Ensiffrigt naturligt tal. Heltal

Heltal

Heltal definition är positiva heltal. Naturliga tal används för att räkna objekt och för många andra ändamål. Här är siffrorna:

Detta är en naturlig serie av tal.
Noll är ett naturligt tal? Nej, noll är inget naturligt tal.
Hur många naturliga tal finns det? Det finns en oändlig uppsättning naturliga tal.
Vilket är det minsta naturliga talet? Ett är det minsta naturliga talet.
Vilket är det största naturliga talet? Det kan inte specificeras, eftersom det finns en oändlig uppsättning naturliga tal.

Summan av naturliga tal är ett naturligt tal. Så tillägget av naturliga tal a och b:

Produkten av naturliga tal är ett naturligt tal. Så produkten av naturliga tal a och b:

c är alltid ett naturligt tal.

Skillnad mellan naturliga tal Det finns inte alltid ett naturligt tal. Om minuenden är större än subtrahenden är skillnaden mellan naturliga tal ett naturligt tal, annars är det inte det.

Kvoten av naturliga tal Det finns inte alltid ett naturligt tal. Om för naturliga tal a och b

där c är ett naturligt tal betyder det att a är jämnt delbart med b. I det här exemplet är a utdelningen, b är divisorn, c är kvoten.

Divisorn för ett naturligt tal är det naturliga tal som det första talet är jämnt delbart med.

Varje naturligt tal är delbart med 1 och sig själv.

Enkla naturliga tal är bara delbara med 1 och sig själva. Här menar vi helt splittrad. Exempel, nummer 2; 3; 5; 7 är bara delbart med 1 och sig själv. Dessa är enkla naturliga tal.

Ett anses inte vara ett primtal.

Tal som är större än ett och som inte är primtal kallas sammansatta tal. Exempel på sammansatta tal:

En anses inte vara ett sammansatt nummer.

Mängden naturliga tal består av ett, primtal och sammansatta tal.

Mängden naturliga tal betecknas latinsk bokstav N.

Egenskaper för addition och multiplikation av naturliga tal:

kommutativ egenskap för addition

associativ egenskap hos addition

(a + b) + c = a + (b + c);

kommutativ egenskap för multiplikation

associativ egenskap för multiplikation

(ab)c = a(bc);

fördelningsegenskapen för multiplikation

A (b + c) = ab + ac;

Heltal

Heltal är naturliga tal, noll och motsatsen till naturliga tal.

Tal motsatta naturliga tal är negativa heltal, till exempel:

1; -2; -3; -4;...

Heltalsuppsättningen betecknas med den latinska bokstaven Z.

Rationella nummer

Rationella nummerär heltal och bråk.

Vilket rationellt tal som helst kan representeras som ett periodiskt bråktal. Exempel:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Det kan ses från exemplen att vilket heltal som helst är ett periodiskt bråk med en period på noll.

Vilket rationellt tal som helst kan representeras som ett bråk m/n, där m är ett heltal antal, n naturligt siffra. Låt oss representera talet 3,(6) från föregående exempel som en sådan bråkdel.

Vad är naturliga och icke-naturliga tal? Hur förklarar man för ett barn, eller kanske inte för ett barn, vad är skillnaderna mellan dem? Låt oss ta reda på det. Så vitt vi vet studeras icke-naturliga och naturliga tal i 5:an och vårt mål är att förklara för eleverna så att de verkligen förstår och lär sig vad och hur.

Berättelse

Naturliga tal är ett av de äldsta begreppen. För länge sedan, när folk fortfarande inte visste hur de skulle räkna och inte hade någon aning om siffror, när de behövde räkna något, till exempel fiskar, djur, slog de ut på olika ämnen prickar eller streck, som arkeologer senare fick reda på. På den tiden var det mycket svårt för dem att leva, men civilisationen utvecklades först till det romerska talsystemet och sedan till det decimala talsystemet. Nu använder nästan alla arabiska siffror.

Allt om naturliga tal

Naturliga tal är primtal som vi använder i vårt dagliga liv för att räkna föremål för att bestämma kvantitet och ordning. Vi använder för närvarande decimalnotation för att skriva siffror. För att skriva ner valfritt tal använder vi tio siffror - från noll till nio.

Naturliga tal är de siffror som vi använder när vi räknar föremål eller anger serienumret på något. Exempel: 5, 368, 99, 3684.

Talserien kallas naturliga tal, som är ordnade i stigande ordning, d.v.s. från ett till oändlighet. Denna rad börjar med det minsta antalet- 1, och det finns inget största naturliga tal, eftersom talserien helt enkelt är oändlig.

I allmänhet anses noll inte vara ett naturligt tal, eftersom det betyder frånvaron av något, och det finns inte heller något antal objekt.

Det arabiska siffersystemet är modernt system som vi använder varje dag. Det är en av varianterna av indiska (decimal).

Detta talsystem blev modernt på grund av siffran 0, som uppfanns av araberna. Innan dess saknades det i det indiska systemet.

icke-naturliga tal. Vad är det?

Naturliga tal inkluderar inte negativa tal och icke-heltal. Så de är - icke-naturliga tal

Nedan följer exempel.

Icke-naturliga tal är:

Negativa tal, till exempel: -1, -5, -36.. och så vidare.
Rationella tal som uttrycks i decimaler: 4,5, -67, 44,6.
I form av en enkel bråkdel: 1/2, 40 2/7, etc.

Irrationella tal, såsom e = 2,71828, √2 = 1,41421 och liknande.

Vi hoppas att vi har hjälpt dig mycket med icke-naturliga och naturliga siffror. Nu blir det lättare för dig att förklara detta ämne för ditt barn, och han kommer att lära sig det likaväl som de stora matematikerna!

Matematik uppstod ur den allmänna filosofin runt 600-talet f.Kr. e. och från det ögonblicket började hennes segerrika marsch runt världen. Varje utvecklingsstadium introducerade något nytt - den elementära redovisningen utvecklades, förvandlades till differential- och integralkalkyl, århundraden förändrades, formlerna blev mer och mer förvirrande, och ögonblicket kom då "det mest komplex matematik- alla siffror försvann från den. Men vad var grunden?

Tidernas begynnelse

Naturliga tal dök upp i nivå med de första matematiska operationer. En gång en ryggrad, två ryggar, tre ryggar ... De dök upp tack vare indiska forskare som härledde den första positionella

Ordet "positionalitet" betyder att platsen för varje siffra i ett nummer är strikt definierad och motsvarar dess kategori. Till exempel är siffrorna 784 och 487 samma siffror, men siffrorna är inte likvärdiga, eftersom den första innehåller 7 hundra, medan den andra endast 4. Indianernas innovation togs upp av araberna, som förde siffrorna till form som vi känner till nu.

I antiken gavs siffror en mystisk betydelse, Pythagoras trodde att numret ligger till grund för skapandet av världen tillsammans med huvudelementen - eld, vatten, jord, luft. Om vi bara betraktar allt från den matematiska sidan, vad är då ett naturligt tal? Fältet med naturliga tal betecknas som N och är en oändlig serie av tal som är heltal och positiva: 1, 2, 3, … + ∞. Noll är uteslutet. Den används främst för att räkna artiklar och ange ordning.

Vad är det i matematik? Peanos axiom

Fältet N är det basfält som elementär matematik bygger på. Med tiden har fälten heltal, rationella,

Arbetet av den italienske matematikern Giuseppe Peano möjliggjorde ytterligare strukturering av aritmetiken, uppnådde dess formalitet och banade väg för ytterligare slutsatser som gick bortom fältet N.

Vad som är ett naturligt tal, fick man reda på tidigare enkelt språk, kommer den matematiska definitionen baserad på Peanos axiom att betraktas nedan.

Ett anses vara ett naturligt tal.
Talet som följer efter ett naturligt tal är ett naturligt tal.
Det finns inget naturligt tal före ett.
Om talet b följer både talet c och talet d, då c=d.
Induktionens axiom, som i sin tur visar vad ett naturligt tal är: om något påstående som beror på en parameter är sant för talet 1, då antar vi att det också fungerar för talet n från fältet av naturliga tal N. Då påståendet är också sant för n =1 från fältet för naturliga tal N.

Grundläggande operationer för området naturliga tal

Eftersom fältet N blev det första för matematiska beräkningar hänvisar både definitionsdomänerna och värdeintervallen för ett antal operationer nedan till det. De är stängda och inte. Den största skillnaden är att slutna verksamheter garanterat lämnar ett resultat inom mängden N, oavsett vilka siffror det handlar om. Det räcker att de är naturliga. Resultatet av de återstående numeriska interaktionerna är inte längre så entydigt och beror direkt på vilken typ av tal som är inblandade i uttrycket, eftersom det kan strida mot huvuddefinitionen. Så, stängd verksamhet:

addition - x + y = z, där x, y, z ingår i fältet N;
multiplikation - x * y = z, där x, y, z ingår i N-fältet;
exponentiering - x y , där x, y ingår i N-fältet.

De återstående operationerna, vars resultat kanske inte existerar inom ramen för definitionen "vad är ett naturligt tal", är följande:

Egenskaper för nummer som hör till fältet N

Alla ytterligare matematiska resonemang kommer att baseras på följande egenskaper, de mest triviala, men inte mindre viktiga.

Den kommutativa egenskapen för addition är x + y = y + x, där talen x, y ingår i fältet N. Eller det välkända "summan förändras inte från en förändring av termernas platser."
Den kommutativa egenskapen för multiplikation är x * y = y * x, där talen x, y ingår i fältet N.
Den associativa egenskapen för addition är (x + y) + z = x + (y + z), där x, y, z ingår i fältet N.
Den associativa egenskapen för multiplikation är (x * y) * z = x * (y * z), där talen x, y, z ingår i fältet N.
distributionsegenskap - x (y + z) = x * y + x * z, där talen x, y, z ingår i fältet N.

Pythagoras bord

Ett av de första stegen i kunskapen om hela strukturen i elementär matematik av skolbarn, efter att de själva har förstått vilka tal som kallas naturliga, är den pythagoriska tabellen. Det kan betraktas inte bara ur vetenskapens synvinkel, utan också som ett värdefullt vetenskapligt monument.

Denna multiplikationstabell har genomgått ett antal förändringar över tiden: noll har tagits bort från den och siffror från 1 till 10 anger sig själva, utan att ta hänsyn till order (hundratals, tusentals ...). Det är en tabell där rubrikerna på rader och kolumner är siffror, och innehållet i cellerna i deras skärningspunkt är lika med deras produkt.

I praktiken av undervisning under de senaste decennierna har det funnits ett behov av att memorera den pythagoriska tabellen "i ordning", det vill säga memorering gick först. Multiplikation med 1 uteslöts eftersom resultatet var 1 eller högre. Under tiden, i tabellen med blotta ögat, kan du se ett mönster: produkten av siffror växer med ett steg, vilket är lika med radens titel. Således visar den andra faktorn oss hur många gånger vi behöver ta den första för att få den önskade produkten. Detta system till skillnad från den som praktiserades på medeltiden: till och med förstå vad ett naturligt tal är och hur trivialt det är, lyckades människor komplicera sin vardagliga räkning med ett system baserat på tvåpotenser.

Delmängd som matematikens vagga

På det här ögonblicket fältet för naturliga tal N betraktas bara som en av delmängderna av komplexa tal, men detta gör dem inte mindre värdefulla inom vetenskapen. Ett naturligt tal är det första ett barn lär sig genom att studera sig själv och omvärlden. Ett finger, två fingrar ... Tack vare honom bildas en person logiskt tänkande, såväl som förmågan att fastställa orsaken och härleda effekten, vilket banar väg för stora upptäckter.

Det enklaste numret är naturligt nummer. De används i Vardagsliv för att räkna föremål, dvs. för att beräkna deras antal och ordning.

Vad är ett naturligt tal: naturliga tal namnge siffrorna som används för räknar artiklar eller för att ange serienumret för någon artikel från alla homogena föremål.

Heltalär siffror som börjar från ett. De bildas naturligt när man räknar.Till exempel, 1,2,3,4,5... -första naturliga talen.

minsta naturliga tal- ett. Det finns inget största naturliga tal. När man räknar antalet noll används inte, så noll är ett naturligt tal.

naturliga talserierär sekvensen av alla naturliga tal. Skriv naturliga tal:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

I naturliga tal är varje tal ett mer än det föregående.

Hur många tal finns i den naturliga serien? Den naturliga serien är oändlig, det finns inget största naturliga tal.

Decimal eftersom 10 enheter av vilken kategori som helst bildar 1 enhet av högsta ordningen. positionell så hur värdet på en siffra beror på dess plats i talet, d.v.s. från den kategori där den är inspelad.

Klasser av naturliga tal.

Alla naturliga tal kan skrivas med 10 arabiska siffror:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

För att läsa naturliga tal är de indelade, med början från höger, i grupper med 3 siffror vardera. 3 först siffrorna till höger är klassen av enheter, de nästa 3 är klassen av tusentals, sedan klasserna av miljoner, miljarder ochetc. Var och en av siffrorna i klassen kallas dessansvarsfrihet.

Jämförelse av naturliga tal.

Av de 2 naturliga talen är talet som kallas tidigare i räkningen mindre. till exempel, siffra 7 mindre 11 (skrivet så här:7 < 11 ). När ett nummer mer än en sekund, det är skrivet så här:386 > 99 .

Tabell över siffror och klasser av nummer.


1:a klass enhet	1:a enhetssiffran 2:a plats tio 3:e rang hundratals
2:a klass tusen	1:a siffra enheter av tusentals 2:a siffran tiotusentals 3:e rang hundratusentals
3:e klass miljoner	1:a siffran enheter miljoner 2:a siffran tiotals miljoner 3:e siffran hundratals miljoner
4:e klass miljarder	1:a siffran enheter miljarder 2:a siffran tiotals miljarder 3:e siffran hundratals miljarder

Siffror 5:e klass och uppåt hänvisar till stora siffror. Enheter av 5:e klassen - biljoner, 6:e klass - quadrillions, 7:e klass - quintillions, 8:e klass - sextiljoner, 9:e klass - etillioner.

Grundläggande egenskaper hos naturliga tal.

Kommutativitet av addition . a + b = b + a
Kommutativitet av multiplikation. ab=ba
Associativitet av addition. (a + b) + c = a + (b + c)
Associativitet av multiplikation.
Fördelning av multiplikation med avseende på addition:

Åtgärder på naturliga tal.

4. Division av naturliga tal är en operation invers till multiplikation.

Om en b ∙ c \u003d a, då

Divisionsformler:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(a∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(a∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Numeriska uttryck och numeriska likheter.

En notation där siffror är sammankopplade med åtgärdstecken är numeriskt uttryck.

Till exempel, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Poster där likhetstecknet sammanfogar 2 numeriska uttryck är numeriska likheter. Jämlikhet har en vänster sida och en höger sida.

Ordningen i vilken aritmetiska operationer utförs.

Addition och subtraktion av tal är operationer av första graden, medan multiplikation och division är operationer av andra graden.

När ett numeriskt uttryck består av åtgärder av endast en grad, utförs de sekventiellt från vänster till höger.

När uttryck består av handlingar av endast första och andra graden, då utförs handlingarna först andra graden, och sedan - åtgärder av första graden.

När det finns parenteser i uttrycket utförs åtgärderna inom parentesen först.

Till exempel, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Heltal- siffror som används för att räkna objekt . Vilket naturligt tal som helst kan skrivas med tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En sådan registrering av siffror kallas decimal.

Följden av alla naturliga tal kallas naturligt sida vid sida .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Mest små ett naturligt tal är ett (1). I den naturliga serien är varje nästa nummer 1 mer än det föregående. naturlig serie ändlös det finns inget största antal.

Betydelsen av en siffra beror på dess plats i numrets notation. Till exempel betyder siffran 4: 4 enheter om den står på sista plats i nummerinmatningen (på enhetsplats); 4 tio, om hon är på sista plats (på tiotalets plats); 4 hundratals, om det är på tredje plats från slutet (i hundratals plats).

Siffra 0 betyder brist på enheter i denna kategori i decimalnotationen för ett tal. Det tjänar också till att beteckna talet " noll-". Detta nummer betyder "ingen". Poäng 0:3 fotbollsmatch säger att a-laget inte gjorde ett enda mål mot motståndaren.

Noll inkludera inte till naturliga tal. Och räkningen av föremål börjar faktiskt aldrig från början.

Om ett naturligt tal bara har en siffra – en siffra, sedan kallas det entydig. De där. entydignaturligt nummer- ett naturligt tal vars register består av ett tecken – en siffra. Till exempel är siffrorna 1, 6, 8 ensiffriga.

tvåsiffrigtnaturligt nummer- ett naturligt tal, vars post består av två tecken - två siffror.

Till exempel är siffrorna 12, 47, 24, 99 tvåsiffriga.

Beroende på antalet tecken i ett givet nummer ges namn till andra nummer:

nummer 326, 532, 893 - tresiffrig;

nummer 1126, 4268, 9999 - fyrsiffrig etc.

Två siffror, tre siffror, fyra siffror, fem siffror osv. nummer kallas flersiffriga nummer .

För att läsa flersiffriga nummer delas de in, med början från höger, i grupper med tre siffror vardera (gruppen längst till vänster kan bestå av en eller två siffror). Dessa grupper kallas klasser.

Miljonär tusen tusen (1000 tusen), det skrivs 1 miljon eller 1 000 000.

Miljardär 1000 miljoner. Det registreras med 1 miljard eller 1 000 000 000.

De första tre siffrorna till höger utgör klassen av enheter, de nästa tre - klassen av tusentals, sedan finns det klasserna av miljoner, miljarder, etc. (Figur 1).

Ris. 1. Klass av miljoner, klass av tusentals och klass av enheter (från vänster till höger)

Numret 15389000286 är skrivet i bitrutnätet (Fig. 2).