첫 번째 수준

산술 진행. 상세한 이론예와 함께(2019)

숫자 시퀀스

자, 이제 앉아서 몇 가지 숫자를 쓰기 시작하겠습니다. 예를 들어:
아무 숫자나 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(이 경우에는 숫자). 우리가 얼마나 많은 숫자를 쓰든, 우리는 항상 그 중 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지, 마지막까지 계속 말할 수 있습니다. 즉, 우리는 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스
예를 들어 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 하나의 시퀀스 번호에만 해당됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(-th 숫자와 같은)는 항상 동일합니다.
숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 -번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 일부 문자(예:)라고 부르고 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자를 호출합니다.

우리의 경우:

우리가 가지고 있다고 가정 해 봅시다. 숫자 시퀀스, 이웃하는 숫자의 차이는 동일하고 동일합니다.
예를 들어:

등.
이러한 수열을 산술 진행이라고 합니다.
"진보"라는 용어는 이미 6세기에 로마 작가 보에티우스에 의해 도입되었으며 더 많은 의미로 이해되었습니다. 넓은 의미, 무한 수열로. "산술"이라는 이름은 고대 그리스인들이 종사했던 연속 비율 이론에서 옮겨졌습니다.

이것은 각 구성원이 이전 구성원과 동일하고 동일한 숫자가 추가된 숫자 순서입니다. 이 숫자를 산술 진행의 차라고 하며 표시됩니다.

어떤 숫자 시퀀스가 ​​산술 수열이고 어떤 것이 아닌지 확인하십시오.

ㅏ)
비)
씨)
디)

알았다? 답변 비교:
이다산술 진행 - b, c.
아니다산술 진행 - a, d.

주어진 진행()으로 돌아가서 그것의 th 멤버의 값을 찾아보자. 존재하다 둘찾는 방법.

1. 방법

진행의 -항에 도달할 때까지 진행 번호의 이전 값에 추가할 수 있습니다. 요약할 내용이 많지 않은 것이 좋습니다. 세 가지 값만 있습니다.

따라서 설명 된 산술 진행의 - 번째 멤버는 동일합니다.

2. 방법

진행의 항의 값을 찾아야 한다면 어떻게 될까요? 합산하는 데 한 시간 이상이 걸렸을 것이며 숫자를 추가할 때 실수를 하지 않았을 것이라는 것은 사실이 아닙니다.
물론 수학자들은 산술 진행의 차이를 이전 값에 더할 필요가 없는 방법을 생각해 냈습니다. 그려진 그림을 자세히 살펴보십시오 ... 확실히 당신은 이미 특정 패턴, 즉 다음을 발견했습니다.

예를 들어, 이 산술 진행의 -th 멤버의 값을 구성하는 것이 무엇인지 봅시다.


다시 말해:

이 산술 진행의 구성원의 값을 이런 식으로 독립적으로 찾으려고 시도하십시오.

계획된? 귀하의 항목을 답변과 비교하십시오.

이전 값에 산술 진행의 구성원을 연속적으로 추가할 때 이전 방법에서와 정확히 동일한 숫자를 얻었다는 점에 유의하십시오.
"비인격화"를 시도하자 이 공식- 그녀를 데려오다 일반적인 형태그리고 얻다:

산술 진행 방정식.

산술 진행은 증가하거나 감소합니다.

증가- 항의 각 후속 값이 이전 값보다 큰 진행.
예를 들어:

내림차순- 항의 각 후속 값이 이전 값보다 작은 진행.
예를 들어:

파생 공식은 산술 진행의 증가 및 감소 항 모두에서 항을 계산하는 데 사용됩니다.
실전에서 확인해보자.
다음 숫자로 구성된 산술 진행이 주어집니다.

그때부터:

따라서 우리는 공식이 산술 진행의 감소와 증가 모두에서 작동한다고 확신했습니다.
이 산술 진행의 -th 및 -th 멤버를 직접 찾아보십시오.

결과를 비교해 보겠습니다.

산술 진행 속성

작업을 복잡하게 합시다. 산술 진행의 속성을 도출합니다.
다음과 같은 조건이 주어졌다고 가정합니다.
- 산술 진행, 값을 찾습니다.
당신이 이미 알고 있는 공식에 따라 계산을 시작하는 것은 쉽습니다.

하자, 그럼:

확실히 맞아. 우리가 먼저 찾은 다음 첫 번째 숫자에 추가하고 우리가 찾고 있는 것을 얻습니다. 진행이 작은 값으로 표시되면 복잡한 것은 없지만 조건에 숫자가 주어지면 어떻게 될까요? 동의합니다. 계산에 실수를 할 가능성이 있습니다.
이제 어떤 공식을 사용하여 이 문제를 한 번에 해결할 수 있습니까? 물론 그렇습니다. 우리는 지금 그것을 꺼내려고 노력할 것입니다.

산술 진행의 원하는 항을 다음과 같이 표시해 보겠습니다. 구하는 공식을 알고 있습니다. 이것은 처음에 도출한 것과 동일한 공식입니다.
, 그 다음에:

• 진행의 이전 구성원은 다음과 같습니다.
• 다음 진행 기간은 다음과 같습니다.

진행의 이전 및 다음 구성원을 요약해 보겠습니다.

진행의 이전 및 후속 멤버의 합은 그들 사이에 위치한 진행의 멤버 값의 2배임이 밝혀졌습니다. 즉, 알려진 이전 값과 연속 값을 가진 진행 멤버의 값을 찾으려면 더하고 나누어야 합니다.

맞습니다, 우리는 같은 번호를 얻었습니다. 재료를 수정합시다. 전혀 어렵지 않기 때문에 진행 값을 직접 계산하십시오.

잘하셨어요! 당신은 진행에 대한 거의 모든 것을 알고 있습니다! 전설에 따르면 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명인 "수학자의 왕"인 칼 가우스 (Karl Gauss)가 쉽게 추론 한 단 하나의 공식을 찾는 것이 남아 있습니다 ...

Carl Gauss가 9살이었을 때, 다른 반 학생들의 과제물을 확인하느라 바쁘던 교사는 수업 시간에 다음과 같은 과제를 물었습니다. " 1분 후 그의 학생 중 한 명(Karl Gauss)이 과제에 정답을 냈을 때 교사는 놀랐지만 오랜 계산 끝에 무모한 반 친구들 대부분이 잘못된 결과를 받았을 때 ...

Young Carl Gauss는 쉽게 알아차릴 수 있는 패턴을 발견했습니다.
-ti 멤버로 구성된 산술 진행이 있다고 가정해 보겠습니다. 산술 진행에서 주어진 멤버의 합을 찾아야 합니다. 물론 모든 값을 수동으로 합산할 수 있지만 가우스가 찾던 것처럼 작업에서 해당 항의 합을 찾아야 하는 경우 어떻게 해야 합니까?

우리에게 주어진 진행 상황을 묘사합시다. 강조 표시된 숫자를 자세히보고 다양한 수학 연산을 수행하십시오.


시험을 마친? 무엇을 눈치채셨나요? 바르게! 그들의 합은 같다

이제 대답하십시오. 그러한 쌍이 몇 개나 진행됩니까? 우리에게 주어질 것입니다. 물론 모든 숫자의 정확히 절반입니다.
산술 진행의 두 요소의 합이 동일하고 유사한 동일한 쌍이라는 사실에 기초하여 다음을 얻습니다. 총액와 동등하다:
.
따라서 모든 산술 진행의 첫 번째 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

일부 문제에서는 용어를 모르지만 진행 차이는 알고 있습니다. 합계 공식에서 th 멤버의 공식으로 대체해 보십시오.
무엇을 얻었습니까?

잘하셨어요! 이제 Carl Gauss에게 주어진 문제로 돌아가 봅시다. -th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지, -th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지 스스로 계산하십시오.

얼마 받았어요?
가우스는 항의 합이 같고 항의 합이 같다는 것을 알아냈습니다. 그렇게 결정하셨나요?

사실 등수수열의 합에 대한 공식은 3세기 고대 그리스의 과학자 디오판토스에 의해 증명되었고, 이 기간 동안 재치 있는 사람들은 등수수열의 성질을 이용하였다.
예를 들어, 상상 고대 이집트그리고 그 당시 가장 큰 건설 현장 - 피라미드 건설 ... 그림은 그 한면을 보여줍니다.

여기서 말하는 진행은 어디입니까? 피라미드 벽의 각 행에 있는 모래 블록의 수를 잘 살펴보고 패턴을 찾으십시오.


산술 진행이 아닌 이유는 무엇입니까? 블록 벽돌이 바닥에 놓이면 하나의 벽을 만드는 데 필요한 블록의 수를 세십시오. 모니터에서 손가락을 움직여 계산하지 않기를 바랍니다. 마지막 공식과 산술 진행에 대해 말한 모든 것을 기억하십니까?

이 경우 진행 상황은 다음과 같습니다.
산술 진행 차이.
산술 진행의 구성원 수입니다.
데이터를 마지막 공식으로 대체합시다(블록 수를 2가지 방식으로 계산함).

방법 1.

방법 2.

이제 모니터에서 계산할 수도 있습니다. 얻은 값을 피라미드에있는 블록 수와 비교하십시오. 동의했습니까? 잘 했습니다. 산술 진행의 th 항의 합을 마스터했습니다.
물론 바닥에 있는 블록으로 피라미드를 만들 수는 없지만, 이 조건으로 벽을 짓는 데 필요한 모래 벽돌의 수를 계산해 보십시오.
관리하셨나요?
정답은 블록입니다.

운동하다

작업:

1. Masha는 여름을 위해 몸매를 가꾸고 있습니다. 그녀는 매일 스쿼트 횟수를 늘립니다. Masha는 첫 번째 운동에서 스쿼트를 한 경우 몇 주 동안 스쿼트를 할 것입니다.
2. 에 포함된 모든 홀수의 합은 얼마입니까?
3. 통나무를 저장할 때 벌목꾼은 각각의 상층이전 로그보다 하나 적은 로그를 포함합니다. 벽돌의 기초가 통나무인 경우 한 벽돌에 몇 개의 통나무가 있는지.

대답:

1. 산술 진행의 매개변수를 정의합시다. 이 경우
   (주 = 일).

   답변: 2주 안에 Masha는 하루에 한 번 스쿼트를 해야 합니다.

2. 첫 번째 홀수, 마지막 번호.
   산술 진행 차이.
   그러나 -반의 홀수 개수는 산술 진행의 -번째 구성원을 찾는 공식을 사용하여 이 사실을 확인하십시오.

   숫자에는 홀수가 포함되어 있습니다.
   사용 가능한 데이터를 공식으로 대체합니다.

   답변:에 포함된 모든 홀수의 합은 다음과 같습니다.

3. 피라미드에 대한 문제를 기억하십시오. 우리의 경우 , 각 최상위 레이어가 하나의 로그만큼 줄어들기 때문에 레이어가 많이 있습니다.
   공식의 데이터를 대체합니다.

   답변:벽돌에 통나무가 있습니다.

합산

1. - 인접한 숫자의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스. 증가하고 감소하고 있습니다.
2. 공식 찾기산술 진행의 th 멤버는 공식으로 작성됩니다. 여기서 는 진행의 숫자 수입니다.
3. 산술 진행의 구성원의 속성- - 여기서 - 진행에 있는 숫자의 수입니다.
4. 산술 진행의 구성원의 합두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다.
   
   , 여기서 값의 수입니다.

산술 진행. 중급

숫자 시퀀스

앉아서 숫자를 쓰기 시작합시다. 예를 들어:

아무 숫자나 쓸 수 있고 원하는 만큼 많이 쓸 수 있습니다. 그러나 당신은 항상 그들 중 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지 등을 말할 수 있습니다. 이것은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스는 각각 고유한 번호를 할당할 수 있는 일련의 숫자입니다.

다시 말해, 각 숫자는 특정 자연수와 연결될 수 있으며 오직 하나입니다. 그리고 우리는 이 번호를 이 세트의 다른 번호에 할당하지 않을 것입니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 -번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 일부 문자(예:)라고 부르고 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자를 호출합니다.

시퀀스의 -번째 멤버가 어떤 공식으로 주어질 수 있다면 매우 편리합니다. 예를 들어, 공식

순서를 설정합니다:

그리고 공식은 다음과 같은 순서입니다.

예를 들어, 산술 진행은 시퀀스입니다(여기서 첫 번째 항은 같음, 차이). 또는 (, 차이).

n번째 항 공식

th 항을 찾기 위해 이전 또는 여러 이전 항목을 알아야 하는 수식과 같은 순환 수식을 호출합니다.

예를 들어 이러한 공식을 사용하여 진행의 th 항을 찾으려면 이전 9를 계산해야 합니다. 예를 들어, 하자. 그 다음에:

자, 이제 공식이 무엇인지 명확해졌습니까?

각 줄에 몇 가지 숫자를 곱하여 더합니다. 무엇을 위해? 매우 간단합니다. 이것은 현재 구성원의 수에서 다음을 뺀 것입니다.

이제 훨씬 편해졌죠? 우리는 다음을 확인합니다:

스스로 결정하십시오:

산술 진행에서 n번째 항에 대한 공식을 찾고 100번째 항을 찾습니다.

결정:

첫 번째 항은 동일합니다. 그리고 차이점은 무엇입니까? 다음은 다음과 같습니다.

(결국 진행의 연속 구성원의 차와 같기 때문에 차이라고 합니다).

따라서 공식은 다음과 같습니다.

그러면 백 번째 항은 다음과 같습니다.

에서 까지의 모든 자연수의 합은 얼마입니까?

전설에 따르면 9세 소년인 위대한 수학자 Carl Gauss는 몇 분 만에 이 양을 계산했습니다. 그는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합이 같고, 두 번째 숫자와 끝에서 두 번째 숫자의 합이 같고, 끝에서 세 번째 숫자와 세 번째 숫자의 합이 같은 식이라는 것을 알아냈습니다. 그런 쌍이 몇 개나 있습니까? 맞습니다. 정확히 모든 숫자의 절반입니다. 그래서,

모든 산술 진행의 첫 번째 항의 합에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.

예시:
모든 두 자리 배수의 합을 구합니다.

결정:

그러한 첫 번째 숫자는 이것입니다. 각 다음은 이전 숫자에 숫자를 추가하여 얻습니다. 따라서 우리가 관심을 갖는 숫자는 첫 번째 항과 그 차와 함께 산술적 진행을 형성합니다.

이 진행에 대한 th 항의 공식은 다음과 같습니다.

모두 두 자리 숫자여야 하는 경우 진행 중인 용어는 몇 개입니까?

아주 쉽게: .

진행의 마지막 기간은 동일합니다. 그런 다음 합계:

답변: .

이제 스스로 결정하십시오.

1. 매일 선수는 전날보다 1m 더 뛴다. 첫날에 kmm를 달렸다면 몇 주 동안 몇 킬로미터를 달릴까요?
2. 자전거 타는 사람은 이전보다 매일 더 많은 마일을 타게 됩니다. 첫날 그는 킬로미터를 여행했습니다. 1킬로미터를 주행하려면 며칠을 운전해야 합니까? 그는 여행의 마지막 날에 몇 킬로미터를 여행하게 될까요?
3. 매장의 냉장고 가격은 매년 같은 금액만큼 인하됩니다. 냉장고 가격이 매년 루블에 판매된 후 6년 후 루블에 판매된 경우 매년 얼마나 하락했는지 확인하십시오.

대답:

1. 여기서 가장 중요한 것은 산술 진행을 인식하고 그 매개변수를 결정하는 것입니다. 이 경우 (주 = 일). 이 진행의 첫 번째 항의 합계를 결정해야 합니다.
   .
   답변:
2. 여기에 제공됩니다 : 찾을 필요가 있습니다.
   분명히 이전 문제와 동일한 합계 공식을 사용해야 합니다.
   .
   값을 대체합니다.

   루트는 분명히 맞지 않으므로 대답합니다.
   -th 멤버의 공식을 사용하여 마지막 날에 이동한 거리를 계산해 보겠습니다.
   (km).
   답변:

3. 주어진: . 찾다: .
   더 쉬워지지 않습니다:
   (장애).
   답변:

산술 진행. 메인에 대한 간략한 소개

이것은 인접한 숫자의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스입니다.

산술 진행은 증가() 및 감소()입니다.

예를 들어:

산술 진행의 n번째 멤버를 찾는 공식

는 수식으로 작성되며, 여기서 는 진행 중인 숫자의 수입니다.

산술 진행의 구성원의 속성

인접한 구성원이 알려진 경우 진행의 구성원을 쉽게 찾을 수 있습니다. 여기서 는 진행의 숫자입니다.

산술 진행의 구성원의 합

합계를 찾는 두 가지 방법이 있습니다.

값의 수는 어디에 있습니까?

값의 수는 어디에 있습니까?

4과

과목명 대수학

클래스9

UMK 대수학. 9학년 오후 2시 1부. 학생 교재 교육 기관/ A.G. 모르드코비치. -M.: Mnemosyne, 2012-160 p. 2부. 교육기관 학생을 위한 과제집 [A. G. Mordkovich 및 기타]; 에드. A. G. 모르드코비치. - M.: Mnemosyne, 2012 - 270

기본 교육 수준

수업 주제 " 산술 진행의 특성"

주제 5 연구에 할애한 총 시간 수

주제 4에 대한 수업 시스템의 수업 장소

수업의 목적:
산술 진행의 구성원의 특성 속성에 대해 알고 있습니다.

작업 수업:
1) 교육 - 추론 및 증명 특성 속성산술 진행; 문제 해결에 산술 진행의 속성을 적용하는 능력 형성
2) 발달 - 수학적 개념을 비교하고 유사점과 차이점을 찾는 능력, 관찰하는 능력, 패턴을 알아차리는 능력, 유추에 의한 추론 능력을 개발합니다. 구축하고 해석하는 능력을 개발 수학적 모델어떤 실제 상황.
3) 교육적 - 수학 및 수학의 응용, 활동, 의사 소통 능력에 대한 관심 개발을 촉진하고 자신의 견해를 합리적으로 옹호합니다.

장비:컴퓨터, 멀티미디어 프로젝터, 프레젠테이션

예상 결과: 이 단원에서는 산술 진행의 구성원 간의 관계를 설정하고 산술 진행의 속성을 사용하는 문제를 해결해야 합니다.

Ⅱ. 학생들의 지식 실현

전면 투표:

산술 진행이란 무엇입니까?

산술 진행은 어떻게 정의됩니까?

- 수식 이름 지정 피산술 진행의 멤버입니다.

2. 수학 받아쓰기 (과제는 카드로 배부됨)

1 옵션

№1. 산술 진행이 주어졌을 때

1;4;7;11;…

№2. ㅏ 1 =, 디= 11 찾기 -?

№3. 다음과 같은 경우 산술 진행(a n)의 처음 100개 항의 합(S)을 구합니다. ㅏ 1 =-9, 디=4

옵션 2

1. 산술 진행이 주어집니다.

9;6;3;0;;… 첫 번째 용어와 차이점을 찾으십시오.

№2. ㅏ 1 =0,2, 디= .찾다 ㅏ 11 - ?

3. 다음과 같은 경우 산술 진행(a n)의 처음 100개 항의 합(S)을 구합니다. ㅏ 1 =70, 디=-1

III. 새로운 자료를 학습합니다. (슬라이드 1-3)

1. 산술 진행을 고려하십시오( 엑스 피): 2; 5; 8; 11; 14.

3연속 진행의 멤버들 사이에 연관성이 있는지 알아볼까요? 이 연결을 직접 하는 것이 좋습니다. 이를 위해 우리는 연구 작업.

= (5.)

= (8.)

= (11.)

산술 진행의 구성원 사이의 관계에 대해 어떤 결론을 내릴 수 있습니까?

결론: "두 번째부터 시작하는 산술 진행의 각 요소는 이전 및 후속 요소의 산술 평균과 같습니다."

2. 특정 시퀀스를 고려하여 이를 가정했으므로 이 진술은 다음과 같이 증명되어야 합니다.

하자 ( 엑스 피)는 산술 진행이며,

엑스 피 – 엑스 피 – 1 = 엑스 피 + 1 – 엑스 피, 즉

2엑스 피 = 엑스 피 – 1 + 엑스 피 + 1 ,

엑스 피 =

지불해야 특별한 주의학생들은 이 진술이 특성산술 진행. 그리고 우리가 그 반대 진술을 공식화하고 그것을 증명할 수 있다면 그것을 무엇이라고 부를까요? 이것은 징후산술 진행: "만약 시퀀스( 엑스 피) 두 번째부터 시작하는 각 항이 이전 및 후속 항의 산술 평균과 같으면 이 시퀀스는 산술 진행입니다.

하자 엑스 피 =
, 어디 피≥ 2, 다음 2 엑스 피 = 엑스 피 – 1 + 엑스 피 + 1,

엑스 피 – 엑스 피 – 1 = 엑스 피 + 1 – 엑스 피, 즉, 시퀀스의 다음 멤버와 이전 멤버 간의 차이( 엑스 피)는 일정하게 유지됩니다. 수단, ( 엑스 피)는 산술 진행입니다.

IV. 기술과 능력의 형성.

산술 진행의 특성 속성을 사용하여 구두로 #16.40을 풉니다.

ㅏ)
그 다음에

비)
그 다음에 ㅏ 18 + ㅏ 20 = 2  ㅏ 19 = 2  5 = 10;

2. 그 자리에서 댓글로 16.42(b)번을 푼다.

만약 ㅏ 14 + ㅏ 16 = -20, 그러면 ㅏ 15 = –20: 2 = –10;

만약 ㅏ 29 + ㅏ 31 = 40 그러면 ㅏ 30 = 40: 2 = 20;

찾자 ㅏ 15 + ㅏ 30 = –10 + 20 = 10.

답: 10.

3. 칠판과 공책에 있는 숫자 16.44를 풉니다.

특성 속성에 따라 주어진 표현식은 다음 관계를 만족해야 합니다.

2~에 = 5~에 – 3; 3~에 = 3; ~에 = 1.

답: 1.

4. 해결 #16.46. 해결책은 교사가 설명합니다.

ㅏ) 그것은 관하여유한 산술 진행(104)의 멤버의 합에 관하여; 112; 120; … 992. 이 진행 상황은 ㅏ 1 = 104; ㅏ N = 992; 디= 8. 먼저 우리가 찾는 N(진행의 구성원 수):

ㅏ N = ㅏ 1 + (N –1)디; 992 = 104 + (N – 1)  8;

992 = 8N + 96; N = 112.

답: 61376.

5. 칠판과 공책에 있는 16.48 (b, d)번 문제를 풉니다.

비) ㅏ 9 = –30; ㅏ 19 = -45. 찾자 ㅏ N .

ㅏ N = ㅏ 1 + (N – 1)디= –18 + (N – 1)(–1,5) = –1,5N – 16,5.

G) ㅏ 5 = 0,2; ㅏ 16 = -7.5. 찾자 ㅏ N .

ㅏ N = 3 – 0,7(N– 1).

답변: b) –18 – 1.5( N- 하나); d) 3 – 0.7( N– 1).

6. 16.68번  . 해결책은 교사가 설명합니다.

산술 진행의 특성을 사용하여 방정식을 얻습니다.
엑스 – 3 =
= (엑스– 5) 2 ; 엑스 2 – 11엑스 + 28 = 0; 엑스 1 = 7; 엑스 2 \u003d 4 - 만족하지 않는 외부 루트 비합리적인 방정식

답: 7.

V. 수업의 결과.

h a shch 및 m s i의 질문:

- 산술 진행의 속성을 공식화합니다.

예를 들어 시퀀스 \(2\); \(5\); \(여덟\); \(열하나\); \(14\)… 는 산술 진행입니다. 각각의 다음 요소가 이전 요소와 3만큼 다르기 때문입니다(3을 추가하여 이전 요소에서 얻을 수 있음).

이 진행에서 차이 \(d\)는 양수(\(3\)와 같음)이므로 각 다음 항은 이전 항보다 큽니다. 이러한 진행을 증가.

그러나 \(d\)는 음수일 수도 있습니다. 예를 들어, 산술 진행에서 \(16\); \(십\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… 진행 차이 \(d\)는 빼기 6과 같습니다.

그리고 이 경우 각 다음 요소는 이전 요소보다 작습니다. 이러한 진행을 감소.

산술 진행 표기법

진행은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

진행을 형성하는 숫자를 회원(또는 요소).

그것들은 산술 진행과 같은 문자로 표시되지만 순서대로 요소 번호와 동일한 숫자 인덱스가 있습니다.

예를 들어, 산술 진행 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)은 \(a_1=2\) 요소로 구성됩니다. \(a_2=5\); \(a_3=8\) 등등.

즉, 진행에 대해 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

산술 진행 문제 풀기

원칙적으로 위의 정보는 산술 진행에 관한 거의 모든 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 풀기에 이미 충분합니다.

예(OGE). 산술 진행은 조건 \(b_1=7; d=4\)에 의해 주어집니다. \(b_5\)를 찾습니다.
결정:

답변: \(b_5=23\)

예(OGE). 산술 진행의 처음 세 항이 주어집니다: \(62; 49; 36…\) 이 진행의 첫 번째 음수 항의 값을 찾으십시오..
결정:

	우리는 시퀀스의 첫 번째 요소를 받았고 그것이 산술적 진행이라는 것을 압니다. 즉, 각 요소는 인접한 요소와 동일한 번호만큼 다릅니다. 다음 요소에서 이전 요소를 빼서 어느 것을 찾으십시오: \(d=49-62=-13\).
	이제 원하는(첫 번째 음수) 요소로 진행 상황을 복원할 수 있습니다.
	준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다.

답변: \(-3\)

예(OGE). 산술 진행의 여러 연속 요소가 제공됩니다. \(...5; x; 10; 12.5...\) 문자 \(x\)로 표시된 요소의 값을 찾으십시오.
결정:

	\(x\)를 찾으려면 다음 요소가 이전 요소와 얼마나 다른지, 즉 진행 차이를 알아야 합니다. 알려진 두 개의 인접 요소인 \(d=12.5-10=2.5\)에서 찾아보겠습니다.
	이제 우리는 문제 없이 원하는 것을 찾습니다: \(x=5+2.5=7.5\).
	준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다.

답변: \(7,5\).

예(OGE). 산술 진행은 다음 조건에 의해 제공됩니다. \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) 이 진행의 처음 6개 항의 합을 구하십시오.
결정:

	진행의 처음 6개 항의 합을 찾아야 합니다. 그러나 우리는 그 의미를 알지 못하며 첫 번째 요소만 제공됩니다. 따라서 우리는 먼저 주어진 값을 사용하여 값을 차례로 계산합니다. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) 그리고 필요한 6가지 요소를 계산한 후 그 합을 찾습니다.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	요청하신 금액을 찾았습니다.

답변: \(S_6=9\).

예(OGE). 산술 진행에서 \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). 이 진행의 차이점을 찾으십시오.
결정:

답변: \(d=7\).

중요한 산술 진행 공식

보시다시피, 많은 산술 진행 문제는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 산술 진행은 숫자의 사슬이며 이 사슬의 각 다음 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 더하여 얻습니다(차이 진행).

그런데 가끔 '이마에' 해결하기가 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \(b_5\)가 아니라 삼백팔십육 번째 \(b_(386)\)를 찾아야 한다고 상상해보십시오. 무엇입니까, 우리는 4를 더하기 위해 \ (385 \) 번입니까? 또는 끝에서 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 찾아야 한다고 상상해 보십시오. 계산이 헷갈리네요...

따라서 이러한 경우 "이마에"를 풀지 않고 산술 진행을 위해 파생된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요 것들은 진행의 n번째 항에 대한 공식과 첫 번째 항의 합 \(n\)에 대한 공식입니다.

\(n\)번째 멤버에 대한 공식: \(a_n=a_1+(n-1)d\), 여기서 \(a_1\)는 진행의 첫 번째 멤버입니다.
\(n\) – 필수 요소의 번호.
\(a_n\)은 숫자 \(n\)를 가진 진행의 구성원입니다.

이 공식을 사용하면 첫 번째 요소와 진행 차이만 알고 최소 300분의 1, 심지어 100만 번째 요소를 빠르게 찾을 수 있습니다.

예시. 산술 진행은 조건에 의해 주어집니다: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\)를 찾으십시오.
결정:

답변: \(b_(246)=1850\).

처음 n개 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다. \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), 여기서

\(a_n\)은 마지막으로 합산된 항입니다.

예(OGE). 산술 진행은 조건 \(a_n=3.4n-0.6\)에 의해 주어집니다. 이 진행의 처음 \(25\) 항의 합을 구하십시오.
결정:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		처음 25개 요소의 합을 계산하려면 첫 번째 항과 25번째 항의 값을 알아야 합니다. 우리의 진행은 그 수에 따라 n번째 항의 공식에 의해 주어집니다(세부사항 참조). \(n\)을 1로 바꾸어 첫 번째 요소를 계산해 보겠습니다.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		이제 \(n\) 대신 25를 대입하여 25번째 항을 구해 봅시다.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		자, 이제 문제없이 필요한 금액을 계산합니다.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		답변이 준비되었습니다.

답변: \(S_(25)=1090\).

첫 번째 항의 합계 \(n\)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) 대신 \(a_n=a_1+(n-1)d\) 수식을 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다.

처음 n개 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다. \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), 여기서

\(S_n\) – 첫 번째 요소의 필수 합계 \(n\)입니다.
\(a_1\)은 합산할 첫 번째 항입니다.
\(d\) – 진행 차이;
\(n\) - 합계의 요소 수입니다.

예시. 산술 진행의 첫 번째 \(33\)-ex 항의 합을 찾으십시오. \(17\); \(15,5\); \(십사\)…
결정:

답변: \(S_(33)=-231\).

더 복잡한 산술 진행 문제

이제 거의 모든 산술 진행 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 얻었습니다. 수식을 적용할 뿐만 아니라 조금 생각을 해봐야 하는 문제를 생각하면서 주제를 마치도록 합시다(수학에서는 유용할 수 있어요 ☺)

예(OGE). 진행의 모든 ​​음수 항의 합계를 찾으십시오. \(-19.3\); \(-십구\); \(-18.7\)…
결정:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		작업은 이전 작업과 매우 유사합니다. 같은 방식으로 풀기 시작합니다. 먼저 \(d\)를 찾습니다.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		이제 합계에 대한 공식에 \(d\)를 대입합니다 ... 그리고 여기에 작은 뉘앙스가 나타납니다. \(n\)을 모릅니다. 즉, 얼마나 많은 용어를 추가해야 하는지 알 수 없습니다. 알아내는 방법? 생각 해봐. 첫 번째 긍정적인 요소에 도달하면 요소 추가를 중지합니다. 즉, 이 요소의 번호를 알아야 합니다. 어떻게? 산술 진행의 모든 ​​요소를 ​​계산하는 공식을 작성해 보겠습니다. 이 경우 \(a_n=a_1+(n-1)d\)입니다.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		0보다 크려면 \(a_n\)이 필요합니다. 무슨 일이 일어날지 알아봅시다.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		부등식의 양변을 \(0,3\)으로 나눕니다.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		우리는 표지판을 변경하는 것을 잊지 않고 마이너스 1을 전송합니다.
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		컴퓨팅...
\(n>65,333…\)		...그리고 첫 번째 긍정적인 요소번호는 \(66\)입니다. 따라서 마지막 음수는 \(n=65\)입니다. 만일의 경우를 대비하여 확인해 보겠습니다.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		따라서 첫 번째 \(65\) 요소를 추가해야 합니다.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		답변이 준비되었습니다.

답변: \(S_(65)=-630.5\).

예(OGE). 산술 진행은 조건에 의해 주어집니다: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)번째에서 \(42\) 요소까지의 합계를 찾습니다.
결정:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	이 문제에서도 요소의 합을 찾아야 하지만 첫 번째부터 시작하는 것이 아니라 \(26\)번째부터 시작해야 합니다. 이에 대한 공식이 없습니다. 결정하는 방법? 쉬움 - \(26\)th에서 \(42\)th까지의 합을 구하려면 먼저 \(1\)th에서 \(42\)th까지의 합계를 찾은 다음, 다음에서 합계를 빼야 합니다. 첫 번째에서 \ (25 \) 일 (그림 참조).
	우리의 진행 \(a_1=-33\)과 차이 \(d=4\)에 대해 (결국 우리는 다음 요소를 찾기 위해 이전 요소에 4를 추가합니다). 이것을 알면 첫 번째 \(42\)-uh 요소의 합을 찾습니다.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	이제 첫 번째 \(25\) 번째 요소의 합입니다.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	그리고 마지막으로 답을 계산합니다.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

답변: \(S=1683\).

산술 진행의 경우 실용적인 유용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않은 공식이 몇 가지 더 있습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.

우리 수업의 모토는 러시아 수학자 V.P.의 말이 될 것입니다. Ermakova: "수학에서는 공식이 아니라 사고 과정을 기억해야 합니다."

수업 중

문제의 공식화

칠판에는 가우스의 초상화가 있습니다. 미리 메시지를 준비하라는 과제를 받은 교사나 학생은 Gauss가 학교에 있을 때 교사가 학생들에게 모든 것을 더하라고 요청했다고 말합니다. 정수 1에서 100까지. Little Gauss는 이 문제를 1분 만에 해결했습니다.

문제 . 가우스는 어떻게 답을 얻었습니까?

솔루션 검색

학생들은 자신의 가정을 표현한 다음 요약합니다. 합이 1 + 100, 2 + 99 등이라는 것을 깨닫습니다. 가 같으면 가우스에 101을 50으로 곱한 것, 즉 그러한 합계의 수를 곱한 것입니다. 다시 말해, 그는 산술 진행에 내재된 패턴을 발견했습니다.

합계 공식의 유도 N산술 진행의 첫 번째 항

칠판과 공책에 공과 주제를 적는다. 학생들은 교사와 함께 공식의 유도를 적습니다.

하자 ㅏ 1 ; ㅏ 2 ; ㅏ 3 ; ㅏ 4 ; ...; 엔 – 2 ; 엔 – 1 ; 엔- 산술 진행.

1차 고정

1. 공식 (1)을 사용하여 가우스 문제를 해결해 보겠습니다.

2. 공식 (1)을 사용하여 구두로 문제를 해결하십시오 (그 조건은 보드에 작성되거나 코드 포지티브), ( 엔) - 산술 진행:

ㅏ) ㅏ 1 = 2, ㅏ 10 = 20. 에스 10 - ?

비) ㅏ 1 = –5, ㅏ 7 = 1. 에스 7 - ? [–14]

에) ㅏ 1 = –2, ㅏ 6 = –17. 에스 6 - ? [–57]

G) ㅏ 1 = –5, ㅏ 11 = 5. 에스 11 - ?

3. 작업을 완료합니다.

주어진 :( 엔) - 산술 진행;

ㅏ 1 = 3, ㅏ 60 = 57.

찾다: 에스 60 .

결정. 합 공식을 사용하자 N산술 진행의 첫 번째 항

답변: 1800.

추가 질문입니다.이 공식으로 풀 수 있는 다양한 문제 유형은 몇 가지입니까?

답변. 네 가지 유형의 작업:

금액 찾기 에스앤;

산술 진행의 첫 번째 항 찾기 ㅏ 1 ;

찾다 N- 산술 진행의 멤버 엔;

산술 진행의 구성원 수를 찾으십시오.

4. 작업 완료: No. 369(b).

산술 진행의 61항의 합을 구하십시오( 엔), 만약 ㅏ 1 = –10,5, ㅏ 60 = 51,5.

결정.

답변: 1230.

추가 질문. 수식을 적어 N산술 진행의 멤버입니다.

답변: 엔 = ㅏ 1 + 디(N – 1).

5. 산술 진행의 처음 9개 항에 대한 공식을 계산합니다( 비앤),
만약 비 1 = –17, 디 = 6.

공식을 사용하여 즉시 계산할 수 있습니까?

아홉 번째 용어가 알려지지 않았기 때문입니다.

그것을 찾는 방법?

공식에 따르면 N산술 진행의 멤버입니다.

결정. 비 9 = 비 1 + 8디 = –17 + 8∙6 = 31;

답변: 63.

문제. 진행의 아홉 번째 항을 계산하지 않고 합을 찾을 수 있습니까?

문제의 공식화

문제: 합계 공식 얻기 N산술 진행의 첫 번째 항, 첫 번째 항과 그 차이를 아는 것 디.

(학생이 칠판에 공식을 출력한 것입니다.)

새로운 공식 (2)를 사용하여 No. 371(a)를 풉니다.

구두로 공식을 통합 (2) ( 작업 조건은 보드에 작성).

(엔

1. ㅏ 1 = 3, 디 = 4. 에스 4 - ?

2. ㅏ 1 = 2, 디 = –5. 에스 3 - ? [–9]

학생들에게 그들이 이해하지 못하는 질문을 물어보십시오.

독립적 인 일

옵션 1

주어진: (엔)는 산술 진행입니다.

1. ㅏ 1 = –3, ㅏ 6 = 21. 에스 6 - ?

2. ㅏ 1 = 6, 디 = –3. 에스 4 - ?

옵션 2

주어진: (엔)는 산술 진행입니다.

1.ㅏ 1 = 2, ㅏ 8 = –23. 에스 8 - ? [–84]

2.ㅏ 1 = –7, 디 = 4. 에스 5 - ?

학생들은 공책을 교체하고 서로의 솔루션을 확인합니다.

독립적 인 작업 결과를 기반으로 자료의 동화를 요약하십시오.