Det som kallas bråk. Vanliga bråk

Täljaren och nämnaren för ett bråk. Typer av bråk. Låt oss fortsätta med bråk. Först en liten varning - vi, med tanke på bråk och motsvarande exempel med dem, för nu kommer vi bara att arbeta med dess numeriska representation. Det finns också bråkdelar bokstavliga uttryck(med och utan siffror).Men alla "principer" och regler gäller också för dem, men vi kommer att prata om sådana uttryck separat i framtiden. Jag rekommenderar att du besöker och studerar (kom ihåg) ämnet bråk steg för steg.

Det viktigaste är att förstå, komma ihåg och inse att ett BRÖK är ett TAL!!!

Vanlig bråkdelär ett nummer av formen:

Siffran som ligger "överst" (i detta fall m) kallas täljaren, siffran som ligger under (nummer n) kallas nämnaren. De som just har berört ämnet blir ofta förvirrade – vad heter det.

Här är ett knep för dig, hur du kommer ihåg för alltid - var är täljaren och var är nämnaren. Denna teknik är förknippad med verbal-figurativ association. Föreställ dig en burk med grumligt vatten. Det är känt att när vattnet lägger sig, blir rent vatten kvar på toppen och grumlighet (smuts) lägger sig, kom ihåg:

CHISSS smältvatten Ovan (CHISSS hällare på toppen)

lera ZZZNNN:e vattenbotten (ZZZNN Amenator nedan)

Så, så snart det blir nödvändigt att komma ihåg var täljaren är och var nämnaren är, presenterade de omedelbart visuellt en burk med sedimenterat vatten, i vilket Rent vatten, och under smutsigt vatten. Det finns andra knep att komma ihåg, om de hjälper dig, så bra.

Exempel på vanliga bråk:

Vad betyder den horisontella linjen mellan siffror? Detta är inget annat än ett divisionstecken. Det visar sig att ett bråk kan betraktas som ett exempel med funktionen av division. Denna åtgärd registreras helt enkelt i detta formulär. Det vill säga att det översta numret (täljaren) delas med det nedersta talet (nämnaren):

Dessutom finns det en annan form av inspelning - en bråkdel kan skrivas så här (genom ett snedstreck):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 och så vidare...

Vi kan skriva ovanstående bråk så här:

Resultatet av divisionen är som ni vet talet.

Klargjort - FRAKTION DETTA NUMMER!!!

Som du redan har märkt, i ett vanligt bråk, kan täljaren vara mindre än nämnaren, kan vara större än nämnaren och kan vara lika med den. Här finns det många viktiga punkter, som är förståeligt intuitivt, utan några teoretiska krusiduller. Till exempel:

1. Bråk 1 och 3 kan skrivas som 0,5 och 0,01. Låt oss springa lite framåt - det här är decimalbråk, vi ska prata om dem lite lägre.

2. Bråk 4 och 6 resulterar i ett heltal 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Bråk 5 ger som ett resultat en enhet 155:155 = 1.

Vilka slutsatser tyder på sig själva? Det följande:

1. Täljaren, dividerad med nämnaren, kan ge ett ändligt tal. Det kanske inte fungerar, dividera med en kolumn 7 med 13 eller 17 med 11 - inget sätt! Man kan dela upp i all oändlighet, men vi kommer också att prata om detta lite lägre.

2. Ett bråk kan resultera i ett heltal. Därför kan vi representera vilket heltal som helst som ett bråk, eller snarare en oändlig serie av bråk, se, alla dessa bråk är lika med 2:

Än! Vi kan alltid skriva vilket heltal som helst som ett bråk - detta tal i sig är i täljaren, ett i nämnaren:

3. Vi kan alltid representera en enhet som ett bråk med valfri nämnare:

*De angivna punkterna är oerhört viktiga för att arbeta med bråk i beräkningar och omräkningar.

Typer av bråk.

Och nu om den teoretiska uppdelningen av vanliga bråk. De är uppdelade i rätt och fel.

Ett bråk vars täljare är mindre än nämnaren kallas egenbråk. Exempel:

Ett bråk vars täljare är större än eller lika med nämnaren kallas ett oegentligt bråk. Exempel:

blandad fraktion(blandat antal).

Ett blandat bråk är ett bråk skrivet som ett heltal och ett egenbråk och förstås som summan av detta tal och dess bråkdel. Exempel:

En blandad fraktion kan alltid representeras som en oegentlig fraktion och vice versa. Låt oss gå längre!

Decimaler.

Vi har redan berört dem ovan, dessa är exempel (1) och (3), nu mer detaljerat. Här är exempel på decimaler: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Ett bråk vars nämnare är en potens av 10, såsom 10, 100, 1000, och så vidare, kallas en decimal. Det är inte svårt att skriva de tre första angivna bråken som vanliga bråk:

Den fjärde är en blandad bråkdel (blandat tal):

Ett decimalbråk har följande notation - medheltalsdelen började, sedan var separatorn för heltals- och bråkdelen en punkt eller ett kommatecken och sedan bråkdelen, antalet siffror i bråkdelen bestäms strikt av bråkdelens dimension: om dessa är tiondelar, bråkdelen skrivs som en siffra; om tusendelar - tre; tiotusendelar - fyra osv.

Dessa fraktioner är ändliga och oändliga.

Exempel på slutdecimaler: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.

Exemplen är oändliga. Till exempel är talet Pi en oändlig decimalbråkdel, men ändå - 0,3333333333333…... 0,16666666666…. och andra. Också resultatet av att extrahera roten från siffrorna 3, 5, 7, etc. kommer att vara en oändlig bråkdel.

Bråkdelen kan vara cyklisk (det finns en cykel i den), de två exemplen ovan är exakt likadana, fler exempel:

0,123123123123... cykel 123

0,781781781718... cykel 781

0,0250102501…. cykel 02501

De kan skrivas som 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Talet Pi är inte ett cykliskt bråk, som till exempel roten av tre.

Nedan i exemplen kommer ord som "vänd på" bråket att låta - det betyder att täljaren och nämnaren byts om. Faktum är att en sådan bråkdel har ett namn - den ömsesidiga bråkdelen. Exempel på ömsesidiga fraktioner:

Liten sammanfattning! Bråk är:

Vanligt (korrekt och felaktigt).

Decimaler (ändliga och oändliga).

Blandat (blandade siffror).

Det är allt!

Med vänlig hälsning, Alexander.

Täljaren och den som den delas med är nämnaren.

För att skriva ett bråk, skriv först dess täljare, dra sedan en horisontell linje under detta tal och skriv nämnaren under linjen. Den horisontella linjen som skiljer täljaren och nämnaren åt kallas en bråkstapel. Ibland avbildas det som ett snett "/" eller "∕". I det här fallet skrivs täljaren till vänster om raden och nämnaren till höger. Så till exempel kommer bråket "två tredjedelar" att skrivas som 2/3. För tydlighetens skull skrivs täljaren vanligtvis överst på raden, och nämnaren längst ner, det vill säga istället för 2/3, kan du hitta: ⅔.

För att beräkna produkten av bråk, multiplicera först täljaren av en fraktioner till en annan täljare. Skriv resultatet till täljaren för det nya fraktioner. Multiplicera sedan nämnarna också. Ange det slutliga värdet i den nya fraktioner. Till exempel 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

För att dividera ett bråktal med ett annat, multiplicera först täljaren för den första med nämnaren för den andra. Gör samma sak med den andra bråkdelen (divisor). Eller, innan du utför alla steg, "vänd" först divisorn, om det är bekvämare för dig: nämnaren ska vara i stället för täljaren. Multiplicera sedan utdelningens nämnare med den nya nämnaren för divisorn och multiplicera täljarna. Till exempel, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Källor:

Grundläggande uppgifter för bråk

Bråktal låter dig uttrycka i annan form exakt värde kvantiteter. Du kan göra samma sak med bråk. matematiska operationer, som med heltal: subtraktion, addition, multiplikation och division. Att lära sig att bestämma fraktioner, är det nödvändigt att komma ihåg några av deras funktioner. De beror på typen fraktioner, närvaron av en heltalsdel, en gemensam nämnare. Några aritmetiska operationer efter utförande kräver de minskning av den del av resultatet.

Du kommer behöva

- miniräknare

Instruktion

Titta noga på siffrorna. Om det finns decimaler och oregelbundenheter bland bråken är det ibland bekvämare att först utföra åtgärder med decimaler och sedan konvertera dem till fel form. Kan du översätta fraktioner i denna form initialt, skriv värdet efter decimalkomma i täljaren och sätta 10 i nämnaren. Om det behövs, reducera bråket genom att dividera talen över och under med en divisor. Bråk där hela delen sticker ut leder till fel form genom att multiplicera den med nämnaren och addera täljaren till resultatet. Givna värden kommer att bli den nya täljaren fraktioner. För att extrahera hela delen från det initialt felaktiga fraktioner, dividera täljaren med nämnaren. Skriv hela resultatet från fraktioner. Och resten av divisionen blir den nya täljaren, nämnaren fraktioner samtidigt som den inte förändras. För bråk med en heltalsdel är det möjligt att utföra åtgärder separat, först för heltal och sedan för bråkdelar. Till exempel kan summan av 1 2/3 och 2 ¾ beräknas:
- Konvertera bråk till fel form:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summering separat av heltals- och bråkdelar av termer:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

För med bråk. Gör samma sak för nämnare. När man delar en fraktioner skriv en bråkdel på den andra och multiplicera sedan dess täljare med nämnaren för den andra. Samtidigt, nämnaren av den första fraktioner multipliceras i enlighet därmed med täljaren på sekunden. Samtidigt en sorts vändning av tvåan fraktioner(delare). Det sista bråket kommer från resultatet av multiplicering av täljare och nämnare för båda bråken. Lätt att lära fraktioner, skriven i skicket i form av en "fyra våningar" fraktioner. Om det skiljer två fraktioner, skriv om dem med en ":"-avgränsare och fortsätt med normal division.

För att få det slutliga resultatet, minska det resulterande bråket genom att dividera täljaren och nämnaren med ett heltal, det största möjliga i detta fall. I det här fallet måste det finnas heltal över och under linjen.

notera

Gör inte aritmetik med bråk som har olika nämnare. Välj ett tal så att när täljaren och nämnaren för varje bråk multipliceras med det, blir nämnarna för båda bråken lika.

Användbart råd

När du skriver bråktal skrivs utdelningen ovanför linjen. Denna kvantitet kallas täljaren för en bråkdel. Under raden skrivs bråkets divisor eller nämnare. Till exempel kommer ett och ett halvt kilo ris i form av en fraktion att skrivas enligt följande: 1 ½ kg ris. Om nämnaren för ett bråk är 10 kallas det ett decimalbråk. I det här fallet skrivs täljaren (utdelningen) till höger om hela delen separerad av ett kommatecken: 1,5 kg ris. För att underlätta beräkningarna kan en sådan fraktion alltid skrivas i fel form: 1 2/10 kg potatis. För att förenkla kan du minska täljar- och nämnarvärdena genom att dividera dem med ett enda heltal. I detta exempel Det är möjligt att dividera med 2. Resultatet blir 1 1/5 kg potatis. Se till att talen du ska räkna med är i samma form.

Andelar i en enhet och representeras som \frac(a)(b).

Bråktäljare (a)- numret ovanför bråkets linje och visar antalet aktier som enheten delades upp i.

Bråknämnare (b)- numret under raden i bråket och visar hur många aktier enheten delades.

Gömma visa

Grundläggande egenskap hos en bråkdel

Om ad=bc , då två bråk \frac(a)(b) Och \frac(c)(d) anses lika. Till exempel kommer bråk vara lika \frac35 Och \frac(9)(15), eftersom 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Och \frac(24)(14), eftersom 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Av definitionen av bråklikhet följer att bråken kommer att vara lika \frac(a)(b) Och \frac(am)(bm), eftersom a(bm)=b(am) är ett tydligt exempel på användningen av multiplikationens associativa och kommutativa egenskaper naturliga tal I aktion.

Innebär att \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- ser ut så här grundläggande egenskap hos en bråkdel.

Med andra ord får vi ett bråktal lika med det givna genom att multiplicera eller dividera täljaren och nämnaren för det ursprungliga bråket med samma naturliga tal.

Bråkreduktionär processen att ersätta ett bråk, där det nya bråket är lika med det ursprungliga, men med en mindre täljare och nämnare.

Det är vanligt att reducera fraktioner baserat på huvudegenskapen hos en fraktion.

Till exempel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(täljaren och nämnaren är delbara med siffran 3); den resulterande fraktionen kan återigen reduceras genom att dividera med 5, dvs. \frac(15)(20)=\frac 34.

oreducerbar fraktionär en bråkdel av formen \frac 34, där täljaren och nämnaren är relativt primtal. Huvudsyftet med fraktionsreduktion är att göra fraktionen irreducerbar.

Att föra bråk till en gemensam nämnare

Låt oss ta två bråk som exempel: \frac(2)(3) Och \frac(5)(8) med olika nämnare 3 och 8 . För att få dessa bråk till en gemensam nämnare och multiplicera först bråkets täljare och nämnare \frac(2)(3) vid 8. Vi får följande resultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Multiplicera sedan bråkets täljare och nämnare \frac(5)(8) av 3. Vi får som resultat: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Så de ursprungliga bråken reduceras till en gemensam nämnare 24.

Aritmetiska operationer på vanliga bråk

Addering av vanliga bråk

a) När samma nämnare Täljaren för det första bråket läggs till täljaren för det andra bråket och lämnar nämnaren densamma. Som framgår av exemplet:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) När olika nämnare bråk reduceras först till en gemensam nämnare, och sedan läggs täljarna till enligt regel a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Subtraktion av vanliga bråk

a) Med samma nämnare, subtrahera täljaren för det andra bråket från täljaren för det första bråket, och lämna nämnaren densamma:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Om bråkens nämnare är olika, reduceras först bråken till en gemensam nämnare, och upprepa sedan stegen som i stycke a).

Multiplikation av vanliga bråk

Multiplikation av bråk följer följande regel:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

det vill säga multiplicera täljarna och nämnarna separat.

Till exempel:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Division av vanliga bråk

Bråk delas upp på följande sätt:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

det är en bråkdel \frac(a)(b) multiplicerat med en bråkdel \frac(d)(c).

Exempel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Ömsesidiga siffror

Om ab=1 så är talet b omvänt nummer för nummer a.

Exempel: för siffran 9 är det omvända \frac(1)(9), eftersom 9 \cdot \frac(1)(9)=1, för nummer 5 - \frac(1)(5), eftersom 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Decimaler

Decimalär ett egenbråk vars nämnare är 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Till exempel: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

På samma sätt skrivs felaktiga tal med nämnaren 10 ^ n eller blandade tal.

Till exempel: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

I form av ett decimalbråk representeras varje vanligt bråk med en nämnare som är en divisor av en viss potens av talet 10.

Exempel: 5 är en divisor av 100 så bråket \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Aritmetiska operationer på decimalbråk

Lägga till decimaler

För att lägga till två decimalbråk måste du ordna dem så att samma siffror och ett kommatecken under ett komma visas under varandra, och sedan lägga till bråken som vanliga tal.

Subtraktion av decimaler

Det fungerar på samma sätt som addition.

Decimal multiplikation

När man multiplicerar decimaltal bara multiplicera givna siffror, inte uppmärksamma kommatecken (som naturliga tal), och i det mottagna svaret separerar kommatecken till höger lika många siffror som det finns efter kommatecken i båda faktorerna totalt.

Låt oss multiplicera 2,7 med 1,3. Vi har 27 \cdot 13=351 . Vi separerar två siffror från höger med kommatecken (första och andra siffran har en siffra efter decimalkomma; 1+1=2). Som ett resultat får vi 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Om resultatet är färre siffror än vad som är nödvändigt att separera med ett kommatecken, skrivs de saknade nollorna framför, till exempel:

För att multiplicera med 10, 100, 1000 är det nödvändigt att flytta decimalkomma 1, 2, 3 siffror till höger i decimalbråk (om nödvändigt, speciellt nummer nollor).

Till exempel: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .

Decimal division

Att dividera ett decimalbråk med ett naturligt tal görs på samma sätt som att dividera ett naturligt tal med ett naturligt tal. Ett kommatecken i det privata sätts efter att uppdelningen av heltalsdelen är klar.

Om heltalsdelen av utdelningen är mindre än divisorn är svaret noll heltal, till exempel:

Överväg att dividera en decimal med en decimal. Låt oss säga att vi måste dividera 2,576 med 1,12. Först och främst multiplicerar vi utdelningen och bråkdelens divisor med 100, det vill säga vi flyttar kommatecken åt höger i utdelningen och divisorn med lika många tecken som det finns i divisorn efter decimalkomma (i detta exempel , två). Sedan måste du dividera bråkdelen 257,6 med det naturliga talet 112, det vill säga problemet reduceras till det fall som redan har beaktats:

Det händer att det slutliga decimalbråket inte alltid erhålls när man dividerar ett tal med ett annat. Resultatet är en oändlig decimal. Gå i sådana fall till vanliga bråk.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Den här artikeln handlar om vanliga bråk. Här kommer vi att bekanta oss med begreppet en bråkdel av en helhet, vilket leder oss till definitionen av en vanlig bråkdel. Därefter kommer vi att uppehålla oss vid den accepterade notationen för vanliga bråk och ge exempel på bråk, t.ex. om täljaren och nämnaren för ett bråk. Efter det kommer vi att ge definitioner av korrekta och felaktiga, positiva och negativa bråk, och även överväga positionen för bråktal på koordinatstrålen. Avslutningsvis listar vi de viktigaste åtgärderna med bråk.

Sidnavigering.

Andelar av helheten

Först presenterar vi dela koncept.

Låt oss anta att vi har något objekt som består av flera absolut identiska (det vill säga lika) delar. För tydlighetens skull kan du till exempel föreställa dig ett äpple skuret i flera lika delar, eller en apelsin, bestående av flera lika stora skivor. Var och en av dessa lika delar som utgör hela objektet kallas andel av helheten eller bara aktier.

Observera att andelarna är olika. Låt oss förklara detta. Låt oss säga att vi har två äpplen. Låt oss skära det första äpplet i två lika delar och det andra i 6 lika delar. Det är tydligt att andelen av det första äpplet kommer att skilja sig från andelen av det andra äpplet.

Beroende på antalet aktier som utgör hela objektet har dessa aktier sina egna namn. Låt oss analysera dela namn. Om objektet består av två delar kallas någon av dem en andra del av hela objektet; om objektet består av tre delar, så kallas någon av dem en tredjedel, och så vidare.

Ett sekundslag har ett speciellt namn - halv. En tredjedel kallas tredje, och en fyrdubbling - fjärdedel.

För korthetens skull följande andelsbeteckningar. En andra aktie betecknas som eller 1/2, en tredjedel - som eller 1/3; en fjärdedel - gilla eller 1/4, och så vidare. Observera att notationen med en horisontell stapel används oftare. För att konsolidera materialet, låt oss ge ytterligare ett exempel: posten betecknar hundra sextiosjunde av helheten.

Begreppet aktie sträcker sig naturligtvis från objekt till magnituder. Till exempel är ett av längdmåtten metern. För att mäta längder mindre än en meter kan bråkdelar av en meter användas. Så du kan använda till exempel en halv meter eller en tiondels eller tusendels meter. Andel av andra kvantiteter tillämpas på liknande sätt.

Vanliga bråk, definition och exempel på bråk

För att beskriva antalet aktier används vanliga bråk. Låt oss ge ett exempel som gör att vi kan närma oss definitionen av vanliga bråk.

Låt en apelsin bestå av 12 delar. Varje aktie i detta fall representerar en tolftedel av en hel apelsin, det vill säga . Låt oss beteckna två slag som , tre slag som , och så vidare, 12 slag som . Var och en av dessa poster kallas ett vanligt bråktal.

Låt oss nu ge en general definition av vanliga bråk.

Den uttryckta definitionen av vanliga bråk låter oss ta med exempel på vanliga bråk: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Och här är rekorden passar inte den uttryckta definitionen av vanliga bråk, det vill säga de är inte vanliga bråk.

Täljare och nämnare

För enkelhetens skull skiljer vi i vanliga bråk täljare och nämnare.

Definition.

Täljare vanlig bråkdel (m / n) är ett naturligt tal m.

Definition.

Nämnare vanlig bråkdel (m / n) är ett naturligt tal n.

Så, täljaren är placerad ovanför bråkstapeln (till vänster om snedstrecket), och nämnaren är under bråkstapeln (till höger om snedstrecket). Låt oss till exempel ta ett vanligt bråk 17/29, täljaren för detta bråk är talet 17 och nämnaren är talet 29.

Det återstår att diskutera innebörden i täljaren och nämnaren för ett vanligt bråk. Bråkens nämnare visar hur många aktier en post består av, täljaren anger i sin tur antalet sådana aktier. Till exempel betyder nämnaren 5 i bråket 12/5 att en post består av fem delar, och täljaren 12 betyder att 12 sådana delar tas.

Naturligt tal som bråk med nämnare 1

Nämnaren för ett gemensamt bråk kan vara lika med ett. I det här fallet kan vi anta att objektet är odelbart, med andra ord är det något helt. Täljaren för ett sådant bråk anger hur många hela objekt som tas. Således har en vanlig bråkdel av formen m/1 betydelsen av ett naturligt tal m. Så underbyggde vi jämställdheten m/1=m .

Låt oss skriva om den sista likheten så här: m=m/1 . Denna likhet tillåter oss att representera vilket naturligt tal m som helst som ett vanligt bråktal. Till exempel är talet 4 bråket 4/1 och talet 103498 är bråket 103498/1.

Så, vilket naturligt tal m som helst kan representeras som ett ordinärt bråk med nämnaren 1 som m/1 och vilket ordinärt bråk som helst av formen m/1 kan ersättas med ett naturligt tal m.

Bråkstreck som divisionstecken

Representationen av det ursprungliga objektet i form av n aktier är inget annat än en uppdelning i n lika delar. Efter att objektet är uppdelat i n aktier kan vi dela det lika mellan n personer - var och en får en andel.

Om vi initialt har m identiska objekt, som var och en är uppdelad i n andelar, så kan vi dela upp dessa m objekt lika mellan n personer, vilket ger varje person en andel från vart och ett av de m objekten. I detta fall kommer varje person att ha m aktier 1/n, och m aktier 1/n ger en vanlig bråkdel m/n. Således kan den vanliga bråkdelen m/n användas för att representera uppdelningen av m objekt bland n personer.

Så vi fick en explicit koppling mellan vanliga bråk och division (se den allmänna idén om divisionen av naturliga tal). Detta förhållande uttrycks på följande sätt: Stapeln i ett bråk kan förstås som ett divisionstecken, det vill säga m/n=m:n.

Med hjälp av ett vanligt bråktal kan du skriva resultatet av att dividera två naturliga tal för vilka divisionen inte utförs med ett heltal. Till exempel kan resultatet av att dividera 5 äpplen med 8 personer skrivas som 5/8, det vill säga att var och en får fem åttondelar av ett äpple: 5:8=5/8.

Lika och ojämlika vanliga bråk, jämförelse av bråk

En ganska naturlig handling är jämförelse av vanliga bråk, eftersom det är tydligt att 1/12 av en apelsin skiljer sig från 5/12, och 1/6 av ett äpple är samma som den andra 1/6 av detta äpple.

Som ett resultat av att jämföra två vanliga bråk, erhålls ett av resultaten: bråken är antingen lika eller inte lika. I det första fallet har vi lika vanliga bråk, och i den andra ojämlika vanliga bråk. Låt oss ge en definition av lika och ojämlika vanliga bråk.

Definition.

likvärdig, om likheten a d=b c är sann.

Definition.

Två vanliga bråk a/b och c/d inte lika med, om likheten a d=b c inte är uppfylld.

Här är några exempel på lika bråkdelar. Till exempel är det vanliga bråket 1/2 lika med bråket 2/4, eftersom 1 4=2 2 (se vid behov reglerna och exemplen på multiplikation av naturliga tal). För tydlighetens skull kan du föreställa dig två identiska äpplen, det första skärs i hälften och det andra - i 4 aktier. Det är uppenbart att två fjärdedelar av ett äpple är 1/2 en andel. Andra exempel på lika vanliga bråk är bråken 4/7 och 36/63, och bråkparet 81/50 och 1620/1000.

Och vanliga bråk 4/13 och 5/14 är inte lika, eftersom 4 14=56 och 13 5=65, det vill säga 4 14≠13 5. Ett annat exempel på ojämna vanliga bråk är bråken 17/7 och 6/4.

Om det, när man jämför två vanliga bråk, visar sig att de inte är lika, kan du behöva ta reda på vilket av dessa vanliga bråk mindre en annan, och vilken Mer. För att ta reda på det används regeln för att jämföra vanliga bråk, vars essens är att föra de jämförda bråken till en gemensam nämnare och sedan jämföra täljarna. Detaljerad information om detta ämne samlas i artikeljämförelse av fraktioner: regler, exempel, lösningar.

Bråktal

Varje bråkdel är ett rekord bråktal. Det vill säga, en bråkdel är bara ett "skal" av ett bråktal, dess utseende, och hela den semantiska belastningen ingår exakt i ett bråktal. Men för enkelhetens skull kombineras begreppet bråktal och bråktal och kallas helt enkelt ett bråktal. Här är det lämpligt att parafrasera det välkända talesättet: vi säger en bråkdel - vi menar ett bråktal, vi säger ett bråktal - vi menar ett bråktal.

Bråk på koordinatstrålen

Alla bråktal som motsvarar vanliga bråk har sina egna unik plats på , det vill säga det finns en en-till-en överensstämmelse mellan fraktioner och punkter av koordinatstrålen.

För att komma till den punkt som motsvarar fraktionen m / n på koordinatstrålen är det nödvändigt att skjuta upp m segment från origo i positiv riktning, vars längd är 1 / n fraktion av enhetssegmentet. Sådana segment kan erhållas genom att dela upp ett enda segment i n lika delar, vilket alltid kan göras med hjälp av en kompass och linjal.

Låt oss till exempel visa punkten M på koordinatstrålen, motsvarande bråkdelen 14/10. Längden på segmentet med slutar vid punkten O och punkten närmast den, markerad med ett litet streck, är 1/10 av enhetssegmentet. Punkten med koordinaten 14/10 tas bort från origo med 14 sådana segment.

Lika bråkdelar motsvarar samma bråktal, dvs. lika bråkdelarär koordinaterna för samma punkt på koordinatstrålen. Till exempel motsvarar en punkt koordinaterna 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 på koordinatstrålen, eftersom alla skrivna bråk är lika (den ligger på ett avstånd av halva enhetssegmentet, uppskjuten från kl. ursprunget i positiv riktning).

På en horisontell och högerriktad koordinatstråle är punkten vars koordinat är en stor bråkdel placerad till höger om punkten vars koordinat är en mindre bråkdel. På samma sätt ligger punkten med den mindre koordinaten till vänster om punkten med den större koordinaten.

Egna och oegentliga bråk, definitioner, exempel

Bland vanliga fraktioner finns korrekta och oegentliga bråk. Denna division har i princip en jämförelse av täljare och nämnare.

Låt oss ge en definition av riktiga och oegentliga vanliga bråk.

Definition.

Rätt bråkdelär ett vanligt bråk, vars täljare är mindre än nämnaren, det vill säga om m

Definition.

Oegentlig bråkdelär ett vanligt bråk där täljaren är större än eller lika med nämnaren, det vill säga om m≥n är det vanliga bråket oegentligt.

Här är några exempel på korrekta bråk: 1/4 , , 32 765/909 003 . Faktum är att i vart och ett av de skrivna vanliga bråken är täljaren mindre än nämnaren (om nödvändigt, se artikeljämförelsen av naturliga tal), så de är korrekta per definition.

Och här är exempel på oegentliga bråk: 9/9, 23/4,. Faktum är att täljaren för det första av de skrivna vanliga bråken är lika med nämnaren, och i de återstående bråken är täljaren större än nämnaren.

Det finns också definitioner av korrekta och oegentliga bråk baserade på att jämföra bråk med en.

Definition.

korrekt om det är mindre än en.

Definition.

Den vanliga bråken kallas fel, om den antingen är lika med en eller större än 1 .

Så det vanliga bråket 7/11 är korrekt, eftersom 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 och 27/27=1.

Låt oss tänka på hur vanliga bråk med en täljare större än eller lika med nämnaren förtjänar ett sådant namn - "fel".

Låt oss ta det oegentliga bråket 9/9 som ett exempel. Denna bråkdel innebär att nio delar av ett föremål tas, som består av nio delar. Det vill säga, från de tillgängliga nio andelarna kan vi göra upp ett helt ämne. Det vill säga, den oegentliga bråkdelen 9/9 ger i huvudsak ett helt objekt, det vill säga 9/9=1. I allmänhet betecknar oegentliga bråk med en täljare lika med nämnaren ett helt objekt, och ett sådant bråk kan ersättas med ett naturligt tal 1.

Tänk nu på de oegentliga bråken 7/3 och 12/4. Det är ganska uppenbart att vi från dessa sju tredjedelar kan göra två hela objekt (ett helt objekt är 3 delar, sedan för att komponera två hela objekt behöver vi 3 + 3 = 6 andelar) och det kommer fortfarande att finnas en tredjedel. Det vill säga, den oegentliga bråkdelen 7/3 betyder i huvudsak 2 föremål och till och med 1/3 av andelen av en sådan post. Och från tolv fjärdedelar kan vi göra tre hela föremål (tre föremål med fyra delar vardera). Det vill säga, bråkdelen 12/4 betyder i huvudsak 3 hela objekt.

De övervägda exemplen leder oss till följande slutsats: oegentliga bråk kan ersättas antingen med naturliga tal, när täljaren delas helt med nämnaren (till exempel 9/9=1 och 12/4=3), eller summan av ett naturligt tal och ett egenbråk, när täljaren inte är jämnt delbar med nämnaren (till exempel 7/3=2+1/3 ). Kanske är det precis vad olämpliga fraktioner förtjänar ett sådant namn - "fel".

Av särskilt intresse är representationen av ett oegentligt bråk som summan av ett naturligt tal och ett egenbråk (7/3=2+1/3). Denna process kallas extrahering av en heltalsdel från en felaktig bråkdel och förtjänar ett separat och mer noggrant övervägande.

Det är också värt att notera att det finns ett mycket nära samband mellan oegentliga bråk och blandade tal.

Positiva och negativa bråk

Varje vanligt bråktal motsvarar ett positivt bråktal (se artikeln positiva och negativa tal). Det vill säga vanliga bråk är det positiva bråk. Till exempel är vanliga fraktioner 1/5, 56/18, 35/144 positiva fraktioner. När det är nödvändigt att betona positiviteten hos en bråkdel, placeras ett plustecken framför det, till exempel +3/4, +72/34.

Om du sätter ett minustecken framför ett vanligt bråktal, kommer denna post att motsvara ett negativt bråktal. I det här fallet kan man tala om negativa bråk. Här är några exempel på negativa bråk: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

De positiva och negativa bråken m/n och −m/n är motsatta tal. Till exempel är bråken 5/7 och −5/7 motsatta bråk.

Positiva bråk, liksom positiva tal i allmänhet, betecknar en ökning, inkomst, en förändring i något värde uppåt, etc. Negativa bråk motsvarar utgifter, skulder, en förändring av något värde i riktning mot minskning. Till exempel kan en negativ bråkdel -3/4 tolkas som en skuld, vars värde är 3/4.

På de horisontella och högerriktade negativa fraktionerna finns till vänster om referenspunkten. Punkterna på koordinatlinjen vars koordinater är den positiva bråkdelen m/n och den negativa bråkdelen −m/n ligger på samma avstånd från origo, men på motsatta sidor av punkten O .

Här är det värt att nämna bråkdelar av formen 0/n. Dessa bråk är lika med talet noll, det vill säga 0/n=0 .

Positiva bråk, negativa bråk och 0/n bråk kombineras för att bilda rationella tal.

Åtgärder med bråk

En åtgärd med vanliga bråk - att jämföra bråk - har vi redan övervägt ovan. Ytterligare fyra aritmetik definieras operationer med fraktioner- addition, subtraktion, multiplikation och division av bråk. Låt oss uppehålla oss vid var och en av dem.

Den allmänna essensen av handlingar med bråk liknar essensen av motsvarande handlingar med naturliga tal. Låt oss dra en analogi.

Multiplikation av bråk kan betraktas som en handling där en bråkdel hittas från en bråkdel. För att förtydliga, låt oss ta ett exempel. Anta att vi har 1/6 av ett äpple och vi måste ta 2/3 av det. Den del vi behöver är resultatet av att multiplicera bråken 1/6 och 2/3. Resultatet av att multiplicera två vanliga bråk är ett vanligt bråk (som i ett visst fall är lika med ett naturligt tal). Vi rekommenderar vidare att studera informationen i artikelmultiplikation av bråk - regler, exempel och lösningar.

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik: lärobok för 5 celler. läroinstitut.
Vilenkin N.Ya. etc. Matematik. Årskurs 6: lärobok för läroanstalter.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).

En del av en enhet eller flera av dess delar kallas en enkel eller vanlig bråkdel. Antalet lika delar som enheten är uppdelad i kallas nämnaren, och antalet delar som tas kallas täljaren. Bråket skrivs som:

I det här fallet är a täljaren, b är nämnaren.

Om täljaren är mindre än nämnaren, så är bråket mindre än 1 och kallas ett eget bråk. Om täljaren är större än nämnaren, så är bråket större än 1, då kallas bråket ett oegentligt bråk.

Om täljaren och nämnaren för ett bråk är lika, så är bråket lika.

1. Om täljaren kan delas med nämnaren, är denna bråkdel lika med divisionens kvot:

Om divisionen utförs med en rest, kan denna oegentliga bråkdel representeras av ett blandat tal, till exempel:

Då är 9 en ofullständig kvot (heltalsdelen av det blandade talet),
1 - resten (täljaren för bråkdelen),
5 är nämnaren.

För att konvertera ett blandat tal till ett bråk, multiplicera heltalsdelen av det blandade talet med nämnaren och addera täljaren för bråkdelen.

Det erhållna resultatet kommer att vara täljaren för ett vanligt bråk, och nämnaren förblir densamma.

Åtgärder med bråk

Bråkexpansion. Värdet på ett bråk ändras inte om dess täljare och nämnare multipliceras med samma tal som inte är noll.
Till exempel:

Bråkreduktion. Värdet på ett bråk ändras inte om dess täljare och nämnare divideras med samma tal som inte är noll.
Till exempel:

Bråkjämförelse. Av två bråk med samma täljare är den större den med den mindre nämnaren:

Av två bråk med samma nämnare är den med den större täljaren större:

För att jämföra bråk som har olika täljare och nämnare är det nödvändigt att utöka dem, det vill säga föra dem till en gemensam nämnare. Tänk till exempel på följande fraktioner:

Addition och subtraktion av bråk. Om bråkens nämnare är desamma, är det nödvändigt att addera deras täljare för att addera bråken, och för att subtrahera bråken är det nödvändigt att subtrahera deras täljare. Den resulterande summan eller skillnaden kommer att vara täljaren för resultatet, medan nämnaren förblir densamma. Om bråkens nämnare är olika måste du först reducera bråken till en gemensam nämnare. När man lägger till blandade tal läggs deras heltals- och bråkdelar till separat. När du subtraherar blandade tal måste du först omvandla dem till formen av oegentliga bråk, sedan subtrahera från varandra och sedan återigen föra resultatet, om nödvändigt, till formen av ett blandat tal.

Multiplikation av bråk. För att multiplicera bråk, måste du multiplicera deras täljare och nämnare separat och dividera den första produkten med den andra.

Division av bråk. För att dividera ett tal med ett bråk, måste du multiplicera det talet med dess ömsesidiga.

Decimalär resultatet av att dividera en med tio, hundra, tusen osv. delar. Först skrivs heltalsdelen av talet, sedan placeras decimaltecknet till höger. Den första siffran efter decimaltecknet betyder antalet tiondelar, den andra - antalet hundradelar, den tredje - antalet tusendelar, etc. Siffrorna efter decimaltecknet kallas decimaler.

Till exempel:

Decimalegenskaper

Egenskaper:

Decimalbråket ändras inte om nollor läggs till till höger: 4,5 = 4,5000.
Decimalbråket ändras inte om nollorna i slutet av decimalbråket tas bort: 0,0560000 = 0,056.
Decimalen ökar vid 10, 100, 1000 och så vidare. gånger, om du flyttar decimaltecknet till ett, två, tre osv. positioner till höger: 4,5 45 (fraktionen har ökat 10 gånger).
Decimalen reduceras med 10, 100, 1000 osv. gånger, om du flyttar decimaltecknet till ett, två, tre osv. positioner till vänster: 4,5 0,45 (andelen har minskat 10 gånger).

En periodisk decimal innehåller en oändligt upprepad grupp av siffror som kallas en punkt: 0,321321321321...=0,(321)

Operationer med decimaler

Att addera och subtrahera decimaler görs på samma sätt som att addera och subtrahera heltal, du behöver bara skriva motsvarande decimaler under varandra.
Till exempel:

Multiplikation av decimalfraktioner utförs i flera steg:

Vi multiplicerar decimaler som heltal, utan att ta hänsyn till decimalkomma.
Regeln gäller: antalet decimaler i produkten är lika med summan av decimalerna i alla faktorer.

Till exempel:

Summan av antalet decimaler i faktorerna är: 2+1=3. Nu måste du räkna 3 siffror från slutet av det resulterande talet och sätta en decimalkomma: 0,675.

Division av decimaler. Dividera en decimal med ett heltal: om utdelningen är mindre än divisorn måste du skriva noll i kvotens heltalsdel och sätta ett decimalkomma efter det. Lägg sedan till nästa siffra i bråkdelen till dess heltalsdel och jämför sedan den resulterande heltalsdelen av utdelningen med divisorn, utan att ta hänsyn till utdelningens decimalkomma. Om det nya talet återigen är mindre än divisorn måste operationen upprepas. Denna process upprepas tills den resulterande utdelningen är större än divisorn. Därefter utförs division som för heltal. Om utdelningen är större än eller lika med divisorn delar vi först dess heltalsdel, skriver resultatet av divisionen i kvoten och sätter en decimalkomma. Därefter fortsätter divisionen, som i fallet med heltal.

Dela en decimalbråkdel i en annan: först överförs decimalpunkterna i utdelningen och divisorn med antalet decimaler i divisorn, det vill säga vi gör divisorn till ett heltal, och de åtgärder som beskrivs ovan utförs.

För att konvertera ett decimalbråk till ett vanligt, är det nödvändigt att ta talet efter decimalkomma som täljare och ta k:te potensen av tio som nämnare (k är antalet decimaler). Heltalsdelen som inte är noll bevaras i den gemensamma bråkdelen; nollheltalsdelen utelämnas.
Till exempel:

För att omvandla ett vanligt bråk till en decimal är det nödvändigt att dividera täljaren med nämnaren i enlighet med divisionsreglerna.

En procentandel är en hundradels enhet, till exempel: 5 % betyder 0,05. Ett förhållande är kvoten för att dividera ett tal med ett annat. Proportion är likheten mellan två förhållanden.

Till exempel:

Huvudegenskapen för proportionen: produkten av de extrema medlemmarna av proportionen är lika med produkten av dess mittelement, det vill säga 5x30 = 6x25. Två ömsesidigt beroende storheter kallas proportionella om förhållandet mellan deras kvantiteter förblir oförändrat (proportionalitetskoefficient).

Således avslöjas följande aritmetiska operationer.
Till exempel:

Uppsättningen av rationella tal inkluderar positiva och negativa tal (hela och bråktal) och noll. En mer exakt definition av rationella tal, accepterad i matematik, är följande: ett tal kallas rationellt om det kan representeras som en vanlig irreducerbar bråkdel av formen:, där a och b är heltal.

För ett negativt tal är det absoluta värdet (modulen) ett positivt tal som erhålls genom att ändra dess tecken från "-" till "+"; för ett positivt tal och noll, själva talet. För att beteckna ett tals modul används två raka linjer, inom vilka detta tal skrivs, till exempel: |–5|=5.

Absolut värde egenskaper

Låt modulen för ett tal ges , för vilka egenskaperna är giltiga:

En monomial är produkten av två eller flera faktorer, som var och en är antingen en siffra eller en bokstav, eller potensen av en bokstav: 3 x a x b. Koefficienten kallas oftast bara en numerisk faktor. Monomial sägs vara lika om de är lika eller bara skiljer sig i koefficienter. Graden av en monomial är summan av exponenterna för alla dess bokstäver. Om det finns liknande bland summan av monomialer, kan summan reduceras till en enklare form: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Denna operation kallas tvång av liknande termer eller parenteser.

Ett polynom är en algebraisk summa av monomer. Graden av ett polynom är den största av graderna av monomialerna som ingår i det givna polynomet.

Det finns följande formler för förkortad multiplikation:

Factoring metoder:

En algebraisk bråkdel är ett uttryck för formen , där A och B kan vara ett tal, ett monom, ett polynom.

Om två uttryck (numeriska och alfabetiska) är sammankopplade med tecknet "=", så sägs de bilda likhet. All sann likhet, giltig för alla tillåtna numeriska värden för bokstäverna som ingår i den, kallas en identitet.

En ekvation är en bokstavlig likhet som är giltig för vissa värden av bokstäverna som ingår i den. Dessa bokstäver kallas okända (variabler), och deras värden, vid vilka den givna ekvationen blir en identitet, kallas ekvationens rötter.

Att lösa en ekvation innebär att hitta alla dess rötter. Två eller flera ekvationer sägs vara ekvivalenta om de har samma rötter.

noll var roten till ekvationen;
Ekvationen har bara ett ändligt antal rötter.

Huvudtyper av algebraiska ekvationer:

Den linjära ekvationen har ax + b = 0:

om a x 0 finns en enda rot x = -b/a;
om a = 0, b ≠ 0, inga rötter;
om a = 0, b = 0, är roten valfritt reellt tal.

Ekvation xn = a, n N:

om n är ett udda tal, har en reell rot lika med a/n för valfritt a;
om n är ett jämnt tal, då för en 0, så har det två rötter.

Grundläggande identiska transformationer: ersättning av ett uttryck med ett annat, identiskt lika med det; överföring av termerna i ekvationen från en sida till den andra med motsatta tecken; multiplikation eller division av båda delarna av ekvationen med samma uttryck (tal) annat än noll.

En linjär ekvation med en okänd är en ekvation av formen: ax+b=0, där a och b är kända tal, och x är ett okänt värde.

System av två linjära ekvationer med två okända har formen:

Där a, b, c, d, e, f ges siffror; x, y är okända.

Tal a, b, c, d - koefficienter för okända; e, f - gratis medlemmar. Lösningen till detta ekvationssystem kan hittas med två huvudmetoder: substitutionsmetoden: från en ekvation uttrycker vi en av de okända genom koefficienterna och den andra okända, och sedan ersätter vi den i den andra ekvationen och löser den sista ekvationen , vi hittar först en okänd, sedan ersätter vi det hittade värdet i den första ekvationen och hittar den andra okända; metod för att addera eller subtrahera en ekvation från en annan.

Operationer med rötter:

Den aritmetiska roten av den n:te graden av ett icke-negativt tal a är ett icke-negativt tal vars n:te potens är lika med a. Den algebraiska roten av den n:e graden från ett givet tal är mängden av alla rötter från detta tal.

Irrationella tal, till skillnad från rationella, kan inte representeras som en vanlig irreducerbar bråkdel av formen m/n, där m och n är heltal. Detta är tal av en ny typ som kan beräknas med vilken precision som helst, men som inte kan ersättas med ett rationellt tal. De kan uppträda som ett resultat av geometriska mätningar, till exempel: förhållandet mellan längden på en kvadrats diagonal och längden på dess sida är lika.

En andragradsekvation är en algebraisk ekvation av andra graden ax2+bx+c=0, där a, b, c ges numeriska eller alfabetiska koefficienter, x är okänd. Om vi dividerar alla termer i denna ekvation med a, får vi som ett resultat x2+px+q=0 - den reducerade ekvationen p=b/a, q=c/a. Dess rötter hittas av formeln:

Om b2-4ac>0 så finns det två distinkta rötter, b2-4ac=0 så finns det två lika rot; b2-4ac Ekvationer som innehåller moduler

Huvudtyper av ekvationer som innehåller moduler:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|gl(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, där f(x), g(x), fk(x), gk(x) är givna funktioner.