삼각법에서 사인의 일반 공식. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 - OGE 및 USE에서 알아야 할 모든 것

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 주요 삼각 함수 간의 비율이 제공됩니다. 삼각 공식. 그리고 삼각 함수 사이에는 상당히 많은 연결이 있기 때문에 삼각 함수 공식의 풍부함도 설명합니다. 일부 공식은 동일한 각도의 삼각 함수를 연결하고, 다른 공식은 다중 각도의 함수이고, 다른 공식은 각도를 낮추는 것을 허용하고, 네 번째 공식은 반각의 탄젠트 등을 통해 모든 함수를 표현할 수 있습니다.

이 기사에서는 대부분의 삼각법 문제를 해결하기에 충분한 모든 기본 삼각법 공식을 순서대로 나열합니다. 암기 및 사용의 편의를 위해 목적에 따라 그룹화하여 표에 입력합니다.

페이지 탐색.

기본 삼각 아이덴티티

기본 삼각 아이덴티티한 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 간의 관계를 설정합니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 단위 원의 개념을 따릅니다. 그것들을 사용하면 하나의 삼각 함수를 다른 함수를 통해 표현할 수 있습니다.

이러한 삼각법 공식, 파생 및 적용 예에 대한 자세한 설명은 기사를 참조하십시오.

캐스트 공식

캐스트 공식사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 속성에서 따랐습니다. 즉, 삼각 함수의 주기성 속성, 대칭 속성 및 주어진 각도만큼 이동하는 속성을 반영합니다. 이러한 삼각 공식을 사용하면 임의의 각도 작업에서 0도에서 90도 범위의 각도 작업으로 이동할 수 있습니다.

이 공식의 근거, 암기하기 위한 니모닉 규칙 및 적용 사례는 기사에서 연구할 수 있습니다.

덧셈 공식

삼각법 덧셈 공식두 각도의 합 또는 차이의 삼각 함수가 이러한 각도의 삼각 함수로 표현되는 방법을 보여줍니다. 이러한 공식은 다음 삼각 공식의 유도를 위한 기초 역할을 합니다.

이중, 삼중 등의 공식 각도

이중, 삼중 등의 공식 각도(다중 각도 공식이라고도 함)는 이중, 삼중 등의 삼각 함수를 보여줍니다. 각도()는 단일 각도의 삼각 함수로 표현됩니다. 이들의 유도는 덧셈 공식을 기반으로 합니다.

더 자세한 정보는 이중, 삼중 등에 대한 기사 공식에서 수집됩니다. 각도 .

반각 공식

반각 공식반각의 삼각 함수가 정수 각도의 코사인으로 표현되는 방법을 보여줍니다. 이러한 삼각 공식은 이중 각도 공식을 따릅니다.

그들의 결론과 적용 사례는 기사에서 찾을 수 있습니다.

환원 공식

각도 감소에 대한 삼각 공식삼각 함수의 자연 거듭제곱에서 1차 사인 및 코사인으로의 전환을 용이하게 하도록 설계되었지만 다중 각도입니다. 즉, 삼각 함수의 거듭제곱을 처음으로 줄일 수 있습니다.

삼각 함수의 합과 차에 대한 공식

주요 목적지 삼각 함수의 합과 차 공식삼각함수 식을 단순화할 때 매우 유용한 함수의 곱으로의 전환으로 구성됩니다. 이 공식은 사인과 코사인의 합과 차를 인수분해할 수 있기 때문에 삼각 방정식을 푸는 데에도 널리 사용됩니다.

사인, 코사인 및 사인을 코사인으로 곱한 공식

삼각 함수의 곱에서 합 또는 차이로의 전환은 사인, 코사인 및 사인을 코사인으로 곱한 공식을 통해 수행됩니다.

바쉬마코프 M.I.대수와 분석의 시작: Proc. 10-11 셀. 평균 학교 - 3판. - M.: 계몽, 1993. - 351 p.: 병. - ISBN 5-09-004617-4.

대수학그리고 분석의 시작: Proc. 10-11 셀. 일반 교육 기관 / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn 및 기타; 에드. A. N. Kolmogorova.- 14판.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(기술 학교 지원자를 위한 매뉴얼): Proc. 수당.- M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., ill.

영리한 학생의 저작권

직각 삼각형으로 삼각법 연구를 시작합니다. 사인과 코사인은 물론 예각의 탄젠트와 코탄젠트가 무엇인지 정의합시다. 이것이 삼각법의 기본입니다.

기억해 직각는 90도와 같은 각도입니다. 즉, 펼쳐진 모서리의 절반입니다.

날카로운 모서리- 90도 미만.

둔각- 90도 이상. 그런 각도와 관련하여 "무딘"은 모욕이 아니라 수학 용어입니다 :-)

직각삼각형을 그려봅시다. 직각은 일반적으로 표시됩니다. 모서리 반대쪽은 같은 문자로 표시되며 작은 부분만 표시됩니다. 따라서 각도 A와 반대되는 측면이 표시됩니다.

각도는 해당 그리스 문자로 표시됩니다.

빗변직각 삼각형은 직각의 반대면입니다.

다리- 날카로운 모서리 반대편의 측면.

모서리 반대쪽 다리를 호출합니다. 반대(각도 기준). 모서리의 측면에 있는 다른 다리는 인접한.

공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다.

코사인직각 삼각형의 예각 - 빗변에 대한 인접한 다리의 비율:

접선직각 삼각형의 예각 - 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율:

다른 (동등한) 정의: 예각의 탄젠트는 각도의 사인 대 코사인의 비율입니다.

코탄젠트직각 삼각형의 예각 - 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율(또는 동등하게 코사인 대 사인의 비율):

아래에 주어진 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 기본 비율에 주의하십시오. 그들은 문제를 해결하는 데 도움이 될 것입니다.

그들 중 일부를 증명합시다.

자, 정의를 내리고 공식을 작성했습니다. 그러나 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 필요한 이유는 무엇입니까?

우리는 그것을 알고 모든 삼각형의 각의 합은.

우리는 사이의 관계를 알고 있습니다. 파티정삼각형. 이것은 피타고라스 정리입니다: .

삼각형의 두 각도를 알면 세 번째 각도를 찾을 수 있습니다. 직각 삼각형의 두 변을 알면 세 번째 변을 찾을 수 있습니다. 따라서 각도의 경우 - 비율, 측면의 경우 - 자체. 그러나 직각 삼각형에서 한 각(직각 제외)과 한 변이 알려져 있지만 다른 변을 찾아야 하는 경우 어떻게 해야 합니까?

이것은 과거에 사람들이 직면했던 것입니다. 지역과 별이 빛나는 하늘의 지도를 만드는 것입니다. 결국 삼각형의 모든 변을 직접 측정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다.

사인, 코사인 및 탄젠트 -라고도합니다. 각도의 삼각 함수- 사이의 비율을 제공 파티그리고 모서리삼각형. 각도를 알면 특수 테이블을 사용하여 모든 삼각 함수를 찾을 수 있습니다. 그리고 삼각형의 각과 그 변 중 하나의 사인, 코사인 및 탄젠트를 알면 나머지를 찾을 수 있습니다.

우리는 또한 "좋은"각에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값의 표를 그릴 것입니다.

표에서 두 개의 빨간색 대시를 확인하십시오. 해당 각도 값의 경우 접선과 코탄젠트가 존재하지 않습니다.

Bank of FIPI 작업에서 삼각법의 몇 가지 문제를 분석해 보겠습니다.

1. 삼각형에서 각은 , 입니다. 찾다 .

문제는 4초 만에 해결됩니다.

하는 한 , .

2. 삼각형에서 각은 , , 입니다. 찾다 .

피타고라스 정리로 구해보자.

문제 해결됨.

종종 문제에는 각 및/또는 각 및 가 있는 삼각형이 있습니다. 그들을 위한 기본 비율을 암기하세요!

각이 있는 삼각형과 각의 반대쪽 다리는 다음과 같습니다. 빗변의 절반.

각이 있고 이등변인 삼각형입니다. 그것에서 빗변은 다리보다 몇 배 더 큽니다.

우리는 직각 삼각형을 푸는 문제, 즉 미지의 변이나 각도를 찾는 문제를 고려했습니다. 하지만 그게 다가 아닙니다! 수학 시험의 변형에는 삼각형의 외부 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 또는 코탄젠트가 나타나는 많은 작업이 있습니다. 이에 대한 자세한 내용은 다음 기사를 참조하세요.

나는 당신이 치트 시트를 쓰지 말라고 설득하지 않을 것입니다. 쓰다! 삼각법에 대한 치트 시트 포함. 나중에 치트 시트가 필요한 이유와 치트 시트가 어떻게 유용한지 설명할 계획입니다. 그리고 여기에 - 배우지 않는 방법에 대한 정보가 있지만 삼각법 공식을 기억하는 방법에 대한 정보입니다. 그래서 - 치트 시트가 없는 삼각법! 우리는 암기를 위해 연관을 사용합니다.

1. 덧셈 공식:

코사인은 항상 "쌍으로 이동": 코사인-코사인, 사인-사인. 그리고 한 가지 더: 코사인이 "부적절"합니다. 그들은 "모든 것이 잘못되었습니다", 그래서 기호를 "-"에서 "+"로, 또는 그 반대로 바꿉니다.

부비동 - "혼합": 사인-코사인, 코사인-사인.

2. 합과 차 공식:

코사인은 항상 "쌍으로 이동"합니다. "빵"이라는 두 개의 코사인을 추가하면 "koloboks"라는 한 쌍의 코사인이 생깁니다. 빼기, 우리는 확실히 콜로복을 얻지 못할 것입니다. 우리는 몇 가지 사인을 얻습니다. 아직 마이너스가 남았습니다.

부비동 - "혼합" :

3. 곱과 차를 곱하기 위한 공식.

코사인 쌍은 언제 얻습니까? 코사인을 추가할 때. 그렇기 때문에

우리는 언제 한 쌍의 사인을 얻습니까? 코사인을 뺄 때. 여기에서:

"혼합"은 사인을 더하거나 빼서 얻습니다. 더하기와 빼기 중 어느 것이 더 재미있나요? 맞습니다, 접습니다. 그리고 공식에 대해 더하기:

괄호 안의 첫 번째 및 세 번째 공식 - 금액. 용어의 위치를 재배열하여 합계가 변경되지 않습니다. 순서는 두 번째 공식에만 중요합니다. 그러나 혼동하지 않기 위해 기억하기 쉽도록 첫 번째 괄호의 세 공식 모두에서 차이를 취합니다.

두 번째로 합계

주머니에 아기 침대 시트가 있으면 안심할 수 있습니다. 공식을 잊어버린 경우에는 잊어버릴 수 있습니다. 그리고 그들은 자신감을 줍니다. 치트 시트를 사용하지 않으면 공식을 쉽게 기억할 수 있습니다.

과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 시작되었습니다. 최초의 삼각 비율은 정확한 달력을 만들고 별을 기준으로 방향을 정하기 위해 천문학자들에 의해 개발되었습니다. 이러한 계산은 구면 삼각법과 관련이 있으며 학교 과정에서는 평평한 삼각형의 변과 각도의 비율을 연구합니다.

삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.

서기 1000년 문화와 과학의 전성기에 지식은 고대 동양에서 그리스로 전파되었습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 아랍 칼리프의 사람들의 장점입니다. 특히 투르크멘 과학자 al-Marazvi는 접선 및 코탄젠트와 같은 기능을 도입하고 사인, 접선 및 코탄젠트 값의 첫 번째 표를 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 도입되었습니다. 유클리드, 아르키메데스, 에라토스테네스와 같은 고대의 위대한 인물들의 작품에서 삼각법에 많은 관심을 기울였습니다.

삼각법의 기본 수량

수치 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트입니다. 그들 각각에는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 자체 그래프가 있습니다.

이 양의 값을 계산하는 공식은 피타고라스 정리를 기반으로 합니다. 이등변 삼각형의 예에서 증명이 제공되기 때문에 "모든 방향에서 동일한 피타고라스 바지"라는 공식으로 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다.

사인, 코사인 및 기타 종속성은 직각 삼각형의 예각과 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하는 공식을 제공하고 삼각 함수의 관계를 추적합니다.

보시다시피 tg와 ctg는 역함수입니다. 다리를 sin A와 빗변 c의 곱으로 나타내고 다리 b를 cos A * c로 나타내면 접선 및 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻습니다.

삼각원

그래픽으로 언급된 양의 비율은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이 경우 원은 0°에서 360°까지 가능한 모든 각도 α 값을 나타냅니다. 그림에서 알 수 있듯이 각 함수는 각도에 따라 음수 또는 양수 값을 취합니다. 예를 들어, sin α는 α가 원의 I 및 II 4분의 1에 속하는 경우, 즉 0 °에서 180 ° 범위에 있는 경우 "+" 기호와 함께 표시됩니다. 180°에서 360°(III 및 IV 분기)의 α에서 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.

특정 각도에 대한 삼각표를 만들고 수량의 의미를 알아 보겠습니다.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수한 경우라고 합니다. 삼각 함수의 값은 계산되어 특수 테이블 형태로 표시됩니다.

이 각도는 우연히 선택되지 않았습니다. 표에서 π는 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 관계를 설정하기 위해 도입되었으며 라디안으로 계산할 때 반지름의 실제 길이(cm)는 중요하지 않습니다.

삼각 함수에 대한 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.

따라서 2π가 완전한 원 또는 360°임을 추측하는 것은 어렵지 않습니다.

삼각 함수의 속성: 사인 및 코사인

사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본적인 성질을 고려하고 비교하기 위해서는 그들의 기능을 그릴 필요가 있다. 이것은 2차원 좌표계에 위치한 곡선 형태로 수행될 수 있습니다.

사인파와 코사인파에 대한 속성 비교 표를 고려하십시오.

정현파	코사인파
y = 죄 x	y = 코스 x
ODZ [-1; 하나]	ODZ [-1; 하나]
sin x = 0, x = πk, 여기서 k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk의 경우 k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk에 대해 k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk의 경우 k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk에서 k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk의 경우 k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, 즉 홀수 함수	cos (-x) = cos x, 즉 함수는 짝수입니다.
	함수는 주기적이고 가장 작은 주기는 2π입니다.
sin x › 0, x는 사분의 일 I 및 II에 속하거나 0°에서 180°까지(2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x는 1/4 분기 또는 270° ~ 90°(- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)에 속합니다.
sin x ‹ 0, x는 사분의 일 III 및 IV에 속하거나 180°에서 360°(π + 2πk, 2π + 2πk)에 속합니다.	cos x ‹ 0, x는 사분의 일 II 및 III에 속하거나 90°에서 270°까지(π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
구간에서 증가 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	구간 [-π + 2πk, 2πk]에서 증가
간격에서 감소 [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	간격으로 감소
도함수(sin x)' = cos x	도함수(cos x)' = - sin x