Od czego zależą właściwości funkcji potęgowej? Funkcja zasilania

W tej lekcji będziemy kontynuować badanie funkcji potęgowych z racjonalny wskaźnik, rozważ funkcje z ujemnym wykładnikiem wymiernym.

1. Podstawowe pojęcia i definicje

Przypomnij sobie właściwości i wykresy funkcji potęgowych z ujemnym wykładnikiem całkowitym.

Dla parzystego n, :

Przykład funkcji:

Wszystkie wykresy takich funkcji przechodzą przez dwa stałe punkty: (1;1), (-1;1). Cechą funkcji tego typu jest ich parzystość, wykresy są symetryczne względem osi op-y.

Ryż. 1. Wykres funkcji

Dla nieparzystego n, :

Przykład funkcji:

Wszystkie wykresy takich funkcji przechodzą przez dwa stałe punkty: (1;1), (-1;-1). Cechą tego typu funkcji jest ich nieparzystość, wykresy są symetryczne względem początku.

Ryż. 2. Wykres funkcji

2. Funkcja z ujemnym wykładnikiem wymiernym, wykresy, własności

Przypomnijmy główną definicję.

Stopień liczby nieujemnej a z wymiernym wykładnikiem dodatnim nazywamy liczbą.

Stopień liczby dodatniej a z wymiernym ujemnym wykładnikiem nazywa się liczbą.

Dla następującej równości obowiązuje:

Na przykład: ; - wyrażenie nie istnieje z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem racjonalnym; istnieje, ponieważ wykładnik jest liczbą całkowitą,

Przejdźmy do rozważenia funkcji potęgowych z wymiernym wykładnikiem ujemnym.

Na przykład:

Aby wykreślić tę funkcję, możesz zrobić tabelę. Postąpimy inaczej: najpierw zbudujemy i przestudiujemy wykres mianownika - znamy go (rysunek 3).

Ryż. 3. Wykres funkcji

Wykres funkcji mianownika przechodzi przez stały punkt (1;1). Podczas konstruowania wykresu pierwotnej funkcji ten punkt pozostaje, gdy pierwiastek również dąży do zera, funkcja dąży do nieskończoności. I odwrotnie, ponieważ x dąży do nieskończoności, funkcja dąży do zera (rysunek 4).

Ryż. 4. Wykres funkcji

Rozważmy jeszcze jedną funkcję z badanej rodziny funkcji.

Ważne jest, aby z definicji

Rozważmy wykres funkcji w mianowniku: , znamy wykres tej funkcji, wzrasta ona w swojej dziedzinie definicji i przechodzi przez punkt (1; 1) (rysunek 5).

Ryż. 5. Wykres funkcji

Podczas konstruowania wykresu funkcji pierwotnej punkt (1; 1) pozostaje, gdy pierwiastek również dąży do zera, funkcja dąży do nieskończoności. I odwrotnie, ponieważ x dąży do nieskończoności, funkcja dąży do zera (rysunek 6).

Ryż. 6. Wykres funkcji

Rozważane przykłady pomagają zrozumieć, jak przebiega wykres i jakie są właściwości badanej funkcji - funkcji z ujemnym wykładnikiem wymiernym.

Wykresy funkcji tej rodziny przechodzą przez punkt (1;1), funkcja maleje na całej domenie definicji.

Zakres funkcji:

Funkcja nie jest ograniczona od góry, ale ograniczona od dołu. Funkcja nie ma ani maksimum ani najmniejsza wartość.

Funkcja jest ciągła, przyjmuje wszystkie wartości dodatnie od zera do plus nieskończoności.

Funkcja wypukła w dół (rysunek 15.7)

Punkty A i B są brane na krzywej, przeciągany jest przez nie odcinek, cała krzywa znajduje się poniżej odcinka, warunek ten jest spełniony dla dowolnych dwóch punktów na krzywej, dlatego funkcja jest wypukła w dół. Ryż. 7.

Ryż. 7. Wypukłość funkcji

3. Rozwiązanie typowych problemów

Ważne jest, aby zrozumieć, że funkcje tej rodziny są ograniczone od dołu przez zero, ale nie mają najmniejszej wartości.

Przykład 1 - znajdź maksimum i minimum funkcji na przedziale \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Wykres (ryc. 2).

Rysunek 2. Wykres funkcji $f\left(x\right)=x^(2n)$

Własności funkcji potęgowej z naturalnym nieparzystym wykładnikiem

Domeną definicji są wszystkie liczby rzeczywiste.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ jest funkcją nieparzystą.

$f(x)$ jest ciągła w całej dziedzinie definicji.

Zakres składa się wyłącznie z liczb rzeczywistych.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1)\ge 0$

Funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji.

$f\left(x\right)0$, dla $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcja jest wklęsła dla $x\in (-\infty ,0)$ i wypukła dla $x\in (0,+\infty)$.

Wykres (ryc. 3).

Rysunek 3. Wykres funkcji $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcja potęgowa z wykładnikiem całkowitym

Na początek wprowadzimy pojęcie stopnia z wykładnikiem całkowitym.

Definicja 3

Stopień prawdziwy numer$a$ z indeksem całkowitym $n$ określa wzór:

Rysunek 4

Rozważmy teraz funkcję potęgową z wykładnikiem całkowitym, jej właściwości i wykres.

Definicja 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ nazywana jest funkcją potęgową z wykładnikiem całkowitym.

Jeśli stopień jest większy od zera, to dochodzimy do przypadku funkcji potęgowej z wykładnikiem naturalnym. Rozważaliśmy to już powyżej. Dla $n=0$ otrzymujemy funkcję liniową $y=1$. Rozważenie pozostawiamy czytelnikowi. Pozostaje rozważyć właściwości funkcji potęgowej z ujemnym wykładnikiem całkowitym

Własności funkcji potęgowej z ujemnym wykładnikiem całkowitym

Zakres to $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jeśli wykładnik jest parzysty, funkcja jest parzysta, jeśli nieparzysta, funkcja jest nieparzysta.

$f(x)$ jest ciągła w całej dziedzinie definicji.

Zakres wartości:

Jeśli wykładnik jest parzysty, to $(0,+\infty)$, jeśli nieparzysty, to $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jeśli wykładnik jest nieparzysty, funkcja zmniejsza się o $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Dla parzystego wykładnika funkcja zmniejsza się o $x\in (0,+\infty)$. i rośnie jako $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ w całej domenie

Lekcja i prezentacja na temat: "Funkcje mocy. Właściwości. Wykresy"

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 11
Interaktywny podręcznik dla klas 9-11 „Trygonometria”
Interaktywny podręcznik dla klas 10-11 „Logarytmy”

Funkcje potęgowe, dziedzina definicji.

Chłopaki, na ostatniej lekcji nauczyliśmy się pracować z liczbami z wymiernym wykładnikiem. W tej lekcji rozważymy funkcje potęgowe i ograniczymy się do przypadku, gdy wykładnik jest racjonalny.
Rozważymy funkcje postaci: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Rozważmy najpierw funkcje, których wykładnik wynosi $\frac(m)(n)>1$.
Dajmy nam określoną funkcję $y=x^2*5$.
Zgodnie z definicją podaną w ostatniej lekcji: jeśli $x≥0$, to dziedziną naszej funkcji jest promień $(x)$. Przedstawmy schematycznie nasz wykres funkcji.

Własności funkcji $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nie jest ani parzyste, ani nieparzyste.
3. Podwyżki o $$,
b) (2,10) zł,
c) na promieniu $$.
Rozwiązanie.
Chłopaki, czy pamiętacie, jak znaleźliśmy największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie w klasie 10?
Zgadza się, użyliśmy pochodnej. Rozwiążmy nasz przykład i powtórzmy algorytm znajdowania najmniejszej i największej wartości.
1. Znajdź pochodną podanej funkcji:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Pochodna istnieje na całej dziedzinie pierwotnej funkcji, to nie ma punktów krytycznych. Znajdźmy punkty stacjonarne:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ i $x_2=\sqrt(64)=4$.
Do danego segmentu należy tylko jedno rozwiązanie $x_2=4$.
Zbudujmy tabelę wartości naszej funkcji na końcach odcinka oraz w punkcie ekstremum:
Odpowiedź: $y_(nazwa)=-862.65$ z $x=9$; $y_(max)=38,4$ za x=4$.

Przykład. Rozwiąż równanie: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Rozwiązanie. Wykres funkcji $y=x^(\frac(4)(3))$ rośnie, natomiast wykres funkcji $y=24-x$ maleje. Chłopaki, ty i ja wiemy: jeśli jedna funkcja wzrasta, a druga maleje, to przecinają się one tylko w jednym punkcie, czyli mamy tylko jedno rozwiązanie.
Notatka:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Oznacza to, że dla $х=8$ otrzymaliśmy poprawną równość $16=16$, to jest rozwiązanie naszego równania.
Odpowiedź: $x=8$.

Przykład.
Wykreśl funkcję: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Rozwiązanie.
Wykres naszej funkcji otrzymujemy z wykresu funkcji $y=x^(\frac(3)(4))$, przesuwając go o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę.

Przykład. Napisz równanie stycznej do prostej $y=x^(-\frac(4)(5))$ w punkcie $x=1$.
Rozwiązanie. Równanie styczne określa znany nam wzór:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
W naszym przypadku $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Znajdźmy pochodną:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Obliczmy:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Znajdź równanie styczne:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odpowiedź: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: $y=x^\frac(4)(3)$ na segmencie:
a) $$.
b) $(4,50) $.
c) na promieniu $$.
3. Rozwiąż równanie: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Narysuj wykres funkcji: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Napisz równanie stycznej do prostej $y=x^(-\frac(3)(7))$ w punkcie $x=1$.

Przypomnij sobie właściwości i wykresy funkcji potęgowych z ujemnym wykładnikiem całkowitym.

Dla parzystego n, :

Przykład funkcji:

Wszystkie wykresy takich funkcji przechodzą przez dwa stałe punkty: (1;1), (-1;1). Cechą funkcji tego typu jest ich parzystość, wykresy są symetryczne względem osi op-y.

Ryż. 1. Wykres funkcji

Dla nieparzystego n, :

Przykład funkcji:

Wszystkie wykresy takich funkcji przechodzą przez dwa stałe punkty: (1;1), (-1;-1). Cechą tego typu funkcji jest ich nieparzystość, wykresy są symetryczne względem początku.

Ryż. 2. Wykres funkcji

Przypomnijmy główną definicję.

Stopień liczby nieujemnej a z wymiernym wykładnikiem dodatnim nazywamy liczbą.

Stopień liczby dodatniej a z wymiernym ujemnym wykładnikiem nazywa się liczbą.

Dla następującej równości obowiązuje:

Na przykład: ; - wyrażenie nie istnieje z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem racjonalnym; istnieje, ponieważ wykładnik jest liczbą całkowitą,

Przejdźmy do rozważenia funkcji potęgowych z wymiernym wykładnikiem ujemnym.

Na przykład:

Aby wykreślić tę funkcję, możesz zrobić tabelę. Postąpimy inaczej: najpierw zbudujemy i przestudiujemy wykres mianownika - znamy go (rysunek 3).

Ryż. 3. Wykres funkcji

Wykres funkcji mianownika przechodzi przez stały punkt (1;1). Podczas konstruowania wykresu pierwotnej funkcji ten punkt pozostaje, gdy pierwiastek również dąży do zera, funkcja dąży do nieskończoności. I odwrotnie, ponieważ x dąży do nieskończoności, funkcja dąży do zera (rysunek 4).

Ryż. 4. Wykres funkcji

Rozważmy jeszcze jedną funkcję z badanej rodziny funkcji.

Ważne jest, aby z definicji

Rozważmy wykres funkcji w mianowniku: , znamy wykres tej funkcji, wzrasta ona w swojej dziedzinie definicji i przechodzi przez punkt (1; 1) (rysunek 5).

Ryż. 5. Wykres funkcji

Podczas konstruowania wykresu funkcji pierwotnej punkt (1; 1) pozostaje, gdy pierwiastek również dąży do zera, funkcja dąży do nieskończoności. I odwrotnie, ponieważ x dąży do nieskończoności, funkcja dąży do zera (rysunek 6).

Ryż. 6. Wykres funkcji

Rozważane przykłady pomagają zrozumieć, jak przebiega wykres i jakie są właściwości badanej funkcji - funkcji z ujemnym wykładnikiem wymiernym.

Wykresy funkcji tej rodziny przechodzą przez punkt (1;1), funkcja maleje na całej domenie definicji.

Zakres funkcji:

Funkcja nie jest ograniczona od góry, ale ograniczona od dołu. Funkcja nie ma wartości maksymalnej ani minimalnej.

Funkcja jest ciągła, przyjmuje wszystkie wartości dodatnie od zera do plus nieskończoności.

Funkcja wypukła w dół (rysunek 15.7)

Punkty A i B są brane na krzywej, przeciągany jest przez nie odcinek, cała krzywa znajduje się poniżej odcinka, warunek ten jest spełniony dla dowolnych dwóch punktów na krzywej, dlatego funkcja jest wypukła w dół. Ryż. 7.

Ryż. 7. Wypukłość funkcji

Ważne jest, aby zrozumieć, że funkcje tej rodziny są ograniczone od dołu przez zero, ale nie mają najmniejszej wartości.

Przykład 1 - znajdź maksimum i minimum funkcji na przedziale )