차수 n의 근: 기본 정의. 루트와 그 속성

주제에 대한 11학년 수업 스크립트:

« n번째 루트 실수. »

수업의 목적:뿌리에 대한 전체론적 관점의 학생들의 형성 N th 학위 및 n 번째 학위의 산술 루트, 계산 기술의 형성, 의식 기술 및 합리적인 사용근본을 포함하는 다양한 문제를 해결하는 뿌리의 속성. 학생들이 주제에 대한 질문을 마스터한 정도를 확인합니다.

주제:주제에 대한 자료의 동화를위한 의미 있고 조직적인 조건 만들기 "숫자 및 리터럴 표현» 지각, 이해 및 기본 암기 수준에서; 실수에서 n차의 근을 계산할 때 이 정보를 적용하는 기능을 형성합니다.

메타 주제:컴퓨팅 기술 개발을 촉진합니다. 분석, 비교, 일반화, 결론 도출 능력;

개인의:자신의 관점을 표현하는 능력을 배양하고, 다른 사람의 답변을 듣고, 대화에 참여하고, 긍정적인 협력 능력을 형성합니다.

계획된 결과입니다.

주제: 방정식을 풀 때 근을 계산할 때 실제 상황의 과정에서 실수에서 n차 근의 속성을 적용할 수 있습니다.

개인의: 계산에 대한 주의력과 정확성, 자신과 자신의 일에 대한 까다로운 태도를 형성하고 상호 도움의 감각을 배양합니다.

수업 유형: 학습 수업 및 새로운 지식의 기본 통합

학습 활동 동기:

동양의 지혜는 "말을 물가로 인도할 수는 있어도 물을 마시게 할 수는 없다"고 말합니다. 그리고 자신이 더 배우려고하지 않고 자신의 일을 할 의욕이 없다면 공부를 잘하도록 강요하는 것은 불가능합니다. 정신 발달. 결국, 지식은 기억만이 아니라 생각의 노력으로 획득될 때만 지식이 됩니다.

우리의 수업은 "우리가 노력하면 어떤 정상도 정복할 것입니다"라는 모토 아래 진행됩니다. 수업시간에 저와 여러분은 몇 개의 봉우리를 극복할 시간이 필요하고 여러분 각자는 이 봉우리를 정복하기 위해 모든 노력을 기울여야 합니다.

“오늘 우리는 새로운 개념인 "n-th root"를 숙지하고 이 개념을 다양한 표현의 변형에 적용하는 방법을 배워야 하는 수업이 있습니다.

귀하의 목표는 다음을 기반으로 합니다. 다양한 형태기존 지식을 활성화하고 자료 연구에 기여하고 좋은 점수를 받기 위해 노력합니다."
우리는 8학년 때 실수의 제곱근을 공부했습니다. 제곱근은 보기 기능과 관련이 있습니다. 와이=엑스 2. 여러분, 우리가 제곱근을 계산한 방법과 어떤 속성을 가졌는지 기억하십니까?
a) 개별 설문조사:

이 표현은 무엇입니까

제곱근은 무엇입니까

산술 제곱근은 무엇입니까

목록 속성 제곱근

b) 쌍으로 작업: 계산합니다.

2. 지식 업데이트 및 문제 상황 생성:방정식 x 4 =1을 풉니다. 어떻게 해결할 수 있습니까? (분석 및 그래픽). 그래픽으로 풀어봅시다. 이를 위해 하나의 좌표계에서 y \u003d x 4 직선 y \u003d 1 함수의 그래프를 구성합니다(그림 164a). A(-1;1)와 B(1;1)의 두 점에서 교차합니다. 점 A와 B의 가로 좌표, 즉 x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1은 방정식 x 4 \u003d 1의 근입니다.
같은 방식으로 주장하여 방정식 x 4 \u003d 16의 근을 찾습니다. 이제 방정식 x 4 \u003d 5를 풀어 보겠습니다. 기하학적 그림이 그림에 나와 있습니다. 164 나. 방정식에는 두 개의 근 x 1과 x 2가 있으며 이전 두 경우와 마찬가지로 이 숫자는 서로 반대입니다. 그러나 처음 두 방정식의 경우 루트가 어려움 없이 발견되었으며(그래프를 사용하지 않고도 찾을 수 있음) 방정식 x 4 \u003d 5에 문제가 있습니다. 도면에 따르면 값을 나타낼 수 없습니다. 루트의 루트이지만 하나의 루트가 왼쪽 지점 -1에 있고 두 번째 루트가 지점 1의 오른쪽에 있다는 것만 설정할 수 있습니다.

x 2 \u003d - (읽기: "5의 네 번째 루트").

우리는 방정식 x 4 \u003d a에 대해 이야기했습니다. 여기서 a는 0입니다. 동일한 성공으로 방정식 x 4 \u003d a에 대해 이야기할 수 있습니다. 여기서 a 0과 n은 임의의 자연수입니다. 예를 들어, 방정식 x 5 \u003d 1을 그래픽으로 풀면 x \u003d 1을 찾습니다(그림 165). 방정식 x 5 "= 7을 풀면 방정식에 하나의 근 x 1이 있음을 확인합니다. 이 근은 점 1의 약간 오른쪽에 있는 x 축에 위치합니다(그림 165 참조). 숫자 x 1에 대해 다음을 소개합니다. 표기법.

정의 1.음이 아닌 숫자 a의 n차 근(n = 2, 3.4, 5, ...)은 음이 아닌 숫자로, n의 거듭제곱으로 증가하면 숫자 a가 됩니다.

이 숫자를 표시하고 숫자 a를 루트 번호라고 하며 숫자 n을 루트 인덱스라고 합니다.
n \u003d 2이면 일반적으로 "2차 루트"라고 말하지 않고 ""제곱근"이라고 말합니다. 이 경우 그들은 쓰지 않습니다. 이것이 하나입니다 특별한 경우, 8학년 대수학 과정에서 특별히 공부한 것입니다.

n \u003d 3이면 "3도 루트"대신 종종 "큐브 루트"라고 말합니다. 입방체근과의 첫 만남도 8학년 대수학 과정에서 이루어졌습니다. 우리는 사용했었다 큐브 루트 9학년 대수학 과정에서.

따라서 a ≥0, n= 2,3,4,5,…이면 1) ≥ 0입니다. 2) () n = 가.

일반적으로 \u003d b 및 b n \u003d a - 음수가 아닌 숫자 a와 b 사이의 관계는 동일하지만 두 번째만 더 자세히 설명됩니다. 평범한 언어(간단한 문자 사용) 첫 번째보다.

음수가 아닌 수의 근을 찾는 작업을 일반적으로 근 추출이라고 합니다. 이 작업은 해당 거듭제곱으로 올리는 작업의 역순입니다. 비교하다:

다시 한 번주의하십시오. 정의 1에 규정되어 있기 때문에 테이블에는 양수 만 나타납니다. 그리고 예를 들어 (-6) 6 \u003d 36이 올바른 평등이지만 제곱근을 사용하여 표기법으로 이동하십시오. 즉. 할 수 없는 것을 씁니다. 정의에 따라 - 양수이므로 = 6(-6 아님)입니다. 같은 방식으로 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16이 뿌리의 부호로 전달되지만 \u003d 2 (동시에 ≠-2)를 작성해야 합니다.

때때로 표현은 급진적이라고 불립니다(from 라틴어 단어 gadix - "루트"). 러시아어에서 급진적이라는 용어는 매우 자주 사용됩니다. 예를 들어 "급진적 변화"는 "급진적 변화"를 의미합니다. 그건 그렇고, 뿌리의 바로 그 지정은 gadix라는 단어를 연상시킵니다. 기호는 양식화 된 문자 r입니다.

근을 추출하는 연산도 음의 근수에 대해 결정되지만, 기수 지수가 홀수인 경우에만 결정됩니다. 즉, 방정식 (-2) 5 = -32는 =-2와 동일한 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 여기에서 다음 정의가 사용됩니다.

정의 2.음수 a(n = 3.5, ...)에서 홀수 차수 n의 근은 n의 거듭제곱으로 올릴 때 숫자 a가 되는 음수입니다.

정의 1에서와 같이 이 숫자는 로 표시됩니다. 숫자 a는 루트 번호이고 숫자 n은 루트 인덱스입니다.
따라서, a, n=,5,7,…이면: 1) 0; 2) () n = 가.

따라서 짝수 어근은 음수가 아닌 급진적 표현에 대해서만 의미가 있습니다(즉, 정의됨). 이상한 어근은 급진적 표현에 적합합니다.

5. 지식의 기본 통합:

1. 계산: 33.5번; 33.6; 33.74 33.8 구두 a) ; b) ; 안에) ; G) .

d) 이전 예와 달리 다음을 지정할 수 없습니다. 정확한 값숫자 2 4 \u003d 16(17보다 작음) 및 Z 4 \u003d 81(17보다 큼) 때문에 2보다 크고 3보다 작다는 것만이 분명합니다. 24는 34보다 17에 훨씬 더 가깝기 때문에 대략적인 등호를 사용해야 하는 이유가 있습니다.
2. 다음 표현식의 값을 찾으십시오.

예 옆에 해당 문자를 넣으십시오.

위대한 과학자에 대한 약간의 정보. 르네 데카르트(1596-1650) 프랑스 귀족, 수학자, 철학자, 생리학자, 사상가. Rene Descartes는 해석 기하학의 기초를 마련하고 문자 지정 x 2 , y 3 을 도입했습니다. 함수를 정의하는 데카르트 좌표를 모두 알고 있습니다. 변하기 쉬운.

3 . 방정식 풀기: a) = -2; b) = 1; c) = -4

해결책: a) = -2이면 y = -8입니다. 사실 두 부분 모두 주어진 방정식우리는 큐브해야합니다. 우리는 다음을 얻습니다: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) 예 a)에서와 같이 논증하여 방정식의 양변을 4승으로 올립니다. 우리는 다음을 얻습니다: x=1.

c) 여기에서 4승을 올릴 필요가 없습니다. 이 방정식에는 해가 없습니다. 왜요? 정의 1에 따르면 짝수 차수의 근은 음수가 아니기 때문입니다.
주의해야 할 몇 가지 작업이 있습니다. 이 작업을 완료하면 위대한 수학자의 이름과 성을 배우게 됩니다. 이 과학자는 1637년에 루트의 부호를 처음으로 도입했습니다.

6. 좀 쉬자.

수업이 손을 듭니다. 이것은 "시간"입니다.

머리가 돌았습니다 - "2"입니다.

손을 아래로 기대하십시오. 이것은 "3"입니다.

손은 "4"에서 측면으로 더 넓어졌습니다.

손에 힘을 주어 누르는 것은 "5"입니다.

모든 사람들은 앉을 필요가 있습니다. 이것은 "6"입니다.

7. 독립적 인 일:

옵션: 2 옵션:

나) 3-. 나) 12-6.

2. 방정식을 풉니다. a) x 4 \u003d -16; b) 0.02x6 -1.28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0;

c) = -2; 다)= 2

8. 반복:방정식 = - x의 근을 찾습니다. 방정식에 근이 두 개 이상인 경우 답에 근 중 작은 것을 쓰십시오.

9. 반사:수업에서 무엇을 배웠습니까? 흥미로운 점은 무엇입니까? 무엇이 어려웠습니까?

이 기사는 뿌리의 속성에 대한 주제를 다루는 자세한 정보 모음입니다. 주제를 고려하여 속성부터 시작하여 모든 공식을 연구하고 증명할 것입니다. 주제를 통합하기 위해 n도의 속성을 고려할 것입니다.

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루트 속성

속성에 대해 이야기하겠습니다.

재산 곱한 숫자 ㅏ그리고 비, 이는 등식으로 표현됩니다. 양수 또는 0과 같은 승수로 나타낼 수 있습니다. a 1 , a 2 , … , k as a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
개인에서 a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, 다음 형식으로도 쓸 수 있습니다. a b = a b ;
숫자의 거듭제곱으로 얻은 속성 ㅏ짝수 지수 a 2 m = 임의의 수에 대한 m ㅏ, 예를 들어 숫자 a 2 = a 의 제곱의 속성입니다.

제시된 모든 방정식에서 대시 기호 앞과 뒤의 부분을 바꿀 수 있습니다. 예를 들어 평등 a · b = a · b는 a · b = a · b로 변환됩니다. 등식 속성은 복잡한 방정식을 단순화하는 데 자주 사용됩니다.

첫 번째 속성의 증명은 제곱근의 정의와 자연 지수의 거듭제곱 속성을 기반으로 합니다. 세 번째 속성을 입증하려면 숫자 계수의 정의를 참조할 필요가 있습니다.

먼저 a·b = a·b 제곱근의 성질을 증명할 필요가 있다. 정의에 따르면 b는 양수 또는 0과 같은 숫자이며 다음과 같습니다. 나건설 중 광장으로. 식 · b의 값은 양수이거나 음수가 아닌 숫자의 곱으로 0과 같습니다. 곱한 수의 정도의 속성을 사용하면 (a · b) 2 = a 2 · b 2 형식으로 평등을 나타낼 수 있습니다. 제곱근 a 2 \u003d a 및 b 2 \u003d b의 정의에 따라 a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

비슷한 방식으로 제품에서 다음을 증명할 수 있습니다. 케이승수 a 1 , a 2 , … , k이러한 요인의 제곱근의 곱과 같습니다. 실제로 a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

이 등식으로부터 a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k 가 나옵니다.

주제를 강화하기 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 및 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

몫의 산술 제곱근 속성을 증명해야 합니다. a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. 이 속성을 사용하면 a: b 2 = a 2: b 2 및 a 2: b 2 = a: b , a: b 는 양수 또는 0과 같은 등식을 작성할 수 있습니다. 이 표현이 증거가 될 것입니다.

예를 들어 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 및 30, 121 = 30, 121입니다.

숫자의 제곱의 제곱근의 속성을 고려하십시오. 2 = 로 등식으로 쓸 수 있습니다. 이 속성을 증명하려면 a ≥ 0그리고 에 ㅏ< 0 .

분명히, ≥ 0에 대해 같음 a 2 = a는 참입니다. ~에 ㅏ< 0 평등 a 2 = - a는 참입니다. 사실 이 경우 - a > 0그리고 (− a) 2 = a 2 . a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 2

5 2 = 5 = 5 및 - 0 .36 2 = - 0 . 36 = 0 . 36 .

입증된 속성은 a 2 m = a m 을 정당화하는 데 도움이 됩니다. 여기서 ㅏ- 진짜, 그리고 중- 자연수. 실제로, 지수 속성을 사용하면 차수를 대체할 수 있습니다. 2미터표현 (오전) 2, 다음 a 2 · m = (am) 2 = a m .

실시예 3

3 8 = 3 4 = 3 4 및 (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

n번째 루트의 속성

먼저 n 차 뿌리의 주요 속성을 고려해야합니다.

숫자 곱의 속성 ㅏ그리고 비, 양수이거나 0과 같으면 등식 a b n = a n b n 으로 표현할 수 있습니다. 이 속성은 제품에 유효합니다. 케이번호 a 1 , a 2 , … , k as a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
~에서 분수 a b n = a n b n 속성이 있습니다. 여기서 ㅏ양수 또는 0과 같은 임의의 실수이고, 비양의 실수입니다.
어떠한 것도 ㅏ그리고 짝수 n = 2m a 2 m 2 m = a는 참이고 홀수인 경우 n = 2m - 1등식 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a가 충족됩니다.
m n = an m 에서 추출 속성, 여기서 ㅏ- 양수 또는 0과 같은 임의의 숫자, N그리고 중 – 정수, 이 속성은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다. . . n k n 2 n 1 = an 1 · n 2 . . . 엥 ;
음이 아닌 임의의 경우 N그리고 중, 이는 자연스러운 일이지만 공정한 평등을 정의할 수도 있습니다. a m n · m = an n ;
학위 속성 N숫자의 힘에서 ㅏ, 양수이거나 0인 현물 중, 등식으로 정의됨 a m n = an n m ;
지수가 동일한 비교 속성: 모든 양수에 대해 ㅏ그리고 비그런 ㅏ< b , 부등식 n< b n ;
가지고 있는 비교 속성 같은 숫자루트: 만약 중그리고 N-자연수 m > n, 다음에서 0 < a < 1 부등식 a m > an n은 유효하고, 에이 > 1이다< a n .

위의 방정식은 등호 앞과 뒤의 부분이 바뀌면 유효합니다. 이 형식으로도 사용할 수 있습니다. 이것은 표현을 단순화하거나 변형할 때 자주 사용됩니다.

근의 위 속성의 증명은 정의, 차수의 속성, 숫자의 계수의 정의를 기반으로 합니다. 이러한 속성은 입증되어야 합니다. 그러나 모든 것이 정상입니다.

먼저, 곱 a · b n = a n · b n 에서 n차 근의 성질을 증명할 것입니다. 을 위한 ㅏ그리고 b, 어느~이다 양수 또는 0 , n · b n 값은 음수가 아닌 숫자를 곱한 결과이므로 양수 또는 0과 같습니다. 자연 전력 곱의 속성을 통해 등식 an n · b n n = an n n · b n n 을 작성할 수 있습니다. 루트의 정의 N th 차수 a n n = a 및 b n n = b , 따라서 a n · b n n = a · b . 결과 평등은 정확히 증명되어야 하는 것입니다.

이 속성은 제품에 대해 유사하게 증명됩니다. 케이요인: 음수가 아닌 숫자의 경우 a 1 , a 2 , … , an n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

다음은 루트 속성을 사용하는 예입니다. N곱의 거듭제곱: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 및 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

몫 a b n = a n b n 의 근의 속성을 증명합시다. ~에 a ≥ 0그리고 b > 0조건 a n b n ≥ 0이 충족되고 a n b n n = a n n b n n = a b .

예를 보여 드리겠습니다.

실시예 4

8 27 3 = 8 3 27 3 및 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

다음 단계에서는 숫자에서 차수로 n차의 속성을 증명해야 합니다. N. 임의의 실수에 대해 a 2 m 2 m = a 및 a 2 m - 1 2 m - 1 = a 등식으로 이것을 나타냅니다. ㅏ그리고 자연스러운 중. ~에 a ≥ 0우리는 a = a 와 a 2 m = a 2 m 을 얻습니다. 이것은 a 2 m 2 m = a 와 동등함을 증명하고 a 2 m - 1 2 m - 1 = a 는 명백합니다. ~에 ㅏ< 0 우리는 각각 a = - a 및 a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m 을 얻습니다. 숫자의 마지막 변환은 차수의 속성에 따라 유효합니다. 이것은 평등 a 2 m 2 m \u003d a 및 a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a가 참임을 증명하는 것입니다. 왜냐하면 - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m이 홀수로 간주되기 때문입니다 학위 - 임의의 숫자에 대해 1 씨 ,양수 또는 0과 같습니다.

수신된 정보를 통합하기 위해 속성을 사용하는 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 및 (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

다음 등식 a m n = an n · m 을 증명합시다. 이렇게 하려면 등호 앞과 뒤에 있는 숫자를 a n · m = a m n 으로 변경해야 합니다. 이것은 올바른 항목을 나타냅니다. 을 위한 ㅏ ,긍정적인 것 또는 0과 동일 , a m n은 양수 또는 영. 권력을 권력으로 끌어올리는 속성과 정의를 살펴보자. 도움을 받으면 등식을 a m n n · m = a m n n m = a m m = a 형식으로 변환할 수 있습니다. 이것은 루트에서 루트의 고려된 속성을 증명합니다.

다른 속성도 유사하게 증명됩니다. 진짜, . . . n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . 엔크 = . . . n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . 엔크 = . . . n n 4 n 3 n 3 n 4 . . . 엔크 = . . . = 엔케이엔케이 = 에이.

예를 들어 7 3 5 = 7 5 3 및 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24입니다.

다음 속성 a m n · m = an 을 증명합시다. 이를 위해서는 n이 양수이거나 0과 같은 숫자임을 보여줄 필요가 있습니다. 거듭제곱할 때 n m은 이다. 숫자인 경우 ㅏ양수 또는 0이면 N중에서 th 학위 ㅏ는 양수이거나 0과 같다. 또한, a n · m n = an n m 는 증명되어야 했다.

습득한 지식을 통합하기 위해 몇 가지 예를 고려하십시오.

다음 속성을 증명합시다. a m n = an n m 형식의 거듭제곱의 속성입니다. 에 있는 것이 분명하다. a ≥ 0차수 a n m은 음수가 아닌 숫자입니다. 게다가 그녀의 N-차도는 다음과 같습니다. 이다, 실제로, an n m n = an n m · n = an n m = am . 이것은 학위의 고려된 속성을 증명합니다.

예를 들어, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

양수에 대해 증명해야 합니다. ㅏ그리고 b ㅏ< b . 부등식을 고려하십시오 n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ㅏ< b . 따라서 n< b n при ㅏ< b .

예를 들어, 12 4< 15 2 3 4 .

루트 속성 고려 N- 학위. 먼저 부등식의 첫 번째 부분을 고려하십시오. ~에 m > n그리고 0 < a < 1 참 a m > an . a m ≤ an n 이라고 가정합니다. 속성은 표현을 n m · n ≤ a m m · n 으로 단순화합니다. 그러면 자연지수가 있는 차수의 성질에 따라 부등식 a n m n m n ≤ a m m n m n을 만족하게 되는데, 즉, n ≤ m. 에서 얻은 값 m > n그리고 0 < a < 1 위의 속성과 일치하지 않습니다.

같은 방법으로 증명할 수 있습니다. m > n그리고 에이 > 1조건< a n .

위의 속성을 수정하려면 몇 가지를 고려하십시오. 구체적인 예. 특정 숫자를 사용하여 불평등을 고려하십시오.

실시예 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

주제에 대한 수업 및 프레젠테이션: "n차 루트의 속성. 정리"

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n차 루트의 속성입니다. 정리

얘들 아, 우리는 실수의 n 차 뿌리를 계속 연구합니다. 거의 모든 수학적 객체와 마찬가지로 n차의 뿌리에는 몇 가지 속성이 있습니다. 오늘 우리는 그것들을 연구할 것입니다.
우리가 고려하는 모든 속성은 루트 기호 아래에 포함된 변수의 음이 아닌 값에 대해서만 공식화되고 증명됩니다.
홀수 루트 지수의 경우 음수 변수에도 적용됩니다.

정리 1. 음이 아닌 두 수의 곱의 n번째 근은 다음 숫자의 n번째 근의 곱과 같습니다. $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ 제곱[n]( b) $ .

정리를 증명합시다.
증거. 여러분, 정리를 증명하기 위해 다음을 나타내는 새로운 변수를 도입하겠습니다.
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$임을 증명해야 합니다.
다음 ID도 유지됩니다.
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
그러면 $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$의 항등식도 성립합니다.
음수가 아닌 두 숫자의 차수와 해당 지수가 같으면 차수 자체의 밑이 동일합니다. 따라서 $x=y*z$가 증명되어야 했습니다.

정리 2. $a≥0$, $b>0$ 및 n이 1보다 큰 자연수이면 $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

즉, 몫의 n번째 루트는 n번째 루트의 몫과 같습니다.

증거.
이를 증명하기 위해 테이블 형식의 단순화된 체계를 사용합니다.

n 번째 루트 계산의 예

예시.
계산: $\sqrt(16*81*256)$.
해결책. 정리 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$를 사용합시다.

예시.
계산: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
해결책. 급진적 표현을 가분수로 나타내자: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
정리 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

예시.
계산하다:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
해결책:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ 제곱근(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

정리 3. $a≥0$, k 및 n이 1보다 큰 자연수이면 등식은 참입니다. $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

자연적 힘에 뿌리를 내리기 위해서는 이 힘에 대한 급진적 표현을 높이는 것으로 충분하다.

증거.
$k=3$에 대한 특별한 경우를 생각해 봅시다. 정리 1을 사용합시다.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
다른 경우에도 동일하게 증명할 수 있습니다. 여러분, $k=4$ 및 $k=6$인 경우에 대해 직접 증명하십시오.

정리 4. $a≥0$ b n,k가 1보다 큰 자연수이면 등식은 참입니다. $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

루트에서 루트를 추출하려면 루트의 지수를 곱하면 충분합니다.

증거.
표를 이용하여 다시 간단히 증명해보자. 이를 증명하기 위해 테이블 형식의 단순화된 체계를 사용합니다.

예시.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

정리 5. 루트와 루트 표현식의 인덱스에 동일한 자연수를 곱하면 루트 값은 변경되지 않습니다. $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

증거.
우리 정리의 증명 원리는 다른 예와 동일합니다. 새로운 변수를 소개하겠습니다.
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (정의에 따라).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$(정의에 따라).
우리는 마지막 평등을 거듭제곱 p로 올립니다.
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
갖다:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
즉, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, 증명해야 했습니다.

예:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5로 나누어짐).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2로 나누기).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 곱하기).

예시.
실행 작업: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
해결책.
루트 지수는 다른 숫자, 그래서 우리는 정리 1을 사용할 수 없지만 정리 5를 적용하면 같은 지수를 얻을 수 있습니다.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 곱하기).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4를 곱함).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

독립 솔루션을 위한 작업

1. 계산: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. 계산: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. 계산:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. 단순화:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$ 작업을 수행합니다.

축하합니다: 오늘 우리는 8학년에서 가장 마음을 사로잡는 주제 중 하나인 뿌리를 분석할 것입니다. :)

많은 사람들이 뿌리에 대해 혼동하는 이유는 뿌리가 복잡하기 때문이 아니라(복잡한 - 몇 가지 정의와 몇 가지 속성이 더 있음) 대부분의 학교 교과서에서 뿌리가 그러한 야생을 통해 정의되기 때문입니다. 이 낙서를 이해할 수 있습니다. 그래도 좋은 위스키 한 병과 함께라면. :)

따라서 이제 루트에 대한 가장 정확하고 유능한 정의를 제공하겠습니다. 실제로 기억해야 할 유일한 것입니다. 그런 다음에만이 모든 것이 필요한 이유와 실제로 적용하는 방법을 설명합니다.

그러나 먼저 하나를 기억하십시오 중요한 포인트, 어떤 이유로 교과서의 많은 컴파일러가 "잊어 버립니다":

루트는 짝수 차수(우리가 가장 좋아하는 $\sqrt(a)$, 모든 $\sqrt(a)$ 및 짝수 $\sqrt(a)$) 및 홀수 차수(모든 $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ 등). 그리고 홀수 차수의 근의 정의는 짝수 차수와 다소 다릅니다.

여기 이 빌어먹을 "다소 다른" 부분이, 아마도 뿌리와 관련된 모든 오류와 오해의 95%가 숨겨져 있을 것입니다. 따라서 용어를 한 번에 정리합시다.

정의. 짝수 루트 N숫자 $a$에서 임의 음이 아닌$((b)^(n))=a$와 같은 숫자 $b$. 그리고 동일한 수 $a$에서 홀수 차수의 근은 일반적으로 동일한 평등이 유지되는 임의의 수 $b$입니다: $((b)^(n))=a$.

어쨌든 루트는 다음과 같이 표시됩니다.

\(ㅏ)\]

이러한 표기법에서 숫자 $n$을 근 지수라고 하고 숫자 $a$를 급진적 표현이라고 합니다. 특히 $n=2$의 경우 "좋아하는" 제곱근(그런데 이것은 짝수 차수의 근)을 얻고 $n=3$의 경우 세제곱근(홀수 차수)을 얻습니다. 문제와 방정식에서도 종종 발견됩니다.

예. 제곱근의 고전적인 예:

\[\begin(정렬) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \끝(정렬)\]

그건 그렇고, $\sqrt(0)=0$이고 $\sqrt(1)=1$입니다. $((0)^(2))=0$ 및 $((1)^(2))=1$이므로 이것은 매우 논리적입니다.

입방체 뿌리도 일반적입니다. 두려워하지 마십시오.

\[\begin(정렬) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \끝(정렬)\]

글쎄, 몇 가지 "이국적인 예":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \끝(정렬)\]

짝수와 홀수의 차이가 무엇인지 이해하지 못하면 정의를 다시 읽으십시오. 매우 중요합니다!

그 동안, 우리는 짝수 지수와 홀수 지수에 대한 별도의 정의를 도입할 필요가 있었던 근의 불쾌한 특징을 고려할 것입니다.

왜 뿌리가 필요합니까?

정의를 읽은 후 많은 학생들이 "수학자들은 이것을 생각해 냈을 때 무엇을 피웠습니까?"라고 묻습니다. 그리고 정말로: 왜 우리는 이 모든 뿌리가 필요합니까?

이 질문에 답하기 위해 잠시 돌아가서 초등학교 성적. 기억하십시오: 그 중에서 먼 시간나무가 더 푸르고 만두가 더 맛있을 때 우리의 주요 관심사는 숫자를 올바르게 곱하는 것이 었습니다. 글쎄, "5 x 5 - 25"의 정신에 있는 무언가, 그게 다야. 그러나 결국 숫자를 쌍으로 곱하지 않고 세 쌍, 네 쌍 및 일반적으로 전체 집합으로 곱할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(정렬)\]

그러나 이것이 요점이 아닙니다. 트릭은 다릅니다. 수학자들은 게으른 사람들이므로 다음과 같이 105의 곱셈을 적어야 했습니다.

그래서 그들은 학위를 생각해 냈습니다. 긴 문자열 대신 위첨자로 요인 수를 쓰지 않는 이유는 무엇입니까? 이 같은:

매우 편리합니다! 모든 계산은 몇 배로 줄어들며, 몇 장의 양피지 공책을 사용하여 약 5 183 을 쓸 수 없습니다. 그러한 항목은 숫자의 정도라고 불리며 많은 속성이 발견되었지만 행복은 일시적인 것으로 나타났습니다.

도의 "발견"에 대해 조직된 거창한 술을 마신 후, 특히 돌이 많은 수학자는 갑자기 이렇게 물었다. 실제로, 예를 들어 특정 숫자 $b$가 243의 5승을 준다는 것을 안다면 숫자 $b$ 자체가 무엇인지 어떻게 추측할 수 있습니까?

이 문제는 언뜻 보기에 보이는 것보다 훨씬 더 글로벌한 것으로 판명되었습니다. 대부분의 "기성품" 학위에는 그러한 "초기" 번호가 없다는 것이 밝혀졌기 때문입니다. 스스로 판단:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\오른쪽 화살표 b=3\cdot 3\cdot 3\오른쪽 화살표 b=3; \\ & ((b)^(3))=64\오른쪽 화살표 b=4\cdot 4\cdot 4\오른쪽 화살표 b=4. \\ \끝(정렬)\]

$((b)^(3))=50$이면? 특정 숫자를 찾아야 하는 것으로 나타났습니다. 이 숫자는 자체적으로 세 번 곱하면 50이 됩니다. 하지만 이 숫자는 무엇인가요? 3 3 = 27이기 때문에 분명히 3보다 큽니다.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. 즉 이 숫자는 3과 4 사이의 어딘가에 있지만, 그것이 무엇과 같은지 이해하게 될 것입니다.

이것이 바로 수학자들이 $n$-번째 근을 생각해 낸 이유입니다. 이것이 급진적 아이콘 $\sqrt(*)$가 도입된 이유입니다. 지정된 거듭제곱에 대해 이전에 알려진 값을 제공하는 동일한 수 $b$를 나타내기 위해

\[\sqrt[n](a)=b\오른쪽 화살표 ((b)^(n))=a\]

나는 주장하지 않습니다. 종종 이러한 뿌리는 쉽게 고려됩니다. 우리는 위에서 몇 가지 그러한 예를 보았습니다. 그러나 여전히 대부분의 경우 임의의 숫자를 생각한 다음 그로부터 임의의 정도의 근을 추출하려고 하면 잔인한 곤경에 빠지게 됩니다.

어떤이! 가장 단순하고 가장 친숙한 $\sqrt(2)$조차도 일반적인 형식(정수 또는 분수)으로 나타낼 수 없습니다. 이 숫자를 계산기에 입력하면 다음과 같이 표시됩니다.

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

보시다시피, 소수점 뒤에는 논리를 따르지 않는 끝없는 숫자 시퀀스가 있습니다. 물론 이 숫자를 반올림하여 다른 숫자와 빠르게 비교할 수 있습니다. 예를 들어:

\[\sqrt(2)=1.4142...\약 1.4 \lt 1.5\]

또는 다른 예가 있습니다.

\[\sqrt(3)=1.73205...\약 1.7 \gt 1.5\]

그러나 이 모든 반올림은 첫째, 다소 거칠다. 둘째, 대략적인 값으로 작업할 수도 있어야 합니다. 그렇지 않으면 여러 가지 분명하지 않은 오류를 잡을 수 있습니다(그런데 비교 및 반올림 기술은 프로필 시험에서 반드시 확인해야 함).

따라서 진지한 수학에서는 근 없이는 할 수 없습니다. 그들은 우리가 오랫동안 알고 있던 분수와 정수와 같은 모든 실수 $\mathbb(R)$ 집합의 동일한 대표자입니다.

$\frac(p)(q)$ 형식의 분수로 근을 표현할 수 없다는 것은 다음을 의미합니다. 주어진 루트아니다 유리수. 이러한 숫자를 무리수라고 하며, 이를 위해 특별히 설계된 다른 구조(로그, 도, 극한 등)의 도움 없이는 정확하게 나타낼 수 없습니다. 그러나 다른 시간에 더 자세히 설명합니다.

모든 계산 후에도 무리수가 여전히 답에 남아 있는 몇 가지 예를 고려하십시오.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\약 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\대략 -1,2599... \\ \end(정렬)\]

자연스럽게, 모습근은 소수점 뒤에 어떤 숫자가 올지 추측하는 것이 거의 불가능합니다. 그러나 계산기로 계산하는 것은 가능하지만 가장 발전된 날짜 계산기조차도 우리에게 첫 번째 숫자 몇 개만 제공합니다. 무리수. 따라서 $\sqrt(5)$와 $\sqrt(-2)$로 답을 쓰는 것이 훨씬 정확합니다.

그것이 그들이 발명 된 이유입니다. 답을 쉽게 쓸 수 있도록.

두 가지 정의가 필요한 이유는 무엇입니까?

주의 깊은 독자는 이미 예제에 제공된 모든 제곱근이 양수에서 가져온 것임을 이미 알아차렸을 것입니다. 잘 들어 최후의 조치제로에서. 그러나 입방체 루트는 절대적으로 모든 숫자에서 침착하게 추출됩니다. 심지어 양수, 심지어 음수입니다.

왜 이런 일이 발생합니까? $y=((x)^(2))$ 함수의 그래프를 보십시오.

일정 이차 함수긍정과 부정의 두 가지 루트를 제공합니다.

이 그래프를 사용하여 $\sqrt(4)$를 계산해 봅시다. 이를 위해 차트 수평선$y=4$(빨간색으로 표시), $((x)_(1))=2$ 및 $((x)_(2))=-2$의 두 점에서 포물선과 교차합니다. 이것은 매우 논리적입니다. 왜냐하면

첫 번째 숫자로 모든 것이 명확합니다. 양수이므로 루트입니다.

그러나 두 번째 점은 어떻게 해야 합니까? 4는 한 번에 두 개의 뿌리를 가지고 있습니까? 결국, 숫자 −2를 제곱하면 4도 나옵니다. 그러면 $\sqrt(4)=-2$를 쓰지 않는 이유는 무엇입니까? 그리고 선생님들은 왜 그런 기록을 보고 싶어하는 걸까요? :)

그것이 문제입니다. 당신이 아무 것도 부과하지 않으면 추가적인 조건들, 그러면 네 개의 제곱근은 양수와 음수입니다. 그리고 모든 양수에는 두 가지가 있습니다. 그러나 음수에는 근이 전혀 없습니다. 이는 포물선이 축 아래로 떨어지지 않기 때문에 동일한 그래프에서 볼 수 있습니다. 와이, 즉. 음수 값을 사용하지 않습니다.

지수가 짝수인 모든 근에 대해 유사한 문제가 발생합니다.

엄밀히 말하면, 각 양수에는 짝수 지수 $n$가 있는 두 개의 근이 있습니다.
음수에서 $n$가 짝수인 루트는 전혀 추출되지 않습니다.

이것이 짝수 루트 $n$의 정의에서 답이 음수가 아니어야 한다고 구체적으로 규정하는 이유입니다. 이것이 우리가 모호성을 제거하는 방법입니다.

그러나 홀수 $n$의 경우에는 그런 문제가 없습니다. 이를 보기 위해 $y=((x)^(3))$ 함수의 그래프를 살펴보겠습니다.

3차 포물선은 임의의 값을 취하므로 3차 루트는 임의의 수에서 가져올 수 있습니다.

이 그래프에서 두 가지 결론을 도출할 수 있습니다.

일반 포물선과 달리 3차 포물선의 가지는 위아래로 양방향으로 무한대로 이동합니다. 따라서 수평선을 그리는 높이에 관계없이이 선은 그래프와 확실히 교차합니다. 따라서 세제곱근은 항상 절대적으로 임의의 숫자에서 가져올 수 있습니다.
또한 이러한 교차점은 항상 고유하므로 "정확한" 근을 고려해야 할 숫자와 점수를 매길 숫자에 대해 생각할 필요가 없습니다. 이것이 홀수 차수에 대한 근의 정의가 짝수 차수에 대한 것보다 더 간단한 이유입니다(음수가 아닌 요구 사항이 없음).

대부분의 교과서에 이런 간단한 내용이 설명되어 있지 않아 안타깝습니다. 대신, 우리의 두뇌는 모든 종류의 산술 뿌리와 그 속성으로 치솟기 시작합니다.

예, 나는 주장하지 않습니다. 산술 루트가 무엇인지도 알아야 합니다. 이에 대해서는 별도의 강의에서 자세히 설명하겠습니다. 오늘 우리는 그것에 대해 이야기할 것입니다. 왜냐하면 그것 없이는 $n$-th 다중성의 근에 대한 모든 반영이 불완전할 것이기 때문입니다.

그러나 먼저 위에서 설명한 정의를 명확하게 이해해야 합니다. 그렇지 않으면 용어가 풍부하기 때문에 그러한 혼란이 머리에서 시작되어 결국에는 아무 것도 이해하지 못할 것입니다.

그리고 이해해야 할 것은 짝수와 홀수의 차이뿐입니다. 따라서 다시 한 번 뿌리에 대해 알아야 할 모든 것을 수집합니다.

짝수 루트는 음수가 아닌 숫자에서만 존재하며 항상 음수가 아닌 숫자입니다. 음수의 경우 이러한 근은 정의되지 않습니다.

그러나 홀수 차수의 근은 모든 숫자에서 존재하며 그 자체가 임의의 숫자일 수 있습니다. 양수에 대해서는 양수이고 캡에서 암시하는 것처럼 음수에 대해서는 음수입니다.

그거 어렵 니? 아니요, 어렵지 않습니다. 분명한? 네, 뻔합니다! 따라서 이제 우리는 계산을 조금 연습할 것입니다.

기본 속성 및 제한 사항

뿌리에는 이상한 속성과 제한이 많이 있습니다. 이것은 별도의 수업이 될 것입니다. 따라서 이제 지수가 짝수인 루트에만 적용되는 가장 중요한 "칩"만 고려할 것입니다. 이 속성을 수식 형식으로 작성합니다.

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\왼쪽| x\오른쪽|\]

즉, 숫자를 짝수 거듭제곱한 다음 여기서 같은 차수의 근을 추출하면 원래 숫자가 아니라 모듈러스가 됩니다. 이것은 증명하기 쉬운 간단한 정리입니다(음수가 아닌 $x$를 별도로 고려한 다음 음수를 별도로 고려하면 됩니다). 선생님들은 끊임없이 그것에 대해 이야기하고 모든 학교 교과서에 나와 있습니다. 하지만 일단 결정이 내려지면 무리한 방정식(즉, 급진적 기호를 포함하는 방정식), 학생들은 함께 이 공식을 잊어버립니다.

문제를 자세히 이해하려면 잠시 모든 공식을 잊어버리고 두 개의 숫자를 미리 계산해 보겠습니다.

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

이것은 매우 간단한 예. 첫 번째 예는 대부분의 사람들이 해결하지만 두 번째 예는 많은 사람들이 고수합니다. 이러한 쓰레기를 문제 없이 해결하려면 항상 다음 절차를 고려하십시오.

먼저, 숫자를 4제곱합니다. 글쎄요, 좀 쉽습니다. 구구단에서도 찾을 수 있는 새 숫자가 생성됩니다.
그리고 이제 이 새로운 숫자에서 4도의 근을 추출해야 합니다. 저것들. 뿌리와 정도의 "감소"는 없습니다. 이는 순차적 작업입니다.

첫 번째 표현식인 $\sqrt(((3)^(4)))$를 처리해 보겠습니다. 분명히, 먼저 루트 아래의 표현식을 계산해야 합니다.

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

그런 다음 숫자 81의 네 번째 근을 추출합니다.

이제 두 번째 표현식과 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 먼저 숫자 −3을 4승으로 제곱합니다. 이를 위해 4배를 곱해야 합니다.

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ 왼쪽(-3 \오른쪽)=81\]

제품의 총 빼기 수가 4개이기 때문에 양수를 얻었으며 모두 서로를 취소합니다(결국 빼기에 의한 빼기는 더하기를 제공함). 다음으로 루트를 다시 추출합니다.

원칙적으로 이 줄은 쓸 수 없습니다. 답이 같을 것이라는 것은 당연한 일이기 때문입니다. 저것들. 동일한 짝수 전력의 짝수 루트는 마이너스를 "타는" 것이며 이러한 의미에서 결과는 일반 모듈과 구별할 수 없습니다.

\[\begin(정렬) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\오른쪽|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \오른쪽|=3. \\ \끝(정렬)\]

이러한 계산은 짝수 차수의 근의 정의와 잘 일치합니다. 결과는 항상 음수가 아니고, 급진 부호도 항상 음수가 아닙니다. 그렇지 않으면 루트가 정의되지 않습니다.

작업 순서 참고

$\sqrt(((a)^(2)))$ 표기법은 먼저 숫자 $a$를 제곱한 다음 결과 값의 제곱근을 취한다는 것을 의미합니다. 따라서 $((a)^(2))\ge 0$ 이므로 음수가 아닌 숫자는 항상 루트 기호 아래에 위치합니다.
그러나 반대로 $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ 표기법은 먼저 특정 숫자 $a$에서 근을 추출한 다음 결과를 제곱한다는 것을 의미합니다. 따라서 $a$는 어떠한 경우에도 음수가 될 수 없습니다. 필수 요건정의에 포함됩니다.

따라서 어떤 경우에도 뿌리와 각도를 생각 없이 줄여 원래 표현을 "단순화"해서는 안 됩니다. 루트 아래에 음수가 있고 지수가 짝수이면 많은 문제가 발생하기 때문입니다.

그러나 이러한 모든 문제는 짝수 지표에만 해당됩니다.

루트 기호 아래에서 빼기 기호 제거

당연히, 지수가 홀수인 근에도 원칙적으로 짝수에는 존재하지 않는 고유한 기능이 있습니다. 즉:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

요컨대, 홀수 정도의 뿌리 기호 아래에서 마이너스를 꺼낼 수 있습니다. 이것은 매우 유용한 재산, 모든 마이너스를 "던질" 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \끝(정렬)\]

이 간단한 속성은 많은 계산을 크게 단순화합니다. 이제 걱정할 필요가 없습니다. 부정적인 표현이 루트 아래에 있고 루트의 정도가 짝수로 밝혀지면 어떻게 될까요? 뿌리 외부의 모든 마이너스를 "던지기"만하면 충분합니다. 그 후에 서로 곱해지고 나눌 수 있으며 일반적으로 "고전적인"근본의 경우 우리를 오류.

그리고 여기에 또 다른 정의가 등장합니다. 대부분의 학교에서 비합리적인 표현에 대한 연구를 시작하는 바로 그 정의입니다. 그리고 그것 없이는 우리의 추론이 불완전할 것입니다. 만나다!

산술 루트

잠시 동안 양수 또는 극단적인 경우 0이 루트 기호 아래에 있을 수 있다고 가정해 보겠습니다. 짝수/홀수 지표에 대해 점수를 매기고 위에 제공된 모든 정의에 대해 점수를 매기자. 음수가 아닌 숫자로만 작업할 것입니다. 그럼?

그런 다음 산술 루트를 얻습니다. "표준"정의와 부분적으로 교차하지만 여전히 다릅니다.

정의. 음수가 아닌 수 $a$의 $n$차의 산술근은 $((b)^(n))=a$와 같은 음수가 아닌 숫자 $b$입니다.

보시다시피, 우리는 더 이상 패리티에 관심이 없습니다. 대신 새로운 제한이 나타났습니다. 급진적 표현은 이제 항상 음수가 아니며 어근 자체도 음수가 아닙니다.

산술 루트가 일반적인 루트와 어떻게 다른지 더 잘 이해하려면 이미 우리에게 익숙한 제곱 및 3차 포물선의 그래프를 살펴보십시오.

검색 영역 산술 루트- 음수가 아닌 숫자

보시다시피 지금부터는 $x$ 및 $y$ 좌표가 양수(또는 최소한 0)인 첫 번째 좌표 분기에 있는 그래프 조각에만 관심이 있습니다. 음수를 근절할 권리가 있는지 여부를 이해하기 위해 더 이상 지표를 볼 필요가 없습니다. 음수는 더 이상 원칙적으로 고려되지 않기 때문입니다.

“글쎄요, 왜 그런 거세 정의가 필요한가요?”라고 물을 수 있습니다. 또는: "왜 우리는 위에 주어진 표준 정의를 사용할 수 없습니까?"

글쎄, 나는 새로운 정의가 적절하기 때문에 단 하나의 속성을 줄 것입니다. 예를 들어, 지수화 규칙은 다음과 같습니다.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

참고: 루트 표현식을 임의의 거듭제곱으로 올릴 수 있으며 동시에 루트 지수에 동일한 거듭제곱을 곱하면 결과는 동일한 숫자가 됩니다! 여기 몇 가지 예가 있어요.

\[\begin(정렬) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(정렬)\]

그게 무슨 문제야? 왜 우리는 전에 그것을 할 수 없었습니까? 여기 이유가 있습니다. 간단한 식을 생각해 보십시오. $\sqrt(-2)$는 우리의 고전적 의미에서 매우 정상적인 숫자이지만 산술 루트의 관점에서 절대 받아들일 수 없는 숫자입니다. 변환해 보겠습니다.

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(정렬)$

보시다시피, 첫 번째 경우에 우리는 급진적 아래에서 빼기를 제거했습니다(우리는 완전한 권리, 왜냐하면 표시기는 홀수)이고 두 번째 것에서는 위의 공식을 사용했습니다. 저것들. 수학의 관점에서 모든 것은 규칙에 따라 수행됩니다.

와?! 어떻게 같은 수가 양수와 음수일 수 있습니까? 안 돼요. 그것은 양수와 0에 대해 잘 작동하는 지수 공식이 음수의 경우에 완전한 이단을 제공하기 시작한다는 것입니다.

여기에서 그러한 모호성을 없애기 위해 산술 뿌리를 생각해 냈습니다. 우리는 모든 속성을 자세히 고려하는 별도의 큰 교훈을 그들에게 할애합니다. 이제 우리는 그것에 대해 이야기하지 않을 것입니다. 어쨌든 수업은 너무 길었습니다.

대수근: 더 알고 싶은 사람들을 위해

나는 오랫동안 생각했습니다. 이 주제를 별도의 단락으로 만들지 말지. 결국 나는 여기를 떠나기로 했다. 이 자료더 이상 평균적인 "학교" 수준이 아니라 올림피아드에 가까운 수준에서 뿌리를 더 잘 이해하고자 하는 사람들을 위한 것입니다.

따라서: 숫자에서 $n$-th 차수의 근에 대한 "고전적인" 정의 및 짝수 및 홀수 표시기로 연관된 분할 외에도 패리티 및 다른 미묘함. 이것을 대수근이라고 합니다.

정의. $a$의 대수 $n$-번째 근은 $((b)^(n))=a$와 같은 모든 숫자 $b$의 집합입니다. 그러한 뿌리에 대해 잘 정립된 명칭이 없으므로 상단에 대시(-)를 붙이기만 하면 됩니다.

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left$ b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right.\right$ \]

수업 초반에 주어진 표준 정의와 근본적인 차이점은 대수근은 특정 숫자가 아니라 집합이라는 것입니다. 그리고 우리는 실수로 작업하기 때문에 이 집합은 세 가지 유형만 있습니다.

빈 세트입니다. 음수에서 짝수 차수의 대수근을 찾아야 할 때 발생합니다.
단일 요소로 구성된 집합입니다. 홀수 거듭제곱의 모든 근과 0에서 짝수 거듭제곱의 근이 이 범주에 속합니다.
마지막으로 세트에는 두 개의 숫자가 포함될 수 있습니다. $((x)_(1))$ 및 $((x)_(2))=-((x)_(1))$ 차트 2차 함수. 따라서 이러한 정렬은 양수에서 짝수 차수의 근을 추출해야만 가능하다.

마지막 경우는 더 자세히 고려할 가치가 있습니다. 차이점을 이해하기 위해 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.

예시. 표현식 계산:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

해결책. 첫 번째 표현식은 간단합니다.

\[\overline(\sqrt(4))=\left$ 2;-2 \right$\]

집합의 일부인 두 개의 숫자입니다. 각각의 제곱은 4를 제공하기 때문입니다.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left$ -3 \right$\]

여기서 우리는 하나의 숫자로만 구성된 집합을 봅니다. 루트의 지수가 홀수이기 때문에 이것은 매우 논리적입니다.

마지막으로, 마지막 표현:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

우리는 빈 세트를 얻었다. 4승(즉, 짝수!)으로 거듭제곱하면 음수 -16이 되는 실수는 하나도 없기 때문입니다.

마지막 메모. 참고: 우리가 실수로 작업하고 있다는 사실을 모든 곳에서 언급한 것은 우연이 아닙니다. 복소수도 있기 때문에 $\sqrt(-16)$ 및 기타 많은 이상한 것들을 계산할 수 있습니다.

그러나 현대 학교 수학 교과 과정에서 복소수는 거의 발견되지 않습니다. 우리 공무원들이 주제를 "이해하기 너무 어렵다"고 생각하기 때문에 대부분의 교과서에서 생략되었습니다.

수업 목표:

교육적인: 다양한 문제를 해결할 때 뿌리의 속성을 의식적이고 합리적으로 사용하는 기술인 n도의 뿌리에 대한 전체적인 관점을 형성하기 위한 조건을 만듭니다.

교육적인: 알고리즘, 창의적 사고, 자기 통제 기술 개발을위한 조건을 만듭니다.

교육적인: 주제, 활동에 대한 관심 개발 촉진, 작업의 정확성 함양, 표현 능력 개인적인 의견추천합니다.

수업 중

1. 조직적 순간.

안녕하세요! 좋은 시간!

당신을 만나서 얼마나 기쁩니다.

벨은 이미 울렸다

수업이 시작됩니다.

그들은 미소를 지었다. 레벨 업.

서로를 바라보았다

그리고 그들은 조용히 자리에 앉았다.

2. 수업 동기.

뛰어난 프랑스 철학자이자 과학자인 블레즈 파스칼은 "인간의 위대함은 생각하는 능력에 있다"고 말했습니다. 오늘 우리는 스스로 지식을 발견함으로써 위대한 사람이 되려고 노력할 것입니다. 오늘 수업의 모토는 단어가 될 것입니다. 고대 그리스 수학자탈레스:

세계에서 가장 많은 것은 무엇입니까? - 우주.

가장 빠른 것은 무엇입니까? - 정신.

가장 현명한 것은 무엇입니까? - 시간.

가장 즐거운 것은 무엇입니까? - 원하는 것을 성취하십시오.

오늘 수업에서 여러분 각자가 원하는 결과를 얻었으면 합니다.

3. 지식의 실현.

1. 숫자에 대한 상호 역 대수 연산의 이름을 지정하십시오. (덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈)

2. 나눗셈과 같은 대수적 연산을 항상 수행할 수 있습니까? (아니요, 0으로 나눌 수 없습니다)

3. 숫자로 수행할 수 있는 다른 작업은 무엇입니까? (지수화)

4. 그녀의 반전은? (뿌리 추출)

5. 어느 정도 뿌리를 추출할 수 있습니까? (두 번째 루트)

6. 제곱근의 어떤 속성을 알고 있습니까? (곱에서 제곱근 추출, 몫에서, 루트에서, 지수)

7. 표현식의 값을 찾으십시오.

역사에서. 4000년 전에도 바빌로니아 과학자들은 곱셈표 및 역수표(숫자의 나누기가 곱셈으로 축소됨)와 함께 숫자의 제곱표 및 숫자의 제곱근을 편집했습니다. 동시에 그들은 모든 정수의 제곱근의 근사값을 찾을 수 있었습니다.

4. 새로운 자료를 배운다.

분명히 자연 지수가있는 정도의 기본 속성에 따라 모든 양수에는 짝수 정도의 루트에 대한 두 개의 반대 값이 있습니다. 예를 들어 숫자 4와 -4는 16의 제곱근입니다. (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16 이후이고 숫자 3과 -3은 (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81 이후로 81의 네 번째 근입니다.

또한 음수의 짝수근은 없습니다. 모든 실수의 짝수 거듭제곱은 음이 아닙니다.. 홀수 차수의 근에 관해서는 모든 실수에 대해이 숫자에서 홀수 차수의 근이 하나만 있습니다. 예를 들어, 3은 Z3 = 27이므로 27의 세 번째 근이고 -2는 (-2)5 = 32이므로 -32의 다섯 번째 근입니다.

양수에서 짝수 정도의 근이 두 개 존재하는 것과 관련하여 이러한 근의 모호성을 제거하기 위해 산술 근의 개념을 도입합니다.

음수가 아닌 수의 n번째 근의 음수가 아닌 값을 산술 근이라고 합니다.

명칭: - n번째 루트도.

숫자 n을 산술 근의 차수라고 합니다. n = 2이면 근의 정도를 표시하지 않고 씁니다. 2차 근을 제곱근, 3차 근을 3차 근이라고 합니다.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bp = a, p - 심지어 a ≥ 0, b ≥ 0

p - 홀수, b - 모두

속성

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b > 0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - 자연수

5. 신소재의 통합.

구두 작업

a) 어떤 표현이 의미가 있습니까?

b) 변수 a의 어떤 값에 대해 표현식이 의미가 있습니까?

#3, 4, 7, 9, 11을 풉니다.

6. 체육.

모든 일에는 절제가 필요하며,

그것이 주요 규칙이 되게 하십시오.

오랫동안 생각했다면 체조를하십시오.

체조는 몸을 지치지 않고,

그러나 그것은 몸 전체를 정화합니다!

눈을 감고 몸을 이완

상상해보십시오 - 당신은 새, 갑자기 날아갔습니다!

이제 당신은 바다에서 돌고래처럼 헤엄칩니다.

이제 정원에서 잘 익은 사과를 따십시오.

좌, 우, 주위를 둘러보았다

눈을 뜨고 일을 시작하십시오!

7. 독립적인 작업.

와 짝을 이루어 작업 178 #1, #2.

8. D / Z. 10번 항목(p.160-161)을 배우고 5번, 6번, 8번, 12번, 16번(1, 2번)을 풉니다.

9. 공과의 결과. 활동의 반영.

수업이 목적을 달성했습니까?

무엇을 배웠습니까?

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