Transformation av rationella uttryck: typer av transformationer, exempel. rationellt uttryck

I det avlägsna förflutna, när kalkylsystemet ännu inte hade uppfunnits, räknade man allt på fingrarna. Med tillkomsten av aritmetiken och grunderna i matematik har det blivit mycket lättare och mer praktiskt att föra register över varor, produkter och hushållsartiklar. Hur ser det dock ut modernt system kalkyl: vilka typer är de befintliga talen indelade i och vad betyder den "rationella formen av tal"? Låt oss ta reda på det.

Hur många typer av tal finns det i matematik?

Själva begreppet "nummer" betecknar en viss enhet av något objekt, som kännetecknar dess kvantitativa, jämförande eller ordinära indikatorer. För att korrekt räkna antalet vissa saker eller för att utföra vissa matematiska operationer med siffror (lägg till, multiplicera, etc.), först och främst bör du bekanta dig med varianterna av samma siffror.

Så de befintliga numren kan delas in i följande kategorier:

Naturliga tal är de tal med vilka vi räknar antalet objekt (det minsta naturliga talet är 1, det är logiskt att serien naturliga talär oändligt, det vill säga det finns inget största naturliga tal). Mängden naturliga tal betecknas vanligtvis med bokstaven N.
Heltal. Denna uppsättning innehåller allt, medan det läggs till och negativa värden, inklusive siffran "noll". Notationen för mängden heltal skrivs som latinsk bokstav Z.
Rationella tal är de som vi mentalt kan omvandla till ett bråk, vars täljare kommer att tillhöra mängden heltal och nämnaren kommer att tillhöra naturliga tal. Nedan kommer vi att analysera mer i detalj vad "rationellt tal" betyder, och ge några exempel.
- en mängd som inkluderar alla rationella och Denna mängd betecknas med bokstaven R.
Komplexa tal innehåller en del av det reella och en del av variabeln. De används för att lösa olika kubikekvationer, som i sin tur kan ha ett negativt uttryck i formlerna (i 2 = -1).

Vad betyder "rationell": vi analyserar det med exempel

Om rationella tal är de som vi kan representera i formen vanlig bråkdel, visar det sig att alla positiva och negativa heltal också ingår i uppsättningen av rationella. När allt kommer omkring kan vilket heltal som helst, till exempel 3 eller 15, representeras som ett bråk, där nämnaren blir en.

Fraktioner: -9/3; 7/5, 6/55 är exempel rationella nummer.

Vad betyder "rationellt uttryck"?

Gå vidare. Vi har redan diskuterat vad den rationella formen av tal betyder. Låt oss nu föreställa oss ett matematiskt uttryck som består av en summa, en skillnad, en produkt eller en kvot olika nummer och variabler. Här är ett exempel: ett bråk, i vars täljare är summan av två eller flera heltal, och nämnaren innehåller både ett heltal och någon variabel. Det är detta uttryck som kallas rationellt. Utifrån regeln "du kan inte dividera med noll" kan du gissa att värdet på denna variabel inte kan vara sådant att nämnarens värde blir noll. När du löser ett rationellt uttryck måste du därför först bestämma intervallet för variabeln. Till exempel, om nämnaren innehåller följande uttryck: x+5-2, så visar det sig att "x" inte kan vara lika med -3. Faktum är att i det här fallet förvandlas hela uttrycket till noll, därför är det nödvändigt att utesluta heltal -3 för denna variabel vid lösning.

Hur löser man rationella ekvationer korrekt?

Rationella uttryck kan innehålla ganska många Ett stort antal tal och till och med 2 variabler, så ibland blir deras lösning svår. För att underlätta lösningen av ett sådant uttryck rekommenderas det att utföra vissa operationer på ett rationellt sätt. Så vad betyder "på ett rationellt sätt" och vilka regler bör tillämpas när man beslutar?

Den första typen, när det räcker bara för att förenkla uttrycket. För att göra detta kan du tillgripa operationen att reducera täljaren och nämnaren till ett irreducerbart värde. Till exempel, om täljaren innehåller uttrycket 18x och nämnaren 9x, då vi reducerar båda indikatorerna med 9x, får vi bara ett heltal lika med 2.
Den andra metoden är praktisk när vi har ett monom i täljaren och ett polynom i nämnaren. Låt oss titta på ett exempel: i täljaren har vi 5x, och i nämnaren - 5x + 20x 2 . I det här fallet är det bäst att ta variabeln i nämnaren utanför parentes, vi får följande form av nämnaren: 5x(1+4x). Och nu kan du använda den första regeln och förenkla uttrycket genom att minska 5x i täljaren och nämnaren. Som ett resultat får vi en bråkdel av formen 1/1+4x.

Vilka operationer kan utföras med rationella tal?

Uppsättningen av rationella tal har ett antal egna särdrag. Många av dem påminner mycket om den egenskap som finns i heltal och naturliga tal, med tanke på att de senare alltid ingår i den rationella mängden. Här är några egenskaper hos rationella tal, om du vet vilka kan du enkelt lösa vilket rationellt uttryck som helst.

Kommutativitetsegenskapen låter dig summera två eller flera tal, oavsett deras ordning. Enkelt uttryckt ändras summan inte från en ändring av villkorens plats.
Fördelningsegenskapen gör det möjligt att lösa problem med hjälp av distributionslagen.
Och slutligen, operationerna för addition och subtraktion.

Även skolbarn vet vad "rationella tal" betyder och hur man löser problem baserat på sådana uttryck, så en utbildad vuxen behöver helt enkelt komma ihåg åtminstone grunderna i uppsättningen av rationella tal.

rationellt uttryck algebraiska uttryck innehåller inga radikaler. Med andra ord är det en eller flera algebraiska storheter (siffror och bokstäver) förbundna med tecken aritmetiska operationer: addition, subtraktion, multiplikation ... ... Wikipedia

Ett algebraiskt uttryck som inte innehåller radikaler och endast inkluderar operationerna addition, subtraktion, multiplikation och division. Till exempel, a2 + b, x/(y z2). * * * RATIONELLT EXPRESSION RATIONELLT EXPRESSION, ett algebraiskt uttryck som inte innehåller ... ... encyklopedisk ordbok

Ett algebraiskt uttryck som inte innehåller radikaler, som a2 + b, x/(y z3). Om det ingår i R. århundradet. bokstäver anses vara variabler, då R. in. definierar en rationell funktion (se rationell funktion) av dessa variabler ... Stora sovjetiska encyklopedien

UTTRYCK- det primära matematiska begreppet, vilket innebär ett register över bokstäver och siffror som är förbundna med tecken på aritmetiska operationer, medan parenteser, funktionsbeteckningar etc. kan användas; vanligtvis är B formeln miljoner del av den. Skilj i (1) ... ... Great Polytechnic Encyclopedia

RATIONELL- (Rationell; Rationell) en term som används för att beskriva tankar, känslor och handlingar som överensstämmer med sinnet; en attityd baserad på objektiva värderingar som erhållits som ett resultat av praktisk erfarenhet. "Objektiva värderingar etableras i erfarenhet ... ... Analytisk psykologi ordbok

RATIONELL KUNSKAP- en subjektiv bild av den objektiva världen, erhållen med hjälp av tänkande. Tänker - aktiv process generaliserad och medierad reflektion av verkligheten, som säkerställer upptäckten av dess regelbundna kopplingar på basis av sensoriska data och deras uttryck ... Vetenskaps- och teknikfilosofi: Tematisk ordbok

EKVATION, RATIONELL- Ett logiskt eller matematiskt uttryck baserat på (rationella) antaganden om processer. Sådana ekvationer skiljer sig från empiriska ekvationer genom att deras parametrar erhålls som ett resultat av deduktiva slutsatser från teoretiska ... ... Lexikon i psykologi

RATIONELL, rationell, rationell; rationell, rationell, rationell. 1. adj. till rationalism (bok). rationell filosofi. 2. Ganska rimligt, motiverat, ändamålsenligt. Han kom med ett rationellt förslag. Rationell ... ... Ushakovs förklarande ordbok

1) R. algebraisk ekvation f (x) = 0 grader p algebraisk ekvation g(y)=0 given ekvation… … Matematisk uppslagsverk

Ett heltalsuttryck är ett matematiskt uttryck som består av tal och bokstavsvariabler med hjälp av addition, subtraktion och multiplikation. Heltal inkluderar också uttryck som inkluderar division med något annat tal än noll.

Exempel på heltalsuttryck

Nedan följer några exempel på heltalsuttryck:

1. 12*a^3 + 5*(2*a-1);

3. 4*y-((5*y+3)/5)-1;

Fraktionella uttryck

Om uttrycket innehåller en division med en variabel eller av ett annat uttryck som innehåller en variabel, är ett sådant uttryck inte ett heltal. Ett sådant uttryck kallas ett fraktionerat uttryck. Låt oss ge en fullständig definition av ett fraktionerat uttryck.

Ett bråktalsuttryck är ett matematiskt uttryck som, förutom operationerna addition, subtraktion och multiplikation som utförs med tal och alfabetiska variabler, samt division med ett tal, inte noll-, innehåller också uppdelning i uttryck med bokstavliga variabler.

Exempel på bråkuttryck:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y))+1;

Bråk- och heltalsuttryck utgör två stora uppsättningar matematiska uttryck. Om dessa mängder kombineras får vi en ny mängd, som kallas rationella uttryck. Det vill säga, rationella uttryck är alla heltals- och bråkuttryck.

Vi vet att heltalsuttryck är vettiga för alla värden av variablerna som ingår i det. Detta följer av det faktum att för att hitta värdet på ett heltalsuttryck är det nödvändigt att utföra åtgärder som alltid är möjliga: addition, subtraktion, multiplikation, division med ett annat tal än noll.

Bråkuttryck, till skillnad från heltals, kanske inte är vettiga. Eftersom det finns en divisionsoperation med en variabel eller ett uttryck som innehåller variabler, och detta uttryck kan förvandlas till noll, men du kan inte dividera med noll. Värden av variabler för vilka fraktionellt uttryck kommer att vara vettigt, anrop de giltiga värdena för variablerna.

rationell bråkdel

Ett av specialfallen rationella uttryck kommer att vara ett bråk vars täljare och nämnare är polynom. För en sådan bråkdel i matematik finns det också ett namn - en rationell bråkdel.

Ett rationellt bråk är vettigt om dess nämnare inte är lika med noll. Det vill säga att alla värden på variabler för vilka bråkdelens nämnare skiljer sig från noll kommer att vara giltiga.

Den här lektionen kommer att täcka grundläggande information om rationella uttryck och deras omvandlingar, samt exempel på omvandling av rationella uttryck. Det här ämnet sammanfattar de ämnen vi har studerat hittills. Rationella uttryckstransformationer inkluderar addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering algebraiska bråk, reduktion, faktorisering etc. Som en del av lektionen kommer vi att titta på vad ett rationellt uttryck är, och vi kommer också att analysera exempel på deras transformation.

Ämne:Algebraiska bråk. Aritmetiska operationer på algebraiska bråk

Lektion:Grundläggande information om rationella uttryck och deras omvandlingar

Definition

rationellt uttryckär ett uttryck som består av tal, variabler, aritmetiska operationer och exponentiering.

Betrakta ett exempel på ett rationellt uttryck:

Särskilda fall av rationella uttryck:

1:a graden: ;

2. monomial: ;

3. bråkdel: .

Rational Expression Transformationär en förenkling av ett rationellt uttryck. Ordningen på operationerna vid konvertering av rationella uttryck: först finns det åtgärder inom parentes, sedan multiplikation (division) och sedan addition (subtraktion) operationer.

Låt oss överväga några exempel på transformation av rationella uttryck.

Exempel 1

Lösning:

Låt oss lösa detta exempel steg för steg. Åtgärden inom parentes utförs först.

Svar:

Exempel 2

Lösning:

Svar:

Exempel 3

Lösning:

Svar: .

Notera: kanske när du ser detta exempel en idé uppstod: att minska bråket innan det leder till en gemensam nämnare. Det är faktiskt helt korrekt: för det första är det önskvärt att förenkla uttrycket så mycket som möjligt och sedan omvandla det. Låt oss försöka lösa samma exempel på det andra sättet.

Som du kan se visade sig svaret vara helt lika, men lösningen visade sig vara något enklare.

I den här lektionen tittade vi på rationella uttryck och deras förvandlingar, samt flera konkreta exempel transformationsdata.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra 8:e klass. - M.: Upplysning, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5:e uppl. - M.: Utbildning, 2010.

Från algebrakursen Läroplanen Låt oss gå ner till detaljerna. I den här artikeln kommer vi att studera i detalj speciell sort rationella uttryck - rationella bråk, och även analysera vilken egenskap identisk omvandlingar av rationella bråkäga rum.

Vi noterar genast att rationella bråk i den mening som vi definierar dem nedan kallas algebraiska bråk i vissa algebraläroböcker. Det vill säga, i den här artikeln kommer vi att förstå samma sak under rationella och algebraiska bråk.

Som vanligt börjar vi med en definition och exempel. Låt oss sedan prata om att föra ett rationellt bråk till en ny nämnare och om att ändra tecknen för bråkets medlemmar. Därefter kommer vi att analysera hur reduktionen av fraktioner går till. Låt oss slutligen uppehålla oss vid representationen av ett rationellt bråk som summan av flera bråk. Vi kommer att tillhandahålla all information med exempel med detaljerade beskrivningar lösningar.

Sidnavigering.

Definition och exempel på rationella bråk

Rationella bråk studeras på algebralektionerna i årskurs 8. Vi kommer att använda definitionen av en rationell bråkdel, som ges i algebraläroboken för årskurs 8 av Yu. N. Makarychev och andra.

Denna definition specificerar inte om polynomen i täljaren och nämnaren i ett rationellt bråk måste vara polynom standardvy eller inte. Därför kommer vi att anta att rationella bråk kan innehålla både standardpolynom och icke-standardiserade polynom.

Här är några exempel på rationella bråk. Så, x/8 och - rationella bråk. Och bråk och passar inte den klingade definitionen av ett rationellt bråk, eftersom täljaren i den första av dem inte är ett polynom, och i den andra innehåller både täljaren och nämnaren uttryck som inte är polynom.

Omvandling av täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk

Täljaren och nämnaren för varje bråk är självförsörjande matematiska uttryck, i fallet med rationella bråk är de polynom, i ett särskilt fall är de monomer och tal. Därför, med täljaren och nämnaren för en rationell bråkdel, som med alla uttryck, kan identiska transformationer utföras. Med andra ord kan uttrycket i täljaren för ett rationellt bråk ersättas med ett uttryck som är identiskt lika med det, precis som nämnaren.

I täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk kan identiska transformationer utföras. I täljaren kan du till exempel gruppera och reducera liknande termer, och i nämnaren kan produkten av flera tal ersättas med dess värde. Och eftersom täljaren och nämnaren för en rationell bråkdel är polynom, är det möjligt att utföra transformationer som är karakteristiska för polynom med dem, till exempel reduktion till en standardform eller representation som en produkt.

För tydlighetens skull, överväg lösningarna i flera exempel.

Exempel.

Konvertera rationell bråkdel så att täljaren är ett polynom av standardformen, och nämnaren är produkten av polynom.

Lösning.

Att reducera rationella bråk till en ny nämnare används främst när man adderar och subtraherar rationella bråk.

Ändra tecken framför ett bråk, samt i dess täljare och nämnare

Den grundläggande egenskapen för ett bråk kan användas för att ändra tecknen i bråkets termer. Faktum är att multiplicera täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk med -1 är detsamma som att ändra deras tecken, och resultatet är ett bråktal som är identiskt lika med det givna. En sådan omvandling måste användas ganska ofta när man arbetar med rationella bråk.

Således, om du samtidigt ändrar tecknen för täljaren och nämnaren för ett bråk, får du ett bråk som är lika med det ursprungliga. Detta uttalande motsvarar jämlikhet.

Låt oss ta ett exempel. Ett rationellt bråk kan ersättas med ett identiskt lika bråk med omvända tecken på formens täljare och nämnare.

Med bråk kan du göra en till identitetsförvandling, där tecknet ändras antingen i täljaren eller i nämnaren. Låt oss gå igenom den lämpliga regeln. Om du byter ut bråkets tecken tillsammans med täljarens eller nämnarens tecken får du ett bråktal som är identiskt lika med originalet. Det skriftliga utlåtandet motsvarar jämställdheterna och .

Det är inte svårt att bevisa dessa jämlikheter. Beviset är baserat på egenskaperna för multiplikation av tal. Låt oss bevisa den första av dem: . Med hjälp av liknande transformationer bevisas också jämlikheten.

Till exempel kan ett bråk ersättas med ett uttryck eller .

För att avsluta detta underavsnitt presenterar vi ytterligare två användbara likheter och . Det vill säga om du ändrar tecknet för endast täljaren eller bara nämnaren, så kommer bråket att ändra sitt tecken. Till exempel, och .

De övervägda transformationerna, som gör det möjligt att ändra tecknet för termerna för ett bråk, används ofta vid transformering av bråkrationella uttryck.

Minskning av rationella fraktioner

Följande omvandling av rationella bråk, kallad reduktion av rationella bråk, är baserad på samma grundläggande egenskap hos ett bråk. Denna transformation motsvarar likheten , där a , b och c är några polynom, och b och c är icke-noll.

Av ovanstående likhet blir det tydligt att reduktionen av ett rationellt bråk innebär att man blir av med den gemensamma faktorn i dess täljare och nämnare.

Exempel.

Minska den rationella fraktionen.

Lösning.

Den gemensamma faktorn 2 är omedelbart synlig, låt oss minska den (när du skriver är det bekvämt att stryka över de vanliga faktorerna som minskningen görs med). Vi har . Eftersom x 2 \u003d x x och y 7 \u003d y 3 y 4 (se vid behov), är det tydligt att x är en gemensam faktor för täljaren och nämnaren för det resulterande bråket, som y 3 . Låt oss minska med dessa faktorer: . Detta fullbordar minskningen.

Ovan utförde vi reduktionen av en rationell fraktion sekventiellt. Och det var möjligt att utföra reduktionen i ett steg, och omedelbart reducera fraktionen med 2·x·y 3 . I det här fallet skulle lösningen se ut så här: .

Svar:

När man reducerar rationella bråk är huvudproblemet att den gemensamma faktorn för täljaren och nämnaren inte alltid är synlig. Dessutom finns det inte alltid. För att hitta en gemensam faktor eller försäkra dig om att den inte finns måste du faktorisera täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk. Om det inte finns någon gemensam faktor behöver den ursprungliga rationella fraktionen inte reduceras, annars utförs reduktionen.

I processen att reducera rationella fraktioner kan det uppstå olika nyanser. De viktigaste subtiliteterna med exempel och detaljer diskuteras i artikeln reduktion av algebraiska bråk.

När vi avslutar samtalet om minskningen av rationella bråk, noterar vi att denna transformation är identisk, och den största svårigheten i dess implementering ligger i faktoriseringen av polynom i täljaren och nämnaren.

Representation av ett rationellt bråk som en summa av bråk

Ganska specifik, men i vissa fall mycket användbar, är omvandlingen av ett rationellt bråk, som består av dess representation som summan av flera bråk, eller summan av ett heltalsuttryck och ett bråk.

Ett rationellt bråk, i vars täljare det finns ett polynom, som är summan av flera monomial, kan alltid skrivas som summan av bråk med samma nämnare, vars täljare innehåller motsvarande monomialer. Till exempel, . Denna representation förklaras av regeln för addition och subtraktion av algebraiska bråk med samma nämnare.

I allmänhet kan vilket rationellt bråk som helst representeras som en summa av bråk på många olika sätt. Bråket a/b kan till exempel representeras som summan av två bråk - en godtycklig bråkdel c/d och en bråkdel lika med skillnaden mellan bråken a/b och c/d. Detta påstående är sant, eftersom jämlikhet . Till exempel kan ett rationellt bråk representeras som en summa av bråk olika sätt: Vi representerar det ursprungliga bråket som summan av ett heltalsuttryck och ett bråk. Efter att ha dividerat täljaren med nämnaren med en kolumn får vi likheten . Värdet av uttrycket n 3 +4 för ett heltal n är ett heltal. Och värdet på ett bråk är ett heltal om och bara om dess nämnare är 1, −1, 3 eller −3. Dessa värden motsvarar värdena n=3, n=1, n=5 respektive n=−1.

Svar:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 7 grader. Kl 14. Del 1. Elevens lärobok läroinstitut/ A. G. Mordkovich. - 13:e upplagan, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.