직접 주어진 방정식 사이의 각도를 찾으십시오. 선 사이의 각도

정의.두 개의 선이 주어지면 y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , 이 선 사이의 예각은 다음과 같이 정의됩니다.

k 1 = k 2 이면 두 선이 평행합니다. k 1 = -1/ k 2 인 경우 두 선은 수직입니다.

정리.직선 Ax + Vy + C \u003d 0 및 A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0은 계수 A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB가 비례할 때 평행합니다. 또한 С 1 = λС이면 선이 일치합니다. 두 선의 교차점 좌표는 이러한 선의 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다.

주어진 점을 지나는 직선의 방정식

이 선에 수직

정의.점 M 1 (x 1, y 1)을 통과하고 선 y \u003d kx + b에 수직인 선은 다음 방정식으로 표시됩니다.

점에서 선까지의 거리

정리.점 M(x 0, y 0)이 주어지면 Ax + Vy + C \u003d 0 선까지의 거리는 다음과 같이 정의됩니다.

증거.점 M 1 (x 1, y 1)을 점 M에서 주어진 선까지 떨어뜨린 수직선의 밑변이라고 합니다. 그런 다음 점 M과 M 1 사이의 거리:

(1)

x 1 및 y 1 좌표는 연립방정식에 대한 솔루션으로 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 주어진 직선에 수직인 주어진 점 M 0 을 지나는 직선의 방정식입니다. 시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이 식을 방정식 (1)에 대입하면 다음을 찾습니다.

정리가 증명되었습니다.

예시. 선 사이의 각도를 결정하십시오. y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

예시. 3x - 5y + 7 = 0 및 10x + 6y - 3 = 0 선이 수직임을 보여주세요.

결정. 우리는 k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1을 찾았으므로 선이 수직입니다.

예시. 삼각형 A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1)의 꼭짓점이 주어집니다. 꼭짓점 C에서 그린 높이에 대한 방정식을 찾으십시오.

결정. 측면 AB의 방정식을 찾습니다. ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

원하는 높이 방정식은 Ax + By + C = 0 또는 y = kx + b입니다. k = . 그러면 y = . 왜냐하면 높이가 점 C를 통과하면 좌표가 다음을 충족합니다. 이 방정식: b = 17일 때 총계: .

답: 3x + 2y - 34 = 0.

주어진 방향으로 주어진 점을 지나는 선의 방정식. 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식. 두 선 사이의 각도입니다. 두 선의 평행도와 직각도의 조건. 두 선의 교차점 결정

1. 주어진 점을 지나는 직선의 방정식 ㅏ(엑스 1 , 와이 1) 기울기에 의해 결정되는 주어진 방향으로 케이,

와이 - 와이 1 = 케이(엑스 - 엑스 1). (1)

이 방정식은 한 점을 통과하는 선의 연필을 정의합니다. ㅏ(엑스 1 , 와이 1) 보의 중심이라고 합니다.

2. 두 점을 지나는 직선의 방정식: ㅏ(엑스 1 , 와이 1) 그리고 비(엑스 2 , 와이 2) 다음과 같이 쓴다.

주어진 두 점을 지나는 직선의 기울기는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

3. 직선 사이의 각도 ㅏ그리고 비첫 번째 직선이 회전해야 하는 각도입니다. ㅏ두 번째 선과 일치할 때까지 이 선의 교차점 주위를 시계 반대 방향으로 비. 기울기 방정식으로 두 개의 선이 주어지면

와이 = 케이 1 엑스 + 비 1 ,

와이 = 케이 2 엑스 + 비 2 , (4)

그런 다음 그들 사이의 각도는 공식에 의해 결정됩니다

분수의 분자에서 첫 번째 직선의 기울기는 두 번째 직선의 기울기에서 뺍니다.

직선의 방정식이 주어진 경우 일반보기

ㅏ 1 엑스 + 비 1 와이 + 씨 1 = 0,

ㅏ 2 엑스 + 비 2 와이 + 씨 2 = 0, (6)

그들 사이의 각도는 공식에 의해 결정됩니다

4. 두 줄의 병렬 처리 조건:

a) 기울기가 있는 방정식 (4)에 의해 선이 주어지면 평행도에 대한 필요 충분 조건은 기울기의 동일성입니다.

케이 1 = 케이 2 . (8)

b) 직선이 일반 형식 (6)의 방정식으로 주어지는 경우 평행도에 대한 필요 충분 조건은 방정식에서 해당하는 현재 좌표의 계수가 비례한다는 것입니다.

5. 두 선의 직각도 조건:

a) 직선이 기울기를 갖는 방정식 (4)에 의해 주어지는 경우, 그들의 직각도에 대한 필요 충분 조건은 다음과 같다. 기울기 계수크기는 역수이고 부호는 반대입니다.

이 조건은 다음 형식으로도 작성할 수 있습니다.

케이 1 케이 2 = -1. (11)

b) 직선의 방정식이 일반 형식 (6)으로 주어지면 직각도에 대한 조건(필요 및 충분)은 평등을 충족하는 것입니다

ㅏ 1 ㅏ 2 + 비 1 비 2 = 0. (12)

6. 두 선의 교점 좌표는 방정식 (6)의 시스템을 해결하여 찾습니다. 선 (6)은 다음 경우에만 교차합니다.

1. 주어진 선 l에 대해 하나는 평행하고 다른 하나는 수직인 점 M을 지나는 선의 방정식을 쓰십시오.

모서리공간의 직선 사이 우리는 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그린 두 직선에 의해 형성된 인접 각도를 호출합니다.

공간에 두 개의 직선이 주어졌다고 하자.

분명히, 선 사이의 각도 φ는 방향 벡터와 . 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후, 벡터 사이의 각도 코사인 공식에 따라 우리는

두 선의 평행도 및 직각도 조건은 방향 벡터의 평행도 및 직각도 조건과 동일하며 다음과 같습니다.

투 스트레이트 평행하다각각의 계수가 비례하는 경우에만, 즉 엘 1 병렬 엘 2 병렬인 경우에만 .

투 스트레이트 수직해당 계수의 곱의 합이 0인 경우에만: .

~에 선과 평면 사이의 목표

라인하자 디- 평면 θ에 수직이 아님;
디'- 직선 투영 디평면 θ로;
직선 사이의 각 중 가장 작은 각 디그리고 디' 부를 것이다 선과 평면 사이의 각도.
φ=( 디,θ)
만약 디⊥θ , 그러면 ( 디,θ)=π/2

오이→제이→케이→− 직교 좌표계.
평면 방정식:

θ: 도끼+에 의해+시즈+디=0

우리는 선이 점과 방향 벡터로 주어진다고 생각합니다. 디[중 0,피→]
벡터 N→(ㅏ,비,씨)⊥θ
그런 다음 벡터 사이의 각도를 찾는 것이 남아 있습니다. N→ 그리고 피→ γ=( N→,피→).

각도 γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

각도 γ>π/2 이면 필요한 각도 φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

그 다음에, 선과 평면 사이의 각도다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ 앱 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √ㅏ 2+비 2+씨 2√피 21+피 22+피 23

질문 29. 이차 형태의 개념입니다. 이차 형태의 부호 확정성.

이차 형식 j (x 1, x 2, ..., x n) n 실수 변수 x 1, x 2, ..., x n형태의 합이라고 한다
, (1)

어디 아이즈 계수라고 하는 일부 숫자입니다. 일반성을 잃지 않고 다음을 가정할 수 있습니다. 아이즈 = 지.

이차 형태라고합니다 유효한,만약 아이즈 О GR. 2차 형식의 행렬계수로 구성된 행렬이라고 합니다. 2차 형식(1)은 고유한 대칭 행렬에 해당합니다.
즉. 에이티 = 에이. 따라서 이차 형식 (1)은 행렬 형식 j( 엑스) = x T 아, 어디 x T = (엑스 1 엑스 2 … x n). (2)

그리고 그 반대의 경우 모든 대칭 행렬(2)은 변수 표기법까지 고유한 2차 형식에 해당합니다.

이차 형식의 순위행렬의 순위라고 합니다. 이차 형태라고합니다 비 퇴화,행렬이 특이하지 않은 경우 하지만. (행렬을 기억하십시오. 하지만결정자가 아닌 경우 비축퇴라고 합니다. 영). 그렇지 않으면 2차 형식이 퇴화됩니다.

양의정의(또는 엄격하게 긍정적인 경우)

제이 ( 엑스) > 0 , 누구에게나 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, x n), 게다가 엑스 = (0, 0, …, 0).

행렬 하지만양의 정부호 이차 형식 j ( 엑스)는 양의 정부호라고도 합니다. 따라서 양의 정부호 2차 형식은 고유한 양의 정부호 행렬에 해당하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

이차 형식 (1)은 부정확정(또는 엄밀히 부정적인) 경우

제이 ( 엑스) < 0, для любого 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, x n), 게다가 엑스 = (0, 0, …, 0).

위와 유사하게 음의 정부호 2차 행렬은 음의 정부호라고도 합니다.

따라서 양의(음의) 확정 2차 형식 j( 엑스) 최소(최대) 값 j에 도달 엑스*) = 0 엑스* = (0, 0, …, 0).

대부분의 2차 형식은 부호가 한정되지 않습니다. 즉, 양수도 음수도 아닙니다. 이러한 2차 형태는 좌표계의 원점뿐만 아니라 다른 점에서도 사라집니다.

언제 N> 2, 이차 형태의 부호-확정성을 확인하기 위해서는 특별한 기준이 필요합니다. 그들을 고려해 봅시다.

메이저 마이너이차 형식을 미성년자라고합니다.

즉, 이들은 1, 2, …, N행렬 하지만왼쪽에 위치한 상단 모서리, 그들 중 마지막은 행렬의 행렬식과 일치합니다. 하지만.

양의 정부호의 기준 (실베스터 기준)

엑스) = x T 아양의 정부호 행렬이면 행렬의 모든 주요 소수가 하지만즉, 다음과 같이 긍정적이었습니다. 중 1 > 0, 중 2 > 0, …, 남 > 0. 부정적인 확신의 기준 이차 형태 j의 경우 엑스) = x T 아음의 정부호는 짝수 차수의 주 부전공이 양수이고 홀수 차수의 주요 부전공이 음수인 것이 필요하고 충분합니다. 중 1 < 0, 중 2 > 0, 중 3 < 0, …, (–1)N

평면 사이의 각도

방정식에 의해 각각 주어진 두 평면 α 1 및 α 2를 고려해 보겠습니다.

아래에 모서리두 평면 사이에서 우리는 다음 중 하나를 이해할 것입니다. 이면각이 평면에 의해 형성됩니다. 법선 벡터와 평면 α 1 및 α 2 사이의 각도는 표시된 인접한 2면체 각도 중 하나와 동일하거나 . 그래서 . 왜냐하면 그리고 , 그 다음에

예시.평면 사이의 각도 결정 엑스+2와이-3지+4=0 및 2 엑스+3와이+지+8=0.

두 평면의 평행도 조건.

두 평면 α 1 과 α 2 는 법선 벡터와 평행인 경우에만 평행하며 따라서 .

따라서 해당 좌표의 계수가 비례하는 경우에만 두 평면이 서로 평행합니다.

또는

평면의 직각도 조건.

두 평면은 법선 벡터가 수직인 경우에만 수직이며 따라서 또는 .

따라서, .

예.

공간에 직접.

벡터 방정식 직접.

매개변수 방정식 직접

공간에서 직선의 위치는 고정 점 중 하나를 지정하여 완전히 결정됩니다. 중 1과 이 선에 평행한 벡터.

직선에 평행한 벡터를 안내이 선의 벡터.

그래서 똑바로하자 엘점을 통과 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 벡터에 평행한 직선에 누워 .

임의의 점을 고려 M(x,y,z)직선에. 이라는 것을 그림에서 알 수 있다. .

벡터 및 는 동일선상에 있으므로 다음과 같은 수가 있습니다. 티, 무엇, 승수는 어디에 티점의 위치에 따라 임의의 숫자 값을 사용할 수 있습니다. 중직선에. 요인 티매개변수라고 합니다. 점의 반경 벡터 표시 중 1 및 중각각 및 를 통해 , 우리는 을 얻습니다. 이 방정식은 벡터직선 방정식. 각 매개변수 값이 티어떤 점의 반경 벡터에 해당 중직선에 누워.

우리는 이 방정식을 좌표 형태로 씁니다. 그것을주의해라 , 그리고 여기에서

결과 방정식은 파라메트릭직선 방정식.

매개변수를 변경할 때 티좌표 변경 엑스, 와이그리고 지그리고 점 중직선으로 움직입니다.

표준 방정식 직접

하자 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) - 직선 위에 놓인 점 엘, 그리고 방향 벡터입니다. 다시 직선상의 임의의 점을 취한다. M(x,y,z)벡터를 고려하십시오.

벡터와 벡터는 동일선상에 있으므로 각각의 좌표는 비례해야 하므로

– 정식직선 방정식.

비고 1.선의 정준 방정식은 매개변수를 제거하여 매개변수 방정식에서 얻을 수 있습니다. 티. 실제로, 우리는 매개변수 방정식에서 또는 .

예시.직선의 방정식을 쓰십시오 파라메트릭 방식으로.

나타내다 , 그 후 엑스 = 2 + 3티, 와이 = –1 + 2티, 지 = 1 –티.

비고 2.선이 좌표축 중 하나에 수직이 되도록 하십시오(예: 축 황소. 그런 다음 선의 방향 벡터는 수직입니다. 황소, 그 후, 중=0. 결과적으로 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

방정식에서 매개변수 제거 티, 우리는 다음 형식의 직선 방정식을 얻습니다.

그러나 이 경우에도 직선의 정준 방정식을 다음 형식으로 공식적으로 작성하는 데 동의합니다. . 따라서 분수 중 하나의 분모가 0이면 선이 해당 좌표축에 수직임을 의미합니다.

유사하게, 정준 방정식 축에 수직인 직선에 해당 황소그리고 오이또는 평행 축 온스.

예.

일반 방정식 두 평면의 교차선으로서의 직선

공간의 각 직선은 무한한 수의 평면을 통과합니다. 교차하는 두 개는 공간에서 정의합니다. 따라서 함께 고려되는 두 평면의 방정식은 이 선의 방정식입니다.

일반적으로 일반 방정식에 의해 주어진 두 개의 비평행 평면

그들의 교차선을 결정하십시오. 이러한 방정식을 일반 방정식똑바로.

예.

방정식으로 주어진 직선을 구성하십시오

선을 구성하려면 두 점을 찾는 것으로 충분합니다. 가장 쉬운 방법은 선과 좌표 평면의 교차점을 선택하는 것입니다. 예를 들어 평면과의 교차점 xOy우리는 직선의 방정식에서 다음을 가정합니다. 지= 0:

이 시스템을 풀면 요점을 찾을 수 있습니다. 중 1 (1;2;0).

마찬가지로 가정 와이= 0, 우리는 평면과 선의 교차점을 얻습니다 엑스오즈:

직선의 일반 방정식에서 표준 또는 매개변수 방정식으로 진행할 수 있습니다. 이렇게하려면 몇 가지 점을 찾아야합니다. 중선의 1과 선의 방향 벡터.

점 좌표 중 1 우리는 이 방정식 시스템에서 좌표 중 하나에 임의의 값을 제공합니다. 방향 벡터를 찾으려면 이 벡터가 두 법선 벡터에 수직이어야 합니다. 그리고 . 따라서 직선의 방향 벡터에 대해 엘법선 벡터의 외적을 취할 수 있습니다.

예시.직선의 일반 방정식을 제공하십시오. 정식 형식으로.

직선에서 점을 찾으십시오. 이를 위해 좌표 중 하나를 임의로 선택합니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 와이= 0이고 연립방정식을 풉니다.

선을 정의하는 평면의 법선 벡터에는 좌표가 있습니다. 따라서 방향 벡터는 직선이 됩니다.

. 따라서, 엘: .

권리 사이의 각도

모서리공간의 직선 사이 우리는 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그린 두 직선에 의해 형성된 인접 각도를 호출합니다.

공간에 두 개의 직선이 주어졌다고 하자.

분명히, 선 사이의 각도 φ는 방향 벡터와 . 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후, 벡터 사이의 각도 코사인 공식에 따라 우리는

간략히 하겠습니다. 두 선 사이의 각도는 방향 벡터 사이의 각도와 같습니다. 따라서 방향 벡터 a \u003d (x 1; y 1; z 1) 및 b \u003d (x 2; y 2; z 2)의 좌표를 찾으면 각도를 찾을 수 있습니다. 보다 정확하게는 공식에 따른 각도의 코사인:

이 공식이 특정 예에서 어떻게 작동하는지 봅시다.

일. 점 E와 F는 큐브 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1에 표시되어 있습니다. 각 모서리 A 1 B 1 및 B 1 C 1의 중간점입니다. 선 AE와 BF 사이의 각도를 찾으십시오.

정육면체의 모서리가 지정되지 않았기 때문에 AB = 1로 설정합니다. 표준 좌표계를 도입합니다. 원점은 A 지점이고 x, y, z 축은 각각 AB, AD 및 AA 1을 따라 지정됩니다. . 단위 세그먼트는 AB = 1과 같습니다. 이제 선에 대한 방향 벡터의 좌표를 찾아보겠습니다.

벡터 AE의 좌표를 찾습니다. 이렇게 하려면 점 A = (0, 0, 0) 및 E = (0.5, 0, 1)이 필요합니다. 점 E는 선분 A 1 B 1 의 중간이므로 좌표는 끝 좌표의 산술 평균과 같습니다. 벡터 AE의 원점은 원점과 일치하므로 AE = (0.5, 0, 1)입니다.

이제 BF 벡터를 다루겠습니다. 유사하게, 우리는 B = (1; 0; 0) 및 F = (1; 0.5; 1) 점을 분석합니다. 왜냐하면 F - 세그먼트 B 1 C 1 의 중간. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
BF = (1 - 1, 0.5 - 0, 1 - 0) = (0, 0.5, 1).

따라서 방향 벡터가 준비되었습니다. 선 사이의 각도의 코사인은 방향 벡터 사이의 각도의 코사인이므로 다음을 얻습니다.

일. 모든 모서리가 1인 정삼면체 ABCA 1 B 1 C 1 에서 점 D와 E가 표시됩니다. 즉, 각각 모서리 A 1 B 1 및 B 1 C 1의 중간점입니다. 선 AD와 BE 사이의 각도를 찾으십시오.

표준 좌표계를 소개합니다. 원점은 A에 있고 x축은 AB를 따라, z는 AA 1을 따라 향합니다. OXY 평면이 ABC 평면과 일치하도록 y축을 지시합니다. 단위 세그먼트는 AB = 1과 같습니다. 원하는 선에 대한 방향 벡터의 좌표를 찾으십시오.

먼저 AD 벡터의 좌표를 구해보자. A = (0; 0; 0) 및 D = (0.5; 0; 1) 점을 고려하십시오. 왜냐하면 D - 세그먼트 A 1 B 1 의 중간. 벡터 AD의 시작이 원점과 일치하므로 AD = (0.5; 0; 1)을 얻습니다.

이제 벡터 BE의 좌표를 구해보자. 점 B = (1; 0; 0)은 계산하기 쉽습니다. 점 E - 세그먼트 C 1 B 1의 중간 - 조금 더 어렵습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

각도의 코사인을 찾는 것이 남아 있습니다.

일. 정육각형 프리즘 ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 에서 모든 모서리가 1이고 점 K와 L이 표시됩니다. 모서리 A 1 B 1 및 B 1 C 1의 중간점, 각기. 선 AK와 BL 사이의 각도를 찾으십시오.

프리즘에 대한 표준 좌표계를 소개합니다. 좌표의 원점을 하단 베이스의 중심에 놓고 x축은 FC를 따라, y축은 세그먼트 AB와 DE의 중간점을 통과하고 z축은 방향을 지정합니다. 수직으로 위쪽으로. 단위 세그먼트는 다시 AB = 1과 같습니다. 관심 지점의 좌표를 작성해 보겠습니다.