Ciągi liczbowe i sposoby ich ustawiania. Zadanie do pracy praktycznej „Określanie ciągów liczbowych na różne sposoby, obliczanie członków ciągu

W tej lekcji rozpoczniemy badanie progresji. Tutaj zapoznamy się z sekwencją liczb i sposobem jej ustawienia.

Najpierw przypominamy sobie definicję i własności funkcji argumentów liczbowych i rozważamy szczególny przypadek funkcji, gdy x należy do zbioru liczby naturalne. Podajemy definicję ciągu liczbowego i podajemy kilka przykładów. Pokażemy analityczny sposób określania ciągu za pomocą wzoru jego n-tego elementu i rozważymy kilka przykładów określania i określania ciągu. Następnie rozważ werbalne i powtarzające się przypisanie sekwencji.

Temat: Progresje

Lekcja: Sekwencja numeryczna i jak to ustawić

1. Powtórzenie

Sekwencja numeryczna, jak zobaczymy, jest to szczególny przypadek funkcji, więc pamiętajmy o definicji funkcji.

Funkcja to prawo, zgodnie z którym każdej prawidłowej wartości argumentu przypisywana jest unikalna wartość funkcji.

Oto przykłady znanych funkcji.

Ryż. 1. Wykres funkcji

Dozwolone są wszystkie wartości z wyjątkiem 0. Wykres tej funkcji to hiperbola (patrz rys. 1).

2.. Wszystkie wartości są dozwolone, .

Ryż. 2. Wykres funkcji

Harmonogram funkcja kwadratowa- parabola, zaznaczono również punkty charakterystyczne (patrz rys. 2).

3..

Ryż. 3. Wykres funkcji

Wszystkie wartości x są dozwolone. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą (patrz rys. 3).

2. Definicja ciągu liczbowego

Jeśli x przyjmuje tylko wartości naturalne (), to mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem, a mianowicie ciągiem liczbowym.

Przypomnijmy, że liczby naturalne to 1, 2, 3, …, n, …

Funkcja , gdzie , jest nazywana funkcją argumentu naturalnego lub ciągu liczbowego i jest oznaczona następująco: lub , lub .

Wyjaśnijmy, na przykład, co oznacza notacja.

Jest to wartość funkcji, gdy n=1, czyli .

Jest to wartość funkcji, gdy n=2 tj. itd...

Jest to wartość funkcji, gdy argumentem jest n, tj. .

3. Przykładowe sekwencje

1. to ogólny termin formuła. Ustawiamy różne wartości n, otrzymujemy różne wartości y - członków ciągu.

Gdy n=1; , gdy n=2 itd., .

Liczby są członkami danego ciągu, a punkty leżeć na hiperboli - wykres funkcji (patrz ryc. 4).

Ryż. 4. Wykres funkcji

Jeśli n=1, to ; jeśli n=2, to ; jeśli n=3, to itd.

Liczby należą do danego ciągu, a punkty leżą na paraboli - wykresie funkcji (patrz rys. 5).

Ryż. 5. Wykres funkcji

Ryż. 6. Wykres funkcji

Jeśli n=1, to ; jeśli n=2 to ; jeśli n=3 to itp.

Liczby są członkami danego ciągu, a punkty leżą na linii prostej - wykres funkcji (patrz rys. 6).

4. Metoda analityczna określania sekwencji

Istnieją trzy sposoby określania sekwencji: analityczna, werbalna i rekurencyjna. Rozważmy szczegółowo każdy z nich.

Ciąg jest podany analitycznie, jeśli podano wzór jego n-tego członu.

Spójrzmy na kilka przykładów.

1. Znajdź kilka członków ciągu, który jest określony wzorem n-tego elementu: (analityczny sposób określenia ciągu).

Decyzja. Jeśli n=1, to ; jeśli n=2, to ; jeśli n=3 to itp.

Dla danej sekwencji znajdujemy i .

.

.

2. Rozważmy ciąg podany wzorem n-tego elementu: (analityczny sposób określenia ciągu).

Znajdźmy kilku członków tej sekwencji.

Jeśli n=1, to ; jeśli n=2 to ; jeśli n=3 to itp.

Ogólnie rzecz biorąc, nietrudno zrozumieć, że członkami tego ciągu są te liczby, które po podzieleniu przez 4 dają resztę 1.

a. Dla podanej sekwencji znajdź .

Decyzja: . Odpowiedź: .

b. Podane są dwie liczby: 821, 1282. Czy są to liczby należące do danego ciągu?

Aby liczba 821 była członkiem ciągu, konieczne jest, aby równość: lub . Ostatnia równość jest równaniem na n. Jeśli decyzja podane równanie jest liczbą naturalną, to odpowiedź brzmi tak.

W tym przypadku tak jest. .

Odpowiedź: tak, 821 należy do podanej sekwencji, .

Przejdźmy do drugiej liczby. Podobne rozumowanie prowadzi nas do rozwiązania równania: .

Odpowiedź: ponieważ n nie jest liczbą naturalną, liczba 1282 nie należy do podanego ciągu.

Formuły, które analitycznie definiują ciąg, mogą być bardzo różne: proste, złożone itp. Wymaganie dla nich jest takie samo: każda wartość n musi odpowiadać jednej liczbie.

3. Dane: sekwencja jest określona następującym wzorem.

Znajdź pierwsze trzy elementy sekwencji.

, , .

Odpowiedź: , , .

4. Czy liczby należą do ciągu?

a. , tj. . Rozwiązując to równanie, otrzymujemy . To jest liczba naturalna.

Odpowiedź: pierwsza podana liczba jest członkiem tej sekwencji, czyli jej piątym członkiem.

b. , tj. . Rozwiązując to równanie, otrzymujemy . To jest liczba naturalna.

Odpowiedź: druga podana liczba jest również członkiem tej sekwencji, a mianowicie jej dziewięćdziesiątym dziewiątym członkiem.

5. Werbalny sposób ustawiania sekwencji

Rozważaliśmy analityczny sposób określenia ciągu liczbowego. Jest wygodny, powszechny, ale nie jedyny.

Następnym sposobem jest słowne przypisanie sekwencji.

Ciąg, każdy z jego członków, możliwość obliczenia każdego z jego członków można określić słowami, niekoniecznie formułami.

Przykład 1 Ciąg liczb pierwszych.

Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą liczbę. Liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 itd.

Jest ich niezliczona ilość. Euklides udowodnił również, że ciąg tych liczb jest nieskończony, to znaczy nie ma największej liczby pierwszej. Sekwencja jest podana, każdy termin można obliczyć, żmudny, ale można obliczyć. Ta sekwencja jest podawana ustnie. Niestety formuły nie są dostępne.

Przykład 2 Weź pod uwagę liczbę = 1,41421…

To jest Liczba niewymierna, jego notacja dziesiętna zapewnia nieskończoną liczbę cyfr. Rozważmy ciąg dziesiętnych przybliżeń liczby przez niedobór: 1; 1.4; 1,41; 1.414; 1.4142; itp.

Członów tej sekwencji jest nieskończenie wiele, każdy z nich można obliczyć. Nie da się ustalić tej sekwencji za pomocą wzoru, więc opisujemy ją werbalnie.

6. Rekurencyjny sposób określania sekwencji

Rozważaliśmy dwa sposoby określenia ciągu liczbowego:

1. Metoda analityczna, gdy podany jest wzór n-tego elementu.

2. Słowne przyporządkowanie sekwencji.

I wreszcie, mamy do czynienia z sekwencjonowaniem rekurencyjnym, gdy podane są zasady obliczania n-tego członu z poprzednich członów.

Rozważać

Przykład 1 Ciąg Fibonacciego (XIII wiek).

Odniesienie do historii:

Leonardo z Pizy (ok. 1170, Piza - ok. 1250) - pierwszy główny matematyk średniowieczna Europa. Najbardziej znany jest pod pseudonimem Fibonacci.

Wiele z tego, czego się dowiedział, przedstawił w swojej znakomitej Księdze liczydła (Liber abaci, 1202; do dziś zachował się jedynie uzupełniony rękopis z 1228 r.). Ta książka zawiera prawie wszystkie informacje arytmetyczne i algebraiczne z tamtych czasów, przedstawione z wyjątkową kompletnością i głębią. „Księga liczydła” znacznie wznosi się ponad europejską literaturę arytmetyczną i algebraiczną XII-XIV wieku. różnorodność i siła metod, bogactwo zadań, dowody prezentacji. Kolejni matematycy szeroko czerpali z niej zarówno problemy, jak i metody ich rozwiązywania. Według pierwszej książki wiele pokoleń europejskich matematyków studiowało indyjski system liczb pozycyjnych.

Podane są dwa pierwsze terminy, a każdy kolejny termin jest sumą dwóch poprzednich

jeden; jeden; 2; 3; 5; osiem; trzynaście; 21; 34; 55; ... to kilka pierwszych członków ciągu Fibonacciego.

Ta sekwencja jest podawana rekurencyjnie, n-ty termin zależy od dwóch poprzednich.

Przykład 2

W tym ciągu każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o 2. Taki ciąg nazywamy postępem arytmetycznym.

Liczby 1, 3, 5, 7... są pierwszymi członkami tej sekwencji.

Podajmy jeszcze jeden przykład rekurencyjnego przypisania sekwencji.

Przykład 3

Sekwencja jest podana w następujący sposób:

Każdy kolejny wyraz tego ciągu otrzymujemy mnożąc wyraz poprzedni przez tę samą liczbę q. Taka sekwencja ma specjalną nazwę - postęp geometryczny. W następnych lekcjach przedmiotem naszych badań będą postępy arytmetyczne i geometryczne.

Znajdźmy niektóre elementy określonej sekwencji w b=2 i q=3.

Liczby 2; 6; osiemnaście; 54; 162 ... to kilka pierwszych członków tej sekwencji.

Co ciekawe, tę sekwencję można również określić analitycznie, czyli wybrać formułę. W takim przypadku formuła będzie następująca.

Rzeczywiście: jeśli n=1, to ; jeśli n=2, to ; jeśli n=3 to itp.

Stwierdzamy zatem, że tę samą sekwencję można podać zarówno analitycznie, jak i rekurencyjnie.

7. Podsumowanie lekcji

Zastanowiliśmy się więc, czym jest ciąg liczbowy i jak go ustawić.

W następnej lekcji zapoznamy się z właściwościami ciągów liczbowych.

1. Makarychev Yu N. i wsp. Algebra klasa 9 (podręcznik dla szkoły średniej).-M.: Edukacja, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra dla klasy 9 z pogłębieniem. nauka matematyka.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu N., Mindyuk N. G. Dodatkowe rozdziały do ​​szkolnego podręcznika do klasy algebry 9.-M.: Edukacja, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbiór zadań z algebry dla 8-9 klas ( instruktaż dla uczniów szkół i klas z pogłębieniem. nauka matematyka).-M.: Edukacja, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra klasa 9, podręcznik dla instytucji edukacji ogólnej. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra klasa 9, książka problemowa dla instytucji edukacyjnych. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Historia matematyki w szkole. Klasy 7-8 (przewodnik dla nauczycieli).-M.: Oświecenie, 1983.

1. Sekcja Kolegium. ru w matematyce.

2. Portal Nauk Przyrodniczych.

3. Wykładniczy. ru Edukacyjna strona matematyczna.

1. Nr 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. i in. Algebra Grade 9).

2. Nr 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbiór problemów z algebry dla klas 8-9).

Algebra. Stopień 9
Lekcja #32
Data:_____________
Nauczyciel: Gorbenko Alena Sergeevna
Temat: Ciąg liczbowy, sposoby jego ustawiania i właściwości
Rodzaj lekcji: połączone
Cel lekcji: podanie pojęcia i definicji ciągu liczbowego, rozważenie sposobów
przypisania ciągów liczbowych
Zadania:
Edukacyjne: zapoznanie uczniów z pojęciem ciągu liczbowego i członka
ciąg liczbowy; zapoznaj się z analitycznymi, werbalnymi, powtarzalnymi i
graficzne sposoby ustawiania ciągu liczbowego; rozważ rodzaje liczb
sekwencje; przygotowanie do EAEA;
Rozwijanie: rozwój umiejętności matematycznych, myślenia, technik obliczeniowych, umiejętności
porównania przy wyborze formuły; zaszczepienie zainteresowania matematyką;
Wychowawcze: kształcenie umiejętności samodzielnego działania; jasność i
organizacja pracy; umożliwić każdemu uczniowi odniesienie sukcesu;
Wyposażenie: przybory szkolne, tablica, kreda, podręcznik, materiały informacyjne.
Podczas zajęć
I. Organizowanie czasu
 Wzajemne powitanie;
 Naprawianie nieobecnych;
 Ogłoszenie tematu lekcji;
 Wyznaczanie celów i zadań lekcji przez uczniów.
Sekwencja jest jednym z najbardziej podstawowych pojęć w matematyce. Sekwencja może
składać się z liczb, punktów, funkcji, wektorów itp.
Dzisiaj na lekcji zapoznamy się z pojęciem „ciągu liczbowego”, dowiemy się co
mogą być sekwencje, zapoznajmy się ze słynnymi sekwencjami.

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Czy znasz funkcje zdefiniowane na całej osi liczbowej lub na jej ciągłej?
III.
interwały:
funkcja liniowa y \u003d kx + v,
funkcja kwadratowa y \u003d ax2 + inx + c,


 funkcja y =



 funkcja y = |x|.
Przygotowanie do percepcji nowej wiedzy
bezpośrednia proporcjonalność y \u003d kx,
odwrotna proporcjonalność y \u003d k / x,
funkcja sześcienna y = x3,
,
Ale są funkcje zdefiniowane w innych zestawach.
Przykład. Wiele rodzin ma zwyczaj, rodzaj rytuału: na urodziny dziecka
rodzice prowadzą go do Framuga i uroczyście świętuj na nim wzrost urodzinowego mężczyzny.
Dziecko rośnie, a z biegiem lat na ościeżnicy pojawia się cała drabina śladów. Trzy, pięć, dwa: to jest
sekwencja wzrostu z roku na rok. Ale jest jeszcze inna sekwencja, a mianowicie
jego członkowie są starannie wypisani obok szeryfów. To jest sekwencja wartości wzrostu.
Te dwie sekwencje są ze sobą powiązane.
Drugi otrzymuje się z pierwszego przez dodanie.
Wzrost to suma zysków ze wszystkich poprzednich lat.
Rozważ jeszcze kilka kwestii.
Zadanie 1. W magazynie jest 500 ton węgla, codziennie dowozi się 30 t. Ile węgla będzie
na stanie w 1 dzień? 2 dni? 3 dni? Dzień 4? Dzień 5?
(Odpowiedzi uczniów są zapisane na tablicy: 500, 530, 560, 590, 620).
Zadanie 2. W okresie intensywnego wzrostu osoba rośnie średnio o 5 cm rocznie. Teraz rośnie
uczeń S. ma 180 cm wzrostu, jaki będzie miał w 2026 roku? (2m 30 cm). Ale tak się nie stanie
może. Czemu?
Zadanie 3. Każdego dnia każdy chory na grypę może zarazić 4 inne osoby.
Za ile dni zachorują wszyscy uczniowie naszej szkoły (300 osób)? (Po 4 dniach).
Są to przykłady funkcji zdefiniowanych na zbiorze liczb naturalnych - liczbowych
sekwencje.
Celem lekcji jest: Znaleźć sposoby na znalezienie dowolnego członka sekwencji.
Cele lekcji: Dowiedz się, czym jest sekwencja liczbowa i w jaki sposób
sekwencje.
IV. Nauka nowego materiału
Definicja: Sekwencja liczbowa to funkcja zdefiniowana w zbiorze
liczby naturalne (ciągi stanowią takie elementy przyrody, które:
można ponumerować).
Koncepcja ciągu liczbowego powstała i rozwinęła się na długo przed powstaniem doktryny
Funkcje. Oto przykłady nieskończonych sekwencji liczb znanych w
starożytności:
1, 2, 3, 4, 5, : ciąg liczb naturalnych;
2, 4, 6, 8, 10, : ciąg liczb parzystych;
1, 3, 5, 7, 9, : ciąg liczb nieparzystych;
1, 4, 9, 16, 25, : ciąg kwadratów liczb naturalnych;
2, 3, 5, 7, 11, : ciąg liczb pierwszych;
,
1,
Liczba członków każdej z tych serii jest nieskończona; pierwsze pięć sekwencji
, : ciąg odwrotności liczb naturalnych.
,
monotonicznie wzrastające, drugie monotonicznie malejące.

Oznaczenie: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:sequence numer elementu sekwencji.
(yn) sekwencja, yn-ty element sekwencji.
(an) sekwencja, n-ty element sekwencji.
an1 jest poprzednim elementem ciągu,
jeden+1 kolejny element sekwencji.
Sekwencje są skończone i nieskończone, rosną i maleją.
Zadania dla uczniów: Zapisz pierwszych 5 członków ciągu:
Od pierwszej liczby naturalnej zwiększ o 3.
Od 10 zwiększ 2 razy i zmniejsz o 1.
Od liczby 6 naprzemiennie zwiększaj 2 i zwiększaj 2 razy.
Te serie liczb są również nazywane sekwencjami liczb.
Metody sekwencjonowania:
werbalny sposób.
Zasady sekwencjonowania opisane są słowami, bez formuł lub
gdy nie ma regularności między elementami ciągu.
Przykład 1. Ciąg liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Przykład 2. Dowolny zestaw liczb: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Przykład 3. Ciąg liczb parzystych 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analityczny sposób.
Dowolny n-ty element sekwencji można określić za pomocą wzoru.
Przykład 1. Ciąg liczb parzystych: y = 2n.
Przykład 2. Ciąg kwadratu liczb naturalnych: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Przykład 3. Sekwencja stacjonarna: y = C; C, C, C, ..., C, ...
szczególny przypadek: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Przykład 4. Sekwencja y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
sposób rekurencyjny.
Określono regułę, która pozwala na obliczenie n-tego elementu ciągu, jeśli
znane są jego poprzednie elementy.
Przykład 1. Postęp arytmetyczny: a1=a, an+1=an+d, gdzie a i d to podane liczby, d
różnica postępu arytmetycznego. Niech a1=5, d=0,7, to ciąg arytmetyczny
będzie wyglądać tak: 5; 5,7; 6.4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
Przykład 2. Postęp geometryczny: b1= b, bn+1= bnq, gdzie b i q są liczbami, b
0,
0; q jest mianownikiem postęp geometryczny. Niech b1=23, q=½, potem geometryczny
q
progresja będzie wyglądać tak: 23; 11,5; 5,75; 2.875; ... .
4) Graficzny sposób. Sekwencja numeryczna
podany przez wykres, który jest
pojedyncze kropki. Odcięte te punkty są naturalne
liczby: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordynacje - wartości członków
sekwencje: a1; a2; a3; a4;…
Przykład: Zapisz wszystkie pięć członków ciągu liczb,
podane w sposób graficzny.
Decyzja.
Każdy punkt na tej płaszczyźnie współrzędnych ma
współrzędne (n; an). Zapisz współrzędne zaznaczonych punktów
rosnąco odcięta n.
Otrzymujemy: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Dlatego a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Odpowiedź: 3; jeden; 4; 6; 7.
V. Konsolidacja pierwotna badanego materiału
Przykład 1. Napisz możliwą formułę dla n-tego elementu ciągu (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Decyzja.
a) To jest sekwencja liczby nieparzyste. Analitycznie ta sekwencja może być:
określone wzorem y = 2n+1.
b) Jest to ciąg liczbowy, w którym kolejny element jest większy od poprzedniego
przez 4. Analitycznie ciąg ten można podać wzorem y = 4n.
Przykład 2. Wypisz pierwszych dziesięć elementów ciągu podanego rekurencyjnie: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 jeśli n = 3, 4, 5, 6, ... .
Decyzja.
Każdy kolejny element tego ciągu jest równy sumie dwóch poprzednich
elementy.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Podsumowując lekcję. Odbicie
1. Co udało Ci się wykonać zadanie?
2. Czy praca była skoordynowana?
3. Co Twoim zdaniem nie wyszło?

Sekwencja liczbowa jest szczególnym przypadkiem funkcji liczbowej, więc szereg właściwości funkcji jest również brane pod uwagę w przypadku sekwencji.

1. Definicja . Podciąg ( y n} nazywa się zwiększaniem, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest większy niż poprzedni:

tak 1 < tak 2 < tak 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Definicja.Sekwencja ( y n} nazywa się malejącym, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest mniejszy niż poprzedni:

tak 1 > tak 2 > tak 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Sekwencje rosnące i malejące łączy wspólny termin - sekwencje monotoniczne.

Na przykład: tak 1 = 1; y n= n 2… to ciąg rosnący. tak 1 = 1; jest sekwencją malejącą. tak 1 = 1; – ta sekwencja nie jest nierosnąca nie malejąca.

4. Definicja. Sekwencję nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba naturalna T taka, że ​​począwszy od pewnego n, zachodzi równość yn = yn+T. Liczba T nazywana jest długością okresu.

5. Ciąg nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli wszystkie jego elementy są przynajmniej pewną liczbą.

6. Mówi się, że ciąg jest ograniczony od góry, jeśli wszystkie jego elementy są co najwyżej pewną liczbą.

7. Sekwencja nazywana jest ograniczoną, jeśli jest ograniczona zarówno powyżej, jak i poniżej, tj. jest liczba dodatnia taka, że ​​wszystkie wyrazy danego ciągu nie przekraczają tej liczby w wartości bezwzględnej. (Ale ograniczenie po obu stronach niekoniecznie oznacza, że ​​jest skończone).

8. Sekwencja może mieć tylko jeden limit.

9. Każda niemalejąca sekwencja ograniczona powyżej ma limit (lim).

10. Każda nierosnąca sekwencja ograniczona poniżej ma limit.

Granica ciągu to punkt (liczba), w pobliżu którego znajduje się większość elementów ciągu, zbliżają się one do tej granicy, ale jej nie osiągają.

Geometryczne i postęp arytmetyczny są szczególnymi przypadkami sekwencji.

Metody sekwencjonowania:

Sekwencje można ustawić różne sposoby, wśród których szczególnie ważne są trzy: analityczne, opisowe i rekurencyjne.

1. Ciąg podaje się analitycznie, jeśli formuła jego n-tego członu jest podana:

Przykład. yn \u003d 2n - 1 - sekwencja liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Opisowy sposób ustawienia ciągu liczbowego polega na wyjaśnieniu, z jakich elementów ten ciąg jest zbudowany.

Przykład 1. „Wszyscy członkowie sekwencji są równe 1.” To znaczy, rozmawiamy o sekwencji stacjonarnej 1, 1, 1, …, 1, ….

Przykład 2. „Sekwencja składa się ze wszystkich liczb pierwszych w porządku rosnącym”. Tak więc podana jest sekwencja 2, 3, 5, 7, 11, …. Za pomocą tej metody określania sekwencji w ten przykład trudno odpowiedzieć, co, powiedzmy, jest równy tysięcznemu elementowi ciągu.

3. Powtarzającym się sposobem określania ciągu jest wskazanie reguły pozwalającej na obliczenie n-tego elementu ciągu, jeśli znane są jego poprzednie elementy. Nazwa metody rekurencyjnej pochodzi od łacińskie słowo recurrer - do powrotu. Najczęściej w takich przypadkach wskazuje się formułę pozwalającą na wyrażenie n-tego członu ciągu względem poprzednich oraz podaje się 1–2 początkowe człony ciągu.

Przykład 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, jeśli n = 2, 3, 4,….

Tutaj y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Widać, że sekwencję otrzymaną w tym przykładzie można również określić analitycznie: yn = 4n – 1.

Przykład 2 tak 1 = 1; tak 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 jeśli n = 3, 4,….

Tutaj: tak 1 = 1; tak 2 = 1; tak 3 = 1 + 1 = 2; tak 4 = 1 + 2 = 3; tak 5 = 2 + 3 = 5; tak 6 = 3 + 5 = 8;

Sekwencja skomponowana w tym przykładzie jest specjalnie studiowana w matematyce, ponieważ ma szereg ciekawe właściwości i aplikacje. Nazywa się ciągiem Fibonacciego - od nazwiska włoskiego matematyka z XIII wieku. Rekurencyjne zdefiniowanie ciągu Fibonacciego jest bardzo łatwe, ale analitycznie bardzo trudne. n Trzecia liczba Fibonacciego jest wyrażona w postaci liczby porządkowej następującym wzorem.

Na pierwszy rzut oka wzór na n th Liczba Fibonacciego wydaje się mało prawdopodobna, ponieważ sama formuła określająca ciąg liczb naturalnych zawiera pierwiastki kwadratowe, ale możesz „ręcznie” sprawdzić poprawność tego wzoru dla kilku pierwszych n.

Historia Fibonacciego:

Fibonacci (Leonardo z Pizy), c. 1175–1250

Włoski matematyk. Urodzony w Pizie, stał się pierwszym wielkim matematykiem Europy późnego średniowiecza. Do matematyki przywiodła go praktyczna potrzeba ustalenia kontakty biznesowe. Opublikował swoje książki o arytmetyce, algebrze i innych dyscyplinach matematycznych. Od matematyków muzułmańskich dowiedział się o systemie liczb wymyślonym w Indiach i przyjętym już w świecie arabskim i był przekonany o jego wyższości (liczby te były prekursorami współczesnych cyfr arabskich).

Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, był pierwszym z wielkich europejskich matematyków późnego średniowiecza. Urodzony w Pizie w zamożnej rodzinie kupieckiej, wstąpił do matematyki z czysto praktycznej potrzeby nawiązania kontaktów biznesowych. W młodości Leonardo dużo podróżował, towarzysząc ojcu w podróżach służbowych. Na przykład wiemy o jego długim pobycie w Bizancjum i na Sycylii. Podczas takich wyjazdów często spotykał się z lokalnymi naukowcami.

Sekwencja liczb, która nosi dziś jego imię, wyrosła z problemu z królikami, który Fibonacci nakreślił w abacci Liber, napisanym w 1202 r.:

Mężczyzna umieścił parę królików w zagrodzie, otoczonej ze wszystkich stron murem. Ile par królików może urodzić ta para w ciągu roku, jeśli wiadomo, że co miesiąc, począwszy od drugiego, każda para królików rodzi jedną parę?

Możesz upewnić się, że liczba par w każdym z kolejnych dwunastu miesięcy miesiąca będzie wynosić odpowiednio 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Innymi słowy, liczba par królików tworzy szereg, w którym każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Jest znany jako szereg Fibonacciego, a same liczby są liczbami Fibonacciego. Okazuje się, że ciąg ten ma wiele interesujących matematycznie właściwości. Oto przykład: możesz podzielić linię na dwa segmenty, tak aby stosunek między większym i mniejszym segmentem był proporcjonalny do stosunku między całą linią a większym segmentem. Ten współczynnik proporcjonalności, w przybliżeniu równy 1,618, jest znany jako złoty podział. W okresie renesansu wierzono, że ta proporcja, obserwowana w obiektach architektonicznych, jest najbardziej przyjemna dla oka. Jeśli weźmiesz kolejne pary z szeregu Fibonacciego i podzielisz jeszcze z każdej pary do mniejszej, twój wynik będzie stopniowo zbliżał się do złotego podziału.

Odkąd Fibonacci odkrył jego sekwencję, znaleziono nawet zjawiska naturalne, w których sekwencja ta wydaje się odgrywać ważną rolę. Jednym z nich jest filotaksja (ułożenie liści) - zasada, zgodnie z którą np. nasiona znajdują się w kwiatostanie słonecznika. Nasiona słonecznika ułożone są w dwie spirale. Liczby wskazujące liczbę nasion w każdej spirali są członkami niesamowitej sekwencji matematycznej. Nasiona są ułożone w dwa rzędy spiral, z których jeden biegnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugi przeciwnie. A jaka jest liczba nasion w każdym przypadku? 34 i 55.

Zadanie 1:

Napisz pierwsze pięć wyrazów ciągu.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

i n \u003d 2 n + 1/2 n

Zadanie nr 2:

Napisz wzór na wspólny wyraz ciągu liczb naturalnych, które są wielokrotnościami 3.

Odpowiedź: 0,3,6,9,12,15,....3n, i n = 3n

Zadanie numer 3:

Napisz wzór na wspólny wyraz ciągu liczb naturalnych, który po podzieleniu przez 4 ma resztę równą 1.

Odpowiedź: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 i n = 4n+1

nr 19. Funkcjonować.

Funkcja (wyświetlacz, operator, transformacja) to pojęcie matematyczne, które odzwierciedla relacje między elementami zbiorów. Możemy powiedzieć, że funkcja jest „prawem”, zgodnie z którym każdemu elementowi jednego zbioru (nazywanego dziedziną definicji) przypisuje się jakiś element innego zbioru (nazywanego dziedziną wartości).

Funkcja jest zależnością jedynki zmienny od drugiego. Innymi słowy, związek między ilościami.

Matematyczna koncepcja funkcji wyraża intuicyjne wyobrażenie o tym, jak jedna wielkość całkowicie określa wartość innej wielkości. Czyli wartość zmiennej x jednoznacznie określa wartość wyrażenia, a wartość miesiąca jednoznacznie określa wartość miesiąca następującego po nim, a każdą osobę można porównać z inną osobą - jej ojcem. Podobnie, pewien z góry przyjęty algorytm, przy zmieniających się danych wejściowych, wytwarza określone dane wyjściowe.

Często termin „funkcja” odnosi się do funkcji numerycznej; to znaczy funkcja, która umieszcza niektóre liczby w korespondencji z innymi. Funkcje te są wygodnie przedstawione na rysunkach w postaci wykresów.

Można podać inną definicję. Funkcja jest specyficzna akcja nad zmienną.

Oznacza to, że bierzemy wartość , wykonujemy z nią jakąś akcję (na przykład podnosimy ją do kwadratu lub obliczamy jej logarytm) - i otrzymujemy wartość .

Podajmy inną definicję funkcji - tę, która najczęściej znajduje się w podręcznikach.

Funkcja jest korespondencją między dwoma zestawami, przy czym każdy element pierwszego zestawu odpowiada jednemu i tylko jednemu elementowi drugiego zestawu.

Na przykład funkcja dla każdego prawdziwy numer dopasowuje liczbę dwukrotnie większą niż .

Zbiór elementów jakiegoś F. podstawionego za x nazywamy jego dziedziną definicji, a zbiór elementów jakiegoś F. nazywamy jego zakresem wartości.

Historia semestru:

Termin „funkcja” (w nieco węższym znaczeniu) został po raz pierwszy użyty przez Leibniza (1692). Z kolei Johann Bernoulli w liście do tego samego Leibniza użył tego terminu w sensie bliższym współczesnemu. Początkowo pojęcie funkcji było nie do odróżnienia od pojęcia reprezentacji analitycznej. Następnie pojawiła się definicja funkcji podana przez Eulera (1751), potem - przez Lacroix (1806) - prawie w nowoczesna forma. Wreszcie ogólna definicja funkcji (w nowoczesna forma, ale dla funkcji liczbowych) podali Lobachevsky (1834) i Dirichlet (1837). W celu późny XIX W wieku, pojęcie funkcji przerosło ramy systemów numerycznych. Funkcje wektorowe były pierwszymi, które to zrobiły, Frege wkrótce wprowadził funkcje logiczne (1879), a po pojawieniu się teorii mnogości, Dedekind (1887) i Peano (1911) sformułowali współczesną uniwersalną definicję.

nr 20. Sposoby ustawiania funkcji.

Istnieją 4 sposoby definiowania funkcji:

1. tabelaryczny Dość powszechne jest ustawienie stołu indywidualnego

wartości argumentów i odpowiadające im wartości funkcji. Ta metoda definiowania funkcji jest stosowana, gdy dziedzina funkcji jest zbiorem dyskretnym skończonym.

Jest to wygodne, gdy f jest zbiorem skończonym, ale gdy f jest nieskończone, wskazane są tylko wybrane pary (x, y).

Dzięki tabelarycznej metodzie definiowania funkcji można w przybliżeniu obliczyć wartości funkcji, które nie są zawarte w tabeli, odpowiadające wartościom pośrednim argumentu. Aby to zrobić, użyj metody interpolacji.

Zalety: dokładność, szybkość, łatwe do znalezienia w tabeli wartości Pożądana wartość Funkcje. Zaletą tabelarycznej metody ustawiania funkcji jest to, że umożliwia ona określenie określonych wartości od razu, bez dodatkowych pomiarów i obliczeń.

niedogodności: niekompletność, brak jasności. W niektórych przypadkach tabela nie definiuje w pełni funkcji, a jedynie dla niektórych wartości argumentu i nie zapewnia wizualnej reprezentacji charakteru zmiany funkcji w zależności od zmiany argumentu.

2. analityczne(wzory). Najczęściej ustawa ustanawiająca związek między

argument i funkcję określa się za pomocą formuł. Ten sposób definiowania funkcji nazywa się analitycznym. Jest to najważniejsze dla MA (analizy matematycznej), gdyż metody MA (rachunek różniczkowy, całkowy) sugerują ten sposób ustalania. Tę samą funkcję można podać za pomocą różnych formuł: tak=∣sin( x)∣tak=√1−cos2( x) Czasami w różne części ze swoich dziedzin zdefiniowana funkcja może być określona różnymi wzorami f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Często przy tym sposobie definiowania funkcji nie wskazuje się zakresu definicji, wówczas dziedzina definicji jest rozumiana jako: obszar naturalny definicje, tj. zbiór wszystkich wartości x, dla których funkcja przyjmuje wartość rzeczywistą.

Ta metoda umożliwia każdej wartości liczbowej argumentu x znalezienie odpowiedniej wartości liczbowej funkcji y dokładnie lub z pewną dokładnością.

Szczególnym przypadkiem analitycznego sposobu definiowania funkcji jest definiowanie funkcji równaniem postaci F(x,y)=0 (1) Jeżeli równanie to ma właściwość, że ∀ x∈D jest tylko dopasowane tak, taki, że F(x,tak)=0, wtedy mówimy, że równanie (1) na D domyślnie definiuje funkcję. Inny szczególny przypadek definiowania funkcji jest parametryczny, z każdą parą ( x,tak)∈f ustawić za pomocą pary funkcji x=ϕ( t),tak=ψ( t) gdzie t∈M.

Podano definicję ciągu liczbowego. Rozważane są przykłady nieskończenie rosnących, zbieżnych i rozbieżnych sekwencji. Rozważany jest ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne.

Definicja .
Sekwencja liczbowa (xn) zwane prawem (regułą), zgodnie z którym dla każdej liczby naturalnej n = 1, 2, 3, . . . przypisana jest pewna liczba x n.
Element x n nazywa się n-ty członek lub element sekwencji.

Sekwencja jest oznaczona jako n-ty element ujęty w nawiasy klamrowe: . Również możliwe następująca notacja: . Wyraźnie stwierdzają, że indeks n należy do zbioru liczb naturalnych, a sam ciąg ma nieskończoną liczbę członków. Oto kilka przykładów sekwencji:
, , .

Innymi słowy, ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Liczba elementów w sekwencji jest nieskończona. Wśród elementów mogą być również członkowie, którzy mają te same wartości. Sekwencja może być również uważana za ponumerowany zbiór liczb, składający się z nieskończonej liczby członków.

Interesuje nas głównie pytanie - jak zachowują się ciągi, gdy n dąży do nieskończoności: . Materiał ten jest przedstawiony w rozdziale Granica sekwencji - podstawowe twierdzenia i własności. A tutaj przyjrzymy się kilku przykładom sekwencji.

Przykłady sekwencji

Przykłady nieskończenie rosnących ciągów

Rozważmy sekwencję. Ogólnym terminem tej sekwencji jest . Napiszmy kilka pierwszych terminów:
.
Można zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby n elementy rosną w nieskończoność w kierunku wartości dodatnich. Można powiedzieć, że ta sekwencja ma tendencję do : w .

Rozważmy teraz ciąg ze wspólnym terminem . Oto niektórzy z jego pierwszych członków:
.
Wraz ze wzrostem liczby n elementy tego ciągu zwiększają w nieskończoność wartość bezwzględną, ale nie mają stałego znaku. Oznacza to, że ta sekwencja ma tendencję do : w .

Przykłady ciągów zbieżnych do liczby skończonej

Rozważmy sekwencję. Jego wspólny członek Pierwsze warunki są następujące:
.
Można zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby n elementy tego ciągu zbliżają się do wartości granicznej a = 0 : w . Tak więc każdy kolejny termin jest bliższy zeru niż poprzedni. W pewnym sensie możemy założyć, że istnieje przybliżona wartość liczby a = 0 z błędem. Oczywiste jest, że wraz ze wzrostem n błąd ten dąży do zera, to znaczy wybierając n, błąd może być dowolnie mały. Co więcej, dla dowolnego błędu ε > 0 można podać taką liczbę N , że dla wszystkich elementów o numerach większych niż N : , odchylenie liczby od wartości granicznej a nie przekroczy błędu ε : .

Następnie rozważ kolejność. Jego wspólny członek Oto niektórzy z jego pierwszych członków:
.
W tej kolejności terminy o numerach parzystych wynoszą zero. Członkowie z nieparzystym n to . Dlatego wraz ze wzrostem n ich wartości zbliżają się do wartości granicznej a = 0 . Wynika to również z faktu, że
.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie możemy podać dowolnie mały błąd ε > 0 , dla którego można znaleźć taką liczbę N, że elementy o liczbach większych niż N będą odbiegać od wartości granicznej a = 0 o wartość nieprzekraczającą określonego błędu. Dlatego sekwencja ta zbiega się do wartości a = 0 : w .

Przykłady ciągów rozbieżnych

Rozważ sekwencję z następującym wspólnym terminem:

Oto jego pierwsi członkowie:


.
Widać, że terminy z liczbami parzystymi:
,
zbieżne do wartości a 1 = 0 . Członkowie z liczbami nieparzystymi:
,
zbieżne do wartości a 2 = 2 . Sama sekwencja, wraz ze wzrostem n, nie zbiega się do żadnej wartości.

Ciąg z wyrazami rozłożonymi w przedziale (0;1)

Rozważmy teraz bardziej interesującą sekwencję. Weź segment na osi liczbowej. Podzielmy to na pół. Otrzymujemy dwa segmenty. Zostawiać
.
Każdy z segmentów jest ponownie podzielony na pół. Otrzymujemy cztery segmenty. Zostawiać
.
Ponownie podziel każdy segment na pół. Weźmy


.
Itp.

W efekcie otrzymujemy ciąg, którego elementy są rozłożone w przedziale otwartym (0; 1) . Jakikolwiek punkt weźmiemy z przedziału zamkniętego , zawsze możemy znaleźć elementy ciągu, które są arbitralnie blisko tego punktu lub pokrywają się z nim.

Następnie z oryginalnego ciągu można wyróżnić podciąg, który zbiegnie się do dowolnego punktu z przedziału . Oznacza to, że wraz ze wzrostem liczby n elementy podciągu będą się coraz bardziej zbliżać do wcześniej wybranego punktu.

Na przykład dla punktu a = 0 możesz wybrać następującą sekwencję:
.
= 0 .

Dla punktu a = 1 wybierz następującą sekwencję:
.
Członkowie tego podciągu zbiegają się do wartości a = 1 .

Ponieważ istnieją podciągi, które zbiegają się do różne znaczenia, to sama oryginalna sekwencja nie zbiega się do żadnej liczby.

Ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne

Teraz skonstruujmy ciąg, który zawiera wszystkie liczby wymierne. Co więcej, każda liczba wymierna będzie zawarta w takim ciągu nieskończoną liczbę razy.

Liczbę wymierną r można przedstawić w następujący sposób:
,
gdzie jest liczbą całkowitą; - naturalny.
Musimy przypisać każdej liczbie naturalnej n parę liczb p i q tak, aby dowolna para p i q była zawarta w naszym ciągu.

Aby to zrobić, narysuj osie p i q na płaszczyźnie. Linie siatki rysujemy poprzez wartości całkowite p i q . Wtedy każdy węzeł tej siatki będzie odpowiadał Liczba wymierna. Cały zbiór liczb wymiernych będzie reprezentowany przez zbiór węzłów. Musimy znaleźć sposób na ponumerowanie wszystkich węzłów, aby nie pominąć ani jednego węzła. Łatwo to zrobić, jeśli ponumerujemy węzły według kwadratów, których środki znajdują się w punkcie (0; 0) (widzieć zdjęcie). W tym przypadku dolne części kwadratów z q < 1 nie potrzebujemy. Dlatego nie są pokazane na rysunku.

Tak więc dla górnej strony pierwszego kwadratu mamy:
.
Dalej numerujemy Górna część następny kwadrat:

.
Numerujemy górną część następnego kwadratu:

.
Itp.

W ten sposób otrzymujemy ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne. Widać, że dowolna liczba wymierna pojawia się w tym ciągu nieskończoną liczbę razy. Rzeczywiście, wraz z node , sekwencja ta będzie zawierała także nodes , gdzie jest liczbą naturalną. Ale wszystkie te węzły odpowiadają tej samej liczbie wymiernej.

Następnie ze skonstruowanej przez nas sekwencji możemy wybrać podciąg (posiadający nieskończoną liczbę elementów), którego wszystkie elementy są równe z góry określonej liczbie wymiernej. Ponieważ sekwencja, którą skonstruowaliśmy, ma podciągi zbieżne do różne liczby, to sekwencja nie zbiega się do żadnej liczby.

Wniosek

Tutaj podaliśmy dokładną definicję ciągu liczbowego. Poruszyliśmy również kwestię jego zbieżności, opartej na intuicyjnych pomysłach. Dokładną definicję zbieżności omówiono na stronie Określanie granicy sekwencji. Powiązane właściwości i twierdzenia są przedstawione na stronie

Lekcja #32 Data ____________

Algebra

Klasa: 9 "B"

Temat: „Sekwencja liczbowa i sposoby jej ustawiania”.

Cel lekcji: uczniowie powinni wiedzieć, czym jest sekwencja liczb; sposoby ustawiania sekwencji liczbowej; umieć rozróżnić różne sposoby określania ciągów liczbowych.

Materiały dydaktyczne: materiały informacyjne, notatki referencyjne.

Środki techniczne uczenie się: prezentacja na temat „Sekwencje numeryczne”.

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny.

2. Ustalenie celów lekcji.

Dzisiaj na lekcji nauczycie się:

Czym jest sekwencja?

Jakie są rodzaje sekwencji?

Jak określana jest sekwencja numerów?

Dowiedz się, jak napisać sekwencję za pomocą formuły i jej wielu elementów.

Naucz się znajdować członków sekwencji.

3. Praca na badanym materiale.

3.1. Etap przygotowawczy.

Chłopaki, przetestujmy twoje umiejętności logiczne. Wymieniam kilka słów i powinieneś kontynuować:

-Poniedziałek wtorek,…..

- Styczeń luty marzec…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (lista klas);

–10,11,12,…99;

Z odpowiedzi chłopaków wynika, że ​​powyższe zadania są sekwencjami, to znaczy jakimś uporządkowanym ciągiem liczb lub pojęć, gdy każda liczba lub pojęcie jest ściśle na swoim miejscu, a jeśli człony są zamienione, sekwencja zostanie naruszona (wtorek, czwartek, poniedziałek to tylko lista dni tygodnia). Tematem lekcji jest więc sekwencja liczbowa.

3.1. Wyjaśnienie nowego materiału. (Materiał demonstracyjny)

Analizując odpowiedzi uczniów, zdefiniuj sekwencję liczb i pokaż, jak ustawić sekwencje liczb.

(Praca z podręcznikiem s. 66 - 67)

Definicja 1. Funkcję y = f(x), xN nazywamy funkcją argumentu naturalnego lub ciągu liczbowego i oznaczamy: y = f(n) lub y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... lub (y n).

W tym przypadku zmienną niezależną jest liczba naturalna.

Najczęściej ciągi będą oznaczane następująco: ( a n), (b n), (z n) itp.

Definicja 2. Członkowie sekwencji.

Elementy, które tworzą sekwencję, nazywane są członkami sekwencji.

Nowe koncepcje: poprzedni i kolejny element ciągu,

a 1 …a P. (1. i n. członek ciągu)

Metody ustalania ciągu liczbowego.

analityczny sposób.

Każdy n-ty element sekwencje można określić za pomocą wzoru (demo)

Parsuj przykłady

Przykład 1 Ciąg liczb parzystych: y = 2n.

Przykład 2 Ciąg kwadratu liczb naturalnych: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Przykład 3 Sekwencja stacjonarna: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Przypadek szczególny: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Przykład 4. Sekwencja y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

werbalny sposób.

Zasady ustalania sekwencji są opisane słowami, bez określania formuł lub w przypadku braku wzorców między elementami sekwencji.

Przykład 1. Przybliżenia liczbπ.

Przykład 2 Ciąg liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Przykład 3 Ciąg liczb podzielny przez 5.

Przykład 2 Losowy zestaw liczb: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Przykład 3 Ciąg liczb parzystych 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

sposób rekurencyjny.

Metoda rekurencyjna polega na określeniu reguły pozwalającej na obliczenie n-tego członu ciągu w przypadku podania kilku jego pierwszych członów (przynajmniej jeden pierwszy człon) oraz formuły pozwalającej na obliczenie jego następnego członu z poprzednich członów. Termin nawracający pochodzi od łacińskiego słowa powtarzać się , co znaczy Wróć . Obliczając pręty ciągu według tej zasady, niejako cofamy się cały czas, obliczając kolejny pręt na podstawie poprzedniego. Cechą tej metody jest to, że aby określić na przykład 100. element ciągu, musisz najpierw określić wszystkie poprzednie 99 elementów.

Przykład 1 . a 1 \u003d a, n + 1 \u003d n + 0,7. Niech a 1 =5, to ciąg będzie wyglądał następująco: 5; 5,7; 6.4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Przykład 2 b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Niech b 1 =23, wtedy ciąg będzie wyglądał następująco: 23; 11,5; 5,75; 2.875; ... .

Przykład 3 Ciąg Fibonacciego. Ciąg ten można łatwo zdefiniować rekurencyjnie: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 jeśli n=3, 4, 5, 6, ... . Będzie to wyglądać tak:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P-ty wyraz tego ciągu jest równy sumie dwóch poprzednich wyrazów)

Ciężko jest analitycznie zdefiniować ciąg Fibonacciego, ale jest to możliwe. Wzór, za pomocą którego określa się dowolny element tej sekwencji, wygląda tak:

Dodatkowe informacje:

Włoski kupiec Leonardo z Pizy (1180-1240), lepiej znany pod pseudonimem Fibonacci, był ważnym średniowiecznym matematykiem. Za pomocą tej sekwencji Fibonacci określił liczbę φ (fi); φ = 1,618033989.

Graficzny sposób

Elementy sekwencji mogą być reprezentowane jako punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Aby to zrobić, liczba jest wykreślana wzdłuż osi poziomej, a wartość odpowiedniego elementu sekwencji jest wykreślana wzdłuż osi pionowej.

Aby skonsolidować metody przypisywania, proszę o podanie kilku przykładów sekwencji, które są określane werbalnie, analitycznie lub w sposób powtarzalny.

Rodzaje ciągów liczbowych

(Na poniższych sekwencjach opracowane są rodzaje sekwencji).

Praca z podręcznikiem s. 69-70

1) Rosnący - jeśli każdy termin jest krótszy niż następny, tj. a n a n +1.

2) Malejące - jeśli każdy termin jest dłuższy niż następny, tj. a n a n +1 .

3) Nieskończone.

4) Ostateczny.

5) Naprzemiennie.

6) Stała (stacjonarna).

Sekwencja rosnąca lub malejąca nazywana jest monotoniczną.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Praca z podręcznikiem: zrób to ustnie nr 150, 159 s. 71, 72

3.2. Konsolidacja nowego materiału. Rozwiązywanie problemów.

W celu utrwalenia wiedzy przykłady dobierane są w zależności od poziomu przygotowania uczniów.

Przykład 1 Napisz możliwą formułę na n-ty element ciągu (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Decyzja.

a) Jest to ciąg liczb nieparzystych. Analitycznie ciąg ten można określić wzorem y = 2n+1.

b) Jest to ciąg liczbowy, w którym kolejny element jest większy od poprzedniego o 4. Analitycznie ciąg ten można określić wzorem y = 4n.

Przykład 2. Wypisz pierwszych dziesięć elementów ciągu podanego cyklicznie: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 jeśli n = 3, 4, 5, 6, ... .

Decyzja.

Każdy kolejny element tego ciągu jest równy sumie dwóch poprzednich elementów.

Przykład 3 Sekwencja (y n) jest podawana rekurencyjnie: y 1 =1, y 2 =2, y n =5y n -1 - 6y n -2 . Określ tę sekwencję analitycznie.

Decyzja.

Znajdź kilka pierwszych elementów sekwencji.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 -6 y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5 y 5 -6 y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

Otrzymujemy sekwencję: 1; 2; 4; osiem; szesnaście; 32; 64; ... co można przedstawić jako

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Analizując ciąg otrzymujemy następującą prawidłowość: y = 2 n -1 .

Przykład 4 Biorąc pod uwagę sekwencję y n =24n+36-5n 2 .

a) Ile ma pozytywnych terminów?

b) Znajdź największy element ciągu.

c) Czy w tej kolejności jest najmniejszy element?

Ten ciąg liczb jest funkcją postaci y = -5x 2 +24x+36, gdzie x

a) Znajdź wartości funkcji dla których -5x 2 +24x+360. Rozwiążmy równanie -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 \u003d -1,2.

Równanie osi symetrii paraboli y \u003d -5x 2 +24x + 36 można znaleźć za pomocą wzoru x \u003d, otrzymujemy: x \u003d 2,4.

Nierówność -5x 2 +24x+360 obowiązuje dla -1,2 Ten przedział zawiera pięć liczb naturalnych (1, 2, 3, 4, 5). Czyli w podanej sekwencji pięć pozytywne elementy sekwencje.

b) Największy element ciągu wyznaczany jest metodą selekcji i wynosi y 2 =64.

c) Nie ma najmniejszego elementu.

3.4 Zadania do samodzielnej pracy