Wzór na sumę postępów geometrycznych. Postęp geometryczny

Cel lekcji: zapoznanie uczniów z nowym rodzajem ciągu - nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.
Zadania:
sformułowanie początkowej idei granicy ciągu liczbowego;
poznanie innego sposobu zamiany nieskończonych ułamków okresowych na zwykłe za pomocą wzoru na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego;
rozwój intelektualnych cech osobowości uczniów, takich jak logiczne myślenie, zdolność do działań oceniających, uogólnianie;
edukacja aktywności, wzajemna pomoc, kolektywizm, zainteresowanie tematem.

Pobierać:

Zapowiedź:

Powiązana lekcja „Nieskończenie malejący postęp geometryczny” (algebra, klasa 10)

Cel lekcji: zapoznanie uczniów z nowym rodzajem sekwencji - nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.

Zadania:

sformułowanie początkowej idei granicy ciągu liczbowego; poznanie innego sposobu zamiany nieskończonych ułamków okresowych na zwykłe za pomocą wzoru na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego;

rozwój intelektualnych cech osobowości uczniów, takich jak logiczne myślenie, zdolność do działań oceniających, uogólnianie;

edukacja aktywności, wzajemna pomoc, kolektywizm, zainteresowanie tematem.

Ekwipunek: klasa komputerowa, projektor, ekran.

Rodzaj lekcji: Lekcja - opanowanie nowego tematu.

Podczas zajęć

I. Org. za chwilę. Wiadomość o temacie i celu lekcji.

II. Aktualizacja wiedzy uczniów.

W 9 klasie uczyłeś się postępów arytmetycznych i geometrycznych.

pytania

1. Definicja progresji arytmetycznej.

(Progresja arytmetyczna to sekwencja, w której każdy członek

Począwszy od drugiego, jest to równoznaczne z poprzednim terminem, dodanym z tym samym numerem).

2. Wzór n -ty element ciągu arytmetycznego

3. Wzór na sumę pierwszego n członkowie progresji arytmetycznej.

( lub )

4. Definicja postępu geometrycznego.

(Progresja geometryczna to ciąg liczb niezerowych,

Każdy wyraz, którego począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez

ten sam numer).

5. Wzór n -ty wyraz postępu geometrycznego

6. Wzór na sumę pierwszego n członkowie postępu geometrycznego.

7. Jakie formuły jeszcze znasz?

(, gdzie ; ;

; , )

Zadania

1. Postęp arytmetyczny określa wzór n = 7 - 4n. Znajdź 10 . (-33)

2. Postęp arytmetyczny a 3 = 7 i a 5 = 1 . Znajdź 4 . (4)

3. Postęp arytmetyczny a 3 = 7 i a 5 = 1 . Znajdź 17 . (-35)

4. Postęp arytmetyczny a 3 = 7 i a 5 = 1 . Znajdź S 17 . (-187)

5. Dla postępu geometrycznegoznajdź piąty termin.

6. Dla postępu geometrycznego znajdź n-ty termin.

7. Wykładniczo b 3 = 8 i b 5 = 2 . Znajdź b 4 . (4)

8. Wykładniczo b 3 = 8 i b 5 = 2 . Znajdź b 1 i q .

9. Wykładniczo b 3 = 8 i b 5 = 2 . Znajdź S 5 . (62)

III. Odkrywanie nowego tematu(prezentacja demonstracyjna).

Rozważmy kwadrat o boku równym 1. Narysujmy inny kwadrat, którego bok jest połową pierwszego kwadratu, potem drugi, którego bok jest połową drugiego, potem następny i tak dalej. Za każdym razem bok nowego kwadratu jest połową poprzedniego.

W rezultacie otrzymaliśmy ciąg boków kwadratówtworzenie ciągu geometrycznego z mianownikiem.

I co bardzo ważne, im więcej takich kwadratów zbudujemy, tym bok kwadratu będzie mniejszy. Na przykład ,

Tych. gdy liczba n wzrasta, warunki progresji zbliżają się do zera.

Za pomocą tej liczby można rozważyć jeszcze jedną sekwencję.

Na przykład sekwencja obszarów kwadratów:

I znowu, jeśli n wzrasta w nieskończoność, wtedy obszar zbliża się do zera arbitralnie blisko.

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Trójkąt równoboczny o boku 1 cm. Skonstruujmy następny trójkąt z wierzchołkami w środkach boków pierwszego trójkąta, zgodnie z twierdzeniem o linii środkowej trójkąta - bok drugiego jest równy połowie boku pierwszego, bok trzeciego jest połową boku 2. itd. Znowu otrzymujemy sekwencję długości boków trójkątów.

Na .

Jeśli rozważymy postęp geometryczny z ujemnym mianownikiem.

Potem znowu ze wzrastającymi liczbami n warunki progresji zbliżają się do zera.

Zwróćmy uwagę na mianowniki tych sekwencji. Wszędzie mianowniki były mniejsze niż 1 modulo.

Możemy wywnioskować: postęp geometryczny będzie nieskończenie malejący, jeśli moduł jego mianownika będzie mniejszy niż 1.

Praca z przodu.

Definicja:

Mówi się, że postęp geometryczny jest nieskończenie malejący, jeśli moduł jego mianownika jest mniejszy niż jeden..

Za pomocą definicji można rozwiązać kwestię, czy postęp geometryczny jest nieskończenie malejący, czy nie.

Zadanie

Czy ciąg jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym, jeśli jest określony wzorem:

Decyzja:

Znajdźmy q .

; ; ; .

ten postęp geometryczny jest nieskończenie malejący.

b) ta sekwencja nie jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.

Rozważ kwadrat o boku równym 1. Podziel go na pół, jedną z połówek ponownie na pół i tak dalej. obszary wszystkich powstałych prostokątów tworzą nieskończenie malejący postęp geometryczny:

Suma pól wszystkich uzyskanych w ten sposób prostokątów będzie równa powierzchni pierwszego kwadratu i równa 1.

Ale po lewej stronie tej równości jest suma nieskończonej liczby terminów.

Rozważ sumę pierwszych n wyrazów.

Zgodnie ze wzorem na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego jest on równy.

Jeśli nie wzrasta w nieskończoność, to

lub . Dlatego m.in. .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznegoistnieje limit sekwencji S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Na przykład dla progresji,

mamy

Jak

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznegomożna znaleźć za pomocą wzoru.

III. Refleksja i konsolidacja(wykonanie zadań).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Zreasumowanie.

Jaką sekwencję spotkałeś dzisiaj?

Zdefiniuj nieskończenie malejący postęp geometryczny.

Jak udowodnić, że postęp geometryczny jest nieskończenie malejący?

Podaj wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

V. Praca domowa.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto (konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Każdy powinien umieć myśleć konsekwentnie, rozstrzygać i odrzucać błędne wnioski: fizyk i poeta, traktorzysta i chemik. E.Kolman W matematyce należy pamiętać nie o formułach, ale o procesach myślenia. VP Ermakov Łatwiej znaleźć kwadrat koła niż przechytrzyć matematyka. Augustus de Morgan Jaka nauka może być szlachetniejsza, bardziej godna podziwu, bardziej użyteczna dla ludzkości niż matematyka? Franklin

Nieskończenie malejąca progresja geometryczna Klasa 10

I. Progresje arytmetyczne i geometryczne. Pytania 1. Definicja progresji arytmetycznej. Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi dodanemu do tej samej liczby. 2. Formuła n-tego elementu ciągu arytmetycznego. 3. Wzór na sumę pierwszych n członów ciągu arytmetycznego. 4. Definicja postępu geometrycznego. Postęp geometryczny to ciąg liczb niezerowych, z których każdy, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu członowi pomnożonemu przez tę samą liczbę 5. Wzór n-tego członu postępu geometrycznego. 6. Wzór na sumę pierwszych n elementów ciągu geometrycznego.

II. Postęp arytmetyczny. Zadania Postęp arytmetyczny określa wzór a n = 7 – 4 n Znajdź a 10 . (-33) 2. W postępie arytmetycznym a 3 = 7 i a 5 = 1 . Znajdź 4 . (4) 3. W postępie arytmetycznym a 3 = 7 i a 5 = 1 . Znajdź 17 . (-35) 4. W postępie arytmetycznym a 3 = 7 i a 5 = 1 . Znajdź S 17 . (-187)

II. Postęp geometryczny. Zadania 5. Dla ciągu geometrycznego znajdź piąty wyraz 6. Dla ciągu geometrycznego znajdź n-ty wyraz. 7. Wykładniczo b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź b 4 . (4) 8. W postępie geometrycznym b 3 = 8 i b 5 = 2 . Znajdź b 1 i q . 9. W postępie geometrycznym b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź S 5 . (62)

definicja: mówi się, że postęp geometryczny jest nieskończenie malejący, jeśli moduł jego mianownika jest mniejszy niż jeden.

Problem nr 1 Czy ciąg jest nieskończenie malejącym ciągiem geometrycznym, jeśli wyraża go wzór: Rozwiązanie: a) ten ciąg geometryczny jest nieskończenie malejący. b) ta sekwencja nie jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego jest granicą ciągu S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Na przykład dla progresji mamy Ponieważ sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego można znaleźć wzorem

Wykonanie zadań Znajdź sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem 3, drugim 0,3. 2. nr 13; nr 14; podręcznik, s. 138 3. nr 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. nr 19; nr 20.

Jaką sekwencję spotkałeś dzisiaj? Zdefiniuj nieskończenie malejący postęp geometryczny. Jak udowodnić, że postęp geometryczny jest nieskończenie malejący? Podaj wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. pytania

Słynny polski matematyk Hugo Steinghaus żartobliwie twierdzi, że istnieje prawo sformułowane w następujący sposób: matematyk zrobi to lepiej. Mianowicie, jeśli powierzycie dwóm osobom, z których jedna jest matematykiem, wykonanie jakiejkolwiek pracy, której nie znają, to zawsze wynik będzie następujący: matematyk zrobi to lepiej. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Liczba ta nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego, co oznacza, że ​​każdy wyraz różni się od poprzedniego o q razy. (Założymy, że q ≠ 1, w przeciwnym razie wszystko jest zbyt trywialne). Łatwo zauważyć, że ogólny wzór n-tego elementu postępu geometrycznego to b n = b 1 q n – 1 ; terminy o liczbach b n i b m różnią się o q n – m razy.

Już w starożytnym Egipcie znali nie tylko arytmetykę, ale także postęp geometryczny. Oto na przykład zadanie z papirusu Rhinda: „Siedem twarzy ma siedem kotów; każdy kot zjada siedem myszy, każda mysz zjada siedem kłosów, w każdym kłosie można wyhodować siedem miar jęczmienia. Jak duże są liczby w tej serii i ich suma?

Ryż. 1. Problem postępu geometrycznego starożytnego Egiptu

Zadanie to powtarzano wielokrotnie z różnymi odmianami wśród innych narodów w innym czasie. Na przykład w napisanym w XIII wieku. „Księga liczydła” Leonarda z Pizy (Fibonacciego) ma problem, w którym w drodze do Rzymu pojawia się 7 starych kobiet (oczywiście pielgrzymów), z których każdy ma 7 mułów, z których każdy ma 7 worków, z których każdy ma 7 bochenków, z których każdy ma 7 noży, z których każdy jest w 7 pochwach. Problem pyta, ile jest przedmiotów.

Suma pierwszych n elementów postępu geometrycznego S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1 ). Ten wzór można udowodnić na przykład w następujący sposób: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Dodajmy liczbę b 1 q n do S n i otrzymajmy:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Stąd S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) i otrzymujemy niezbędną formułę.

Już na jednej z glinianych tabliczek starożytnego Babilonu, datowanej na VI wiek. pne e. zawiera sumę 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. To prawda, jak w wielu innych przypadkach, nie wiemy, gdzie ten fakt był znany Babilończykom .

Szybki wzrost postępu geometrycznego w wielu kulturach, w szczególności w Indiach, jest wielokrotnie używany jako wizualny symbol ogromu wszechświata. W znanej legendzie o pojawieniu się szachów władca daje swojemu wynalazcy możliwość samodzielnego wyboru nagrody i prosi o taką ilość ziaren pszenicy, jaka zostanie uzyskana po umieszczeniu na pierwszej komórce szachownicy , dwa na drugim, cztery na trzecim, osiem na czwartym itd., za każdym razem liczba jest podwajana. Władyka myślał, że to najwyżej kilka worków, ale przeliczył się. Łatwo zauważyć, że na wszystkie 64 kwadraty szachownicy wynalazca powinien otrzymać (2 64 - 1) ziarno, które jest wyrażone jako liczba 20-cyfrowa; nawet gdyby zasiano całą powierzchnię Ziemi, zebranie wymaganej liczby ziaren zajęłoby co najmniej 8 lat. Legenda ta bywa interpretowana jako nawiązanie do niemal nieograniczonych możliwości kryjących się w grze w szachy.

Łatwo zauważyć, że liczba ta jest naprawdę 20-cyfrowa:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (dokładniejsze obliczenie daje 1,84 10 19). Ale zastanawiam się, czy możesz dowiedzieć się, jaką cyfrą kończy się ten numer?

Postęp geometryczny wzrasta, jeśli mianownik jest większy niż 1 w wartości bezwzględnej, lub maleje, jeśli jest mniejszy niż jeden. W tym drugim przypadku liczba q n może stać się dowolnie mała dla wystarczająco dużego n. Podczas gdy rosnący wykładniczy rośnie nieoczekiwanie szybko, malejący wykładniczy maleje równie szybko.

Im większe n, tym słabsza liczba q n różni się od zera, a im bliższa jest suma n elementów postępu geometrycznego S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) do liczby S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tak rozumował na przykład F. Viet). Liczba S nazywana jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Jednak przez wiele stuleci pytanie, jakie jest znaczenie sumowania CAŁEGO postępu geometrycznego, z jego nieskończoną liczbą terminów, nie było wystarczająco jasne dla matematyków.

Zmniejszający się postęp geometryczny można zaobserwować na przykład w aporiach Zenona „Gry” i „Achilles i żółw”. W pierwszym przypadku wyraźnie widać, że cała droga (zakładając długość 1) jest sumą nieskończonej liczby odcinków 1/2, 1/4, 1/8 itd. Tak oczywiście jest z punktu widzenia idei o skończonej sumie nieskończonego postępu geometrycznego. A jednak – jak to możliwe?

Ryż. 2. Progresja ze współczynnikiem 1/2

W aporii o Achillesie sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana, bo tutaj mianownik progresji nie jest równy 1/2, ale jakiejś innej liczbie. Niech na przykład Achilles biegnie z prędkością v, żółw porusza się z prędkością u, a początkowa odległość między nimi wynosi l. Achilles przebiegnie ten dystans w czasie l / v , żółw w tym czasie pokona dystans l / v . Gdy Achilles przebiegnie przez ten odcinek, odległość między nim a żółwiem będzie równa l (u/v) 2 itd. Okazuje się, że dogonienie żółwia oznacza znalezienie sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z pierwszym wyraz l i mianownik u / v. Ta suma – odcinek, po którym Achilles w końcu pobiegnie do miejsca spotkania z żółwiem – jest równa l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ale znowu, jak ten wynik powinien być interpretowany i dlaczego w ogóle ma jakikolwiek sens, przez długi czas nie było jasne.

Ryż. 3. Postęp geometryczny o współczynniku 2/3

Suma postępu geometrycznego została wykorzystana przez Archimedesa przy wyznaczaniu pola powierzchni odcinka paraboli. Niech dany odcinek paraboli będzie ograniczony cięciwą AB i niech styczna w punkcie D paraboli będzie równoległa do AB . Niech C będzie środkiem odcinka AB , E środkiem odcinka AC , F środkiem odcinka CB . Rysuj linie równoległe do DC przez punkty A , E , F , B ; niech styczna narysowana w punkcie D , te proste przecinają się w punktach K , L , M , N . Narysujmy również segmenty AD i DB. Niech prosta EL przecina prostą AD w punkcie G i parabolę w punkcie H; linia FM przecina linię DB w punkcie Q i parabolę w punkcie R. Zgodnie z ogólną teorią przekrojów stożkowych DC jest średnicą paraboli (czyli odcinka równoległego do jej osi); to i styczna w punkcie D mogą służyć jako osie współrzędnych x i y, w których równanie paraboli jest zapisane jako y 2 \u003d 2px (x to odległość od D do dowolnego punktu o danej średnicy, y to długość odcinek równoległy do ​​danej stycznej od tego punktu średnicy do pewnego punktu na samej paraboli).

Na mocy równania paraboli DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a ponieważ DK = 2DL , to KA = 4LH . Ponieważ KA = 2LG , LH = HG . Powierzchnia segmentu ADB paraboli jest równa powierzchni trójkąta ΔADB i łącznie powierzchni segmentów AHD i DRB. Z kolei powierzchnia segmentu AHD jest podobnie równa powierzchni trójkąta AHD i pozostałych segmentów AH i HD, z których każdy może wykonać tę samą operację - podzielić na trójkąt (Δ) i pozostałe dwa segmenty (), itd.:

Powierzchnia trójkąta ΔAHD jest równa połowie powierzchni trójkąta ΔALD (mają wspólną podstawę AD, a wysokości różnią się 2 razy), co z kolei jest równe połowie powierzchni ​​trójkąt ΔAKD, a więc połowa obszaru trójkąta ΔACD. Zatem powierzchnia trójkąta ΔAHD jest równa jednej czwartej powierzchni trójkąta ΔACD. Podobnie powierzchnia trójkąta ΔDRB jest równa jednej czwartej powierzchni trójkąta ΔDFB. Tak więc pola trójkątów ∆AHD i ∆DRB razem wzięte są równe jednej czwartej powierzchni trójkąta ∆ADB. Powtórzenie tej operacji dla segmentów AH , HD , DR i RB również wybierze z nich trójkąty, których powierzchnia razem będzie 4 razy mniejsza niż powierzchnia trójkątów ΔAHD i ΔDRB , wziętych razem, a więc 16 razy mniej niż powierzchnia trójkąta ΔADB . Itp:

W ten sposób Archimedes dowiódł, że „każdy odcinek zawarty między linią prostą a parabolą jest równy czterem trzecim trójkąta o tej samej podstawie i równej wysokości”.

Postęp geometryczny nie mniej ważne w matematyce niż w arytmetyce. Postęp geometryczny to taki ciąg liczb b1, b2,..., b[n], którego każdy kolejny człon uzyskuje się przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę. Liczba ta, która również charakteryzuje tempo wzrostu lub spadku progresji, nazywa się mianownik postępu geometrycznego i oznacza

Dla pełnego przypisania ciągu geometrycznego, oprócz mianownika, konieczne jest poznanie lub określenie jego pierwszego członu. Dla dodatniej wartości mianownika progresja jest ciągiem monotonicznym, a jeśli ten ciąg liczb jest monotonicznie malejący i monotonicznie rosnący kiedy. Przypadek, w którym mianownik jest równy jeden, nie jest rozpatrywany w praktyce, ponieważ mamy ciąg identycznych liczb, a ich sumowanie nie ma praktycznego znaczenia

Ogólny termin postępu geometrycznego obliczona według wzoru

Suma pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego określony przez formułę

Rozważmy rozwiązania klasycznych problemów postępu geometrycznego. Zacznijmy od najprostszego do zrozumienia.

Przykład 1. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego to 27, a jego mianownik to 1/3. Znajdź pierwsze sześć wyrazów postępu geometrycznego.

Rozwiązanie: Stan problemu zapisujemy w formularzu

Do obliczeń używamy wzoru na n-ty element postępu geometrycznego

Na jego podstawie znajdujemy nieznanych członków progresji

Jak widać, obliczenie warunków postępu geometrycznego nie jest trudne. Sama progresja będzie wyglądać tak

Przykład 2. Dane są pierwsze trzy elementy ciągu geometrycznego: 6; -12; 24. Znajdź mianownik i siódmy wyraz.

Rozwiązanie: Obliczamy mianownik postępu geometrycznego na podstawie jego definicji

Otrzymaliśmy naprzemienny postęp geometryczny, którego mianownik wynosi -2. Siódmy termin jest obliczany według wzoru

To zadanie zostało rozwiązane.

Przykład 3. Progresja geometryczna jest podana przez dwa jej elementy . Znajdź dziesiąty termin progresji.

Decyzja:

Zapiszmy podane wartości za pomocą wzorów

Zgodnie z zasadami należałoby znaleźć mianownik, a następnie poszukać pożądanej wartości, ale dla dziesiątego wyrazu mamy

Ten sam wzór można uzyskać na podstawie prostych manipulacji danymi wejściowymi. Szósty wyraz szeregu dzielimy przez inny, w wyniku otrzymujemy

Jeśli otrzymaną wartość pomnożymy przez szósty wyraz, otrzymamy dziesiąty

Tak więc dla takich problemów za pomocą prostych przekształceń w szybki sposób można znaleźć właściwe rozwiązanie.

Przykład 4. Progresja geometryczna jest podana przez powtarzające się wzory

Znajdź mianownik postępu geometrycznego i sumę pierwszych sześciu wyrazów.

Decyzja:

Podane dane zapisujemy w postaci układu równań

Wyraź mianownik dzieląc drugie równanie przez pierwsze

Znajdź pierwszy wyraz progresji z pierwszego równania

Oblicz następujące pięć wyrazów, aby znaleźć sumę postępu geometrycznego

Rozważmy serię.

7 28 112 448 1792...

Jest absolutnie jasne, że wartość któregokolwiek z jego elementów jest dokładnie cztery razy większa niż poprzedniego. Więc ta seria to postęp.

Postęp geometryczny to nieskończony ciąg liczb, którego główną cechą jest to, że następną liczbę uzyskuje się z poprzedniej przez pomnożenie przez określoną liczbę. Wyraża to następujący wzór.

a z +1 = a z q, gdzie z jest numerem wybranego elementu.

W związku z tym z N.

Okres, w którym postęp geometryczny jest badany w szkole, to klasa 9. Przykłady pomogą Ci zrozumieć koncepcję:

0.25 0.125 0.0625...

Na podstawie tego wzoru mianownik progresji można znaleźć w następujący sposób:

Ani q, ani bz nie mogą być równe zero. Również każdy z elementów progresji nie powinien być równy zero.

W związku z tym, aby znaleźć następną liczbę w serii, musisz pomnożyć ostatnią przez q.

Aby określić tę progresję, musisz określić jej pierwszy element i mianownik. Następnie można znaleźć dowolny z kolejnych terminów i ich sumę.

Odmiany

W zależności od q i 1, progresja ta dzieli się na kilka typów:

• Jeżeli zarówno a 1 jak i q są większe niż jeden, to taki ciąg jest postępem geometrycznym rosnącym z każdym kolejnym elementem. Przykład takiego przedstawiamy poniżej.

Przykład: a 1 =3, q=2 - oba parametry są większe niż jeden.

Następnie ciąg liczbowy można zapisać w ten sposób:

3 6 12 24 48 ...

• Jeśli |q| mniej niż jeden, czyli mnożenie przez to jest równoznaczne z dzieleniem, to postęp o podobnych warunkach jest malejącym postępem geometrycznym. Przykład takiego przedstawiamy poniżej.

Przykład: a 1 =6, q=1/3 - a 1 jest większe niż jeden, q jest mniejsze.

Następnie ciąg liczb można zapisać w następujący sposób:

6 2 2/3 ... - dowolny element jest 3 razy większy od elementu następującego po nim.

• Zmienna znakowa. Jeśli q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Przykład: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametry są mniejsze od zera.

Następnie sekwencję można zapisać w ten sposób:

3, 6, -12, 24,...

Formuły

Dla wygodnego korzystania z postępów geometrycznych istnieje wiele formuł:

• Formuła z-tego elementu. Pozwala obliczyć element pod określoną liczbą bez obliczania poprzednich liczb.

Przykład:q = 3, a 1 = 4. Wymagane jest obliczenie czwartego elementu progresji.

Decyzja:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Suma pierwszych elementów, których liczba wynosi z. Pozwala obliczyć sumę wszystkich elementów ciągu doa zwłącznie.

Od (1-q) jest w mianowniku, to (1 - q)≠ 0, stąd q nie jest równe 1.

Uwaga: jeśli q=1, to progresja będzie serią nieskończenie powtarzającej się liczby.

Suma postępu geometrycznego, przykłady:a 1 = 2, q= -2. Oblicz S 5 .

Decyzja:S 5 = 22 - obliczenia według wzoru.

• Kwota, jeśli |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Przykład:a 1 = 2 , q= 0,5. Znajdź kwotę.

Decyzja:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Niektóre właściwości:

• charakterystyczna właściwość. Jeśli następujący warunek wykonywane dla każdegoz, to podana seria liczb jest ciągiem geometrycznym:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Również kwadrat dowolnej liczby postępu geometrycznego znajduje się przez dodanie kwadratów dowolnych dwóch innych liczb w danym szeregu, jeśli są one równoodległe od tego elementu.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdzietto odległość między tymi liczbami.

• Elementyróżnią się w qraz.
• Logarytmy elementów progresji również tworzą postęp, ale już arytmetyczny, to znaczy każdy z nich jest większy od poprzedniego o określoną liczbę.

Przykłady niektórych klasycznych problemów

Aby lepiej zrozumieć, czym jest postęp geometryczny, pomocne mogą być przykłady z rozwiązaniem dla klasy 9.

• Warunki:a 1 = 3, a 3 = 48. Znajdźq.

Rozwiązanie: każdy kolejny element jest większy od poprzedniego wq raz.Niezbędne jest wyrażenie niektórych elementów przez inne za pomocą mianownika.

Stąd,a 3 = q 2 · a 1

Podczas zastępowaniaq= 4

• Warunki:a 2 = 6, a 3 = 12. Oblicz S 6 .

Decyzja:Aby to zrobić, wystarczy znaleźć pierwszy element q i podstawić go do wzoru.

a 3 = q· a 2 , W związku z tym,q= 2

a 2 = q 1 ,Dlatego a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Znajdź czwarty element progresji.

Rozwiązanie: aby to zrobić, wystarczy wyrazić czwarty element przez pierwszy i przez mianownik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Przykład zastosowania:

• Klient banku dokonał wpłaty w wysokości 10 000 rubli, zgodnie z warunkami, na których co roku klient doda 6% kwoty głównej. Ile pieniędzy będzie na koncie po 4 latach?

Rozwiązanie: Początkowa kwota to 10 tysięcy rubli. Czyli rok po inwestycji na koncie będzie kwota równa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

W związku z tym kwota na rachunku po kolejnym roku będzie wyrażona w następujący sposób:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Oznacza to, że każdego roku kwota wzrasta o 1,06 razy. Oznacza to, że aby po 4 latach znaleźć kwotę środków na koncie, wystarczy znaleźć czwarty element progresji, który daje pierwszy element równy 10 tys. i mianownik równy 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Przykładowe zadania do obliczenia sumy:

W różnych problemach stosuje się postęp geometryczny. Przykład znalezienia sumy można podać w następujący sposób:

a 1 = 4, q= 2, obliczS5.

Rozwiązanie: wszystkie dane niezbędne do obliczeń są znane, wystarczy je podstawić do wzoru.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Oblicz sumę pierwszych sześciu elementów.

Decyzja:

Geom. progresja, każdy kolejny element jest q razy większy od poprzedniego, czyli aby obliczyć sumę, musisz znać elementa 1 i mianownikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobnie musimy znaleźća 1 , wiedząca 2 orazq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Rozważmy teraz kwestię sumowania nieskończonego postępu geometrycznego. Nazwijmy sumę częściową danego nieskończonego postępu sumą jego pierwszych członów. Oznacz sumę częściową symbolem

Za każdy nieskończony postęp

można skomponować (także nieskończony) ciąg jego sum częściowych

Niech sekwencja z nieograniczonym wzrostem ma limit

W tym przypadku liczbę S, czyli granicę sum cząstkowych progresji, nazywamy sumą nieskończonego progresji. Udowodnimy, że nieskończenie malejący postęp geometryczny zawsze ma sumę i wyprowadzimy wzór na tę sumę (możemy również pokazać, że dla nieskończonego postępu nie ma sumy, nie istnieje).

Wyrażenie na sumę częściową zapisujemy jako sumę elementów progresji zgodnie ze wzorem (91.1) i rozważamy granicę sumy częściowej przy

Z twierdzenia z punktu 89 wiadomo, że dla progresji malejącej ; dlatego stosując twierdzenie graniczne różnicy, znajdujemy

(tutaj również stosuje się zasadę: stały czynnik jest wyjęty ze znaku limitu). Istnienie jest udowodnione, a jednocześnie otrzymujemy wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego:

Równość (92,1) można również zapisać jako

Tutaj może wydawać się paradoksalne, że dobrze zdefiniowana skończona wartość jest przypisana sumie nieskończonego zbioru terminów.

W celu wyjaśnienia tej sytuacji można podać wyraźną ilustrację. Rozważ kwadrat o boku równym jeden (ryc. 72). Podzielmy ten kwadrat linią poziomą na dwie równe części i przyłóżmy górną część do dolnej tak, aby powstał prostokąt o bokach 2 i . Następnie ponownie dzielimy prawą połowę tego prostokąta na pół linią poziomą i mocujemy górną część do dolnej (jak pokazano na ryc. 72). Kontynuując ten proces, nieustannie przekształcamy pierwotny kwadrat o powierzchni równej 1 w figury równej wielkości (przybierając formę klatki schodowej z pocieniającymi stopniami).

Przy nieskończonej kontynuacji tego procesu, cały obszar kwadratu rozkłada się na nieskończoną liczbę wyrazów - obszary prostokątów o podstawie równej 1 i wysokości. Obszary prostokątów tworzą po prostu nieskończony postęp malejący, jego suma

tj. zgodnie z oczekiwaniami jest równa powierzchni kwadratu.

Przykład. Znajdź sumy następujących nieskończonych progresji:

Rozwiązanie, a) Zauważamy, że ten postęp Dlatego ze wzoru (92.2) znajdujemy

b) Oznacza to, że według tego samego wzoru (92.2) mamy

c) Stwierdzamy, że ta progresja Dlatego ta progresja nie ma sumy.

W rozdziale 5 pokazano zastosowanie wzoru na sumę wyrazów nieskończenie malejącej progresji do konwersji okresowego ułamka dziesiętnego na zwykły ułamek.

Ćwiczenia

1. Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego wynosi 3/5, a suma jego pierwszych czterech wyrazów to 13/27. Znajdź pierwszy termin i mianownik progresji.

2. Znajdź cztery liczby, które tworzą naprzemienny ciąg geometryczny, w którym drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego o 35, a trzeci jest większy od czwartego o 560.

3. Pokaż co jeśli sekwencja

tworzy nieskończenie malejący postęp geometryczny, to ciąg

dla dowolnej formy nieskończenie malejący postęp geometryczny. Czy to twierdzenie jest aktualne?

Wyprowadź wzór na iloczyn warunków postępu geometrycznego.