Sistemul de articulații ax in se numește nedefinit dacă. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, metode de rezolvare, exemple

Sistemul este numit comun, sau rezolvabil daca are cel putin o solutie. Sistemul este numit incompatibil, sau insolubil daca nu are solutii.

SLAE definit, nedefinit.

Dacă un SLAE are o soluție și este unic, atunci este numit anumit iar dacă soluția nu este unică, atunci incert.

ECUATII MATRICIALE

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane matrice de membri necunoscuți și liberi

Să găsim produsul

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris ca

sau mai scurt A∙X=B.

Aici matrice Ași B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Ea trebuie găsită, pentru că. elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . În măsura în care A -1 A = Eși E∙X=X, apoi obținem soluția ecuației matriceale în forma X = A -1 B .

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații este același cu numărul de necunoscute.

formulele lui Cramer

Metoda lui Cramer este aceea că găsim succesiv identificatorul principal al sistemului, adică determinant al matricei A: D = det (a i j) şi n determinanţi auxiliari Di (i= ), care se obțin din determinantul D prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi.

Formulele lui Cramer arată astfel: D × x i = D i (i = ).

Aceasta implică regula lui Cramer, care oferă un răspuns exhaustiv la întrebarea compatibilității sistemului: dacă principalul determinant al sistemului este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, determinată de formulele: x i = D i / D.

Dacă determinantul principal al sistemului D și toți determinanții auxiliari D i = 0 (i= ), atunci sistemul are un număr infinit de soluții. Dacă determinantul principal al sistemului D = 0 și cel puțin un determinant auxiliar este diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent.

Teorema (regula lui Cramer): Dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și

Dovada: Deci, luați în considerare un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație - pe A21și al treilea - pe A 31:

Să adăugăm aceste ecuații:

Luați în considerare fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Conform teoremei despre expansiunea determinantului în ceea ce privește elementele coloanei I.

În mod similar, se poate demonstra că și .

În sfârșit, este ușor să vezi asta

Astfel, obținem egalitatea: . Prin urmare, .

Egalitățile și sunt derivate în mod similar, de unde urmează afirmația teoremei.

Teorema Kronecker-Capelli.

Un sistem de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei augmentate.

Dovada: Se împarte în două etape.

1. Lăsați sistemul să aibă o soluție. Să arătăm asta.

Lasă setul de numere este soluția pentru sistem. Se notează prin -a coloană a matricei, . Atunci , adică coloana de termeni liberi este o combinație liniară a coloanelor matricei . Lasa . Să ne prefacem că . Apoi prin . Alegem la minorul de bază. Are ordine. Coloana de membri liberi trebuie să treacă prin acest minor, altfel va fi minorul de bază al matricei. Coloana de termeni liberi în minor este o combinație liniară a coloanelor matricei. În virtutea proprietăților determinantului , unde este determinantul care se obține de la minor prin înlocuirea coloanei de termeni liberi cu coloana . Dacă coloana a trecut prin M minor, atunci în , vor exista două coloane identice și, prin urmare, . Dacă coloana nu a trecut prin minor, atunci ea va diferi de minorul de ordinul r + 1 al matricei doar prin ordinea coloanelor. De atunci . Astfel, ceea ce contrazice definiția de bază minoră. Prin urmare, presupunerea că , este falsă.

2. Fie . Să arătăm că sistemul are o soluție. Deoarece, atunci baza minoră a matricei este baza minoră a matricei. Lasă coloanele să treacă prin minor . Apoi, după teorema minoră a bazei dintr-o matrice, coloana de termeni liberi este o combinație liniară a coloanelor indicate:

(1)

Setăm , , , , și luăm necunoscutele rămase egale cu zero. Atunci pentru aceste valori obținem

În virtutea egalității (1) . Ultima egalitate înseamnă că mulțimea de numere este soluția pentru sistem. Se dovedește existența unei soluții.

În sistemul discutat mai sus , iar sistemul este consistent. În sistem , , și sistemul este inconsecvent.

Notă: Deși teorema Kronecker-Capelli face posibilă determinarea dacă un sistem este consistent, este folosită destul de rar, în principal în studii teoretice. Motivul este că calculele efectuate la găsirea rangului unei matrice sunt practic aceleași cu calculele la găsirea unei soluții la sistem. Prin urmare, de obicei, în loc de a găsi și , se caută o soluție pentru sistem. Dacă poate fi găsit, atunci aflăm că sistemul este consistent și, în același timp, obținem soluția acestuia. Dacă nu poate fi găsită o soluție, atunci tragem concluzia că sistemul este inconsecvent.

Algoritm pentru găsirea de soluții la un sistem arbitrar de ecuații liniare (metoda Gauss)

Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute. Este necesar să-și găsească soluția generală dacă este consecventă sau să-și stabilească inconsecvența. Metoda care va fi prezentată în această secțiune este apropiată de metoda de calcul a determinantului și de metoda de găsire a rangului unei matrice. Algoritmul propus este numit metoda Gauss sau metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor.

Să scriem matricea augmentată a sistemului

Numim următoarele operații cu matrici operații elementare:

1. permutarea liniilor;

2. înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

3. adăugarea unui șir cu un alt șir înmulțit cu un număr.

Rețineți că atunci când rezolvați un sistem de ecuații, spre deosebire de calcularea determinantului și găsirea rangului, nu se poate opera cu coloane. Dacă sistemul de ecuații este restabilit din matricea obținută din operația elementară, atunci sistem nou va fi egal cu originalul.

Scopul algoritmului este, prin aplicarea unei secvențe de operații elementare matricei, să se asigure că fiecare rând, cu excepția poate primul, începe cu zerouri, iar numărul de zerouri până la primul element diferit de zero din fiecare următor. rândul este mai mare decât în ​​cel precedent.

Pasul algoritmului este următorul. Găsiți prima coloană diferită de zero din matrice. Să fie o coloană cu număr . Găsim un element diferit de zero în el și schimbăm linia cu acest element cu prima linie. Pentru a nu acumula notații suplimentare, vom presupune că o astfel de schimbare a rândurilor din matrice a fost deja făcută, adică . Apoi la a doua linie îl adunăm pe primul înmulțit cu numărul, la a treia linie îl adunăm pe primul înmulțit cu numărul etc. Ca rezultat, obținem matricea

(Primele coloane nule lipsesc de obicei.)

Dacă matricea are un rând cu numărul k, în care toate elementele sunt egale cu zero, și , atunci oprim execuția algoritmului și concluzionăm că sistemul este inconsecvent. Într-adevăr, restabilind sistemul de ecuații din matricea extinsă, obținem că ecuația -a va avea forma

Această ecuație nu satisface niciun set de numere .

Matricea poate fi scrisă ca

În ceea ce privește matricea, efectuăm pasul descris al algoritmului. Obțineți matricea

Unde , . Această matrice poate fi din nou scrisă ca

iar pasul de mai sus al algoritmului este din nou aplicat matricei.

Procesul se oprește dacă după executarea pasului următor noua matrice redusă este formată doar din zerouri sau dacă toate rândurile sunt epuizate. Rețineți că concluzia despre incompatibilitatea sistemului ar putea opri procesul și mai devreme.

Dacă nu am reduce matricea, atunci în final am ajunge la o matrice de formă

În continuare, se efectuează așa-numita trecere inversă a metodei gaussiene. Pe baza matricei, compunem un sistem de ecuații. În partea stângă, lăsăm necunoscutele cu numere corespunzătoare primelor elemente nenule din fiecare linie, adică . Observa asta . Necunoscutele rămase sunt transferate în partea dreaptă. Considerând necunoscutele din partea dreaptă a fi niște cantități fixe, este ușor de exprimat necunoscutele din partea stângă în termeni de ele.

Acum, dând valori arbitrare necunoscutelor din partea dreaptă și calculând valorile variabilelor din partea stângă, vom găsi diverse solutii sistemul original Ax=b. Pentru a nota soluția generală, este necesar să notați necunoscutele în partea dreaptă în orice ordine prin litere , inclusiv acele necunoscute care nu sunt scrise în mod explicit în partea dreaptă din cauza coeficienților zero, iar apoi coloana de necunoscute poate fi scrisă ca o coloană, unde fiecare element este o combinație liniară de valori arbitrare (în special, doar o valoare arbitrară). Această intrare va fi soluția generală a sistemului.

Dacă sistemul era omogen, atunci obținem soluția generală a sistemului omogen. Coeficienții la luați în fiecare element al coloanei soluției generale vor alcătui prima soluție din sistemul fundamental de soluții, coeficienții la - a doua soluție și așa mai departe.

Metoda 2: Sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen poate fi obținut în alt mod. Pentru a face acest lucru, unei variabile, transferate în partea dreaptă, trebuie să i se atribuie valoarea 1, iar restul - zerouri. Calculând valorile variabilelor din partea stângă, obținem o soluție din sistemul fundamental. Atribuind valoarea 1 celeilalte variabile din partea dreaptă și zerouri celorlalte, obținem a doua soluție din sistemul fundamental și așa mai departe.

Definiție: sistemul se numește în comun th, dacă are cel puțin o soluție, și inconsecventă - în caz contrar, adică în cazul în care sistemul nu are soluții. Întrebarea dacă un sistem are o soluție sau nu este legată nu numai de raportul dintre numărul de ecuații și numărul de necunoscute. De exemplu, un sistem de trei ecuații cu două necunoscute

are o soluție și chiar are infinit de soluții, dar un sistem de două ecuații cu trei necunoscute.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Acest sistem este întotdeauna consistent deoarece are o soluție trivială x 1 =…=x n =0

Pentru ca soluții netriviale să existe, este necesar și suficient ca

conditii r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Mulțimea soluțiilor SLAE formează un spațiu liniar de dimensiune (n-r). Aceasta înseamnă că produsul soluției sale cu un număr, precum și suma și combinația liniară a unui număr finit al soluțiilor sale, sunt soluții ale acestui sistem. Spațiul de soluție liniară al oricărui SLAE este un subspațiu al spațiului R n .

Orice set de (n-r) soluții liniar independente ale unui SLAE (care este o bază în spațiul soluțiilor) se numește set fundamental de soluții (FSR).

Fie х 1 ,…,х r necunoscute de bază, х r +1 ,…,х n necunoscute libere. Oferim pe rând variabilele libere următoarele valori:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Formează un spațiu liniar S (spațiul soluțiilor), care este un subspațiu în R n (n este numărul de necunoscute), și dims=k=n-r, unde r este rangul sistemului. Baza din spațiul soluțiilor (x (1) ,…, x (k) ) se numește sistemul fundamental de soluții și soluţia generală are forma:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Matematică superioară » Sisteme de liniare ecuații algebrice» Termeni de bază. Notație matriceală.

Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Notație matriceală.

1. Definirea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Soluție de sistem. Clasificarea sistemelor.
2. Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare.

Definirea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Soluție de sistem. Clasificarea sistemelor.

Sub sistem de ecuații algebrice liniare(SLAE) implică un sistem

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equation)

Parametrii $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) sunt numiți coeficienți, și $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - membri liberi SLAU. Uneori, pentru a sublinia numărul de ecuații și necunoscute, se spune „$m\times n$ sistem de ecuații liniare” - indicând astfel că SLAE conține $m$ ecuații și $n$ necunoscute.

Dacă toți termenii liberi $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), atunci SLAE se numește omogen. Dacă printre membrii liberi există cel puțin unul altul decât zero, se apelează SLAE eterogen.

Decizia SLAU(1) orice colecție ordonată de numere ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) este numită dacă elementele acestei colecții, înlocuite într-o ordine dată pentru necunoscutele $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , inversează fiecare ecuație SLAE în identitate.

Orice SLAE omogen are cel puțin o soluție: zero(într-o terminologie diferită - banal), adică $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Dacă SLAE (1) are cel puțin o soluție, se numește comun daca nu exista solutii, incompatibil. Dacă un SLAE comun are exact o soluție, se numește anumit, dacă un număr infinit de soluții - incert.

Exemplul #1

Luați în considerare SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(aliniat)\dreapta.\end(ecuație)

Avem un sistem de ecuații algebrice liniare care conține $3$ ecuații și $5$ necunoscute: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Se poate spune că este dat un sistem de $3\x 5$ ecuații liniare.

Coeficienții sistemului (2) sunt numerele din fața necunoscutelor. De exemplu, în prima ecuație aceste numere sunt: ​​$3,-4,1,7,-1$. Membrii liberi ai sistemului sunt reprezentați de numerele $11,-65.0$. Deoarece există cel puțin unul dintre membrii liberi, nu este zero, atunci SLAE (2) este neomogen.

Colecția ordonată $(4;-11;5;-7;1)$ este soluția acestui SLAE. Acest lucru este ușor de verificat dacă înlocuiți $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ în ecuațiile sistemului dat:

\begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(aliniat)

Desigur, se pune întrebarea dacă soluția verificată este singura. Problema numărului de soluții SLAE va fi discutată în subiectul relevant.

Exemplul #2

Luați în considerare SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(aliniat) \right.\end(equation)

Sistemul (3) este un SLAE care conține $5$ ecuații și $3$ necunoscute: $x_1,x_2,x_3$. Deoarece toți termenii liberi ai acestui sistem sunt egali cu zero, atunci SLAE (3) este omogen. Este ușor să verificați că colecția $(0;0;0)$ este o soluție la SLAE dat. Înlocuind $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, de exemplu, în prima ecuație a sistemului (3), obținem egalitatea corectă: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Înlocuirea în alte ecuații se face într-un mod similar.

Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare.

Cu fiecare SLAE pot fi asociate mai multe matrice; în plus, SLAE în sine poate fi scris ca o ecuație matriceală. Pentru SLAE (1), luați în considerare următoarele matrici:

Se numește matricea $A$ matricea sistemului. Elementele acestei matrice sunt coeficienții SLAE dat.

Se numește matricea $\widetilde(A)$ sistem de matrice extinsă. Se obține prin adăugarea la matricea sistemului a unei coloane care conține membri liberi $b_1,b_2,…,b_m$. De obicei, această coloană este separată printr-o linie verticală - pentru claritate.

Se numește matricea coloanelor $B$ matricea termenilor liberi, iar matricea coloanei $X$ - matricea necunoscutelor.

Folosind notația introdusă mai sus, SLAE (1) poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale: $A\cdot X=B$.

Notă

Matricele asociate sistemului pot fi scrise căi diferite: totul depinde de ordinea variabilelor și ecuațiilor SLAE-ului considerat. Dar, în orice caz, ordinea necunoscutelor în fiecare ecuație a unui SLAE dat trebuie să fie aceeași (vezi exemplul nr. 4).

Exemplul #3

Scrieți SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ sub formă de matrice și specificați matricea augmentată a sistemului.

Avem patru necunoscute, care în fiecare ecuație urmează în această ordine: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Matricea necunoscutelor va fi: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Membrii liberi ai acestui sistem sunt exprimați prin numerele $-5,0,-11$, prin urmare matricea membrilor liberi are forma: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(matrice )\right)$.

Să trecem la compilarea matricei sistemului. Primul rând al acestei matrice va conține coeficienții primei ecuații: $2.3,-5.1$.

În a doua linie scriem coeficienții celei de-a doua ecuații: $4.0,-1.0$. În acest caz, trebuie avut în vedere faptul că coeficienții sistemului cu variabilele $x_2$ și $x_4$ din a doua ecuație sunt egali cu zero (deoarece aceste variabile sunt absente în a doua ecuație).

În al treilea rând al matricei sistemului, scriem coeficienții celei de-a treia ecuații: $0,14,8,1$. Luăm în considerare egalitatea la zero a coeficientului la variabila $x_1$ (această variabilă este absentă în a treia ecuație). Matricea sistemului va arăta astfel:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

Pentru a face relația dintre matricea sistemului și sistemul în sine mai clară, voi nota SLAE-ul dat și matricea sa de sistem una lângă alta:

Sub formă de matrice, SLAE-ul dat va arăta ca $A\cdot X=B$. În intrarea extinsă:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(matrice) \right) $$

Să scriem matricea augmentată a sistemului. Pentru a face acest lucru, în matricea sistemului $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ adăugați o coloană de termeni liberi (adică $-5,0,-11$). Obținem: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.

Exemplul #4

Scrieți SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ sub formă de matrice și specificați matricea augmentată a sistemului.

După cum puteți vedea, ordinea necunoscutelor în ecuațiile acestui SLAE este diferită. De exemplu, în a doua ecuație ordinea este: $a,y,c$, dar în a treia ecuație: $c,y,a$. Înainte de a scrie SLAE sub formă de matrice, ordinea variabilelor din toate ecuațiile trebuie făcută aceeași.

Puteți ordona variabilele în ecuațiile unui SLAE dat căi diferite(numărul de moduri de aranjare a trei variabile este $3!=6$). Voi lua în considerare două moduri de a ordona necunoscutele.

Metoda numărul 1

Să introducem următoarea ordine: $c,y,a$. Să rescriem sistemul, plasând necunoscutele ordinea necesara: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(aliniat)\dreapta.$

Pentru claritate, voi scrie SLAE după cum urmează: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(aliniat)\right.$

Matricea sistemului este: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( matrice) \dreapta) $. Matrice de membru liber: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Când scrieți matricea necunoscutelor, amintiți-vă ordinea necunoscutelor: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Deci, forma matriceală a SLAE dat este următoarea: $A\cdot X=B$. Extins:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(matrice) \right) $$

Matricea extinsă a sistemului este: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.

Metoda numărul 2

Să introducem următoarea ordine: $a,c,y$. Să rescriem sistemul, punând necunoscutele în ordinea necesară: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(aliniat)\right.$

Pentru claritate, voi scrie SLAE după cum urmează: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(aliniat)\right.$

Matricea sistemului este: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( matrice)\dreapta)$. Matrice de membru liber: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Când scrieți matricea necunoscutelor, amintiți-vă ordinea necunoscutelor: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Deci, forma matriceală a SLAE dat este următoarea: $A\cdot X=B$. Extins:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(matrice) \right) $$

Matricea extinsă a sistemului este: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.

După cum puteți vedea, schimbarea ordinii necunoscutelor este echivalentă cu rearanjarea coloanelor matricei sistemului. Dar oricare ar fi acest aranjament de necunoscute, trebuie să se potrivească în toate ecuațiile unui SLAE dat.

Ecuatii lineare

Ecuatii lineare- o temă matematică relativ simplă, întâlnită destul de des în temele de algebră.

Sisteme de ecuații algebrice liniare: concepte de bază, tipuri

Să ne dăm seama ce este și cum se rezolvă ecuațiile liniare.

Obișnuit, ecuație liniară este o ecuație de forma ax + c = 0, unde a și c sunt numere arbitrare sau coeficienți, iar x este un număr necunoscut.

De exemplu, o ecuație liniară ar fi:

Rezolvarea ecuațiilor liniare.

Cum se rezolvă ecuații liniare?

Rezolvarea ecuațiilor liniare este destul de ușoară. Pentru aceasta se folosește o tehnică matematică, cum ar fi transformarea identităţii. Să ne dăm seama ce este.

Un exemplu de ecuație liniară și soluția acesteia.

Fie ax + c = 10, unde a = 4, c = 2.

Astfel, obținem ecuația 4x + 2 = 10.

Pentru a rezolva a fost mai ușor și mai rapid, vom folosi prima metodă transformarea identităţii- adică transferăm toate numerele în partea dreaptă a ecuației și lăsăm necunoscutul 4x în partea stângă.

Obține:

Astfel, ecuația se reduce la o problemă foarte simplă pentru începători. Rămâne doar să folosiți a doua metodă de transformare identică - lăsând x în partea stângă a ecuației, transferați numerele în partea dreaptă. Primim:

Examinare:

4x + 2 = 10, unde x = 2.

Răspunsul este corect.

Graficul ecuației liniare.

Atunci când se rezolvă ecuații liniare cu două variabile, este adesea folosită și metoda graficului. Faptul este că o ecuație de forma ax + wy + c \u003d 0, de regulă, are multe soluții, deoarece multe numere se potrivesc în locul variabilelor și, în toate cazurile, ecuația rămâne adevărată.

Prin urmare, pentru a facilita sarcina, se construiește un grafic al unei ecuații liniare.

Pentru a-l construi, este suficient să luați o pereche de valori variabile - și, marcându-le cu puncte pe planul de coordonate, trageți o linie dreaptă prin ele. Toate punctele de pe această dreaptă vor fi variante ale variabilelor din ecuația noastră.

Expresii, conversie de expresii

Ordinea acțiunilor, regulilor, exemplelor.

Numerice, literale și expresii cu variabile în înregistrarea lor pot conține caractere diferite operatii aritmetice. Când convertiți expresii și calculați valorile expresiilor, acțiunile sunt efectuate într-o anumită ordine, cu alte cuvinte, trebuie să respectați ordinea acțiunilor.

În acest articol, ne vom da seama ce acțiuni ar trebui efectuate mai întâi și care după ele. Să începem cu cele mai multe cazuri simple când expresia conține doar numere sau variabile legate prin semne plus, minus, înmulțiți și împărțiți. În continuare, vom explica ce ordine de execuție a acțiunilor trebuie urmată în expresiile cu paranteze. În cele din urmă, luați în considerare succesiunea în care acțiunile sunt efectuate în expresii care conțin puteri, rădăcini și alte funcții.

Mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea

Școala oferă următoarele o regulă care determină ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze:

• acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta,
• unde se fac mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.

Regula enunțată este percepută destul de firesc. Efectuarea acțiunilor în ordine de la stânga la dreapta se explică prin faptul că se obișnuiește să ținem înregistrări de la stânga la dreapta. Iar faptul că înmulțirea și împărțirea se efectuează înainte de adunare și scădere se explică prin semnificația pe care o poartă aceste acțiuni în sine.

Să ne uităm la câteva exemple de aplicare a acestei reguli. De exemplu, vom lua cele mai simple expresii numerice pentru a nu fi distras de calcule, ci pentru a ne concentra pe ordinea în care sunt efectuate acțiunile.

Urmați pașii 7−3+6.

Expresia originală nu conține paranteze și nici înmulțirea și împărțirea. Prin urmare, ar trebui să efectuăm toate acțiunile în ordine de la stânga la dreapta, adică mai întâi scădem 3 din 7, obținem 4, după care adunăm 6 la diferența 4 obținută, obținem 10.

Pe scurt, soluția se poate scrie astfel: 7−3+6=4+6=10.

Indicați ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresia 6:2·8:3.

Pentru a răspunde la întrebarea problemei, să ne întoarcem la regula care indică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze. Expresia originală conține doar operațiile de înmulțire și împărțire, iar conform regulii, acestea trebuie efectuate în ordine de la stânga la dreapta.

Mai întâi, împărțiți 6 la 2, înmulțiți acest coeficient cu 8 și, în final, împărțiți rezultatul cu 3.

Noțiuni de bază. Sisteme de ecuații liniare

Calculați valoarea expresiei 17−5 6:3−2+4:2.

Mai întâi, să stabilim în ce ordine ar trebui efectuate acțiunile din expresia originală. Include atât înmulțirea și împărțirea, cât și adunarea și scăderea.

În primul rând, de la stânga la dreapta, trebuie să efectuați înmulțirea și împărțirea. Deci înmulțim 5 cu 6, obținem 30, împărțim acest număr la 3, obținem 10. Acum împărțim 4 la 2, obținem 2. Înlocuim valoarea găsită 10 în loc de 5 6: 3 în expresia originală, iar valoarea 2 în loc de 4: 2, avem 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

În expresia rezultată, nu mai există înmulțire și împărțire, așa că rămâne de efectuat în ordine de la stânga la dreapta acțiunile rămase: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

La început, pentru a nu confunda ordinea efectuării acțiunilor la calcularea valorii unei expresii, este convenabil să plasați numere deasupra semnelor acțiunilor corespunzătoare ordinii în care sunt efectuate. Pentru exemplul anterior, ar arăta astfel: .

Aceeași ordine a operațiilor - mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea - ar trebui urmată atunci când se lucrează cu expresii literale.

Începutul paginii

Pașii 1 și 2

În unele manuale de matematică, există o împărțire a operațiilor aritmetice în operații din primul și al doilea pas. Să ne ocupăm de asta.

În acești termeni, regula din paragraful anterior, care determină ordinea în care se efectuează acțiunile, se va scrie astfel: dacă expresia nu conține paranteze, atunci în ordine de la stânga la dreapta, acțiunile etapei a doua ( înmulțirea și împărțirea) se execută mai întâi, apoi acțiunile primei etape (adunarea și scăderea).

Începutul paginii

Ordinea de execuție a operațiilor aritmetice în expresii cu paranteze

Expresiile conțin adesea paranteze pentru a indica ordinea în care urmează să fie efectuate acțiunile. În acest caz o regulă care specifică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii cu paranteze, se formulează astfel: mai întâi se execută acțiunile dintre paranteze, în timp ce înmulțirea și împărțirea se fac tot în ordine de la stânga la dreapta, apoi adunarea și scăderea.

Deci, expresiile dintre paranteze sunt considerate componente ale expresiei originale, iar ordinea acțiunilor deja cunoscută nouă este păstrată în ele. Luați în considerare soluțiile exemplelor pentru o mai mare claritate.

Efectuați pașii indicați 5+(7−2 3) (6−4):2.

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi să efectuăm operațiile din expresiile incluse în aceste paranteze. Să începem cu expresia 7−2 3. În ea, trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea, iar abia apoi scăderea, avem 7−2 3=7−6=1. Trecem la a doua expresie din paranteze 6−4. Există o singură acțiune aici - scăderea, o executăm 6−4=2.

Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. În expresia rezultată, mai întâi facem înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scăderea, obținem 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Pe aceasta, toate acțiunile sunt finalizate, am respectat următoarea ordine de execuție a acestora: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Să scriem solutie scurta: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Se întâmplă ca o expresie să conțină paranteze între paranteze. Nu ar trebui să vă fie frică de acest lucru, trebuie doar să aplicați în mod consecvent regula vocală pentru a efectua acțiuni în expresii cu paranteze. Să arătăm un exemplu de soluție.

Efectuați acțiuni în expresia 4+(3+1+4 (2+3)).

Aceasta este o expresie cu paranteze, ceea ce înseamnă că execuția acțiunilor trebuie să înceapă cu o expresie între paranteze, adică cu 3 + 1 + 4 (2 + 3).

Această expresie conține și paranteze, așa că mai întâi trebuie să efectuați acțiuni în ele. Să facem asta: 2+3=5. Înlocuind valoarea găsită, obținem 3+1+4 5. În această expresie, facem mai întâi înmulțirea, apoi adunarea, avem 3+1+4 5=3+1+20=24. Valoarea inițială, după înlocuirea acestei valori, ia forma 4+24, și rămâne doar de finalizat acțiunile: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

În general, când parantezele dintre paranteze sunt prezente într-o expresie, este adesea convenabil să începeți cu parantezele interioare și să vă îndreptați spre cele exterioare.

De exemplu, să presupunem că trebuie să efectuăm operații în expresia (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Mai întâi, efectuăm acțiuni între paranteze interne, deoarece 4−6:2=4−3=1, apoi expresia originală va lua forma (4+(4+1)−1)−1. Din nou, efectuăm acțiunea din parantezele interioare, deoarece 4+1=5, ajungem la următoarea expresie (4+5−1)−1. Din nou, efectuăm acțiunile dintre paranteze: 4+5−1=8, în timp ce ajungem la diferența 8−1, care este egală cu 7.

Începutul paginii

Ordinea în care operațiile sunt efectuate în expresii cu rădăcini, puteri, logaritmi și alte funcții

Dacă expresia include puteri, rădăcini, logaritmi, sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, precum și alte funcții, atunci valorile acestora sunt calculate înainte ca celelalte acțiuni să fie efectuate, în timp ce regulile din paragrafele precedente care specifică ordinea în se iau în considerare şi acţiunile în care se realizează. Cu alte cuvinte, lucrurile enumerate, aproximativ vorbind, pot fi considerate cuprinse între paranteze și știm că acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi.

Să luăm în considerare exemple.

Efectuați operațiile din expresia (3+1) 2+6 2:3−7.

Această expresie conține o putere de 6 2 , valoarea acesteia trebuie calculată înainte de a efectua restul pașilor. Deci, efectuăm exponențiarea: 6 2 \u003d 36. Inlocuim aceasta valoare in expresia originala, ea va lua forma (3+1) 2+36:3−7.

Atunci totul este clar: executăm acțiuni între paranteze, după care rămâne o expresie fără paranteze, în care, în ordine de la stânga la dreapta, facem mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Avem (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Altele, inclusiv mai multe exemple complexe efectuând acțiuni în expresii cu rădăcini, grade etc., puteți vedea calculul valorilor expresiei în articol.

Începutul paginii

Acțiuni de prim pas se numesc adunare și scădere, iar înmulțirea și împărțirea acțiuni de pasul al doilea.

• Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Scrieți sistemul de ecuații algebrice liniare în formă generală

Ce este o soluție SLAE?

Soluția unui sistem de ecuații este o mulțime de n numere,

Când care este substituit în sistem, fiecare ecuație devine o identitate.

Ce sistem se numește articulație (non-articulare)?

Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție.

Un sistem se numește inconsecvent dacă nu are soluții.

Ce sistem se numește definit (nedefinit)?

Un sistem de îmbinări se numește definit dacă are o soluție unică.

Un sistem articular se numește nedeterminat dacă are mai multe soluții.

Forma matriceală de scriere a unui sistem de ecuații

Rangul sistemului vectorial

Rangul unui sistem de vectori este numărul maxim de vectori liniar independenți.

Rangul matricei și modalități de a o găsi

Rangul matricei- cel mai mare dintre ordinele minorilor din această matrice, al cărui determinant este diferit de zero.

Prima metodă, metoda canturilor, este următoarea:

Dacă toți minorii sunt de ordinul 1, adică elementele matricei sunt egale cu zero, atunci r=0 .

Dacă cel puțin unul dintre minorii de ordinul 1 nu este egal cu zero și toți minorii de ordinul 2 sunt egali cu zero, atunci r=1.

Dacă minorul de ordinul 2 este diferit de zero, atunci investigăm minorii de ordinul 3. În acest fel, se găsește minorul de ordinul k-lea și se verifică dacă minorii de ordinul k+1-lea nu sunt egali cu zero.

Dacă toate minorele de ordin k+1 sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu numărul k. Astfel de minore de ordin k+1 se găsesc de obicei prin „marginirea” ordinului k-lea minor.

A doua metodă pentru determinarea rangului unei matrice este de a aplica transformări elementare ale matricei atunci când aceasta este ridicată la o formă diagonală. Rangul unei astfel de matrice este egal cu numărul de elemente diagonale diferite de zero.

Rezolvarea generală a unui sistem neomogen de ecuații liniare, proprietățile acestuia.

Proprietatea 1. Suma oricărei soluții a unui sistem de ecuații liniare și a oricărei soluții a sistemului omogen corespunzător este o soluție a sistemului de ecuații liniare.

Proprietatea 2.

Sisteme de ecuații liniare: concepte de bază

Diferența dintre oricare două soluții ale unui sistem neomogen de ecuații liniare este o soluție a sistemului omogen corespunzător.

Metoda Gauss pentru rezolvarea SLAE

Urmare:

1) este compilată o matrice extinsă a sistemului de ecuații

2) cu ajutorul transformărilor elementare, matricea este redusă la o formă de pas

3) se determină rangul matricei extinse a sistemului și rangul matricei sistemului și se stabilește pactul de compatibilitate sau incompatibilitate a sistemului

4) în caz de compatibilitate se scrie sistemul echivalent de ecuații

5) se găsește soluția sistemului. Principalele variabile sunt exprimate în termeni de liber

Teorema Kronecker-Capelli

Kronecker - teorema Capelli- criteriul de compatibilitate a sistemului de ecuații algebrice liniare:

Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse, iar sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul de necunoscute și un set infinit de soluții dacă rangul mai mic decât numărul necunoscut.

Pentru ca un sistem liniar să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.

Când sistemul nu are soluție, când are o singură soluție, are multe soluții?

Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate necunoscute variabilele sunt egale cu zero.

Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește consistent. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește inconsecvent.

ecuațiile liniare se numesc consistente dacă au cel puțin o soluție și inconsistente dacă nu există soluții. În exemplul 14 sistemul este compatibil, coloana este soluția sa:

Această soluție poate fi scrisă și fără matrice: x = 2, y = 1.

Un sistem de ecuații va fi numit nedefinit dacă are mai multe soluții și definit dacă soluția este unică.

Exemplul 15. Sistemul este nedeterminat. De exemplu, ... sunt soluțiile sale. Cititorul poate găsi multe alte soluții la acest sistem.

Formule care relaționează coordonatele vectorilor în bazele vechi și noi

Să învățăm cum să rezolvăm mai întâi sistemele de ecuații liniare într-un anumit caz. Un sistem de ecuații AX = B va fi numit al lui Cramer dacă matricea sa principală А este pătrată și nedegenerată. Cu alte cuvinte, numărul de necunoscute din sistemul cramerian coincide cu numărul de ecuații și |A| = 0.

Teorema 6 (regula lui Cramer). Sistemul de ecuații liniare Cramer are o soluție unică dată de formulele:

unde Δ = |A| este determinantul matricei principale, Δi este determinantul obținut din A prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi.

Vom efectua demonstrația pentru n = 3, deoarece în cazul general argumentele sunt similare.

Deci, există un sistem Cramer:

Să presupunem mai întâi că există o soluție pentru sistem, adică există

Să-l înmulțim pe primul. egalitate pe complementul algebric al elementului aii, a doua egalitate - pe A2i, a treia - pe A3i și adunăm egalitățile rezultate:

Sistem de ecuații liniare ~ Rezolvarea sistemului ~ Sisteme consistente și inconsistente ~ Sistem omogen ~ Compatibilitatea unui sistem omogen ~ Rangul matricei sistemului ~ Condiție de compatibilitate netrivială ~ Sistem fundamental de soluții. Soluție generală ~ Studiul unui sistem omogen

Luați în considerare sistemul m ecuații algebrice liniare în raport cu n necunoscut
x 1 , x 2 , …, x n :

Decizie sistem se numește totalitate n valori necunoscute

x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,

la înlocuirea cărora toate ecuaţiile sistemului se transformă în identităţi.

Sistemul de ecuații liniare poate fi scris sub formă de matrice:

Unde A- matricea sistemului, b- partea dreapta, X- solutia dorita Ap - matrice extinsă sisteme:

.

Un sistem care are cel puțin o soluție este numit comun; sistem care nu are soluție incompatibil.

Un sistem omogen de ecuații liniare este un sistem a cărui latură dreaptă este egală cu zero:

Vedere matrice a unui sistem omogen: ax=0.

Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece orice sistem liniar omogen are cel puțin o soluție:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.

Dacă un sistem omogen are o soluție unică, atunci această soluție unică este zero și sistemul este numit banal comun. Dacă un sistem omogen are mai multe soluții, atunci există soluții diferite de zero printre ele, iar în acest caz sistemul se numește netrivial articulat.

S-a dovedit că la m=n pentru compatibilitate non-trivială a sistemului necesar si suficient astfel încât determinantul matricei sistemului este egal cu zero.

EXEMPLU 1. Compatibilitatea netrivială a unui sistem omogen de ecuații liniare cu o matrice pătrată.

Aplicând algoritmul de eliminare gaussian la matricea sistemului, reducem matricea sistemului la forma de pas

.

Număr r se numesc rânduri diferite de zero în formă de pas a unei matrice rang de matrice, denota
r=rg(A) sau r=Rg(A).

Următoarea afirmație este adevărată.

Sistem de ecuații algebrice liniare

Pentru ca un sistem omogen să fie netrivial consistent, este necesar și suficient ca rangul r matricea sistemului a fost mai mică decât numărul de necunoscute n.

EXEMPLU 2. Compatibilitatea netrivială a unui sistem omogen de trei ecuații liniare cu patru necunoscute.

Dacă un sistem omogen este consecvent netrivial, atunci are un număr infinit de soluții, iar o combinație liniară a oricăror soluții ale sistemului este, de asemenea, soluția sa.
Se dovedește că printre mulțimea infinită de soluții ale unui sistem omogen, exact n-r soluții liniar independente.
Agregat n-r soluții liniar independente ale unui sistem omogen se numește sistem fundamental de decizie. Orice soluție a sistemului este exprimată liniar în termenii sistemului fundamental. Astfel, dacă rangul r matrici A omogen sistem liniar ax=0 mai putine necunoscute nși vectori
e 1 , e 2 , …, e n-r formează sistemul său fundamental de soluții ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), apoi orice soluție X sisteme ax=0 poate fi scris sub forma

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

Unde c 1 , c 2 , …, c n-r sunt constante arbitrare. Expresia scrisă se numește solutie comuna sistem omogen .

Cercetare

sistem omogen înseamnă a stabili dacă este non-trivial consistent și, dacă este, atunci găsiți un sistem fundamental de soluții și scrieți o expresie pentru soluția generală a sistemului.

Studiem un sistem omogen prin metoda Gauss.

matricea sistemului omogen studiat, al cărui rang este r< n .

O astfel de matrice este redusă prin eliminarea Gauss la forma în trepte

.

Sistemul echivalent corespunzător are forma

De aici este ușor să obțineți expresii pentru variabile x 1 , x 2 , …, x r prin x r+1 , x r+2 , …, x n. Variabile
x 1 , x 2 , …, x r numit variabile de bazăși variabile x r+1 , x r+2 , …, x n - variabile libere.

Transferând variabilele libere în partea dreaptă, obținem formulele

care determină soluţia de ansamblu a sistemului.

Să setăm succesiv valorile variabilelor libere egale cu

și calculați valorile corespunzătoare ale variabilelor de bază. Primit n-r soluțiile sunt liniar independente și, prin urmare, formează un sistem fundamental de soluții ale sistemului omogen studiat:

Investigarea unui sistem omogen pentru compatibilitate prin metoda Gauss.

Cu toate acestea, încă două cazuri sunt larg răspândite în practică:

– Sistemul este inconsecvent (nu are soluții);
Sistemul este consistent și are infinite de soluții.

Notă : termenul „coerență” implică faptul că sistemul are cel puțin o soluție. Într-o serie de sarcini, este necesar să se examineze preliminar sistemul pentru compatibilitate, cum se face acest lucru - vezi articolul despre rangul matricei.

Pentru aceste sisteme, se utilizează cea mai universală dintre toate metodele de soluție - metoda Gauss. De fapt, și modul „școală” va duce la răspuns, dar în matematica superioara Se obișnuiește să se folosească metoda gaussiană de eliminare succesivă a necunoscutelor. Cei care nu sunt familiarizați cu algoritmul metodei Gauss, vă rugăm să studiați mai întâi lecția metoda gauss pentru manechine.

Transformările matriceale elementare în sine sunt exact aceleași, diferența va fi în finalul soluției. Mai întâi, luați în considerare câteva exemple în care sistemul nu are soluții (incoerente).

Exemplul 1

Ce vă atrage imediat atenția în acest sistem? Numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Dacă numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile, atunci putem spune imediat că sistemul fie este inconsecvent, fie are infinite de soluții. Și rămâne doar de aflat.

Începutul soluției este destul de obișnuit - scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă în trepte:

(1) Pe pasul din stânga sus, trebuie să obținem +1 sau -1. Nu există astfel de numere în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va funcționa. Unitatea va trebui organizată independent, iar acest lucru se poate face în mai multe moduri. Am făcut asta: la prima linie, adăugați a treia linie, înmulțită cu -1.

(2) Acum obținem două zerouri în prima coloană. La a doua linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 5.

(3) După ce transformarea este făcută, este întotdeauna recomandabil să vedem dacă este posibilă simplificarea șirurilor rezultate? Poate sa. Împărțim a doua linie la 2, obținând în același timp -1 dorit la a doua treaptă. Împărțiți a treia linie la -3.

(4) Adăugați a doua linie la a treia linie.

Probabil, toată lumea a acordat atenție liniei proaste, care s-a dovedit ca urmare a transformărilor elementare: . Este clar că nu poate fi așa. Într-adevăr, rescriem matricea rezultată înapoi la sistemul de ecuații liniare:

Dacă, în urma transformărilor elementare, se obține un șir de formă, unde este un număr diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții).

Cum să înregistrezi sfârșitul unei sarcini? Să desenăm cu cretă albă: „în urma transformărilor elementare se obține o linie a formei, unde” și să dăm răspunsul: sistemul nu are soluții (inconsecvente).

Dacă, conform condiției, este necesară EXPLORAREA sistemului pentru compatibilitate, atunci este necesară emiterea unei soluții într-un stil mai solid care implică conceptul rangul matricei și teorema Kronecker-Capelli.

Vă rugăm să rețineți că aici nu există o mișcare inversă a algoritmului gaussian - nu există soluții și pur și simplu nu există nimic de găsit.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției. Din nou, vă reamintesc că calea soluției dvs. poate diferi de calea soluției mele, algoritmul gaussian nu are o „rigiditate” puternică.

Încă unul caracteristica tehnica soluții: transformările elementare pot fi oprite O dată, de îndată ce o linie ca , unde . Considera exemplu condițional: să presupunem că după prima transformare obținem o matrice . Matricea nu a fost încă redusă la o formă în trepte, dar nu este nevoie de alte transformări elementare, deoarece a apărut o linie a formei, unde . Ar trebui să se răspundă imediat că sistemul este incompatibil.

Când un sistem de ecuații liniare nu are soluții, acesta este aproape un cadou, deoarece se obține o soluție scurtă, uneori literalmente în 2-3 pași.

Dar totul în această lume este echilibrat, iar problema în care sistemul are infinit de soluții este doar mai lungă.

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Există 4 ecuații și 4 necunoscute, așa că sistemul poate fie să aibă o singură soluție, fie să nu aibă soluții, fie să aibă infinite de soluții. Oricare ar fi fost, dar metoda Gauss, în orice caz, ne va conduce la răspuns. Aici constă versatilitatea sa.

Începutul este din nou standard. Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:

Asta e tot și ți-a fost frică.

(1) Rețineți că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2, deci un 2 este bine pe treapta din stânga sus. La a doua linie adăugăm prima linie, înmulțită cu -4. La a treia linie adăugăm prima linie, înmulțită cu -2. La a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu -1.

Atenţie! Mulți pot fi tentați din a patra linie scădea prima linie. Acest lucru se poate face, dar nu este necesar, experiența arată că probabilitatea unei erori în calcule crește de mai multe ori. Doar adunați: la a patra linie, adăugați prima linie, înmulțită cu -1 - exact!

(2) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele pot fi șterse.

Aici din nou este necesar să se arate atenție sporită, dar liniile sunt cu adevărat proporționale? Pentru reasigurare (mai ales pentru un ceainic), nu ar fi de prisos să înmulțim al doilea rând cu -1 și să împărțim al patrulea rând cu 2, rezultând trei rânduri identice. Și numai după aceea eliminați două dintre ele.

Ca rezultat al transformărilor elementare, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte:

Când finalizați o sarcină într-un caiet, este recomandabil să faceți aceleași note în creion pentru claritate.

Rescriem sistemul de ecuații corespunzător:

Singura soluție „obișnuită” a sistemului nu miroase aici. Nu există nici o linie proastă. Aceasta înseamnă că acesta este al treilea caz rămas - sistemul are infinite de soluții. Uneori, prin condiție, este necesar să se investigheze compatibilitatea sistemului (adică, pentru a demonstra că există o soluție), puteți citi despre acest lucru în ultimul paragraf al articolului Cum se află rangul unei matrice? Dar deocamdată, să dezvăluim elementele de bază:

Setul infinit de soluții ale sistemului este scris pe scurt sub forma așa-numitului soluție generală de sistem .

Vom găsi soluția generală a sistemului folosind mișcarea inversă a metodei Gauss.

Mai întâi trebuie să stabilim ce variabile avem de bază, și care variabile liber. Nu este necesar să vă deranjați cu termenii algebrei liniare, este suficient să vă amintiți că există așa variabile de bazăși variabile libere.

Variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei.
LA acest exemplu variabilele de bază sunt și

Variabilele gratuite sunt totul rămas variabile care nu au primit un pas. În cazul nostru, sunt două dintre ele: - variabile libere.

Acum ai nevoie toate variabile de bază expres numai prin variabile libere.

Mișcarea inversă a algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus.
Din a doua ecuație a sistemului, exprimăm variabila de bază:

Acum uitați-vă la prima ecuație: . În primul rând, înlocuim expresia găsită în ea:

Rămâne să exprimăm variabila de bază în termeni de variabile libere:

Rezultatul este ceea ce aveți nevoie - toate sunt exprimate variabilele de bază ( și ). numai prin variabile libere:

De fapt, soluția generală este gata:

Cum să notez soluția generală?
Variabilele libere sunt scrise în soluția generală „pe cont propriu” și strict la locul lor. În acest caz, variabilele libere ar trebui scrise în pozițiile a doua și a patra:
.

Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și, evident, trebuie scris în prima și a treia poziție:

Oferirea de variabile libere valori arbitrare, sunt infinite decizii private. Cele mai populare valori sunt zerourile, deoarece soluția particulară este cea mai ușor de obținut. Înlocuiți în soluția generală:

este o decizie privată.

Cei sunt un alt cuplu dulce, să substituim soluția generală:

este o altă soluție specială.

Este ușor de observat că sistemul de ecuații are infinit de solutii(deoarece putem da variabile libere orice valori)

Fiecare o anumită soluție trebuie să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului. Aceasta este baza pentru o verificare „rapidă” a corectitudinii soluției. Luați, de exemplu, o anumită soluție și înlocuiți-o în partea stângă a fiecărei ecuații din sistemul original:

Totul trebuie să vină împreună. Și cu orice soluție specială pe care o obțineți, totul ar trebui să convergă.

Dar, strict vorbind, verificarea unei anumite soluții înșală uneori; o anumită soluție poate satisface fiecare ecuație a sistemului, iar soluția generală în sine este de fapt găsită incorect.

Prin urmare, verificarea soluției generale este mai amănunțită și mai fiabilă. Cum se verifică soluția generală rezultată ?

Este ușor, dar destul de plictisitor. Trebuie să luăm expresii de bază variabile, în acest caz și , și înlocuiți-le în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului.

În partea stângă a primei ecuații a sistemului:

În partea stângă a celei de-a doua ecuații a sistemului:


Se obține partea dreaptă a ecuației inițiale.

Exemplul 4

Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss. Găsiți o soluție generală și două private. Verificați soluția generală.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici, apropo, din nou, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, ceea ce înseamnă că este imediat clar că sistemul fie va fi inconsecvent, fie va avea un număr infinit de soluții. Ce este important în procesul decizional în sine? Atenție și din nou atenție. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și încă câteva exemple pentru a consolida materialul

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul are infinit de soluții, găsiți două soluții particulare și verificați soluția generală

Decizie: Să scriem matricea augmentată a sistemului și cu ajutorul transformărilor elementare o aducem la forma pasului:

(1) Adăugați prima linie la a doua linie. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 2. La a patra linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3.
(2) La a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu -5. La a patra linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -7.
(3) Al treilea și al patrulea rând sunt aceleași, ștergem unul dintre ele.

Iată o asemenea frumusețe:

Variabilele de bază stau pe trepte, deci sunt variabile de bază.
Există o singură variabilă liberă, care nu a primit un pas:

Mișcare inversă:
Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:
Din a treia ecuație:

Luați în considerare a doua ecuație și înlocuiți în ea expresia găsită:

Luați în considerare prima ecuație și înlocuiți expresiile găsite și în ea:

Da, un calculator care numără fracțiile obișnuite este încă convenabil.

Deci solutia generala este:

Încă o dată, cum s-a întâmplat? Variabila liberă se află singură pe locul al patrulea de drept. Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și-au ocupat de asemenea locurile ordinale.

Să verificăm imediat soluția generală. Lucrează pentru negri, dar am făcut-o deja, așa că prinde =)

Înlocuim trei eroi , , în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului:

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel încât soluția generală este găsită corect.

Acum din soluția generală găsită obținem două soluții particulare. Bucătarul de aici este singura variabilă liberă. Nu trebuie să-ți rupi capul.

Lasă atunci este o decizie privată.
Fie , apoi o altă soluție specială.

Răspuns: Decizie comună: , soluții speciale: , .

Nu ar fi trebuit să-mi amintesc despre negri aici... ... pentru că mi-au venit în minte tot felul de motive sadice și mi-am amintit de binecunoscuta fotozhaba, în care membrii Ku Klux Klans în salopete albe aleargă peste teren după un fotbal negru. jucător. Stau si zambesc linistit. Știi cât de distrag...

O mulțime de matematică este dăunătoare, deci un exemplu final similar pentru o soluție independentă.

Exemplul 6

Aflați soluția generală a sistemului de ecuații liniare.

Am verificat deja soluția generală, răspunsul poate fi de încredere. Soluția dvs. poate diferi de soluția mea, principalul lucru este că soluțiile generale se potrivesc.

Probabil, mulți oameni au observat un moment neplăcut în soluții: de foarte multe ori, în cursul invers al metodei Gauss, a trebuit să ne luptăm cu fracții obișnuite. În practică, acest lucru este adevărat, cazurile în care nu există fracții sunt mult mai puțin frecvente. Fii pregătit mental și, cel mai important, tehnic.

Mă voi opri asupra unor caracteristici ale soluției care nu au fost găsite în exemplele rezolvate.

Soluția generală a sistemului poate include uneori o constantă (sau constante), de exemplu: . Aici una dintre variabilele de bază este egală cu un număr constant: . Nu este nimic exotic în asta, se întâmplă. Evident, în acest caz, orice soluție anume va conține un cinci în prima poziție.

Rareori, dar există sisteme în care numărul de ecuații mai multa cantitate variabile. Metoda Gauss funcționează în cele mai severe condiții; ar trebui să aducem calm matricea extinsă a sistemului într-o formă în trepte conform algoritmului standard. Un astfel de sistem poate fi inconsecvent, poate avea infinit de soluții și, în mod ciudat, poate avea o soluție unică.

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a studia un sistem de ecuații liniare. De obicei, în starea problemei, este necesar să se găsească soluția generală și particulară a sistemului. La studierea sistemelor de ecuații liniare se rezolvă următoarele probleme:

1. dacă sistemul este colaborativ;
2. dacă sistemul este consistent, atunci este definit sau nedefinit (criteriul compatibilității sistemului este determinat de teoremă);
3. dacă sistemul este definit, atunci cum să-i găsiți soluția unică (se folosesc metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss);
4. dacă sistemul este nedefinit, atunci cum se descrie setul soluțiilor sale.

Clasificarea sistemelor de ecuații liniare

Un sistem arbitrar de ecuații liniare are forma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. Sisteme de ecuații liniare neomogene (numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații, m = n).
2. Sisteme arbitrare de ecuații liniare neomogene (m > n sau m< n).

Definiție. O soluție a unui sistem este orice mulțime de numere c 1 ,c 2 ,...,c n , a căror înlocuire în sistem în loc de necunoscutele corespunzătoare transformă fiecare ecuație a sistemului într-o identitate.

Definiție. Se spune că două sisteme sunt echivalente dacă soluția primului este soluția celui de-al doilea și invers.

Definiție. Un sistem care are cel puțin o soluție este numit comun. Un sistem care nu are nicio soluție se numește inconsistent.

Definiție. Se numește un sistem cu o soluție unică anumit, iar a avea mai multe soluții este nedefinit.

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

1. Găsiți rangurile matricelor principale și extinse. Dacă nu sunt egale, atunci, după teorema Kronecker-Capelli, sistemul este inconsecvent și aici se termină studiul.
2. Fie rang(A) = rang(B) . Selectăm minorul de bază. În acest caz, toate sistemele necunoscute de ecuații liniare sunt împărțite în două clase. Necunoscutele, ai căror coeficienți sunt incluși în minorul de bază, se numesc dependente, iar necunoscutele, ai căror coeficienți nu sunt incluși în minorul de bază, se numesc libere. Rețineți că alegerea necunoscutelor dependente și libere nu este întotdeauna unică.
3. Tăiem acele ecuații ale sistemului ai căror coeficienți nu au fost incluși în minorul de bază, deoarece sunt consecințe ale restului (conform teoremei minorului de bază).
4. Termenii ecuațiilor care conțin necunoscute libere vor fi transferați în partea dreaptă. Ca urmare, obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute, echivalent cu cel dat, al cărui determinant este diferit de zero.
5. Sistemul rezultat este rezolvat în una din următoarele moduri: metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss. Se găsesc relaţii care exprimă variabilele dependente în termenii celor libere.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii sunt reduse la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul creării acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare, luând în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

Să dăm totul mai întâi definiţiile necesare, concepte și introduceți notația.

În continuare, avem în vedere metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, să ne concentrăm pe metoda Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în diferite moduri.

După aceea, ne întoarcem la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generala, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată. Formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (în cazul compatibilității lor) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Asigurați-vă că vă opriți asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, luăm în considerare sistemele de ecuații care se reduc la cele liniare, precum și diverse probleme, în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n ) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - membri liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de SLAE se numește coordona.

LA formă matriceală acest sistem de ecuații are forma ,
Unde - matricea principală a sistemului, - matricea-coloana de variabile necunoscute, - matricea-coloana de membri liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute, care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute se transformă, de asemenea, într-o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci se numește incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci vom numi astfel de SLAE-uri elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE-uri în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.

Trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și sunt determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu o astfel de notație, variabilele necunoscute sunt calculate prin formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemplu.

Metoda Cramer .

Decizie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculați determinantul acestuia (dacă este necesar, consultați articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Compuneți și calculați determinanții necesari (determinantul se obține prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de membri liberi, determinantul - prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de membri liberi, - prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de membri liberi. ):

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații ale sistemului este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei (folosind matricea inversă).

Fie sistemul de ecuații algebrice liniare dat sub formă de matrice , unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă . Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu din stânga, atunci obținem o formulă pentru găsirea matricei coloanelor de variabile necunoscute. Deci am obținut soluția sistemului de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda matricei.

Decizie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

La fel de

atunci SLAE poate fi rezolvat prin metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice de complemente algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat - matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse pe coloana-matrice a membrilor liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă în găsirea de soluții la sistemele de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât a treia.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea succesivă a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând de la a treia, și așa mai departe, până la doar variabila necunoscută. x n rămâne în ultima ecuație. Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute metoda Gauss directă. După finalizarea executării directe a metodei gaussiene, x n este găsit din ultima ecuație, x n-1 este calculat din penultima ecuație folosind această valoare și așa mai departe, x 1 este găsit din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit metoda Gauss inversă.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați a doua ecuație înmulțită cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați a doua înmulțită cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați a doua înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea de sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea x n obținută găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuaţie.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda gaussiana.

Decizie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații, adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum excludem x 2 din a treia ecuație prin adăugarea părților din stânga și din dreapta părților din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Pe aceasta, cursul înainte al metodei Gauss este finalizat, începem cursul invers.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat, găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și aceasta completează cursul invers al metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În cazul general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și degenerată.

Teorema Kronecker-Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este incompatibil dă Teorema Kronecker–Capelli:
pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n ) să fie consistent este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică Rank( A)=Rang(T).

Să considerăm ca exemplu aplicarea teoremei Kronecker-Cappelli pentru determinarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Decizie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să trecem peste minorii de ordinul trei care îl înconjoară:

Deoarece toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, rangul matricei principale este de doi.

La rândul său, rangul matricei augmentate este egal cu trei, deoarece minorul de ordinul trei

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A) , prin urmare, conform teoremei Kronecker-Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Nu există un sistem de soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența sistemului folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești soluția SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de teorema privind rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordin superior al matricei A, altul decât zero de bază.

Din definirea bazei minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero, pot exista mai multe minore de bază; există întotdeauna un minor de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece nu sunt zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este r, atunci toate elementele rândurilor (și coloanelor) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor corespunzătoare ale rândurilor (și coloanelor). ) care formează baza minoră.

Ce ne oferă teorema rangului matricei?

Dacă, prin teorema Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice minor de bază al matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu formează minorul de bază ales. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor excesive ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Decizie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul al treilea este egal cu zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ca bază minoră, luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema rangului matricei:


Deci am primit sistem elementar ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci lăsăm termenii care formează minorul de bază în părțile din stânga ecuațiilor și transferăm termenii rămași în părțile din dreapta ale ecuațiilor lui sistemul cu semnul opus.

Variabilele necunoscute (există r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor se numesc principal.

Sunt numite variabile necunoscute (există n - r dintre ele) care au ajuns în partea dreaptă liber.

Acum presupunem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare .

Decizie.

Aflați rangul matricei principale a sistemului prin metoda minorilor limitrofe. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor de ordinul întâi diferit de zero. Să începem să căutăm un minor de ordinul doi diferit de zero în jurul acestui minor:


Așa că am găsit un minor diferit de zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei augmentate este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Minorul non-zero găsit de ordinul al treilea va fi luat drept cel de bază.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii care participă la minorul de bază în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Oferim variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică luăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE ia forma


Rezolvăm sistemul elementar de ecuații algebrice liniare obținut prin metoda Cramer:


Prin urmare, .

În răspuns, nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare de formă generală, aflăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este inconsecvent.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci alegem minorul de bază și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea minorului de bază ales.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și atribuim valori arbitrare. la variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat, găsim principalele variabile necunoscute prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără investigarea lor preliminară pentru compatibilitate. Procesul de excludere succesivă a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre inconsecvența SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere al muncii computaționale, este de preferat metoda gaussiană.

Priveste descriere detaliatași a analizat exemple în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Înregistrarea soluției generale a sistemelor algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectorii sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune, ne vom concentra asupra sistemelor comune omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem de decizie fundamental a unui sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o mulțime de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă desemnăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt coloane matrice de dimensiunea n prin 1 ) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Sensul este simplu: formula stabilește totul solutii posibile SLAE original, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare С 1 , С 2 , …, С (n-r) , conform formulei obținem una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem seta toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Alegem minorul de bază al sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse toți termenii care conțin variabile necunoscute libere. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,…,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, prin metoda Cramer. Astfel, se va obține X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (2) . etc. Dacă dăm variabilelor necunoscute libere valorile 0,0,…,0,1 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (n-r) . Așa se va construi sistemul fundamental de soluții al SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată ca

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Decizie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale prin metoda franjării minorilor. Ca un minor de ordinul întâi, diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Găsiți minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

Se găsește un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este de doi. Să luăm minorul de bază. Pentru claritate, notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE original nu participă la formarea minorului de bază, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea minorului său de bază este două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.