Najmanjši skupni mnogokratnik števila 2. Kako najti najmanjši skupni večkratnik, vendar za dve ali več številk
Kako najti najmanjši skupni večkratnik?
Kako najti NOC
Tukaj je video, ki vam bo pokazal dva načina za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM). Z uporabo prve od predlaganih metod lahko bolje razumete, kaj je najmanjši pogost večkratnik.
- Vsako število predstavljamo kot zmnožek njegovih primarnih faktorjev:
- Zapišemo moči vseh primarnih faktorjev:
- Izberemo vse proste delilnike (množitelje) z največjimi stopinjami, jih pomnožimo in poiščemo LCM:
- Prvi korak je, da te številke razgradimo na prafaktorje.
- Izpišemo faktorje, ki so vključeni v razširitev števila 30. To je 2 x 3 x 5.
- Zdaj jih morate pomnožiti z manjkajočim faktorjem, ki ga imamo pri razgradnji 42, in to je 7. Dobimo 2 x 3 x 5 x 7.
- Najdemo, koliko je enako 2 x 3 x 5 x 7 in dobimo 210.
- Obe števili razstavimo na prafaktorje: 8=2*2*2 in 12=3*2*2
- Za eno od številk zmanjšamo enake množitelje. V našem primeru, ujemanje 2 * 2, jih zmanjšamo za število 12, potem bo 12 imelo en faktor: 3.
- Poiščite zmnožek vseh preostalih faktorjev: 2*2*2*3=24
Treba je najti vsak faktor vsakega od dveh števil, za katerega najdemo najmanjši skupni mnogokratnik, nato pa faktorje, ki so sovpadali s prvim in drugim številom, pomnožimo med seboj. Rezultat izdelka bo želeni večkratnik.
Na primer, imamo številki 3 in 5 in moramo najti LCM (najmanjši skupni večkratnik). nas je treba pomnožiti in tri in pet za vsa števila od 1 2 3 ... in tako naprej, dokler ne vidimo isto številko tu in tam.
Pomnožimo tri in dobimo: 3, 6, 9, 12, 15
Pomnožite pet in dobite: 5, 10, 15
Metoda faktorizacije praštevil je najbolj klasična za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) večih števil. Ta metoda je jasno in preprosto prikazana v naslednjem videu:
Seštevajte, množite, delite, zmanjšajte na skupni imenovalec in drugo aritmetične operacije zelo vznemirljiva dejavnost, primeri, ki zasedajo cel list, so še posebej občudovani.
Torej poiščite skupni večkratnik za dve števili, ki bo najmanjše število, s katerim sta deljivi dve številki. Želim opozoriti, da se v prihodnosti ni treba zateči k formulam, da bi našli tisto, kar iščete, če lahko štejete v mislih (in to je mogoče trenirati), potem se številke same pojavijo v vaši glavi in nato ulomki klikajo kot orehi.
Za začetek se bomo naučili, da lahko pomnožimo dve številki drug proti drugemu, nato pa to številko zmanjšamo in izmenično delimo s ti dve številki, tako da bomo našli najmanjši večkratnik.
Na primer dve številki 15 in 6. Pomnožimo in dobimo 90. To je jasno več številka. Poleg tega je 15 deljivo s 3 in 6 je deljivo s 3, kar pomeni, da tudi 90 delimo s 3. Dobimo 30. Poskušamo deliti 30 s 15 je 2. In 30 deli 6 je 5. Ker je 2 meja, izkaže se, da bo najmanjši večkratnik za številki 15 in 6 30.
Z več številkami bo malo težje. če pa veste, katera števila dajejo nič preostanka, ko jih delite ali pomnožite, potem načeloma ni velikih težav.
Tukaj je še en način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika. Poglejmo si ilustrativen primer.
Naenkrat je treba najti LCM treh številk: 16, 20 in 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560.
Tako smo kot rezultat izračuna dobili število 560. Je najmanjši skupni večkratnik, torej je deljivo z vsakim od treh števil brez ostanka.
Najmanjši skupni večkratnik je število, ki ga je mogoče deliti z več danimi števili brez ostanka. Če želite izračunati takšno številko, morate vzeti vsako številko in jo razstaviti na preproste faktorje. Številke, ki se ujemajo, se odstranijo. Pusti vse enega po enega, jih pomnožite med seboj in dobite želeni - najmanjši skupni večkratnik.
NOO oz najmanjši skupni večkratnik, je najmanjši naravno število dve ali več števil, ki je deljivo z vsakim od danih števil brez ostanka.
Tukaj je primer, kako najti najmanjši skupni večkratnik 30 in 42.
Za 30 je 2 x 3 x 5.
Za 42 je to 2 x 3 x 7. Ker sta 2 in 3 v razširitvi števila 30, ju prečrtamo.
Kot rezultat dobimo, da je LCM številk 30 in 42 210.
Najti najmanjši skupni večkratnik, morate slediti nekaj preprostim korakom zaporedoma. Razmislite o tem na primeru dveh številk: 8 in 12
S preverjanjem se prepričamo, da je 24 deljivo z 8 in 12, in to je najmanjše naravno število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Tukaj smo poišči najmanjši skupni večkratnik.
Poskušal bom razložiti na primeru števil 6 in 8. Najmanj pogosti večkratnik je število, ki ga lahko delimo s temi številkama (v našem primeru 6 in 8) in ne bo ostanka.
Torej, najprej začnemo množiti 6 z 1, 2, 3 itd. in 8 z 1, 2, 3 itd.
Imenuje se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni delilec te številke. Označimo GCD(a, b).
Razmislite o iskanju GCD na primeru dveh naravnih števil 18 in 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 in 432
Razstavimo števila na prafaktorje:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Če izbrišemo prvo številko, katere faktorji niso v drugi in tretji številki, dobimo:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Kot rezultat GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Iskanje GCD z Euclidovim algoritmom
Drugi način za iskanje največjega skupnega delitelja z uporabo Evklidov algoritem. Evklidov algoritem je najbolj učinkovit način ugotovitev GCD, z njegovo uporabo morate nenehno poiskati preostanek delitve številk in uporabiti ponavljajoča se formula.
Ponavljajoča se formula za GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kjer je mod b preostanek deljenja a z b.
Evklidov algoritem
Primer Poiščite največji skupni delilec števil 7920 in 594
Poiščimo GCD ( 7920 , 594 ) z uporabo Euclidovega algoritma bomo preostanek deljenja izračunali s kalkulatorjem.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Kot rezultat dobimo GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Najmanj pogosti večkratnik
Iskanje skupnega imenovalca pri seštevanju in odštevanju ulomkov različni imenovalci vedeti in znati izračunati najmanjši skupni večkratnik(NOC).
Večkratnik števila "a" je število, ki je samo deljivo s številom "a" brez ostanka.
Številke, ki so večkratniki 8 (to pomeni, da bodo ta števila brez ostanka deljena z 8): to so števila 16, 24, 32 ...
Večkratniki 9: 18, 27, 36, 45…
Obstaja neskončno veliko večkratnikov danega števila a, v nasprotju z delitelji istega števila. Delitelji - končno število.
Skupni večkratnik dveh naravnih števil je število, ki je enako deljivo z obema številoma..
Najmanj pogosti večkratnik(LCM) dveh ali več naravnih števil je najmanjše naravno število, ki je samo deljivo z vsakim od teh števil.
Kako najti NOC
LCM lahko najdemo in zapišemo na dva načina.
Prvi način za iskanje LCM
Ta metoda se običajno uporablja za majhne številke.
- Za vsako število v vrstici zapišemo večkratnike, dokler ne najdemo večkratnika, ki je enak za obe števili.
- Večkratnik števila "a" je označen z veliko črko "K".
Primer. Poiščite LCM 6 in 8.
Drugi način za iskanje LCM
Ta metoda je priročna za iskanje LCM za tri ali več številk.
Število enakih faktorjev v razširitvah števil je lahko različno.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Odgovor: LCM (24, 60) = 120
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) lahko formalizirate tudi na naslednji način. Poiščimo LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Kot lahko vidimo iz raztezanja številk, so vsi faktorji 12 vključeni v razširitev 24 (največje od števil), zato v LCM dodamo samo eno 2 iz razširitve števila 16.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48
Posebni primeri iskanja NOC
Na primer, LCM(60, 15) = 60
Ker sopraprosta števila nimajo skupnih prostih deliteljev, je njihov najmanjši skupni večkratnik enak zmnožku teh števil.
Na našem spletnem mestu lahko s posebnim kalkulatorjem na spletu poiščete najmanj skupni večkratnik in preverite svoje izračune.
Če je naravno število deljivo samo z 1 in samo s seboj, se imenuje pra.
Vsako naravno število je vedno deljivo z 1 in samo s seboj.
Število 2 je najmanjše praštevilo. To je edino sodo praštevilo, ostala praštevila so liha.
Obstaja veliko praštevil in prvo med njimi je število 2. Vendar zadnjega praštevila ni. V razdelku »Za študij« lahko prenesete tabelo praštevil do 997.
Toda mnoga naravna števila so enakomerno deljiva z drugimi naravnimi števili.
- število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;
- 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.
- razgraditi delilce števil na prafaktorje;
Števila, s katerimi je število enakomerno deljivo (za 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), imenujemo delitelji števila.
Delitelj naravnega števila a je takšno naravno število, ki dano število "a" deli brez ostanka.
Naravno število, ki ima več kot dva faktorja, se imenuje sestavljeno število.
Upoštevajte, da imata številki 12 in 36 skupne delilnike. To so številke: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delilec teh številk je 12.
Skupni delilec dveh danih števil "a" in "b" je število, s katerim sta obe dani števili "a" in "b" deljeni brez ostanka.
Največji skupni delilec(gcd) dveh danih številk "a" in "b" je največje število, s katerim sta obe številki "a" in "b" deljivi brez ostanka.
Na kratko, največji skupni delilec števil "a" in "b" je zapisan takole:
Primer: gcd (12; 36) = 12 .
Delitelji števil v zapisu rešitve so označeni z veliko črko "D".
Števili 7 in 9 imata samo en skupni delilec - število 1. Takšne številke se imenujejo sopraprosta števila.
Kopraprosta števila so naravna števila, ki imajo samo en skupni delilec - število 1. Njihov GCD je 1.
Kako najti največji skupni delitelj
Za iskanje gcd dveh ali več naravnih števil potrebujete:
Izračuni so priročno zapisani z navpično črto. Levo od vrstice najprej zapišite dividendo, desno - delilec. Nadalje v levem stolpcu zapišemo vrednosti zasebnega.
Takoj razložimo s primerom. Razložimo številki 28 in 64 v prafaktorje.
- Podčrtaj enake prafaktorje v obeh številkah.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Poiščemo zmnožek enakih prafaktorjev in zapišemo odgovor;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Odgovor: GCD (28; 64) = 4
Lokacijo GCD lahko uredite na dva načina: v stolpcu (kot je bilo storjeno zgoraj) ali "v vrstici".
Prvi način pisanja GCD
Poiščite GCD 48 in 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Drugi način pisanja GCD
Zdaj zapišimo rešitev iskanja GCD v vrstico. Poiščite GCD 10 in 15.
Na našem informacijskem spletnem mestu lahko najdete tudi največji skupni delitelj na spletu s pomočjo programa za pomoč, da preverite svoje izračune.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika, metode, primeri iskanja LCM.
Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka pod naslovom LCM - Najmanj pogosti večkratnik, definicija, primeri, razmerje med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), in Posebna pozornost Oglejmo si primere. Najprej pokažimo, kako se izračuna LCM dveh števil glede na GCD teh števil. Nato razmislite o iskanju najmanjšega skupnega večkratnika s faktorjenjem števil v prafaktorje. Po tem se bomo osredotočili na iskanje LCM treh in večštevilk in bodite pozorni tudi na izračun LCM negativnih števil.
Navigacija po straneh.
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek gcd
Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa relacija med LCM in GCD vam omogoča, da izračunate najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil prek znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula ima obliko LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Razmislite o primerih iskanja LCM v skladu z zgornjo formulo.
Poiščite najmanjši skupni mnogokratnik dveh števil 126 in 70.
V tem primeru a=126, b=70. Uporabimo povezavo LCM z GCD, ki je izražena s formulo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . To pomeni, da moramo najprej najti največji skupni delilec števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil po napisani formuli.
Poiščite gcd(126, 70) z uporabo Evklidovega algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , torej gcd(126, 70)=14 .
Zdaj najdemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Kaj je LCM(68, 34)?
Ker je 68 enakomerno deljivo s 34, potem je gcd(68, 34)=34. Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b , potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a .
Iskanje LCM s faktorjenjem števil v prafaktorje
Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktorjenju števil v prafaktorje. Če naredimo zmnožek vseh prafaktorjev teh števil, potem pa iz tega produkta izločimo vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah teh števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku teh števil.
Napovedano pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Dejansko je produkt številk a in b enak zmnožku vseh faktorjev, ki so vključeni v razširitve števil a in b. Po drugi strani je gcd(a, b) enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kar je opisano v razdelku o iskanju gcd z razgradnjo števil na prafaktorje ).
Vzemimo primer. Naj vemo, da je 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Sestavi zmnožek vseh faktorjev teh razširitev: 2 3 3 5 5 5 7 . Zdaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako pri razširitvi števila 75 kot pri razširitvi števila 210 (taka faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2 3 5 5 7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku 75 in 210, to je LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Po faktorjenju števil 441 in 700 v prafaktorje poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Razstavimo številki 441 in 700 na prafaktorje: 
Dobimo 441=3 3 7 7 in 700=2 2 5 5 7 .
Sedaj naredimo zmnožek vseh faktorjev, ki so vključeni v razširitve teh števil: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Iz tega produkta izključimo vse faktorje, ki so hkrati prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Torej LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za iskanje LCM z uporabo razgradnje števil na prafaktorje je mogoče oblikovati nekoliko drugače. Če faktorjem iz razširitve števila a dodamo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost nastalega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.
Na primer, vzemimo vsi isti številki 75 in 210, njuni razširitvi v prafaktorje sta naslednji: 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 dodamo manjkajoči faktor 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2 3 5 5 7 , katerega vrednost je LCM(75 , 210).
Poiščite najmanjši skupni mnogokratnik 84 in 648.
Najprej dobimo razgradnjo števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta 84=2 2 3 7 in 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorjem 2 , 2 , 3 in 7 iz razgradnje števila 84 dodamo manjkajoče faktorje 2 , 3 , 3 in 3 iz razgradnje števila 648 , dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648 4.536.
Iskanje LCM treh ali več številk
Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki daje način za iskanje LCM treh ali več števil.
Naj so podana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh številk najdemo v zaporednem izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Razmislite o uporabi tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.
Poiščite LCM štirih števil 140 , 9 , 54 in 250 .
Najprej najdemo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Za to z uporabo evklidskega algoritma določimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , torej gcd( 140, 9)=1, od koder LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . To pomeni, da je m 2 =1 260 .
Zdaj najdemo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , ki ga določa tudi Evklidov algoritem: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potem je gcd(1 260, 54)=18, od koder je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Se pravi, m 3 = 3 780.
Ostaja še najti m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Za to poiščemo GCD(3 780, 250) z uporabo Evklidovega algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Zato je gcd(3 780, 250)=10, torej LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Se pravi, m 4 = 94 500.
Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih številk 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250) = 94500 .
V mnogih primerih je najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil priročno najti z uporabo prafaktorizacij danih števil. Hkrati se je treba držati naslednje pravilo. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajoči faktorji iz razširitve drugega števila se dodajo vsem faktorjem iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve dobljenim faktorjem dodamo tretje število itd.
Razmislite o primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo razgradnje števil na prafaktorje.
Poišči najmanjši skupni večkratnik petih številk 84, 6, 48, 7, 143.
Najprej dobimo dekompozicije teh števil na prafaktorje: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 je praštevilo, sovpada z njegovo razgradnjo na prafaktorje) in 143=11 13 .
Če želite najti LCM teh številk, morate faktorjem prvega števila 84 (so 2 , 2 , 3 in 7) dodati manjkajoče faktorje iz razgradnje drugega števila 6 . Razširitev števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 že prisotna v razširitvi prvega števila 84 . Poleg faktorjev 2, 2, 3 in 7 dodamo še manjkajoči faktor 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo nabor faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ni treba dodajati faktorjev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 dodamo manjkajoči faktor 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo zmnožek 2 2 2 2 3 7 11 13 , ki je enak 48 048 .
Zato je LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil
Včasih obstajajo naloge, pri katerih morate najti najmanjši skupni večkratnik števil, med katerimi so ena, več ali vsa števila negativnih. V teh primerih je treba vsa negativna števila nadomestiti z nasprotnimi števili, nato pa najti LCM pozitivnih števil. To je način za iskanje LCM negativnih števil. Na primer, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) in LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
To lahko storimo, ker je množica večkratnikov a enaka množici večkratnikov −a (a in −a sta nasprotni števili). Dejansko naj je b nek večkratnik a , potem je b deljivo z a , in koncept deljivosti trdi obstoj takega celega števila q, da je b=a q . Toda enakost b=(−a)·(−q) bo prav tako resnična, kar na podlagi istega koncepta deljivosti pomeni, da je b deljivo z −a , to je, da je b večkratnik −a. Velja tudi obratna izjava: če je b nek večkratnik od −a , potem je tudi b večkratnik a .
Poiščite najmanjši skupni večkratnik negativnih števil −145 in −45.
Zamenjajmo negativni števili −145 in −45 z njunima nasprotnima številkama 145 in 45 . Imamo LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Ko določimo gcd(145, 45)=5 (na primer z uporabo Evklidovega algoritma), izračunamo LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Tako je najmanjši skupni večkratnik negativnih celih števil −145 in −45 1305.
www.cleverstudents.ru
Nadaljujemo s študijem oddelka. V tej lekciji si bomo ogledali pojme kot npr GCD in NOC.
GCD je največji skupni delilec.
NOC je najmanjši skupni večkratnik.
Tema je precej dolgočasna, vendar jo je treba razumeti. Brez razumevanja te teme ne boste mogli učinkovito delati z ulomki, ki so prava ovira pri matematiki.
Največji skupni delilec
Opredelitev. Največji skupni delilec števil a in b a in b deljeno brez ostanka.
Da bi to definicijo dobro razumeli, nadomestimo namesto spremenljivk a in b kateri koli dve številki, na primer namesto spremenljivke a nadomestite številko 12 in namesto spremenljivke bštevilka 9. Zdaj pa poskusimo prebrati to definicijo:
Največji skupni delilec števil 12 in 9 je največje število, s katerim 12 in 9 deljeno brez ostanka.
Iz definicije je razvidno, da govorimo o skupnem delilniku števil 12 in 9, ta delitelj pa je največji od vseh obstoječih deliteljev. Najti je treba ta največji skupni delitelj (gcd).
Za iskanje največjega skupnega delitelja dveh števil se uporabljajo tri metode. Prva metoda je precej zamudna, vendar vam omogoča, da dobro razumete bistvo teme in začutite njen celoten pomen.
Druga in tretja metoda sta precej preprosti in omogočata hitro iskanje GCD. Upoštevali bomo vse tri metode. In kaj uporabiti v praksi - izberete sami.
Prvi način je, da poiščemo vse možne delilce dveh števil in izberemo največje od njih. Oglejmo si to metodo v naslednjem primeru: poišči največji skupni delilec števil 12 in 9.
Najprej poiščemo vse možne delilnike števila 12. Če želite to narediti, razdelimo 12 na vse delilnike v območju od 1 do 12. Če nam delilnik omogoča, da delimo 12 brez ostanka, ga bomo označili z modro in v oklepaju poda ustrezno razlago.
12: 1 = 12
(12 deljeno z 1 brez ostanka, torej je 1 delilec 12)
12: 2 = 6
(12 deljeno z 2 brez preostanka, torej je 2 delilec 12)
12: 3 = 4
(12 deljeno s 3 brez preostanka, torej je 3 delilec 12)
12: 4 = 3
(12 deljeno s 4 brez ostanka, torej je 4 delilec 12)
12:5 = 2 (2 preostala)
(12 ni deljeno s 5 brez ostanka, torej 5 ni delilec 12)
12: 6 = 2
(12 deljeno s 6 brez ostanka, torej je 6 delilec 12)
12: 7 = 1 (5 preostalih)
(12 ni deljeno s 7 brez ostanka, torej 7 ni delilec 12)
12: 8 = 1 (4 preostalo)
(12 ni deljeno z 8 brez ostanka, torej 8 ni delilec 12)
12:9 = 1 (3 preostalo)
(12 ni deljeno z 9 brez ostanka, torej 9 ni delilec 12)
12: 10 = 1 (2 levo)
(12 ni deljeno z 10 brez ostanka, torej 10 ni delilec 12)
12:11 = 1 (1 ostane)
(12 ni deljeno z 11 brez ostanka, torej 11 ni delilec 12)
12: 12 = 1
(12 deljeno z 12 brez ostanka, torej je 12 delilec 12)
Zdaj pa poiščimo delilnike števila 9. Če želite to narediti, preverite vse delilnike od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 deljeno z 1 brez preostanka, torej je 1 delilec 9)
9: 2 = 4 (1 ostane)
(9 ni deljeno z 2 brez ostanka, torej 2 ni delilec 9)
9: 3 = 3
(9 deljeno s 3 brez preostanka, torej je 3 delilec 9)
9: 4 = 2 (1 ostane)
(9 ni deljeno s 4 brez ostanka, torej 4 ni delilec 9)
9:5 = 1 (še 4)
(9 ni deljeno s 5 brez preostanka, torej 5 ni delilec 9)
9: 6 = 1 (3 preostalo)
(9 ni deljeno s 6 brez ostanka, torej 6 ni delilec 9)
9:7 = 1 (2 preostala)
(9 ni deljeno s 7 brez ostanka, torej 7 ni delilec 9)
9:8 = 1 (1 ostane)
(9 ni deljeno z 8 brez ostanka, torej 8 ni delilec 9)
9: 9 = 1
(9 deljeno z 9 brez ostanka, torej je 9 delilec 9)
Zdaj zapišite delilce obeh števil. Številke, označene z modro, so delitelji. Izpišimo jih:
Ko izpišete delilnike, lahko takoj ugotovite, kateri je največji in najpogostejši.
Po definiciji je največji skupni delilec 12 in 9 število, s katerim sta 12 in 9 enakomerno deljiva. Največji in skupni delilec števil 12 in 9 je število 3
Tako število 12 kot število 9 sta deljiva s 3 brez ostanka:
Torej gcd (12 in 9) = 3
Drugi način za iskanje GCD
Zdaj razmislite o drugem načinu iskanja največjega skupnega delitelja. bistvo ta metoda je razdeliti obe številki v prafaktorje in pomnožiti skupna.
Primer 1. Poiščite GCD številk 24 in 18
Najprej razporedimo obe številki v prafaktorje:
Zdaj pomnožimo njihove skupne faktorje. Da ne bi bili zmedeni, lahko poudarite skupne dejavnike.
Pogledamo razgradnjo števila 24. Njegov prvi faktor je 2. Iščemo isti faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo oba:
Spet pogledamo razgradnjo števila 24. Njegov drugi faktor je prav tako 2. Iščemo isti faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da ga že drugič ni. Potem ne poudarjamo ničesar.
Naslednji dve v razširitvi števila 24 manjkata tudi v razširitvi števila 18.
Preidemo na zadnji faktor pri razgradnji števila 24. To je faktor 3. Iščemo isti faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo obe trojici:
Torej, skupni faktorji številk 24 in 18 so faktorji 2 in 3. Da bi dobili GCD, je treba te faktorje pomnožiti:
Torej gcd (24 in 18) = 6
Tretji način za iskanje GCD
Zdaj razmislite o tretjem načinu iskanja največjega skupnega delitelja. Bistvo te metode je v tem, da se števila, ki jih iščemo za največji skupni delilec, razstavijo na prafaktorje. Nato se faktorji, ki niso vključeni v razširitev drugega števila, izbrišejo iz razširitve prvega števila. Preostale številke v prvi razširitvi se pomnožijo in dobijo GCD.
Na primer, na ta način poiščimo GCD za številki 28 in 16. Najprej te številke razstavimo na osnovne faktorje:
Dobili smo dve razširitvi: in
Zdaj iz razširitve prvega števila izbrišemo faktorje, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razširitev druge številke ne vključuje sedem. Izbrisali ga bomo iz prve razširitve:
Zdaj pomnožimo preostale faktorje in dobimo GCD:
Število 4 je največji skupni delilec števil 28 in 16. Obe števili sta deljivi s 4 brez ostanka:
Primer 2 Poiščite GCD številk 100 in 40
Odštejemo število 100
Odštejemo številko 40
Imamo dve razširitvi:
Zdaj iz razširitve prvega števila izbrišemo faktorje, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razširitev druge številke ne vključuje ene petice (samo ena petica je). Izbrišemo ga iz prve razgradnje
Pomnožite preostale številke:
Dobili smo odgovor 20. Število 20 je torej največji skupni delilec števil 100 in 40. Ti dve števili sta deljivi z 20 brez ostanka:
GCD (100 in 40) = 20.
Primer 3 Poiščite gcd številk 72 in 128
Odštejemo številko 72
Odštejemo številko 128
2×2×2×2×2×2×2
Zdaj iz razširitve prvega števila izbrišemo faktorje, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razširitev drugega števila ne vključuje dveh trojčkov (sploh jih ni). Izbrišemo jih iz prve razširitve:
Dobili smo odgovor 8. Število 8 je torej največji skupni delilec števil 72 in 128. Ti dve števili sta deljivi z 8 brez ostanka:
GCD (72 in 128) = 8
Iskanje GCD za več številk
Največji skupni delilec lahko najdemo za več številk in ne samo za dva. Za to se števila, ki jih je treba iskati za največji skupni delilec, razstavijo na prafaktorje, nato pa najdemo produkt skupnih prafaktorjev teh števil.
Na primer, poiščimo GCD za številke 18, 24 in 36
Razdelitev števila 18
Razdelitev števila 24
Razdelitev števila 36
Imamo tri razširitve:
Zdaj izberemo in podčrtamo skupne dejavnike v teh številkah. Skupne dejavnike je treba vključiti v vse tri številke:
Vidimo, da so skupni faktorji za števila 18, 24 in 36 faktorji 2 in 3. Z množenjem teh faktorjev dobimo GCD, ki ga iščemo:
Dobili smo odgovor 6. Število 6 je torej največji skupni delilec števil 18, 24 in 36. Ta tri števila so deljiva s 6 brez ostanka:
GCD (18, 24 in 36) = 6
Primer 2 Poiščite gcd za številke 12, 24, 36 in 42
Razložimo vsako število na faktorje. Nato najdemo zmnožek skupnih faktorjev teh številk.
Razdelitev števila 12
Razdelitev števila 42
Imamo štiri razširitve:
Zdaj izberemo in podčrtamo skupne dejavnike v teh številkah. Skupne dejavnike je treba vključiti v vse štiri številke:
Vidimo, da so skupni faktorji za števila 12, 24, 36 in 42 faktorji 2 in 3. Z množenjem teh faktorjev dobimo GCD, ki ga iščemo:
Dobili smo odgovor 6. Število 6 je torej največji skupni delilec števil 12, 24, 36 in 42. Ta števila so deljiva s 6 brez ostanka:
gcd(12, 24, 36 in 42) = 6
Iz prejšnje lekcije vemo, da če je neko število deljeno z drugim brez ostanka, se imenuje večkratnik tega števila.
Izkazalo se je, da je večkratnik lahko skupen za več številk. In zdaj nas bo zanimal večkratnik dveh številk, medtem ko naj bo čim manjši.
Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) številk a in b- a in b a in številko b.
Definicija vsebuje dve spremenljivki a in b. Zamenjajmo ti spremenljivki poljubni dve številki. Na primer namesto spremenljivke a nadomestite številko 9 in namesto spremenljivke b zamenjajmo številko 12. Zdaj pa poskusimo prebrati definicijo:
Najmanjši skupni večkratnik (LCM) številk 9 in 12 - tole najmanjše število, ki je večkratnik 9 in 12 . Z drugimi besedami, to je tako majhno število, ki je brez ostanka deljivo s številom 9 in na številki 12 .
Iz definicije je jasno, da je LCM najmanjše število, ki je brez ostanka deljivo z 9 in 12. To LCM je treba najti.
Obstajata dva načina za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM). Prvi način je, da lahko zapišete prve večkratnike dveh števil, nato pa med temi večkratniki izberete takšno število, ki bo skupno tako številkam kot majhnim. Uporabimo to metodo.
Najprej poiščimo prve večkratnike za število 9. Če želite poiskati večkratnike za 9, morate to devet zaporedoma pomnožiti s številkami od 1 do 9. Odgovori, ki jih boste dobili, bodo večkratniki števila 9. Torej , Začnimo. Večkratniki bodo označeni z rdečo:
Zdaj najdemo večkratnike za število 12. Če želite to narediti, pomnožimo 12 z vsemi števili od 1 do 12 po vrsti.
Razmislite o rešitvi naslednjega problema. Dečkov korak je 75 cm, korak deklice pa 60 cm.Poiskati je treba najmanjšo razdaljo, na kateri bosta oba naredila celo število korakov.
Odločitev. Celotna pot, skozi katero bodo šli fantje, mora biti deljiva s 60 in 70 brez preostanka, saj mora vsak narediti celo število korakov. Z drugimi besedami, odgovor mora biti večkratnik 75 in 60.
Najprej bomo izpisali vse večkratnike za število 75. Dobimo:
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Zdaj pa zapišimo števila, ki bodo večkratnik 60. Dobimo:
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Zdaj najdemo številke, ki so v obeh vrsticah.
- Navadni večkratniki števil bodo številke, 300, 600 itd.
Najmanjše med njimi je število 300. V tem primeru se bo imenovalo najmanjši skupni večkratnik številk 75 in 60.
Če se vrnemo k pogoju problema, bo najmanjša razdalja, na kateri fantje naredijo celo število korakov, 300 cm.Fant bo šel to pot v 4 korakih, dekle pa bo morala narediti 5 korakov.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika
- Najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b.
Da bi našli najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ni treba zapisati vseh večkratnikov teh števil v vrsti.
Uporabite lahko naslednjo metodo.
Kako najti najmanjši skupni večkratnik
Najprej morate te številke razstaviti na osnovne faktorje.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Zdaj pa zapišimo vse faktorje, ki so v razširitvi prvega števila (2,2,3,5) in ji prištejmo vse manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila (5).
Kot rezultat dobimo vrsto praštevil: 2,2,3,5,5. Zmnožek teh številk bo najmanj pogost faktor za ta števila. 2*2*3*5*5 = 300.
Splošna shema za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika
- 1. Razčlenite števila na prafaktorje.
- 2. Zapišite glavne faktorje, ki so del enega od njih.
- 3. Tem faktorjem prištej vse tiste, ki so v razgradnji preostalih, ne pa v izbranem.
- 4. Poiščite zmnožek vseh zapisanih faktorjev.
Ta metoda je univerzalna. Uporablja se lahko za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika poljubnega števila naravnih števil.
Spletni kalkulator vam omogoča hitro iskanje največjega skupnega delitelja in najmanjšega skupnega večkratnika dveh ali katerega koli drugega števila števil.
Kalkulator za iskanje GCD in NOC
Poiščite GCD in NOC
Najdeno GCD in NOC: 6433
Kako uporabljati kalkulator
- V vnosno polje vnesite številke
- V primeru vnosa napačnih znakov bo vnosno polje označeno rdeče
- pritisnite gumb "Najdi GCD in NOC"
Kako vnesti številke
- Številke se vnesejo ločene s presledki, pikami ali vejicami
- Dolžina vnesenih številk ni omejena, zato iskanje gcd in lcm dolgih števil ne bo težko
Kaj je NOD in NOK?
Največji skupni delilec več števil je največje naravno celo število, s katerim so vsa prvotna števila deljiva brez ostanka. Največji skupni delitelj je skrajšano kot GCD.
Najmanj pogosti večkratnik več številk je najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od prvotnih števil brez ostanka. Najmanj pogosti večkratnik je skrajšano kot NOC.
Kako preveriti, ali je število deljivo z drugim številom brez ostanka?
Če želite ugotoviti, ali je eno število deljivo z drugim brez ostanka, lahko uporabite nekatere lastnosti deljivosti števil. Nato lahko z združevanjem preverimo deljivost po nekaterih od njih in njihovih kombinacijah.
Nekateri znaki deljivosti števil
1. Znak deljivosti števila z 2
Če želite ugotoviti, ali je število deljivo z dvema (ali je sodo), je dovolj, da pogledate zadnjo številko tega števila: če je enako 0, 2, 4, 6 ali 8, je število sodo, kar pomeni, da je deljivo z 2.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo z 2.
Odločitev: poglejte zadnjo številko: 8 pomeni, da je število deljivo z dvema.
2. Znak deljivosti števila s 3
Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3. Če želite torej ugotoviti, ali je število deljivo s 3, morate izračunati vsoto števk in preveriti, ali je deljivo s 3. Tudi če se je vsota števk izkazala za zelo veliko, lahko ponovite isti postopek ponovno.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo s 3.
Odločitev:štejemo vsoto števk: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deljivo s 3, kar pomeni, da je število deljivo s tri.
3. Znak deljivosti števila s 5
Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja številka nič ali pet.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo s 5.
Odločitev: poglejte zadnjo številko: 8 pomeni, da število NI deljivo s pet.
4. Znak deljivosti števila z 9
Ta znak je zelo podoben znaku deljivosti s tri: število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Primer: ugotovi, ali je število 34938 deljivo z 9.
Odločitev: izračunamo vsoto števk: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deljivo z 9, kar pomeni, da je število deljivo z devet.
Kako najti GCD in LCM dveh številk
Kako najti GCD dveh številk
Večina na preprost način Izračun največjega skupnega delitelja dveh števil je, da poiščemo vse možne delitelje teh števil in izberemo največje od njih.
Razmislite o tej metodi na primeru iskanja GCD(28, 36):
- Razložimo obe številki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Najdemo skupne faktorje, torej tiste, ki jih imata obe številki: 1, 2 in 2.
- Izračunamo produkt teh faktorjev: 1 2 2 \u003d 4 - to je največji skupni delilec številk 28 in 36.
Kako najti LCM dveh številk
Obstajata dva najpogostejša načina za iskanje najmanjšega večkratnika dveh števil. Prvi način je, da lahko zapišete prve večkratnike dveh števil, nato pa med njimi izberete takšno število, ki bo skupno obema številoma in hkrati najmanjše. In drugo je najti GCD teh številk. Samo razmislimo.
Za izračun LCM morate izračunati zmnožek prvotnih številk in ga nato deliti s predhodno najdenim GCD. Poiščimo LCM za isti številki 28 in 36:
- Poiščite zmnožek številk 28 in 36: 28 36 = 1008
- Za gcd(28, 36) je že znano, da je 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Iskanje GCD in LCM za več številk
Največji skupni delilec lahko najdemo za več številk in ne samo za dva. Za to se števila, ki jih je treba najti za največji skupni delilec, razstavijo na prafaktorje, nato pa najdemo produkt skupnih prafaktorjev teh števil. Če želite najti GCD več številk, lahko uporabite to razmerje: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Podobna relacija velja tudi za najmanjši skupni večkratnik števil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Primer: poiščite GCD in LCM za števila 12, 32 in 36.
- Najprej razložimo števila: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Poiščimo skupne faktorje: 1, 2 in 2 .
- Njihov produkt bo dal gcd: 1 2 2 = 4
- Zdaj poiščimo LCM: za to najprej poiščemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Če želite najti LCM vseh treh številk, morate najti GCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanjši pogost večkratnik, definicija, primeri, razmerje med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), posebno pozornost pa posvetite reševanju primerov. Najprej pokažimo, kako se izračuna LCM dveh števil glede na GCD teh števil. Nato razmislite o iskanju najmanjšega skupnega večkratnika s faktorjenjem števil v prafaktorje. Po tem se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več številk, pozorni pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.
Navigacija po straneh.
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek gcd
Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa relacija med LCM in GCD vam omogoča, da izračunate najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil prek znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula ima obliko LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Razmislite o primerih iskanja LCM v skladu z zgornjo formulo.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni mnogokratnik dveh števil 126 in 70.
Odločitev.
V tem primeru a=126, b=70. Uporabimo razmerje med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). To pomeni, da moramo najprej najti največji skupni delilec števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil po napisani formuli.
Poiščite gcd(126, 70) z uporabo Evklidovega algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , torej gcd(126, 70)=14 .
Zdaj najdemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .
odgovor:
LCM(126, 70)=630 .
Primer.
Kaj je LCM(68, 34)?
Odločitev.
Kot 68 je enakomerno deljivo s 34, potem je gcd(68, 34)=34. Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34 = 68 .
odgovor:
LCM(68, 34)=68 .
Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b, je najmanjši skupni večkratnik teh številk a.
Iskanje LCM s faktorjenjem števil v prafaktorje
Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktorjenju števil v prafaktorje. Če naredimo zmnožek vseh prafaktorjev teh števil, potem pa iz tega produkta izločimo vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah teh števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku teh števil.
Napovedano pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Dejansko je produkt številk a in b enak zmnožku vseh faktorjev, ki so vključeni v razširitve števil a in b. Po drugi strani je gcd(a, b) enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kar je opisano v razdelku o iskanju gcd z razgradnjo števil na prafaktorje ).
Vzemimo primer. Naj vemo, da je 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Sestavi zmnožek vseh faktorjev teh razširitev: 2 3 3 5 5 5 7 . Zdaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako pri razširitvi števila 75 kot pri razširitvi števila 210 (taka faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2 3 5 5 7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil 75 in 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Primer.
Po faktorjenju števil 441 in 700 v prafaktorje poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Odločitev.
Razstavimo številki 441 in 700 na prafaktorje:
Dobimo 441=3 3 7 7 in 700=2 2 5 5 7 .
Sedaj naredimo zmnožek vseh faktorjev, ki so vključeni v razširitve teh števil: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Iz tega produkta izključimo vse faktorje, ki so hkrati prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . tako, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
odgovor:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za iskanje LCM z uporabo razgradnje števil na prafaktorje je mogoče oblikovati nekoliko drugače. Če faktorjem iz razgradnje števila a dodamo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b..
Na primer, vzemimo vsi isti številki 75 in 210, njuni razširitvi v prafaktorje sta naslednji: 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 dodamo manjkajoči faktor 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2 3 5 5 7 , katerega vrednost je LCM(75 , 210).
Primer.
Poiščite najmanjši skupni mnogokratnik 84 in 648.
Odločitev.
Najprej dobimo razgradnjo števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta 84=2 2 3 7 in 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz raztezanja števila 84 dodamo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz razširitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648 4.536.
odgovor:
LCM (84, 648) = 4 536 .
Iskanje LCM treh ali več številk
Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki daje način za iskanje LCM treh ali več števil.
Izrek.
Naj so podana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh številk najdemo v zaporednem izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Razmislite o uporabi tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.
Primer.
Poiščite LCM štirih števil 140 , 9 , 54 in 250 .
Odločitev.
V tem primeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Najprej najdemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Za to z uporabo evklidskega algoritma določimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , torej gcd( 140, 9)=1 , od koder LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . To pomeni, da je m 2 =1 260 .
Zdaj najdemo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , ki ga določa tudi Evklidov algoritem: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potem je gcd(1 260, 54)=18, od koder je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Se pravi, m 3 = 3 780.
Ostalo najti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Za to poiščemo GCD(3 780, 250) z uporabo Evklidovega algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Zato je gcd(3 780, 250)=10, od koder gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Se pravi, m 4 = 94 500.
Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih številk 94.500.
odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94.500.
V mnogih primerih je najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil priročno najti z uporabo prafaktorizacij danih števil. V tem primeru je treba upoštevati naslednje pravilo. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajoči faktorji iz razširitve drugega števila se dodajo vsem faktorjem iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve dobljenim faktorjem dodamo tretje število itd.
Razmislite o primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo razgradnje števil na prafaktorje.
Primer.
Poišči najmanjši skupni večkratnik petih številk 84, 6, 48, 7, 143.
Odločitev.
Najprej dobimo razširitve teh števil v prafaktorje: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prafaktorjev) in 143=11 13 .
Če želite najti LCM teh številk, morate faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7) dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Razširitev števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 že prisotna v razširitvi prvega števila 84 . Poleg faktorjev 2, 2, 3 in 7 dodamo še manjkajoči faktor 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo nabor faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ni treba dodajati faktorjev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 dodamo manjkajoči faktor 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo zmnožek 2 2 2 2 3 7 11 13 , ki je enak 48 048 .
Nalaganje...