Care este derivata unei fracții. Cum se află derivata unei fracții

Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple de matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivatul este unul dintre cele mai importante concepte analiză matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este un derivat, ce este fizic și sens geometric cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

sens fizic derivat: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: scoateți constanta

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata unei funcții:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe față de argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși față de variabila independentă.

Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil control și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.

Definiție. Fie definită funcția \(y = f(x) \) într-un interval care conține punctul \(x_0 \) în interior. Să incrementăm \(\Delta x \) la argument pentru a nu părăsi acest interval. Găsiți incrementul corespunzător al funcției \(\Delta y \) (când treceți de la punctul \(x_0 \) la punctul \(x_0 + \Delta x \)) și compuneți relația \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Dacă există o limită a acestei relații la \(\Delta x \rightarrow 0 \), atunci limita specificată este numită funcţie derivată\(y=f(x) \) în punctul \(x_0 \) și notăm \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolul y este adesea folosit pentru a desemna derivata. Rețineți că y" = f(x) este optiune noua, dar asociată în mod natural cu funcția y = f(x) definită în toate punctele x la care există limita de mai sus. Această funcție se numește astfel: derivată a funcției y \u003d f (x).

Sensul geometric al derivatului constă din următoarele. Dacă o tangentă care nu este paralelă cu axa y poate fi desenată pe graficul funcției y \u003d f (x) într-un punct cu abscisa x \u003d a, atunci f (a) exprimă panta tangentei:
\(k = f"(a)\)

Deoarece \(k = tg(a) \), egalitatea \(f"(a) = tg(a) \) este adevărată.

Și acum interpretăm definiția derivatei în termeni de egalități aproximative. Fie funcția \(y = f(x) \) să aibă o derivată într-un anumit punct \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Aceasta înseamnă că lângă punctul x, egalitatea aproximativă \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), adică \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Semnificația semnificativă a egalității aproximative obținute este următoarea: creșterea funcției este „aproape proporțională” cu creșterea argumentului, iar coeficientul de proporționalitate este valoarea derivatei în punct dat X. De exemplu, pentru funcția \(y = x^2 \) egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) este validă. Dacă analizăm cu atenție definiția derivatei, vom constata că aceasta conține un algoritm pentru găsirea acesteia.

Să o formulăm.

Cum să găsiți derivata funcției y \u003d f (x)?

1. Fixați valoarea \(x \), găsiți \(f(x) \)
2. Incrementați argumentul \(x \) \(\Delta x \), mutați la un nou punct \(x+ \Delta x \), găsiți \(f(x+ \Delta x) \)
3. Găsiți incrementul funcției: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Compuneți relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculați $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Această limită este derivata funcției la x.

Dacă funcția y = f(x) are o derivată în punctul x, atunci se numește derivabilă în punctul x. Se numește procedura de găsire a derivatei funcției y \u003d f (x). diferenţiere funcțiile y = f(x).

Să discutăm următoarea întrebare: cum sunt legate continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții într-un punct?

Fie funcția y = f(x) diferențiabilă în punctul x. Atunci o tangentă poate fi trasă la graficul funcției în punctul M (x; f (x)) și, reamintim, panta tangentei este egală cu f "(x). Un astfel de grafic nu se poate "rupe" la punctul M, adică funcția trebuie să fie continuă la x.

Era raționament „pe degete”. Să prezentăm un argument mai riguros. Dacă funcția y = f(x) este diferențiabilă în punctul x, atunci egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) este valabilă. zero, atunci \(\Delta y \ ) va tinde, de asemenea, spre zero, iar aceasta este condiția pentru continuitatea funcției într-un punct.

Asa de, dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x, atunci este și continuă în acel punct.

Reversul nu este adevărat. De exemplu: funcția y = |x| este continuă peste tot, în special în punctul x = 0, dar tangenta la graficul funcției la „punctul de îmbinare” (0; 0) nu există. Dacă la un moment dat este imposibil să desenezi o tangentă la graficul funcției, atunci nu există nicio derivată în acest punct.

Încă un exemplu. Funcția \(y=\sqrt(x) \) este continuă pe întreaga dreaptă numerică, inclusiv în punctul x = 0. Și tangenta la graficul funcției există în orice punct, inclusiv în punctul x = 0. . Dar în acest moment tangenta coincide cu axa y, adică este perpendiculară pe axa absciselor, ecuația sa are forma x \u003d 0. Nu există nicio pantă pentru o astfel de linie dreaptă, ceea ce înseamnă că \ ( f „(0) \) nici nu există

Deci, ne-am familiarizat cu o nouă proprietate a unei funcții - diferențiabilitatea. Cum poți spune dacă o funcție este diferențiabilă de graficul unei funcții?

Răspunsul este de fapt dat mai sus. Dacă la un moment dat o tangentă poate fi desenată la graficul unei funcții care nu este perpendiculară pe axa x, atunci în acest moment funcția este diferențiabilă. Dacă la un moment dat tangenta la graficul funcției nu există sau este perpendiculară pe axa x, atunci în acest moment funcția nu este diferențiabilă.

Reguli de diferențiere

Operația de găsire a derivatei se numește diferenţiere. Atunci când efectuați această operație, de multe ori trebuie să lucrați cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și cu „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care facilitează această muncă. Dacă C este un număr constant și f=f(x), g=g(x) sunt unele funcții diferențiabile, atunci următoarele sunt adevărate reguli de diferențiere:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivată funcție compusă:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel de derivate ale unor funcții

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Calcul derivat este una dintre cele mai importante operații din calculul diferențial. Mai jos este un tabel pentru găsirea derivatelor funcții simple. Pentru reguli de diferențiere mai complexe, consultați alte lecții:

• Tabel de derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice

Utilizați formulele date ca valori de referință. Ele vor ajuta la rezolvarea ecuațiilor și problemelor diferențiale. În imagine, în tabelul de derivate ale funcțiilor simple, există o „foaie de cheat” a principalelor cazuri de găsire a derivatului într-o formă care este de înțeles pentru utilizare, alături sunt explicații pentru fiecare caz.

Derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unui număr zero
с´ = 0
Exemplu:
5' = 0

Explicaţie:
Derivata arată rata la care valoarea funcției se schimbă atunci când argumentul se schimbă. Deoarece numărul nu se modifică în niciun fel în nicio condiție, rata modificării sale este întotdeauna zero.

2. Derivată a unei variabile egal cu unu
x' = 1

Explicaţie:
Cu fiecare creștere a argumentului (x) cu unu, valoarea funcției (rezultatul calculului) crește cu aceeași valoare. Astfel, rata de modificare a valorii funcției y = x este exact egală cu rata de modificare a valorii argumentului.

3. Derivata unei variabile si a unui factor este egala cu acest factor
сx´ = с
Exemplu:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicaţie:
În acest caz, de fiecare dată argumentul funcției ( X) valoarea lui (y) crește în din o singura data. Astfel, rata de modificare a valorii funcției în raport cu rata de modificare a argumentului este exact egală cu valoarea din.

De unde rezultă că
(cx + b)" = c
adică diferenţa funcţiei liniare y=kx+b este egală cu coeficient unghiular panta dreptei (k).

4. Modul derivată a unei variabile este egal cu coeficientul acestei variabile la modulul acesteia
|x|"= x / |x| cu condiția ca x ≠ 0
Explicaţie:
Deoarece derivata variabilei (vezi formula 2) este egală cu unu, derivata modulului diferă doar prin aceea că valoarea ratei de modificare a funcției se schimbă în sens opus la trecerea punctului de origine (încercați să desenați un grafic a funcției y = |x| și vedeți singur. Aceasta este exact valoarea și returnează expresia x / |x| Când x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - unu. Adică la valori negative variabila x, cu fiecare creștere a modificării argumentului, valoarea funcției scade cu exact aceeași valoare, iar pentru cele pozitive, dimpotrivă, crește, dar exact cu aceeași valoare.

5. Derivată de putere a unei variabile este egal cu produsul dintre numărul acestei puteri și variabila din putere, redus cu unu
(x c)"= cx c-1, cu condiția ca x c și cx c-1 să fie definite și c ≠ 0
Exemplu:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pentru a memora formula:
Luați exponentul variabilei „în jos” ca multiplicator și apoi micșorați exponentul însuși cu unul. De exemplu, pentru x 2 - doi a fost înainte de x, iar apoi puterea redusă (2-1 = 1) ne-a dat doar 2x. Același lucru s-a întâmplat și pentru x 3 - coborâm triplul, îl reducem cu unul, iar în loc de cub avem un pătrat, adică 3x 2 . Puțin „neștiințific”, dar foarte ușor de reținut.

6.Derivată de fracție 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplu:
Deoarece o fracție poate fi reprezentată ca ridicând la o putere negativă
(1/x)" = (x -1)" , atunci puteți aplica formula din regula 5 din tabelul derivatelor
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivată de fracție cu o variabilă de grad arbitrarîn numitor
(1/x c)" = - c/x c+1
Exemplu:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivat de rădăcină(derivată a variabilei sub rădăcină pătrată)
(√x)" = 1 / (2√x) sau 1/2 x -1/2
Exemplu:
(√x)" = (x 1/2)" astfel încât să puteți aplica formula de la regula 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivată a unei variabile sub o rădăcină a unui grad arbitrar
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)