산술 진행 처음 8의 합을 찾는 방법. 산술 진행: 무엇입니까
결정을 시작하기 전에 산술 진행 문제, 산술 진행은 수열의 특별한 경우이므로 수열이 무엇인지 고려하십시오.
숫자 시퀀스는 숫자 집합이며 각 요소에는 고유한 일련 번호가 있습니다.. 이 집합의 요소를 시퀀스의 구성원이라고 합니다. 시퀀스 요소의 서수는 인덱스로 표시됩니다.
시퀀스의 첫 번째 요소입니다.
시퀀스의 다섯 번째 요소입니다.
- 시퀀스의 "n번째" 요소, 즉 n번의 "대기열에 서 있는" 요소.
시퀀스 요소의 값과 서수 사이에는 종속성이 있습니다. 따라서 시퀀스는 인수가 시퀀스 요소의 서수인 함수로 간주할 수 있습니다. 다시 말해 이렇게 말할 수 있다. 시퀀스는 자연 인수의 함수입니다.
시퀀스는 세 가지 방법으로 지정할 수 있습니다.
1 . 순서는 테이블을 사용하여 지정할 수 있습니다.이 경우 시퀀스의 각 멤버 값을 설정하기만 하면 됩니다.
예를 들어, 누군가는 개인 시간 관리를 하기로 결정했고, 우선 그가 일주일 동안 VKontakte에 보낸 시간을 계산했습니다. 테이블에 시간을 쓰면 다음 7가지 요소로 구성된 시퀀스를 얻을 수 있습니다.
테이블의 첫 번째 줄에는 요일의 숫자가 포함되고 두 번째 줄에는 분 단위의 시간이 포함됩니다. 우리는 월요일에 누군가가 VKontakte에서 125분, 즉 목요일에 248분, 즉 금요일에 15분을 보냈다는 것을 알 수 있습니다.
2 . 시퀀스는 n번째 멤버 공식을 사용하여 지정할 수 있습니다.
이 경우 숫자에 대한 시퀀스 요소 값의 의존성은 공식으로 직접 표현됩니다.
예를 들어, 이면
주어진 숫자를 가진 시퀀스 요소의 값을 찾기 위해 우리는 요소 번호를 n번째 멤버에 대한 공식으로 대체합니다.
인수의 값을 알고 있는 경우 함수의 값을 찾아야 하는 경우에도 동일한 작업을 수행합니다. 함수의 방정식에서 대신 인수의 값을 대체합니다.
예를 들어, 
, 그 다음에
다시 한 번, 임의의 숫자 함수와 달리 시퀀스에서 자연수만 인수가 될 수 있다는 점에 주목합니다.
3 . 시퀀스는 이전 멤버의 값에 대한 숫자 n이 있는 시퀀스 멤버 값의 종속성을 표현하는 공식을 사용하여 지정할 수 있습니다. 이 경우 값을 찾기 위해 시퀀스 멤버의 수만 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 시퀀스의 첫 번째 멤버 또는 처음 몇 개의 멤버를 지정해야 합니다.
예를 들어 시퀀스를 고려하십시오. 
, 
시퀀스 멤버의 값을 찾을 수 있습니다. 순서대로, 세 번째부터:
즉, 시퀀스의 n번째 멤버의 값을 찾을 때마다 이전 두 항목으로 돌아갑니다. 이러한 배열 방식을 재발, 라틴어 단어에서 반복- 돌아와.
이제 산술 진행을 정의할 수 있습니다. 산술 진행은 숫자 시퀀스의 단순하고 특별한 경우입니다.
산술 진행 숫자 시퀀스라고하며, 두 번째부터 시작하여 각 멤버는 이전 멤버와 동일하고 동일한 번호가 추가됩니다.
번호가 호출됩니다 산술 진행의 차이. 산술 진행의 차이는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다.
제목="(!LANG:d>0인 경우)">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} 증가.
예를 들어, 2; 5; 여덟; 열하나;...
이면 산술 진행의 각 항은 이전 항보다 작고 진행은 다음과 같습니다. 쇠약해지는.
예를 들어, 2; -하나; -4; -7;...
인 경우 진행의 모든 구성원은 동일한 수와 같으며 진행은 다음과 같습니다. 변화 없는.
예를 들어, 2;2;2;2;...
산술 진행의 주요 속성:
그림을 봅시다.
우리는 그것을 본다
, 그리고 동시에
이 두 등식을 더하면 다음을 얻습니다.
.
방정식의 양변을 2로 나눕니다.
따라서 두 번째부터 시작하여 산술 진행의 각 요소는 두 개의 인접한 요소의 산술 평균과 같습니다.
게다가 이후
, 그리고 동시에
, 그 다음에
, 따라서
title="(!LANG:k>l로 시작하는 산술 진행의 각 멤버">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
th 멤버 공식.
산술 진행의 구성원에 대해 다음 관계가 성립함을 알 수 있습니다.
그리고 마지막으로
우리는 얻었다 n번째 항의 공식.
중요한!산술 진행의 모든 구성원은 및 로 표현될 수 있습니다. 첫 번째 항과 산술 진행의 차이점을 알면 해당 구성원을 찾을 수 있습니다.
산술 진행의 n 멤버의 합입니다.
임의의 산술 진행에서 극단과 동일한 간격의 항의 합은 서로 같습니다.
n개의 멤버가 있는 산술 진행을 고려하십시오. 이 진행의 n 멤버의 합이 와 같게 하십시오.
진행 조건을 먼저 숫자의 오름차순으로 정렬한 다음 내림차순으로 정렬합니다.
짝을 지어보자:
각 괄호의 합은 , 쌍의 수는 n입니다.
우리는 다음을 얻습니다:
그래서, 산술 진행의 n 멤버의 합은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
고려하다 산술 진행 문제 풀기.
1 . 시퀀스는 n번째 멤버의 공식으로 제공됩니다. . 이 수열이 산술 진행임을 증명하십시오.
수열의 인접한 두 구성원의 차이가 같은 수임을 증명합시다.
우리는 시퀀스의 인접한 두 구성원의 차이가 수에 의존하지 않고 상수라는 것을 얻었습니다. 따라서 정의에 따라 이 수열은 산술 진행입니다.
2 . 주어진 산술 진행 -31; -27;...
a) 진행의 31개 항을 찾으십시오.
b) 이 진행에 숫자 41이 포함되어 있는지 확인합니다.
ㅏ)우리는 그것을 본다;
우리의 진행을 위한 n번째 항에 대한 공식을 적어봅시다.
일반적으로 
우리의 경우 
, 그렇기 때문에 
또는 산술 - 이것은 학교 대수학 과정에서 그 속성이 연구되는 정렬 된 숫자 시퀀스의 한 유형입니다. 이 기사에서는 산술 진행의 합을 찾는 방법에 대한 질문에 대해 자세히 설명합니다.
이 진행 상황은 무엇입니까?
질문(산술 진행의 합을 찾는 방법)에 대한 고려를 진행하기 전에 논의할 내용을 이해하는 것이 좋습니다.
각 이전 숫자에서 일부 값을 더(빼기)하여 얻은 실수의 시퀀스를 대수(산술) 진행이라고 합니다. 수학 언어로 번역된 이 정의는 다음과 같은 형식을 취합니다.
여기서 i는 급수 a i의 요소의 서수입니다. 따라서 초기 번호를 하나만 알면 전체 시리즈를 쉽게 복원할 수 있습니다. 공식의 매개변수 d를 진행 차이라고 합니다.
고려 중인 일련의 숫자에 대해 다음과 같은 평등이 성립함을 쉽게 알 수 있습니다.
n \u003d a 1 + d * (n - 1).
즉, n번째 요소의 값을 순서대로 찾으려면 차이 d를 첫 번째 요소 a에 1 n-1번 더합니다.
산술 진행의 합은 얼마입니까? 공식
표시된 금액에 대한 공식을 제공하기 전에 간단한 특별한 경우를 고려해 볼 가치가 있습니다. 1에서 10까지의 자연수의 진행이 주어지면 그 합을 찾아야 합니다. 진행(10)에 항이 적기 때문에 정면으로 문제를 풀 수 있습니다. 즉, 모든 요소를 순서대로 합산하는 것입니다.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
한 가지 흥미로운 점을 고려해 볼 가치가 있습니다. 각 항은 동일한 값 d \u003d 1만큼 다음 항과 다르기 때문에 첫 번째와 10번째 항목, 두 번째 항목과 9번째 항목 등을 쌍으로 합하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. . 정말로:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
보시다시피, 이러한 합계는 5개뿐입니다. 즉, 계열의 요소 수보다 정확히 2배 적습니다. 그런 다음 합계 수(5)에 각 합계(11)의 결과를 곱하면 첫 번째 예에서 얻은 결과가 나옵니다.
이러한 인수를 일반화하면 다음 표현식을 작성할 수 있습니다.
S n \u003d n * (a 1 + an n) / 2.
이 표현식은 행의 모든 요소를 합산할 필요가 전혀 없으며 첫 번째 a 1 과 마지막 a n 의 값과 총 항 n 수를 아는 것으로 충분함을 보여줍니다.
Gauss는 처음 100개의 정수를 더하기 위해 학교 선생님이 설정한 문제에 대한 해결책을 찾을 때 이 평등을 처음 생각했다고 믿어집니다.
m에서 n까지 요소의 합: 공식
이전 단락에서 주어진 공식은 (첫 번째 요소의) 산술 진행의 합을 찾는 방법에 대한 질문에 답하지만 종종 작업에서 진행 중간에 일련의 숫자를 합산해야 할 필요가 있습니다. 그것을 하는 방법?
이 질문에 답하는 가장 쉬운 방법은 다음 예를 고려하는 것입니다. m번째에서 n번째까지 항의 합을 찾는 것이 필요합니다. 이 문제를 해결하려면 진행의 m에서 n까지의 주어진 세그먼트를 새로운 숫자 시리즈로 나타내야 합니다. 이 표현에서 m번째 멤버 a m이 첫 번째 멤버가 되고 n은 n-(m-1)로 번호가 지정됩니다. 이 경우 합에 대한 표준 공식을 적용하면 다음 식이 얻어진다.
S m n \u003d (n - m + 1) * (am + an n) / 2.
수식 사용 예
산술 진행의 합을 찾는 방법을 알면 위의 공식을 사용하는 간단한 예를 고려해 볼 가치가 있습니다.
아래는 숫자 시퀀스입니다. 5에서 시작하여 12로 끝나는 해당 멤버의 합계를 찾아야 합니다.
주어진 숫자는 차이 d가 3과 같음을 나타냅니다. n번째 요소에 대한 표현식을 사용하여 진행의 5번째 및 12번째 항의 값을 찾을 수 있습니다. 그것은 밝혀:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
고려 된 대수 진행 끝에있는 숫자의 값을 알고 시리즈의 숫자가 무엇을 차지하는지 알면 이전 단락에서 얻은 합계에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. 얻다:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
이 값이 다르게 얻어질 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 먼저 표준 공식을 사용하여 처음 12개 요소의 합을 찾은 다음 동일한 공식을 사용하여 처음 4개 요소의 합을 계산한 다음 첫 번째 합에서 두 번째 요소를 뺍니다. .
산술 진행 문제는 고대부터 존재해 왔습니다. 그들은 현실적 필요가 있었기 때문에 나타나서 해결책을 요구했습니다.
따라서 수학적 내용이있는 고대 이집트의 파피루스 중 하나 인 Rhind 파피루스 (기원전 XIX 세기)에는 다음과 같은 작업이 포함되어 있습니다. 빵 10 측정을 10 명으로 나누십시오. 단, 각각의 차이가 1 측정의 여덟 번째.
그리고 고대 그리스의 수학 작품에는 산술 진행과 관련된 우아한 정리가 있습니다. 그래서 많은 흥미로운 문제를 정리하고 유클리드의 "원소"에 열네 번째 책을 추가한 알렉산드리아의 힙시클(2세기)은 다음과 같은 아이디어를 공식화했습니다. 제곱 1/2 구성원만큼 1의 구성원의 합보다 큽니다.
순서가 표시됩니다. 시퀀스의 번호는 멤버라고 하며 일반적으로 이 멤버의 일련 번호를 나타내는 인덱스가 있는 문자로 표시됩니다(a1, a2, a3 ... "a 1st", "a 2nd", "a 3rd " 등).
시퀀스는 무한하거나 유한할 수 있습니다.
산술 진행이란 무엇입니까? 진행의 차인 같은 수 d에 앞의 항(n)을 더한 것으로 이해된다.
만약 d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0이면 이러한 진행이 증가하는 것으로 간주됩니다.
산술 진행은 첫 번째 항 중 몇 개만 고려하면 유한하다고 합니다. 매우 많은 수의 회원과 함께 이것은 이미 무한한 진행입니다.
모든 산술 진행은 다음 공식으로 제공됩니다.
=kn+b이고 b와 k는 일부 숫자입니다.
반대의 진술은 절대적으로 참입니다. 시퀀스가 유사한 공식으로 주어지면 이것은 정확히 다음과 같은 속성을 가진 산술 진행입니다.
- 진행의 각 멤버는 이전 멤버와 다음 멤버의 산술 평균입니다.
- 반대: 2번째부터 각 항이 이전 항과 다음 항의 산술 평균인 경우, 즉 조건이 충족되면 주어진 시퀀스는 산술 진행입니다. 이 평등은 동시에 진보의 표시이므로 일반적으로 진보의 특성이라고합니다.
같은 방식으로 이 속성을 반영하는 정리는 참입니다. 시퀀스는 두 번째부터 시작하여 시퀀스의 구성원 중 하나에 대해 이 평등이 참인 경우에만 산술 진행입니다.
산술 진행의 임의의 4개 숫자에 대한 특성 속성은 공식 a + am = ak + al if n + m = k + l(m, n, k는 진행의 숫자임)로 표현될 수 있습니다.
산술 진행에서 필요한 (N 번째) 항은 다음 공식을 적용하여 찾을 수 있습니다.
예를 들어, 산술 진행의 첫 번째 항(a1)은 3과 같고 차이(d)는 4입니다. 이 진행의 45항을 찾아야 합니다. a45 = 1+4(45-1)=177
공식 an = ak + d(n - k)를 사용하면 k번째 멤버를 통해 산술 진행의 n번째 멤버를 결정할 수 있습니다.
산술 진행의 구성원 합계(최종 진행의 첫 번째 n 구성원 가정)는 다음과 같이 계산됩니다.
Sn = (a1+an) n/2.
첫 번째 항도 알려진 경우 다른 공식이 계산에 편리합니다.
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
n개의 항을 포함하는 산술 진행의 합은 다음과 같이 계산됩니다.
계산 공식의 선택은 작업 조건과 초기 데이터에 따라 다릅니다.
1,2,3,...,n,...과 같은 숫자의 자연 급수는 산술 진행의 가장 간단한 예입니다.
산술 진행 외에도 고유 한 특성과 특성을 가진 기하학적 진행도 있습니다.
많은 사람들이 산술 진행에 대해 들어보았지만 모든 사람이 그것이 무엇인지 잘 알고 있는 것은 아닙니다. 이 기사에서는 해당 정의를 제공하고 산술 진행의 차이를 찾는 방법에 대한 질문을 고려하고 여러 예를 제공합니다.
수학적 정의
따라서 산술 또는 대수적 진행(이 개념은 동일한 것을 정의함)에 대해 이야기하고 있다면 다음 법칙을 충족하는 일련의 숫자가 있음을 의미합니다. 시리즈의 모든 인접한 두 숫자는 동일한 값만큼 다릅니다. 수학적으로 이것은 다음과 같이 작성됩니다.
여기서 n은 시퀀스에서 요소 a n의 수를 의미하고 숫자 d는 진행의 차이입니다(그 이름은 제시된 공식에서 따옴).
차이점을 안다는 것은 무엇을 의미합니까? 인접한 숫자가 얼마나 떨어져 있는지에 대한 정보입니다. 그러나 d에 대한 지식은 전체 진행을 결정(복원)하기 위한 필요 조건이지만 충분 조건은 아닙니다. 고려 중인 시리즈의 모든 요소(예: 4, a10)가 될 수 있는 숫자를 하나 더 알아야 하지만 일반적으로 첫 번째 숫자, 즉 1이 사용됩니다.
진행 요소를 결정하는 공식
일반적으로 위의 정보는 이미 특정 문제를 해결하기에 충분합니다. 그럼에도 불구하고 산술 진행이 주어지기 전에 그리고 그 차이를 찾아야 할 필요가 있을 것입니다. 우리는 몇 가지 유용한 공식을 제시하여 문제 해결의 후속 과정을 용이하게 합니다.
숫자 n을 가진 시퀀스의 모든 요소는 다음과 같이 찾을 수 있음을 쉽게 보여줍니다.
n \u003d a 1 + (n - 1) * d
실제로 모든 사람은 간단한 열거로 이 공식을 확인할 수 있습니다. n = 1로 대입하면 첫 번째 요소를 얻고, n = 2로 대입하면 표현식은 첫 번째 숫자와 차이의 합을 제공하는 식입니다.
많은 문제의 조건은 알려진 한 쌍의 숫자에 대해 숫자가 순서대로 제공되는 경우 전체 숫자 시리즈를 복원해야 하는 방식으로 컴파일됩니다(차이점과 첫 번째 요소 찾기). 이제 우리는 이 문제를 일반적인 방식으로 해결할 것입니다.
따라서 숫자 n과 m을 가진 두 개의 요소가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 위에서 얻은 공식을 사용하여 두 방정식 시스템을 구성할 수 있습니다.
n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
m = a 1 + (m - 1) * d
미지의 양을 찾기 위해 우리는 이러한 시스템을 풀기 위해 잘 알려진 간단한 방법을 사용합니다. 즉, 평등이 유효한 상태에서 왼쪽과 오른쪽 부분을 쌍으로 뺍니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
n - m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
따라서 우리는 하나의 미지수(1)를 제거했습니다. 이제 d를 결정하기 위한 최종 표현식을 작성할 수 있습니다.
d = (a n - m) / (n - m), 여기서 n > m
우리는 매우 간단한 공식을 얻었습니다. 문제의 조건에 따라 차이 d를 계산하려면 요소 자체와 일련 번호 간의 차이 비율만 취하면 됩니다. 한 가지 중요한 점에 주의를 기울여야 합니다. "시니어" 멤버와 "주니어" 멤버 간의 차이점, 즉 n> m("시니어" - 시퀀스의 시작 부분에서 더 멀리 서 있음을 의미하며 절대 값은 다음과 같을 수 있습니다. 다소 "젊은" 요소).
첫 번째 항의 값을 얻으려면 문제 해결의 시작 부분에서 진행의 차이 d에 대한 표현을 방정식 중 하나로 대체해야 합니다.
컴퓨터 기술 개발 시대에 많은 학생들이 인터넷에서 자신의 작업에 대한 솔루션을 찾으려고 하므로 이러한 유형의 질문이 자주 발생합니다. 온라인에서 산술 진행의 차이 찾기. 이러한 요청에 따라 검색 엔진은 여러 웹 페이지를 표시합니다. 이 페이지로 이동하면 조건에서 알려진 데이터를 입력해야 합니다(진행의 두 구성원 또는 일부의 합계일 수 있음) 즉시 답변을 얻을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 문제를 해결하기 위한 그러한 접근 방식은 학생의 발전과 그에게 할당된 과제의 본질을 이해하는 측면에서 비생산적입니다.
공식을 사용하지 않는 솔루션
위의 공식을 사용하지 않고 첫 번째 문제를 해결해 보겠습니다. 급수의 요소가 주어졌다고 하자: a6 = 3, a9 = 18. 산술 진행의 차이를 찾으십시오.
알려진 요소는 연속적으로 서로 가깝습니다. 가장 큰 것을 얻으려면 차이 d를 가장 작은 것에 몇 번 더해야 합니까? 세 번(처음 d를 추가하면 7번째 요소를 얻고, 두 번째에는 여덟 번째, 마지막으로 세 번째에는 아홉 번째 요소를 얻습니다.) 18이 되려면 3에 3을 더해야 하는 수는? 이것은 숫자 5입니다. 정말로:
따라서 알 수 없는 차이는 d = 5입니다.
물론 적절한 공식을 사용하여 솔루션을 수행할 수 있지만 이는 의도적으로 수행된 것은 아닙니다. 문제에 대한 자세한 설명은 산술 진행이 무엇인지에 대한 명확하고 생생한 예가 되어야 합니다.
이전 작업과 유사한 작업
이제 유사한 문제를 풀지만 입력 데이터를 변경해 보겠습니다. 따라서 a3 = 2, a9 = 19인지 찾아야 합니다.
물론 "이마에"해결 방법에 다시 의지 할 수 있습니다. 그러나 상대적으로 멀리 떨어져 있는 계열의 요소들이 주어지기 때문에 그러한 방법은 그다지 편리하지 않다. 그러나 결과 공식을 사용하면 빠르게 답을 얻을 수 있습니다.
d \u003d (a 9-a 3) / (9-3) \u003d (19-2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83
여기에서 최종 숫자를 반올림했습니다. 이 반올림으로 인해 오류가 발생한 정도는 결과를 확인하여 판단할 수 있습니다.
a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98
이 결과는 조건에 제공된 값과 0.1%만 다릅니다. 따라서 사용된 1/100으로 반올림하는 것이 좋은 선택으로 간주될 수 있습니다.
구성원에 대한 공식 적용 작업
미지수 d를 결정하는 문제의 고전적인 예를 고려해 보겠습니다. a1 = 12, a5 = 40인 경우 산술 진행의 차이를 찾습니다.
미지의 대수열의 두 숫자가 주어지고 그 중 하나가 원소 a 1 이면 길게 생각할 필요는 없지만 즉시 n 멤버에 대한 공식을 적용해야 합니다. 이 경우 다음이 있습니다.
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
나눌 때 정확한 수를 얻었으므로 이전 단락에서와 같이 계산 결과의 정확성을 확인하는 것은 의미가 없습니다.
또 다른 유사한 문제를 해결해 보겠습니다. a1 = 16, a8 = 37인 경우 산술 진행의 차이를 찾아야 합니다.
이전 방법과 유사한 접근 방식을 사용하고 다음을 얻습니다.
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
산술 진행에 대해 알아야 할 기타 사항
미지의 차이나 개별 요소를 찾는 문제 외에도 수열의 첫 번째 항의 합에 대한 문제를 해결해야 하는 경우가 많습니다. 이러한 문제에 대한 고려는 기사 주제의 범위를 벗어나지만 정보의 완전성을 위해 시리즈의 n 수의 합계에 대한 일반 공식을 제시합니다.
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + n) / 2
모든 자연수가 N 실수와 일치 엔 , 다음 그들은 주어진 숫자 시퀀스 :
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 엔 , . . . .
따라서 숫자 시퀀스는 자연 인수의 함수입니다.
숫자 ㅏ 1 ~라고 불리는 시퀀스의 첫 번째 멤버 , 숫자 ㅏ 2 — 시퀀스의 두 번째 멤버 , 숫자 ㅏ 3 — 제삼 등. 숫자 엔 ~라고 불리는 시퀀스의 n번째 멤버 , 그리고 자연수 N — 그의 번호 .
두 이웃 회원으로부터 엔 그리고 엔 +1 멤버 시퀀스 엔 +1 ~라고 불리는 후속 (쪽으로 엔 ), ㅏ 엔 — 이전 (쪽으로 엔 +1 ).
시퀀스를 지정하려면 임의의 숫자로 시퀀스 멤버를 찾을 수 있는 방법을 지정해야 합니다.
종종 순서는 다음과 같이 주어집니다. n번째 항 공식 , 즉 번호로 시퀀스 멤버를 결정할 수 있는 공식입니다.
예를 들어,
양의 홀수 시퀀스는 공식으로 주어질 수 있습니다.
엔= 2N- 1,
그리고 교대 순서 1 그리고 -1 - 공식
비 N = (-1)N +1 . ◄
순서를 결정할 수 있다 반복 공식, 즉, 일부에서 시작하여 이전(하나 이상의) 구성원을 통해 시퀀스의 모든 구성원을 표현하는 공식입니다.
예를 들어,
만약 ㅏ 1 = 1 , ㅏ 엔 +1 = 엔 + 5
ㅏ 1 = 1,
ㅏ 2 = ㅏ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ㅏ 3 = ㅏ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ㅏ 4 = ㅏ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ㅏ 5 = ㅏ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
만약 1= 1, 2 = 1, 엔 +2 = 엔 + 엔 +1 , 숫자 시퀀스의 처음 7개 멤버는 다음과 같이 설정됩니다.
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ㅏ 6 = ㅏ 4 + ㅏ 5 = 3 + 5 = 8,
ㅏ 7 = ㅏ 5 + ㅏ 6 = 5 + 8 = 13. ◄
시퀀스 수 결정적인 그리고 끝없는 .
시퀀스라고 하는 궁극적인 제한된 수의 구성원이 있는 경우. 시퀀스라고 하는 끝없는 무한히 많은 구성원이 있는 경우.
예를 들어,
두 자리 자연수의 시퀀스:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
결정적인.
소수 시퀀스:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
끝없는. ◄
시퀀스라고 합니다 증가 , 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 큰 경우.
시퀀스라고 합니다 쇠약해지는 , 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 작은 경우.
예를 들어,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . 오름차순입니다.
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . 내림차순입니다. ◄
숫자가 증가함에 따라 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 시퀀스를 호출합니다. 단조로운 시퀀스 .
특히 단조 시퀀스는 증가 시퀀스와 감소 시퀀스입니다.
산술 진행
산술 진행 시퀀스가 호출되며, 각 멤버는 두 번째 멤버부터 시작하여 동일한 번호가 추가된 이전 멤버와 동일합니다.
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 엔, . . .
임의의 자연수에 대한 산술 진행입니다. N 조건 충족:
엔 +1 = 엔 + 디,
어디 디 - 어떤 숫자.
따라서 주어진 산술 진행의 다음 요소와 이전 요소 간의 차이는 항상 일정합니다.
2 - ㅏ 1 = 3 - ㅏ 2 = . . . = 엔 +1 - 엔 = 디.
숫자 디 ~라고 불리는 산술 진행의 차이.
산술 진행을 설정하려면 첫 번째 항과 차를 지정하는 것으로 충분합니다.
예를 들어,
만약 ㅏ 1 = 3, 디 = 4 , 시퀀스의 처음 5개 항은 다음과 같이 찾습니다.
1 =3,
2 = 1 + 디 = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + 디= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + 디= 11 + 4 = 15,
ㅏ 5 = ㅏ 4 + 디= 15 + 4 = 19. ◄
첫 번째 항을 사용한 산술 진행의 경우 ㅏ 1 그리고 차이 디 그녀의 N
엔 = 1 + (N- 1)디.
예를 들어,
산술 진행의 30번째 항을 구하다
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, 디 = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (N- 2)디,
엔= 1 + (N- 1)디,
엔 +1 = ㅏ 1 + nd,
그럼 분명히
| 엔=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
두 번째부터 시작하여 산술 진행의 각 요소는 이전 및 후속 요소의 산술 평균과 같습니다.
숫자 a, b 및 c는 그 중 하나가 다른 둘의 산술 평균과 같은 경우에만 일부 산술 진행의 연속적인 구성원입니다.
예를 들어,
엔 = 2N- 7 , 는 산술 진행입니다.
위의 문장을 사용해보자. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
엔 = 2N- 7,
n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
따라서,
| n+1 + n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = 엔,
|
| 2
| 2
|
◄
참고 N - 산술 진행의 멤버는 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. ㅏ 1 , 그러나 또한 이전 케이
엔 = 케이 + (N- 케이)디.
예를 들어,
~을 위한 ㅏ 5 쓸 수 있다
5 = 1 + 4디,
5 = 2 + 3디,
5 = 3 + 2디,
5 = 4 + 디. ◄
엔 = 엔케이 + kd,
엔 = n+k - kd,
그럼 분명히
| 엔=
| ㅏ n-k
+ 에이 n+k
|
| 2
|
두 번째부터 시작하는 산술 진행의 모든 구성원은 이 산술 진행의 구성원 합계의 절반과 동일하게 간격을 두고 있습니다.
또한 모든 산술 진행에 대해 평등은 참입니다.
에이엠 + 엔 = 에이 k + 에르,
m + n = k + l.
예를 들어,
산술 진행에서
1) ㅏ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ㅏ 9 + ㅏ 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7디= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) 2 + 12 = 5 + 9, ~처럼
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
에스앤= 1 + 2 + 3 + . . .+ 엔,
첫 번째 N 산술 진행의 구성원은 항의 수로 극단 항의 합을 반으로 곱한 것과 같습니다.
이로부터 특히 다음과 같이 조건을 합산해야 하는 경우
케이, 케이 +1 , . . . , 엔,
그러면 이전 공식은 구조를 유지합니다.
예를 들어,
산술 진행에서 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
에스 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 에스 10 - 에스 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
산술 진행이 주어지면 수량 ㅏ 1 , 엔, 디, N그리고에스 N 두 공식으로 연결:
따라서 이러한 양 중 세 개의 값이 주어지면 다른 두 양의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.
산술 진행은 단조 시퀀스입니다. 여기서:
- 만약 디 > 0 , 그 다음 증가하고 있습니다.
- 만약 디 < 0 , 그러면 감소하고 있습니다.
- 만약 디 = 0 , 그러면 시퀀스가 고정됩니다.
기하학적 진행
기하학적 진행 시퀀스가 호출되며, 각 용어는 두 번째 항목부터 시작하여 이전 항목과 같으며 동일한 숫자를 곱합니다.
비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . , 비앤, . . .
임의의 자연수에 대한 기하학적 진행입니다. N 조건 충족:
비앤 +1 = 비앤 · 큐,
어디 큐 ≠ 0 - 어떤 숫자.
따라서 이 기하학적 진행의 다음 항과 이전 항의 비율은 상수입니다.
비 2 / 비 1 = 비 3 / 비 2 = . . . = 비앤 +1 / 비앤 = 큐.
숫자 큐 ~라고 불리는 기하학적 진행의 분모.
기하학적 진행을 설정하려면 첫 번째 항과 분모를 지정하는 것으로 충분합니다.
예를 들어,
만약 비 1 = 1, 큐 = -3 , 시퀀스의 처음 5개 항은 다음과 같이 찾습니다.
나 1 = 1,
나 2 = 나 1 · 큐 = 1 · (-3) = -3,
나 3 = 나 2 · 큐= -3 · (-3) = 9,
나 4 = 나 3 · 큐= 9 · (-3) = -27,
비 5 = 비 4 · 큐= -27 · (-3) = 81. ◄
비 1 그리고 분모 큐 그녀의 N -번째 항은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
비앤 = 비 1 · q n -1 .
예를 들어,
기하학적 진행의 일곱 번째 항을 찾으십시오 1, 2, 4, . . .
비 1 = 1, 큐 = 2,
비 7 = 비 1 · 큐 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = 나 1 · q n -2 ,
비앤 = 나 1 · q n -1 ,
비앤 +1 = 비 1 · q n,
그럼 분명히
비앤 2 = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,
두 번째부터 시작하는 기하학적 진행의 각 요소는 이전 및 후속 요소의 기하 평균(비례)과 같습니다.
그 반대도 참이므로 다음 주장이 성립합니다.
숫자, b 및 c는 그 중 하나의 제곱이 다른 둘의 곱과 같을 때, 즉 숫자 중 하나가 다른 둘의 기하학적 평균인 경우에만 일부 기하학적 진행의 연속적인 구성원입니다.
예를 들어,
공식에 의해 주어진 시퀀스를 증명하자 비앤= -3 2 N , 는 기하학적 진행입니다. 위의 문장을 사용해보자. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
비앤= -3 2 N,
비앤 -1 = -3 2 N -1 ,
비앤 +1 = -3 2 N +1 .
따라서,
비앤 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,
이는 필요한 주장을 증명합니다. ◄
참고 N 기하학적 진행의 th 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. 비 1 , 뿐만 아니라 이전 용어 b k , 공식을 사용하는 것으로 충분합니다.
비앤 = b k · q n - 케이.
예를 들어,
~을 위한 비 5 쓸 수 있다
ㄴ 5 = 나 1 · 큐 4 ,
ㄴ 5 = 나 2 · 질문 3,
ㄴ 5 = 나 3 · Q2,
ㄴ 5 = 나 4 · 큐. ◄
비앤 = b k · q n - 케이,
비앤 = 비앤 - 케이 · ㅁㅁ,
그럼 분명히
비앤 2 = 비앤 - 케이· 비앤 + 케이
두 번째부터 시작하여 기하학적 진행의 모든 구성원의 제곱은 그로부터 등거리에 있는 이 진행의 구성원의 곱과 같습니다.
또한 모든 기하학적 진행에 대해 평등은 참입니다.
비엠· 비앤= b k· 비엘,
중+ N= 케이+ 엘.
예를 들어,
기하급수적으로
1) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = 비 5 · 비 7 ;
2) 1024 = 비 11 = 비 6 · 큐 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = 비 4 · 비 8 ;
4) 비 2 · 비 7 = 비 4 · 비 5 , ~처럼
비 2 · 비 7 = 2 · 64 = 128,
비 4 · 비 5 = 8 · 16 = 128. ◄
에스앤= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . + 비앤
첫 번째 N 분모가 있는 기하학적 진행의 구성원 큐 ≠ 0 공식에 의해 계산:
그리고 언제 큐 = 1 - 공식에 따라
에스앤= ㄴ.b. 1
조건을 합산해야 하는 경우
b k, b k +1 , . . . , 비앤,
다음 공식이 사용됩니다.
| 에스앤- 에스케이 -1 = b k + b k +1 + . . . + 비앤 = b k · | 1 - q n -
케이 +1
| . |
| 1 - 큐
|
예를 들어,
기하급수적으로 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
에스 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = 에스 10 - 에스 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
기하학적 진행이 주어지면 수량은 다음과 같습니다. 비 1 , 비앤, 큐, N그리고 에스앤 두 공식으로 연결:
따라서 이러한 양 중 세 개의 값이 주어지면 다른 두 양의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.
첫 번째 항이 있는 기하학적 진행의 경우 비 1 그리고 분모 큐 다음이 일어난다 단조 속성 :
- 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 증가합니다.
비 1 > 0 그리고 큐> 1;
비 1 < 0 그리고 0 < 큐< 1;
- 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 감소합니다.
비 1 > 0 그리고 0 < 큐< 1;
비 1 < 0 그리고 큐> 1.
만약 큐< 0 , 그러면 기하학적 진행은 부호 교대입니다. 홀수 항은 첫 번째 항과 동일한 부호를 가지며 짝수 항은 반대 부호를 갖습니다. 교대하는 기하학적 진행이 단조롭지 않다는 것은 분명합니다.
최초의 제품 N 기하학적 진행의 항은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
P n= 나 1 · 나 2 · 나 3 · . . . · 비앤 = (나 1 · 비앤) N / 2 .
예를 들어,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
무한히 감소하는 기하학적 진행
무한히 감소하는 기하학적 진행 분모 계수가 다음보다 작은 무한 기하 진행이라고 합니다. 1 , 즉
|큐| < 1 .
무한히 감소하는 기하학적 진행은 감소 시퀀스가 아닐 수 있습니다. 이것은 케이스에 맞습니다
1 < 큐< 0 .
이러한 분모를 사용하면 시퀀스는 부호가 번갈아 나타납니다. 예를 들어,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
무한히 감소하는 기하학적 진행의 합 첫 번째의 합이 되는 숫자의 이름을 지정하십시오. N 숫자의 무제한 증가와 진행 조건 N . 이 숫자는 항상 유한하며 다음 공식으로 표현됩니다.
| 에스= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . = | 비 1
| . |
| 1 - 큐
|
예를 들어,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
산술과 기하학적 진행 사이의 관계
산술 및 기하학적 진행은 밀접하게 관련되어 있습니다. 두 가지 예만 살펴보겠습니다.
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . 디 , 그 다음에
에이 1 , 에이 2 , 에이 3 , . . . b d .
예를 들어,
1, 3, 5, . . . — 차이가 있는 산술 진행 2 그리고
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . 분모가 있는 기하학적 진행입니다. 7 2 . ◄
비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . 분모가 있는 기하학적 진행입니다. 큐 , 그 다음에
로그 a b 1, 로그 a b 2, 로그 a b 3, . . . — 차이가 있는 산술 진행 기록하다큐 .
예를 들어,
2, 12, 72, . . . 분모가 있는 기하학적 진행입니다. 6 그리고
엘지 2, 엘지 12, 엘지 72, . . . — 차이가 있는 산술 진행 엘지 6 . ◄
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