Formeln för summan av geometriska progressioner. Geometrisk progression
Syftet med lektionen: att introducera eleverna till en ny sorts sekvens - en oändligt minskande geometrisk progression.
Uppgifter:
formulering av den ursprungliga idén om gränsen för den numeriska sekvensen;
bekantskap med ett annat sätt att omvandla oändliga periodiska bråk till vanliga med formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression;
utvecklingen av de intellektuella egenskaperna hos skolbarns personlighet, såsom logiskt tänkande, förmågan till utvärderande handlingar, generalisering;
utbildning av aktivitet, ömsesidig hjälp, kollektivism, intresse för ämnet.
Ladda ner:
Förhandsvisning:
Relaterad lektion "Oändligt minskande geometrisk progression" (algebra, årskurs 10)
Syftet med lektionen: introducerar eleverna för en ny sorts sekvens - en oändligt minskande geometrisk progression.
Uppgifter:
formulering av den ursprungliga idén om gränsen för den numeriska sekvensen; bekantskap med ett annat sätt att omvandla oändliga periodiska bråk till vanliga med formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression;
utvecklingen av de intellektuella egenskaperna hos skolbarns personlighet, såsom logiskt tänkande, förmågan till utvärderande handlingar, generalisering;
utbildning av aktivitet, ömsesidig hjälp, kollektivism, intresse för ämnet.
Utrustning: datorklass, projektor, duk.
Lektionstyp: Lektion - bemästra ett nytt ämne.
Under lektionerna
I. Org. ögonblick. Meddelande om ämnet och syftet med lektionen.
II. Uppdatering av elevers kunskaper.
I 9:an läste du aritmetiska och geometriska progressioner.
Frågor
1. Definition av en aritmetisk progression.
(En aritmetisk progression är en sekvens där varje medlem,
Från och med den andra är den lika med föregående term, tillagd med samma nummer).
2. Formel n -e medlemmen i en aritmetisk progression
3. Formeln för summan av den första n medlemmar av en aritmetisk progression.
( eller )
4. Definition av en geometrisk progression.
(En geometrisk progression är en sekvens av tal som inte är noll,
Varje term som, från och med den andra, är lika med föregående term, multiplicerad med
samma nummer).
5. Formel n termen av en geometrisk progression
6. Formeln för summan av den första n medlemmar av en geometrisk progression.
7. Vilka formler känner du fortfarande till?
(, var ; ;
; , )
Uppgifter
1. Aritmetisk progression ges av formeln a n = 7 - 4n. Hitta en 10:a. (-33)
2. Aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 4:a. (4)
3. Aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 17 . (-35)
4. Aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta S 17 . (-187)
5. För en geometrisk progressionhitta den femte termen.
6. För en geometrisk progression hitta den n:e termen.
7. Exponentiellt b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta b 4 . (4)
8. Exponentiellt b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta b 1 och q .
9. Exponentiellt b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta S 5 . (62)
III. Utforskar ett nytt ämne(demonstration presentation).
Betrakta en ruta med en sida lika med 1. Låt oss rita en annan ruta, vars sida är halva den första kvadraten, sedan en annan, vars sida är halva den andra, sedan nästa, och så vidare. Varje gång är sidan av den nya kvadraten hälften av den föregående.
Som ett resultat fick vi en sekvens av sidor av rutorbildar en geometrisk progression med en nämnare.
Och det som är väldigt viktigt, ju mer vi bygger sådana rutor, desto mindre blir sidan av torget. Till exempel ,
De där. när antalet n ökar närmar sig termerna för progressionen noll.
Med hjälp av denna figur kan ytterligare en sekvens övervägas.
Till exempel, sekvensen av områden med kvadrater:
Och återigen, om n ökar på obestämd tid, sedan närmar sig området noll godtyckligt nära.
Låt oss överväga ytterligare ett exempel. En liksidig triangel med en sida på 1 cm. Låt oss konstruera nästa triangel med hörn i mittpunkterna på sidorna i den första triangeln, enligt triangelns mittlinjesats - sidan på den andra är lika med halva sidan av den första, sidan på den tredje är halva sidan av 2:an osv. Återigen får vi en sekvens av längder på trianglarnas sidor.
Kl.
Om vi betraktar en geometrisk progression med en negativ nämnare.
Sedan, igen, med ökande antal n villkoren för progressionen närmar sig noll.
Låt oss vara uppmärksamma på nämnare för dessa sekvenser. Överallt var nämnarna mindre än 1 modulo.
Vi kan dra slutsatsen: en geometrisk progression kommer att minska oändligt om modulen för dess nämnare är mindre än 1.
Framarbete.
Definition:
En geometrisk progression sägs vara oändligt avtagande om modulen för dess nämnare är mindre än en..
Med hjälp av definitionen är det möjligt att lösa frågan om en geometrisk progression är oändligt avtagande eller inte.
Uppgift
Är sekvensen en oändligt minskande geometrisk progression om den ges av formeln:
Beslut:
Låt oss hitta q .
; ; ; .
denna geometriska progression minskar oändligt.
b) denna sekvens är inte en oändligt minskande geometrisk progression.
Betrakta en kvadrat med en sida lika med 1. Dela den på mitten, en av halvorna på mitten igen, och så vidare. områdena för alla resulterande rektanglar bildar en oändligt minskande geometrisk progression:
Summan av ytorna för alla rektanglar som erhålls på detta sätt kommer att vara lika med arean av den första kvadraten och lika med 1.
Men på vänster sida av denna likhet finns summan av ett oändligt antal termer.
Betrakta summan av de första n termerna.
Enligt formeln för summan av de första n termerna i en geometrisk progression är den lika med.
Om n ökar på obestämd tid alltså
eller . Därför, d.v.s. .
Summan av en oändligt minskande geometrisk progressiondet finns en sekvensgräns S1, S2, S3, …, Sn, ….
Till exempel för en progression,
vi har
Som
Summan av en oändligt minskande geometrisk progressionkan hittas med hjälp av formeln.
III. Reflektion och konsolidering(slutförande av uppgifter).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Sammanfattande.
Vilken sekvens mötte du idag?
Definiera en oändligt minskande geometrisk progression.
Hur bevisar man att en geometrisk progression minskar oändligt?
Ge formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression.
V. Läxor.
2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Förhandsvisning:
För att använda förhandsvisningen av presentationer, skapa ett Google-konto (konto) och logga in: https://accounts.google.com
Bildtexter:
Alla borde kunna tänka konsekvent, bedöma slutgiltigt och motbevisa felaktiga slutsatser: en fysiker och en poet, en traktorförare och en kemist. E.Kolman I matematik bör man komma ihåg inte formler, utan tankeprocesser. VP Ermakov Det är lättare att hitta kvadraten på en cirkel än att överlista en matematiker. Augustus de Morgan Vilken vetenskap kan vara ädlare, mer beundransvärd, mer användbar för mänskligheten än matematik? Franklin
Oändligt minskande geometrisk progression Grad 10
jag. Aritmetiska och geometriska progressioner. Frågor 1. Definition av en aritmetisk progression. En aritmetisk progression är en sekvens där varje term, med början från den andra, är lika med den föregående termen som läggs till samma tal. 2. Formel för den n:e medlemmen i en aritmetisk progression. 3. Formeln för summan av de första n medlemmarna i en aritmetisk progression. 4. Definition av en geometrisk progression. En geometrisk progression är en sekvens av tal som inte är noll, där varje medlem, från och med den andra, är lika med föregående medlem multiplicerat med samma tal 5. Formeln för den n:te medlemmen av en geometrisk progression. 6. Formeln för summan av de första n medlemmarna i en geometrisk progression.
II. Aritmetisk progression. Uppgifter En aritmetisk progression ges av formeln a n = 7 – 4 n Hitta en 10 . (-33) 2. I aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 4:a. (4) 3. I aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 17 . (-35) 4. I aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta S 17 . (-187)
II. Geometrisk progression. Uppgifter 5. För en geometrisk progression, hitta den femte termen 6. För en geometrisk progression, hitta den n:te termen. 7. Exponentiellt b 3 = 8 och b 5 = 2. Hitta b 4 . (4) 8. I geometrisk progression b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta b 1 och q . 9. I geometrisk progression b 3 = 8 och b 5 = 2. Hitta S 5 . (62)
definition: En geometrisk progression sägs vara oändligt avtagande om modulen för dess nämnare är mindre än en.
Problem №1 Är sekvensen en oändligt avtagande geometrisk progression, om den ges av formeln: Lösning: a) denna geometriska progression är oändligt avtagande. b) denna sekvens är inte en oändligt minskande geometrisk progression.
Summan av en oändligt avtagande geometrisk progression är gränsen för sekvensen S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Till exempel, för en progression, har vi Eftersom summan av en oändligt minskande geometrisk progression kan hittas av formeln
Slutförande av uppgifter Hitta summan av en oändligt minskande geometrisk progression med den första termen 3, den andra 0,3. 2. Nr 13; nr 14; lärobok, s. 138 3. N:o 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Nr 19; Nr 20.
Vilken sekvens mötte du idag? Definiera en oändligt minskande geometrisk progression. Hur bevisar man att en geometrisk progression minskar oändligt? Ge formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression. Frågor
Den berömde polske matematikern Hugo Steinghaus hävdar skämtsamt att det finns en lag som är formulerad så här: en matematiker kommer att göra det bättre. Nämligen, om du anförtror två personer, varav en är matematiker, att utföra något arbete de inte känner till, så blir resultatet alltid följande: matematikern kommer att göra det bättre. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972
Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression, det vill säga varje term skiljer sig från den föregående med q gånger. (Vi kommer att anta att q ≠ 1, annars är allt för trivialt). Det är lätt att se att den allmänna formeln för den n:e medlemmen av den geometriska progressionen är b n = b 1 q n – 1 ; termer med tal b n och b m skiljer sig åt med q n – m gånger.
Redan i det gamla Egypten visste de inte bara aritmetik, utan också geometrisk progression. Här är till exempel en uppgift från Rhind-papyrusen: ”Sju ansikten har sju katter; varje katt äter sju möss, varje mus äter sju ax, varje öra kan odla sju mått korn. Hur stora är talen i denna serie och deras summa?
 |
|
Ris. 1. Forntida egyptiska geometriska progressionsproblem |
Denna uppgift upprepades många gånger med olika variationer bland andra folk vid andra tillfällen. Till exempel i skrivet på XIII-talet. "Book of the abacus" av Leonardo av Pisa (Fibonacci) har ett problem där 7 gamla kvinnor dyker upp på väg till Rom (uppenbarligen pilgrimer), som var och en har 7 mulor, som var och en har 7 påsar, var och en av dem innehåller 7 bröd, som var och en har 7 knivar, som var och en är i 7 slidor. Problemet frågar hur många föremål det finns.
Summan av de första n medlemmarna av den geometriska progressionen S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Denna formel kan till exempel bevisas enligt följande: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Låt oss lägga till talet b 1 q n till S n och få:
|
Därför S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), och vi får den nödvändiga formeln.
Redan på en av det antika Babylons lertavlor, som går tillbaka till VI-talet. före Kristus e. innehåller summan 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Det är sant, liksom i ett antal andra fall, vi vet inte var detta faktum var känt för babylonierna .
Den snabba tillväxten av en geometrisk progression i ett antal kulturer, särskilt i Indien, används upprepade gånger som en tydlig symbol för universums ofantlighet. I den välkända legenden om schackets utseende ger härskaren deras uppfinnare möjlighet att själv välja en belöning, och han ber om ett sådant antal vetekorn som kommer att erhållas om en placeras på den första cellen av schackbrädet , två på den andra, fyra på den tredje, åtta på den fjärde, och etc., varje gång talet dubblas. Vladyka trodde att det som mest var några säckar, men han räknade fel. Det är lätt att se att för alla 64 rutor på schackbrädet borde uppfinnaren ha fått (2 64 - 1) korn, vilket uttrycks som ett 20-siffrigt tal; även om hela jordens yta såddes skulle det ta minst 8 år att samla in det nödvändiga antalet korn. Denna legend tolkas ibland som en referens till de nästan obegränsade möjligheter som gömmer sig i schackspelet.
Det faktum att detta nummer verkligen är 20-siffrigt är lätt att se:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (en mer exakt beräkning ger 1,84 10 19). Men jag undrar om du kan ta reda på vilken siffra detta nummer slutar på?
En geometrisk progression ökar om nämnaren är större än 1 i absolut värde, eller minskar om den är mindre än en. I det senare fallet kan talet qn bli godtyckligt litet för tillräckligt stort n. Medan en ökande exponential ökar oväntat snabbt, minskar en minskande exponentiell lika snabbt.
Ju större n, desto svagare skiljer sig talet q n från noll, och ju närmare summan av n medlemmar av den geometriska progressionen S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) till talet S \u003d b 1 / (1 - q) . (Så resonerade till exempel F. Viet). Talet S kallas summan av en oändligt minskande geometrisk progression. Men under många århundraden var frågan om vad som är meningen med summeringen av den ALL geometriska progressionen, med dess oändliga antal termer, inte tillräckligt tydlig för matematiker.
En avtagande geometrisk progression kan ses till exempel i Zenos aporier "Bitande" och "Akilles och sköldpaddan". I det första fallet är det tydligt visat att hela vägen (antag längd 1) är summan av ett oändligt antal segment 1/2, 1/4, 1/8 etc. Så är det naturligtvis ur synvinkeln av idéer om den ändliga summan oändlig geometrisk progression. Och ändå - hur kan detta vara?
|
Ris. 2. Progression med en faktor på 1/2 |
I aporian om Akilles är situationen lite mer komplicerad, för här är nämnaren för progressionen inte lika med 1/2, utan med något annat tal. Låt till exempel Akilles springa med hastighet v, sköldpaddan rör sig med hastighet u, och det initiala avståndet mellan dem är l. Akilles kommer att springa denna sträcka på tiden l/v, sköldpaddan kommer att röra sig en sträcka lu/v under denna tid. När Akilles springer genom detta segment kommer avståndet mellan honom och sköldpaddan att bli lika med l (u / v) 2, etc. Det visar sig att att komma ikapp sköldpaddan innebär att hitta summan av en oändligt minskande geometrisk progression med den första term l och nämnaren u/v. Denna summa - det segment som Achilles så småningom kommer att springa till mötesplatsen med sköldpaddan - är lika med l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Men återigen, hur detta resultat skulle tolkas och varför det överhuvudtaget är meningsfullt, var inte särskilt tydligt på länge.
|
Ris. 3. Geometrisk progression med koefficient 2/3 |
Summan av en geometrisk progression användes av Arkimedes vid bestämning av arean av ett segment av en parabel. Låt det givna segmentet av parabeln avgränsas av ackordet AB och låt tangenten vid punkten D av parabeln vara parallell med AB . Låt C vara mittpunkten av AB, E mittpunkten av AC, F mittpunkten av CB. Dra linjer parallella med DC genom punkterna A , E , F , B ; låt tangenten ritad i punkt D , dessa linjer skär varandra i punkterna K , L , M , N . Låt oss också rita segment AD och DB. Låt linjen EL skära linjen AD i punkten G och parabeln i punkten H; linje FM skär linje DB i punkt Q och parabeln i punkt R. Enligt den allmänna teorin om koniska sektioner är DC diametern på en parabel (det vill säga ett segment parallellt med dess axel); den och tangenten vid punkt D kan fungera som koordinataxlar x och y, där parabelekvationen skrivs som y 2 \u003d 2px (x är avståndet från D till valfri punkt med en given diameter, y är längden av en segmentet parallellt med en given tangent från denna diameterpunkt till någon punkt på själva parabeln).
I kraft av parabelekvationen är DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , och eftersom DK = 2DL , då KA = 4LH . Eftersom KA = 2LG , LH = HG . Arean av segmentets ADB av parabeln är lika med arean av triangeln ΔADB och områdena för segmenten AHD och DRB kombinerade. I sin tur är arean av AHD-segmentet på samma sätt lika med arean av triangeln AHD och de återstående segmenten AH och HD, med var och en av vilka samma operation kan utföras - delad i en triangel (Δ) och de två återstående segmenten (), etc.:
Arean av triangeln ΔAHD är lika med halva arean av triangeln ΔALD (de har en gemensam bas AD, och höjderna skiljer sig 2 gånger), vilket i sin tur är lika med halva arean av triangeln ΔAKD, och därför halva arean av triangeln ΔACD. Således är arean av triangeln ΔAHD lika med en fjärdedel av arean av triangeln ΔACD. På samma sätt är arean av triangeln ΔDRB lika med en fjärdedel av arean av triangeln ΔDFB. Så, ytorna av trianglarna ∆AHD och ∆DRB, tillsammans, är lika med en fjärdedel av arean av triangeln ∆ADB. Genom att upprepa denna operation som tillämpas på segmenten AH , HD , DR och RB väljs även trianglar från dem, vars area, sammantaget, kommer att vara 4 gånger mindre än arean av trianglarna ΔAHD och ΔDRB , tillsammans, och därför 16 gånger mindre, än arean av triangeln ΔADB . Etc:
Således bevisade Arkimedes att "varje segment som är inneslutet mellan en rät linje och en parabel är fyra tredjedelar av en triangel med samma bas och lika höjd med sig."
Geometrisk progression inte mindre viktig i matematik än i aritmetik. En geometrisk progression är en sådan sekvens av tal b1, b2,..., b[n] vars nästa medlem erhålls genom att multiplicera det föregående med ett konstant tal. Detta nummer, som också kännetecknar tillväxttakten eller minskningen av progressionen, kallas nämnare för en geometrisk progression och beteckna
För en fullständig tilldelning av en geometrisk progression, förutom nämnaren, är det nödvändigt att känna till eller bestämma dess första term. För ett positivt värde på nämnaren är progressionen en monoton sekvens, och om denna talföljd är monotont minskande och monotont ökande när. Fallet när nämnaren är lika med ett beaktas inte i praktiken, eftersom vi har en sekvens av identiska tal, och deras summering är inte av praktiskt intresse
Allmän term för en geometrisk progression beräknas enligt formeln
Summan av de första n termerna av en geometrisk progression bestäms av formeln
Låt oss överväga lösningar på klassiska geometriska progressionsproblem. Låt oss börja med det enklaste att förstå.
Exempel 1. Den första termen i en geometrisk progression är 27, och dess nämnare är 1/3. Hitta de första sex termerna i en geometrisk progression.
Lösning: Vi skriver tillståndet för problemet i formuläret
För beräkningar använder vi formeln för den n:e medlemmen av en geometrisk progression
Baserat på den hittar vi okända medlemmar av progressionen
Som du kan se är det inte svårt att beräkna termerna för en geometrisk progression. Själva utvecklingen kommer att se ut så här
Exempel 2. De första tre medlemmarna av en geometrisk progression ges: 6; -12; 24. Hitta nämnaren och den sjunde termen.
Lösning: Vi beräknar nämnaren för den geometriska progressionen baserat på dess definition
Vi fick en alternerande geometrisk progression vars nämnare är -2. Den sjunde termen beräknas med formeln
På denna uppgift är löst.
Exempel 3. En geometrisk progression ges av två av dess medlemmar 
. Hitta den tionde termen i progressionen.
Beslut:
Låt oss skriva de givna värdena genom formlerna
Enligt reglerna skulle det vara nödvändigt att hitta nämnaren, och sedan leta efter det önskade värdet, men för den tionde termen har vi
Samma formel kan erhållas på basis av enkla manipulationer med indata. Vi delar den sjätte termen i serien med en annan, som ett resultat får vi
Om det resulterande värdet multipliceras med den sjätte termen får vi den tionde
Således, för sådana problem, med hjälp av enkla transformationer på ett snabbt sätt, kan du hitta rätt lösning.
Exempel 4. Geometrisk progression ges av återkommande formler
Hitta nämnaren för den geometriska progressionen och summan av de första sex termerna.
Beslut:
Vi skriver den givna datan i form av ett ekvationssystem
Uttryck nämnaren genom att dividera den andra ekvationen med den första
Hitta den första termen i progressionen från den första ekvationen
Beräkna följande fem termer för att hitta summan av den geometriska progressionen
Låt oss överväga en serie.
7 28 112 448 1792...
Det är helt klart att värdet av något av dess element är exakt fyra gånger större än det föregående. Så den här serien är en progression.
En geometrisk progression är en oändlig sekvens av tal, vars huvuddrag är att nästa tal erhålls från det föregående genom att multiplicera med något specifikt tal. Detta uttrycks med följande formel.
a z +1 =a z q, där z är numret på det valda elementet.
Följaktligen, z ∈ N.
Perioden då en geometrisk progression studeras i skolan är årskurs 9. Exempel hjälper dig att förstå konceptet:
0.25 0.125 0.0625...
Baserat på denna formel kan nämnaren för progressionen hittas enligt följande:
Varken q eller b z kan vara noll. Dessutom bör vart och ett av elementen i progressionen inte vara lika med noll.
Följaktligen, för att ta reda på nästa nummer i serien, måste du multiplicera det sista med q.
För att specificera denna progression måste du ange dess första element och nämnare. Efter det är det möjligt att hitta någon av de efterföljande termerna och deras summa.
Olika sorter
Beroende på q och a 1 är denna progression uppdelad i flera typer:
- Om både a 1 och q är större än ett, så är en sådan sekvens en geometrisk progression som ökar med varje nästa element. Ett exempel på sådant presenteras nedan.
Exempel: a 1 =3, q=2 - båda parametrarna är större än en.
Sedan kan den numeriska sekvensen skrivas så här:
3 6 12 24 48 ...
- Om |q| mindre än ett, det vill säga multiplikation med det är ekvivalent med division, då är en progression med liknande förutsättningar en minskande geometrisk progression. Ett exempel på sådant presenteras nedan.
Exempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 är större än ett, q är mindre.
Sedan kan den numeriska sekvensen skrivas på följande sätt:
6 2 2/3 ... - vilket element som helst är 3 gånger större än elementet efter det.
- Teckenvariabel. Om q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Exempel: a 1 = -3 , q = -2 - båda parametrarna är mindre än noll.
Sedan kan sekvensen skrivas så här:
3, 6, -12, 24,...
Formler
För bekväm användning av geometriska progressioner finns det många formler:
- Formel för den z-te medlemmen. Låter dig beräkna elementet under ett specifikt nummer utan att beräkna de tidigare siffrorna.
Exempel:q = 3, a 1 = 4. Det krävs att man beräknar det fjärde elementet i progressionen.
Beslut:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Summan av de första elementen vars antal är z. Låter dig beräkna summan av alla element i en sekvens upp tilla zinklusive.
Sedan (1-q) är i nämnaren, då (1 - q)≠ 0, därför är q inte lika med 1.
Notera: om q=1, så skulle förloppet vara en serie av ett oändligt upprepande tal.
Summan av en geometrisk progression, exempel:a 1 = 2, q= -2. Beräkna S 5 .
Beslut:S 5 = 22 - beräkning med formel.
- Belopp om |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Exempel:a 1 = 2 , q= 0,5. Hitta beloppet.
Beslut:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Några egenskaper:
- karakteristisk egenskap. Om följande villkor utförs för någonz, då är den givna nummerserien en geometrisk progression:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Dessutom hittas kvadraten av ett valfritt tal i en geometrisk progression genom att addera kvadraterna för två andra tal i en given serie, om de är lika långt från detta element.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , vartär avståndet mellan dessa siffror.
- Elementskiljer sig i qen gång.
- Logaritmerna för progressionselementen bildar också en progression, men redan aritmetisk, det vill säga var och en av dem är större än den föregående med ett visst antal.
Exempel på några klassiska problem
För att bättre förstå vad en geometrisk progression är kan exempel med en lösning för årskurs 9 hjälpa.
- Betingelser:a 1 = 3, a 3 = 48. Hittaq.
Lösning: varje efterföljande element är större än det föregående iq en gång.Det är nödvändigt att uttrycka vissa element genom andra med hjälp av en nämnare.
Därav,a 3 = q 2 · a 1
Vid byteq= 4
- Betingelser:a 2 = 6, a 3 = 12. Beräkna S 6 .
Beslut:För att göra detta räcker det att hitta q, det första elementet och ersätta det i formeln.
a 3 = q· a 2 , därav,q= 2
a 2 = q en 1,Det är därför en 1 = 3
S6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Hitta det fjärde elementet i progressionen.
Lösning: för att göra detta räcker det att uttrycka det fjärde elementet genom det första och genom nämnaren.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Applikationsexempel:
- Bankens klient gjorde en insättning på 10 000 rubel, enligt vilka villkoren varje år kommer att lägga till 6% av det till huvudbeloppet. Hur mycket pengar kommer att finnas på kontot efter 4 år?
Lösning: Det ursprungliga beloppet är 10 tusen rubel. Så ett år efter investeringen kommer kontot att ha ett belopp motsvarande 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06
Följaktligen kommer beloppet på kontot efter ytterligare ett år att uttryckas enligt följande:
(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000
Det vill säga varje år ökar beloppet med 1,06 gånger. Detta innebär att för att hitta mängden medel på kontot efter 4 år räcker det med att hitta det fjärde elementet i progressionen, som ges av det första elementet lika med 10 tusen, och nämnaren lika med 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Exempel på uppgifter för att beräkna summan:
I olika problem används en geometrisk progression. Ett exempel för att hitta summan kan ges enligt följande:
a 1 = 4, q= 2, beräknaS5.
Lösning: alla data som behövs för beräkningen är kända, du behöver bara ersätta dem i formeln.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Beräkna summan av de första sex elementen.
Beslut:
Geom. progression, varje nästa element är q gånger större än det föregående, det vill säga för att beräkna summan måste du känna till elementeta 1 och nämnareq.
a 2 · q = a 3
q = 3
På samma sätt måste vi hittaa 1 , att vetaa 2 ochq.
a 1 · q = a 2
en 1 =2
S 6 = 728.
Betrakta nu frågan om summering av en oändlig geometrisk progression. Låt oss kalla delsumman av en given oändlig progression summan av dess första termer. Beteckna delsumman med symbolen
För varje oändlig utveckling
man kan komponera en (också oändlig) sekvens av dess delsummor
Låt en sekvens med obegränsad ökning ha en gräns
I detta fall kallas talet S, det vill säga gränsen för delsummor av progressionen, summan av en oändlig progression. Vi kommer att bevisa att en oändligt minskande geometrisk progression alltid har en summa, och härleda en formel för denna summa (vi kan också visa att för en oändlig progression har ingen summa, inte existerar).
Vi skriver uttrycket för delsumman som summan av medlemmarna i progressionen enligt formel (91.1) och betraktar gränsen för delsumman vid
Från satsen i punkt 89 är det känt att för en minskande progression ; därför, med tillämpning av skillnadsgränssatsen, finner vi
(regeln används även här: konstantfaktorn tas ur gränsens tecken). Existensen är bevisad, och samtidigt erhålls formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression:
Jämlikhet (92,1) kan också skrivas som
Här kan det verka paradoxalt att ett väldefinierat ändligt värde tilldelas summan av en oändlig uppsättning termer.
En tydlig illustration kan ges för att förklara denna situation. Betrakta en kvadrat med en sida lika med en (bild 72). Vi delar denna kvadrat med en horisontell linje i två lika delar och applicerar den övre delen på den nedre så att en rektangel bildas med sidorna 2 och . Efter det delar vi återigen den högra halvan av denna rektangel på mitten av en horisontell linje och fäster den övre delen på den nedre (som visas i fig. 72). För att fortsätta denna process omvandlar vi ständigt den ursprungliga kvadraten med en yta lika med 1 till lika stora figurer (tar formen av en trappa med uttunningssteg).
Med en oändlig fortsättning på denna process, sönderfaller hela arean av kvadraten till ett oändligt antal termer - områdena av rektanglar med baser lika med 1 och höjder. Arean av rektanglarna bildar bara en oändligt minskande progression, dess summa
dvs, som förväntat, är lika med torgets yta.
Exempel. Hitta summan av följande oändliga progressioner:
Lösning, a) Vi noterar att denna progression Därför, genom formeln (92.2) finner vi
b) Här betyder det att med samma formel (92.2) vi har
c) Vi finner att denna progression Därför har denna progression ingen summa.
I avsnitt 5 visades tillämpningen av formeln för summan av termer av en oändligt minskande progression till omvandlingen av ett periodiskt decimaltal till ett vanligt bråktal.
Övningar
1. Summan av en oändligt minskande geometrisk progression är 3/5, och summan av dess första fyra termer är 13/27. Hitta den första termen och nämnaren för progressionen.
2. Hitta fyra tal som bildar en alternerande geometrisk progression, där den andra termen är mindre än den första med 35 och den tredje är 560 större än den fjärde.
3. Visa vad händer om sekvens
bildar en oändligt minskande geometrisk progression, sedan sekvensen
för varje form en oändligt minskande geometrisk progression. Håller detta påstående för
Härled en formel för produkten av termerna för en geometrisk progression.
Vi rekommenderar också
Läser in...