Numeriska sekvenser och sätt att ställa in dem. Uppgift för praktiskt arbete "Specificera numeriska sekvenser på olika sätt, beräkna medlemmar av en sekvens

I den här lektionen kommer vi att börja studera progressioner. Här kommer vi att bekanta oss med nummerföljden och hur man ställer in den.

Först minns vi definitionen och egenskaperna för funktioner för numeriska argument och betraktar ett specialfall av en funktion när x tillhör mängden naturliga tal. Vi ger en definition av en numerisk sekvens och ger några exempel. Vi kommer att visa ett analytiskt sätt att specificera en sekvens genom formeln för dess n:te medlem och överväga flera exempel för att specificera och bestämma en sekvens. Överväg sedan den verbala och återkommande tilldelningen av en sekvens.

Tema: Framsteg

Lektion: Numerisk sekvens och hur man ställer in den

1. Upprepning

Numerisk sekvens, som vi kommer att se är detta ett specialfall av en funktion, så låt oss komma ihåg funktionsdefinitionen.

En funktion är en lag enligt vilken varje giltigt värde i ett argument tilldelas ett unikt värde på funktionen.

Här är exempel på kända funktioner.

Ris. 1. Graf över en funktion

Alla värden är tillåtna utom 0. Grafen för denna funktion är en hyperbel (se Fig.1).

2.. Alla värden är tillåtna, .

Ris. 2. Funktionsdiagram

Schema kvadratisk funktion- parabel, karakteristiska punkter är också markerade (se fig. 2).

3..

Ris. 3. Graf över en funktion

Alla x-värden är tillåtna. Grafen för en linjär funktion är en rät linje (se fig. 3).

2. Definition av en numerisk sekvens

Om x bara tar naturliga värden (), så har vi ett specialfall, nämligen en numerisk sekvens.

Kom ihåg att naturliga tal är 1, 2, 3, …, n, …

Funktionen , där , kallas en funktion av ett naturligt argument, eller en numerisk sekvens, och betecknas enligt följande: eller , eller .

Låt oss förklara vad till exempel notationen betyder.

Detta är värdet på funktionen när n=1, dvs.

Detta är värdet på funktionen när n=2 dvs osv...

Detta är värdet på funktionen när argumentet är n, dvs.

3. Provsekvenser

1. är den allmänna termformeln. Vi sätter olika värden på n, vi får olika värden på y - medlemmar av sekvensen.

När n=1; , när n=2, etc., .

Tal är medlemmar av en given sekvens och poäng ligga på hyperbeln - grafen för funktionen (se fig. 4).

Ris. 4. Funktionsdiagram

Om n=1, då ; om n=2, då; om n=3, då osv.

Siffrorna är medlemmar av en given sekvens, och punkterna ligger på en parabel - grafen för en funktion (se fig. 5).

Ris. 5. Funktionsdiagram

Ris. 6. Funktionsdiagram

Om n=1, då ; om n=2 då ; om n=3 då etc.

Tal är medlemmar i en given sekvens, och punkterna ligger på en rät linje - grafen för funktionen (se fig. 6).

4. Analytisk metod för att specificera sekvensen

Det finns tre sätt att specificera sekvenser: analytisk, verbal och återkommande. Låt oss överväga var och en av dem i detalj.

Sekvensen ges analytiskt om formeln för dess n:e term ges.

Låt oss titta på några exempel.

1. Hitta flera medlemmar av sekvensen, som ges av formeln för den n-te medlemmen: (ett analytiskt sätt att specificera sekvensen).

Beslut. Om n=1, då ; om n=2, då; om n=3 då etc.

För en given sekvens hittar vi och .

.

.

2. Betrakta sekvensen som ges av formeln för den n:e medlemmen: (analytiskt sätt att specificera sekvensen).

Låt oss hitta flera medlemmar i denna sekvens.

Om n=1, då ; om n=2 då ; om n=3 då etc.

I allmänhet är det inte svårt att förstå att medlemmarna i denna sekvens är de siffror som, när de divideras med 4, ger en återstod av 1.

a. För en given sekvens, hitta .

Beslut: . Svar: .

b. Två nummer anges: 821, 1282. Är dessa nummer medlemmar av den givna sekvensen?

För att talet 821 ska vara en medlem av sekvensen är det nödvändigt att likheten: eller . Den sista likheten är en ekvation för n. Om beslutet given ekvationär ett naturligt tal, då är svaret ja.

I det här fallet är det så. .

Svar: ja, 821 är en medlem av den givna sekvensen, .

Låt oss gå vidare till den andra siffran. Liknande resonemang leder oss till lösningen av ekvationen: .

Svar: eftersom n inte är ett naturligt tal, är talet 1282 inte en medlem av den givna sekvensen.

Formler som analytiskt definierar en sekvens kan vara väldigt olika: enkla, komplexa, etc. Kravet på dem är detsamma: varje värde på n måste motsvara ett enda tal.

3. Given: sekvensen ges av följande formel.

Hitta de tre första medlemmarna i sekvensen.

, , .

Svar: , , .

4. Är talen medlemmar av sekvensen?

a. , dvs. När vi löser den här ekvationen får vi det. Detta är ett naturligt tal.

Svar: det första givna numret är en medlem av denna sekvens, nämligen dess femte medlem.

b. , dvs. När vi löser den här ekvationen får vi det. Detta är ett naturligt tal.

Svar: det andra givna numret är också en medlem av denna sekvens, nämligen dess nittionionde medlem.

5. Verbalt sätt att ställa in sekvensen

Vi har övervägt ett analytiskt sätt att specificera en numerisk sekvens. Det är bekvämt, vanligt, men inte det enda.

Nästa sätt är verbal tilldelning av sekvensen.

Sekvensen, var och en av dess medlemmar, möjligheten att beräkna var och en av dess medlemmar kan specificeras i ord, inte nödvändigtvis formler.

Exempel 1 En sekvens av primtal.

Kom ihåg att ett primtal är ett naturligt tal som har exakt två distinkta delare: 1 och själva talet. Primtal är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 osv.

Det finns otaliga av dem. Euklid bevisade också att sekvensen av dessa tal är oändlig, det vill säga att det inte finns något största primtal. Sekvensen är given, varje term kan beräknas, tråkig, men kan beräknas. Denna sekvens ges verbalt. Tyvärr finns inte formlerna tillgängliga.

Exempel 2 Tänk på siffran =1,41421...

Detta är irrationellt tal, ger dess decimalnotation ett oändligt antal siffror. Låt oss betrakta en sekvens av decimala approximationer av ett tal genom brist: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; etc.

Det finns ett oändligt antal medlemmar i denna sekvens, var och en av dem kan beräknas. Det är omöjligt att sätta denna sekvens med en formel, så vi beskriver den verbalt.

6. Rekursivt sätt att specificera en sekvens

Vi har övervägt två sätt att specificera en numerisk sekvens:

1. Analytisk metod, när formeln för den n:e medlemmen ges.

2. Verbal tilldelning av sekvensen.

Och slutligen finns det en återkommande sekvensering, när reglerna för beräkning av den n:e termen från de tidigare termerna ges.

Överväga

Exempel 1 Fibonacci-sekvens (1200-talet).

Historik referens:

Leonardo av Pisa (cirka 1170, Pisa - cirka 1250) - den första stora matematikern medeltida Europa. Han är mest känd under smeknamnet Fibonacci.

Mycket av det han lärde sig presenterade han i sin enastående bok om Abacus (Liber abaci, 1202; endast det kompletterade manuskriptet från 1228 har överlevt till denna dag). Den här boken innehåller nästan all aritmetisk och algebraisk information från den tiden, presenterad med exceptionell fullständighet och djup. "Bok av kulramen" höjer sig kraftigt över den europeiska aritmetiska och algebraiska litteraturen från 1100-1300-talen. metodernas variation och styrka, uppgifternas rikedom, bevisen på presentation. Efterföljande matematiker drog i stor utsträckning från det både problem och metoder för att lösa dem. Enligt den första boken studerade många generationer europeiska matematiker det indiska positionsnummersystemet.

De två första termerna är givna och varje efterföljande term är summan av de två föregående

ett; ett; 2; 3; 5; åtta; tretton; 21; 34; 55; ... är de första medlemmarna i Fibonacci-sekvensen.

Denna sekvens ges rekursivt, n:e medlem beror på de två föregående.

Exempel 2

I denna sekvens är varje efterföljande term större än den föregående med 2. En sådan sekvens kallas en aritmetisk progression.

Siffrorna 1, 3, 5, 7... är de första medlemmarna i denna sekvens.

Låt oss ge ytterligare ett exempel på en återkommande tilldelning av en sekvens.

Exempel 3

Sekvensen ges enligt följande:

Varje efterföljande term i denna sekvens erhålls genom att multiplicera föregående term med samma tal q. En sådan sekvens har ett speciellt namn - en geometrisk progression. Aritmetiska och geometriska progressioner kommer att vara föremålen för vår studie i nästa lektion.

Låt oss hitta några medlemmar av den angivna sekvensen vid b=2 och q=3.

Nummer 2; 6; arton; 54; 162 ... är de första medlemmarna i denna sekvens.

Intressant nog kan denna sekvens också specificeras analytiskt, det vill säga du kan välja en formel. I det här fallet blir formeln följande.

Faktum är att om n=1, då ; om n=2, då; om n=3 då etc.

Således konstaterar vi att samma sekvens kan ges både analytiskt och återkommande.

7. Sammanfattning av lektionen

Så vi har övervägt vad en numerisk sekvens är och hur man ställer in den.

I nästa lektion kommer vi att bekanta oss med egenskaperna hos numeriska sekvenser.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra årskurs 9 (lärobok för gymnasieskolan).-M.: Education, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra för årskurs 9 med fördjupning. studie matematik.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Ytterligare kapitel till skolboken för algebra årskurs 9.-M .: Education, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Samling av problem i algebra för 8-9 klasser ( handledning för elever i skolor och klasser med fördjupning. studie matematik).-M.: Utbildning, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra årskurs 9, lärobok för allmänna läroanstalter. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra årskurs 9, problembok för utbildningsinstitutioner. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Matematikens historia i skolan. Årskurs 7-8 (en vägledning för lärare).-M.: Upplysning, 1983.

1. Högskoleavdelning. ru i matematik.

2. Naturvetenskapernas portal.

3. Exponentiell. ru Matematisk pedagogisk webbplats.

1. Nr 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra Grad 9).

2. Nr 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Samling av problem i algebra för årskurs 8-9).

Algebra. Årskurs 9
Lektion #32
Datumet:_____________
Lärare: Gorbenko Alena Sergeevna
Ämne: Numerisk sekvens, sätt att ställa in den och egenskaper
Lektionstyp: kombinerad
Syftet med lektionen: att ge konceptet och definitionen av en numerisk sekvens, att överväga sätt
tilldelningar av numeriska sekvenser
Uppgifter:
Utbildning: att bekanta eleverna med begreppet en numerisk sekvens och en medlem
numerisk sekvens; bekanta dig med analytiska, verbala, återkommande och
grafiska sätt att ställa in en numerisk sekvens; överväga typerna av siffror
sekvenser; förberedelse för EAEA;
Utveckla: utveckling av matematisk läskunnighet, tänkande, beräkningstekniker, färdigheter
jämförelser vid val av formel; väcka intresse för matematik;
Utbildning: utbildning av färdigheter för självständig aktivitet; klarhet och
organisation i arbetet; möjliggöra för varje elev att lyckas;
Utrustning: Skolmaterial, tavla, krita, lärobok, utdelat material.
Under lektionerna
jag. Att organisera tid
 Ömsesidig hälsning;
 Fixa frånvarande;
 Tillkännagivande av ämnet för lektionen;
 Att sätta upp mål och mål för lektionen av eleverna.
Sekvens är ett av de mest grundläggande begreppen inom matematik. Sekvensen kan
vara sammansatt av tal, punkter, funktioner, vektorer osv.
Idag i lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet "numerisk sekvens", vi kommer att ta reda på vad
det kan finnas sekvenser, låt oss bekanta oss med de berömda sekvenserna.

II. Uppdatering av grundläggande kunskaper.
Känner du till funktioner definierade på hela tallinjen eller på dess kontinuerliga
III.
intervaller:
linjär funktion y \u003d kx + v,
kvadratisk funktion y \u003d ax2 + inx + c,


 funktion y =



 funktion y = |x|.
Förberedelse för uppfattningen av ny kunskap
direkt proportionalitet y \u003d kx,
omvänd proportionalitet y \u003d k / x,
kubisk funktion y = x3,
,
Men det finns funktioner definierade på andra uppsättningar.
Exempel. Många familjer har en sed, en sorts ritual: på ett barns födelsedag
föräldrar tar med honom dörrkarm och högtidligt fira födelsedagsmannens tillväxt på den.
Barnet växer och med åren dyker en hel stege av märken upp på karmen. Tre, fem, två: Det här är
sekvens av tillväxt från år till år. Men det finns en annan sekvens, nämligen
dess medlemmar är noggrant utskrivna bredvid seriferna. Detta är en sekvens av tillväxtvärden.
De två sekvenserna är relaterade till varandra.
Den andra erhålls från den första genom addition.
Tillväxt är summan av vinsterna för alla tidigare år.
Tänk på några fler frågor.
Uppgift 1. Det finns 500 ton kol i lagret, 30 ton levereras varje dag Hur mycket kol blir det
i lager om 1 dag? 2 dagar? Dag 3? Dag 4? Dag 5?
(Elevers svar skrivs på tavlan: 500, 530, 560, 590, 620).
Uppgift 2. Under perioden med intensiv tillväxt växer en person med i genomsnitt 5 cm per år. Nu tillväxt
elev S. är 180 cm Hur lång blir han 2026? (2m 30 cm). Men så ska det inte vara
kanske. Varför?
Uppgift 3. Varje dag kan varje person med influensa smitta 4 andra.
Om hur många dagar kommer alla elever på vår skola (300 personer) att bli sjuka? (Efter 4 dagar).
Det här är exempel på funktioner definierade på mängden naturliga tal - numeriska
sekvenser.
Målet med lektionen är: Hitta sätt att hitta vilken medlem som helst i sekvensen.
Lektionens mål: Ta reda på vad en numerisk sekvens är och hur
sekvenser.
IV. Att lära sig nytt material
Definition: En numerisk sekvens är en funktion definierad på en mängd
naturliga tal (sekvenser utgör sådana naturelement som
kan numreras).
Begreppet en numerisk sekvens uppstod och utvecklades långt före skapandet av läran om
funktioner. Här är exempel på oändliga nummersekvenser kända tillbaka i tiden
antikviteter:
1, 2, 3, 4, 5, : sekvens av naturliga tal;
2, 4, 6, 8, 10, : sekvens av jämna tal;
1, 3, 5, 7, 9, : följd av udda nummer;
1, 4, 9, 16, 25, : sekvens av kvadrater av naturliga tal;
2, 3, 5, 7, 11, : sekvens av primtal;
,
1,
Antalet medlemmar i var och en av dessa serier är oändligt; första fem sekvenserna
, : sekvens av reciproka naturliga tal.
,
monotont ökande, den senare monotont avtagande.

Beteckning: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:sekvensnummer för sekvensmedlemmen.
(yn) sekvens, ynth medlem av sekvensen.
(en) sekvens, n:e medlem av sekvensen.
an1 är den föregående medlemmen av sekvensen,
en +1 efterföljande medlem av sekvensen.
Sekvenser är ändliga och oändliga, ökar och minskar.
Uppgifter för eleverna: Skriv ner de första 5 medlemmarna i sekvensen:
Från det första naturliga talet öka med 3.
Från 10 öka med 2 gånger och minska med 1.
Från siffran 6, alternera en ökning med 2 och en ökning med 2 gånger.
Dessa nummerserier kallas även nummersekvenser.
Sekvenseringsmetoder:
verbalt sätt.
Sekvenseringsregler beskrivs i ord, utan formler eller
när det inte finns några regelbundenheter mellan elementen i sekvensen.
Exempel 1. En sekvens av primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Exempel 2. En godtycklig uppsättning siffror: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Exempel 3. Sekvens av jämna nummer 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analytiskt sätt.
Varje n:te element i sekvensen kan bestämmas med hjälp av en formel.
Exempel 1. Sekvens av jämna tal: y = 2n.
Exempel 2. Följden av kvadraten av naturliga tal: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Exempel 3. Stationär sekvens: y = C; C, C, C, ..., C, ...
specialfall:y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Exempel 4. Sekvens y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekursivt sätt.
En regel specificeras som tillåter beräkning av det n:te elementet i sekvensen if
dess tidigare element är kända.
Exempel 1. Aritmetisk progression: a1=a, an+1=an+d, där a och d är givna siffror, d
skillnaden mellan en aritmetisk progression. Låt a1=5, d=0,7, sedan den aritmetiska progressionen
kommer att se ut så här: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
Exempel 2. Geometrisk progression: b1= b, bn+1= bnq, där b och q är givna tal, b
0,
0; q är nämnaren geometrisk progression. Låt b1=23, q=½, sedan den geometriska
q
progressionen kommer att se ut så här: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafiskt sätt. Numerisk sekvens
ges av en graf som är
isolerade prickar. Abskissarna på dessa punkter är naturliga
siffror: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinater - medlemsvärden
sekvenser: al; a2; a3; a4;...
Exempel: Skriv ner alla fem medlemmarna i en talföljd,
ges på ett grafiskt sätt.
Beslut.
Varje punkt i detta koordinatplan har
koordinater (n; an). Skriv ner koordinaterna för de markerade punkterna
stigande abskiss n.
Vi får: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Därför är a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Svar: 3; ett; 4; 6; 7.
V. Primär konsolidering av det studerade materialet
Exempel 1. Skriv en möjlig formel för det n:te elementet i sekvensen (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Beslut.
a) Detta är en sekvens udda tal. Analytiskt kan denna sekvens vara
satt med formeln y = 2n+1.
b) Detta är en numerisk sekvens där nästa element är större än det föregående
med 4. Analytiskt kan denna sekvens ges av formeln y = 4n.
Exempel 2. Skriv ut de första tio elementen i en sekvens som ges återkommande: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 om n = 3, 4, 5, 6, ... .
Beslut.
Varje efterföljande element i denna sekvens är lika med summan av de två föregående
element.
yl=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Sammanfattning av lektionen. Reflexion
1. Vad lyckades du med uppgiften?
2. Var arbetet samordnat?
3. Vad fungerade inte enligt dig?

En numerisk sekvens är ett specialfall av en numerisk funktion, så ett antal egenskaper hos funktioner beaktas också för sekvenser.

1. Definition . Efterföljd ( y n} kallas ökande om var och en av dess termer (förutom den första) är större än den föregående:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Definition.Sequence ( y n} kallas minskande om var och en av dess termer (förutom den första) är mindre än den föregående:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Ökande och minskande sekvenser förenas av en gemensam term - monotona sekvenser.

Till exempel: y 1 = 1; y n= n 2… är en ökande sekvens. y 1 = 1; är en fallande sekvens. y 1 = 1; – denna sekvens är inte icke-ökande icke-minskande.

4. Definition. En sekvens kallas periodisk om det finns ett naturligt tal T så att, utgående från något n, gäller likheten yn = yn+T. Talet T kallas periodlängden.

5. En sekvens kallas avgränsad underifrån om alla dess medlemmar är åtminstone ett tal.

6. En sekvens sägs vara avgränsad från ovan om alla dess medlemmar är högst ett antal.

7. En sekvens kallas bounded om den är bounded både över och under, d.v.s. det finns ett positivt tal så att alla termer i den givna sekvensen inte överstiger detta tal i absolut värde. (Men att vara begränsad på båda sidor betyder inte nödvändigtvis att den är ändlig.)

8. En sekvens kan bara ha en gräns.

9. Varje icke-minskande sekvens avgränsad ovan har en limit (lim).

10. Varje icke-ökande sekvens avgränsad nedanför har en gräns.

Gränsen för sekvensen är en punkt (nummer) i närheten av vilken majoriteten av medlemmarna i sekvensen är belägna, de närmar sig denna gräns nära, men når den inte.

Geometriska och aritmetisk progressionär specialfall av sekvensen.

Sekvenseringsmetoder:

Sekvenser kan ställas in olika sätt, bland vilka tre är särskilt viktiga: analytisk, beskrivande och återkommande.

1. Sekvensen ges analytiskt om formeln för dess n:e medlem anges:

Exempel. yn \u003d 2n - 1 - en sekvens av udda nummer: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Ett beskrivande sätt att sätta en numerisk sekvens är att den förklarar vilka element sekvensen är uppbyggd av.

Exempel 1. "Alla medlemmar i sekvensen är lika med 1." Det betyder, vi pratar om den stationära sekvensen 1, 1, 1, …, 1, ….

Exempel 2. "Sekvensen består av alla primtal i stigande ordning." Således är sekvensen 2, 3, 5, 7, 11, … given. Med denna metod för att specificera sekvensen i detta exempel det är svårt att svara på vad, säg, det 1000:e elementet i sekvensen är lika med.

3. Ett återkommande sätt att specificera en sekvens är att en regel anges som gör att man kan beräkna den n:te medlemmen av sekvensen om dess tidigare medlemmar är kända. Namnet rekursiv metod kommer från latinska ord recurrere - att återvända. Oftast, i sådana fall, anges en formel som gör det möjligt att uttrycka den n:te medlemmen av sekvensen i termer av de föregående, och 1–2 initiala medlemmar av sekvensen anges.

Exempel 1. yl = 3; yn = yn–1 + 4 om n = 2, 3, 4,….

Här är y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Det kan ses att sekvensen som erhålls i detta exempel också kan specificeras analytiskt: yn = 4n – 1.

Exempel 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 om n = 3, 4,….

Här: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sekvensen som komponeras i detta exempel studeras speciellt i matematik, eftersom den har en serie intressanta egenskaper och applikationer. Den kallas för Fibonacci-sekvensen - efter den italienska matematikern på 1200-talet. Att definiera Fibonacci-sekvensen rekursivt är väldigt lätt, men analytiskt är det väldigt svårt. n Det e Fibonacci-talet uttrycks i termer av dess ordningsnummer med följande formel.

Vid första anblicken, formeln för n Fibonacci-talet verkar osannolikt, eftersom formeln som specificerar sekvensen av naturliga tal enbart innehåller kvadratrötter, men du kan kontrollera "manuellt" giltigheten av denna formel för de första n.

Fibonacci historia:

Fibonacci (Leonardo av Pisa), ca. 1175–1250

italiensk matematiker. Född i Pisa, blev Europas första store matematiker under senmedeltiden. Han leddes till matematik av det praktiska behovet av att etablera affärskontakter. Han publicerade sina böcker om aritmetik, algebra och andra matematiska discipliner. Från muslimska matematiker lärde han sig om det siffersystem som uppfanns i Indien och som redan antagits i arabvärlden, och var övertygad om dess överlägsenhet (dessa siffror var föregångare till moderna arabiska siffror).

Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci, var den förste av de stora europeiska matematikerna under senmedeltiden. Född i Pisa till en förmögen köpmannafamilj, kom han in i matematiken genom ett rent praktiskt behov av att etablera affärskontakter. I sin ungdom reste Leonardo mycket och följde med sin far på affärsresor. Till exempel känner vi till hans långa vistelse i Bysans och Sicilien. Under sådana resor interagerade han mycket med lokala vetenskapsmän.

Nummersekvensen som bär hans namn idag växte fram ur problemet med kaniner som Fibonacci beskrev i sin Liber abacci, skriven 1202:

En man lade ett par kaniner i en fålla, omgiven på alla sidor av en vägg. Hur många par kaniner kan detta par föda på ett år, om man vet att varje månad, från och med den andra, producerar varje kaninpar ett par?

Du kan se till att antalet par under var och en av de kommande tolv månaderna i månaderna kommer att vara 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Med andra ord, antalet par kaniner skapar en serie, där varje term är summan av de två föregående. Det är känt som Fibonacci-serien och siffrorna i sig är Fibonacci-talen. Det visar sig att denna sekvens har många matematiskt intressanta egenskaper. Här är ett exempel: du kan dela en linje i två segment så att förhållandet mellan det större och det mindre segmentet är proportionellt mot förhållandet mellan hela linjen och det större segmentet. Denna proportionalitetsfaktor, ungefär lika med 1,618, är känd som gyllene snittet. Under renässansen trodde man att denna andel, observerad i arkitektoniska strukturer, är mest tilltalande för ögat. Om du tar på varandra följande par från Fibonacci-serien och delar Mer från varje par till ett mindre kommer ditt resultat gradvis att närma sig det gyllene snittet.

Sedan Fibonacci upptäckte sin sekvens har till och med naturfenomen hittats där denna sekvens verkar spela en viktig roll. En av dem är phyllotaxis (bladarrangemang) - regeln enligt vilken till exempel frön är belägna i en solrosblomställning. Solrosfrön är ordnade i två spiraler. Siffrorna som anger antalet frön i var och en av spiralerna är medlemmar i en fantastisk matematisk sekvens. Fröna är ordnade i två rader av spiraler, varav den ena går medurs, den andra mot. Och vad är antalet frön i varje fall? 34 och 55.

Uppgift 1:

Skriv de första fem termerna i sekvensen.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

och n \u003d 2 n + 1/2 n

Uppgift nummer 2:

Skriv formeln för den gemensamma termen för en följd av naturliga tal som är multiplar av 3.

Svar: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, och n = 3n

Uppgift nummer 3:

Skriv formeln för den gemensamma termen för en följd av naturliga tal som, när de divideras med 4, har en återstod av 1.

Svar: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 och n = 4n+1

Nr 19. Fungera.

Funktion (display, operator, transformation) är ett matematiskt koncept som återspeglar förhållandet mellan element i mängder. Vi kan säga att en funktion är en "lag" enligt vilken varje element i en mängd (kallad definitionsdomän) tilldelas något element i en annan mängd (kallad värdedomän).

En funktion är ett beroende av en variabel från en annan. Med andra ord förhållandet mellan mängder.

Det matematiska konceptet för en funktion uttrycker en intuitiv uppfattning om hur en kvantitet helt bestämmer värdet av en annan kvantitet. Så värdet på variabeln x bestämmer unikt värdet på uttrycket, och månadens värde bestämmer unikt värdet på månaden efter det, och vilken person som helst kan jämföras med en annan person - hans far. På liknande sätt producerar en viss förutfattad algoritm, givet varierande indata, vissa utdata.

Ofta hänvisar termen "funktion" till en numerisk funktion; det vill säga en funktion som sätter vissa nummer i överensstämmelse med andra. Dessa funktioner är bekvämt representerade i figurerna i form av grafer.

En annan definition kan ges. En funktion är en specifik handlingöver en variabel.

Det betyder att vi tar värdet , gör någon åtgärd med det (till exempel kvadrerar vi det eller beräknar dess logaritm) - och vi får värdet .

Låt oss ge en annan definition av en funktion - den som oftast finns i läroböcker.

En funktion är en överensstämmelse mellan två uppsättningar, där varje element i den första uppsättningen motsvarar ett och endast ett element i den andra uppsättningen.

Till exempel en funktion för varje riktigt nummer matchar ett nummer dubbelt så stort som .

Uppsättningen av element för någon F. som ersätter x kallas dess definitionsdomän, och uppsättningen av element y för någon F. kallas dess värdeområde.

Terminshistorik:

Termen "funktion" (i en något snävare mening) användes först av Leibniz (1692). I sin tur använde Johann Bernoulli, i ett brev till samme Leibniz, denna term i en mening som ligger närmare den moderna. Från början var begreppet en funktion omöjligt att skilja från begreppet en analytisk representation. Därefter dök definitionen av funktionen som gavs av Euler (1751), sedan - av Lacroix (1806) - nästan i modern form. Slutligen, den allmänna definitionen av en funktion (i modern form, men för numeriska funktioner) gavs av Lobachevsky (1834) och Dirichlet (1837). Till sent XIXårhundradet har begreppet en funktion vuxit ur ramverket för numeriska system. Vektorfunktioner var de första som gjorde detta, Frege introducerade snart logiska funktioner (1879), och efter tillkomsten av mängdteorin formulerade Dedekind (1887) och Peano (1911) den moderna universella definitionen.

Nr 20. Sätt att ställa in en funktion.

Det finns fyra sätt att definiera en funktion:

1. tabellform Ganska vanligt, är att duka en tabell av individuella

argumentvärden och deras motsvarande funktionsvärden. Denna metod för att definiera en funktion används när funktionens domän är en diskret finit uppsättning.

Det är praktiskt när f är en ändlig mängd, men när f är oändlig indikeras endast valda par (x, y).

Med den tabellformade metoden för att specificera en funktion är det möjligt att ungefär beräkna funktionens värden som inte finns i tabellen, motsvarande argumentets mellanvärden. För att göra detta, använd interpolationsmetoden.

Fördelar: noggrannhet, hastighet, lätt att hitta i värdetabellen önskat värde funktioner. Fördelarna med det tabellformade sättet att specificera en funktion är att det gör det möjligt att bestämma vissa specifika värden på en gång, utan ytterligare mätningar eller beräkningar.

nackdelar: ofullständighet, otydlighet. I vissa fall definierar inte tabellen funktionen fullständigt, utan endast för vissa värden i argumentet och ger inte en visuell representation av ändringens karaktär i funktionen beroende på ändringen i argumentet.

2. analytisk(formler). Oftast en lag som upprättar ett samband mellan

argument och funktion, specificeras med hjälp av formler. Detta sätt att definiera en funktion kallas analytiskt. Det är det viktigaste för MA (matteanalys), eftersom metoderna för MA (differential-, integralkalkyl) föreslår detta sätt att ställa. Samma funktion kan ges av olika formler: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Ibland i olika delar av dess domäner kan den definierade funktionen ges av olika formler f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Ofta, med denna metod för att definiera en funktion, anges inte definitionens omfattning, då förstås definitionsdomänen som naturområde definitioner, dvs. uppsättningen av alla x-värden för vilka funktionen har ett verkligt värde.

Denna metod gör det möjligt för varje numeriskt värde i argumentet x att hitta motsvarande numeriska värde för funktionen y exakt eller med viss noggrannhet.

Ett specialfall av det analytiska sättet att definiera en funktion är att definiera en funktion med en ekvation av formen F(x,y)=0 (1) Om denna ekvation har egenskapen att ∀ x∈D matchas endast y, Så att F(x,y)=0, då säger vi att ekvation (1) på D implicit definierar en funktion. Ett annat speciellt fall för att definiera en funktion är parametrisk, med varje par ( x,y)∈f ställs in med ett par funktioner x=ϕ( t),y=ψ( t) var t∈M.

Definitionen av en numerisk sekvens ges. Exempel på oändligt ökande, konvergerande och divergerande sekvenser beaktas. En sekvens som innehåller alla rationella tal betraktas.

Definition .
Numerisk sekvens ( x n ) kallas lagen (regeln), enligt vilken, för varje naturligt tal n = 1, 2, 3, . . . något nummer x n tilldelas.
Elementet x n kallas n:e medlem eller ett element i en sekvens.

Sekvensen betecknas som den n:e medlemmen inom parentes: . Också möjligt följande notation: . De anger uttryckligen att indexet n tillhör mängden naturliga tal och att sekvensen i sig har ett oändligt antal medlemmar. Här är några exempel på sekvenser:
, , .

Med andra ord är en numerisk sekvens en funktion vars domän är mängden naturliga tal. Antalet element i sekvensen är oändligt. Bland inslagen kan det också finnas medlemmar som har samma värden. Sekvensen kan också betraktas som en numrerad uppsättning nummer, bestående av ett oändligt antal medlemmar.

Vi kommer främst att vara intresserade av frågan - hur sekvenser beter sig när n tenderar mot oändligheten: . Detta material presenteras i avsnittet Sekvensgräns - grundläggande satser och egenskaper. Och här ska vi titta på några exempel på sekvenser.

Sekvensexempel

Exempel på oändligt ökande sekvenser

Låt oss överväga en sekvens. Den allmänna termen för denna sekvens är . Låt oss skriva ut de första termerna:
.
Det kan ses att när antalet n växer ökar elementen oändligt mot positiva värden. Vi kan säga att denna sekvens tenderar att : vid .

Betrakta nu en sekvens med en vanlig term. Här är några av dess första medlemmar:
.
När talet n växer, ökar elementen i denna sekvens i absolut värde i oändlighet, men har inte ett konstant tecken. Det vill säga, denna sekvens tenderar att: vid .

Exempel på sekvenser som konvergerar till ett ändligt tal

Låt oss överväga en sekvens. Dess gemensamma medlem De första termerna är följande:
.
Det kan ses att när antalet n växer, närmar sig elementen i denna sekvens sitt gränsvärde a = 0 : kl. Så varje efterföljande term är närmare noll än den föregående. På sätt och vis kan vi anta att det finns ett ungefärligt värde för talet a = 0 med ett fel. Det är tydligt att när n växer tenderar detta fel till noll, det vill säga genom att välja n kan felet göras godtyckligt litet. Dessutom, för varje givet fel ε > 0 det är möjligt att ange ett sådant antal N, att för alla element med siffror större än N: kommer talets avvikelse från gränsvärdet a inte att överstiga felet ε:.

Tänk sedan på sekvensen. Dess gemensamma medlem Här är några av dess första medlemmar:
.
I denna sekvens är termer med jämna nummer noll. Medlemmar med udda n är . Därför, när n växer, närmar sig deras värden gränsvärdet a = 0 . Detta följer också av att
.
Som i föregående exempel kan vi specificera ett godtyckligt litet fel ε > 0 , för vilket det är möjligt att hitta ett sådant antal N att element med tal större än N kommer att avvika från gränsvärdet a = 0 med ett värde som inte överstiger det angivna felet. Därför konvergerar denna sekvens till värdet a = 0 : kl.

Exempel på divergerande sekvenser

Tänk på en sekvens med följande vanliga term:

Här är dess första medlemmar:


.
Det kan ses att termerna med jämna tal:
,
konvergera till värdet a 1 = 0 . Medlemmar med udda nummer:
,
konvergera till värdet a 2 = 2 . Själva sekvensen, när n växer, konvergerar inte till något värde.

Sekvens med termer fördelade i intervallet (0;1)

Överväg nu en mer intressant sekvens. Ta ett segment på tallinjen. Låt oss dela det på mitten. Vi får två segment. Låt vara
.
Vart och ett av segmenten är återigen uppdelat i hälften. Vi får fyra segment. Låt vara
.
Dela varje segment på mitten igen. Låt oss ta


.
Etc.

Som ett resultat får vi en sekvens vars element är fördelade i ett öppet intervall (0; 1) . Vilken punkt vi än tar från det stängda intervallet , kan vi alltid hitta medlemmar av sekvensen som är godtyckligt nära denna punkt, eller sammanfaller med den.

Sedan kan man från den ursprungliga sekvensen peka ut en delsekvens som kommer att konvergera till en godtycklig punkt från intervallet . Det vill säga, när talet n växer kommer medlemmarna i undersekvensen att komma närmare och närmare den förvalda punkten.

Till exempel för punkt a = 0 du kan välja följande efterföljd:
.
= 0 .

För punkt a = 1 välj följande efterföljd:
.
Medlemmarna i denna efterföljd konvergerar till värdet a = 1 .

Eftersom det finns delsekvenser som konvergerar till olika betydelser, då konvergerar inte själva den ursprungliga sekvensen till något tal.

Sekvens som innehåller alla rationella tal

Låt oss nu konstruera en sekvens som innehåller alla rationella tal. Dessutom kommer varje rationellt tal att inkluderas i en sådan sekvens ett oändligt antal gånger.

Det rationella talet r kan representeras på följande sätt:
,
där är ett heltal; - naturligt.
Vi måste tilldela varje naturligt tal n ett par av nummer p och q så att alla par av p och q ingår i vår sekvens.

För att göra detta, rita axlarna p och q på planet. Vi ritar rutnätslinjer genom heltalsvärdena p och q . Då kommer varje nod i detta rutnät med att motsvara rationellt tal. Hela uppsättningen av rationella tal kommer att representeras av en uppsättning noder. Vi måste hitta ett sätt att numrera alla noder så att vi inte missar en enda nod. Detta är lätt att göra om vi numrerar noderna enligt de kvadrater vars centrum är placerade vid punkten (0; 0) (se bild). I det här fallet, de nedre delarna av rutorna med q < 1 vi behöver inte. Därför visas de inte i figuren.

Så för den övre sidan av den första kvadraten har vi:
.
Vidare numrerar vi övre del nästa ruta:

.
Vi numrerar den övre delen av nästa ruta:

.
Etc.

På så sätt får vi en sekvens som innehåller alla rationella tal. Det kan ses att vilket rationellt tal som helst förekommer i denna sekvens ett oändligt antal gånger. I själva verket, tillsammans med noden , kommer denna sekvens också att inkludera noder , där är ett naturligt tal. Men alla dessa noder motsvarar samma rationella tal.

Sedan från sekvensen vi har konstruerat kan vi välja en undersekvens (som har ett oändligt antal element), vars alla element är lika med ett förutbestämt rationellt tal. Eftersom sekvensen vi har konstruerat har delsekvenser som konvergerar till olika nummer, då konvergerar inte sekvensen till något tal.

Slutsats

Här har vi gett en exakt definition av den numeriska sekvensen. Vi berörde också frågan om dess konvergens, baserat på intuitiva idéer. Den exakta definitionen av konvergens diskuteras på sidan Bestämma gränsen för en sekvens. Relaterade egenskaper och satser beskrivs på sidan

Lektion #32 Datum _______________

Algebra

Klass: 9 "B"

Ämne: "Numerisk sekvens och sätt att ställa in den."

Syftet med lektionen: eleverna ska veta vad en talföljd är; sätt att ställa in en numerisk sekvens; kunna skilja mellan olika sätt att ange numeriska sekvenser.

Didaktiskt material: åhörarkopior, referensnoteringar.

Tekniska medel inlärning: presentation om ämnet "Numeriska sekvenser".

Under lektionerna.

1. Organisatoriskt ögonblick.

2. Att sätta upp målen för lektionen.

Idag i lektionen kommer ni att lära er:

Vad är en sekvens?

Vilka typer av sekvenser finns det?

Hur anges nummerföljden?

Lär dig hur du skriver en sekvens med hjälp av en formel och dess många element.

Lär dig att hitta medlemmarna i en sekvens.

3. Arbeta med det studerade materialet.

3.1. Förberedande skede.

Killar, låt oss testa dina logiska färdigheter. Jag nämner några ord, och du bör fortsätta:

-Måndag Tisdag,…..

- Januari februari mars…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (klasslista);

–10,11,12,…99;

Av killarnas svar dras slutsatsen att ovanstående uppgifter är sekvenser, det vill säga någon sorts ordnad serie av siffror eller begrepp, när varje nummer eller begrepp är strikt på sin plats, och om medlemmarna byts om, sekvensen kommer att kränkas (tisdag, torsdag, måndag är bara en lista över veckodagar). Så, ämnet för lektionen är en numerisk sekvens.

3.1. Förklaring av nytt material. (Demomaterial)

Analysera elevernas svar, definiera nummerföljden och visa hur man ställer in nummerföljder.

(Arbeta med läroboken s. 66 - 67)

Definition 1. Funktionen y = f(x), xN kallas en funktion av ett naturligt argument eller en numerisk sekvens och betecknas: y = f(n) eller y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... eller (y n).

I detta fall är den oberoende variabeln ett naturligt tal.

Oftast kommer sekvenser att betecknas enligt följande: ( a n), (b n), (med n) etc.

Definition 2. Sekvensmedlemmar.

Elementen som bildar en sekvens kallas medlemmar av sekvensen.

Nya koncept: föregående och efterföljande medlem av sekvensen,

a 1 …a P. (första och n:e medlemmen av sekvensen)

Metoder för att ställa in en numerisk sekvens.

analytiskt sätt.

Några n:te elementet sekvenser kan bestämmas med hjälp av en formel. (demo)

Analysera exempel

Exempel 1 Följden av jämna tal: y = 2n.

Exempel 2 Följden av kvadraten av naturliga tal: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ... .

Exempel 3 Stationär sekvens: y = C;

C, C, C, ..., C, ....

Specialfall: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Exempel 4. Sekvens y = 2 n;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

verbalt sätt.

Reglerna för att ställa in sekvensen beskrivs i ord, utan angivande av formler, eller när det inte finns några mönster mellan elementen i sekvensen.

Exempel 1. Antal approximationerπ.

Exempel 2 Primtalssekvens: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Exempel 3 En talföljd som är delbar med 5.

Exempel 2 Slumpmässig uppsättning siffror: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Exempel 3 Sekvensen av jämna nummer 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

rekursivt sätt.

Den återkommande metoden består i att specificera en regel som tillåter beräkning av den n:te medlemmen av sekvensen om dess första medlemmar är specificerade (minst en första medlem) och en formel som tillåter beräkning av dess nästa medlem från de föregående medlemmarna. Termin återkommande kommer från det latinska ordet återkommande , som betyder kom tillbaka . När vi beräknar medlemmarna i sekvensen enligt denna regel, går vi liksom tillbaka hela tiden och beräknar nästa medlem baserat på den föregående. En egenskap hos den här metoden är att för att till exempel bestämma den 100:e medlemmen av sekvensen måste du först bestämma alla tidigare 99 medlemmar.

Exempel 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Låt en 1 =5, då kommer sekvensen att se ut så här: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Exempel 2 b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Låt b 1 =23, då kommer sekvensen att se ut så här: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Exempel 3 Fibonacci-sekvens. Denna sekvens är lätt att definiera rekursivt: y1=1, y2=1,yn-2 +yn-1 om n=3, 4, 5, 6, ... . Det kommer att se ut så här:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P den här sekvensens term är lika med summan av de två föregående termerna)

Det är svårt att definiera Fibonacci-sekvensen analytiskt, men det är möjligt. Formeln genom vilken ett element i denna sekvens bestäms ser ut så här:

ytterligare information:

Den italienske köpmannen Leonardo av Pisa (1180-1240), mer känd under smeknamnet Fibonacci, var en viktig medeltida matematiker. Med hjälp av denna sekvens bestämde Fibonacci antalet φ (phi); φ=1,618033989.

Grafiskt sätt

Medlemmarna i en sekvens kan representeras som punkter på koordinatplanet. För att göra detta plottas numret längs den horisontella axeln och värdet på motsvarande medlem av sekvensen plottas längs den vertikala axeln.

För att konsolidera tilldelningsmetoderna ber jag dig ge flera exempel på sekvenser som specificeras antingen verbalt, analytiskt eller på ett återkommande sätt.

Typer av nummersekvenser

(På sekvenserna som listas nedan, utarbetas typer av sekvenser).

Arbeta med läroboken s.69-70

1) Ökar - om varje term är mindre än nästa, d.v.s. a n a n +1.

2) Minskande - om varje term är större än nästa, d.v.s. a n a n +1 .

3) Oändligt.

4) Ultimat.

5) Omväxlande.

6) Konstant (stationär).

En ökande eller minskande sekvens kallas monoton.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Arbeta med läroboken: gör det muntligt nr 150, 159 s. 71, 72

3.2. Konsolidering av nytt material. Problemlösning.

För att befästa kunskapen väljs exempel ut beroende på elevernas förberedelsenivå.

Exempel 1 Skriv en möjlig formel för det n:te elementet i sekvensen (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Beslut.

a) Det är en följd av udda tal. Analytiskt kan denna sekvens ges av formeln y = 2n+1.

b) Detta är en numerisk sekvens där nästa element är 4 mer än det föregående. Analytiskt kan denna sekvens specificeras med formeln y = 4n.

Exempel 2. Skriv ut de första tio elementen i sekvensen som ges återkommande: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 om n = 3, 4, 5, 6, ... .

Beslut.

Varje efterföljande element i denna sekvens är lika med summan av de två föregående elementen.

Exempel 3 Sekvensen (yn) ges återkommande: y1=1, y2=2,yn=5yn-1 - 6yn-2. Specificera denna sekvens analytiskt.

Beslut.

Hitta de första elementen i sekvensen.

y3=5y2-6y1=10-6=4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 -6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

Vi får sekvensen: 1; 2; 4; åtta; sexton; 32; 64; ... som kan representeras som

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Genom att analysera sekvensen får vi följande regelbundenhet: y = 2 n -1 .

Exempel 4 Givet en sekvens yn =24n+36-5n2.

a) Hur många positiva termer har den?

b) Hitta det största elementet i sekvensen.

c) Finns det ett minsta element i denna sekvens?

Denna numeriska sekvens är en funktion av formen y = -5x 2 +24x+36, där x

a) Hitta värdena för funktionen för vilken -5x 2 +24x+360. Låt oss lösa ekvationen -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 \u003d -1.2.

Ekvationen för symmetriaxeln för parabeln y \u003d -5x 2 +24x + 36 kan hittas med formeln x \u003d, vi får: x \u003d 2.4.

Olikheten -5x 2 +24x+360 gäller för -1,2. Detta intervall innehåller fem naturliga tal (1, 2, 3, 4, 5). Så i den givna sekvensen fem positiva inslag sekvenser.

b) Det största elementet i sekvensen bestäms av urvalsmetoden och det är lika med y 2 =64.

c) Det finns inget minsta element.

3.4 Uppgifter för självständigt arbete