I złoty podział. Złoty podział - matematyka - święta geometria - nauka - katalog artykułów - róża świata

Każda osoba, która styka się z geometrią obiektów w przestrzeni, dobrze zna metodę złotego przekroju. Znajduje zastosowanie w sztuce, aranżacji wnętrz i architekturze. Jeszcze w ubiegłym stuleciu złoty podział okazał się tak popularny, że obecnie wielu zwolenników mistycznej wizji świata nadało mu inną nazwę – uniwersalną regułę harmoniczną. Warto bardziej szczegółowo rozważyć cechy tej metody. Pomoże to dowiedzieć się, dlaczego interesuje go jednocześnie kilka dziedzin działalności - sztuka, architektura, design.

Esencja uniwersalnej proporcji

Zasada złotej sekcji to tylko zależność liczb. Jednak wielu jest do tego uprzedzonych, przypisując temu zjawisku pewne mistyczne moce. Powód tkwi w niezwykłych właściwościach reguły:

• Wiele żywych obiektów ma proporcje tułowia i kończyn zbliżone do wskazań złotej sekcji.
• Zależności 1,62 lub 0,63 określają stosunki wielkości tylko dla żywych istot. Przedmioty związane z przyrodą nieożywioną bardzo rzadko odpowiadają sensowi zasady harmonicznej.
• Złote proporcje budowy ciała istot żywych są niezbędnym warunkiem przetrwania wielu gatunków biologicznych.

Złoty podział można znaleźć w budowie ciał różnych zwierząt, pni drzew i korzeni krzewów. Zwolennicy uniwersalności tej zasady starają się udowodnić, że jej znaczenie jest kluczowe dla przedstawicieli świata żywego.

Możesz wyjaśnić metodę złotej sekcji za pomocą obrazu kurzego jaja. Stosunek odcinków od punktów powłoki, równie odległych od środka ciężkości, jest równy złotemu podziałowi. Najważniejszym wskaźnikiem przetrwania ptaków jest kształt jaja, a nie wytrzymałość skorupy.

Ważny! Złoty podział jest obliczany na podstawie pomiarów wielu żywych obiektów.

Pochodzenie złotego podziału

Matematycy starożytnej Grecji wiedzieli o uniwersalnej regule. Był używany przez Pitagorasa i Euklidesa. W słynnym arcydziele architektonicznym - piramidzie Cheopsa stosunek wymiarów części głównej do długości boków, a także płaskorzeźby i detale dekoracyjne, odpowiadają zasadzie harmonii.

Metodę złotego przekroju przyjęli nie tylko architekci, ale także artyści. Za jedną z największych tajemnic uznano tajemnicę harmonicznej proporcji.

Pierwszym, który udokumentował uniwersalną proporcję geometryczną, był franciszkanin Luca Pacioli. Jego zdolności matematyczne były doskonałe. Złota sekcja zyskała szerokie uznanie po publikacji wyników Zeisinga w sekcji złotej. Studiował proporcje ludzkiego ciała, starożytne rzeźby, rośliny.

Jak obliczono złoty podział?

Aby zrozumieć, czym jest złoty podział, pomocne będzie wyjaśnienie oparte na długości segmentów. Na przykład wewnątrz dużego jest kilka małych. Następnie długości małych segmentów są odnoszone do całkowitej długości dużego segmentu jako 0,62. Taka definicja pomaga zorientować się, na ile części można podzielić daną linię, aby była zgodna z regułą harmoniczną. Kolejną zaletą korzystania z tej metody jest to, że możesz dowiedzieć się, jaki powinien być stosunek największego segmentu do długości całego obiektu. Ten stosunek wynosi 1,62.

Takie dane można przedstawić jako proporcje mierzonych obiektów. Najpierw szukano ich, wybierając empirycznie. Jednak teraz dokładne proporcje są znane, więc nie będzie trudno zbudować obiekt zgodnie z nimi. Złoty podział można znaleźć w następujący sposób:

• Skonstruuj trójkąt prostokątny. Podziel jeden z jego boków, a następnie narysuj prostopadłe za pomocą siecznych łuków. Podczas wykonywania obliczeń konieczne jest zbudowanie prostopadłego z jednego końca odcinka, równego ½ jego długości. Następnie skończony jest trójkąt prostokątny. Jeśli zaznaczysz punkt na przeciwprostokątnej, który pokaże długość prostopadłego odcinka, to promień równy reszcie linii przetnie podstawę na dwie połowy. Powstałe linie będą ze sobą powiązane zgodnie ze złotym podziałem.
• Uniwersalne walory geometryczne uzyskuje się również w inny sposób – budując pentagram Durera. Jest gwiazdą umieszczoną w kole. Zawiera 4 segmenty, których długość odpowiada zasadzie złotej sekcji.
• W architekturze proporcja harmoniczna jest używana w zmodyfikowanej formie. Aby to zrobić, należy podzielić trójkąt prostokątny wzdłuż przeciwprostokątnej.

Ważny! W porównaniu z klasyczną koncepcją metody złotego podziału, wersja architekta ma stosunek 44:56.

Jeśli w tradycyjnej interpretacji reguły harmonicznej dla grafiki obliczono ją jako 37:63, to 44:56 częściej stosowano dla konstrukcji architektonicznych. Wynika to z konieczności budowy wysokich budynków.

Sekret złotego podziału

Jeśli w przypadku obiektów żywych złoty podział, który przejawia się w proporcjach ciała ludzi i zwierząt, można wytłumaczyć koniecznością dostosowania się do środowiska, to zastosowanie w XII wieku zasady optymalnych proporcji budowanie domów było nowe.

Partenon, zachowany z czasów starożytnej Grecji, został wzniesiony metodą złotego przekroju. Powstało wiele średniowiecznych zamków szlacheckich o parametrach odpowiadających regule harmonicznej.

Złoty podział w architekturze

Liczne budowle starożytności, które przetrwały do ​​dziś, są potwierdzeniem, że architekci średniowiecza znali zasadę harmonii. Wyraźnie widoczna jest chęć zachowania harmonijnych proporcji w budowie kościołów, znaczących obiektów użyteczności publicznej, rezydencji osób królewskich.

Na przykład Katedra Notre Dame została zbudowana w taki sposób, że wiele jej sekcji odpowiada zasadzie złotej sekcji. Można znaleźć wiele dzieł architektury XVIII wieku, które zostały zbudowane zgodnie z tą zasadą. Zasadę tę stosowało również wielu rosyjskich architektów. Wśród nich był M. Kazakow, który tworzył projekty osiedli i budynków mieszkalnych. Zaprojektował gmach Senatu i szpital Golicyna.

Oczywiście domy o takim stosunku części wzniesiono jeszcze przed odkryciem zasady złotego podziału. Na przykład takie budynki obejmują kościół wstawiennictwa na Nerl. Piękno budowli staje się jeszcze bardziej tajemnicze, że gmach kościoła wstawienniczego wzniesiono w XVIII wieku. Jednak po renowacji budynek zyskał nowoczesny wygląd.

W pismach o złotym podziale wspomina się, że w architekturze percepcja obiektów zależy od tego, kto obserwuje. Proporcje utworzone za pomocą złotej sekcji dają najbardziej zrelaksowany stosunek części konstrukcji do siebie.

Uderzającym reprezentantem wielu budowli zgodnych z uniwersalną zasadą jest Partenon, zabytek architektury wzniesiony w V wieku p.n.e. mi. Partenon ma osiem kolumn na mniejszych fasadach i siedemnaście na większych. Świątynia została zbudowana ze szlachetnego marmuru. Z tego powodu stosowanie koloryzacji jest ograniczone. Wysokość budynku nawiązuje do jego długości 0,618. Jeśli podzielisz Partenon zgodnie z proporcjami złotej części, uzyskasz pewne występy fasady.

Wszystkie te konstrukcje łączy jedno – harmonia połączenia form i doskonała jakość wykonania. Wynika to z zastosowania reguły harmonicznej.

Znaczenie złotego podziału dla osoby

Architektura starożytnych budynków i średniowiecznych domów jest dość interesująca dla współczesnych projektantów. Wynika to z takich powodów:

• Dzięki oryginalnemu projektowi domów możesz uniknąć irytujących frazesów. Każdy taki budynek to arcydzieło architektury.
• Masowe zastosowanie reguły do ​​ozdabiania rzeźb i posągów.
• Dzięki zachowaniu harmonijnych proporcji uwagę przykuwają ważniejsze detale.

Ważny! Tworząc projekt budowlany i tworząc wygląd zewnętrzny, architekci średniowiecza zastosowali uniwersalne proporcje, oparte na prawach ludzkiej percepcji.

Dziś psychologowie doszli do wniosku, że zasada złotego podziału to nic innego jak reakcja człowieka na pewien stosunek rozmiarów i kształtów. W jednym eksperymencie poproszono grupę badanych o złożenie kartki papieru w taki sposób, aby boki wyszły w optymalnych proporcjach. W 85 wynikach na 100 osoby złożyły prześcieradło niemal dokładnie według zasady harmonicznej.

Według współczesnych naukowców wskaźniki złotej sekcji są bardziej w dziedzinie psychologii niż charakteryzują prawa świata fizycznego. To wyjaśnia, dlaczego oszustów tak bardzo się nim interesuje. Jednak konstruując przedmioty zgodnie z tą zasadą, człowiek odbiera je wygodniej.

Korzystanie ze złotego podziału w projektowaniu

Zasady stosowania uniwersalnej proporcji są coraz częściej stosowane przy budowie domów prywatnych. Szczególną uwagę zwraca się na zachowanie optymalnych proporcji konstrukcji. Dużo uwagi poświęca się prawidłowemu rozłożeniu uwagi w domu.

Współczesna interpretacja złotego przekroju nie odnosi się już tylko do zasad geometrii i formy. Dziś zasada harmonijnych proporcji przestrzega nie tylko gabarytów detali elewacji, powierzchni pomieszczeń czy długości szczytów, ale także kolorystyki użytej do stworzenia wnętrza.

O wiele łatwiej jest zbudować harmonijną konstrukcję na bazie modułowej. Wiele działów i pomieszczeń w tym przypadku jest wykonywanych jako osobne bloki. Zaprojektowane są w ścisłej zgodzie z zasadą harmonii. Postawienie budynku jako zestawu osobnych modułów jest znacznie łatwiejsze niż stworzenie pojedynczego pudełka.

Wiele firm zajmujących się budową domów wiejskich, tworząc projekt, kieruje się zasadą harmonii. Dzięki temu klienci mają wrażenie, że konstrukcja budynku została szczegółowo dopracowana. Takie domy są zwykle określane jako najbardziej harmonijne i wygodne w użytkowaniu. Dzięki optymalnemu doborowi powierzchni pomieszczeń mieszkańcy czują się psychicznie spokojni.

Jeśli dom został zbudowany bez uwzględnienia proporcji harmonicznych, można stworzyć układ, który będzie zbliżony do 1:1,61 pod względem stosunku rozmiarów ścian. Aby to zrobić, w pokojach instaluje się dodatkowe przegrody lub przestawia się meble.

Podobnie zmienia się wymiary drzwi i okien tak, aby otwór miał szerokość 1,61 razy mniejszą niż wartość wysokości.

Trudniej wybrać kolory. W tym przypadku można zaobserwować uproszczoną wartość złotej sekcji - 2/3. Główny kolor tła powinien zajmować 60% powierzchni pomieszczenia. Cień zajmuje 30% pomieszczenia. Pozostała powierzchnia jest zamalowana tonami zbliżonymi do siebie, co wzmacnia percepcję wybranego koloru.

Wewnętrzne ściany pomieszczeń przedzielone są poziomym pasem. Znajduje się 70 cm od podłogi. Wysokość mebli powinna współgrać z wysokością ścian. Zasada ta dotyczy również rozkładu długości. Np. sofa powinna mieć wymiary co najmniej 2/3 długości ściany. Powierzchnia pokoju zajmowana przez meble również powinna mieć pewną wartość. Odnosi się do całkowitej powierzchni całego pomieszczenia jako 1:1.61.

Złoty podział jest trudny do zastosowania w praktyce ze względu na obecność tylko jednej liczby. Dlatego. Projektuję harmonijne budynki, stosuję szereg liczb Fibonacciego. Daje to wiele możliwości kształtowania i proporcji detali budynku. Seria liczb Fibonacciego jest również nazywana złotą. Wszystkie wartości ściśle odpowiadają pewnej matematycznej zależności.

Oprócz serii Fibonacciego w architekturze nowoczesnej stosowana jest również inna metoda projektowania – zasada określona przez francuskiego architekta Le Corbusiera. Wybierając tę ​​metodę, początkową jednostką miary jest wzrost właściciela domu. Na podstawie tego wskaźnika obliczane są wymiary budynku i wnętrza. Dzięki takiemu podejściu dom jest nie tylko harmonijny, ale także nabiera indywidualności.

Każde wnętrze nabierze pełniejszego wyglądu, jeśli zastosujemy w nim gzymsy. Używając uniwersalnych proporcji, możesz obliczyć jego rozmiar. Optymalne wskaźniki to 22,5, 14 i 8,5 cm Okap należy montować zgodnie z zasadami złotej sekcji. Mniejsza strona elementu dekoracyjnego powinna być powiązana z większą stroną, podobnie jak z połączonymi wartościami obu stron. Jeśli duży bok ma 14 cm, to mały powinien mieć 8,5 cm.

Możesz zapewnić komfort w pomieszczeniu, dzieląc powierzchnie ścian za pomocą luster gipsowych. Jeżeli ściana jest podzielona krawężnikiem wysokość listwy gzymsowej należy odjąć od pozostałej większej części ściany. Aby stworzyć lustro o optymalnej długości, należy cofnąć tę samą odległość od krawężnika i gzymsu.

Wniosek

Domy budowane według zasady złotego przekroju okazują się naprawdę bardzo wygodne. Jednak cena budowy takich budynków jest dość wysoka, ponieważ koszt materiałów budowlanych wzrasta o 70% z powodu nietypowych rozmiarów. To podejście wcale nie jest nowe, ponieważ większość domów ubiegłego wieku została stworzona w oparciu o parametry właścicieli.

Dzięki zastosowaniu w budownictwie i projektowaniu metody złotego przekroju budynki są nie tylko wygodne, ale i trwałe. Wyglądają harmonijnie i atrakcyjnie. Wnętrze jest również udekorowane według uniwersalnej proporcji. Pozwala to mądrze wykorzystać przestrzeń.

W takich pokojach człowiek czuje się tak komfortowo, jak to tylko możliwe. Możesz sam zbudować dom na zasadzie złotej sekcji. Najważniejsze jest obliczenie obciążeń elementów konstrukcji i wybór odpowiednich materiałów.

W aranżacji wnętrz stosuje się metodę złotego przekroju, umieszczając w pomieszczeniu elementy dekoracyjne o określonych rozmiarach. Pozwala to na zapewnienie komfortu w pomieszczeniu. Rozwiązania kolorystyczne dobierane są również zgodnie z uniwersalnymi proporcjami harmonicznymi.

ZŁOTY STOSUNEK

1. Wprowadzenie 2 . Złoty współczynnik — proporcja harmoniczna
3 . Drugi złoty podział
4 . Zo trójkąt lotosu (pentagram)
5 . Historia złotej sekcji 6 . Złoty podział i symetria 7. Seria Fibonacciego 8 . Uogólniony złoty podział 9 . Zasady formacji w przyrodzie 1 0 . Ludzkie ciało i złoty podział 1 1 . Złoty podział w rzeźbie 1 2 . Złoty podział w architekturze 1 3 . Złoty podział w muzyce 1 4 . Złoty podział w poezji 1 5 . Złoty podział w czcionkach i przedmiotach gospodarstwa domowego 1 6 . Optymalne parametry fizyczne środowiska 1 7 . Złoty podział w malarstwie 1 8 . Złoty podział i percepcja obrazu 19. Złoty podział na zdjęciach 2 0 . Złoty podział i przestrzeń 2 1 . Wniosek 2 2 . Bibliografia
WPROWADZENIE Od czasów starożytnych ludzie obawiali się, czy tak nieuchwytne rzeczy, jak piękno i harmonia, podlegają jakimkolwiek matematycznym obliczeniom.. Oczywiście wszystkich praw piękna nie da się zawrzeć w kilku formułach, ale studiując matematykę, możemy odkryć kilka terminów piękna.- złoty podział. Naszym zadaniem jest dowiedzieć się, czym jest złoty podział i ustalić, gdzie ludzkość znalazła zastosowanie złota. sekcja. Zapewne zwróciłeś uwagę na to, że inaczej traktujemy przedmioty i zjawiska otaczającej rzeczywistości. Nieporządek, bezkształtność, dysproporcja odbierane są przez nas jako brzydkie i wywołują odrażające wrażenie. A przedmioty i zjawiska charakteryzujące się miarą, celowością i harmonią odbierane są jako piękne i wywołują w nas uczucie podziwu, radości, pocieszenia. Człowiek w swojej działalności nieustannie styka się z obiektami, dla których podstawą jest złoty podział.Są rzeczy, których nie da się wyjaśnić. Więc podchodzisz do pustej ławki i siadasz na niej. Gdzie usiądziesz - w środku? A może z samej krawędzi? Nie, najprawdopodobniej nie jedno ani drugie. Będziesz siedzieć tak, aby stosunek jednej części ławki do drugiej w stosunku do twojego ciała wynosił około 1,62. Prosta rzecz, absolutnie instynktowna... Siadając na ławce, wytworzyłeś "złotą proporcję". Złoty podział był znany w starożytnym Egipcie i Babilonie, w Indiach i Chinach. Wielki Pitagoras stworzył tajną szkołę, w której badano mistyczną esencję „złotej sekcji”. Euklides zastosował go, tworząc swoją geometrię, a Fidiasz - swoje nieśmiertelne rzeźby. Platon powiedział, że wszechświat jest ułożony według „złotej sekcji”. A Arystoteles znalazł zgodność „złotej sekcji” z prawem etycznym. Najwyższą harmonię „złotego odcinka” będą głosić Leonardo da Vinci i Michał Anioł, bo piękno i „złoty odcinek” to jedno i to samo. A mistycy chrześcijańscy narysują pentagramy „złotej części” na ścianach swoich klasztorów, uciekając przed diabłem. Jednocześnie naukowcy - z Pacho ja a przed Einsteinem - będą szukać, ale nigdy nie znajdą jego dokładnego znaczenia. Niekończąca się seria po przecinku - 1,6180339887... Dziwna, tajemnicza, niewytłumaczalna rzecz: ta boska proporcja w sposób mistyczny towarzyszy wszystkim żywym istotom. Przyroda nieożywiona nie wie, czym jest „złoty odcinek”. Ale z pewnością zobaczysz tę proporcję w krzywiznach muszli, w postaci kwiatów, w postaci chrząszczy i w pięknym ludzkim ciele. Wszystko, co żyje i wszystko, co piękne - wszystko jest posłuszne prawu boskiemu, którego nazwa to „złota sekcja”. Czym więc jest „złota sekcja”?.. Czym jest to idealne, boskie połączenie? Może to prawo piękna? A może to wciąż mistyczna tajemnica? Zjawisko naukowe czy zasada etyczna? Odpowiedź jest wciąż nieznana. Dokładniej – nie, wiadomo. „Złota sekcja” to zarówno ta, jak i druga i trzecia. Tylko nie osobno, ale jednocześnie… I to jest jego prawdziwa tajemnica, jego wielka tajemnica. Trudno chyba znaleźć rzetelną miarę do obiektywnej oceny samego piękna, a sama logika tu nie wystarczy. Pomoże tu jednak doświadczenie tych, dla których poszukiwanie piękna było sensem życia, którzy uczynili z tego swój zawód. Przede wszystkim są to ludzie sztuki, jak ich nazywamy: artyści, architekci, rzeźbiarze, muzycy, pisarze. Ale to także ludzie nauk ścisłych, przede wszystkim matematycy. Ufając oku bardziej niż innym narządom zmysłów, człowiek przede wszystkim nauczył się rozróżniać przedmioty wokół siebie po kształcie. Zainteresowanie formą przedmiotu może być podyktowane życiową koniecznością lub może być spowodowane pięknem formy. Forma, która opiera się na połączeniu symetrii i złotego podziału, przyczynia się do najlepszej percepcji wzrokowej oraz pojawienia się poczucia piękna i harmonii. Całość zawsze składa się z części, części różnej wielkości są w pewnym stosunku do siebie i do całości.Zasada złotego podziału jest najwyższym przejawem doskonałości konstrukcyjnej i funkcjonalnej całości i jej części w sztuce, nauce, technice i przyrodzie. SEKCJA ZŁOTA - PROPORCJE HARMONII W matematyce proporcja to równość dwóch stosunków: a: b = c: d. Odcinek linii AB można podzielić na dwie części w następujący sposób: -- na dwie równe części - AB: AC = AB: BC; -- na dwie nierówne części w dowolnym stosunku (takie części nie tworzą proporcji); -- tak więc, gdy AB: AC = AC: BC. Ostatni to złoty podział. Złoty przekrój to taki proporcjonalny podział segmentu na nierówne części, w którym cały segment odnosi się do większej części w taki sam sposób, jak sama większa część odnosi się do mniejszej; czyli innymi słowy, mniejszy segment jest powiązany z większym, tak jak większy jest ze wszystkim a: b = b: c lub c: b = b: a. Praktyczna znajomość złotego podziału zaczyna się od podzielenia odcinka prostej w złotym podziale za pomocą cyrkla i linijki. Od punktu B przywracana jest prostopadłość równa połowie AB. Wynikowy punkt C jest połączony linią z punktem A. Na otrzymanej linii wykreślany jest odcinek BC, kończący się na punkcie D. Odcinek AD jest przenoszony na prostą AB. Wynikowy punkt E dzieli odcinek AB w stosunku złotego podziału. Segmenty złotego podziału są wyrażone jako nieskończony ułamek AE \u003d 0,618 ..., jeśli AB jest traktowane jako jednostka, BE \u003d 0,382 ... Ze względów praktycznych przybliżone wartości wynoszą 0,62 i 0,38 często używany. Jeśli segment AB przyjmie się jako 100 części, to największa część segmentu to 62, a mniejsza 38 części. Właściwości złotej sekcji opisuje równanie: x2 - x - 1 = 0. Rozwiązanie tego równania:

Właściwości złotego podziału stworzyły wokół tej liczby romantyczną aurę tajemniczości i niemal mistycznego pokolenia. Na przykład w zwykłej pięcioramiennej gwieździe każdy segment jest podzielony segmentem przecinającym go w złotym stosunku (tj. stosunek segmentu niebieskiego do zielonego, czerwonego do niebieskiego, zielonego do fioletowego wynosi 1,618)
DRUGA ZŁOTA SEKCJA Bułgarski magazyn „Fatherland” opublikował artykuł Tsvetana Tsekov-Karandash „O drugiej złotej sekcji”, który wynika z sekcji głównej i podaje inny stosunek 44:56. Ta proporcja znajduje się w architekturze. Podział przeprowadza się w następujący sposób. Segment AB jest podzielony proporcjonalnie do złotej sekcji. Od punktu C przywracana jest prostopadła płyta CD. Promień AB to punkt D, który jest połączony linią z punktem A. ACD pod kątem prostym jest dwusieczna. Linia jest rysowana od punktu C do przecięcia z linią AD. Punkt E dzieli odcinek AD w stosunku 56:44. Rysunek pokazuje położenie linii drugiego złotego odcinka. Znajduje się pośrodku między złotą linią przekroju a środkową linią prostokąta. ZŁOTY TRÓJKĄT Aby znaleźć segmenty złotego podziału rosnących i malejących rzędów, możesz użyć pentagramu. Aby zbudować pentagram, musisz zbudować pięciokąt foremny. Sposób jego budowy opracował niemiecki malarz i grafik Albrecht Dürer. Niech O będzie środkiem okręgu, A punktem na okręgu, a E środkiem odcinka OA. Prostopadła do promienia OA, wzniesiona w punkcie O, przecina się z okręgiem w punkcie D. Za pomocą cyrkla zaznaczyć odcinek CE = ED na średnicy. Długość boku pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg to DC. Odkładamy segmenty DC na okręgu i otrzymujemy pięć punktów za narysowanie pięciokąta foremnego. Łączymy rogi pięciokąta przez jedną przekątną i otrzymujemy pentagram. Wszystkie przekątne pięciokąta dzielą się na odcinki połączone złotym podziałem. Każdy koniec pięciokątnej gwiazdy to złoty trójkąt. Jej boki tworzą u góry kąt 36°, a podstawa położona z boku dzieli go proporcjonalnie do złotego podziału. Narysuj linię prostą AB. Od punktu A odkładamy na nim trzykrotnie odcinek O dowolnej wielkości, przez otrzymany punkt P rysujemy prostopadłą do prostej AB, na prostopadłej na prawo i lewo od punktu P odkładamy odcinki O. Punkty d i d1 są połączone prostymi z punktem A. Odcinek dd1 kładziemy na prostej Ad1, otrzymując punkt C. Podzieliła prostą Ad1 proporcjonalnie do złotego podziału. Linie Ad1 i dd1 służą do budowy „złotego” prostokąta. HISTORIA SEKCJI ZŁOTEJ
Powszechnie przyjmuje się, że pojęcie złotego podziału zostało wprowadzone do użytku naukowego przez Pitagorasa, starożytnego greckiego filozofa i matematyka. Istnieje przypuszczenie, że Pitagoras zapożyczył swoją wiedzę o złotym podziale od Egipcjan i Babilończyków. Rzeczywiście, proporcje piramidy Cheopsa, świątyń, przedmiotów gospodarstwa domowego i dekoracji z grobowca Tutanchamona wskazują, że egipscy rzemieślnicy przy ich tworzeniu stosowali proporcje złotego podziału. Francuski architekt Le Corbusier stwierdził, że na płaskorzeźbie ze świątyni faraona Seti I w Abydos oraz na płaskorzeźbie przedstawiającej faraona Ramzesa proporcje postaci odpowiadają wartościom złotego podziału. Architekt Khesira, przedstawiony na płaskorzeźbie drewnianej deski z grobowca jego imienia, trzyma w rękach przyrządy pomiarowe, w których ustalane są proporcje złotego podziału. Grecy byli wykwalifikowanymi geometrami. Nawet arytmetyki uczono ich dzieci za pomocą figur geometrycznych. Kwadrat Pitagorasa i przekątna tego kwadratu były podstawą do skonstruowania dynamicznych prostokątów. Platon wiedział też o złotym podziale. Pitagorejski Timaeus w dialogu Platona o tym samym tytule mówi: "Niemożliwe jest, aby dwie rzeczy były idealnie połączone bez trzeciej, ponieważ musi pojawić się między nimi rzecz, która by je trzymała. Najlepiej to zrobić proporcjonalnie, ponieważ jeśli trzy liczby mają tę właściwość, że średnia ma się do mniejszej, jak większa do średniej i odwrotnie, im mniejsza jest do średniej, jak średnia do większej, wtedy ostatnia i pierwsza będzie środkiem, i środkowy pierwszy i ostatni. ponieważ będzie taki sam, będzie tworzył całość." Platon buduje świat ziemski za pomocą trójkątów dwóch typów: równoramiennych i nierównoramiennych. Za najpiękniejszy trójkąt prostokątny uważa taki, w którym przeciwprostokątna jest dwukrotnie najmniejszą z nóg (taki prostokąt jest w połowie równoboczny, główna figura Babilończyków, ma stosunek 1:3 1/2 , która różni się od złotego podziału o około 1/25 i nazywana jest przez Thymerding "rywalem złotego podziału"). Za pomocą trójkątów Platon buduje cztery regularne wielościany, łącząc je z czterema ziemskimi żywiołami (ziemia, woda, powietrze i ogień). I tylko ostatni z pięciu istniejących wielościanów foremnych - dwunastościan, którego wszystkie dwanaście ścian jest pięciokątami foremnymi, twierdzi, że jest symbolicznym obrazem niebiańskiego świata.

Dwudziestościan i dwunastościan Zaszczyt odkrycia dwunastościanu (lub, jak przypuszczano, samego Wszechświata, tej kwintesencji czterech żywiołów, symbolizowanych odpowiednio przez czworościan, ośmiościan, dwudziestościan i sześcian) należy do Hippaza, który zginął później we wraku statku. Ta figura naprawdę ujmuje wiele związków złotego podziału, więc temu drugiemu przypisano główną rolę w świecie niebiańskim, na co później nalegał młodszy brat Luca Pacioli. W fasadzie starożytnej greckiej świątyni Partenonu znajdują się złote proporcje. Podczas jego wykopalisk znaleziono kompasy, z których korzystali architekci i rzeźbiarze starożytnego świata. Kompas pompejański (Muzeum w Neapolu) również zawiera proporcje złotego podziału. W starożytnej literaturze, która do nas dotarła, złoty podział został po raz pierwszy wspomniany w „Początkach” Euklidesa. W II księdze „Początków” podana jest geometryczna konstrukcja złotego podziału. Po Euklidesie, Hypsicles (II wpne), Pappus (III wne) i inni badali złoty podział, aw średniowiecznej Europie zapoznali się ze złotym podziałem z arabskich tłumaczeń „Początków” Euklidesa. Tłumacz J. Campano z Nawarry (III wiek) skomentował tłumaczenie. Sekrety złotej dywizji były zazdrośnie strzeżone, trzymane w ścisłej tajemnicy. Znane były tylko wtajemniczonym. W średniowieczu pentagram był demonizowany (podobnie jak wiele rzeczy uważanych za boskie w starożytnym pogaństwie) i znalazł schronienie w naukach okultystycznych. Jednak renesans ponownie ujawnia zarówno pentagram, jak i złoty podział. Tak więc schemat opisujący budowę ciała ludzkiego zyskał szerokie rozpowszechnienie w tym okresie twierdzenia humanizmu: Leonardo da Vinci również wielokrotnie uciekał się do takiego obrazu, zasadniczo odtwarzając pentagram. Jego interpretacja: ciało ludzkie ma boską doskonałość, ponieważ tkwiące w nim proporcje są takie same jak w głównej postaci niebieskiej. Leonardo da Vinci, artysta i naukowiec, zauważył, że włoscy artyści mieli duże doświadczenie empiryczne, ale niewielką wiedzę. Począł i zaczął pisać książkę o geometrii, ale w tym czasie ukazała się książka mnicha Luca Pacioli, a Leonardo porzucił swój pomysł. Według współczesnych i historyków nauki Luca Pacioli był prawdziwym luminarzem, największym matematykiem we Włoszech między Fibonaccim a Galileuszem. Luca Pacioli był uczniem artysty Piero della Francesca, który napisał dwie książki, z których jedna nosiła tytuł O perspektywie w malarstwie. Uważany jest za twórcę geometrii wykreślnej.

Luca Pacioli doskonale zdawał sobie sprawę z wagi nauki dla sztuki. W 1496 r. na zaproszenie księcia Moreau przybył do Mediolanu, gdzie wykładał matematykę. Leonardo da Vinci pracował w tym czasie również na dworze Moro w Mediolanie. W 1509 roku w Wenecji ukazała się książka Luki Pacioli „O Boskich proporcjach” (De divina proporcja, 1497, wydana w Wenecji w 1509) ze znakomicie wykonanymi ilustracjami, dlatego uważa się, że wykonał je Leonardo da Vinci. Książka była entuzjastycznym hymnem do złotego podziału. Jest tylko jedna taka proporcja, a wyjątkowość jest najwyższym atrybutem Boga. Uosabia świętą trójcę. Ta proporcja nie może być wyrażona dostępną liczbą, pozostaje ukryta i ukryta, a przez samych matematyków jest nazywana irracjonalną (a więc Boga nie można określić ani wyjaśnić słowami). Bóg nigdy się nie zmienia i reprezentuje wszystko we wszystkim i wszystko w każdej ze swoich części, więc złoty podział dla jakiejkolwiek ciągłej i określonej ilości (niezależnie od tego, czy jest ona duża czy mała) jest taka sama, nie może być zmieniona ani inaczej postrzegana przez umysł. Bóg powołał do istnienia cnotę niebiańską, inaczej zwaną piątą substancją, za jej pomocą cztery inne proste ciała (cztery żywioły - ziemię, wodę, powietrze, ogień) i na ich podstawie powołał do istnienia wszystko inne w przyrodzie; tak więc nasza święta proporcja, według Platona w Timaosie, nadaje formalny byt samemu niebu, ponieważ jest przypisywana formie ciała zwanego dwunastościanem, którego nie można zbudować bez złotego przekroju. To są argumenty Pacioli.
Leonardo da Vinci poświęcił również wiele uwagi badaniu złotego podziału. Wykonywał sekcje bryły stereometrycznej utworzonej z pięciokątów foremnych i każdorazowo uzyskiwał prostokąty o proporcjach w złotym podziale. Dlatego nadał temu podziałowi nazwę złotej sekcji. Więc nadal jest najbardziej popularny. W tym samym czasie w północnej Europie, w Niemczech, Albrecht Dürer pracował nad tymi samymi problemami. Szkicuje wstęp do pierwszego szkicu traktatu o proporcjach. pisze Durer. „Konieczne jest, aby ten, kto wie, jak uczyć innych, którzy tego potrzebują. To właśnie postanowiłem zrobić”. Sądząc po jednym z listów Dürera, spotkał się z Lucą Paciolim podczas pobytu we Włoszech. Albrecht Dürer szczegółowo rozwija teorię proporcji ludzkiego ciała. Dürer przypisał ważne miejsce w swoim systemie wskaźników złotej sekcji. Wzrost osoby dzieli się w złotych proporcjach linią paska, a także linią poprowadzoną przez czubki środkowych palców opuszczonych dłoni, dolną część twarzy - przez usta itp. Znany kompas proporcjonalny Dürer. Wielki astronom XVI wieku Johannes Kepler nazwał złoty podział jednym ze skarbów geometrii. Jako pierwszy zwraca uwagę na znaczenie złotego podziału dla botaniki (wzrost i struktura roślin). Kepler nazwał złoty podział kontynuacją: „Jest ułożony w taki sposób”, pisał, „że dwa młodsze człony tej nieskończonej proporcji sumują się do trzeciego członu, a dowolne dwa ostatnie człony, jeśli doda się je razem, dają w następnym semestrze i ta sama proporcja pozostaje do nieskończoności”. Konstrukcję szeregu odcinków złotego podziału można wykonać zarówno w kierunku wzrostu (seria rosnąca), jak iw kierunku spadku (seria malejąca). Jeżeli na prostej o dowolnej długości odstawiamy odcinek m, następnie odkładamy odcinek M. Na podstawie tych dwóch odcinków budujemy skalę odcinków złotej proporcji rzędów rosnących i opadających W kolejnych stuleciach zasada złotego podziału przekształciła się w kanon akademicki, a gdy z czasem w sztuce rozpoczęła się walka z akademicką rutyną, w ogniu zmagań „wyrzucili dziecko wraz z wodą. " Złoty odcinek został ponownie „odkryty” w połowie XIX wieku. W 1855 roku niemiecki badacz złotej sekcji, profesor Zeising, opublikował swoją pracę „Badania estetyczne”. W przypadku Zeisinga dokładnie to, co się wydarzyło, musiało przydarzyć się badaczowi, który uważa to zjawisko za takie, bez związku z innymi zjawiskami. Absolutyzował proporcję złotego podziału, uznając ją za uniwersalną dla wszystkich zjawisk natury i sztuki. Zeising miał wielu zwolenników, ale byli też przeciwnicy, którzy deklarowali jego doktrynę proporcji jako „estetykę matematyczną”. Zeising wykonał świetną robotę. Zmierzył około dwóch tysięcy ludzkich ciał i doszedł do wniosku, że złoty podział wyraża przeciętne prawo statystyczne. Podział ciała przez punkt pępka jest najważniejszym wskaźnikiem złotego przekroju. Proporcje męskiego ciała oscylują w granicach średniego stosunku 13:8 = 1,625 i zbliżają się nieco bliżej złotego stosunku niż proporcje ciała kobiecego, w stosunku do którego średnia wartość proporcji wyrażona jest w stosunku 8:5 = 1,6. U noworodka proporcja wynosi 1:1, w wieku 13 lat wynosi 1,6, a w wieku 21 lat jest równa mężczyźnie. Proporcje złotego przekroju przejawiają się również w stosunku do innych części ciała – długości barku, przedramienia i dłoni, dłoni i palców itp. Zeising przetestował słuszność swojej teorii na temat greckich posągów. Najbardziej szczegółowo opracował proporcje Apollo Belvedere. Badaniom poddano wazy greckie, konstrukcje architektoniczne z różnych epok, rośliny, zwierzęta, ptasie jaja, dźwięki muzyczne, metryki poetyckie. Zeising zdefiniował złoty podział, pokazał, jak wyraża się on w odcinkach linii iw liczbach. Kiedy uzyskano liczby wyrażające długości segmentów, Zeising zobaczył, że tworzą one szereg Fibonacciego, który może być kontynuowany w nieskończoność w jednym i drugim kierunku. Jego kolejna książka nosiła tytuł „Złoty podział jako podstawowe prawo morfologiczne w przyrodzie i sztuce”. W 1876 r. w Rosji opublikowano małą książkę, prawie broszurę, przedstawiającą pracę Zeisinga. Autor schronił się pod inicjałami Yu.F.V. W tym wydaniu nie wspomina się ani jednego obrazu. Pod koniec XIX - początek XX wieku. pojawiło się wiele czysto formalistycznych teorii na temat wykorzystania złotego działu w dziełach sztuki i architekturze. Wraz z rozwojem wzornictwa i estetyki technicznej prawo złotego podziału rozszerzyło się na projektowanie samochodów, mebli itp. ZŁOTY STOSUNEK I SYMETRIA Złotego podziału nie można rozpatrywać osobno, bez związku z symetrią. Wielki rosyjski krystalograf G.V. Wulff (1863...1925) uważał złoty podział za jeden z przejawów symetrii. Złoty podział nie jest przejawem asymetrii, czymś przeciwnym do symetrii.Według współczesnych koncepcji złoty podział jest symetrią asymetryczną. Nauka o symetrii obejmuje takie pojęcia, jak symetria statyczna i dynamiczna. Symetria statyczna charakteryzuje odpoczynek, równowagę, a symetria dynamiczna charakteryzuje ruch, wzrost. Tak więc w naturze symetria statyczna jest reprezentowana przez strukturę kryształów, aw sztuce charakteryzuje spokój, równowagę i bezruch. Symetria dynamiczna wyraża aktywność, charakteryzuje ruch, rozwój, rytm, jest świadectwem życia. Symetria statyczna charakteryzuje się równymi segmentami, równymi wielkościami. Symetria dynamiczna charakteryzuje się wzrostem segmentów lub ich spadkiem i wyraża się w wartościach złotego odcinka serii rosnącej lub malejącej. WIERSZ FIBONA AF h ORAZ
Nazwisko włoskiego mnicha matematyka Leonarda z Pizy, lepiej znanego jako Fibonacci, jest pośrednio związane z historią złotego działu. Dużo podróżował po Wschodzie, zapoznał Europę z cyframi arabskimi. W 1202 r. ukazała się jego praca matematyczna Księga liczydła (tablica licząca), w której zebrano wszystkie znane wówczas problemy. Seria liczb 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. znany jako seria Fibonacciego. Osobliwością ciągu liczb jest to, że każdy z jego członków, począwszy od trzeciego, jest równy sumie dwóch poprzednich 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 itd., A stosunek sąsiednich liczb serii zbliża się do stosunku złotego podziału. Tak więc 21:34 = 0,617 i 34:55 = 0,618. Stosunek ten oznaczony jest symbolem F. Tylko ten stosunek - 0,618:0,382 - daje ciągły podział odcinka linii prostej w złotym stosunku, zwiększając go lub zmniejszając do nieskończoności, gdy mniejszy odcinek jest powiązany z większym jako większy jest do wszystkiego. Jak pokazano na poniższym rysunku, długość każdego knykcia palca jest powiązana z długością następnego knykcia w proporcji F. Ten sam związek jest widoczny we wszystkich palcach rąk i nóg. To połączenie jest jakoś niezwykłe, bo jeden palec jest dłuższy od drugiego bez widocznego wzoru, ale to nie jest przypadkowe – tak jak wszystko w ludzkim ciele nie jest przypadkowe. Odległości na palcach, oznaczone od A do B do C do D do E, są ze sobą powiązane w proporcji F, podobnie jak paliczki palców od F do G do H.
Spójrz na ten szkielet żaby i zobacz, jak każda kość pasuje do modelu proporcji F, tak jak ma to miejsce w ludzkim ciele.

UOGÓLNIONY ZŁOTY STOSUNEK Naukowcy nadal aktywnie rozwijali teorię liczb Fibonacciego i złotego podziału. Yu Matiyasevich używając liczb Fibonacciego rozwiązuje 10- Yuu Problem Hilberta. Istnieją metody rozwiązywania szeregu problemów cybernetycznych (teoria poszukiwań, gry, programowanie) za pomocą liczb Fibonacciego i złotej sekcji. W USA powstaje nawet Mathematical Fibonacci Association, które od 1963 roku wydaje specjalne czasopismo. Jednym z osiągnięć w tej dziedzinie jest odkrycie uogólnionych liczb Fibonacciego i uogólnionych złotych proporcji. Odkryta przez niego seria Fibonacciego (1, 1, 2, 3, 5, 8) i „binarna” seria wag 1, 2, 4, 8 są na pierwszy rzut oka zupełnie inne. Ale algorytmy ich konstruowania są do siebie bardzo podobne: w pierwszym przypadku każda liczba jest sumą poprzedniej liczby z samą sobą 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., w drugim - jest to suma dwóch poprzednich liczb 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Czy to możliwe znaleźć ogólną formułę matematyczną, z której serii „binarnej” i serii Fibonacciego? A może ta formuła da nam nowe zestawy liczbowe o nowych unikalnych właściwościach? Rzeczywiście, ustawmy parametr numeryczny S, który może przyjmować dowolne wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5... oddzielone od poprzedniego o S kroków. Jeśli oznaczymy n-tego członka tej serii przez? S (n), to otrzymujemy wzór ogólny? S(n) = ? S (n - 1) + ? S (n - S - 1). Oczywiście przy S = 0 z tego wzoru otrzymamy szereg "binarny", przy S = 1 - szereg Fibonacciego, przy S = 2, 3, 4. nowy szereg liczb, które nazywamy liczbami S-Fibonacciego. Ogólnie rzecz biorąc, złota proporcja S jest dodatnim pierwiastkiem równania złotego przekroju S x S+1 - x S - 1 = 0. Łatwo wykazać, że przy S = 0 uzyskuje się podział odcinka na pół, a przy S = 1 znany klasyczny złoty przekrój. Stosunki sąsiednich liczb S Fibonacciego pokrywają się ze złotymi proporcjami S z absolutną matematyczną precyzją! Matematycy w takich przypadkach twierdzą, że złote sekcje S są numerycznymi niezmiennikami liczb S Fibonacciego. Fakty potwierdzające istnienie złotych ceowników w przyrodzie podaje białoruski naukowiec E.M. Soroko w książce „Strukturalna harmonia systemów” (Mińsk, „Nauka i technologia”, 1984). Okazuje się na przykład, że dobrze przebadane stopy dwuskładnikowe mają specjalne, wyraźne właściwości użytkowe (stabilne termicznie, twarde, odporne na zużycie, odporne na utlenianie itp.) tylko wtedy, gdy ciężary właściwe składników początkowych są ze sobą powiązane o jedną ze złotych proporcji S. Pozwoliło to autorowi postawić hipotezę, że złote sekcje S są liczbowymi niezmiennikami systemów samoorganizujących się. Potwierdzona eksperymentalnie hipoteza ta może mieć fundamentalne znaczenie dla rozwoju synergii - nowej dziedziny nauki badającej procesy zachodzące w układach samoorganizujących się. Używając złotych kodów proporcji S, dowolną liczbę rzeczywistą można wyrazić jako sumę stopni złotych proporcji S ze współczynnikami całkowitymi. Zasadnicza różnica między tą metodą kodowania liczb polega na tym, że podstawy nowych kodów, które są złotymi proporcjami S, okazują się liczbami niewymiernymi dla S > 0. W ten sposób nowe systemy liczbowe o nieracjonalnych podstawach „odwróciły” historycznie ustaloną hierarchię relacji między liczbami wymiernymi i niewymiernymi. Faktem jest, że na początku „odkryto” liczby naturalne; wtedy ich stosunki są liczbami wymiernymi. Dopiero później – po tym, jak Pitagorejczycy odkryli segmenty niewspółmierne – pojawiły się liczby niewymierne. Na przykład w dziesiętnym, pięcionarnym, binarnym i innych klasycznych systemach liczb pozycyjnych liczby naturalne - 10, 5, 2 - zostały wybrane jako rodzaj podstawowej zasady, z której zostały wybrane wszystkie inne liczby naturalne, a także liczby wymierne i niewymierne skonstruowane według określonych zasad. Swoistą alternatywą dla dotychczasowych metod numeracji jest nowy, irracjonalny system, jako podstawowa zasada, którego początek jest wybierany jako liczba niewymierna (która, jak pamiętamy, jest pierwiastkiem równania złotego przekroju); inne liczby rzeczywiste są już przez nią wyrażone. W takim systemie liczbowym każdą liczbę naturalną można zawsze przedstawić jako liczbę skończoną - a nie nieskończoną, jak wcześniej sądzono! - sumy stopni dowolnych złotych proporcji S. Jest to jeden z powodów, dla których „irracjonalna” arytmetyka, posiadająca niesamowitą matematyczną prostotę i elegancję, wydaje się wchłonąć najlepsze cechy klasycznej arytmetyki binarnej i „Fibonacciego”. ZASADY KSZTAŁTOWANIA W NATURZE Wszystko, co przybrało jakąś formę, uformowało się, wyrosło, usiłowało zająć miejsce w przestrzeni i zachować się. Dążenie to znajduje urzeczywistnienie głównie w dwóch wariantach - wzrost w górę lub rozprzestrzenianie się po powierzchni ziemi i skręcanie się w spiralę. Powłoka jest skręcona spiralnie. Jeśli go rozłożysz, uzyskasz długość nieco gorszą od długości węża. Mała dziesięciocentymetrowa muszla ma spiralę o długości 35 cm, spirale są bardzo powszechne w przyrodzie. Pojęcie złotego podziału będzie niekompletne, jeśli nie powiedzieć o spirali. Uwagę Archimedesa przykuł kształt spiralnie zwiniętej muszli. Przestudiował to i wydedukował równanie spirali. Spirala narysowana zgodnie z tym równaniem nosi jego imię. Wzrost jej kroku jest zawsze równomierny. Obecnie spirala Archimedesa znajduje szerokie zastosowanie w inżynierii. Nawet Goethe podkreślał skłonność natury do spirali. Spiralny i spiralny układ liści na gałęziach drzew zauważono dawno temu.


Spirala była widoczna w ułożeniu nasion słonecznika, w szyszkach, ananasach, kaktusach itp. Wspólna praca botaników i matematyków rzuciła światło na te niesamowite zjawiska naturalne. Okazało się, że w ułożeniu liści na gałęzi (filotaksja), nasionach słonecznika, szyszkach objawia się seria Fibonacciego, a zatem objawia się prawo złotego podziału. Pająk kręci swoją siecią w spiralny wzór. Narasta huragan. Przestraszone stado reniferów rozpierzchło się po spirali. Cząsteczka DNA jest skręcona w podwójną helisę. Goethe nazwał spiralę „krzywą życia”. Zo Złota spirala jest ściśle związana z cyklami. Współczesna nauka o chaosie bada proste cykliczne operacje sprzężenia zwrotnego i generowane przez nie formy fraktalne, które były wcześniej nieznane. Rysunek 6 przedstawia słynną serię Mandelbrota, stronę ze słownika nieskończoności poszczególnych wzorców zwanego serią juliańską. Niektórzy naukowcy kojarzą serię Mandelbrota z kodem genetycznym jąder komórkowych. Konsekwentny wzrost sekcji ujawnia niesamowite fraktale w ich artystycznej złożoności. I tu też są spirale logarytmiczne! Jest to tym ważniejsze, że zarówno seria Mandelbrota, jak i seria Juliana nie są wynalazkami ludzkiego umysłu. Wywodzą się ze sfery prototypów Platona. Jak powiedział doktor R. Penrose, „są jak Mount Everest.” Spirala jest ściśle powiązana z cyklami. Współczesna nauka o chaosie bada proste cykliczne operacje sprzężenia zwrotnego i generowane przez nie operacje fraktalne.

Wśród przydrożnych ziół rośnie niepozorna roślina - cykoria. Przyjrzyjmy się temu bliżej. Z głównego pnia uformowała się gałąź. Oto pierwszy liść.

Ryż. . Cykoria

Proces powoduje silne wyrzucenie w przestrzeń, zatrzymuje się, wypuszcza liść, ale jest krótszy niż pierwszy, ponownie wykonuje wyrzut w przestrzeń, ale z mniejszą siłą, wypuszcza jeszcze mniejszy liść i ponownie wyrzuca. Jeśli pierwsza wartość odstająca zostanie przyjęta jako 100 jednostek, to druga to 62 jednostki, trzecia to 38, czwarta to 24 i tak dalej. Długość płatków również podlega złotemu podziałowi. We wzroście, podboju kosmosu, roślina zachowała pewne proporcje. Jego impulsy wzrostowe stopniowo malały proporcjonalnie do złotego podziału. U wielu motyli stosunek wielkości części piersiowej i brzusznej ciała odpowiada złotemu podziałowi. Po złożeniu skrzydeł nocny motyl tworzy regularny trójkąt równoboczny. Ale warto rozwinąć skrzydła, a zobaczysz tę samą zasadę podziału ciała na 2,3,5,8. Ważka jest również tworzona zgodnie z prawami złotego podziału: stosunek długości ogona do ciała jest równy stosunkowi długości całkowitej do długości ogona.

U jaszczurki na pierwszy rzut oka uchwycone są przyjemne dla naszych oczu proporcje – długość ogona odnosi się do długości reszty ciała od 62 do 38.

Ryż. . żyworodna jaszczurka

Zarówno w świecie roślin, jak i zwierząt nieustannie przebija się w naturze tendencja formotwórcza - symetria względem kierunku wzrostu i ruchu. Tutaj złoty podział pojawia się w proporcjach części prostopadłych do kierunku wzrostu. Natura dokonała podziału na symetryczne części i złote proporcje. Częściowo przejawia się powtórzenie struktury całości. Bardzo interesujące jest badanie form ptasich jaj. Ich różne formy oscylują między dwoma skrajnymi typami: jeden może być wpisany w prostokąt złotego przekroju, drugi - w prostokąt o module 1,272 (pierwiastek złotego podziału)

Takie formy ptasich jaj nie są przypadkowe, ponieważ obecnie ustalono, że kształt jaja opisany stosunkiem złotego przekroju odpowiada wyższym właściwościom wytrzymałościowym skorupki jaja.

Ryż. . jajko ptasie

Kły słoni i wymarłych mamutów, pazury lwów i dzioby papug mają kształt logarytmiczny i przypominają kształt osi, która ma tendencję do zamieniania się w spiralę. W dzikiej przyrodzie rozpowszechnione są formy oparte na symetrii „pięciokątnej” (rozgwiazdy, jeżowce, kwiaty). Złoty podział jest obecny w strukturze wszystkich kryształów, ale większość kryształów jest mikroskopijnie mała, więc nie możemy ich zobaczyć gołym okiem.

Jednak płatki śniegu, które są również kryształkami wody, są dość dostępne dla naszych oczu.

Wszystkie przepiękne figury tworzące płatki śniegu, wszystkie osie, koła i figury geometryczne w płatkach śniegu są również zawsze, bez wyjątku, budowane według idealnej, jasnej formuły złotej sekcji.

W mikrokosmosie wszechobecne są trójwymiarowe formy logarytmiczne zbudowane według złotych proporcji. Na przykład wiele wirusów ma trójwymiarowy geometryczny kształt dwudziestościanu. Być może najbardziej znanym z tych wirusów jest wirus Adeno. Płaszcz białkowy wirusa Adeno składa się z 252 jednostki komórek białkowych ułożone w określonej kolejności. W każdym rogu dwudziestościanu znajduje się 12 jednostek komórek białkowych w postaci graniastosłupa pięciokątnego, a od tych narożników rozciągają się struktury przypominające kolce.

Wirus adeno

Złoty podział w strukturze wirusów odkryto po raz pierwszy w latach pięćdziesiątych. naukowcy z londyńskiego Birkbeck College A.Klug i D.Kaspar. Pierwszą formę logarytmiczną ujawnił sam wirus Polyo. Forma tego wirusa wydawała się być podobna do formy wirusa Rhino. Powstaje pytanie, w jaki sposób wirusy tworzą tak złożone trójwymiarowe formy, których struktura zawiera złotą sekcję, która jest dość trudna do zbudowania nawet naszym ludzkim umysłem? Odkrywca tych form wirusów, wirusolog A. Klug, komentuje: „Dr Kaspar i ja wykazaliśmy, że dla kulistej powłoki wirusa najbardziej optymalnym kształtem jest symetria typu dwudziestościan. Ta kolejność minimalizuje liczbę elementów łączących… Większość geodezyjnych sześcianów półkulistych Buckminstera Fullera jest zbudowana na podobna zasada geometryczna. 14 Montaż takich kostek wymaga niezwykle dokładnego i szczegółowego schematu wyjaśniania, podczas gdy nieświadome wirusy same budują tak złożoną powłokę elastycznych, elastycznych jednostek białkowych”.
Komentarz Kluga po raz kolejny przypomina niezwykle oczywistą prawdę: w strukturze nawet mikroskopijnego organizmu, który naukowcy zaliczają do „najprymitywniejszej formy życia”, w tym przypadku wirusa, jest jasny plan i sensowny projekt. zrealizowano 16. Projekt ten jest nieporównywalny w swej perfekcji i dokładności wykonania z najbardziej zaawansowanymi projektami architektonicznymi tworzonymi przez ludzi. Na przykład projekty stworzone przez genialnego architekta Buckminstera Fullera. Trójwymiarowe modele dwunastościanu i dwudziestościanu są również obecne w strukturze szkieletów jednokomórkowych mikroorganizmów morskich radiolarian (belek), których szkielet zbudowany jest z krzemionki. Radiolari tworzą swoje ciało o bardzo wykwintnej, niezwykłej urodzie. Ich kształt to dwunastościan foremny. Co więcej, z każdego z jej rogów wyrastają pseudo-wydłużenia-kończyny i inne niezwykłe formy-narośla. Wielki Goethe, poeta, przyrodnik i artysta (rysował i malował akwarelą), marzył o stworzeniu jednolitej doktryny o formie, formowaniu i przekształcaniu ciał organicznych. To on wprowadził termin morfologia do użytku naukowego. Pierre Curie na początku naszego stulecia sformułował szereg głębokich idei symetrii. Twierdził, że nie można rozpatrywać symetrii jakiegokolwiek ciała bez uwzględnienia symetrii otoczenia. Wzorce „złotej” symetrii przejawiają się w przemianach energetycznych cząstek elementarnych, w budowie niektórych związków chemicznych, w układach planetarnych i kosmicznych, w strukturach genowych organizmów żywych. Te wzorce, jak wskazano powyżej, znajdują się w strukturze poszczególnych narządów ludzkich i ciała jako całości, a także przejawiają się w biorytmach oraz funkcjonowaniu mózgu i percepcji wzrokowej. CIAŁO LUDZKIE I ZŁOTA SEKCJA Wszystkie kości ludzkie są proporcjonalne do złotej sekcji.

Proporcje różnych części naszego ciała składają się na liczbę bardzo zbliżoną do złotego podziału. Jeśli te proporcje pokrywają się z formułą złotego podziału, wówczas wygląd lub ciało osoby uważa się za idealnie zbudowane.

Jeśli przyjmiemy punkt pępka jako środek ludzkiego ciała, a odległość między ludzką stopą a punktem pępka jako jednostkę miary, to wzrost osoby jest równy liczbie 1,618.

Odległość od poziomu barku do czubka głowy i wielkość głowy wynosi 1:1,618

Odległość od punktu pępka do czubka głowy i od poziomu barku do czubka głowy wynosi 1:1,618

Odległość punktu pępka do kolan i od kolan do stóp wynosi 1:1,618

Odległość od czubka brody do czubka wargi górnej i od czubka wargi górnej do nozdrzy wynosi 1:1.618

W rzeczywistości dokładna obecność złotego podziału na twarzy osoby jest ideałem piękna dla ludzkiego oka.

Odległość od czubka brody do górnej linii brwi i od górnej linii brwi do czubka głowy wynosi 1:1.618
Wysokość/szerokość twarzy
Środek połączenia warg z podstawą nosa / długość nosa.
Wysokość twarzy / odległość od czubka podbródka do środka skrzyżowania warg
Szerokość ust / szerokość nosa
Szerokość nosa / odległość między nozdrzami
Odległość źrenicy / Odległość brwi Wystarczy teraz zbliżyć dłoń do siebie i uważnie przyjrzeć się palecowi wskazującemu, a od razu znajdziesz w nim formułę złotej sekcji.

Każdy palec naszej dłoni składa się z trzech palików.Suma pierwszych dwóch palików w stosunku do całej długości palca daje złoty podział (z wyjątkiem kciuka).

Ponadto stosunek między środkowym a małym palcem jest równieżzłoty podział
Osoba ma 2 ręce, palce każdej dłoni składają się z 3 paliczków (z wyjątkiem kciuka). Każda ręka ma 5 palców, czyli łącznie 10, ale z wyjątkiem dwóch kciuków dwupaliczkowych, zgodnie z zasadą złotego podziału powstaje tylko 8 palców. Natomiast wszystkie te liczby 2, 3, 5 i 8 są liczbami ciągu Fibonacciego.
Należy również zauważyć, że u większości osób odległość między końcami rozłożonych ramion jest równa wysokości. Prawdy złotego podziału są w nas i w naszym przestrzeń

Osobliwością oskrzeli, które tworzą płuca osoby, jest ich asymetria. Oskrzela składają się z dwóch głównych dróg oddechowych, jedna (po lewej) jest dłuższa, a druga (po prawej) jest krótsza.

Stwierdzono, że ta asymetria utrzymuje się w gałęziach oskrzeli, we wszystkich mniejszych drogach oddechowych.

Co więcej, stosunek długości oskrzeli krótkich i długich jest również złotym podziałem i wynosi 1:1,618.

Ludzkie ucho wewnętrzne zawiera narządŚlimak („Ślimak”), który pełni funkcję przenoszenia drgań dźwiękowych. Ta kościopodobna struktura jest wypełniona płynem, a także utworzona w postaci ślimaka, zawierającego stabilny kształt spirali logarytmicznej = 73? 43". Ciśnienie krwi zmienia się wraz z biciem serca. Największą wartość osiąga w lewej komorze serca w momencie jego skurczu (skurczu). W tętnicach podczas skurczu komór serca ciśnienie krwi osiąga u młodej, zdrowej osoby maksymalną wartość równą 115-125 mm Hg. W momencie rozluźnienia mięśnia sercowego (rozkurczu) ciśnienie spada do 70-80 mm Hg. Stosunek ciśnienia maksymalnego (skurczowego) do minimalnego (rozkurczowego) wynosi średnio 1,6, czyli blisko złotego podziału.

Jeśli przyjmiemy średnie ciśnienie krwi w aorcie jako jednostkę, to skurczowe ciśnienie krwi w aorcie wynosi 0,382, a rozkurczowe 0,618, czyli ich stosunek odpowiada złotemu podziałowi. Oznacza to, że praca serca w odniesieniu do cykli czasowych i zmian ciśnienia krwi jest optymalizowana według tej samej zasady – prawa złotego podziału.

Cząsteczka DNA składa się z dwóch pionowo splecionych helis. Każda z tych spiral ma długość 34 angstremów i szerokość 21 angstremów. (1 angstrem to sto milionowych części centymetra). struktura części helisy cząsteczki DNA

Więc 21 i 34 to liczby następujące po sobie w ciągu liczb Fibonacciego, czyli stosunek długości i szerokości logarytmicznej helisy cząsteczki DNA zawiera wzór złotego przekroju 1: 1,618

ZŁOTA DZIAŁ W RZEŹBIE Konstrukcje rzeźbiarskie, pomniki są wznoszone, aby uwiecznić ważne wydarzenia, aby zachować w pamięci potomnych imiona sławnych ludzi, ich wyczyny i czyny. Wiadomo, że już w starożytności podstawą rzeźby była teoria proporcji. Stosunek części ciała ludzkiego wiązał się z formułą złotego przekroju. Proporcje "złotego przekroju" stwarzają wrażenie harmonii piękna, dlatego rzeźbiarze wykorzystali je w swoich pracach. Rzeźbiarze twierdzą, że talia dzieli idealne ciało ludzkie w stosunku do „złotego przekroju”. Na przykład słynna statua Apolla Belvedere składa się z części podzielonych złotymi podziałami.Wielki starożytny grecki rzeźbiarz Fidiasz często używał w swoich pracach „złotego przekroju”. Najsłynniejsze z nich to posąg Zeusa Olimpijskiego (uważany za jeden z cudów świata) oraz Ateny Partenos. Znana jest złota proporcja posągu Apolla Belvedere: wysokość przedstawionej osoby jest podzielona przez pępowinę w złotej części.

ZŁOTA SEKCJA W ARCHITEKTURZE W książkach o „złotym dziale” można znaleźć uwagę, że w architekturze, podobnie jak w malarstwie, wszystko zależy od pozycji obserwatora, a jeśli jakieś proporcje w budynku z jednej strony zdają się tworzyć „złotą sekcję”, wtedy z innych punktów widzenia będą wyglądać inaczej. „Złota sekcja” daje najbardziej zrelaksowany stosunek rozmiarów o określonych długościach. Jednym z najpiękniejszych dzieł architektury starożytnej Grecji jest Partenon (V wpne). Liczby pokazują szereg wzorców związanych ze złotym podziałem. Proporcje budynku można wyrazić różnymi stopniami liczby Ф = 0,618 ... Partenon ma 8 kolumn na krótkich bokach i 17 na długich. gzymsy wykonane są w całości z kwadratów z marmuru Pentile. Szlachetność materiału, z którego zbudowano świątynię, pozwoliła ograniczyć stosowanie kolorystyki, która była powszechna w architekturze greckiej, tylko podkreśla detale i tworzy kolorowe tło (niebiesko-czerwone) dla rzeźby. Stosunek wysokości budynku do jego długości wynosi 0,618. Jeśli podzielimy Partenon według „złotego przekroju”, uzyskamy pewne występy elewacji. Na rzucie Partenonu widać również „złote prostokąty”: Złoty podział możemy zobaczyć w budynku katedry Notre Dame (Notre Dame de Paris) oraz w piramidzie Cheopsa: Nie tylko egipskie piramidy zostały zbudowane zgodnie z idealnymi proporcjami złotego podziału; to samo zjawisko występuje w meksykańskich piramidach. Przez długi czas wierzono, że architekci starożytnej Rosji zbudowali wszystko „na oko”, bez specjalnych obliczeń matematycznych. Jednak najnowsze badania wykazały, że rosyjscy architekci dobrze znali proporcje matematyczne, o czym świadczy analiza geometrii starożytnych świątyń. Słynny rosyjski architekt M. Kazakow szeroko wykorzystywał w swojej pracy „złotą sekcję”. Jego talent był wieloaspektowy, ale w większym stopniu ujawniał się w licznych zrealizowanych projektach budynków mieszkalnych i osiedli. Na przykład „złotą sekcję” można znaleźć w architekturze budynku Senatu na Kremlu. Według projektu M. Kazakowa w Moskwie wybudowano Szpital Golicyna, który obecnie nazywa się Pierwszym Szpitalem Klinicznym im. Pirogov (prospekt Leninsky, zm. Pałac Pietrowski w Moskwie. Zbudowany według projektu M.F. Kazakow. Kolejne arcydzieło architektoniczne Moskwy - Dom Paszkowa - jest jednym z najdoskonalszych dzieł architektury W. Bażenowa. Cudowne dzieło V. Bazhenova mocno wkroczyło w zespół centrum współczesnej Moskwy, wzbogaciło go. Wygląd zewnętrzny domu przetrwał w prawie niezmienionym stanie do dziś, mimo że został poważnie spalony w 1812 roku. W trakcie renowacji budynek nabrał masywniejszych form. Nie zachował się również układ wewnętrzny budynku, o czym świadczy jedynie rysunek dolnej kondygnacji. Wiele wypowiedzi architekta zasługuje dziś na uwagę. O swojej ulubionej sztuce V. Bazhenov powiedział: „Architektura ma trzy główne tematy: piękno, spokój i siłę budynku ... Aby to osiągnąć, jako przewodnik służy znajomość proporcji, perspektywy, mechaniki lub fizyki, a wszystkie z nich mają wspólnego lidera, to rozsądek”.

ZŁOTA PROPOZYCJA W MUZYCE
Każdy utwór muzyczny ma rozciągłość w czasie i jest podzielony na pewne „estetyczne kamienie milowe” na odrębne części, które przyciągają uwagę i ułatwiają percepcję jako całość. Te kamienie milowe mogą być dynamicznymi i intonacyjnymi punktami kulminacyjnymi utworu muzycznego. Poszczególne przedziały czasowe utworu muzycznego, połączone „wydarzeniem kulminacyjnym”, z reguły są w stosunku do Złotego Podziału.

Już w 1925 roku krytyk sztuki LL Sabaneev, po przeanalizowaniu 1770 dzieł muzycznych 42 autorów, wykazał, że zdecydowaną większość wybitnych dzieł można łatwo podzielić na części według tematu, intonacji lub systemu modalnego, które są w odniesieniu do każdego z nich. inny złoty podział. Co więcej, im bardziej utalentowany kompozytor, tym więcej złotych sekcji znajdowało się w jego utworach. Według Sabaneeva złoty podział prowadzi do wrażenia szczególnej harmonii kompozycji muzycznej. Wynik ten zweryfikował Sabaneev na wszystkich 27 etiudach Chopina. Znalazł w nich 178 złotych działek. Jednocześnie okazało się, że nie tylko duże części etiud dzieli czas trwania w stosunku do złotego odcinka, ale części etiud wewnątrz są często podzielone w tej samej proporcji.

Kompozytor i naukowiec M.A. Marutaev policzył liczbę taktów w słynnej sonacie Appassionata i znalazł szereg interesujących proporcji liczbowych. W szczególności w opracowaniu - centralnej jednostce strukturalnej sonaty, gdzie tematy są intensywnie rozwijane, a klawisze zastępują się nawzajem - są dwa główne sekcje. Pierwsza ma 43,25 barów, druga 26,75. Stosunek 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 daje złoty podział.

Najwięcej utworów, w których występuje Złota Sekcja, mają Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%).

Jeśli muzyka jest harmonicznym porządkiem dźwięków, to poezja jest harmonicznym porządkiem mowy. Wyraźny rytm, regularna zmienność sylab akcentowanych i nieakcentowanych, uporządkowana wymiarowość wierszy, ich emocjonalne bogactwo czynią poezję siostrą utworów muzycznych. Złoty podział w poezji objawia się przede wszystkim obecnością pewnego momentu wiersza (punkt kulminacyjny, punkt zwrotny semantyczny, główna idea dzieła) w wierszu, który można przypisać punktowi podziału całkowitej liczby wierszy wiersza w złotym stosunku. Tak więc, jeśli wiersz zawiera 100 linii, to pierwszy punkt Złotej Sekcji przypada na 62. linię (62%), drugi - na 38. (38%) itd. Dzieła Aleksandra Siergiejewicza Puszkina, w tym "Eugeniusza Oniegina" - najlepsza korespondencja do złotego podziału! Prace Shota Rustaveli i M.Yu. Lermontow są również zbudowane na zasadzie Złotej Sekcji.

Stradivarius napisał to z pomocą

złoty podział, wyznaczył miejsca dla F wycięcia w kształcie na korpusach ich słynnych skrzypiec. ZŁOTA DZIAŁKA W POEZJI poezja Puszkina Studia utworów poetyckich z tych pozycji dopiero się rozpoczynają. I trzeba zacząć od poezji A.S. Puszkina. W końcu jego prace są przykładem najwybitniejszych tworów kultury rosyjskiej, przykładem najwyższego poziomu harmonii. Poezją A.S. Puszkina rozpoczniemy poszukiwanie złotej proporcji - miary harmonii i piękna. Wiele w strukturze dzieł poetyckich czyni tę formę sztuki powiązaną z muzyką. Wyraźny rytm, regularna zmienność sylab akcentowanych i nieakcentowanych, uporządkowana wymiarowość wierszy, ich emocjonalne bogactwo czynią poezję siostrą utworów muzycznych. Każdy wers ma swoją formę muzyczną – własny rytm i melodię. Można się spodziewać, że w strukturze wierszy pojawią się pewne cechy utworów muzycznych, wzorce harmonii muzycznej, a co za tym idzie złoty podział. Zacznijmy od wielkości wiersza, czyli od liczby zawartych w nim linijek. Wydawałoby się, że ten parametr wiersza może się zmieniać dowolnie. Okazało się jednak, że tak nie jest. Na przykład analiza wierszy A.S. Puszkin wykazał z tego punktu widzenia, że ​​rozmiary wersetów rozkładają się bardzo nierównomiernie; okazało się, że Puszkin wyraźnie preferuje rozmiary 5, 8, 13, 21 i 34 linii (liczby Fibonacciego).
Wielu badaczy zauważyło, że wiersze są jak utwory muzyczne; mają też punkty kulminacyjne, które dzielą wiersz proporcjonalnie do złotego podziału. Rozważmy na przykład wiersz A.S. Puszkin „Szewc”: Szewc szukał kiedyś zdjęcia
I wskazał błąd w butach;
Artysta wziął od razu pędzel, poprawił się,
Tutaj, Akimbo, szewc kontynuował:
„Myślę, że twarz jest trochę wykrzywiona…
Czy ta klatka nie jest zbyt naga?
Tu Apelles przerwał niecierpliwie:
„Sędzio, przyjacielu, nie nad butem!”

Mam na myśli przyjaciela:
Nie wiem jaki to temat.
Był koneserem, choć surowym niewerbalnie,
Ale diabeł nosi go, by sądzić światło:
Spróbuj ocenić buty!

Przeanalizujmy tę przypowieść. Wiersz składa się z 13 wierszy. Wyróżnia dwie semantyczne części: pierwszą w 8 wierszach, a drugą (morał z przypowieści) w 5 wierszach (13,8, 5 - liczby Fibonacciego). Jeden z ostatnich wierszy Puszkina „Nie cenię praw głośnych…” składa się z 21 wierszy i wyróżnia się w nim dwie semantyczne części: w 13 i 8 wierszach. nie cenię praw głośnych, Od którego nikt nie ma zawrotów głowy. Nie narzekam na to, że bogowie odmówili Jestem w słodkiej partii trudnych podatków Albo powstrzymaj królów od walki między sobą; I mały żal dla mnie, czy prasa jest wolna? Oszukiwanie cycków, czyli wrażliwa cenzura W planach magazynu żartowniś jest zawstydzający. Wszystko to, widzisz, słowa, słowa, słowa. Inne, lepsze, prawa są mi bliskie: Jeszcze lepiej, potrzebuję wolności: Polegaj na królu, polegaj na ludziach - Czy nas to nie obchodzi? Bóg jest z nimi. Nikt Nie składaj raportu, tylko sobie Służ i proszę; za moc, za liberię Nie zginaj ani sumienia, ani myśli, ani szyi; Na twój kaprys wędrować tu i tam, Podziwiając boskie piękno natury, A przed stworzeniami sztuki i inspiracji Drżąc radośnie w rozkoszach czułości, Oto szczęście! Zgadza się... Charakterystyczne jest, że pierwsza część tego wersetu (13 wierszy) jest podzielona na 8 i 5 wierszy pod względem treści semantycznej, czyli cały wiersz zbudowany jest zgodnie z prawami złotego podziału. Niewątpliwie interesująca jest analiza powieści „Eugeniusz Oniegin” autorstwa N. Wasiutinskiego. Ta powieść składa się z 8 rozdziałów, z których każdy zawiera średnio około 50 wersetów. Najdoskonalszy, najbardziej wyrafinowany i bogaty emocjonalnie jest rozdział ósmy. Ma 51 wersetów. Razem z listem Jewgienija do Tatiany (60 wierszy), dokładnie odpowiada to liczbie Fibonacciego 55! N. Wasiutinski stwierdza: „Zwieńczeniem rozdziału jest wyjaśnienie Eugeniusza jego miłości do Tatiany – wiersz „Zblednij i zniknij… to błogość!” Ten wiersz dzieli cały ósmy rozdział na dwie części – w pierwszych 477 wierszach i w drugim - 295 wierszy Ich stosunek wynosi 1,617 "Najsubtelniejszy związek z wartością złotego podziału! To wielki cud harmonii, dokonany przez geniusz Puszkina!" Poezja Lermontowa E Rosenov przeanalizował wiele utworów poetyckich M.Yu. Lermontow, Schiller, A.K. Tołstoja, a także odkrył w nich „złotą sekcję”.
Słynny wiersz Lermontowa „Borodino” podzielony jest na dwie części: wstęp skierowany do narratora i zajmujący tylko jedną zwrotkę („Powiedz mi wujku, to nie bez powodu…”) oraz część główną, stanowiącą samodzielną całość, który jest podzielony na dwie równoważne części. W pierwszym z nich oczekiwanie na bitwę jest opisane z rosnącym napięciem, w drugim - sama bitwa ze stopniowym spadkiem napięcia pod koniec wiersza. Granica pomiędzy tymi częściami stanowi punkt kulminacyjny dzieła i wypada dokładnie na punkcie podziału go przez złoty odcinek. Główna część wiersza składa się z 13 siedmiu linijek, czyli 91 linijek. Dzieląc go przez złoty podział (91:1,618 = 56,238), upewniamy się, że punkt podziału znajduje się na początku 57. wersetu, gdzie znajduje się krótkie zdanie: „No to był dzień!”. To właśnie ta fraza reprezentuje „punkt kulminacyjny podekscytowanego oczekiwania”, który kończy pierwszą część wiersza (oczekiwanie bitwy) i otwiera jej drugą część (opis bitwy). Tak więc złoty podział odgrywa bardzo znaczącą rolę w poezji, podkreślając kulminację wiersza. Poezja Szoty Rustawelego Wielu badaczy wiersza Szoty Rustawelego „Rycerz w skórze pantery” zwraca uwagę na wyjątkową harmonię i melodię jego wierszy. Te właściwości wiersza gruzińskiego naukowca, akademika G.V. Cereteli przypisuje to świadomemu stosowaniu przez poetkę złotego podziału zarówno w formowaniu formy wiersza, jak i konstrukcji jej wierszy. Wiersz Rustawelego składa się z 1587 strof, z których każda składa się z czterech wersów. Każdy wiersz składa się z 16 sylab i jest podzielony na dwie równe części po 8 sylab w każdej połowie wiersza. Wszystkie półwiersze są podzielone na dwa segmenty dwóch typów: A - półwiersz z równymi segmentami i parzystą liczbą sylab (4 + 4); B - półprosta z asymetrycznym podziałem na dwie nierówne części (5+3 lub 3+5). Zatem w połowie linii B proporcje wynoszą 3:5:8, co jest przybliżeniem do złotego podziału.
Ustalono, że z 1587 strof w wierszu Rustawelego ponad połowa (863) jest skonstruowana zgodnie z zasadą złotego podziału. W naszych czasach narodził się nowy rodzaj sztuki - kino, które pochłonęło dramaturgię akcji, malarstwa, muzyki. Uzasadnione jest poszukiwanie przejawów złotego podziału w wybitnych dziełach kinematografii. Pierwszym, który to zrobił, był twórca arcydzieła światowego kina „Pancernik Potiomkin”, reżyser Siergiej Eisenstein. W konstrukcji tego obrazu udało mu się ucieleśnić podstawową zasadę harmonii - złoty podział. Jak zauważa sam Eisenstein, czerwona flaga na maszcie zbuntowanego pancernika (punkt apogeum filmu) leci w punkcie złotego podziału, liczonego od końca filmu. ZŁOTY STOSUNEK CZCIONEK I RZECZY DOMOWYCH Szczególny rodzaj sztuki starożytnej Grecji należy podkreślić wytwarzaniem i malowaniem wszelkiego rodzaju naczyń. W eleganckiej formie łatwo odgadnąć proporcje złotej sekcji.


W malarstwie i rzeźbie świątyń, na przedmiotach gospodarstwa domowego, starożytni Egipcjanie najczęściej przedstawiali bogów i faraonów. Ustanowiono kanony wizerunku osoby stojącej idącej, siedzącej itp. Artyści musieli zapamiętywać poszczególne formy i schematy obrazów z tabel i próbek. Starożytni greccy artyści odbyli specjalne wycieczki do Egiptu, aby nauczyć się posługiwać kanonem. OPTYMALNE PARAMETRY FIZYCZNE OTOCZENIA ZEWNĘTRZNEGO Głośność dźwięku.
Wiadomo, że maksymalna głośność dźwięku powodującego ból wynosi 130 decybeli.
Jeśli podzielimy ten przedział przez złoty podział 1,618, otrzymamy 80 decybeli, które są typowe dla głośności ludzkiego krzyku.
Jeśli teraz podzielimy 80 decybeli przez złoty podział, otrzymamy 50 decybeli, co odpowiada głośności ludzkiej mowy.
Ostatecznie, jeśli podzielimy 50 decybeli przez kwadrat złotego podziału 2,618, otrzymamy 20 decybeli, co odpowiada ludzkiemu szeptowi.
W ten sposób wszystkie charakterystyczne parametry głośności dźwięku są połączone złotym podziałem.

Wilgotność powietrza. W temperaturze 18-20® zakres wilgotności 40-60% jest uważany za optymalny.

Granice optymalnego zakresu wilgotności można uzyskać, jeśli wilgotność bezwzględną 100% podzielimy dwukrotnie przez złoty stosunek: 100 / 2,618 = 38,2% (dolna granica); 100/1,618 = 61,8% (górna granica).

Ciśnienie powietrza. Przy ciśnieniu powietrza 0,5 MPa osoba doświadcza nieprzyjemnych wrażeń, pogarsza się jego aktywność fizyczna i psychiczna. Przy ciśnieniu 0,3 - 0,35 MPa dozwolona jest tylko krótkotrwała praca, a przy ciśnieniu 0,2 MPa może pracować nie dłużej niż 8 minut.

Wszystkie te charakterystyczne parametry są połączone złotym podziałem: 0,5 / 1,618 = 0,31 MPa; 0,5 / 2,618 = 0,19 MPa.

Temperatura powietrza na zewnątrz. Graniczne parametry temperatury powietrza na zewnątrz, w których możliwe jest normalne istnienie (i, co najważniejsze, pochodzenie) osoby, to zakres temperatur od 0 do + (57-58) ® С. Oczywiście nie ma potrzeby wyjaśniania pierwszej granicy.

Wskazany zakres temperatur dodatnich dzielimy przez złoty podział. To daje nam dwa ograniczenia:

Obie granice to temperatury charakterystyczne dla ludzkiego ciała: pierwsza odpowiada temperaturze Drugi limit odpowiada maksymalnej możliwej temperaturze zewnętrznej dla ludzkiego ciała.
ZŁOTA DZIAŁKA W MALARSTWIE
W renesansie artyści odkryli, że każdy obraz ma pewne punkty, które mimowolnie przyciągają naszą uwagę, tak zwane centra wizualne. W tym przypadku nie ma znaczenia, jaki format ma obraz - poziomy czy pionowy. Są tylko cztery takie punkty i znajdują się one w odległości 3/8 i 5/8 od odpowiednich krawędzi samolotu.


To odkrycie wśród ówczesnych artystów nazwano „złotą sekcją” obrazu. Wracając do przykładów „złotego przekroju” w malarstwie, nie sposób nie zwrócić uwagi na twórczość Leonarda da Vinci. Jego tożsamość jest jedną z tajemnic historii. Sam Leonardo da Vinci powiedział: „Niech nikt, kto nie jest matematykiem, nie odważy się czytać moich prac”.
Zyskał sławę jako niedościgniony artysta, wielki naukowiec, geniusz, który przewidział wiele wynalazków, których wdrożono dopiero w XX wieku.
Nie ma wątpliwości, że Leonardo da Vinci był wielkim artystą, docenili to już jego współcześni, ale jego osobowość i działalność pozostaną owiane tajemnicą, gdyż pozostawił potomnym nie spójną prezentację swoich pomysłów, a jedynie liczne odręczne szkice , zauważa, że ​​mówi „wszyscy na świecie”.
Pisał od prawej do lewej nieczytelnym pismem i lewą ręką. Jest to najsłynniejszy istniejący przykład pisania lustrzanego.
Portret Monny Lisy (Gioconda) od wielu lat przykuwa uwagę badaczy, którzy stwierdzili, że kompozycja rysunku opiera się na złotych trójkątach będących częściami pięciokąta gwiazdy foremnej. Istnieje wiele wersji historii tego portretu. Oto jeden z nich.
Kiedyś Leonardo da Vinci otrzymał od bankiera Francesco de le Giocondo zlecenie namalowania portretu młodej kobiety, żony bankiera, Monny Lisy. Kobieta nie była piękna, ale pociągała ją prostota i naturalność jej wyglądu. Leonardo zgodził się namalować portret. Jego modelka była smutna i smutna, ale Leonardo opowiedział jej bajkę, po której wysłuchaniu stała się żywa i interesująca.
BAJKA
Dawno, dawno temu był jeden biedny człowiek, miał czterech synów: trzech mądrych, a jeden z nich w tę i w tę. A potem dla ojca przyszła śmierć. Zanim rozstał się ze swoim życiem, wezwał do siebie swoje dzieci i powiedział: „Moi synowie, niedługo umrę. Jak tylko mnie pochowasz, zamknij chatę i idź na krańce świata, aby uszczęśliwić siebie. Niech każdy z Was czegoś się nauczy, żeby móc się wyżywić.” Ojciec zmarł, a synowie rozproszyli się po całym świecie, zgadzając się powrócić na polanę swojego rodzinnego zagajnika trzy lata później. Przyszedł pierwszy brat, który nauczył się ciesielstwa, ściął drzewo i wyrąbał je, zrobił z niego kobietę, trochę chodził i czekał. Wrócił drugi brat, zobaczył drewnianą kobietę, a ponieważ był krawcem, w ciągu minuty ubrał ją: jak wykwalifikowany rzemieślnik uszył dla niej piękne jedwabne ubrania. Trzeci syn przyozdobił kobietę złotem i drogocennymi kamieniami – był przecież jubilerem. Wreszcie przybył czwarty brat. Nie umiał stolarstwa i szycia, umiał tylko słuchać tego, co mówi ziemia, drzewa, zioła, zwierzęta i ptaki, znał bieg ciał niebieskich, a także umiał śpiewać wspaniałe pieśni. Zaśpiewał piosenkę, która wywołała płacz braci ukrywających się za krzakami. Tą piosenką ożywił kobietę, uśmiechnęła się i westchnęła. Bracia rzucili się do niej i każdy krzyknął to samo: „Musisz być moją żoną”. Ale kobieta odpowiedziała: "Stworzyłeś mnie - bądź moim ojcem. Ubrałeś mnie i udekorowałeś mnie - bądź moimi braćmi.
A Ty, która tchnęłaś we mnie moją duszę i nauczyłaś cieszyć się życiem, potrzebuję Cię samej na całe życie".
Po skończeniu opowieści Leonardo spojrzał na Monnę Lisę, jej twarz rozjaśniła się światłem, jej oczy błyszczały. Potem, jakby budząc się ze snu, westchnęła, przesunęła dłonią po twarzy i bez słowa podeszła na swoje miejsce, złożyła ręce i przyjęła swoją zwykłą postawę. Ale czyn został dokonany - artysta obudził obojętny posąg; uśmiech błogości, powoli znikający z jej twarzy, pozostał w kącikach ust i drżał, nadając jej twarzy niesamowity, tajemniczy i nieco chytry wyraz, jak u osoby, która poznała tajemnicę i pilnując jej, nie może powstrzymać jego triumf. Leonardo pracował w ciszy, bojąc się przegapić ten moment, ten promień słońca, który oświetlił jego nudny model...
Trudno zauważyć, co zauważono w tym arcydziele sztuki, ale wszyscy mówili o głębokiej wiedzy Leonarda na temat budowy ludzkiego ciała, dzięki której udało mu się uchwycić ten niejako tajemniczy uśmiech. Opowiadali o wyrazistości poszczególnych części obrazu oraz o pejzażu, niespotykanym towarzyszu portretu. Mówili o naturalności wyrazu, prostocie pozy, pięknie dłoni. Artysta dokonał czegoś bezprecedensowego: obraz przedstawia powietrze, otula postać przezroczystą mgiełką. Mimo sukcesu Leonardo był ponury, sytuacja we Florencji wydała się artyście bolesna, był gotowy do drogi. Nie pomogły mu przypomnienia o rozkazach powodziowych.

Złota sekcja na obrazie I. I. Shishkina „Pine Grove” Na tym słynnym obrazie I. I. Szyszkina motywy złotej sekcji są wyraźnie widoczne. Jasno oświetlona sosna (stojąca na pierwszym planie) dzieli długość obrazu według złotego podziału. Na prawo od sosny znajduje się oświetlony słońcem pagórek. Dzieli prawą stronę obrazu w poziomie według złotego podziału. Na lewo od głównej sosny rośnie wiele sosen - jeśli chcesz, możesz z powodzeniem kontynuować dzielenie obrazu według złotego przekroju i dalej.
Obecność w obrazie jasnych pionów i poziomów, dzielących go w stosunku do złotego przekroju, nadaje mu charakter równowagi i spokoju, zgodnie z intencją artysty. Kiedy intencja artysty jest inna, jeśli, powiedzmy, tworzy obraz o szybko rozwijającej się akcji, taki geometryczny schemat kompozycji (z przewagą pionów i poziomów) staje się nie do przyjęcia.
W.I. Surikow. Bojar Morozowa. Jej rola jest przypisana do środkowej części obrazu. Jest związany punktem najwyższego wzniesienia i punktem najniższego spadku fabuły obrazu. 1) Jest to wzniesienie ręki Morozowej ze znakiem krzyża z dwoma palcami w najwyższym punkcie. 2) To jest bezradnie wyciągnięta ręka do tej samej szlachcianki, ale tym razem jest to ręka starej kobiety - biednego wędrowca, ręka, spod której wraz z ostatnią nadzieją na zbawienie wysuwa się koniec sań . A co z „najwyższym punktem”? Na pierwszy rzut oka mamy do czynienia z pozorną sprzecznością: przecież odcinek A1B1, czyli 0,618… od prawej krawędzi obrazu, nie przechodzi przez rękę, nawet przez głowę czy oko szlachcianki, ale jest gdzieś przed ustami szlachcianki! Złoty podział naprawdę ogranicza tutaj najważniejszą rzecz. W nim, a dokładnie w nim, jest największa siła Morozowej. Złoty podział na obrazie Leonarda da Vinci „La Gioconda”
	Portret Mony Lisy przyciąga tym, że kompozycja obrazu zbudowana jest na „złotych trójkątach” (dokładniej na trójkątach będących kawałkami regularnego pięciokąta w kształcie gwiazdy).
Nie ma obrazu bardziej poetyckiego niż obraz Sandro Botticellego, a wielki Sandro nie ma obrazu bardziej znanego niż jego „Wenus”. Dla Botticellego jego Wenus jest ucieleśnieniem idei uniwersalnej harmonii „złotej sekcji”, która panuje w naturze. Przekonuje nas o tym proporcjonalna analiza Wenus. Rafał „Szkoła Ateńska” Raphael nie był matematykiem, ale podobnie jak wielu artystów tamtej epoki miał znaczną wiedzę z zakresu geometrii. Na słynnym fresku „Szkoła Ateńska”, gdzie w świątyni nauki odbywa się społeczność wielkich filozofów starożytności, naszą uwagę zwraca grupa Euklidesa, największego starożytnego greckiego matematyka, który analizuje złożony rysunek. Pomysłowe połączenie dwóch trójkątów jest również zbudowane zgodnie ze złotym podziałem: można go wpisać w prostokąt o proporcjach 5/8. Ten rysunek jest zaskakująco łatwy do wstawienia w górną część architektury. Górny róg trójkąta opiera się o zwornik łuku w obszarze najbliższym widzowi, dolny - w miejscu znikania perspektyw, a przekrój boczny wskazuje proporcje przestrzennej szczeliny między dwiema częściami łuków . Złota spirala w „Masakrze Niewiniątek” Rafaela
W przeciwieństwie do złotej sekcji, poczucie dynamiki, podniecenia, jest chyba najbardziej widoczne w innej prostej figurze geometrycznej - spirali. Wielofigurowa kompozycja, wykonana w latach 1509 - 1510 przez Rafaela, kiedy słynny malarz tworzył swoje freski w Watykanie, wyróżnia się właśnie dynamizmem i dramaturgią fabuły. Rafael nigdy nie zrealizował swojego pomysłu, jednak jego szkic został wyryty przez nieznanego włoskiego grafika Marcantinio Raimondiego, który na podstawie tego szkicu stworzył rycinę Masakra niewinnych. Jeśli na szkicu przygotowawczym Rafaela narysuje się w myślach linie biegnące od semantycznego środka kompozycji – miejsca, w którym palce wojownika zacisnęły się na kostce dziecka – wzdłuż postaci dziecka, przytulonej do siebie kobiety, wojownika z podniesiony miecz, a następnie wzdłuż figur tej samej grupy po prawej stronie szkicu (na rysunku te linie są narysowane na czerwono), a następnie połącz te kawałki krzywej linią przerywaną, a następnie złota spirala uzyskane z bardzo dużą dokładnością. Można to sprawdzić mierząc stosunek długości odcinków przeciętych spiralą na liniach prostych przechodzących przez początek krzywej.
ZŁOTA PROPORCJA I PERCEPCJA OBRAZU Od dawna znana jest zdolność ludzkiego analizatora wzrokowego do rozróżniania obiektów zbudowanych według algorytmu złotej sekcji jako pięknych, atrakcyjnych i harmonijnych. Złoty podział daje poczucie najdoskonalszej zunifikowanej całości. Format wielu książek jest zgodny ze złotym podziałem. Jest wybierany na okna, obrazy i koperty, znaczki, wizytówki. Człowiek może nic nie wiedzieć o liczbie Ф, ale w strukturze obiektów, a także w sekwencji zdarzeń podświadomie odnajduje elementy złotego podziału. Przeprowadzono badania, w których badani zostali poproszeni o wybranie i skopiowanie prostokątów o różnych proporcjach. Do wyboru były trzy prostokąty: kwadrat (40:40 mm), prostokąt o „złotym przekroju” o proporcjach 1:1,62 (31:50 mm) oraz prostokąt o wydłużonych proporcjach 1:2,31 (26: 60 mm). Wybierając prostokąty w stanie normalnym, w 1/2 przypadków preferowany jest kwadrat. Prawa półkula preferuje złoty podział i odrzuca wydłużony prostokąt. Wręcz przeciwnie, lewa półkula grawituje w kierunku wydłużonych proporcji i odrzuca złoty podział. Podczas kopiowania tych prostokątów zaobserwowano, co następuje. Gdy prawa półkula była aktywna, proporcje w kopiach były zachowane najdokładniej. Gdy lewa półkula była aktywna, proporcje wszystkich prostokątów były zniekształcone, prostokąty zostały rozciągnięte (kwadrat został narysowany jako prostokąt o proporcjach 1:1,2; proporcje rozciągniętego prostokąta gwałtownie wzrosły i osiągnęły 1:2,8 ). Najsilniej zniekształcone proporcje „złotego” prostokąta; jego proporcje w kopiach stały się proporcjami prostokąta 1:2.08. Podczas rysowania własnych rysunków dominują proporcje zbliżone do złotego podziału i wydłużone. Średnio proporcje wynoszą 1:2, podczas gdy prawa półkula preferuje proporcje złotego odcinka, lewa odsuwa się od proporcji złotego odcinka i rozciąga wzór. Teraz narysuj kilka prostokątów, zmierz ich boki i znajdź proporcje. Którą półkulę masz?

ZŁOTA PROPORCJA W FOTOGRAFII
Przykładem zastosowania złotego podziału w fotografii jest położenie kluczowych elementów kadru w punktach, które znajdują się 3/8 i 5/8 od krawędzi kadru. Można to zilustrować następującym przykładem.

Oto zdjęcie kota, które znajduje się w dowolnym miejscu w kadrze.

Teraz podzielmy warunkowo ramkę na segmenty, w proporcji 1,62 całkowitej długości z każdej strony ramy. Na przecięciu segmentów powstaną główne „centra wizualne”, w których warto umieścić niezbędne kluczowe elementy obrazu. Przenieśmy naszego kota do punktów „centrów wizualnych”. ZŁOTY STOSUNEK I PRZESTRZEŃ Z historii astronomii wiadomo, że I.Titius, niemiecki astronom z XVIII wieku, korzystając z tej serii, odnalazł prawidłowość i porządek w odległościach między planetami Układu Słonecznego.
Jednak jeden przypadek, który wydawał się być sprzeczny z prawem: między Marsem a Jowiszem nie było planety.Skupiona obserwacja tej części nieba doprowadziła do odkrycia pasa planetoid. Stało się to po śmierci Tycjusza na początku XIX wieku. Seria Fibonacciego jest szeroko stosowana: z jej pomocą reprezentuje architekturę żywych istot, konstrukcje stworzone przez człowieka i strukturę galaktyk. Fakty te świadczą o niezależności szeregu liczbowego od warunków jego manifestacji, co jest jednym z przejawów jego powszechności.



Dwie złote spirale galaktyki są kompatybilne z Gwiazdą Dawida. Zwróć uwagę na gwiazdy wyłaniające się z galaktyki w białej spirali. Dokładnie 180® z jednej ze spiral pochodzi kolejna rozwijająca się spirala. ... Przez długi czas astronomowie po prostu wierzyli, że wszystko, co jest, jest tym, co widzimy; jeśli coś jest widoczne, to istnieje. Albo w ogóle nie dostrzegali niewidzialnej części Rzeczywistości, albo nie uważali jej za ważną. Ale niewidzialna strona naszej Rzeczywistości jest w rzeczywistości znacznie większa niż strona widzialna i prawdopodobnie ważniejsza. ... Innymi słowy, widoczna część Rzeczywistości to znacznie mniej niż jeden procent całości – prawie nic. W rzeczywistości naszym prawdziwym domem jest niewidzialny wszechświat... We Wszechświecie wszystkie znane ludzkości galaktyki i wszystkie znajdujące się w nich ciała istnieją w formie spirali, odpowiadającej formule złotego przekroju. W spirali naszej galaktyki leży złoty podział


WNIOSEK Przyroda, rozumiana jako cały świat w różnorodności jego form, składa się niejako z dwóch części: żywej i nieożywionej. Wytwory przyrody nieożywionej charakteryzują się dużą stabilnością, małą zmiennością, sądząc po skali życia człowieka. Człowiek rodzi się, żyje, starzeje się, umiera, ale granitowe góry pozostają takie same, a planety krążą wokół Słońca w taki sam sposób, jak za czasów Pitagorasa. Świat dzikiej przyrody jawi się nam w zupełnie inny sposób – mobilny, zmienny i zaskakująco różnorodny. Życie pokazuje nam fantastyczny karnawał różnorodności i oryginalności kreatywnych połączeń! Świat przyrody nieożywionej to przede wszystkim świat symetrii, która nadaje jego twórczości stabilność i piękno. Świat przyrody to przede wszystkim świat harmonii, w którym działa „prawo złotego działu”. We współczesnym świecie nauka ma szczególne znaczenie ze względu na coraz większy wpływ człowieka na przyrodę. Ważnymi zadaniami na obecnym etapie są poszukiwanie nowych dróg współistnienia człowieka i przyrody, badanie problemów filozoficznych, społecznych, ekonomicznych, edukacyjnych i innych stojących przed społeczeństwem. W tym artykule rozważono wpływ właściwości „złotej sekcji” na przyrodę ożywioną i nieożywioną, na historyczny przebieg rozwoju historii ludzkości i całej planety. Analizując wszystkie powyższe, można jeszcze raz zachwycić się wielkością procesu poznawania świata, odkrywaniem jego wciąż nowych wzorców i konkludować: zasada złotego podziału jest najwyższym przejawem struktury i funkcjonalny jego doskonałość całości i jej części w sztuce, nauce, technologii i przyrodzie. Można się spodziewać, że prawa rozwoju różnych układów przyrody, prawa wzrostu, nie są bardzo zróżnicowane i można je prześledzić w najróżniejszych formacjach. To manifestacja jedności natury. Idea takiej jedności, opartej na manifestacji tych samych wzorców w heterogenicznych zjawiskach przyrodniczych, zachowała swoje znaczenie od Pitagorasa do dnia dzisiejszego. gr. 51

We wszechświecie wciąż istnieje wiele nierozwiązanych tajemnic, z których część naukowcy byli już w stanie zidentyfikować i opisać. Liczby Fibonacciego i złoty podział stanowią podstawę do rozplątywania otaczającego nas świata, budowania jego kształtu i optymalnej percepcji wzrokowej przez człowieka, za pomocą której może poczuć piękno i harmonię.

złoty podział

Zasada określania wielkości złotego przekroju leży u podstaw doskonałości całego świata i jego części w jego budowie i funkcjach, jej przejawy widać w przyrodzie, sztuce i technice. Doktryna złotego podziału powstała w wyniku badań starożytnych naukowców nad naturą liczb.

Opiera się na teorii proporcji i stosunków podziałów segmentowych, którą opracował starożytny filozof i matematyk Pitagoras. Udowodnił, że dzieląc odcinek na dwie części: X (mniejszy) i Y (większy), stosunek większego do mniejszego będzie równy stosunkowi ich sumy (całego odcinka):

Rezultatem jest równanie: x 2 - x - 1=0, który jest rozwiązany jako x=(1±√5)/2.

Jeśli weźmiemy pod uwagę stosunek 1/x, to jest on równy 1,618…

Dowody na użycie złotego podziału przez starożytnych myślicieli są podane w księdze Euklidesa „Początki”, napisanej w III wieku. BC, który wykorzystał tę zasadę do skonstruowania regularnych 5-gonów. Wśród pitagorejczyków postać ta jest uważana za świętą, ponieważ jest zarówno symetryczna, jak i asymetryczna. Pentagram symbolizował życie i zdrowie.

Liczby Fibonacciego

Słynna książka Liber abaci włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, który później stał się znany jako Fibonacci, została opublikowana w 1202. W niej naukowiec po raz pierwszy podaje wzór liczb, w których każda liczba jest sumą z 2 poprzednich cyfr. Sekwencja liczb Fibonacciego jest następująca:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Naukowiec przytoczył również szereg wzorców:

• Każda liczba z serii podzielona przez następną będzie równa wartości, która dąży do 0,618. Co więcej, pierwsze liczby Fibonacciego nie dają takiej liczby, ale w miarę przesuwania się od początku ciągu ten stosunek będzie coraz dokładniejszy.
• Jeśli podzielisz liczbę z serii przez poprzednią, wynik będzie miał tendencję do 1,618.
• Jedna liczba podzielona przez następną pokaże wartość zmierzającą do 0,382.

Zastosowanie połączenia i wzorów złotego przekroju, liczby Fibonacciego (0,618) można znaleźć nie tylko w matematyce, ale także w przyrodzie, w historii, w architekturze i budownictwie oraz w wielu innych naukach.

Spirala Archimedesa i złoty prostokąt

Spirale, bardzo powszechne w przyrodzie, zostały zbadane przez Archimedesa, który nawet wyprowadził jej równanie. Kształt spirali opiera się na prawach złotego podziału. Po rozkręceniu uzyskuje się długość, do której można zastosować proporcje i liczby Fibonacciego, wzrost kroku następuje równomiernie.

Równoległość między liczbami Fibonacciego a złotym podziałem można również zobaczyć, konstruując „złoty prostokąt”, którego boki są proporcjonalne do 1,618:1. Jest budowany poprzez przejście z większego prostokąta na mniejsze tak, aby długości boków były równe liczbom z rzędu. Jego budowę można wykonać w odwrotnej kolejności, zaczynając od kwadratu „1”. Łącząc narożniki tego prostokąta z liniami w środku ich przecięcia uzyskuje się spiralę Fibonacciego lub logarytmiczną.

Historia stosowania złotych proporcji

Wiele starożytnych zabytków architektury Egiptu zostało zbudowanych w złotych proporcjach: słynne piramidy Cheopsa itp. Architekci starożytnej Grecji szeroko wykorzystywali je przy budowie obiektów architektonicznych, takich jak świątynie, amfiteatry, stadiony. Na przykład takie proporcje wykorzystano przy budowie starożytnej świątyni Partenon (Ateny) i innych obiektów, które stały się arcydziełami starożytnej architektury, demonstrując harmonię opartą na wzorach matematycznych.

W późniejszych wiekach zainteresowanie złotym podziałem opadło, a wzory zostały zapomniane, ale ponownie zostały wznowione w renesansie, wraz z księgą franciszkańskiego mnicha L. Pacioli di Borgo „Boska proporcja” (1509). Zawierał ilustracje Leonarda da Vinci, który naprawił nową nazwę „złota sekcja”. Udowodniono również naukowo 12 właściwości złotego podziału, a autor mówił o tym, jak przejawia się on w przyrodzie, w sztuce i nazwał to „zasadą budowania świata i natury”.

Człowiek witruwiański Leonardo

Rysunek, na którym Leonardo da Vinci zilustrował księgę Witruwiusza w 1492 r., przedstawia postać mężczyzny w 2 pozycjach z rękami rozłożonymi na boki. Postać wpisana w okrąg i kwadrat. Ten rysunek jest uważany za kanoniczne proporcje ludzkiego ciała (mężczyzny), opisane przez Leonarda na podstawie ich studiów w traktatach rzymskiego architekta Witruwiusza.

Środek ciała jako punkt równoodległy od końca ramion i nóg to pępek, długość ramion równa wzrostowi osoby, maksymalna szerokość ramion = 1/8 wysokości, odległość od szczytu klatki piersiowej do włosów = 1/7, od szczytu klatki piersiowej do czubka głowy = 1/6 itd.

Od tego czasu rysunek jest używany jako symbol pokazujący wewnętrzną symetrię ludzkiego ciała.

Termin „Golden Ratio” został użyty przez Leonarda na określenie proporcjonalnych relacji w postaci ludzkiej. Na przykład odległość od talii do stóp odnosi się do tej samej odległości od pępka do czubka głowy w taki sam sposób, jak wysokość do pierwszej długości (od pasa w dół). To obliczenie jest wykonywane podobnie do stosunku segmentów przy obliczaniu złotego podziału i ma tendencję do 1,618.

Wszystkie te harmonijne proporcje są często wykorzystywane przez artystów do tworzenia pięknych i imponujących dzieł.

Badania złotego podziału w XVI-XIX wieku

Wykorzystując złoty podział i liczby Fibonacciego, prace badawcze nad kwestią proporcji trwają od ponad wieku. Równolegle z Leonardo da Vinci niemiecki artysta Albrecht Dürer również rozwijał teorię prawidłowych proporcji ludzkiego ciała. W tym celu stworzył nawet specjalny kompas.

W XVI wieku kwestia związku między liczbą Fibonacciego a złotym działem została poświęcona pracy astronoma I. Keplera, który jako pierwszy zastosował te zasady do botaniki.

W XIX wieku złoty podział czekał na nowe „odkrycie”. wraz z publikacją „Badań Estetycznych” niemieckiego naukowca prof. Zeisiga. Podniósł te proporcje do absolutu i ogłosił, że są one uniwersalne dla wszystkich zjawisk przyrodniczych. Przeprowadził badania na ogromnej liczbie osób, a raczej ich proporcjach cielesnych (około 2 tys.), w wyniku których wyciągnięto wnioski o statystycznie potwierdzonych wzorcach w proporcjach różnych części ciała: długości ramion, przedramion , ręce, palce itp.

Badano także obiekty artystyczne (wazony, konstrukcje architektoniczne), tonacje muzyczne, rozmiary przy pisaniu wierszy – Zeisig ukazywał to wszystko poprzez długości segmentów i liczb, wprowadził też termin „estetyka matematyczna”. Po otrzymaniu wyników okazało się, że uzyskuje się szereg Fibonacciego.

Liczba Fibonacciego i złoty podział w przyrodzie

W świecie roślin i zwierząt istnieje tendencja do formowania się w postaci symetrii, którą obserwuje się w kierunku wzrostu i ruchu. Podział na symetryczne części, w których obserwuje się złote proporcje, jest wzorem nieodłącznym dla wielu roślin i zwierząt.

Otaczającą nas przyrodę można opisać za pomocą liczb Fibonacciego, na przykład:

• układ liści lub gałęzi dowolnych roślin, a także odległości są związane z ciągiem podanych liczb 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i tak dalej;
• nasiona słonecznika (łuski na szyszkach, komórki ananasa), ułożone w dwóch rzędach w skręcone spirale w różnych kierunkach;
• stosunek długości ogona do całego ciała jaszczurki;
• kształt jajka, jeśli narysujesz linię warunkowo przez jego szeroką część;
• stosunek wielkości palców u ludzkiej dłoni.

I oczywiście najciekawszymi formami są spiralne muszle ślimaków, wzory na sieci, ruch wiatru wewnątrz huraganu, podwójna helisa w DNA i struktura galaktyk – wszystko to zawiera sekwencję liczb Fibonacciego .

Zastosowanie złotego podziału w sztuce

Badacze poszukujący przykładów wykorzystania złotego podziału w sztuce szczegółowo badają różne obiekty architektoniczne i obrazy. Znane są słynne dzieła rzeźbiarskie, których twórcy trzymali się złotych proporcji - posągi Zeusa Olimpijskiego, Apolla Belvedere i

Jedno z dzieł Leonarda da Vinci – „Portret Mony Lisy” – od wielu lat jest przedmiotem badań naukowców. Odkryli, że kompozycja dzieła w całości składa się ze „złotych trójkątów”, połączonych razem w regularną gwiazdę pięciokąta. Wszystkie prace da Vinci świadczą o tym, jak głęboka była jego znajomość budowy i proporcji ludzkiego ciała, dzięki której udało mu się uchwycić niesamowicie tajemniczy uśmiech Mona Lisy.

Złoty podział w architekturze

Jako przykład naukowcy badali arcydzieła architektury stworzone zgodnie z zasadami „złotej sekcji”: egipskie piramidy, Panteon, Partenon, katedra Notre Dame de Paris, katedra św. Bazylego itp.

Partenon, jedna z najpiękniejszych budowli starożytnej Grecji (V wiek pne), ma 8 kolumn i 17 z różnych stron, stosunek jego wysokości do długości boków wynosi 0,618. Występy na jego elewacjach wykonane są zgodnie ze „złotą sekcją” (zdjęcie poniżej).

Jednym z naukowców, którzy wymyślili iz powodzeniem zastosowali udoskonalenie modułowego systemu proporcji obiektów architektonicznych (tzw. „modulor”), był francuski architekt Le Corbusier. Moduł bazuje na systemie pomiarowym związanym z warunkowym podziałem na części ciała człowieka.

Rosyjski architekt M. Kazakow, który zbudował kilka budynków mieszkalnych w Moskwie, a także budynki Senatu na Kremlu i Szpital Golicyna (obecnie 1. Klinika im. NI Pirogowa), był jednym z architektów, którzy zastosowali prawo w projekt i konstrukcja o złotym podziale.

Stosowanie proporcji w projektowaniu

W projektowaniu mody wszyscy projektanci mody tworzą nowe obrazy i modele, biorąc pod uwagę proporcje ludzkiego ciała i zasady złotego podziału, chociaż z natury nie wszyscy ludzie mają idealne proporcje.

Planując projektowanie krajobrazu i tworząc obszerne kompozycje parkowe za pomocą roślin (drzewa i krzewy), fontann i obiektów małej architektury, można również zastosować wzory „boskich proporcji”. Przecież kompozycja parku powinna skupiać się na wywarciu wrażenia na zwiedzającym, który będzie mógł swobodnie się w nim poruszać i odnaleźć centrum kompozycyjne.

Wszystkie elementy parku są w takich proporcjach, że za pomocą geometrycznej konstrukcji, wzajemnego ułożenia, oświetlenia i światła dają człowiekowi wrażenie harmonii i doskonałości.

Zastosowanie złotej sekcji w cybernetyce i technologii

Wzory złotego przekroju i liczb Fibonacciego przejawiają się również w przejściach energetycznych, w procesach zachodzących z cząstkami elementarnymi tworzącymi związki chemiczne, w układach kosmicznych, w strukturze genów DNA.

Podobne procesy zachodzą w ludzkim ciele, przejawiając się w biorytmach jego życia, w działaniu narządów, na przykład mózgu czy wzroku.

Algorytmy i wzorce złotych proporcji są szeroko stosowane we współczesnej cybernetyce i informatyce. Jednym z prostych zadań, które muszą rozwiązać początkujący programiści, jest napisanie formuły i określenie sumy liczb Fibonacciego do określonej liczby za pomocą języków programowania.

Współczesne badania nad teorią złotego podziału

Od połowy XX wieku dramatycznie wzrosło zainteresowanie problematyką i wpływem praw złotych proporcji na życie człowieka, a wśród wielu naukowców różnych zawodów: matematyków, badaczy etnosu, biologów, filozofów, pracowników medycznych, ekonomistów, muzycy itp.

Od lat 70. w Stanach Zjednoczonych ukazuje się Kwartalnik Fibonacciego, gdzie publikowane są prace na ten temat. W prasie pojawiają się prace, w których uogólnione zasady złotego działu i serii Fibonacciego wykorzystywane są w różnych dziedzinach wiedzy. Na przykład do kodowania informacji, badań chemicznych, biologicznych itp.

Wszystko to potwierdza wnioski starożytnych i współczesnych naukowców, że złoty podział jest wielostronnie związany z podstawowymi zagadnieniami nauki i przejawia się w symetrii wielu tworów i zjawisk otaczającego nas świata.

Nawet w starożytnym Egipcie było to znane złoty podział, Leonardo da Vinci i Euclid badali jego właściwości.Wizualna percepcja człowieka jest ułożona w taki sposób, że rozróżnia on w formie wszystkie otaczające go przedmioty. Jego zainteresowanie przedmiotem lub jego formą jest czasami podyktowane koniecznością lub może być spowodowane pięknem przedmiotu. Jeśli w samej podstawie konstrukcji formularza stosuje się kombinację złoty podział i prawa symetrii, to jest to najlepsza kombinacja do percepcji wzrokowej przez osobę, która czuje harmonię i piękno. Całość składa się z części, dużych i małych, a te różne rozmiary części mają pewien związek zarówno ze sobą, jak i z całością. A najwyższym przejawem funkcjonalnej i strukturalnej doskonałości w przyrodzie, nauce, sztuce, architekturze i technologii jest Zasada złoty podział. Pojęcie złoty podział wprowadził do użytku naukowego starożytnego greckiego matematyka i filozofa (VI wpne) Pitagorasa. Ale sama wiedza o złoty podział pożyczył od starożytnych Egipcjan. Proporcje wszystkich budowli świątynnych, piramid Cheopsa, płaskorzeźb, przedmiotów gospodarstwa domowego i dekoracji z grobowców pokazują, że proporcje złoty podział był aktywnie używany przez starożytnych mistrzów na długo przed Pitagorasem. Jako przykład: płaskorzeźba ze świątyni Seti I w Abydos i płaskorzeźba Ramzesa posługują się zasadą złoty podział w proporcjach figur. Przekonał się o tym architekt Le Corbusier. Na drewnianej desce wydobytej z grobowca Architekta Khesira przedstawiono reliefowy rysunek, na którym widoczny jest sam architekt trzymający w rękach przyrządy pomiarowe, które są przedstawione w pozycji ustalającej zasady złoty podział. Znał zasady złoty podział i Platon (427...347 pne). Dowodem na to jest dialog Timajosa, poświęcony zagadnieniom złoty podział, estetyczne i matematyczne poglądy szkoły Pitagorasa. Zasady Złota sekcja używany przez starożytnych greckich architektów na fasadzie świątyni Partenon. Kompasy, które starożytni architekci i rzeźbiarze starożytnego świata używali w swoich pracach, zostały odkryte podczas wykopalisk świątyni Partenon.

Partenon, Akropol, Ateny W Pompejach (muzeum w Neapolu) proporcje złoty podział są również dostępne.W starożytnej literaturze, która do nas dotarła, zasada złoty podział po raz pierwszy wspomniano w Elementach Euklidesa. W książce „Początki” w drugiej części podana jest zasada geometryczna złoty podział. Naśladowcami Euklidesa byli Pappus (III wne), Hypsicles (II wpne) i inni.Do średniowiecznej Europy z zasadą złoty podział Poznaliśmy się dzięki tłumaczeniom z arabskiego „Początków” Euklidesa. Zasady złoty podział były znane tylko wąskiemu kręgowi wtajemniczonych, były zazdrośnie strzeżone, trzymane w ścisłej tajemnicy. Nastał renesans i zainteresowanie zasadami złoty podział rośnie wśród naukowców i artystów, ponieważ zasada ta ma zastosowanie w nauce, architekturze i sztuce. A Leonardo Da Vinci zaczął stosować te zasady w swoich pracach, co więcej, zaczął pisać książkę o geometrii, ale w tym czasie pojawiła się książka mnicha Luki Pacioli, który wyprzedził go i opublikował książkę ” Boska proporcja”, po której Leonardo odszedł, dzieło nie jest ukończone. Według historyków nauki i współczesnych Luca Pacioli był prawdziwym luminarzem, genialnym włoskim matematykiem, żyjącym między Galileuszem a Fibonaccim. Jako uczeń malarza Piero della Francesca, Luca Pacioli napisał dwie książki O perspektywie w malarstwie, tytuł jednej z nich. Przez wielu uważany jest za twórcę geometrii wykreślnej. Luca Pacioli na zaproszenie księcia Moreau przybył do Mediolanu w 1496 roku i wykładał tam matematykę. Leonardo da Vinci w tym czasie pracował na dworze Moro. entuzjastycznym hymnem stała się Boska proporcja Luki Pacioli, opublikowana w Wenecji w 1509 roku złoty podział, z pięknie wykonanymi ilustracjami, są wszelkie powody, by sądzić, że ilustracje wykonał sam Leonardo da Vinci. Mnich Luca Pacioli, jako jedna z cnót złoty podział podkreślał jego „boską istotę”. Rozumiejąc naukową i artystyczną wartość złotego podziału, Leonardo da Vinci poświęcił wiele czasu na jego badanie. Wykonując przekrój bryły stereometrycznej składającej się z pięciokątów, uzyskał prostokąty o proporcjach zgodnych z złoty podział. I nadał mu imię złoty podział”. Który wciąż się trzyma. Albrecht Dürer, również studiuje złoty podział w Europie spotyka się z mnichem Lucą Pacioli. Jako pierwszy zwrócił na to uwagę Johannes Kepler, największy astronom tamtych czasów złoty podział bo botanika nazywając ją skarbnicą geometrii. Nazwał złoty podział samo-ciągłym. „Jest tak ułożony”, powiedział, „suma dwóch młodszych członów nieskończonej proporcji daje trzeci człon, a dowolne dwa ostatnie człony, jeśli zsumowane, dają następny człon. , a ta sama proporcja pozostaje w nieskończoność.”

Złoty Trójkąt:: Złoty podział i Złoty podział:: Złoty prostokąt:: Złota spirala

Złoty Trójkąt

Aby znaleźć segmenty złotego podziału rzędów malejących i rosnących, użyjemy pentagramu.

Ryż. 5. Budowa pięciokąta foremnego i pentagramu

Aby zbudować pentagram, musisz narysować pięciokąt foremny zgodnie z metodą konstrukcji opracowaną przez niemieckiego malarza i grafika Albrechta Dürera. Jeśli O jest środkiem okręgu, A jest punktem na okręgu, a E jest środkiem odcinka OA. Prostopadła do promienia OA, wzniesiona w punkcie O, przecina okrąg w punkcie D. Za pomocą cyrkla zaznacz odcinek na średnicy CE = ED. Wtedy długość boku pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg jest równa DC. Odkładamy segmenty DC na okręgu i otrzymujemy pięć punktów za narysowanie pięciokąta foremnego. Następnie przez jeden róg łączymy rogi pięciokąta przekątnymi i otrzymujemy pentagram. Wszystkie przekątne pięciokąta dzielą się na odcinki połączone złotym podziałem.

Każdy koniec pięciokątnej gwiazdy to złoty trójkąt. Jej boki tworzą u góry kąt 36°, a ułożona z boku podstawa dzieli go proporcjonalnie do złotego przekroju. Narysuj linię prostą AB. Od punktu A odkładamy na nim trzykrotnie odcinek O dowolnej wielkości, przez otrzymany punkt P rysujemy prostopadłą do prostej AB, na prostopadłej na prawo i lewo od punktu P odkładamy odcinki O. Punkty d i d1 są połączone prostymi z punktem A. Odcinek dd1 kładziemy na prostej Ad1, otrzymując punkt C. Podzieliła prostą Ad1 proporcjonalnie do złotego podziału. Linie Ad1 i dd1 służą do budowy „złotego” prostokąta.

Ryż. 6. Budowanie złotego

trójkąt

Złoty podział i złoty podział

W matematyce i sztuce dwie wielkości są w złotym stosunku, jeśli stosunek sumy tych wielkości do większej jest taki sam, jak stosunek między większą a mniejszą. Wyrażone algebraicznie: Złoty podział jest często oznaczany grecką literą phi (? lub?). figura złotego podziału ilustruje zależności geometryczne, które definiują tę stałą. Złoty podział to irracjonalna stała matematyczna, około 1,6180339887.

złoty prostokąt

Złoty prostokąt to prostokąt, którego długości boków są w złotym stosunku 1:? (jeden na fi), tj. 1: lub około 1:1.618. Złoty prostokąt można zbudować tylko za pomocą linijki i okrąg: 1. Skonstruuj prosty kwadrat 2. Narysuj linię od środka jednego boku kwadratu do przeciwległego rogu 3. Użyj tej linii jako promienia, aby narysować łuk określający wysokość prostokąta 4. Uzupełnij złoty prostokąt

złota spirala

W geometrii złota spirala jest spiralą logarytmiczną, której współczynnik wzrostu b jest powiązany z? , złoty podział. W szczególności złota spirala staje się szersza (oddalona od miejsca, w którym się zaczęła) o czynnik ? za każdą ćwierć obrotu.

Kolejne punkty podziału złotego prostokąta na kwadraty leżą na spirala logarytmiczna, czasami nazywana złotą spiralą.

Złoty dział w architekturze i sztuce.

Wielu architektów i artystów wykonywało swoją pracę zgodnie z proporcjami złotego przekroju, zwłaszcza w formie złotego prostokąta, w którym stosunek większego boku do mniejszego ma proporcje złotego przekroju, wierząc, że ten stosunek byłoby estetyczne. [Źródło: Wikipedia.org ]

Oto kilka przykładów:

Partenon, Akropol, Ateny . Ta starożytna świątynia niemal dokładnie wpasowuje się w złoty prostokąt.

Człowiek witruwiański Leonarda da Vinci na tym rysunku możesz narysować wiele linii prostokątów. Następnie istnieją trzy różne zestawy złotych prostokątów: Każdy zestaw dotyczy obszaru głowy, tułowia i nóg. Rysunek Leonarda da Vinci Człowieka witruwiańskiego bywa mylony z zasadami „złotego prostokąta”, jednak tak nie jest. Konstrukcja Człowieka witruwiańskiego polega na narysowaniu okręgu o średnicy równej przekątnej kwadratu, przesunięciu go w górę tak, aby dotykał podstawy kwadratu i narysowaniu końcowego koła pomiędzy podstawą kwadratu a środkiem pomiędzy obszar środka kwadratu i środka koła: Szczegółowe wyjaśnienie konstrukcji geometrycznej >>

Złoty podział w przyrodzie.

Adolf Zeising, którego głównymi zainteresowaniami były matematyka i filozofia, odnalazł złoty podział w układzie gałęzi wzdłuż łodygi rośliny i żyłek liści. Rozszerzył swoje badania z roślin na zwierzęta, badając szkielety zwierząt i gałęzie ich żył i nerwów, proporcje związków chemicznych i geometrię kryształów, aż do zastosowania złotego podziału w sztuce. W tych zjawiskach zauważył, że złoty podział był używany wszędzie jako uniwersalne prawo, Zeising napisał w 1854 roku: Złoty podział to uniwersalne prawo, które zawiera w sobie podstawową zasadę kształtującą pragnienie piękna i pełni w takich dziedzinach jak przyroda i sztuka, która przenika, jako nadrzędny duchowy ideał, wszelkie struktury, kształty i proporcje, czy to kosmiczne. lub osoba fizyczna, organiczna lub nieorganiczna, akustyczna lub optyczna, ale zasada złotego podziału znajduje swoje najpełniejsze urzeczywistnienie w ludzkiej postaci.

Przykłady:

Krój muszli Nautilusa ujawnia złotą zasadę budowy spirali.

Mozart podzielił swoje sonaty na dwie części, których długości odzwierciedlają złoty podział, chociaż trwa debata, czy zrobił to świadomie. W bardziej współczesnych czasach węgierski kompozytor Béla Bartók i francuski architekt Le Corbusier celowo włączyli do swoich prac złoty podział. Nawet dzisiaj złoty podział otacza nas wszędzie sztucznymi przedmiotami. Spójrz na prawie każdy krzyż chrześcijański, stosunek pionu do poziomu to złoty stosunek. Aby znaleźć złoty prostokąt, zajrzyj do portfela, a znajdziesz tam karty kredytowe. Pomimo tak wielu dowodów w dziełach sztuki tworzonych na przestrzeni wieków, obecnie wśród psychologów toczy się debata na temat tego, czy ludzie rzeczywiście postrzegają złote proporcje, w szczególności złoty prostokąt, jako piękniejsze niż inne kształty. W artykule w czasopiśmie z 1995 roku profesor Christopher Green z York University w Toronto omawia szereg eksperymentów na przestrzeni lat, które nie wykazały preferencji dla kształtu złotego prostokąta, ale zauważa, że ​​kilka innych dostarczyło dowodów na to, że taka preferencja nie istnieje. Ale niezależnie od nauki, złoty podział zachowuje swoją mistykę, po części dlatego, że tak dobrze stosuje się do wielu nieoczekiwanych miejsc w przyrodzie. Spirala muszle małża nautilus są zaskakująco bliskie złoty podział, a stosunek długości klatki piersiowej i brzucha u większości pszczół wynosi prawie złoty podział. Nawet przekroje najczęstszych form ludzkiego DNA idealnie pasują do złotego dziesięciokąta. złoty podział a jego krewni pojawiają się również w wielu nieoczekiwanych kontekstach w matematyce i nadal wzbudzają zainteresowanie społeczności matematycznych. Dr Steven Marquardt, były chirurg plastyczny, wykorzystał tę tajemniczą proporcję złoty podział, w swojej pracy, który od dawna odpowiada za piękno i harmonię, stworzył maskę, którą uważał za najpiękniejszą formę ludzkiej twarzy, jaka może być.

Maska idealna ludzka twarz

Egipska królowa Nefretete (1400 pne)

Twarz Jezusa jest kopią Całunu Turyńskiego i poprawioną według maski dr Stephena Marquardta.

„Uśredniona” (syntezowana) twarz celebryty. Z proporcjami złotej sekcji.

Wykorzystano materiały ze strony: http://blog.world-mysteries.com/

Powszechnie przyjmuje się, że pojęcie złotego podziału zostało wprowadzone do użytku naukowego przez Pitagorasa, starożytnego greckiego filozofa i matematyka (VI wpne). Istnieje przypuszczenie, że Pitagoras zapożyczył swoją wiedzę o złotym podziale od Egipcjan i Babilończyków. Rzeczywiście, proporcje piramidy Cheopsa, świątyń, płaskorzeźb, przedmiotów gospodarstwa domowego i dekoracji z grobowca Tutanchamona wskazują, że egipscy rzemieślnicy przy ich tworzeniu stosowali proporcje złotego podziału. Francuski architekt Le Corbusier stwierdził, że na płaskorzeźbie ze świątyni faraona Seti I w Abydos oraz na płaskorzeźbie przedstawiającej faraona Ramzesa proporcje postaci odpowiadają wartościom złotego podziału. Architekt Khesira, przedstawiony na płaskorzeźbie drewnianej deski z grobowca jego imienia, trzyma w rękach przyrządy pomiarowe, w których ustalane są proporcje złotego podziału.

Grecy byli wykwalifikowanymi geometrami. Nawet arytmetyki uczono ich dzieci za pomocą figur geometrycznych. Kwadrat Pitagorasa i przekątna tego kwadratu były podstawą do skonstruowania dynamicznych prostokątów.

Platon (427...347 pne) również wiedział o złotym podziale. Jego dialog „Timaeusz” poświęcony jest matematycznym i estetycznym poglądom szkoły Pitagorasa, w szczególności kwestiom złotego podziału.

W starożytnej literaturze, która do nas dotarła, złoty podział został po raz pierwszy wspomniany w „Początkach” Euklidesa. W II księdze „Początków” podana jest geometryczna konstrukcja złotego podziału. Po Euklidesie, Hypsicles (II wiek pne), Pappus (III wiek ne) i inni zajmowali się badaniem złotego podziału Nawarry (III wiek). Sekrety złotego podziału były zazdrośnie strzeżone, trzymane w ścisłej tajemnicy, znane były tylko wtajemniczonym.

W okresie renesansu wzrosło zainteresowanie złotym podziałem wśród naukowców i artystów ze względu na jego zastosowanie zarówno w geometrii, jak i sztuce, zwłaszcza architekturze. Leonardo da Vinci, artysta i naukowiec, zauważył, że włoscy artyści mieli duże doświadczenie empiryczne, ale niewielką wiedzę. Począł i zaczął pisać książkę o geometrii, ale w tym czasie ukazała się książka mnicha Luca Pacioli, a Leonardo porzucił swój pomysł. Według współczesnych i historyków nauki Luca Pacioli był prawdziwym luminarzem, największym matematykiem we Włoszech między Fibonaccim a Galileuszem. Luca Pacioli był uczniem artysty Piero della Francesca, który napisał dwie książki, z których jedna nosiła tytuł O perspektywie w malarstwie. Uważany jest za twórcę geometrii wykreślnej.

Luca Pacioli doskonale zdawał sobie sprawę z wagi nauki dla sztuki. W 1509 roku w Wenecji wydano Boskie proporcje Luki Pacioli, ze znakomicie wykonanymi ilustracjami, dlatego uważa się, że zostały one wykonane przez Leonarda da Vinci. Książka była entuzjastycznym hymnem do złotego podziału. Wśród wielu zalet złotego podziału mnich Luca Pacioli nie omieszkał wymienić jego „boskiej istoty” jako wyrazu boskiej trójcy Boga Syna, Boga Ojca i Boga Ducha Świętego (rozumiano, że mała segment to personifikacja Boga Syna, segment większy to personifikacja Boga Ojca, a cały segment to bóg ducha świętego).

Leonardo da Vinci poświęcił również wiele uwagi badaniu złotego podziału. Wykonywał sekcje bryły stereometrycznej utworzonej z pięciokątów foremnych i każdorazowo uzyskiwał prostokąty o proporcjach w złotym podziale. Dlatego nadał temu podziałowi nazwę złotej sekcji. I tak trwa do dziś.

W tym samym czasie w północnej Europie, w Niemczech, Albrecht Dürer pracował nad tymi samymi problemami. Szkicuje wstęp do pierwszego szkicu traktatu o proporcjach. pisze Durer. „Konieczne jest, aby ten, kto coś wie, nauczył tego innych, którzy tego potrzebują. To właśnie postanowiłem zrobić. Albrecht Dürer szczegółowo rozwija teorię proporcji ludzkiego ciała. Ważne miejsce w swoim systemie stosunków wyznaczył złotej sekcji. Znany kompas proporcjonalny Dürer.

Wielki astronom XVI wieku Johannes Kepler nazwał złoty podział jednym ze skarbów geometrii. Jako pierwszy zwraca uwagę na znaczenie złotego podziału dla botaniki (wzrost i struktura roślin). Kepler nazwał złoty podział kontynuując się „Jest ułożony w taki sposób”, pisał, „że dwa młodsze wyrazy tej nieskończonej proporcji sumują się do trzeciego wyrazu, a dowolne dwa ostatnie wyrazy, jeśli zsumowane, dają następny wyraz. termin, a ta sama proporcja pozostaje do nieskończoności.”

Konstrukcję szeregu odcinków złotego podziału można wykonać zarówno w kierunku wzrostu (seria rosnąca), jak iw kierunku spadku (seria malejąca).

W kolejnych stuleciach zasada złotego podziału przekształciła się w kanon akademicki, a gdy z czasem w sztuce rozpoczęła się walka z akademicką rutyną, w ogniu zmagań „wyrzucili dziecko wraz z wodą. ” Złoty podział został ponownie „odkryty” w połowie XIX wieku. W 1855 roku niemiecki badacz złotej sekcji, profesor Zeising, opublikował swoją pracę Aesthetic Research. Zeising rozważa złoty podział bez związku z innymi zjawiskami. Absolutyzował proporcję złotego podziału, uznając ją za uniwersalną dla wszystkich zjawisk natury i sztuki. Zeising miał wielu zwolenników, ale byli też przeciwnicy, którzy deklarowali jego doktrynę proporcji jako „estetykę matematyczną”.

Zeising przetestował słuszność swojej teorii na temat greckich posągów. Najbardziej szczegółowo opracował proporcje Apollo Belvedere. Badaniom poddano wazy greckie, konstrukcje architektoniczne z różnych epok, rośliny, zwierzęta, ptasie jaja, dźwięki muzyczne, metryki poetyckie. Zeising zdefiniował złoty podział, pokazał, jak wyraża się on w odcinkach linii iw liczbach. Kiedy uzyskano liczby wyrażające długości segmentów, Zeising zobaczył, że tworzą one szereg Fibonacciego, który może być kontynuowany w nieskończoność w jednym i drugim kierunku. Jego kolejna książka nosiła tytuł „Złoty podział jako podstawowe prawo morfologiczne w przyrodzie i sztuce”. W 1876 r. w Rosji opublikowano małą książkę, w której opisano tę pracę Zeisinga.

Pod koniec XIX - początek XX wieku. pojawiło się wiele czysto formalistycznych teorii na temat wykorzystania złotego działu w dziełach sztuki i architektury. Wraz z rozwojem wzornictwa i estetyki technicznej prawo złotego podziału rozszerzyło się na projektowanie samochodów, mebli itp.

Nauka nie wchłaniała sztuki, ale w tych historycznych okresach, kiedy matematyka i sztuka zbiegały się, dało to impuls do rozwoju obu.

Pojęcie złotego podziału

Dowiedzmy się, co jest wspólnego między starożytnymi egipskimi piramidami, obrazem Leonarda da Vinci „Mona Lisa”, słonecznikiem, ślimakiem, płatkiem śniegu, galaktyką i ludzkimi palcami?

W matematyce proporcja (łac. proportio) to równość dwóch stosunków: a: b = c: d.

Złoty przekrój to taki proporcjonalny podział segmentu na nierówne części, w którym cały segment odnosi się do większej części w taki sam sposób, jak sama większa część odnosi się do mniejszej.

Odcinek AB można podzielić na dwie części za pomocą punktu C w następujący sposób:

• na dwie równe części - AB: AC = AB: BC;
• na dwie nierówne części w dowolnym stosunku (takie części nie tworzą proporcji);
• w skrajnym i średnim stosunku w taki sposób, że AB: AC \u003d AC: BC.

Ostatni to złoty podział.

Praktyczna znajomość złotego podziału zaczyna się od podzielenia odcinka prostej w złotym podziale za pomocą cyrkla i linijki. BC = 1/2 AB; CD=BC

Od punktu B przywracana jest prostopadłość równa połowie AB. Wynikowy punkt C jest połączony linią z punktem A. Na otrzymanej linii wykreślany jest odcinek BC, kończący się na punkcie D. Odcinek AD jest przenoszony na prostą AB. Wynikowy punkt E dzieli odcinek AB w stosunku złotego podziału.

Segmenty złotego podziału są wyrażone jako nieskończony ułamek irracjonalny, jeśli AB jest traktowane jako jednostka, wówczas AE \u003d 0,618 ..., BE \u003d 0,382 ... Ze względów praktycznych przybliżone wartości 0,62 i 0,38 są często używane. Jeśli segment AB przyjmie się jako 100 części, to największa część segmentu to 62, a mniejsza 38 części.

Budowa drugiej złotej sekcji. Podział przeprowadza się w następujący sposób. Segment AB jest podzielony proporcjonalnie do złotej sekcji. Od punktu C przywracana jest prostopadła płyta CD. Promień AB to punkt D, który jest połączony linią z punktem A. ACD pod kątem prostym jest dwusieczna. Linia jest rysowana od punktu C do przecięcia z linią AD. Punkt E dzieli odcinek AD w stosunku 56:44.

Linia drugiego złotego odcinka prostokąta znajduje się pośrodku pomiędzy linią złotego odcinka a środkową linią prostokąta.

Pentagram

Aby znaleźć segmenty złotego podziału rosnących i malejących rzędów, możesz użyć pentagramu.

Budowa pięciokąta foremnego i pentagramu.

Aby zbudować pentagram, musisz zbudować pięciokąt foremny. Sposób jego budowy opracował niemiecki malarz i grafik Albrecht Dürer (1471...1528). Niech O będzie środkiem okręgu, A punktem na okręgu, a E środkiem odcinka OA. Prostopadła do promienia OA, wzniesiona w punkcie O, przecina się z okręgiem w punkcie D. Za pomocą cyrkla zaznaczyć odcinek CE = ED na średnicy. Długość boku pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg to DC. Odkładamy segmenty DC na okręgu i otrzymujemy pięć punktów za narysowanie pięciokąta foremnego. Łączymy rogi pięciokąta przez jedną przekątną i otrzymujemy pentagram. Wszystkie przekątne pięciokąta dzielą się na odcinki w złotym podziale. Każdy koniec pięciokątnej gwiazdy to złoty trójkąt. Jej boki tworzą w wierzchołku kąt 36°, a podstawa położona z boku dzieli go w złotym podziale.

Seria Fibonacciego

Nazwisko włoskiego mnicha matematyka Leonarda z Pizy, lepiej znanego jako Fibonacci (syn Bonacciego), jest pośrednio związane z historią złotego działu. Dużo podróżował po Wschodzie, zapoznał Europę z cyframi indyjskimi (arabskimi). W 1202 r. ukazała się jego praca matematyczna „Księga liczydła” (tablica licząca), w której zebrano wszystkie znane wówczas problemy. Jedno z zadań brzmiało: „Ile par królików w ciągu roku urodzi się z jednej pary”. Zastanawiając się nad tym tematem, Fibonacci zbudował następujące serie liczb: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, itd.

Ta seria jest znana jako seria Fibonacciego. Osobliwością ciągu liczb jest to, że każdy z jego członków, począwszy od trzeciego, jest równy sumie dwóch poprzednich, a stosunek sąsiednich liczb szeregu zbliża się do stosunku złotego podziału. Co więcej, po 13-tej liczbie w ciągu ten wynik dzielenia staje się stały aż do nieskończoności szeregu. To właśnie ta stała liczba podziałów w średniowieczu była nazywana Boską Proporcją, a dziś nazywa się ją złotą sekcją, złotym środkiem lub złotą proporcją. W algebrze liczba ta jest oznaczona grecką literą φ (phi).

Więc złoty stosunek wynosi 1:1.618

Tak więc 21:34 = 0,617 i 34:55 = 0,618. Stosunek ten jest oznaczony symbolem φ. Ta proporcja - 0,618:0,382 - daje ciągły podział odcinka linii prostej w złotym podziale.

Seria Fibonacciego mogłaby pozostać tylko incydentem matematycznym, gdyby nie fakt, że wszyscy badacze złotego podziału w świecie roślin i zwierząt, nie mówiąc już o sztuce, niezmiennie przybyli do tej serii jako arytmetycznego wyrażenia prawa złotego podziału . Naukowcy nadal aktywnie rozwijali teorię liczb Fibonacciego i złotego podziału. Istnieją eleganckie metody rozwiązywania szeregu problemów cybernetycznych (teoria poszukiwań, gry, programowanie) za pomocą liczb Fibonacciego i złotej sekcji. W USA powstaje nawet Mathematical Fibonacci Association, które od 1963 roku wydaje specjalne czasopismo.

złoty prostokąt i złota spirala

W geometrii prostokąt ze złotym stosunkiem boków zaczęto nazywać złotym. Jego długie boki są powiązane z krótkimi - w stosunku 1,168:1.

Złoty prostokąt ma też wiele niesamowitych właściwości. Odcinając kwadrat ze złotego prostokąta, którego bok jest równy mniejszemu bokowi prostokąta, ponownie otrzymujemy mniejszy złoty prostokąt. Ten proces może być kontynuowany w nieskończoność. W miarę odcinania kwadratów dostaniemy coraz mniejsze złote prostokąty. Ponadto będą one zlokalizowane w spirali logarytmicznej, co ma znaczenie w modelach matematycznych obiektów naturalnych. Biegun spirali leży na przecięciu przekątnych początkowego prostokąta i pierwszego odciętego pionu. Co więcej, przekątne wszystkich kolejnych malejących złotych prostokątów leżą na tych przekątnych. Oczywiście jest też złoty trójkąt.