((x+2)(x+5)\). Vi multiplicerar hela ekvationen med den.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Vi minskar fraktioner
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Öppna fästena
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Vi ger lika villkor
\(2x^2+9x-5=0\)		Att hitta rötterna till ekvationen
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		En av rötterna passar inte under ODZ, så som svar skriver vi bara ner den andra roten.

Svar: \(\frac(1)(2)\).

Lektionens mål:

Handledning:

• bildandet av begreppet rationella bråkekvationer;
• att överväga olika sätt att lösa rationella bråkekvationer;
• överväga en algoritm för att lösa rationella bråkekvationer, inklusive villkoret att bråkdelen är lika med noll;
• att lära ut lösningen av rationella bråkekvationer enligt algoritmen;
• kontrollera graden av assimilering av ämnet genom att utföra testarbete.

Utvecklande:

• utveckling av förmågan att korrekt arbeta med den förvärvade kunskapen, att tänka logiskt;
• utveckling av intellektuella färdigheter och mentala operationer - analys, syntes, jämförelse och generalisering;
• utveckling av initiativ, förmågan att fatta beslut, att inte stanna där;
• utveckling kritiskt tänkande;
• utveckling av forskningskompetens.

Vårdande:

• uppfostran kognitivt intresse till ämnet;
• utbildning av oberoende vid lösning av utbildningsproblem;
• utbildning av vilja och uthållighet för att uppnå de slutliga resultaten.

Lektionstyp: lektion - förklaring av nytt material.

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick.

Hej grabbar! Ekvationerna är skrivna på tavlan, titta noga på dem. Kan du lösa alla dessa ekvationer? Vilka är det inte och varför?

Ekvationer där vänster och höger sida är bråkrationella uttryck kallas rationella bråkekvationer. Vad tror du att vi kommer att studera i dag på lektionen? Formulera ämnet för lektionen. Så vi öppnar anteckningsböcker och skriver ner ämnet för lektionen "Lösning av fraktionella rationella ekvationer".

2. Aktualisering av kunskap. Frontalundersökning, muntligt arbete med klassen.

Och nu kommer vi att upprepa det huvudsakliga teoretiska materialet som vi behöver studera nytt ämne. Vänligen svara på följande frågor:

1. Vad är en ekvation? ( Likhet med en variabel eller variabler.)
2. Vad kallas ekvation #1? ( Linjär.) Metod för att lösa linjära ekvationer. ( Flytta allt med det okända till vänster sida av ekvationen, alla siffror till höger. Ta med liknande termer. Hitta den okända multiplikatorn).
3. Vad kallas ekvation 3? ( Fyrkant.) Metoder för att lösa andragradsekvationer. ( Val av hela kvadraten, med formler, med hjälp av Vieta-satsen och dess konsekvenser.)
4. Vad är en proportion? ( Jämlikhet mellan två relationer.) Proportionernas huvudsakliga egenskap. ( Om andelen är sann är produkten av dess extrema termer lika med produkten av mellantermerna.)
5. Vilka egenskaper används för att lösa ekvationer? ( 1. Om vi ​​i ekvationen överför termen från en del till en annan och ändrar dess tecken, så får vi en ekvation som motsvarar den givna. 2. Om båda delarna av ekvationen multipliceras eller divideras med samma tal som inte är noll, kommer en ekvation att erhållas som är ekvivalent med den givna.)
6. När är en bråkdel lika med noll? ( Bråket är noll när täljaren noll-, och nämnaren är inte lika med noll.)

3. Förklaring av nytt material.

Lös ekvation nr 2 i anteckningsböcker och på tavlan.

Svar: 10.

Vilken rationell bråkekvation kan du försöka lösa med hjälp av den grundläggande egenskapen proportion? (nr 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Lös ekvation nr 4 i anteckningsböcker och på tavlan.

Svar: 1,5.

Vilken rationell bråkekvation kan du försöka lösa genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med nämnaren? (nr 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, xl=3, x2=4.

Svar: 3;4.

Försök nu att lösa ekvation #7 på ett av sätten.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Svar: 0;5;-2.			Svar: 5;-2.

Förklara varför detta hände? Varför finns det tre rötter i det ena fallet och två i det andra? Vilka tal är rötterna till denna rationella bråkekvation?

Hittills har eleverna inte träffat begreppet en främmande rot, det är verkligen väldigt svårt för dem att förstå varför detta hände. Om ingen i klassen kan ge en tydlig förklaring av denna situation, då ställer läraren ledande frågor.

• Hur skiljer sig ekvationerna nr 2 och 4 från ekvationerna nr 5,6,7? ( I ekvationerna nr 2 och 4 i talets nämnare nr 5-7 - uttryck med en variabel.)
• Vad är roten till ekvationen? ( Värdet på variabeln vid vilken ekvationen blir en sann likhet.)
• Hur tar man reda på om ett tal är roten till en ekvation? ( Gör en kontroll.)

När de gör ett test märker en del elever att de måste dividera med noll. De drar slutsatsen att siffrorna 0 och 5 inte är rötterna till denna ekvation. Frågan uppstår: finns det ett sätt att lösa rationella bråkekvationer som eliminerar detta fel? Ja, denna metod är baserad på villkoret att bråket är lika med noll.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Om x=5 så är x(x-5)=0, så 5 är en främmande rot.

Om x=-2, då x(x-5)≠0.

Svar: -2.

Låt oss försöka formulera en algoritm för att lösa rationella bråkekvationer på detta sätt. Barnen formulerar själva algoritmen.

Algoritm för att lösa rationella bråkekvationer:

1. Flytta allt åt vänster.
2. Ta bråk till en gemensam nämnare.
3. Skapa ett system: ett bråk är noll när täljaren är noll och nämnaren inte är noll.
4. Lös ekvationen.
5. Kontrollera ojämlikhet för att utesluta främmande rötter.
6. Skriv ner svaret.

Diskussion: hur man formaliserar lösningen om den grundläggande egenskapen proportion används och multiplicering av båda sidor av ekvationen med en gemensam nämnare. (Komplettera lösningen: uteslut från dess rötter de som vänder den gemensamma nämnaren till noll).

4. Primär förståelse av nytt material.

Arbeta i par. Eleverna väljer hur de ska lösa ekvationen på egen hand, beroende på typen av ekvation. Uppgifter från läroboken "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600 (b, c, i); nr 601(a, e, g). Läraren kontrollerar utförandet av uppgiften, svarar på de frågor som har uppstått och ger hjälp till dåligt presterande elever. Självtest: Svar skrivs på tavlan.

b) 2 är en främmande rot. Svar: 3.

c) 2 är en främmande rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1; 1,5.

5. Redovisning av läxor.

1. Läs punkt 25 från läroboken, analysera exempel 1-3.
2. Lär dig algoritmen för att lösa rationella bråkekvationer.
3. Lös i anteckningsböcker nr 600 (a, d, e); nr 601 (g, h).
4. Försök att lösa #696(a) (valfritt).

6. Uppfyllande av kontrolluppgiften på det studerade ämnet.

Arbetet utförs på ark.

Exempel på jobb:

A) Vilka av ekvationerna är bråkrationella?

B) Ett bråktal är noll när täljaren är ___________ och nämnaren är _______________________.

F) Är talet -3 roten till ekvation #6?

D) Lös ekvation nr 7.

Kriterier för uppgiftsutvärdering:

• "5" ges om eleven genomfört mer än 90 % av uppgiften korrekt.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" ges till en elev som klarat mindre än 50 % av uppgiften.
• Betyg 2 läggs inte i journalen, 3 är valfritt.

7. Reflektion.

På broschyrerna med självständigt arbete, lägg:

• 1 - om lektionen var intressant och förståelig för dig;
• 2 - intressant, men inte tydligt;
• 3 - inte intressant, men förståeligt;
• 4 - inte intressant, inte klart.

8. Sammanfattning av lektionen.

Så idag i lektionen bekantade vi oss med rationella bråkekvationer, lärde oss hur man löser dessa ekvationer olika sätt, testade sina kunskaper med hjälp av träning självständigt arbete. Du kommer att lära dig resultatet av självständigt arbete i nästa lektion, hemma kommer du att ha möjlighet att befästa den kunskap som vunnits.

Vilken metod för att lösa rationella bråkekvationer är enligt din åsikt lättare, mer tillgänglig, mer rationell? Oavsett metoden för att lösa rationella bråkekvationer, vad bör man inte glömma? Vad är "slugheten" med fraktionerade rationella ekvationer?

Tack alla, lektionen är över.

Låt oss bekanta oss med rationella och fraktionerade rationella ekvationer, ge deras definition, ge exempel och även analysera de vanligaste typerna av problem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rationell ekvation: definition och exempel

Bekantskapen med rationella uttryck börjar i 8:e klass i skolan. Vid den här tiden, i algebra-lektionerna, börjar eleverna alltmer möta uppgifter med ekvationer som innehåller rationella uttryck i dina anteckningar. Låt oss fräscha upp vårt minne av vad det är.

Definition 1

rationell ekvationär en ekvation där båda sidor innehåller rationella uttryck.

I olika manualer kan du hitta en annan formulering.

Definition 2

rationell ekvation- detta är en ekvation, vars post på vänster sida innehåller ett rationellt uttryck och den högra innehåller noll.

De definitioner som vi har gett för rationella ekvationer är likvärdiga, eftersom de betyder samma sak. Riktigheten av våra ord bekräftas av det faktum att för alla rationella uttryck P och F ekvationer P=Q och P − Q = 0 kommer att vara likvärdiga uttryck.

Låt oss nu övergå till exempel.

Exempel 1

Rationella ekvationer:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationella ekvationer, precis som ekvationer av andra typer, kan innehålla valfritt antal variabler från 1 till flera. Till att börja med kommer vi att överväga enkla exempel, där ekvationerna endast kommer att innehålla en variabel. Och sedan börjar vi gradvis komplicera uppgiften.

Rationella ekvationer är indelade i två stora grupper: heltal och bråk. Låt oss se vilka ekvationer som kommer att gälla för var och en av grupperna.

Definition 3

En rationell ekvation kommer att vara ett heltal om posten av dess vänstra och högra del innehåller hela rationella uttryck.

Definition 4

En rationell ekvation kommer att vara bråkdel om en eller båda dess delar innehåller en bråkdel.

Bråkrationella ekvationer innehåller nödvändigtvis division med en variabel, eller så finns variabeln i nämnaren. Det finns ingen sådan division när man skriver heltalsekvationer.

Exempel 2

3 x + 2 = 0 och (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5är hela rationella ekvationer. Här representeras båda delarna av ekvationen av heltalsuttryck.

1 x - 1 = x 3 och x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5är bråkrationella ekvationer.

Hela rationella ekvationer inkluderar linjära och andragradsekvationer.

Löser hela ekvationer

Lösningen av sådana ekvationer reduceras vanligtvis till deras omvandling till ekvivalenta algebraiska ekvationer. Detta kan uppnås genom att utföra ekvivalenta transformationer av ekvationerna i enlighet med följande algoritm:

• först får vi noll på höger sida av ekvationen, för detta är det nödvändigt att överföra uttrycket som är på höger sida av ekvationen till dess vänstra sida och ändra tecknet;
• sedan omvandlar vi uttrycket på vänster sida av ekvationen till ett polynom standardvy.

Vi måste få en algebraisk ekvation. Denna ekvation kommer att vara ekvivalent med avseende på den ursprungliga ekvationen. Enkla fall tillåter oss att lösa problemet genom att reducera hela ekvationen till en linjär eller kvadratisk. I det allmänna fallet löser vi en algebraisk gradsekvation n.

Exempel 3

Det är nödvändigt att hitta rötterna till hela ekvationen 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Lösning

Låt oss transformera det ursprungliga uttrycket för att erhålla en algebraisk ekvation som motsvarar det. För att göra detta kommer vi att överföra uttrycket som finns i den högra sidan av ekvationen till vänster sida och ändra tecknet till det motsatta. Som ett resultat får vi: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Nu ska vi omvandla uttrycket som finns på vänster sida till ett polynom av standardformen och utföra nödvändiga åtgärder med detta polynom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Vi lyckades reducera lösningen av den ursprungliga ekvationen till lösningen av en andragradsekvation av formen x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanten i denna ekvation är positiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Det betyder att det blir två riktiga rötter. Låt oss hitta dem med hjälp av formeln för rötterna till andragradsekvationen:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 eller x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 eller x 2 = - 1

Låt oss kontrollera riktigheten av rötterna till ekvationen som vi hittade under lösningen. För detta nummer, som vi fick, ersätter vi i den ursprungliga ekvationen: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 och 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. I det första fallet 63 = 63 , på sekunden 0 = 0 . Rötter x=6 och x = − 1är verkligen rötterna till ekvationen som ges i exempelvillkoret.

Svar: 6 , − 1 .

Låt oss titta på vad "hela ekvationens kraft" betyder. Vi kommer ofta att stöta på denna term i de fall vi behöver representera en hel ekvation i form av en algebraisk. Låt oss definiera konceptet.

Definition 5

Grad av en heltalsekvationär graden av en algebraisk ekvation som motsvarar den ursprungliga hela ekvationen.

Om du tittar på ekvationerna från exemplet ovan kan du fastställa: graden av hela denna ekvation är den andra.

Om vår kurs var begränsad till att lösa ekvationer av andra graden, skulle övervägandet av ämnet kunna slutföras här. Men allt är inte så enkelt. Att lösa ekvationer av tredje graden är kantat av svårigheter. Och för ekvationer över fjärde graden existerar den inte alls allmänna formler rötter. I detta avseende kräver lösningen av hela ekvationer av tredje, fjärde och andra grader att vi använder ett antal andra tekniker och metoder.

Den vanligaste metoden för att lösa hela rationella ekvationer är baserad på faktoriseringsmetoden. Algoritmen för åtgärder i det här fallet är som följer:

• vi överför uttrycket från höger sida till vänster sida så att noll förblir på höger sida av posten;
• vi representerar uttrycket på vänster sida som en produkt av faktorer, och sedan går vi vidare till en uppsättning av flera enklare ekvationer.

Exempel 4

Hitta lösningen till ekvationen (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Lösning

Vi överför uttrycket från höger sida av posten till vänster sida med motsatt tecken: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Att konvertera vänster sida till ett polynom av standardformen är opraktisk på grund av det faktum att detta kommer att ge oss en algebraisk ekvation av fjärde graden: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Lättheten att transformera motiverar inte alla svårigheter med att lösa en sådan ekvation.

Det är mycket lättare att gå åt andra hållet: vi tar ut den gemensamma faktorn x 2 − 10 x + 13 . Därmed kommer vi fram till en formekvation (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Nu ersätter vi den resulterande ekvationen med en uppsättning av två andragradsekvationer x 2 − 10 x + 13 = 0 och x 2 − 2 x − 1 = 0 och hitta sina rötter genom diskriminanten: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Svar: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

På samma sätt kan vi använda metoden för att introducera en ny variabel. Denna metod tillåter oss att övergå till ekvivalenta ekvationer med potenser lägre än de i den ursprungliga hela ekvationen.

Exempel 5

Har ekvationen rötter? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Lösning

Om vi ​​nu försöker reducera en hel rationell ekvation till en algebraisk, får vi en ekvation på grad 4, som inte har några rationella rötter. Därför blir det lättare för oss att gå åt andra hållet: introducera en ny variabel y, som kommer att ersätta uttrycket i ekvationen x 2 + 3 x.

Nu ska vi arbeta med hela ekvationen (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Vi överför den högra sidan av ekvationen till vänster sida med motsatt tecken och utför de nödvändiga transformationerna. Vi får: y 2 + 4 y + 3 = 0. Låt oss hitta rötterna till andragradsekvationen: y = − 1 och y = − 3.

Låt oss nu göra det omvända utbytet. Vi får två ekvationer x 2 + 3 x = − 1 och x 2 + 3 x = - 3 . Låt oss skriva om dem som x 2 + 3 x + 1 = 0 och x 2 + 3 x + 3 = 0. Vi använder formeln för rötterna i andragradsekvationen för att hitta rötterna till den första ekvationen som erhålls: - 3 ± 5 2 . Diskriminanten i den andra ekvationen är negativ. Det betyder att den andra ekvationen inte har några riktiga rötter.

Svar:- 3 ± 5 2

Heltalsekvationer av höga grader förekommer i problem ganska ofta. Det finns ingen anledning att vara rädd för dem. Du måste vara redo att tillämpa en icke-standard metod för att lösa dem, inklusive ett antal artificiella transformationer.

Lösning av bråkrationella ekvationer

Vi börjar vår övervägande av detta underämne med en algoritm för att lösa bråkrationella ekvationer av formen p (x) q (x) = 0 , där p(x) och q(x)är heltalsrationella uttryck. Lösningen av andra fraktionella rationella ekvationer kan alltid reduceras till lösningen av ekvationer av den angivna formen.

Den vanligaste metoden för att lösa ekvationerna p (x) q (x) = 0 är baserad på följande påstående: numerisk bråkdel u v, var vär ett tal som skiljer sig från noll, lika med noll endast i de fall då bråkets täljare är lika med noll. Enligt logiken i ovanstående påstående kan vi hävda att lösningen av ekvationen p (x) q (x) = 0 kan reduceras till att två villkor är uppfyllda: p(x)=0 och q(x) ≠ 0. På detta byggs en algoritm för att lösa rationella bråkekvationer av formen p (x) q (x) = 0:

• vi hittar lösningen av hela den rationella ekvationen p(x)=0;
• vi kontrollerar om villkoret är uppfyllt för de rötter som hittats under lösningen q(x) ≠ 0.

Om detta villkor är uppfyllt, då den hittade roten. Om inte, är roten inte en lösning på problemet.

Exempel 6

Hitta rötterna till ekvationen 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Lösning

Vi har att göra med en rationell bråkekvation av formen p (x) q (x) = 0 , där p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Låt oss börja lösa den linjära ekvationen 3 x - 2 = 0. Roten till denna ekvation kommer att vara x = 2 3.

Låt oss kontrollera den hittade roten, om den uppfyller villkoret 5 x 2 - 2 ≠ 0. För att göra detta, ersätt ett numeriskt värde i uttrycket. Vi får: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Villkoret är uppfyllt. Det betyder att x = 2 3är roten till den ursprungliga ekvationen.

Svar: 2 3 .

Det finns ett annat alternativ för att lösa rationella bråkekvationer p (x) q (x) = 0 . Kom ihåg att denna ekvation är ekvivalent med hela ekvationen p(x)=0 på intervallet för tillåtna värden för variabeln x i den ursprungliga ekvationen. Detta tillåter oss att använda följande algoritm för att lösa ekvationerna p(x) q(x) = 0:

• lösa ekvationen p(x)=0;
• hitta intervallet för acceptabla värden för variabeln x ;
• vi tar rötterna som ligger i området för tillåtna värden för variabeln x som de önskade rötterna av den ursprungliga rationella bråkekvationen.

Exempel 7

Lös ekvationen x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Lösning

Till att börja, låt oss bestämma andragradsekvation x 2 − 2 x − 11 = 0. För att beräkna dess rötter använder vi rotformeln för en jämn andrakoefficient. Vi får D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 och x = 1 ± 23.

Nu kan vi hitta ODV för x för den ursprungliga ekvationen. Dessa är alla siffror för vilka x 2 + 3 x ≠ 0. Det är samma sak som x (x + 3) ≠ 0, varav x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Låt oss nu kontrollera om rötterna x = 1 ± 2 3 erhållna i det första steget av lösningen ligger inom intervallet för acceptabla värden för variabeln x . Vi ser vad som kommer in. Detta betyder att den ursprungliga rationella bråkekvationen har två rötter x = 1 ± 2 3 .

Svar: x = 1 ± 2 3

Den andra lösningsmetoden beskrivs lättare än den första i fall där det är lätt att hitta arean av tillåtna värden för variabeln x, och rötterna till ekvationen p(x)=0 irrationell. Till exempel 7 ± 4 26 9 . Rötter kan vara rationella, men med en stor täljare eller nämnare. Till exempel, 127 1101 och − 31 59 . Detta sparar tid för att kontrollera tillståndet. q(x) ≠ 0: det är mycket lättare att utesluta rötter som inte passar, enligt ODZ.

När rötterna till ekvationen p(x)=0är heltal, är det mer ändamålsenligt att använda den första av de beskrivna algoritmerna för att lösa ekvationer av formen p (x) q (x) = 0 . Hitta rötterna till en hel ekvation snabbare p(x)=0, och kontrollera sedan om villkoret är uppfyllt för dem q(x) ≠ 0, och inte hitta ODZ, och lös sedan ekvationen p(x)=0 på denna ODZ. Detta beror på att det i sådana fall vanligtvis är lättare att göra en kontroll än att hitta ODZ.

Exempel 8

Hitta rötterna till ekvationen (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Lösning

Vi börjar med att överväga hela ekvationen (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 och hitta dess rötter. För att göra detta använder vi metoden för att lösa ekvationer genom faktorisering. Det visar sig att den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med en uppsättning av fyra ekvationer 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, varav tre är linjära och en är fyrkantig. Vi hittar rötterna: från den första ekvationen x = 1 2, från den andra x=6, från den tredje - x \u003d 7, x \u003d - 2, från den fjärde - x = − 1.

Låt oss kontrollera de erhållna rötterna. Det är svårt för oss att bestämma ODZ i det här fallet, eftersom vi för detta måste lösa en algebraisk ekvation av femte graden. Det blir lättare att kontrollera villkoret enligt vilket bråkets nämnare, som finns på vänster sida av ekvationen, inte ska försvinna.

Ersätt i sin tur rötterna i stället för variabeln x i uttrycket x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 och beräkna dess värde:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 0 32;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Den utförda verifieringen tillåter oss att fastställa att rötterna till den ursprungliga rationella bråkekvationen är 1 2 , 6 och − 2 .

Svar: 1 2 , 6 , - 2

Exempel 9

Hitta rötterna till den rationella bråkekvationen 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Lösning

Låt oss börja med ekvationen (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Låt oss hitta dess rötter. Det är lättare för oss att representera denna ekvation som en kombination av kvadratiska och linjära ekvationer 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 och x − 2 = 0.

Vi använder formeln för rötterna i en andragradsekvation för att hitta rötterna. Vi får två rötter x = 7 ± 69 10 från den första ekvationen och från den andra x=2.

Att ersätta värdet på rötterna i den ursprungliga ekvationen för att kontrollera förhållandena kommer att vara ganska svårt för oss. Det blir lättare att bestämma LPV för variabeln x . I det här fallet är DPV för variabeln x alla tal, förutom de för vilka villkoret är uppfyllt x 2 + 5 x − 14 = 0. Vi får: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Låt oss nu kontrollera om rötterna vi hittade tillhör intervallet av acceptabla värden för x-variabeln.

Rötterna x = 7 ± 69 10 - tillhör, därför är de rötterna till den ursprungliga ekvationen, och x=2- hör inte hemma, därför är det en främmande rot.

Svar: x = 7 ± 69 10 .

Låt oss separat undersöka de fall då täljaren för en rationell bråkekvation av formen p (x) q (x) = 0 innehåller ett tal. I sådana fall, om täljaren innehåller ett annat tal än noll, kommer ekvationen inte att ha rötter. Om detta tal är lika med noll, kommer roten av ekvationen att vara valfritt tal från ODZ.

Exempel 10

Lös den rationella bråkekvationen - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Lösning

Denna ekvation kommer inte att ha rötter, eftersom täljaren för bråket från vänster sida av ekvationen innehåller ett tal som inte är noll. Detta betyder att för alla värden på x kommer värdet på bråket som ges i problemets tillstånd inte att vara lika med noll.

Svar: inga rötter.

Exempel 11

Lös ekvationen 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Lösning

Eftersom täljaren för bråket är noll, kommer lösningen till ekvationen att vara vilket värde som helst på x från ODZ-variabeln x.

Låt oss nu definiera ODZ. Den kommer att inkludera alla x-värden för vilka x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Ekvationslösningar x 4 + 5 x 3 = 0är 0 och − 5 , eftersom denna ekvation är ekvivalent med ekvationen x 3 (x + 5) = 0, och den är i sin tur ekvivalent med mängden av två ekvationer x 3 = 0 och x + 5 = 0 där dessa rötter är synliga. Vi kommer till slutsatsen att det önskade intervallet av acceptabla värden är vilket x som helst, förutom x=0 och x = -5.

Det visar sig att den rationella bråkekvationen 0 x 4 + 5 x 3 = 0 har ett oändligt antal lösningar, som är alla tal utom noll och - 5.

Svar: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Låt oss nu prata om fraktionerade rationella ekvationer av en godtycklig form och metoder för att lösa dem. De kan skrivas som r(x) = s(x), var r(x) och s(x)är rationella uttryck, och åtminstone ett av dem är bråktal. Lösningen av sådana ekvationer reduceras till lösningen av ekvationer av formen p (x) q (x) = 0 .

Vi vet redan att vi kan få en ekvivalent ekvation genom att överföra uttrycket från höger sida av ekvationen till vänster sida med motsatt tecken. Det betyder att ekvationen r(x) = s(x)är ekvivalent med ekvationen r (x) − s (x) = 0. Vi har också redan diskuterat hur man omvandlar ett rationellt uttryck till ett rationellt bråk. Tack vare detta kan vi enkelt transformera ekvationen r (x) − s (x) = 0 till sin identiska rationella bråkdel av formen p (x) q (x) .

Så vi går från den ursprungliga rationella bråkekvationen r(x) = s(x) till en ekvation av formen p (x) q (x) = 0 , som vi redan har lärt oss att lösa.

Det bör noteras att när man gör övergångar från r (x) − s (x) = 0 till p (x) q (x) = 0 och sedan till p(x)=0 vi kanske inte tar hänsyn till expansionen av intervallet av giltiga värden för variabeln x .

Det är ganska realistiskt att den ursprungliga ekvationen r(x) = s(x) och ekvation p(x)=0 som ett resultat av omvandlingarna kommer de att upphöra att vara likvärdiga. Sedan lösningen av ekvationen p(x)=0 kan ge oss rötter som kommer att vara främmande för r(x) = s(x). I detta avseende är det i varje fall nödvändigt att utföra en kontroll med någon av metoderna som beskrivs ovan.

För att göra det lättare för dig att studera ämnet har vi generaliserat all information till en algoritm för att lösa en rationell bråkekvation av formen r(x) = s(x):

• vi överför uttrycket från höger sida med motsatt tecken och får noll till höger;
• vi transformerar det ursprungliga uttrycket till en rationell bråkdel p (x) q (x) genom att sekventiellt utföra åtgärder med bråk och polynom;
• lösa ekvationen p(x)=0;
• vi avslöjar främmande rötter genom att kontrollera att de tillhör ODZ eller genom att ersätta dem i den ursprungliga ekvationen.

Visuellt kommer åtgärdskedjan att se ut så här:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → bortfall r o n d e r o o n s

Exempel 12

Lös den rationella bråkekvationen x x + 1 = 1 x + 1 .

Lösning

Låt oss gå vidare till ekvationen x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Låt oss omvandla det bråkmässiga rationella uttrycket på vänster sida av ekvationen till formen p (x) q (x) .

För detta måste vi ta med rationella bråk till en gemensam nämnare och förenkla uttrycket:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

För att hitta rötterna till ekvationen - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, måste vi lösa ekvationen − 2 x − 1 = 0. Vi får en rot x = - 1 2.

Det återstår för oss att utföra kontrollen med någon av metoderna. Låt oss överväga dem båda.

Ersätt det resulterande värdet i den ursprungliga ekvationen. Vi får - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Vi har kommit till den korrekta numeriska jämlikheten − 1 = − 1 . Det betyder att x = − 1 2är roten till den ursprungliga ekvationen.

Nu ska vi kolla igenom ODZ. Låt oss bestämma arean av acceptabla värden för variabeln x . Detta kommer att vara hela uppsättningen av tal, förutom − 1 och 0 (när x = − 1 och x = 0, försvinner bråkens nämnare). Roten vi fick x = − 1 2 tillhör ODZ. Det betyder att det är roten till den ursprungliga ekvationen.

Svar: − 1 2 .

Exempel 13

Hitta rötterna till ekvationen x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Lösning

Vi har att göra med en rationell bråkekvation. Därför kommer vi att agera enligt algoritmen.

Låt oss flytta uttrycket från höger sida till vänster sida med motsatt tecken: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Låt oss utföra de nödvändiga transformationerna: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Vi kommer till ekvationen x=0. Roten till denna ekvation är noll.

Låt oss kontrollera om denna rot är en främmande för den ursprungliga ekvationen. Ersätt värdet i den ursprungliga ekvationen: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Som du kan se är den resulterande ekvationen inte vettig. Detta betyder att 0 är en främmande rot, och den ursprungliga rationella bråkekvationen har inga rötter.

Svar: inga rötter.

Om vi ​​inte har inkluderat andra likvärdiga transformationer i algoritmen betyder det inte alls att de inte kan användas. Algoritmen är universell, men den är utformad för att hjälpa, inte begränsa.

Exempel 14

Lös ekvationen 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Lösning

Det enklaste sättet är att lösa den givna rationella bråkekvationen enligt algoritmen. Men det finns ett annat sätt. Låt oss överväga det.

Subtrahera från höger och vänster del 7, vi får: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Av detta kan vi dra slutsatsen att uttrycket i nämnaren på vänster sida bör vara lika med talet reciprokt av talet från höger sida, det vill säga 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Subtrahera från båda delarna 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . I analogi 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, varifrån 1 5 - x 2 \u003d 1 3, och vidare 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Låt oss kontrollera för att fastställa om de hittade rötterna är rötterna till den ursprungliga ekvationen.

Svar: x = ± 2

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Vi introducerade ekvationen ovan i § 7. Först minns vi vad ett rationellt uttryck är. Det - algebraiska uttryck, sammansatt av tal och variabeln x med hjälp av operationerna addition, subtraktion, multiplikation, division och exponentiering med en naturlig exponent.

Om r(x) är ett rationellt uttryck, så kallas ekvationen r(x) = 0 en rationell ekvation.

Men i praktiken är det bekvämare att använda något mer bred tolkning term "rationell ekvation": detta är en ekvation av formen h(x) = q(x), där h(x) och q(x) är rationella uttryck.

Hittills har vi inte kunnat lösa någon rationell ekvation utan bara en som till följd av olika transformationer och resonemang reducerats till linjär ekvation. Nu är våra möjligheter mycket större: vi kommer att kunna lösa en rationell ekvation, som reducerar inte bara till linjär
mu, men också till andragradsekvationen.

Kom ihåg hur vi löste rationella ekvationer tidigare och försök formulera en lösningsalgoritm.

Exempel 1 lösa ekvationen

Lösning. Vi skriver om ekvationen i formen

I det här fallet, som vanligt, använder vi det faktum att likheterna A \u003d B och A - B \u003d 0 uttrycker samma förhållande mellan A och B. Detta gjorde att vi kunde överföra termen till vänster sida av ekvationen med motsatt tecken.

Låt oss utföra transformationer av den vänstra sidan av ekvationen. Vi har

Kom ihåg jämställdhetsvillkoren fraktioner noll: om, och endast om, två relationer är uppfyllda samtidigt:

1) täljaren för bråket är noll (a = 0); 2) bråkets nämnare skiljer sig från noll).
Genom att likställa täljaren för bråket på vänster sida av ekvation (1) med noll får vi

Det återstår att kontrollera att det andra villkoret som nämns ovan är uppfyllt. Förhållandet betyder för ekvation (1) att . Värdena x 1 = 2 och x 2 = 0,6 uppfyller de angivna sambanden och fungerar därför som rötterna till ekvation (1), och samtidigt rötterna till den givna ekvationen.

1) Låt oss omvandla ekvationen till formen

2) Låt oss utföra transformationerna av den vänstra sidan av denna ekvation:

(ändrade samtidigt tecknen i täljaren och
fraktioner).
På det här sättet, given ekvation tar formen

3) Lös ekvationen x 2 - 6x + 8 = 0. Hitta

4) För de hittade värdena, kontrollera tillståndet . Siffran 4 uppfyller detta villkor, men siffran 2 gör det inte. Så 4 är roten till den givna ekvationen och 2 är en främmande rot.
Svar: 4.

2. Lösning av rationella ekvationer genom att införa en ny variabel

Metoden för att introducera en ny variabel är bekant för dig, vi har använt den mer än en gång. Låt oss visa med exempel hur det används för att lösa rationella ekvationer.

Exempel 3 Lös ekvationen x 4 + x 2 - 20 = 0.

Lösning. Vi introducerar en ny variabel y \u003d x 2. Eftersom x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, kan den givna ekvationen skrivas om i formen

y 2 + y - 20 = 0.

Detta är en andragradsekvation, vars rötter vi kommer att hitta med hjälp av den kända formler; vi får y 1 = 4, y 2 = - 5.
Men y \u003d x 2, vilket betyder att problemet har reducerats till att lösa två ekvationer:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Från den första ekvationen finner vi att den andra ekvationen inte har några rötter.
Svar: .
En ekvation av formen ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 kallas en biquadratisk ekvation ("bi" - två, det vill säga en "två gånger kvadratisk" ekvation). Den nyss lösta ekvationen var exakt biquadratisk. Varje biquadratisk ekvation löses på samma sätt som ekvationen från exempel 3: en ny variabel y \u003d x 2 introduceras, den resulterande andragradsekvationen löses med avseende på variabeln y och returneras sedan till variabeln x.

Exempel 4 lösa ekvationen

Lösning. Observera att samma uttryck x 2 + 3x förekommer två gånger här. Därför är det vettigt att introducera en ny variabel y = x 2 + Zx. Detta gör att vi kan skriva om ekvationen i en enklare och trevligare form (vilket faktiskt är syftet med att introducera en ny variabel- och inspelning är lättare
, och ekvationens struktur blir tydligare):

Och nu ska vi använda algoritmen för att lösa en rationell ekvation.

1) Låt oss flytta alla termer i ekvationen till en del:

= 0
2) Låt oss transformera vänster sida av ekvationen

Så vi har transformerat den givna ekvationen till formen

3) Från ekvationen - 7y 2 + 29y -4 = 0 finner vi (vi har redan löst en hel del andragradsekvationer, så det är förmodligen inte värt att alltid ge detaljerade beräkningar i läroboken).

4) Låt oss kontrollera de hittade rötterna med villkoret 5 (y - 3) (y + 1). Båda rötterna uppfyller detta villkor.
Så den andragradsekvationen för den nya variabeln y är löst:
Eftersom y \u003d x 2 + Zx, och y, som vi har fastställt, tar två värden: 4 och, - måste vi fortfarande lösa två ekvationer: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Rötterna till den första ekvationen är siffrorna 1 och -4, rötterna till den andra ekvationen är talen

I de övervägda exemplen var metoden för att introducera en ny variabel, som matematiker gärna säger, adekvat för situationen, det vill säga den motsvarade den väl. Varför? Ja, eftersom samma uttryck tydligt påträffades i ekvationsposten flera gånger och det var rimligt att beteckna detta uttryck med en ny bokstav. Men detta är inte alltid fallet, ibland "uppstår" en ny variabel bara under transformationsprocessen. Det är precis vad som kommer att hända i nästa exempel.

Exempel 5 lösa ekvationen
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Lösning. Vi har
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Så den givna ekvationen kan skrivas om i formen

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Nu har en ny variabel "visats": y = x 2 - Zx.

Med dess hjälp kan ekvationen skrivas om i formen y (y + 2) \u003d 24 och sedan y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Rötterna till denna ekvation är siffrorna 4 och -6.

Återgå till den ursprungliga variabeln x, får vi två ekvationer x 2 - Zx \u003d 4 och x 2 - Zx \u003d - 6. Från den första ekvationen hittar vi x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; den andra ekvationen har inga rötter.

Svar: 4, - 1.

Lektionens innehåll lektionssammanfattning stödram lektionspresentation accelerativa metoder interaktiva tekniker Öva uppgifter och övningar självgranskning workshops, utbildningar, fall, uppdrag läxor diskussionsfrågor retoriska frågor från studenter Illustrationer ljud, videoklipp och multimedia foton, bilder grafik, tabeller, scheman humor, anekdoter, skämt, serier, liknelser, talesätt, korsord, citat Tillägg sammandrag artiklar chips för nyfikna cheat sheets läroböcker grundläggande och ytterligare ordlista med termer andra Förbättra läroböcker och lektionerrätta fel i läroboken uppdatera ett fragment i lärobokens element av innovation i lektionen och ersätta föråldrad kunskap med nya Endast för lärare perfekta lektioner kalenderplan i ett år riktlinjer diskussionsprogram Integrerade lektioner