Teknisk kalkylator online

Vi skyndar oss att presentera en gratis teknisk kalkylator för alla. Med den kan alla elever snabbt och, viktigast av allt, enkelt utföra olika typer av matematiska beräkningar online.

Kalkylatorn är hämtad från sajten - web 2.0 scientific calculator

En enkel och lättanvänd teknisk kalkylator med ett diskret och intuitivt gränssnitt kommer verkligen att vara användbar för det bredaste utbudet av internetanvändare. Nu, när du behöver en kalkylator, gå till vår webbplats och använd den kostnadsfria tekniska kalkylatorn.

En teknisk kalkylator kan utföra både enkla aritmetiska operationer och ganska komplexa matematiska beräkningar.

Web20calc är en teknisk kalkylator som har ett stort antal funktioner, till exempel hur man beräknar alla elementära funktioner. Kalkylatorn stöder även trigonometriska funktioner, matriser, logaritmer och till och med plottning.

Web20calc kommer utan tvekan att vara av intresse för den grupp människor som, på jakt efter enkla lösningar, skriver en fråga i sökmotorer: en matematisk kalkylator online. Den kostnadsfria webbapplikationen hjälper dig att omedelbart beräkna resultatet av alla matematiska uttryck, till exempel subtrahera, addera, dividera, extrahera roten, höja till en potens, etc.

I uttrycket kan du använda operationerna exponentiering, addition, subtraktion, multiplikation, division, procent, PI-konstant. Parenteser bör användas för komplexa beräkningar.

Funktioner hos den tekniska kalkylatorn:

1. grundläggande aritmetiska operationer;
2. arbeta med siffror i standardform;
3. beräkning av trigonometriska rötter, funktioner, logaritmer, exponentiering;
4. Statistiska beräkningar: addition, aritmetiskt medelvärde eller standardavvikelse;
5. tillämpning av en minnescell och användarfunktioner av 2 variabler;
6. arbeta med vinklar i radian- och gradmått.

Den tekniska kalkylatorn tillåter användningen av en mängd olika matematiska funktioner:

Extraktion av rötter (kvadratrot, kubikrot, såväl som roten av n:te graden);
ex (e till x potens), exponent;
trigonometriska funktioner: sinus - sin, cosinus - cos, tangent - tan;
inversa trigonometriska funktioner: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
hyperboliska funktioner: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangent - tanh;
logaritmer: bas två binär logaritm är log2x, bas tio bas tio logaritm är log, naturlig logaritm är ln.

Denna tekniska kalkylator innehåller också en kalkylator av mängder med möjlighet att konvertera fysiska storheter för olika mätsystem - datorenheter, avstånd, vikt, tid, etc. Med den här funktionen kan du omedelbart konvertera miles till kilometer, pund till kilogram, sekunder till timmar, etc.

För att göra matematiska beräkningar, skriv först in en sekvens av matematiska uttryck i lämpligt fält, klicka sedan på likhetstecknet och se resultatet. Du kan ange värden direkt från tangentbordet (för detta måste räknarområdet vara aktivt, därför kommer det att vara användbart att placera markören i inmatningsfältet). Data kan bland annat matas in med hjälp av knapparna på själva räknaren.

För att bygga grafer i inmatningsfältet, skriv funktionen som anges i exempelfältet eller använd verktygsfältet speciellt utformat för detta (för att gå till det, klicka på knappen med ikonen i form av en graf). För att konvertera värden, tryck på Enhet, för att arbeta med matriser - Matris.

Första nivån

Uttryckskonvertering. Detaljerad teori (2019)

Ofta hör vi denna obehagliga fras: "förenkla uttrycket." Vanligtvis, i det här fallet, har vi något slags monster som detta:

"Ja, mycket lättare", säger vi, men ett sådant svar brukar inte fungera.

Nu ska jag lära dig att inte vara rädd för sådana uppgifter.

Dessutom, i slutet av lektionen, kommer du själv att förenkla detta exempel till ett (bara!) vanligt nummer (ja, åt helvete med dessa bokstäver).

Men innan du börjar den här lektionen måste du kunna ta itu med bråk och faktorisera polynom.

Därför, om du inte har gjort detta tidigare, se till att behärska ämnena "" och "".

Läsa? Om ja, då är du redo.

Kom igen kom igen!)

Viktig notering!Om du istället för formler ser trams, rensa cacheminnet. För att göra detta, tryck CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac)

Grundläggande uttrycksförenklingsoperationer

Nu ska vi analysera de viktigaste teknikerna som används för att förenkla uttryck.

Den enklaste av dem är

1. Ta med liknande

Vad är liknande? Du gick igenom detta i 7:e klass, när bokstäver först dök upp i matte istället för siffror.

Liknandeär termer (monomialer) med samma bokstavsdel.

Till exempel, i summan är liknande termer och.

Minns du?

Ta med liknande- innebär att lägga till flera liknande termer med varandra och få en term.

Men hur kan vi sätta ihop bokstäver? - du frågar.

Detta är väldigt lätt att förstå om man föreställer sig att bokstäverna är någon slags föremål.

Till exempel är bokstaven en stol. Vad är då uttrycket?

Två stolar plus tre stolar, hur mycket blir det? Just det, stolar: .

Prova nu detta uttryck:

För att inte bli förvirrad, låt olika bokstäver beteckna olika objekt.

Till exempel - det här är (som vanligt) en stol, och - det här är ett bord.

stolar bord stol bord stolar stolar bord

Siffrorna som bokstäverna i sådana termer multipliceras med kallas koefficienter.

Till exempel, i monomialen är koefficienten lika. Och han är jämställd.

Så, regeln för att ta med liknande:

Exempel:

Ta med liknande:

Svar:

2. (och liknar varandra, eftersom dessa termer därför har samma bokstavsdel).

2. Faktorisering

Detta är vanligtvis den viktigaste delen i att förenkla uttryck.

Efter att du har gett liknande, behövs oftast det resulterande uttrycket faktorisera, dvs representerar som en produkt.

Speciellt detta viktigt i bråk: eftersom för att minska andelen, täljaren och nämnaren måste uttryckas som en produkt.

Du gick igenom de detaljerade metoderna för att faktorisera uttryck i ämnet "", så här måste du bara komma ihåg vad du har lärt dig.

För att göra detta, lös några exempel (du måste faktorisera)

Exempel:

Lösningar:

3. Bråkreduktion.

Tja, vad kan vara trevligare än att stryka över en del av täljaren och nämnaren och kasta ut dem ur ditt liv?

Det är det fina med förkortning.

Det är enkelt:

Om täljaren och nämnaren innehåller samma faktorer kan de reduceras, det vill säga tas bort från bråket.

Denna regel följer av den grundläggande egenskapen för ett bråk:

Det vill säga, kärnan i reduktionsoperationen är det Vi dividerar täljaren och nämnaren för ett bråk med samma tal (eller med samma uttryck).

För att minska en bråkdel behöver du:

1) täljare och nämnare faktorisera

2) om täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer, kan de raderas.

Exempel:

Principen tror jag är tydlig?

Jag skulle vilja uppmärksamma er på ett typiskt misstag i förkortningen. Även om detta ämne är enkelt, men många människor gör allt fel, utan att inse det skära- det betyder dela upp täljare och nämnare med samma tal.

Inga förkortningar om täljaren eller nämnaren är summan.

Till exempel: du måste förenkla.

Vissa gör så här: vilket är helt fel.

Ett annat exempel: minska.

De "smartaste" kommer att göra så här:

Berätta vad som är fel här? Det verkar: - detta är en multiplikator, så du kan minska.

Men nej: - detta är en faktor av endast en term i täljaren, men själva täljaren som helhet är inte uppdelad i faktorer.

Här är ett annat exempel: .

Detta uttryck är uppdelat i faktorer, vilket innebär att du kan reducera, det vill säga dividera täljaren och nämnaren med, och sedan med:

Du kan direkt dividera med:

För att undvika sådana misstag, kom ihåg ett enkelt sätt att avgöra om ett uttryck är faktoriserat:

Den aritmetiska operation som utförs sist vid beräkning av uttryckets värde är den "huvudsakliga".

Det vill säga, om du ersätter några (vilka) siffror istället för bokstäver och försöker beräkna värdet på uttrycket, om den sista åtgärden är multiplikation, så har vi en produkt (uttrycket bryts upp i faktorer).

Om den sista åtgärden är addition eller subtraktion betyder det att uttrycket inte är faktoriserat (och därför inte kan reduceras).

För att fixa det själv, några exempel:

Exempel:

Lösningar:

1. Jag hoppas att du inte omedelbart bråttom att klippa och? Det var fortfarande inte tillräckligt att "minska" enheter så här:

Det första steget bör vara att faktorisera:

4. Addition och subtraktion av bråk. Att föra bråk till en gemensam nämnare.

Addition och subtraktion av vanliga bråk är en välkänd operation: vi letar efter en gemensam nämnare, multiplicerar varje bråk med den saknade faktorn och adderar/subtraherar täljarna.

Låt oss komma ihåg:

Svar:

1. Nämnarna och är coprime, det vill säga de har inte gemensamma faktorer. Därför är LCM för dessa siffror lika med deras produkt. Detta kommer att vara den gemensamma nämnaren:

2. Här är den gemensamma nämnaren:

3. Här förvandlar vi först och främst blandade fraktioner till felaktiga, och sedan - enligt det vanliga schemat:

Det är en helt annan sak om bråken innehåller bokstäver, till exempel:

Låt oss börja enkelt:

a) Nämnarna innehåller inga bokstäver

Här är allt detsamma som med vanliga numeriska bråk: vi hittar en gemensam nämnare, multiplicerar varje bråk med den saknade faktorn och adderar/subtraherar täljarna:

nu i täljaren kan du ta med liknande, om några, och faktorisera dem:

Prova själv:

Svar:

b) Nämnarna innehåller bokstäver

Låt oss komma ihåg principen att hitta en gemensam nämnare utan bokstäver:

Först och främst bestämmer vi de gemensamma faktorerna;

Sedan skriver vi ut alla vanliga faktorer en gång;

och multiplicera dem med alla andra faktorer, inte vanliga.

För att bestämma de gemensamma faktorerna för nämnarna delar vi först upp dem i enkla faktorer:

Vi betonar de gemensamma faktorerna:

Nu skriver vi ut de vanliga faktorerna en gång och lägger till alla icke-vanliga (ej understrukna) faktorer:

Detta är den gemensamma nämnaren.

Låt oss gå tillbaka till bokstäverna. Nämnarna ges på exakt samma sätt:

Vi bryter ner nämnare i faktorer;

bestämma gemensamma (identiska) multiplikatorer;

skriv ut alla vanliga faktorer en gång;

Vi multiplicerar dem med alla andra faktorer, inte vanliga.

Så, i ordning:

1) dekomponera nämnare i faktorer:

2) bestämma de vanliga (identiska) faktorerna:

3) skriv ut alla gemensamma faktorer en gång och multiplicera dem med alla andra (ej understrukna) faktorer:

Så den gemensamma nämnaren är här. Den första bråkdelen måste multipliceras med, den andra - med:

Förresten, det finns ett knep:

Till exempel: .

Vi ser samma faktorer i nämnarna, bara alla med olika indikatorer. Den gemensamma nämnaren kommer att vara:

till omfattningen

till omfattningen

till omfattningen

i grad.

Låt oss komplicera uppgiften:

Hur får man bråk att ha samma nämnare?

Låt oss komma ihåg den grundläggande egenskapen för ett bråk:

Ingenstans sägs det att samma tal kan subtraheras (eller adderas) från täljaren och nämnaren för ett bråk. För det är inte sant!

Se själv: ta vilket bråk som helst, till exempel, och lägg till ett tal till täljaren och nämnaren, till exempel . Vad har man lärt sig?

Så, en annan orubblig regel:

När du tar bråk till en gemensam nämnare, använd endast multiplikationsoperationen!

Men vad behöver du multiplicera för att få?

Här på och multiplicera. Och multiplicera med:

Uttryck som inte kan faktoriseras kommer att kallas "elementära faktorer".

Till exempel är en elementär faktor. - också. Men - nej: det bryts ner i faktorer.

Hur är det med uttrycket? Är det elementärt?

Nej, eftersom det kan faktoriseras:

(du har redan läst om faktorisering i ämnet "").

Så de elementära faktorerna som du bryter ner ett uttryck i med bokstäver är en analog till de enkla faktorerna som du bryter ner siffror i. Och vi kommer att göra samma sak med dem.

Vi ser att båda nämnarna har en faktor. Det kommer att gå till den gemensamma nämnaren i makten (kom ihåg varför?).

Multiplikatorn är elementär, och de har den inte gemensamt, vilket betyder att den första bråkdelen helt enkelt måste multipliceras med den:

Ett annat exempel:

Beslut:

Innan du multiplicerar dessa nämnare i panik, måste du tänka på hur du ska faktorisera dem? Båda representerar:

Bra! Sedan:

Ett annat exempel:

Beslut:

Som vanligt faktoriserar vi nämnare. I den första nämnaren sätter vi det helt enkelt inom parentes; i den andra - skillnaden mellan rutor:

Det verkar som att det inte finns några gemensamma faktorer. Men om man tittar noga så är de redan så lika ... Och sanningen är:

Så låt oss skriva:

Det vill säga, det blev så här: inuti parentesen bytte vi termerna, och samtidigt ändrades tecknet framför bråket till det motsatta. Observera att du måste göra detta ofta.

Nu kommer vi till en gemensam nämnare:

Jag fattar? Nu ska vi kolla.

Uppgifter för oberoende lösning:

Svar:

Här måste vi komma ihåg en sak till - skillnaden mellan kuber:

Observera att nämnaren för det andra bråket inte innehåller formeln "kvadrat på summan"! Kvadraten på summan skulle se ut så här:

A är den så kallade ofullständiga kvadraten av summan: den andra termen i den är produkten av den första och den sista, och inte deras dubblerade produkt. Den ofullständiga kvadraten på summan är en av faktorerna i expansionen av skillnaden mellan kuber:

Vad händer om det redan finns tre bråk?

Ja, samma! Först och främst kommer vi att se till att det maximala antalet faktorer i nämnarna är detsamma:

Var uppmärksam: om du ändrar tecknen inom en parentes ändras tecknet framför bråket till det motsatta. När vi ändrar tecknen i den andra parentesen vänds tecknet framför bråket igen. Som ett resultat har han (tecknet framför bråket) inte ändrats.

Vi skriver ut den första nämnaren i sin helhet i den gemensamma nämnaren, och sedan lägger vi till den alla faktorer som ännu inte har skrivits, från den andra och sedan från den tredje (och så vidare, om det finns fler bråk). Det vill säga, det går så här:

Hmm ... Med bråk är det klart vad man ska göra. Men hur är det med de två?

Det är enkelt: du vet hur man lägger till bråk, eller hur? Så du måste se till att tvåan blir en bråkdel! Kom ihåg: ett bråk är en divisionsoperation (täljaren divideras med nämnaren om du plötsligt skulle glömma). Och det finns inget lättare än att dividera ett tal med. I det här fallet kommer siffran i sig inte att ändras, utan förvandlas till en bråkdel:

Precis vad som behövs!

5. Multiplikation och division av bråk.

Nåväl, den svåraste delen är nu över. Och framför oss ligger det enklaste, men samtidigt det viktigaste:

Procedur

Vad är proceduren för att beräkna ett numeriskt uttryck? Kom ihåg, med tanke på värdet av ett sådant uttryck:

Har du räknat?

Det borde fungera.

Så jag påminner dig.

Det första steget är att beräkna graden.

Det andra är multiplikation och division. Om det finns flera multiplikationer och divisioner samtidigt kan du göra dem i valfri ordning.

Och slutligen utför vi addition och subtraktion. Återigen, i vilken ordning som helst.

Men: uttrycket inom parentes utvärderas ur funktion!

Om flera parenteser multipliceras eller divideras med varandra, utvärderar vi först uttrycket i var och en av parenteserna och multiplicerar eller dividerar dem sedan.

Vad händer om det finns andra parenteser innanför parenteserna? Tja, låt oss tänka: något uttryck är skrivet inom parentes. Vad är det första man ska göra när man utvärderar ett uttryck? Det stämmer, räkna ut parenteser. Tja, vi kom på det: först beräknar vi de inre parenteserna, sedan allt annat.

Så, åtgärdsordningen för uttrycket ovan är som följer (den aktuella åtgärden är markerad i rött, det vill säga åtgärden som jag utför just nu):

Okej, allt är enkelt.

Men det är väl inte detsamma som ett uttryck med bokstäver?

Nej, det är samma sak! Endast i stället för aritmetiska operationer är det nödvändigt att göra algebraiska operationer, det vill säga operationerna som beskrivs i föregående avsnitt: föra liknande, lägga till fraktioner, reducera fraktioner och så vidare. Den enda skillnaden är åtgärden att faktorisera polynom (vi använder det ofta när vi arbetar med bråk). Oftast, för faktorisering, behöver du använda i eller helt enkelt ta den gemensamma faktorn ur parentes.

Vanligtvis är vårt mål att representera ett uttryck som en produkt eller kvot.

Till exempel:

Låt oss förenkla uttrycket.

1) Först förenklar vi uttrycket inom parentes. Där har vi bråkskillnaden, och vårt mål är att representera den som en produkt eller kvot. Så vi tar bråken till en gemensam nämnare och lägger till:

Det är omöjligt att förenkla detta uttryck ytterligare, alla faktorer här är elementära (minns du fortfarande vad detta betyder?).

2) Vi får:

Multiplikation av bråk: vad kan vara lättare.

3) Nu kan du förkorta:

Det är allt. Inget komplicerat, eller hur?

Ett annat exempel:

Förenkla uttrycket.

Försök först att lösa det själv och titta först sedan på lösningen.

Beslut:

Först och främst, låt oss definiera proceduren.

Låt oss först lägga till bråken inom parentes, istället för två bråk blir en.

Sedan kommer vi att göra bråkdelningen. Jo, vi lägger till resultatet med den sista bråkdelen.

Jag kommer schematiskt att numrera stegen:

Nu kommer jag att visa hela processen och färga den aktuella åtgärden med rött:

Till sist kommer jag att ge dig två användbara tips:

1. Om det finns liknande ska de tas med omedelbart. I vilket ögonblick vi än har liknande, är det lämpligt att ta med dem direkt.

2. Samma sak gäller för att reducera bråk: så fort det dyker upp en möjlighet att reducera måste den användas. Undantaget är bråk som du adderar eller subtraherar: om de nu har samma nämnare, så ska reduktionen lämnas till senare.

Här är några uppgifter som du kan lösa på egen hand:

Och lovade i början:

Svar:

Lösningar (kortfattat):

Om du klarade av åtminstone de tre första exemplen, då har du bemästrat ämnet.

Nu till lärande!

KONVERTERING AV UTTRYCK. SAMMANFATTNING OCH GRUNDFORMEL

Grundläggande förenklingar:

• Tar med liknande: för att lägga till (minska) liknande termer måste du lägga till deras koefficienter och tilldela bokstavsdelen.
• Faktorisering: ta den gemensamma faktorn ur parentes, tillämpa osv.
• Bråkreduktion: täljaren och nämnaren för ett bråk kan multipliceras eller divideras med samma tal som inte är noll, från vilket bråkets värde inte ändras.
  1) täljare och nämnare faktorisera
  2) om det finns gemensamma faktorer i täljaren och nämnaren kan de strykas över.

  VIKTIGT: endast multiplikatorer kan reduceras!

• Addition och subtraktion av bråk:
  ;
• Multiplikation och division av bråk:
  ;

Anmärkning 1

En logisk funktion kan skrivas med hjälp av ett logiskt uttryck, och sedan kan du gå till den logiska kretsen. Det är nödvändigt att förenkla logiska uttryck för att få en så enkel som möjligt (och därför billigare) logisk krets. Faktum är att en logisk funktion, ett logiskt uttryck och en logisk krets är tre olika språk som talar om samma enhet.

För att förenkla logiska uttryck, använd logikens algebras lagar.

Vissa transformationer liknar transformationerna av formler i klassisk algebra (med parentes av den gemensamma faktorn, använder kommutativa och associativa lagar, etc.), medan andra transformationer är baserade på egenskaper som klassiska algebraoperationer inte har (med användning av distributionslagen för konjunktion, absorptionslagar, limning, de Morgans regler, etc.).

Lagarna för logikens algebra är formulerade för grundläggande logiska operationer - "NOT" - inversion (negation), "AND" - konjunktion (logisk multiplikation) och "ELLER" - disjunktion (logisk addition).

Lagen om dubbel negation innebär att "NOT"-operationen är reversibel: om du tillämpar den två gånger, kommer i slutändan inte det logiska värdet att ändras.

The Law of the Excluded Middle säger att varje logiskt uttryck är antingen sant eller falskt ("det finns ingen tredje"). Därför, om $A=1$, då $\bar(A)=0$ (och vice versa), vilket betyder att konjunktionen av dessa storheter alltid är lika med noll, och disjunktionen är lika med ett.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Låt oss förenkla denna formel:

Figur 3

Detta innebär att $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Svar: studenter $B$, $C$ och $D$ spelar schack, men student $A$ spelar inte.

När du förenklar logiska uttryck kan du utföra följande sekvens av åtgärder:

1. Ersätt alla "icke-grundläggande" operationer (ekvivalens, implikation, exklusivt ELLER, etc.) med deras uttryck genom de grundläggande operationerna inversion, konjunktion och disjunktion.
2. Expandera inversioner av komplexa uttryck enligt de Morgans regler på ett sådant sätt att endast enskilda variabler har negationsoperationer.
3. Förenkla sedan uttrycket med hjälp av parentesexpansion, parentes gemensamma faktorer och andra lagar i logikens algebra.

Exempel 2

Här används de Morgans regel, den distributiva lagen, lagen om den uteslutna mitten, den kommutativa lagen, lagen om upprepning, den återigen kommutativa lagen och absorptionslagen i följd.

Med hjälp av vilket språk som helst kan du uttrycka samma information i olika ord och fraser. Matematiskt språk är inget undantag. Men samma uttryck kan skrivas likvärdigt på olika sätt. Och i vissa situationer är en av posterna enklare. Vi kommer att prata om att förenkla uttryck i den här lektionen.

Människor kommunicerar på olika språk. För oss är en viktig jämförelse paret "ryska språket - matematiskt språk". Samma information kan rapporteras på olika språk. Men förutom detta kan det uttalas olika på ett språk.

Till exempel: "Peter är vän med Vasya", "Vasya är vän med Petya", "Peter och Vasya är vänner". Sagt annorlunda, men en och samma. Med någon av dessa fraser skulle vi förstå vad som står på spel.

Låt oss titta på denna fras: "Pojken Petya och pojken Vasya är vänner." Vi förstår vad som står på spel. Men vi gillar inte hur den här frasen låter. Kan vi inte förenkla det, säga detsamma, men enklare? "Pojke och pojke" - du kan säga en gång: "Pojkarna Petya och Vasya är vänner."

"Pojkar" ... Framgår det inte av deras namn att de inte är tjejer. Vi tar bort "pojkarna": "Petya och Vasya är vänner." Och ordet "vänner" kan ersättas med "vänner": "Petya och Vasya är vänner." Som ett resultat ersattes den första, långa, fula frasen med ett motsvarande påstående som är lättare att säga och lättare att förstå. Vi har förenklat den här frasen. Att förenkla betyder att säga det lättare, men att inte förlora, att inte förvränga meningen.

Samma sak händer i matematiskt språk. Samma sak kan sägas olika. Vad innebär det att förenkla ett uttryck? Det betyder att det för det ursprungliga uttrycket finns många likvärdiga uttryck, det vill säga de som betyder samma sak. Och från all denna mängd måste vi välja det enklaste, enligt vår mening, eller det mest lämpliga för våra ytterligare syften.

Tänk till exempel på ett numeriskt uttryck. Det kommer att motsvara .

Det kommer också att motsvara de två första: .

Det visar sig att vi har förenklat våra uttryck och hittat det kortaste ekvivalenta uttrycket.

För numeriska uttryck behöver du alltid göra allt arbete och få motsvarande uttryck som ett enda tal.

Betrakta ett exempel på ett bokstavligt uttryck . Självklart blir det enklare.

När du förenklar bokstavliga uttryck måste du utföra alla åtgärder som är möjliga.

Är det alltid nödvändigt att förenkla ett uttryck? Nej, ibland är en likvärdig men längre notation mer praktiskt för oss.

Exempel: Subtrahera talet från talet.

Det är möjligt att beräkna, men om det första talet representerades av dess ekvivalenta notation: , då skulle beräkningarna vara momentana: .

Det vill säga att ett förenklat uttryck inte alltid är fördelaktigt för oss för vidare beräkningar.

Ändå ställs vi väldigt ofta inför en uppgift som bara låter som "förenkla uttrycket."

Förenkla uttrycket: .

Beslut

1) Utför åtgärder inom den första och andra parentesen: .

2) Beräkna produkterna: .

Uppenbarligen har det sista uttrycket en enklare form än det initiala. Vi har förenklat det.

För att förenkla uttrycket måste det ersättas med en ekvivalent (lika).

För att bestämma det ekvivalenta uttrycket måste du:

1) utföra alla möjliga åtgärder,

2) använd egenskaperna addition, subtraktion, multiplikation och division för att förenkla beräkningar.

Egenskaper för addition och subtraktion:

1. Kommutativ egenskap för addition: summan ändras inte från omordningen av termerna.

2. Associativ egenskap för addition: för att lägga till ett tredje tal till summan av två siffror kan du lägga till summan av det andra och tredje talet till det första talet.

3. Egenskapen att subtrahera en summa från ett tal: för att subtrahera summan från ett tal kan du subtrahera varje term individuellt.

Egenskaper för multiplikation och division

1. Multiplikationens kommutativa egenskap: produkten förändras inte från en permutation av faktorer.

2. Associativ egenskap: för att multiplicera ett tal med produkten av två tal, kan du först multiplicera det med den första faktorn och sedan multiplicera den resulterande produkten med den andra faktorn.

3. Multiplikationens distributiva egenskap: för att multiplicera ett tal med en summa måste du multiplicera det med varje term separat.

Låt oss se hur vi faktiskt gör mentala beräkningar.

Beräkna:

Beslut

1) Föreställ dig hur

2) Låt oss representera den första multiplikatorn som summan av bittermer och utför multiplikationen:

3) du kan föreställa dig hur och utför multiplikation:

4) Ersätt den första faktorn med en motsvarande summa:

Den fördelande lagen kan också användas i motsatt riktning: .

Följ dessa steg:

1) 2)

Beslut

1) För enkelhetens skull kan du använda distributionslagen, använd den bara i motsatt riktning - ta den gemensamma faktorn ur parentes.

2) Låt oss ta den gemensamma faktorn ur parentes

Det är nödvändigt att köpa linoleum i köket och hallen. Köksdel - hall -. Det finns tre typer av linoleum: för och rubel för. Hur mycket kommer var och en av de tre typerna av linoleum att kosta? (Figur 1)

Ris. 1. Illustration för problemets tillstånd

Beslut

Metod 1. Du kan separat hitta hur mycket pengar det tar att köpa linoleum i köket, och sedan lägga till det i korridoren och lägga ihop de resulterande verken.

1 § Begreppet förenkling av ett ordagrant uttryck

I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet "liknande termer" och med hjälp av exempel kommer vi att lära oss hur man utför reduktionen av liknande termer och på så sätt förenkla bokstavliga uttryck.

Låt oss ta reda på innebörden av begreppet "förenkling". Ordet "förenkling" kommer från ordet "förenkla". Att förenkla betyder att göra enkelt, enklare. Att förenkla ett bokstavligt uttryck är därför att göra det kortare, med ett minimum av åtgärder.

Betrakta uttrycket 9x + 4x. Detta är ett bokstavligt uttryck som är en summa. Termerna här presenteras som produkter av ett nummer och en bokstav. Den numeriska faktorn för sådana termer kallas koefficienten. I detta uttryck kommer koefficienterna att vara siffrorna 9 och 4. Observera att multiplikatorn som representeras av bokstaven är densamma i båda termerna av denna summa.

Kom ihåg den distributiva lagen för multiplikation:

För att multiplicera summan med ett tal kan du multiplicera varje term med detta tal och lägga till de resulterande produkterna.

I allmänhet skrivs det så här: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Denna lag gäller i båda riktningarna ac + bc = (a + b) ∙ c

Låt oss tillämpa det på vårt bokstavliga uttryck: summan av produkterna av 9x och 4x är lika med produkten, vars första faktor är summan av 9 och 4, den andra faktorn är x.

9 + 4 = 13 blir 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Istället för tre handlingar i uttrycket återstod en åtgärd - multiplikation. Så vi har gjort vårt bokstavliga uttryck enklare, dvs. förenklade det.

2 § Minskning av liknande villkor

Termerna 9x och 4x skiljer sig endast i sina koefficienter - sådana termer kallas liknande. Bokstavsdelen av liknande termer är densamma. Liknande termer inkluderar även siffror och lika termer.

Till exempel, i uttrycket 9a + 12 - 15 kommer talen 12 och -15 att vara liknande termer, och i summan av produkterna av 12 och 6a, talen 14 och produkterna av 12 och 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), de lika termer som representeras av produkten av 12 och 6a.

Det är viktigt att notera att termer med lika koefficienter och olika bokstavliga faktorer inte är lika, även om det ibland är användbart att tillämpa den distributiva lagen för multiplikation på dem, till exempel är summan av produkterna av 5x och 5y lika med produkten av talet 5 och summan av x och y

5x + 5y = 5(x + y).

Låt oss förenkla uttrycket -9a + 15a - 4 + 10.

I det här fallet är termerna -9a och 15a liknande termer, eftersom de endast skiljer sig åt i sina koefficienter. De har samma bokstavsmultiplikator, och termerna -4 och 10 är också lika, eftersom de är siffror. Vi lägger till liknande termer:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Vi får: 6a + 6.

För att förenkla uttrycket hittade vi summan av lika termer, i matematik kallas detta reduktion av lika termer.

Om det är svårt att ta fram sådana termer kan du komma på ord för dem och lägga till objekt.

Tänk till exempel på uttrycket:

För varje bokstav tar vi vårt eget föremål: b-äpple, c-päron, så kommer det att visa sig: 2 äpplen minus 5 päron plus 8 päron.

Kan vi subtrahera päron från äpplen? Självklart inte. Men vi kan lägga till 8 päron till minus 5 päron.

Vi ger lika termer -5 päron + 8 päron. Lika termer har samma bokstavliga del, därför räcker det, när man reducerar liknande termer, att lägga till koefficienterna och lägga till den bokstavliga delen till resultatet:

(-5 + 8) päron - du får 3 päron.

För att återgå till vårt bokstavliga uttryck har vi -5s + 8s = 3s. Efter att ha reducerat liknande termer får vi alltså uttrycket 2b + 3c.

Så i den här lektionen bekantade du dig med begreppet "liknande termer" och lärde dig hur du förenklar bokstavliga uttryck genom att ta med liknande termer.

Lista över använd litteratur:

1. Matematik. Årskurs 6: lektionsplaner för läroboken av I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // författare-kompilator L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. Matematik. Årskurs 6: en lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematik. Årskurs 6: lärobok för läroanstalter / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov och andra / redigerad av G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Russian Academy of Sciences, Russian Academy of Education. M.: "Enlightenment", 2010.
4. Matematik. Årskurs 6: lärobok för allmänna utbildningsinstitutioner / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematik. Årskurs 6: lärobok / G.K. Muravin, O.V. Myra. – M.: Bustard, 2014.

Använda bilder: