Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałów. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych metodą przedziałową

Uważa się, że metoda przedziałowa jest uniwersalna w rozwiązywaniu nierówności. Czasami ta metoda jest również nazywana metodą przerwy. Może być stosowany zarówno do rozwiązywania racjonalnych nierówności z jedną zmienną, jak i nierówności innych typów. W naszym materiale staraliśmy się zwrócić uwagę na wszystkie aspekty problemu.

Co Cię czeka w tej sekcji? Przeanalizujemy metodę luk i rozważymy algorytmy rozwiązywania nierówności z jej wykorzystaniem. Dotykajmy aspekty teoretyczne na których opiera się zastosowanie metody.

Zwracamy szczególną uwagę na niuanse tematu, które zwykle nie są poruszane w program nauczania. Weźmy na przykład pod uwagę zasady umieszczania znaków na interwałach i metodę interwałów w ogólny widok bez łączenia go z racjonalnymi nierównościami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algorytm

Kto pamięta, jak wprowadza się metodę luk w szkolnym kursie algebry? Zwykle wszystko zaczyna się od rozwiązania nierówności postaci f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >lub ≥). Tutaj f(x) może być wielomianem lub stosunkiem wielomianów. Z kolei wielomian można przedstawić jako:

iloczyn dwumianów liniowych o współczynniku 1 dla zmiennej x;
iloczyn trójmianów kwadratowych o współczynniku wiodącym 1 iz ujemnym wyróżnikiem ich pierwiastków.

Oto kilka przykładów takich nierówności:

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Algorytm rozwiązywania tego rodzaju nierówności piszemy, jak podaliśmy w przykładach, metodą przedziałową:

znajdujemy zera licznika i mianownika, w tym celu przyrównujemy licznik i mianownik wyrażenia po lewej stronie nierówności do zera i rozwiązujemy otrzymane równania;
określić punkty odpowiadające znalezionym zerom i zaznaczyć je myślnikami na osi współrzędnych;
zdefiniuj znaki ekspresji f(x) od lewej strony rozwiązanej nierówności na każdym przedziale i umieść je na wykresie;
zastosuj kreskowanie na żądanych sekcjach wykresu, kierując się następna zasada: w przypadku, gdy nierówność ma oznaki< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >lub ≥ , następnie wybieramy zacieniowaniem obszary oznaczone znakiem „+”.

Rysunek, z którym będziemy pracować, może mieć schematyczny widok. Nadmiar szczegółów może przeciążyć rysunek i utrudnić podjęcie decyzji. Skala nas nie interesuje. Wystarczy się przykleić poprawna lokalizacja punktów wraz ze wzrostem wartości ich współrzędnych.

Pracując ze ścisłymi nierównościami, posłużymy się zapisem punktu w postaci koła z niewypełnionym (pustym) środkiem. W przypadku nierówności nieścisłych punkty odpowiadające zerom mianownika zostaną pokazane jako puste, a cała reszta jako zwykła czerń.

Zaznaczone punkty dzielą linię współrzędnych na kilka przedziałów liczbowych. To pozwala nam uzyskać geometryczną reprezentację zbioru liczb, który jest w rzeczywistości rozwiązaniem danej nierówności.

Podstawy naukowe metody luki

Podejście leżące u podstaw metody przedziałowej opiera się na następującej właściwości funkcji ciągłej: funkcja zachowuje stały znak na przedziale (a, b), na którym funkcja ta jest ciągła i nie zanika. Ta sama nieruchomość jest typowa dla promienie liczbowe(−∞ , a) i (a , +∞).

Powyższą właściwość funkcji potwierdza twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego, które jest podawane w wielu podręcznikach przygotowujących do egzaminów wstępnych.

Możliwe jest również uzasadnienie stałości znaku na przedziałach na podstawie własności nierówności liczbowych. Na przykład weźmy nierówność x - 5 x + 1 > 0 . Jeśli znajdziemy zera licznika i mianownika i umieścimy je na osi liczbowej, otrzymamy serię przerw: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) i (5 , + ∞) .

Weźmy dowolny z przedziałów i pokażmy na nim, że na całym przedziale wyrażenie z lewej strony nierówności będzie miało znak stały. Niech to będzie przedział (− ∞ , − 1) . Weźmy dowolną liczbę t z tego przedziału. Spełni warunki t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Wykorzystując zarówno uzyskane nierówności, jak i własność nierówności liczbowych, możemy założyć, że t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения T na przedziale (− ∞ , − 1) .

Korzystając z reguły dzielenia liczb ujemnych, możemy stwierdzić, że wartość wyrażenia t - 5 t + 1 będzie dodatnia. Oznacza to, że wartość wyrażenia x - 5 x + 1 będzie dodatnia dla dowolnej wartości x z przepaści (− ∞ , − 1) . Wszystko to pozwala stwierdzić, że na przykładowym przedziale wyrażenie ma znak stały. W naszym przypadku jest to znak „+”.

Znajdowanie zer licznika i mianownika

Algorytm znajdowania zer jest prosty: przyrównujemy wyrażenia z licznika i mianownika do zera i rozwiązujemy otrzymane równania. Jeśli masz jakiekolwiek trudności, możesz zapoznać się z tematem „Rozwiązywanie równań przez faktoring”. W tej sekcji ograniczamy się do przykładu.

Rozważ ułamek x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Aby znaleźć zera licznika i mianownika, przyrównujemy je do zera, aby otrzymać i rozwiązać równania: x (x − 0, 6) = 0 i x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

W pierwszym przypadku możemy przejść do układu dwóch równań x = 0 i x − 0 , 6 = 0 , co daje nam dwa pierwiastki 0 i 0 , 6 . To są zera licznika.

Drugie równanie jest równoważne układowi trzech równań x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Przeprowadzamy serię przekształceń i otrzymujemy x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Pierwiastek pierwszego równania to 0, drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ ma ujemny dyskryminator, pierwiastek trzeciego równania to 5. To są zera mianownika.

0 w tym przypadku jest zarówno zerem licznika, jak i zerem mianownika.

W ogólnym przypadku, gdy po lewej stronie nierówności znajduje się ułamek, który niekoniecznie jest racjonalny, licznik i mianownik są również przyrównywane do zera, aby uzyskać równania. Rozwiązywanie równań pozwala znaleźć zera licznika i mianownika.

Wyznaczenie znaku przedziału jest proste. W tym celu można znaleźć wartość wyrażenia z lewej strony nierówności dla dowolnego dowolnie wybranego punktu z danego przedziału. Wynikowy znak wartości wyrażenia w dowolnie wybranym punkcie przedziału będzie pokrywał się ze znakiem całego przedziału.

Spójrzmy na to stwierdzenie na przykładzie.

Weźmy nierówność x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Wyrażenie znajdujące się po lewej stronie nierówności nie zawiera zer w liczniku. Mianownikiem zero będzie liczba – 3 . Dostajemy dwie przerwy na osi liczbowej (− ∞ , − 3) i (− 3 , + ∞) .

W celu wyznaczenia znaków przedziałów wyliczamy wartość wyrażenia x 2 - x + 4 x + 3 dla punktów pobranych arbitralnie na każdym z przedziałów.

Od pierwszego interwału (− ∞ , − 3) weź - 4 . Na x = -4 mamy (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Mamy negatywne znaczenie, więc cały przedział będzie ze znakiem „-”.

Na rozpiętość (− 3 , + ∞) wykonajmy obliczenia z punktem o zerowej współrzędnej. Dla x = 0 mamy 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Otrzymaliśmy wartość dodatnią, co oznacza, że cały przedział będzie miał znak „+”.

Możesz użyć innego sposobu definiowania znaków. W tym celu możemy znaleźć znak na jednym z przedziałów i zapisać go lub zmienić przy przejściu przez zero. Aby zrobić wszystko poprawnie, należy przestrzegać zasady: przechodząc przez zero mianownika, ale nie licznika, lub licznika, ale nie mianownika, możemy zmienić znak na przeciwny, jeśli stopień wyrażenie dające to zero jest nieparzyste i nie możemy zmienić znaku, jeśli stopień jest parzysty. Jeśli otrzymamy punkt, który jest jednocześnie zerem licznika i mianownika, to zmiana znaku na przeciwny jest możliwa tylko wtedy, gdy suma potęg wyrażeń dających to zero jest nieparzysta.

Jeśli przypomnimy sobie nierówność, którą rozważaliśmy na początku pierwszego akapitu tego materiału, to na skrajnym prawym przedziale możemy umieścić znak „+”.

Przejdźmy teraz do przykładów.

Weź nierówność (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 i rozwiąż ją metodą przedziałową. Aby to zrobić, musimy znaleźć zera licznika i mianownika i zaznaczyć je na linii współrzędnych. Zera licznika będą punktami 2 , 3 , 4 , mianownik punktu 1 , 3 , 4 . Zaznaczamy je na osi współrzędnych za pomocą kresek.

Zera mianownika zaznaczono pustymi kropkami.

Ponieważ mamy do czynienia z nieścisłą nierównością, pozostałe myślniki zastępujemy zwykłymi kropkami.

Teraz umieśćmy kropki na interwałach. Najbardziej po prawej stronie (4, +∞) będzie znak +.

Przechodząc od prawej do lewej zaznaczymy pozostałe luki. Przechodzimy przez punkt o współrzędnej 4 . Jest to zarówno zero licznika, jak i mianownik. W sumie te zera dają wyrażenia (x-4) 2 I x − 4. Dodajemy ich potęgi 2 + 1 = 3 i otrzymujemy liczba nieparzysta. Oznacza to, że znak w przejściu w tym przypadku zmienia się na przeciwny. W przedziale (3, 4) pojawi się znak minus.

Przechodzimy do przedziału (2 , 3) przez punkt o współrzędnej 3 . Jest to również zero zarówno dla licznika, jak i mianownika. Uzyskaliśmy to dzięki dwóm wyrażeniom (x − 3) 3 i (x − 3) 5, którego suma potęg wynosi 3 + 5 = 8 . Uzyskanie liczby parzystej pozwala nam pozostawić znak przedziału bez zmian.

Punkt o współrzędnej 2 jest zerem licznika. Stopień wyrażenia x - 2 jest równy 1 (nieparzysty). Oznacza to, że przechodząc przez ten punkt, znak należy odwrócić.

Pozostaje nam ostatni przedział (− ∞ , 1) . Punkt o współrzędnej 1 jest mianownikiem zerowym. Wywodzi się z wyrażenia (x − 1) 4, z równym stopniem 4 . Dlatego znak pozostaje ten sam. Ostateczny rysunek będzie wyglądał tak:

Zastosowanie metody interwałowej jest szczególnie skuteczne w przypadkach, gdy obliczenie wartości wyrażenia wiąże się z dużym nakładem pracy. Przykładem może być potrzeba oceny wartości wyrażenia

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

w dowolnym punkcie przedziału 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Teraz zastosujmy zdobytą wiedzę i umiejętności w praktyce.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Rozwiązanie

Do rozwiązania nierówności wskazane jest zastosowanie metody przedziałów. Znajdź zera licznika i mianownika. Zera w liczniku to 1 i-5, zera w mianowniku to 7 i 1. Zaznaczmy je na osi liczbowej. Mamy do czynienia z nieścisłą nierównością, więc zera mianownika zaznaczymy pustymi kropkami, zero licznika - 5 zostanie zaznaczone regularną kropką wypełnioną.

Odkładamy znaki luk, stosując zasady zmiany znaku przy przejściu przez zero. Zacznijmy od skrajnie prawego przedziału, dla którego obliczamy wartość wyrażenia z lewej strony nierówności w punkcie arbitralnie wziętym z przedziału. Otrzymujemy znak „+”. Przejdźmy kolejno przez wszystkie punkty na linii współrzędnych, umieszczając znaki i otrzymajmy:

Pracujemy z nieścisłą nierównością o znaku ≤ . Oznacza to, że luki oznaczone znakiem „-” musimy zaznaczyć cieniowaniem.

Odpowiedź: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Rozwiązanie racjonalnych nierówności w większości przypadków wymaga ich wstępnego przekształcenia na: właściwy rodzaj. Dopiero wtedy możliwe staje się zastosowanie metody interwałowej. Algorytmy przeprowadzania takich przekształceń omówiono w materiale „Rozwiązanie racjonalnych nierówności”.

Rozważ przykład zamiany trójmianów kwadratowych na nierówności.

Przykład 2

Znajdź rozwiązanie nierówności (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Rozwiązanie

Zobaczmy, czy wyróżniki trójmianów kwadratowych w zapisie nierówności są naprawdę ujemne. Pozwoli nam to określić, czy postać tej nierówności pozwala zastosować do rozwiązania metodę przedziałową.

Oblicz dyskryminator dla trójmianu x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Teraz obliczmy wyróżnik dla trójmianu x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Jak widać, nierówność wymaga wstępnej transformacji. Aby to zrobić, reprezentujemy trójmian x 2 + 2 x − 8 as (x + 4) (x − 2), a następnie zastosuj metodę interwałową, aby rozwiązać nierówność (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Odpowiedź: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Uogólniona metoda luki służy do rozwiązywania nierówności postaci f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , gdzie f (x) jest dowolnym wyrażeniem z jedną zmienną x.

Wszystkie działania wykonywane są według określonego algorytmu. W tym przypadku algorytm rozwiązywania nierówności metodą przedziałów uogólnionych będzie się nieco różnił od tego, co analizowaliśmy wcześniej:

znajdź dziedzinę funkcji f i zera tej funkcji;
zaznacz punkty graniczne na osi współrzędnych;
wykreśl zera funkcji na osi liczbowej;
określić znaki interwałów;
stosujemy kreskowanie;
zapisz odpowiedź.

Na osi liczbowej należy również zaznaczyć poszczególne punkty dziedziny definicji. Na przykład dziedziną funkcji jest zbiór (− 5 , 1] ∪ (3) ∪ [ 4 , 7) ∪ (10) . Oznacza to, że musimy oznaczyć punkty o współrzędnych − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 I 10 . zwrotnica − 5 i 7 są pokazane jako puste, resztę można zaznaczyć kredką w celu odróżnienia ich od zer funkcji.

Zera funkcji w przypadku nierówności nieścisłych zaznaczono kropkami zwykłymi (zacieniowanymi), a dla nierówności ścisłych kropkami pustymi. Jeżeli zera pokrywają się z punktami granicznymi lub poszczególnymi punktami dziedziny definicji, to można je przekolorować na czarno, czyniąc je pustymi lub wypełnionymi, w zależności od rodzaju nierówności.

Rekord odpowiedzi to zestaw liczb obejmujący:

kreskowane luki;
oddzielić punkty dziedziny znakiem plus, jeśli mamy do czynienia z nierównością, której znak jest > lub ≥ lub znakiem minus, jeśli w nierówności występują znaki< или ≤ .

Teraz stało się jasne, że algorytm, który przedstawiliśmy na samym początku tematu, jest szczególnym przypadkiem algorytmu zastosowania uogólnionej metody przedziałowej.

Rozważ przykład zastosowania uogólnionej metody przedziałowej.

Przykład 3

Rozwiąż nierówność x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Rozwiązanie

Wprowadzamy funkcję f taką, że f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Znajdź dziedzinę funkcji F:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Teraz znajdźmy zera funkcji. Aby to zrobić, rozwiążemy irracjonalne równanie:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Otrzymujemy pierwiastek x = 12 .

Do wyznaczenia punktów granicznych na osi współrzędnych używamy kolor pomarańczowy. Punkty - 6, 4 zostaną wypełnione, a 7 pozostanie puste. Otrzymujemy:

Zero funkcji zaznaczamy pustą czarną kropką, ponieważ pracujemy ze ścisłą nierównością.

Znaki określamy na oddzielnych interwałach. Aby to zrobić, weź jeden punkt z każdego przedziału, na przykład 16 , 8 , 6 I − 8 i obliczyć w nich wartość funkcji F:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Umieszczamy znaki, które właśnie zdefiniowaliśmy, i nakładamy kreskowanie na przerwy ze znakiem minus:

Odpowiedzią będzie suma dwóch przedziałów ze znakiem "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

W odpowiedzi zamieściliśmy punkt o współrzędnej - 6 . Nie jest to zero funkcji, którego nie uwzględnilibyśmy w odpowiedzi przy rozwiązywaniu ścisłej nierówności, ale punkt graniczny dziedziny definicji, która mieści się w dziedzinie definicji. Wartość funkcji w tym momencie jest ujemna, co oznacza, że spełnia nierówność.

W odpowiedzi nie uwzględniliśmy punktu 4, podobnie jak nie uwzględniliśmy całego przedziału [4, 7]. W tym momencie, podobnie jak na całym określonym przedziale, wartość funkcji jest dodatnia, co nie spełnia rozwiązywanej nierówności.

Zapiszmy to jeszcze raz dla lepszego zrozumienia: kolorowe kropki muszą być zawarte w odpowiedzi w następujących przypadkach:

te kropki są częścią kreskowanej luki,
punkty te są odrębnymi punktami dziedziny funkcji, wartościami funkcji, w których spełniają rozwiązywaną nierówność.

Odpowiedź: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Metoda odstępów to prosty sposób na rozwiązanie ułamkowych nierówności racjonalnych. Jest to nazwa nierówności zawierających wyrażenia wymierne (lub ułamkowo-racjonalne) zależne od zmiennej.

1. Rozważmy na przykład następującą nierówność

Metoda interwałowa pozwala rozwiązać go w kilka minut.

Po lewej stronie tej nierówności znajduje się ułamkowa funkcja wymierna. Racjonalny, bo nie zawiera ani pierwiastków, ani sinusów, ani logarytmów - tylko wyrażenia wymierne. Po prawej jest zero.

Metoda przedziałowa opiera się na następującej właściwości ułamkowej funkcji wymiernej.

Funkcja wymierna ułamkowa może zmienić znak tylko w tych punktach, w których jest równa zero lub nie istnieje.

Przypomnij sobie, jak rozkładać na czynniki trójmian kwadratowy, czyli wyraz formy .

Gdzie i są korzenie równanie kwadratowe.

Rysujemy oś i układamy punkty, w których znikają licznik i mianownik.

Zera mianownika i są punktami przebitymi, ponieważ w tych punktach funkcja po lewej stronie nierówności nie jest zdefiniowana (nie można dzielić przez zero). Zera licznika i - są zacienione, ponieważ nierówność nie jest ścisła. Bo i nasza nierówność jest zaspokojona, ponieważ obie jej części są równe zeru.

Punkty te dzielą oś na interwały.

Wyznaczmy znak funkcji ułamkowo-wymiernej po lewej stronie naszej nierówności na każdym z tych przedziałów. Pamiętamy, że ułamkowa funkcja wymierna może zmienić znak tylko w tych punktach, w których jest równa zero lub nie istnieje. Oznacza to, że na każdym z odstępów między punktami, w których znika licznik lub mianownik, znak wyrażenia po lewej stronie nierówności będzie stały – albo „plus” albo „minus”.

A zatem, aby wyznaczyć znak funkcji na każdym takim przedziale, bierzemy dowolny punkt należący do tego przedziału. Ten, który nam odpowiada.
. Weźmy na przykład i sprawdź znak wyrażenia po lewej stronie nierówności. Każdy z „nawiasów” jest ujemny. Po lewej stronie znajduje się znak.

Następny przedział: . Sprawdźmy znak . Otrzymujemy, że lewa strona zmieniła znak na .

Weźmy . Gdy wyrażenie jest dodatnie — w związku z tym jest dodatnie w całym przedziale od do .

Dla , lewa strona nierówności jest ujemna.

I wreszcie class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Stwierdziliśmy, w jakich odstępach wyrażenie jest dodatnie. Pozostaje napisać odpowiedź:

Odpowiedź: .

Uwaga: znaki na interwałach występują naprzemiennie. Stało się tak, ponieważ przy przejściu przez każdy punkt dokładnie jeden z czynników liniowych zmienił znak, a reszta pozostała niezmieniona.

Widzimy, że metoda interwałowa jest bardzo prosta. Aby rozwiązać nierówność ułamkowo-racjonalną metodą przedziałów, sprowadzamy ją do postaci:

Lub class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\lewo(x \prawo))(\displaystyle Q\lewo(x \prawo)) > 0"> !}, albo albo .

(po lewej stronie - funkcja ułamkowo-wymierna, po prawej stronie - zero).

Następnie - zaznaczamy na osi liczbowej punkty, w których znika licznik lub mianownik.
Punkty te dzielą całą oś liczbową na przedziały, na każdym z których funkcja ułamkowo-wymierna zachowuje swój znak.
Pozostaje tylko znaleźć jego znak w każdym przedziale.
Robimy to, sprawdzając znak wyrażenia w dowolnym punkcie danego przedziału. Następnie spisujemy odpowiedź. To wszystko.

Ale pojawia się pytanie: czy znaki zawsze się zmieniają? Nie nie zawsze! Musimy uważać, aby nie umieszczać znaków mechanicznie i bezmyślnie.

2. Spójrzmy na kolejną nierówność.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \lewo(x-3\prawo))>0"> !}

Ponownie umieszczamy punkty na osi. Punkty i są przebijane, ponieważ są zerami mianownika. Kropka jest również przebita, ponieważ nierówność jest ścisła.

Gdy licznik jest dodatni, oba czynniki w mianowniku są ujemne. Łatwo to sprawdzić, biorąc dowolną liczbę z danego przedziału, na przykład . Po lewej stronie znajduje się napis:

Gdy licznik jest dodatni; pierwszy czynnik w mianowniku jest dodatni, drugi czynnik jest ujemny. Po lewej stronie znajduje się napis:

Kiedy sytuacja jest taka sama! Licznik jest dodatni, pierwszy czynnik w mianowniku jest dodatni, drugi ujemny. Po lewej stronie znajduje się napis:

Wreszcie z class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odpowiedź: .

Dlaczego zmienność znaków została zerwana? Bo przechodząc przez punkt, mnożnik „odpowiedzialny” za niego nie zmienił znaku. W konsekwencji cała lewa strona naszej nierówności również nie zmieniła znaku.

Wyjście: jeśli czynnik liniowy ma parzystą potęgę (na przykład w kwadracie), to podczas przechodzenia przez punkt znak wyrażenia po lewej stronie nie zmienia się. W przypadku nieparzystego stopnia znak oczywiście się zmienia.

3. Rozważ więcej trudna sprawa. Różni się od poprzedniego tym, że nierówność nie jest ścisła:

Lewa strona jest taka sama jak w poprzednim zadaniu. Obraz znaków będzie taki sam:

Może odpowiedź będzie taka sama? Nie! Rozwiązanie jest dodawane Dzieje się tak, ponieważ w , zarówno lewa, jak i prawa strona nierówności są równe zero - dlatego ten punkt jest rozwiązaniem.

Odpowiedź: .

W problemie na egzaminie z matematyki taka sytuacja jest często spotykana. Tutaj kandydaci wpadają w pułapkę i tracą punkty. Bądź ostrożny!

4. Co się stanie, jeśli licznika lub mianownika nie da się rozłożyć na czynniki liniowe? Rozważ tę nierówność:

Trójmianu kwadratowego nie można podzielić na czynniki: wyróżnik jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ale to dobrze! Oznacza to, że znak wyrażenia jest dla wszystkich taki sam, a konkretnie pozytywny. Możesz przeczytać więcej na ten temat we właściwościach artykułu. funkcja kwadratowa.

A teraz możemy podzielić obie strony naszej nierówności przez wartość, która jest pozytywna dla wszystkich. Dochodzimy do równoważnej nierówności:

Co można łatwo rozwiązać metodą interwałową.

Uwaga – podzieliliśmy obie strony nierówności przez wartość, o której na pewno wiedzieliśmy, że jest dodatnia. Oczywiście w ogólnym przypadku nie należy mnożyć ani dzielić nierówności przez zmienny, którego znak jest nieznany.

5 . Rozważmy inną nierówność, pozornie dość prostą:

Więc chcę to pomnożyć przez . Ale już jesteśmy sprytni i nie zrobimy tego. W końcu może być zarówno pozytywny, jak i negatywny. A wiemy, że jeśli obie części nierówności pomnożymy przez wartość ujemną, to znak nierówności ulegnie zmianie.

Postąpimy inaczej – zbierzemy wszystko w jedną część i doprowadzimy do wspólnego mianownika. Zero pozostanie po prawej stronie:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

A potem - dotyczy metoda interwałowa.

1. Rozważmy na przykład następującą nierówność

Metoda interwałowa pozwala rozwiązać go w kilka minut.

Metoda przedziałowa opiera się na następującej właściwości ułamkowej funkcji wymiernej.

Funkcja wymierna ułamkowa może zmienić znak tylko w tych punktach, w których jest równa zero lub nie istnieje.

Przypomnij sobie, jak rozkładany jest trójmian kwadratowy, czyli wyrażenie postaci .

Gdzie i są pierwiastkami równania kwadratowego.

Rysujemy oś i układamy punkty, w których znikają licznik i mianownik.

Punkty te dzielą oś na interwały.

Następny przedział: . Sprawdźmy znak . Otrzymujemy, że lewa strona zmieniła znak na .

Weźmy . Gdy wyrażenie jest dodatnie — w związku z tym jest dodatnie w całym przedziale od do .

Dla , lewa strona nierówności jest ujemna.

Stwierdziliśmy, w jakich odstępach wyrażenie jest dodatnie. Pozostaje napisać odpowiedź:

Odpowiedź: .

Widzimy, że metoda interwałowa jest bardzo prosta. Aby rozwiązać nierówność ułamkowo-racjonalną metodą przedziałów, sprowadzamy ją do postaci:

Lub class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\lewo(x \prawo))(\displaystyle Q\lewo(x \prawo)) > 0"> !}, albo albo .

(po lewej stronie - funkcja ułamkowo-wymierna, po prawej stronie - zero).

Ale pojawia się pytanie: czy znaki zawsze się zmieniają? Nie nie zawsze! Musimy uważać, aby nie umieszczać znaków mechanicznie i bezmyślnie.

2. Spójrzmy na kolejną nierówność.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \lewo(x-3\prawo))>0"> !}

Ponownie umieszczamy punkty na osi. Punkty i są przebijane, ponieważ są zerami mianownika. Kropka jest również przebita, ponieważ nierówność jest ścisła.

Gdy licznik jest dodatni, oba czynniki w mianowniku są ujemne. Łatwo to sprawdzić, biorąc dowolną liczbę z danego przedziału, na przykład . Po lewej stronie znajduje się napis:

Gdy licznik jest dodatni; pierwszy czynnik w mianowniku jest dodatni, drugi czynnik jest ujemny. Po lewej stronie znajduje się napis:

Kiedy sytuacja jest taka sama! Licznik jest dodatni, pierwszy czynnik w mianowniku jest dodatni, drugi ujemny. Po lewej stronie znajduje się napis:

Wreszcie z class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odpowiedź: .

3. Rozważmy bardziej skomplikowany przypadek. Różni się od poprzedniego tym, że nierówność nie jest ścisła:

Lewa strona jest taka sama jak w poprzednim zadaniu. Obraz znaków będzie taki sam:

Odpowiedź: .

W problemie na egzaminie z matematyki taka sytuacja jest często spotykana. Tutaj kandydaci wpadają w pułapkę i tracą punkty. Bądź ostrożny!

4. Co się stanie, jeśli licznika lub mianownika nie da się rozłożyć na czynniki liniowe? Rozważ tę nierówność:

Trójmianu kwadratowego nie można podzielić na czynniki: wyróżnik jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ale to dobrze! Oznacza to, że znak wyrażenia jest dla wszystkich taki sam, a konkretnie pozytywny. Więcej na ten temat można przeczytać w artykule o właściwościach funkcji kwadratowej.

A teraz możemy podzielić obie strony naszej nierówności przez wartość, która jest pozytywna dla wszystkich. Dochodzimy do równoważnej nierówności:

Co można łatwo rozwiązać metodą interwałową.

5 . Rozważmy inną nierówność, pozornie dość prostą:

Postąpimy inaczej – zbierzemy wszystko w jedną część i doprowadzimy do wspólnego mianownika. Zero pozostanie po prawej stronie:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

A potem - dotyczy metoda interwałowa.

Jak rozwiązywać nierówności metodą przedziałową (algorytm z przykładami)

Przykład . (zadanie z OGE) Rozwiąż nierówność metodą interwałową \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Rozwiązanie:

Odpowiedź : \((7;7+\sqrt(11))\)

Przykład . Rozwiąż nierówność metodą interwałową \(≥0\)
Rozwiązanie:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Tutaj na pierwszy rzut oka wszystko wydaje się normalne, a nierówności sprowadzane są początkowo do pożądanej formy. Ale tak nie jest - w końcu w pierwszym i trzecim nawiasie licznika x jest ze znakiem minus. Przekształcamy nawiasy, biorąc pod uwagę fakt, że czwarty stopień jest parzysty (to znaczy usunie znak minus), a trzeci jest nieparzysty (to znaczy go nie usunie). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Lubię to. Teraz zwracamy nawiasy „na miejscu” już przekonwertowane.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Teraz wszystkie nawiasy wyglądają tak, jak powinny (najpierw pojawia się niepodpisany kolor, a dopiero potem liczba). Ale przed licznikiem był minus. Usuwamy ją mnożąc nierówność przez \(-1\), nie zapominając o odwróceniu znaku porównania
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Gotowy. Teraz nierówność wygląda dobrze. Możesz użyć metody interwałowej.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Umieśćmy punkty na osi, znaki i zamalujmy niezbędne luki.
		W przedziale od \(4\) do \(6\) znak nie musi być zmieniany, ponieważ nawias \((x-6)\) jest równy (patrz paragraf 4 algorytmu) . Flaga będzie przypomnieniem, że szóstka to także rozwiązanie nierówności. Zapiszmy odpowiedź.

Odpowiedź : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\lewo\(6\prawo\)\)

Przykład.(Zlecenie z OGE) Rozwiąż nierówność metodą przedziałową \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Rozwiązanie:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Lewa i prawa strona są takie same - to oczywiście nie jest przypadkowe. Pierwszym pragnieniem jest dzielenie przez \(-x^2-64\), ale jest to błąd, ponieważ istnieje szansa na utratę korzenia. Zamiast tego przenieś \(64(-x^2-64)\) do lewa strona
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Usuń minus z pierwszego nawiasu i rozłóż drugi
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Zauważ, że \(x^2\) jest albo zerem, albo większym od zera. Oznacza to, że \(x^2+64\) jest jednoznacznie dodatnie dla dowolnej wartości x, to znaczy, że to wyrażenie w żaden sposób nie wpływa na znak po lewej stronie. Dlatego możemy bezpiecznie podzielić obie części nierówności za pomocą tego wyrażenia. Podzielmy również nierówność przez \(-1\), aby pozbyć się minusa.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Teraz możesz zastosować metodę interwałową
\(x=8;\) \(x=-8\)		Zapiszmy odpowiedź