Rezolvarea graficelor pătrate. Cum se calculează minimul sau maximul folosind operații matematice

Toată lumea știe ce este o parabolă. Dar cum să-l folosim corect, competent în rezolvarea diverselor probleme practice, vom înțelege mai jos.

În primul rând, să notăm conceptele de bază pe care algebra și geometria le dau acestui termen. Luați în considerare totul tipuri posibile această diagramă.

Învățăm toate caracteristicile principale ale acestei funcții. Să înțelegem elementele de bază ale construirii unei curbe (geometrie). Să învățăm cum să găsim partea de sus, alte valori de bază ale graficului de acest tip.

Vom afla: cum este construită corect curba dorită conform ecuației, la ce trebuie să fiți atenți. Să vedem principalul uz practic această valoare unică în viața umană.

Ce este o parabolă și cum arată

Algebră: acest termen se referă la un grafic funcţie pătratică.

Geometrie: Aceasta este o curbă de ordinul doi care are o serie de caracteristici specifice:

Ecuația parabolei canonice

Figura prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular (XOY), un extremum, direcția funcției desenând ramuri de-a lungul axei absciselor.

Ecuația canonică este:

y 2 \u003d 2 * p * x,

unde coeficientul p este parametrul focal al parabolei (AF).

În algebră, se scrie diferit:

y = a x 2 + b x + c (model de recunoscut: y = x 2).

Proprietățile și graficul unei funcții pătratice

Funcția are o axă de simetrie și un centru (extrem). Domeniul de definiție este toate valorile axei x.

Gama de valori ale funcției - (-∞, M) sau (M, +∞) depinde de direcția ramurilor curbei. Parametrul M înseamnă aici valoarea funcției din partea de sus a liniei.

Cum să determinați unde sunt îndreptate ramurile unei parabole

Pentru a găsi direcția acestui tip de curbă dintr-o expresie, trebuie să specificați semnul în fața primului parametru expresie algebrica. Dacă a ˃ 0, atunci ele sunt îndreptate în sus. Altfel, jos.

Cum să găsiți vârful unei parabole folosind formula

Găsirea extremului este pasul principal în rezolvarea multor probleme practice. Desigur, puteți deschide special calculatoare online dar este mai bine să o poți face singur.

Cum să-l definești? Există o formulă specială. Când b nu este egal cu 0, trebuie să căutăm coordonatele acestui punct.

Formule pentru găsirea vârfului:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Exemplu.

Există o funcție y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Să găsim vârfurile acestei funcții.

Pentru o astfel de linie:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obținem coordonatele vârfului (-2, -41).

Compensarea parabolei

Cazul clasic este atunci când într-o funcție pătratică y = a x 2 + b x + c, al doilea și al treilea parametru sunt 0, iar = 1 - vârful este în punctul (0; 0).

Mișcarea de-a lungul axelor de abscisă sau ordonate se datorează unei modificări a parametrilor b și, respectiv, c. Deplasarea liniei pe plan va fi efectuată exact de numărul de unități, care este egal cu valoarea parametrului.

Exemplu.

Avem: b = 2, c = 3.

Aceasta înseamnă că vederea clasică a curbei se va deplasa cu 2 segmente unitare de-a lungul axei absciselor și cu 3 de-a lungul axei ordonatelor.

Cum se construiește o parabolă folosind o ecuație pătratică

Este important ca școlari să învețe cum să deseneze corect o parabolă în funcție de parametrii dați.

Analizând expresii și ecuații, puteți vedea următoarele:

1. Punctul de intersecție al dreptei dorite cu vectorul ordonate va avea o valoare egală cu c.
2. Toate punctele graficului (de-a lungul axei x) vor fi simetrice față de extremul principal al funcției.

În plus, locurile de intersecție cu OX pot fi găsite cunoscând discriminantul (D) al unei astfel de funcții:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Pentru a face acest lucru, trebuie să echivalați expresia cu zero.

Prezența rădăcinilor parabolelor depinde de rezultat:

• D ˃ 0, atunci x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, apoi x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, atunci nu există puncte de intersecție cu vectorul OX.

Obținem algoritmul pentru construirea unei parabole:

• determinați direcția ramurilor;
• găsiți coordonatele vârfului;
• găsiți intersecția cu axa y;
• găsiți intersecția cu axa x.

Exemplul 1

Având în vedere o funcție y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Este necesar să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului:

1. a \u003d 1, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. se intersectează cu axa y la valoarea y = 4;
4. găsiți discriminantul: D = 25 - 16 = 9;
5. cautand radacini

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (zece).

Exemplul 2

Pentru funcția y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, trebuie să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului de mai sus:

1. a \u003d 3, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. cu axa y se va intersecta la valoarea y \u003d -1;
4. găsiți discriminantul: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Deci rădăcinile:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Din punctele obținute, puteți construi o parabolă.

Directrix, excentricitate, focalizarea unei parabole

Pe baza ecuației canonice, focarul F are coordonate (p/2, 0).

Linia dreaptă AB este o directrice (un fel de coardă de parabolă de o anumită lungime). Ecuația ei este x = -p/2.

Excentricitate (constant) = 1.

Concluzie

Am luat în considerare tema în care studiază studenții liceu. Acum știi, privind funcția pătratică a unei parabole, cum să-i găsești vârful, în ce direcție vor fi direcționate ramurile, dacă există un decalaj de-a lungul axelor și, având un algoritm de construcție, îi poți desena graficul.