O scurtă istorie a lui Pi. Care este numărul „Pi” sau cum jură matematicienii

Una dintre cele mai numere misterioase, cunoscut omenirii, desigur, este numărul Π (citește - pi). În algebră, acest număr reflectă raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Anterior, această cantitate era numită numărul Ludolf. Cum și de unde a venit numărul Pi nu se știe cu siguranță, dar matematicienii împart întreaga istorie a numărului Π în 3 etape, în epoca antică, clasică și epoca computerelor digitale.

Numărul P este irațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție simplă, unde numărătorul și numitorul sunt numere întregi. Prin urmare, un astfel de număr nu are sfârșit și este periodic. Pentru prima dată, iraționalitatea lui P a fost dovedită de I. Lambert în 1761.

Pe lângă această proprietate, numărul P nu poate fi și rădăcina vreunui polinom și, prin urmare, este o proprietate a numărului, când a fost dovedită în 1882, a pus capăt disputei aproape sacre a matematicienilor „despre pătratul cercului. ”, care a durat 2.500 de ani.

Se știe că primul care a introdus denumirea acestui număr a fost Briton Jones în 1706. După apariția lucrării lui Euler, utilizarea unei astfel de denumiri a devenit general acceptată.

Pentru a înțelege în detaliu ce este Pi, trebuie spus că utilizarea lui este atât de răspândită încât este greu să numim măcar un domeniu al științei în care s-ar dispensa. Una dintre cele mai simple și mai familiare curiculumul scolar valorile este desemnarea perioadei geometrice. Raportul dintre lungimea unui cerc și lungimea diametrului său este constant și egal cu 3, 14. Această valoare era cunoscută chiar și de cei mai vechi matematicieni din India, Grecia, Babilon, Egipt. Cea mai veche versiune a calculării raportului datează din 1900 î.Hr. e. Mai aproape de sens contemporan P a fost calculat de omul de știință chinez Liu Hui, în plus, a inventat și drumul rapid un asemenea calcul. Valoarea sa a rămas în general acceptată timp de aproape 900 de ani.

Perioada clasică în dezvoltarea matematicii a fost marcată de faptul că, pentru a stabili exact care este numărul Pi, oamenii de știință au început să folosească metode analiză matematică. În anii 1400, matematicianul indian Madhava a folosit teoria seriei pentru a calcula și a determinat perioada numărului P cu o precizie de 11 cifre după virgulă. Primul european, după Arhimede, care a investigat numărul P și a adus o contribuție semnificativă la justificarea lui, a fost olandezul Ludolf van Zeulen, care a determinat deja 15 cifre după virgulă zecimală și a scris cuvinte foarte distractive în testamentul său: „.. . cine este interesat - să meargă mai departe." În onoarea acestui om de știință, numărul P a primit primul și singurul nume nominal din istorie.

Epoca calculatoarelor a adus noi detalii pentru înțelegerea esenței numărului P. Așadar, pentru a afla care este numărul Pi, în 1949 a fost folosit pentru prima dată computerul ENIAC, unul dintre dezvoltatorii căruia a fost viitorul „părinte” al teoriei calculatoarelor moderne J. Prima măsurătoare a fost efectuată timp de 70 de ore și a dat 2037 de cifre după virgulă în perioada numărului P. Marca unui milion de caractere a fost atinsă în 1973 . În plus, în această perioadă, au fost stabilite și alte formule care reflectă numărul P. Așadar, frații Chudnovsky au reușit să găsească una care a făcut posibilă calcularea a 1.011.196.691 de cifre ale perioadei.

În general, trebuie remarcat faptul că, pentru a răspunde la întrebarea: „Care este numărul Pi?”, Multe studii au început să semene cu competițiile. Astăzi, supercalculatoarele se confruntă deja cu întrebarea ce este cu adevărat, numărul Pi. Fapte interesante asociate cu aceste studii pătrund aproape întreaga istorie a matematicii.

Astăzi, de exemplu, se țin campionate mondiale de memorare a numărului P și se stabilesc recorduri mondiale, acesta din urmă aparținând chinezului Liu Chao, care a numit 67.890 de caractere în puțin peste o zi. În lume există chiar și o sărbătoare a numărului P, care este sărbătorită ca „Ziua Pi”.

Începând cu 2011, 10 trilioane de cifre ale perioadei numerice au fost deja stabilite.

De când oamenii au avut capacitatea de a număra și au început să exploreze proprietățile obiectelor abstracte numite numere, generații de minți curioase au făcut descoperiri fascinante. Pe măsură ce cunoștințele noastre despre numere au crescut, unii dintre ei s-au atras Atentie speciala, iar unora li sa dat chiar semnificații mistice. Era, care nu reprezintă nimic și care, înmulțit cu orice număr, se dă pe sine. A existat, începutul tuturor, și poseda proprietăți rare, numere prime. Apoi au descoperit că există numere care nu sunt numere întregi și, uneori, sunt obținute prin împărțirea a două numere întregi - numere raționale. Numere irationale, care nu poate fi obținut ca raport de numere întregi și așa mai departe. Dar dacă există un număr care a fascinat și a provocat scrierea unei mase de lucrări, atunci acesta este (pi). Un număr care în ciuda poveste lungă, nu a fost numită așa cum o numim astăzi, până în secolul al XVIII-lea.

start

Numărul pi se obține prin împărțirea circumferinței unui cerc la diametrul acestuia. În acest caz, dimensiunea cercului nu este importantă. Mare sau mic, raportul dintre lungime și diametru este același. Deși este probabil că această proprietate a fost cunoscută mai devreme, cea mai veche dovadă a acestei cunoștințe este Papirusul matematic din Moscova din 1850 î.Hr. și papirusul lui Ahmes, 1650 î.Hr. (deși este o copie a unui document mai vechi). Are un numar mare de probleme matematice, în unele dintre ele se aproximează ca , care diferă cu puțin mai mult de 0,6% de valoarea exactă. Cam în aceeași perioadă, babilonienii considerau egali. ÎN Vechiul Testament, scrisă mai bine de zece secole mai târziu, Iahve nu complică viața și stabilește prin decret divin că este exact egal cu .

Cu toate acestea, marii exploratori ai acestui număr au fost grecii antici precum Anaxagoras, Hipocrate din Chios și Antifonul Atenei. Anterior, valoarea era determinată, aproape sigur, folosind măsurători experimentale. Arhimede a fost primul care a înțeles cum să-i evalueze teoretic semnificația. Utilizarea poligoanelor circumscrise și înscrise (cel mai mare este circumscris în apropierea cercului în care este înscris cel mai mic) a făcut posibilă determinarea a ceea ce este mai mare și mai mic decât . Cu ajutorul metodei lui Arhimede, alți matematicieni au obținut aproximări mai bune și, deja în 480, Zu Chongzhi a stabilit că valorile sunt între și . Cu toate acestea, metoda poligonului necesită o mulțime de calcule (reamintim că totul a fost făcut manual și nu în sistem modern socoteala), deci nu avea viitor.

Reprezentare

A fost necesar să așteptăm secolul al XVII-lea, când odată cu descoperirea seriei infinite a avut loc o revoluție în calcul, deși primul rezultat nu era în apropiere, era un produs. Serii infinite sunt sumele unui număr infinit de termeni care formează o anumită succesiune (de exemplu, toate numerele formei în care iau valori de la infinit). În multe cazuri, suma este finită și poate fi găsită diverse metode. Se pare că unele dintre aceste serii converg către sau o anumită cantitate legată de . Pentru ca seria să converge, este necesar (dar nu suficient) ca mărimile sumabile să tindă la zero odată cu creșterea. Prin urmare mai multe numere adăugăm, cu atât obținem mai precis valoarea de . Acum avem două posibilități pentru a obține o valoare mai precisă. Fie adăugați mai multe numere, fie găsiți o altă serie care converge mai repede, astfel încât să adăugați mai puține numere.

Datorită acestei noi abordări, acuratețea calculului a crescut dramatic, iar în 1873 William Shanks a publicat rezultatul multor ani de muncă, dând o valoare cu 707 zecimale. Din fericire, nu a trăit să vadă 1945, când s-a descoperit că a făcut o greșeală și toate numerele, începând cu , erau greșite. Cu toate acestea, abordarea sa a fost cea mai precisă înainte de apariția computerelor. Aceasta a fost penultima revoluție în calcul. Operatii matematice, care ar dura câteva minute pentru a fi executate manual, sunt acum finalizate într-o fracțiune de secundă, practic fără erori. John Wrench și L. R. Smith au reușit să calculeze 2000 de cifre în 70 de ore pe primul computer electronic. Bariera de milioane de cifre a fost atinsă în 1973.

Ultima (pe acest moment) avans în calcul - descoperirea algoritmilor iterativi care converg către serii mai rapide decât infinite, astfel încât să se poată obține o precizie mult mai mare pentru aceeași putere de calcul. Recordul actual este de puțin peste 10 trilioane de cifre corecte. De ce să calculezi atât de precis? Având în vedere că, cunoscând 39 de cifre ale acestui număr, este posibil să se calculeze volumul Universului cunoscut cu o precizie a unui atom, nu există nici un motiv... încă.

Câteva fapte interesante

Cu toate acestea, calcularea unei valori este doar o mică parte din istoria acesteia. Acest număr are proprietățile care fac această constantă atât de curioasă.

Poate cel mai mult problema mare, asociat cu , este binecunoscuta problemă a pătrarii unui cerc, problema construirii, folosind o busolă și o riglă, a unui pătrat a cărui arie este egală cu aria cercului dat. Pătratul unui cerc a chinuit generații de matematicieni timp de douăzeci și patru de secole, până când von Lindemann a dovedit că este un număr transcendental (nu este o soluție la nicio ecuație polinomială cu coeficienți raționali) și, prin urmare, este imposibil de înțeles imensitatea. Până în 1761, nu s-a dovedit că numărul este irațional, adică că nu există două numere naturale si astfel incat . Transcendența nu a fost dovedită până în 1882, dar nu se știe încă dacă numerele sau (este un alt număr transcendental irațional) sunt iraționale. Apar multe relații care nu au legătură cu cercuri. Aceasta face parte din coeficientul de normalizare al funcției normale, aparent cea mai utilizată în statistică. După cum am menționat mai devreme, numărul apare ca suma mai multor serii și este egal cu produse infinite, este de asemenea important în studiul numerelor complexe. În fizică, poate fi găsită (în funcție de sistemul de unități utilizat) în constanta cosmologică (cea mai mare greșeală a lui Albert Einstein) sau constanta constantă. camp magnetic. Într-un sistem numeric cu orice bază (zecimală, binară...), cifrele trec toate testele de aleatorie, nu există ordine sau succesiune aparentă. Funcția zeta Riemann leagă strâns numărul de numere prime. Acest număr are o istorie lungă și probabil că încă mai păstrează multe surprize.

Istoria numărului „pi”

Istoria numărului p, care exprimă raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său, a început în Egiptul antic. Zona diametrului cercului d matematicienii egipteni definiţi ca (d-d/9) 2(Această intrare este dată aici în simboluri moderne). Din expresia de mai sus, putem concluziona că la acel moment se lua în considerare numărul p egal cu o fracție (16/9) 2 , sau 256/81 , adică p= 3,160...
În cartea sfântă a jainismului (una dintre religii antice care a existat în India și a apărut în secolul VI. BC) există o indicație din care rezultă că numărul p la acel moment a fost luat egal, ceea ce dă o fracție 3,162...
Grecii antici Eudox, Hipocrate iar alte măsurători ale cercului au fost reduse la construcția unui segment, iar măsurarea cercului - la construcția unui pătrat egal. Trebuie remarcat faptul că timp de multe secole, matematicienii din diferite țări și popoare au încercat să exprime raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său printr-un număr rațional.

Arhimedeîn secolul al III-lea î.Hr. a fundamentat în lucrarea sa scurtă „Măsurarea cercului” trei poziții:

Fiecare cerc este egal triunghi dreptunghic, ale căror picioare sunt, respectiv, egale cu circumferința și cu raza acesteia;

Aricele unui cerc sunt legate de un pătrat construit pe un diametru, ca 11 până la 14;

Raportul dintre orice cerc și diametrul său este mai mic decât 3 1/7 și altele 3 10/71 .

Ultima propozitie Arhimede fundamentată prin calculul succesiv al perimetrelor poligoanelor regulate înscrise și circumscrise cu dublarea numărului laturilor acestora. În primul rând, a dublat numărul de laturi ale hexagoanelor regulate înscrise și înscrise, apoi dodecagoane și așa mai departe, aducând calculele la perimetrele poligoanelor regulate înscrise și circumscrise cu 96 de laturi. După calcule precise Arhimede raportul dintre circumferință și diametru este între numere 3*10/71 Și 3*1/7 , ceea ce înseamnă că p = 3,1419... Adevărata semnificație a acestei relații 3,1415922653...
În secolul al V-lea î.Hr. matematician chinez Zu Chongzhi a fost găsită o valoare mai precisă a acestui număr: 3,1415927...
În prima jumătate a secolului al XV-lea. observatoare Ulugbek, lângă Samarkand, astronom și matematician al-Kashi calculat p cu 16 zecimale. A făcut 27 de duble ale numărului de laturi ale poligoanelor și a venit cu un poligon cu 3*2 28 de unghiuri. Al-Kashi a făcut calcule unice care au fost necesare pentru alcătuirea unui tabel de sinusuri cu un pas de 1" . Aceste tabele au jucat un rol important în astronomie.
O jumătate de secol mai târziu în Europa F.Viet a găsit un număr p cu doar 9 zecimale corecte făcând 16 dublări ale numărului de laturi ale poligoanelor. Dar in acelasi timp F.Viet a fost primul care a observat că p poate fi găsit folosind limitele unor serii. Această descoperire a avut mare importanță, deoarece ne-a permis să calculăm p cu orice precizie. Doar 250 de ani mai târziu al-Kashi rezultatul lui a fost depășit.
Primul care a introdus notația pentru raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său cu simbolul modern p a fost un matematician englez. W. Johnsonîn 1706. Ca simbol a luat prima literă cuvânt grecesc "periferie", ceea ce înseamnă în traducere "cerc". Introdus W. Johnson denumirea a devenit comună după publicarea lucrărilor L. Euler, care a folosit caracterul introdus pentru prima dată în 1736 G.
La sfârşitul secolului al XVIII-lea. A.M. Lazhandre bazat pe lucrări I.G. Lambert a demonstrat că numărul p este irațional. Apoi matematicianul german F. Lindeman bazat pe cercetare Sh. Ermita, a găsit o dovadă riguroasă că acest număr nu este doar irațional, ci și transcendental, i.e. nu poate fi o rădăcină ecuație algebrică. Din acesta din urmă rezultă că folosind doar o busolă și o riglă pentru a construi un segment egal ca circumferință, imposibil, și, prin urmare, nu există o soluție la problema pătrarii cercului.
Căutarea expresiei exacte pentru p a continuat chiar și după lucrare F. Vieta. La începutul secolului al XVII-lea. matematician olandez din Köln Ludolf van Zeulen(1540-1610) (unii istorici îl numesc L. van Keulen) a găsit 32 de semne corecte. De atunci (anul publicării 1615), valoarea numărului p cu 32 de zecimale a fost numită număr Ludolf.
LA sfârşitul XIX-lea c., după 20 de ani de muncă asiduă, un englez William Shanks au găsit 707 cifre ale numărului p. Cu toate acestea, în 1945 a fost descoperit cu ajutorul unui computer care Shanksîn calculele sale a greșit în semnul 520 și calculele sale ulterioare s-au dovedit a fi incorecte.
După dezvoltarea metodelor de calcul diferențial și integral, s-au găsit multe formule care conțin numărul „pi”. Unele dintre aceste formule vă permit să calculați „pi” în alte moduri decât metoda Arhimedeși mai rațional. De exemplu, numărul „pi” poate fi atins căutând limitele unor serii. Asa de, G. Leibniz(1646-1716) a primit în 1674 un număr

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

ceea ce a făcut posibilă calcularea p într-un mod mai scurt decât Arhimede. Cu toate acestea, această serie converge foarte lent și, prin urmare, necesită calcule destul de lungi. Pentru a calcula „pi” este mai convenabil să folosiți seria obținută din expansiune arctg X cu valoarea X=1/ , pentru care extinderea funcției arctan 1/=p /6într-o serie dă egalitate

p /6 = 1/,
acestea.
p= 2

Parțial, sumele acestei serii pot fi calculate prin formula

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

în timp ce „pi” va fi limitat de o dublă inegalitate:

O formulă și mai convenabilă pentru calcul p a primit J. Machin. Folosind această formulă, a calculat p(în 1706) cu o precizie de 100 de caractere corecte. O bună aproximare pentru „pi” este dată de

Cu toate acestea, trebuie amintit că această egalitate ar trebui considerată ca fiind aproximativă, deoarece partea dreaptă a acestuia este un număr algebric, iar partea stângă este unul transcendental, prin urmare, aceste numere nu pot fi egale.
După cum se subliniază în articolele lor E.Ya.Bakhmutskaya(anii 60 ai secolului XX), încă din secolele XV-XVI. Oamenii de știință din India de Sud, inclusiv Nilakanta, folosind metodele de calcule aproximative ale numărului p , a găsit o modalitate de a extinde arctg Xîntr-o serie de puteri similară cu seria găsită Leibniz. Matematicienii indieni au dat o formulare verbală a regulilor de extindere în serii sinusurilorȘi cosinus. Prin aceasta, ei au anticipat descoperirea matematicienilor europeni din secolul al XVII-lea. Cu toate acestea, lucrul lor de calcul izolat și limitat de nevoile practice nu are niciun efect asupra dezvoltare ulterioarăștiința nu a fost oferită.
În vremea noastră, munca calculatoarelor a fost înlocuită de calculatoare. Cu ajutorul lor, numărul „pi” a fost calculat cu o precizie de peste un milion de zecimale, iar aceste calcule au durat doar câteva ore.
În matematica modernă, numărul p nu este doar raportul dintre circumferință și diametru, ci este inclus într-un număr mare de formule diferite, inclusiv formulele de geometrie non-euclidiană și formula L. Euler, care stabilește o legătură între numărul p și numărul e in felul urmator:

e 2 p i = 1 , Unde i = .

Aceasta și alte interdependențe au permis matematicienilor să înțeleagă în continuare natura numărului p.

Pe 14 martie, în întreaga lume este sărbătorită o sărbătoare foarte neobișnuită - Ziua Pi. Toată lumea o știe din vremea școlii. Elevilor li se explică imediat că numărul Pi este o constantă matematică, raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia, care are o valoare infinită. Se pare că o mulțime de fapte interesante sunt legate de acest număr.

1. Istoria numerelor are mai mult de un mileniu, aproape atâta timp cât există știința matematicii. Cu siguranță, valoare exacta numerele nu au fost calculate imediat. La început, raportul dintre circumferință și diametru a fost considerat egal cu 3. Dar în timp, când arhitectura a început să se dezvolte, a fost nevoie de mai mult. măsurare precisă. Apropo, numărul a existat, dar a primit o denumire de literă abia la începutul secolului al XVIII-lea (1706) și provine de la literele inițiale a două cuvinte grecești care înseamnă „circumferință” și „perimetru”. Matematicianul Jones a înzestrat numărul cu litera „π”, iar ea a intrat ferm în matematică deja în 1737.

2. În diferite epoci iar la popoare diferite pi are sens diferit. De exemplu, în Egiptul antic era 3,1604, la hinduși a dobândit valoarea de 3,162, chinezii foloseau numărul egal cu 3,1459. De-a lungul timpului, π a fost calculat din ce în ce mai precis și când a apărut Inginerie calculator, adică un computer, a început să aibă peste 4 miliarde de caractere.

3. Există o legendă, mai exact, experții cred că numărul Pi a fost folosit la construcția Turnului Babel. Cu toate acestea, nu mânia lui Dumnezeu a provocat prăbușirea lui, ci calculele incorecte în timpul construcției. Ca, vechii maeștri s-au înșelat. Există o versiune similară cu privire la templul lui Solomon.

4. Este de remarcat faptul că au încercat să introducă valoarea lui Pi chiar și la nivel de stat, adică prin lege. În 1897, un proiect de lege a fost elaborat în statul Indiana. Conform documentului, Pi a fost 3.2. Cu toate acestea, oamenii de știință au intervenit la timp și astfel au prevenit o eroare. În special, profesorul Purdue, care a fost prezent la adunarea legislativă, s-a pronunțat împotriva proiectului de lege.

5. Este interesant că mai multe numere din succesiunea infinită Pi au propriul nume. Deci, șase nouă din Pi poartă numele unui fizician american. Odată, Richard Feynman ținea o prelegere și a uimit publicul cu o remarcă. El a spus că a vrut să învețe cifrele lui pi până la șase nouă pe de rost, doar pentru a spune „nouă” de șase ori la sfârșitul poveștii, sugerând că semnificația sa este rațională. Când de fapt este irațional.

6. Matematicienii din întreaga lume nu încetează să facă cercetări legate de numărul Pi. Este literalmente învăluit în mister. Unii teoreticieni cred chiar că conține un adevăr universal. Pentru a împărtăși cunoștințe și informații noi despre Pi, au organizat Clubul Pi. Nu este ușor să intri, trebuie să ai o memorie remarcabilă. Deci, cei care doresc să devină membri ai clubului sunt examinați: o persoană trebuie să spună cât mai multe semne ale numărului Pi din memorie.

7. Au venit chiar și cu diverse tehnici de reamintire a numărului Pi după virgulă zecimală. De exemplu, vin cu texte întregi. În ele, cuvintele au același număr de litere ca cifra corespunzătoare după virgulă zecimală. Pentru a simplifica și mai mult memorarea unui număr atât de lung, ei compun versuri după același principiu. Membrii Clubului Pi se distrează adesea în acest fel și, în același timp, își antrenează memoria și ingeniozitatea. De exemplu, Mike Keith a avut un astfel de hobby, care acum optsprezece ani a venit cu o poveste în care fiecare cuvânt era egal cu aproape patru mii (3834) primele cifre ale lui pi.

8. Există chiar și oameni care au stabilit recorduri pentru memorarea semnelor Pi. Deci, în Japonia, Akira Haraguchi a memorat peste optzeci și trei de mii de caractere. Dar recordul intern nu este atât de remarcabil. Un locuitor din Chelyabinsk a reușit să memoreze doar două mii și jumătate de numere după punctul zecimal al lui Pi.

„Pi” în perspectivă

9. Ziua Pi este sărbătorită de mai bine de un sfert de secol, din 1988. Odată, un fizician de la Muzeul Popular de Științe din San Francisco, Larry Shaw, a observat că 14 martie se scrie la fel ca pi. Într-o dată, luna și ziua formează 3.14.

10. Ziua Pi este sărbătorită nu doar într-un mod original, ci și într-un mod distractiv. Desigur, oamenii de știință implicați în științele exacte nu o ratează. Pentru ei, aceasta este o modalitate de a nu se rupe de ceea ce iubesc, ci în același timp de a se relaxa. În această zi, oamenii se adună și gătesc diferite bunătăți cu imaginea lui Pi. Mai ales există un loc pentru cofetarii să se plimbe. Pot face prăjituri pi și prăjituri formă asemănătoare. După ce gustă delicatese, matematicienii organizează diverse chestionare.

11. Există o coincidență interesantă. Pe 14 martie s-a născut marele om de știință Albert Einstein, care, după cum știți, a creat teoria relativității. Oricum ar fi, fizicienii se pot alătura și sărbătoririi Zilei Pi.

Pi- o constantă matematică egală cu raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Numărul pi este, a cărui reprezentare digitală este o fracție zecimală neperiodică infinită - 3,141592653589793238462643 ... și așa mai departe la infinit.

100 zecimale: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 828964 828971 69399 37510

Istoria rafinării valorii lui pi

În fiecare carte despre matematică distractivă, veți găsi cu siguranță o istorie a rafinării valorii lui pi. La început, în China antică, Egipt, Babilon și Grecia, fracțiile au fost folosite pentru calcule, de exemplu, 22/7 sau 49/16. În Evul Mediu și Renaștere, matematicienii europeni, indieni și arabi au rafinat valoarea lui pi la 40 de cifre după virgulă, iar la începutul erei computerelor, numărul de cifre a crescut la 500 prin eforturile multor entuziaști. .

O astfel de acuratețe este de interes pur academic (mai multe despre asta mai jos), iar pentru nevoile practice din Pământ, 10 zecimale sunt suficiente. Cu o rază a Pământului de 6400 km sau 6,4 10 9 mm, se dovedește că, după ce am renunțat la a douăsprezecea cifră a lui pi după virgulă zecimală, ne vom înșela cu câțiva milimetri atunci când calculăm lungimea meridianului. Iar la calcularea lungimii orbitei Pământului în jurul Soarelui (raza acestuia este de 150 milioane km = 1,5 10 14 mm), pentru aceeași precizie este suficient să folosiți numărul pi cu paisprezece zecimale. Distanța medie de la Soare la Pluto, cea mai îndepărtată planetă sistem solar- de 40 de ori distanța medie de la Pământ la Soare. Pentru a calcula lungimea orbitei lui Pluto cu o eroare de câțiva milimetri, șaisprezece cifre ale lui pi sunt suficiente. Da, nu e nimic de bătut, diametrul galaxiei noastre este de aproximativ 100 de mii de ani lumină (1 an lumină este aproximativ egal cu 10 13 km) sau 10 19 mm, și totuși în secolul al XVII-lea s-au obținut 35 de semne pi, redundante. chiar si pentru asemenea distante.

Care este dificultatea de a calcula valoarea lui pi? Faptul este că nu este doar irațional, adică nu poate fi exprimat ca o fracție p / q, unde p și q sunt numere întregi. Astfel de numere nu pot fi scrise exact, ele pot fi calculate doar prin metoda aproximărilor succesive, mărind numărul de pași pentru a obține o mai mare acuratețe. Cel mai simplu mod este să luați în considerare poligoane regulate înscrise într-un cerc cu un număr tot mai mare de laturi și să calculați raportul dintre perimetrul poligonului și diametrul acestuia. Pe măsură ce numărul de laturi crește, acest raport tinde spre pi. Așa se face că, în 1593, Adrian van Romen a calculat perimetrul unui poligon regulat înscris cu 1073741824 (adică 2 30) laturi și a determinat 15 semne de pi. În 1596, Ludolf van Zeulen a obţinut 20 de semne calculând un poligon înscris cu 60 x 2 33 de laturi. Ulterior, a adus calculele la 35 de caractere.

O altă modalitate de a calcula pi este de a folosi formule cu un număr infinit de termeni. De exemplu:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) + (1/9 - 1/11) + ...

Formule similare pot fi obținute prin extinderea, de exemplu, arc-tangente într-o serie Maclaurin, știind că

arctg(1) = π/4(deoarece tg(45°) = 1)

sau extinderea arcsinusului într-un rând, știind asta

arcsin(1/2) = π/6(picior întins la un unghi de 30 °).

În calculele moderne, chiar mai mult metode eficiente. Cu ajutorul lor astăzi.

zi pi

Ziua numărului pi este sărbătorită de unii matematicieni pe 14 martie la 1:59 (în sistemul american de date - 3/14; primele cifre ale numărului π = 3,14159). De obicei, se sărbătorește la 13:59 (în sistemul de 12 ore), dar cei care aderă la sistemul de 24 de ore de lumină a timpului consideră că este 13:59 și preferă să sărbătorească noaptea. În acest moment, ei citesc elogii în onoarea numărului pi, rolul său în viața omenirii, desenează imagini distopice ale lumii fără pi, mănâncă plăcintă ( plăcintă), bea băuturi și joacă jocuri care încep cu „pi”.

• Pi (număr) - Wikipedia

Înainte de a vorbi despre istoria lui pi , observăm că numărul Pi este una dintre cele mai misterioase mărimi din matematică. Acum vei vedea singur, dragul meu cititor...

Să începem povestea noastră cu o definiție. Deci numărul Pi este număr abstract , indicând raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului acestuia. Această definiție ne este familiară de pe banca școlii. Dar aici încep misterele...

Este imposibil să se calculeze această valoare până la sfârșit, este egală cu 3,1415926535 , apoi după virgulă zecimală - la infinit. Oamenii de știință cred că succesiunea de numere nu se repetă, iar această secvență este absolut aleatorie...

ghicitoare Pi nu se termină aici. Astronomii sunt încrezători că treizeci și nouă de zecimale din acest număr sunt suficiente pentru a calcula circumferința care înconjoară obiectele spațiale cunoscute din Univers, cu o eroare în raza unui atom de hidrogen...

iraţional , adică nu poate fi exprimat ca fractie. Această valoare transcendent – adică nu poate fi obținut efectuând nicio operație asupra numerelor întregi...

Numărul Pi este strâns legat de conceptul de raport de aur. Arheologii au descoperit că înălțimea Marii Piramide din Giza este legată de lungimea bazei sale, la fel cum raza unui cerc este legată de lungimea sa...

Istoria numărului P rămâne de asemenea un mister. Se știe că până și constructorii au folosit această valoare pentru proiectare. Păstrată, veche de câteva mii de ani, care conținea probleme, a căror rezolvare presupunea utilizarea numărului Pi. Cu toate acestea, opinia despre valoarea exactă a acestei cantități în rândul oamenilor de știință tari diferite era ambiguu. Așadar, în orașul Susa, situat la două sute de kilometri de Babilon, a fost găsită o tabletă unde era indicat numărul Pi ca fiind 3¹/8 . În Babilonul antic, s-a descoperit că raza unui cerc ca o coardă intră în el de șase ori, acolo s-a propus pentru prima dată împărțirea unui cerc în 360 de grade. Să remarcăm, apropo, că o acțiune geometrică similară a fost făcută cu orbita Soarelui, ceea ce i-a condus pe oamenii de știință antici la ideea că ar trebui să existe aproximativ 360 de zile într-un an. Cu toate acestea, în Egipt, numărul pi era egal cu 3,16 , si in India antică – 3, 088 , în Italia antică - 3,125 . credea că această valoare este egală cu fracția 22/7 .

Pi a fost calculat cel mai precis de un astronom chinez. Zu Chun Zhi în secolul al V-lea d.Hr. Pentru asta a scris de două ori numere impare 11 33 55, apoi le-a împărțit în jumătate, a pus prima parte la numitorul fracției, iar a doua parte la numărător, obținând astfel o fracție 355/113 . În mod surprinzător, semnificația coincide cu calculele moderne până la a șaptea cifră ...

Cine a dat primul nume oficial aceasta valoare?

Se crede că în 1647 matematician Outtrade numit Literă greacăπ circumferință, luând pentru aceasta prima literă a cuvântului grecesc περιφέρεια - „periferie” . Dar în 1706 munca a iesit profesor de engleza William Jones „Revizuire a realizărilor matematicii”, în care a notat cu litera Pi deja raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. În cele din urmă, acest simbol a fost reparat în secolul al XX-lea matematician Leonhard Euler .

De când oamenii au avut capacitatea de a număra și au început să exploreze proprietățile obiectelor abstracte numite numere, generații de minți curioase au făcut descoperiri fascinante. Pe măsură ce cunoștințele noastre despre numere au crescut, unele dintre ele au atras o atenție deosebită, iar unora chiar au primit semnificații mistice. Era, care nu înseamnă nimic și care, înmulțit cu orice număr, se dă pe sine. A existat, începutul tuturor, și poseda proprietăți rare, numere prime. Apoi au descoperit că există numere care nu sunt numere întregi și, uneori, sunt obținute prin împărțirea a două numere întregi - numere raționale. Numere iraționale care nu pot fi obținute ca raport de numere întregi etc. Dar dacă există un număr care a fascinat și a provocat scrierea unei mase de lucrări, atunci acesta este (pi). Un număr care, în ciuda istoriei sale îndelungate, nu a fost numit așa cum îl numim astăzi până în secolul al XVIII-lea.

start

Numărul pi se obține prin împărțirea circumferinței unui cerc la diametrul acestuia. În acest caz, dimensiunea cercului nu este importantă. Mare sau mic, raportul dintre lungime și diametru este același. Deși este probabil că această proprietate a fost cunoscută mai devreme, cea mai veche dovadă a acestei cunoștințe este Papirusul matematic din Moscova din 1850 î.Hr. și papirusul lui Ahmes, 1650 î.Hr. (deși este o copie a unui document mai vechi). Are un număr mare de probleme de matematică, dintre care unele sunt aproximative, ceea ce reprezintă puțin peste 0,6% din valoarea exactă. Cam în aceeași perioadă, babilonienii considerau egali. În Vechiul Testament, scris cu peste zece secole mai târziu, Iahve nu complică viața și stabilește prin decret divin ceea ce este exact egal.

Cu toate acestea, marii exploratori ai acestui număr au fost grecii antici precum Anaxagoras, Hipocrate din Chios și Antifonul Atenei. Anterior, valoarea a fost determinată, aproape sigur, folosind măsurători experimentale. Arhimede a fost primul care a înțeles cum să-i evalueze teoretic semnificația. Utilizarea poligoanelor circumscrise și înscrise (cel mai mare este circumscris în apropierea cercului în care este înscris cel mai mic) a făcut posibilă determinarea a ceea ce este mai mare și mai mic. Cu ajutorul metodei lui Arhimede, alți matematicieni au obținut aproximări mai bune și, deja în 480, Zu Chongzhi a stabilit că valorile sunt între și. Cu toate acestea, metoda poligonului necesită o mulțime de calcule (amintim că totul a fost făcut manual și nu în sistemul modern de numere), așa că nu avea viitor.

Reprezentare

A fost necesar să așteptăm secolul al XVII-lea, când odată cu descoperirea seriei infinite a avut loc o revoluție în calcul, deși primul rezultat nu era în apropiere, era un produs. Serii infinite sunt sumele unui număr infinit de termeni care formează o anumită succesiune (de exemplu, toate numerele formei în care ia valori de la infinit). În multe cazuri, suma este finită și poate fi găsită prin diferite metode. Se dovedește că unele dintre aceste serii converg către sau către o anumită cantitate înrudită cu. Pentru ca seria să convergă, este necesar (dar nu suficient) ca mărimile sumabile să tindă la zero odată cu creșterea. Astfel, cu cât adunăm mai multe numere, cu atât obținem valoarea mai exactă. Avem acum două posibilități pentru a obține o valoare mai precisă. Fie adăugați mai multe numere, fie găsiți o altă serie care converge mai repede, astfel încât să adăugați mai puține numere.

Datorită acestei noi abordări, acuratețea calculului a crescut dramatic, iar în 1873 William Shanks a publicat rezultatul multor ani de muncă, dând o valoare cu 707 zecimale. Din fericire, nu a trăit să vadă 1945, când s-a descoperit că a făcut o greșeală și toate cifrele, începând cu, erau greșite. Cu toate acestea, abordarea sa a fost cea mai precisă înainte de apariția computerelor. A fost penultima revoluție în calcul. Operațiile matematice care ar dura câteva minute pentru a fi efectuate manual sunt acum efectuate în fracțiuni de secundă, practic fără erori. John Wrench și L. R. Smith au reușit să calculeze 2000 de cifre în 70 de ore pe primul computer electronic. Bariera de milioane de cifre a fost atinsă în 1973.

Cel mai recent progres (de până acum) în calcul este descoperirea algoritmilor iterativi care converg către serii mai rapide decât infinite, astfel încât să se poată obține o precizie mult mai mare pentru aceeași putere de calcul. Recordul actual este de puțin peste 10 trilioane de cifre corecte. De ce să calculezi atât de precis? Având în vedere că, cunoscând 39 de cifre ale acestui număr, este posibil să se calculeze volumul Universului cunoscut cu o precizie a unui atom, nu există nici un motiv... încă.

Câteva fapte interesante

Cu toate acestea, calcularea unei valori este doar o mică parte din istoria acesteia. Acest număr are proprietățile care fac această constantă atât de curioasă.

Poate cea mai mare problemă asociată cu este binecunoscuta problemă a pătrarii cercului, problema construirii cu o busolă și o linie dreaptă a unui pătrat a cărui arie este egală cu aria unui cerc dat. Pătratul unui cerc a chinuit generații de matematicieni timp de douăzeci și patru de secole, până când von Lindemann a dovedit că - este un număr transcendental (nu este o soluție a vreunei ecuații polinomiale cu coeficienți raționali) și, prin urmare, este imposibil de înțeles imensitatea . Până în 1761, nu s-a dovedit că numărul este irațional, adică că nu există două numere naturale și așa încât. Transcendența nu a fost dovedită până în 1882, cu toate acestea, nu se știe încă dacă numerele sunt sau (este un alt număr transcendental irațional) iraționale. Apar multe relații care nu au legătură cu cercuri. Aceasta face parte din coeficientul de normalizare al funcției normale, aparent cea mai utilizată în statistică. După cum am menționat mai devreme, numărul apare ca suma mai multor serii și este egal cu produse infinite, este de asemenea important în studiul numerelor complexe. În fizică, se poate găsi (în funcție de sistemul de unități folosit) în constanta cosmologică (cea mai mare eroare a lui Albert Einstein) sau în constanta constantă a câmpului magnetic. Într-un sistem numeric cu orice bază (zecimală, binară...), cifrele trec toate testele de aleatorie, nu există ordine sau succesiune aparentă. Funcția zeta Riemann leagă strâns numărul de numere prime. Acest număr are o istorie lungă și probabil că încă mai păstrează multe surprize.

Dacă comparăm cercuri de diferite dimensiuni, putem vedea următoarele: dimensiunile diferitelor cercuri sunt proporționale. Și asta înseamnă că atunci când diametrul unui cerc crește de un anumit număr de ori, lungimea acestui cerc crește și ea de același număr de ori. Din punct de vedere matematic, acest lucru poate fi scris astfel:

C 1		C 2
	=
d 1		d 2	(1)

unde C1 și C2 sunt lungimile a două cercuri diferite, iar d1 și d2 sunt diametrele lor.
Acest raport funcționează în prezența unui coeficient de proporționalitate - constanta π deja familiară nouă. Din relația (1) putem concluziona: circumferința C este egală cu produsul dintre diametrul acestui cerc și factorul de proporționalitate independent de cercul π:

C = πd.

De asemenea, această formulă poate fi scrisă într-o formă diferită, exprimând diametrul d în termeni de rază R a cercului dat:

C \u003d 2π R.

Doar această formulă este un ghid către lumea cercurilor pentru elevii de clasa a șaptea.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să stabilească valoarea acestei constante. Deci, de exemplu, locuitorii Mesopotamiei au calculat aria unui cerc folosind formula:

De unde π = 3.

În Egiptul antic, valoarea pentru π era mai precisă. În 2000-1700 î.Hr., un scrib numit Ahmes a alcătuit un papirus în care găsim rețete pentru rezolvarea diverselor probleme practice. Deci, de exemplu, pentru a găsi aria unui cerc, el folosește formula:

			8			2
S	=	(		d	)
			9

Din ce considerente a obținut această formulă? – Necunoscut. Probabil că se bazează pe observațiile lor, la fel ca și alți filosofi antici.

Pe urmele lui Arhimede

Care dintre cele două numere este mai mare decât 22/7 sau 3,14?
- Sunt egali.
- De ce?
- Fiecare dintre ele este egal cu π .
A. A. VLASOV Din Biletul de examen.

Unii cred că fracția 22/7 și numărul π sunt identic egale. Dar aceasta este o iluzie. Pe lângă răspunsul incorect de mai sus la examen (vezi epigrafe), la acest grup poate fi adăugat și un puzzle foarte distractiv. Sarcina spune: „mută un chibrit astfel încât egalitatea să devină adevărată”.

Soluția va fi următoarea: trebuie să formați un „acoperiș” pentru cele două chibrituri verticale din stânga, folosind unul dintre chibriturile verticale din numitorul din dreapta. Veți obține o imagine vizuală a literei π.

Mulți oameni știu că aproximarea π = 22/7 determinată matematician grec antic Arhimede. În cinstea acestui lucru, o astfel de aproximare este adesea numită număr „Arhimedean”. Arhimede a reușit nu numai să stabilească o valoare aproximativă pentru π, ci și să găsească acuratețea acestei aproximări și anume să găsească un interval numeric îngust căruia îi aparține valoarea lui π. Într-una dintre lucrările sale, Arhimede demonstrează un lanț de inegalități, care într-un mod modern ar arăta astfel:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

poate fi scris mai simplu: 3.140 909< π < 3,1 428 265...

După cum putem vedea din inegalități, Arhimede a găsit o valoare destul de precisă cu o precizie de 0,002. Cel mai surprinzător lucru este că a găsit primele două zecimale: 3,14 ... Este această valoare pe care o folosim cel mai des în calcule simple.

Uz practic

Două persoane sunt în tren:
- Uite, șinele sunt drepte, roțile sunt rotunde.
De unde ciocănitul?
- Cum de unde? Roțile sunt rotunde, iar zona
cerc pi er pătrat, acesta este pătratul care bate!

De regulă, ei fac cunoștință cu acest număr uimitor în clasa a VI-a-7, dar îl studiază mai temeinic spre sfârșitul clasei a VIII-a. În această parte a articolului, vom prezenta principalele și cele mai importante formule care vă vor fi utile în rezolvarea problemelor geometrice, dar pentru început, vom fi de acord să luăm π ca 3,14 pentru ușurință de calcul.

Poate cel mai mult renumită formulă printre școlari, în care se folosește π, aceasta este formula pentru lungimea și aria cercului. Prima - formula pentru aria unui cerc - este scrisă după cum urmează:

	π D 2
S=π R2 =
	4

unde S este aria cercului, R este raza acestuia, D este diametrul cercului.

Circumferința unui cerc sau, așa cum se numește uneori, perimetrul unui cerc, se calculează prin formula:

C = 2 π R = πd,

unde C este circumferința, R este raza, d este diametrul cercului.

Este clar că diametrul d este egal cu două raze R.

Din formula pentru circumferința unui cerc, puteți găsi cu ușurință raza unui cerc:

unde D este diametrul, C este circumferința, R este raza cercului.

Acestea sunt formulele de bază pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască. De asemenea, uneori trebuie să calculați aria nu a întregului cerc, ci numai a părții sale - sectorul. Prin urmare, vi-l prezentăm - o formulă pentru calcularea ariei unui sector al unui cerc. Arata cam asa:

			α
S	=	π R 2
			360 ˚

unde S este aria sectorului, R este raza cercului, α este unghiul central în grade.

Atât de misterios 3.14

Într-adevăr, este misterios. Pentru că în cinstea acestor numere magice organizează sărbători, fac filme, organizează evenimente publice, scriu poezie și multe altele.

De exemplu, în 1998, a fost lansat un film al regizorului american Darren Aronofsky numit „Pi”. Filmul a primit numeroase premii.

În fiecare an, pe 14 martie, la ora 1:59:26, persoanele interesate de matematică sărbătoresc „Ziua Pi”. Pentru vacanță, oamenii pregătesc un tort rotund, se așează la masa rotundași discutați despre pi, rezolvați probleme și puzzle-uri legate de pi.

Atenția acestui număr uimitor nu a fost ocolită nici de poeți, a scris o persoană necunoscută:
Trebuie doar să încerci să-ți amintești totul așa cum este - trei, paisprezece, cincisprezece, nouăzeci și doi și șase.

Hai să ne distrăm!

Vă oferim puzzle-uri interesante cu numărul Pi. Ghiciți cuvintele care sunt criptate mai jos.

1. π R

2. π L

3. π k

Răspunsuri: 1. Sărbătoare; 2. Depus; 3. Scârțâit.

Istoria lui pi începe cu Egiptul anticși merge mână în mână cu dezvoltarea tuturor matematicii. Întâlnim această valoare pentru prima dată între zidurile școlii.

Numărul Pi este poate cel mai misterios dintre un număr infinit de altele. Lui îi sunt dedicate poezii, artiştii îl portretizează, ba chiar s-a făcut un film despre el. În articolul nostru, ne vom uita la istoria dezvoltării și a calculului, precum și la domeniile de aplicare a constantei Pi în viața noastră.

Pi este o constantă matematică egală cu raportul dintre circumferința unui cerc și lungimea diametrului său. Inițial, a fost numit numărul Ludolf și a fost propus să-l desemneze prin litera Pi de către matematicianul britanic Jones în 1706. După lucrările lui Leonhard Euler din 1737, această denumire a devenit general acceptată.

Numărul Pi este irațional, adică valoarea lui nu poate fi exprimată exact ca o fracție m/n, unde m și n sunt numere întregi. Acest lucru a fost dovedit pentru prima dată de Johann Lambert în 1761.

Istoria dezvoltării numărului Pi a fost deja de aproximativ 4000 de ani. Chiar și vechii matematicieni egipteni și babilonieni știau că raportul dintre circumferință și diametru este același pentru orice cerc și valoarea lui este puțin mai mare de trei.

Arhimede a propus o metodă matematică pentru calcularea lui Pi, în care a înscris într-un cerc și a descris poligoane regulate în jurul acestuia. Conform calculelor sale, Pi a fost aproximativ egal cu 22/7 ≈ 3,142857142857143.

În secolul al II-lea, Zhang Heng a propus două valori pentru pi: ≈ 3,1724 și ≈ 3,1622.

Matematicienii indieni Aryabhata și Bhaskara au găsit o valoare aproximativă de 3,1416.

Cea mai precisă aproximare a lui pi pentru 900 de ani a fost un calcul al matematicianului chinez Zu Chongzhi în anii 480. El a dedus că Pi ≈ 355/113 și a arătat că 3,1415926< Пи < 3,1415927.

Până în mileniul 2, nu s-au calculat mai mult de 10 cifre ale lui Pi. Abia odată cu dezvoltarea analizei matematice, și mai ales odată cu descoperirea serielor, s-au realizat progrese majore ulterioare în calculul constantei.

În anii 1400, Madhava a fost capabil să calculeze Pi=3,14159265359. Recordul său a fost doborât de matematicianul persan Al-Kashi în 1424. El, în lucrarea sa „Tratat despre circumferință”, a citat 17 cifre ale lui Pi, dintre care 16 s-au dovedit a fi corecte.

Matematicianul olandez Ludolf van Zeulen a ajuns la 20 de numere în calculele sale, dând 10 ani din viață pentru asta. După moartea sa, în notele sale au fost descoperite încă 15 cifre ale lui pi. El a lăsat moștenire că aceste figuri au fost sculptate pe piatra sa funerară.

Odată cu apariția computerelor, numărul Pi are astăzi câteva trilioane de cifre și aceasta nu este limita. Dar, așa cum se menționează în Fractals for the Classroom, pentru toată importanța lui pi, „este dificil să găsești zone în calculele științifice care necesită mai mult de douăzeci de zecimale”.

În viața noastră, numărul Pi este folosit în multe domenii științifice. Fizica, electronica, teoria probabilității, chimia, construcția, navigația, farmacologia sunt doar câteva dintre ele care pur și simplu nu pot fi imaginate fără acest număr misterios.

Vrei să știi și să poți face mai multe singur?

Vă oferim training în următoarele domenii: calculatoare, programe, administrare, servere, rețele, construirea site-urilor, SEO și multe altele. Află acum detaliile!

Potrivit site-ului Calculator888.ru - Numărul Pi - sens, istorie, cine l-a inventat.