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"시험과 oge의 작업에서 확률 이론". 확률 이론의 간단한 문제

수학의 USE 문제 공개 은행(mathege.ru)에서 현재까지 발표되었으며, 그 솔루션은 확률의 고전적 정의인 단 하나의 공식을 기반으로 합니다.

공식을 이해하는 가장 쉬운 방법은 예제를 사용하는 것입니다.
실시예 1바구니에 9개의 빨간 공과 3개의 파란 공이 있습니다. 공은 색상만 다릅니다. 무작위로 (보지 않고) 우리는 그들 중 하나를 얻습니다. 이렇게 선택한 공이 파란색일 확률은 얼마입니까?

논평.확률 문제에서는 다음을 수행할 수 있는 어떤 일이 발생합니다(이 경우 공을 당기는 동작). 다른 결과- 결과. 결과는 다른 방식으로 볼 수 있다는 점에 유의해야 합니다. "공을 뽑았다"도 결과다. "파란 공을 뽑았다"는 결과입니다. "우리는 가능한 모든 공 중에서 이 특정 공을 그렸습니다." - 결과에 대한 가장 덜 일반화된 관점을 기본 결과라고 합니다. 확률 계산 공식에서 의미하는 것은 기본 결과입니다.

결정.이제 파란색 공을 선택할 확률을 계산합니다.
이벤트 A: "선택한 공이 파란색으로 판명되었습니다"
가능한 모든 결과의 총 수: 9+3=12(우리가 뽑을 수 있는 모든 공의 수)
이벤트 A에 대한 유리한 결과의 수: 3(이러한 이벤트 A가 발생한 결과의 수 - 즉, 파란색 공의 수)
P(A)=3/12=1/4=0.25
답: 0.25

같은 문제에 대해 빨간 공을 선택할 확률을 계산해 보겠습니다.
가능한 결과의 총 수는 동일하게 유지됩니다. 12. 유리한 결과의 수: 9. 원하는 확률: 9/12=3/4=0.75

모든 사건의 확률은 항상 0과 1 사이에 있습니다.
때때로 일상 연설에서(확률 이론에서는 그렇지 않습니다!) 사건의 확률은 백분율로 추정됩니다. 수학적 평가와 대화 평가 간의 전환은 100%를 곱(또는 나누기)하여 수행됩니다.
그래서,
이 경우 일어날 수 없는 사건에 대한 확률은 0입니다. 예를 들어, 우리의 예에서 이것은 바구니에서 녹색 공을 꺼낼 확률입니다. (우호적인 결과의 수는 공식에 따라 계산하면 0, P(A)=0/12=0)
확률 1에는 옵션 없이 절대적으로 일어날 사건이 있습니다. 예를 들어, "선택한 공이 빨간색 또는 파란색일 것"일 확률은 우리 문제에 대한 것입니다. (우호적인 결과의 수: 12, P(A)=12/12=1)

확률의 정의를 보여주는 고전적인 예를 살펴보았습니다. 모두 유사 USE 작업확률 이론에 따르면 이 공식을 적용하여 풀 수 있습니다.
빨간색과 파란색 공 대신 사과와 배, 소년과 소녀, 학습 및 학습되지 않은 티켓, 특정 주제에 대한 질문이 포함되거나 포함되지 않은 티켓(프로토타입, ), 결함이 있는 고품질 가방 또는 정원 펌프(프로토타입)가 있을 수 있습니다. , ) - 원칙은 동일하게 유지됩니다.

특정 날짜에 이벤트가 발생할 확률을 계산해야 하는 USE 확률 이론 문제의 공식화에서 약간 다릅니다. ( , ) 이전 작업과 마찬가지로 기본 결과가 무엇인지 확인하고 동일한 공식을 적용해야 합니다.

실시예 2회의는 3일 동안 진행됩니다. 첫째 날과 둘째 날은 각각 15명씩, 셋째 날은 20명. 복권으로 보고 순서를 정한다면 3일째에 M교수의 보고가 떨어질 확률은?

여기서 기본적인 결과는 무엇입니까? - 연설에 대해 가능한 모든 일련 번호 중 하나에 교수 보고서를 할당합니다. 15+15+20=50명이 추첨에 참여합니다. 따라서 M교수의 보고서는 50개의 번호 중 하나를 받을 수 있습니다. 이는 50개의 기본 결과만 있음을 의미합니다.
유리한 결과는 무엇입니까? - 교수가 3일째에 발표할 것으로 판명된 사람들. 즉, 마지막 20개의 숫자입니다.
공식에 따르면 확률 P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
답: 0.4

여기서 제비뽑기는 사람과 질서정연한 장소 사이에 임의의 대응관계를 설정하는 것이다. 실시예 2에서는 특정인이 취할 수 있는 장소를 기준으로 매칭을 고려하였다. 다른 쪽에서도 동일한 상황에 접근할 수 있습니다. 특정 장소에 도달할 확률이 높은 사람(프로토타입 , , , ):

실시예 3 5명의 독일인, 8명의 프랑스인, 3명의 에스토니아인이 추첨에 참여합니다. 첫 번째(/두 번째/일곱 번째/마지막 - 중요하지 않음)가 프랑스인일 확률은 얼마입니까?

기본 결과의 수는 모두의 수입니다. 가능한 사람들누가 제비뽑기에 들어갈 수 있었습니까? 주어진 장소. 5+8+3=16명.
유리한 결과 - 프랑스어. 8명.
원하는 확률: 8/16=1/2=0.5
답: 0.5

프로토타입은 약간 다릅니다. 좀 더 창의적인 코인()과 주사위()에 대한 작업이 있습니다. 이러한 문제에 대한 솔루션은 프로토타입 페이지에서 찾을 수 있습니다.

다음은 동전 던지기 또는 주사위 던지기의 몇 가지 예입니다.

실시예 4우리가 동전을 던질 때 꼬리가 나올 확률은 얼마입니까?
결과 2 - 머리 또는 꼬리. (동전은 결코 가장자리에 떨어지지 않는다고 믿어집니다) 유리한 결과 - 꼬리, 1.
확률 1/2=0.5
답: 0.5.

실시예 5동전을 두 번 던지면? 두 번 모두 앞면이 나올 확률은 얼마입니까?
가장 중요한 것은 두 개의 동전을 던질 때 고려할 기본 결과를 결정하는 것입니다. 두 개의 동전을 던진 후 다음 결과 중 하나가 발생할 수 있습니다.
1) PP - 두 번 모두 꼬리가 나왔습니다.
2) PO - 첫 번째 시간 꼬리, 두 번째 시간 머리
3) OP - 첫 번째 시간은 앞서고 두 번째 시간은 뒤로
4) OO - 두 번 헤드업
다른 옵션은 없습니다. 이는 4개의 기본 결과가 있음을 의미하며, 첫 번째 결과만 유리합니다, 1.
확률: 1/4=0.25
답: 0.25

동전을 두 번 던졌을 때 뒷면이 나올 확률은 얼마입니까?
기본 결과의 수는 동일합니다. 4. 호의적인 결과는 두 번째와 세 번째, 2입니다.
한쪽 꼬리가 나올 확률: 2/4=0.5

이러한 문제에서는 다른 공식이 유용할 수 있습니다.
동전을 한 번 던지면 옵션우리는 2개의 결과를 가지고 있고, 두 번 던지면 결과는 2 2=2 2 =4가 될 것입니다(예제 5에서와 같이). 16, ... N개의 던지기에 대해 2·2·...·2=2 N개의 가능한 결과가 있습니다.

따라서 5번의 동전 던지기에서 5번의 뒷면이 나올 확률을 구할 수 있습니다.
기본 결과의 총 수: 2 5 =32.
유리한 결과: 1. (RRRRRR - 모두 5번 꼬리)
확률: 1/32=0.03125

주사위도 마찬가지입니다. 한 번 던지면 6가지 결과가 나오므로 2번 던지면 6 6=36, 3번 던지면 6 6 6=216 등

실시예 6우리는 주사위를 던졌습니다. 짝수가 나올 확률은?

총 결과: 면의 수에 따라 6.
유리함: 3개의 결과. (2, 4, 6)
확률: 3/6=0.5

실시예 7주사위 두 개를 던집니다. 총 10개가 나올 확률은? (100분의 1까지 반올림)

하나의 주사위에는 6가지 가능한 결과가 있습니다. 따라서 2의 경우 위의 규칙에 따라 6·6=36입니다.
총 10개가 빠지면 ​​어떤 결과가 유리할까요?
10은 1에서 6까지의 두 숫자의 합으로 분해되어야 합니다. 이것은 10=6+4 및 10=5+5의 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 따라서 큐브의 경우 다음과 같은 옵션이 가능합니다.
(첫 번째에 6개, 두 번째에 4개)
(첫 번째에 4개, 두 번째에 6개)
(첫 번째에 5, 두 번째에 5)
총 3가지 옵션이 있습니다. 원하는 확률: 3/36=1/12=0.08
답: 0.08

다른 유형의 B6 문제는 다음 "해결 방법" 기사 중 하나에서 논의됩니다.

개별 슬라이드의 프레젠테이션 설명:

슬라이드 1개

슬라이드 설명:

확률론의 핵심과제 OGE 9호 MBOU 준비 "제4체육관 이름을 따서 명명. 처럼. 푸쉬킨” 편찬: Sofina N.Yu.

2 슬라이드

슬라이드 설명:

수학 준비를 위한 검증 가능한 기본 요구 사항 No. 9 수학 OGE 선택 항목의 체계적인 열거가 필요한 실용적인 문제를 풉니다. 무작위 사건의 발생 확률을 비교하고, 무작위 사건의 확률을 평가하고, 확률 및 통계 장치를 사용하여 실제 상황의 모델을 비교하고 탐색합니다. 9 번 - 기본 작업. 작업을 완료하기 위한 최대 점수는 1입니다.

3 슬라이드

슬라이드 설명:

사건 A의 확률은 이 사건에 유리한 결과의 수 m 대 총 수한 번의 시행이나 관찰의 결과로 발생할 수 있는 동등하게 가능한 모든 양립할 수 없는 사건의 n 확률의 고전적 정의 무작위 사건의 고전적 확률을 계산하는 공식을 기억하십시오 Р = n m

4 슬라이드

슬라이드 설명:

확률의 고전적 정의 예: 학부모 위원회는 어린이를 위한 졸업 선물을 위해 40개의 색칠 공부 페이지를 구입했습니다. 학년. 이 중 14개는 A.S. G.Kh. Andersen의 동화를 바탕으로 한 푸쉬킨과 26. 선물은 무작위로 배포됩니다. Nastya가 A.S.의 동화를 바탕으로 한 색칠 공부 책을 얻을 확률을 찾으십시오. 푸쉬킨. 솔루션: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0.35 답: 0.35.

5 슬라이드

슬라이드 설명:

예: 시험에는 60문제가 있었습니다. Ivan은 그 중 3개를 배우지 않았습니다. 그가 배운 질문을 접할 확률을 찾으십시오. 솔루션: 여기서 n=60입니다. Ivan은 3을 배우지 않았으므로 나머지는 모두 배웠습니다. m=60-3=57. P=57/60=0.95. 확률의 고전적 정의 답: 0.95.

6 슬라이드

슬라이드 설명:

"순서는 무승부로 결정됩니다." 예: 20명의 선수가 체조 선수권 대회에 참가합니다: 러시아에서 8명, 미국에서 7명, 나머지 중국에서. 체조 선수가 수행하는 순서는 추첨으로 결정됩니다. 다섯 번째 선수가 중국인일 확률을 구하십시오. 솔루션: 문제의 조건에 "마법" 단어 "lot"이 있습니다. 이는 우리가 말하는 순서를 잊어버린다는 것을 의미합니다. 따라서 m= 20-8-7=5(중국산); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0.25. 답: 0.25.

7 슬라이드

슬라이드 설명:

예: 과학 회의가 5일 동안 열립니다. 총 75개의 보고서가 계획되어 있습니다 - 처음 3일, 각각 17개의 보고서, 나머지는 4일과 5일에 균등하게 분배됩니다. 보고 순서는 추첨으로 결정됩니다. Ivanov 교수의 보고서가 회의 마지막 날에 예정될 확률은 얼마입니까? 솔루션: 데이터를 테이블에 넣습니다. 우리는 m=12를 얻었습니다. n=75. P=12/75=0.16. 답: 0.16. “추첨순” 1일차 II III IV V 총 발표회수 17 17 17 12 12 75

8 슬라이드

슬라이드 설명:

이벤트 빈도 확률과 같은 방식으로 이벤트의 빈도가 발견되며 해당 작업도 프로토타입에 있습니다. 차이점은 무엇입니까? 확률은 예측 가능한 값이고 빈도는 사실에 대한 진술입니다. 예: 새 태블릿이 1년 내에 수리될 확률은 0.045입니다. 어떤 도시에서는 한 해 동안 판매된 1000개의 정제 중 51개가 보증 작업장에 도착했습니다. "보증 수리" 이벤트의 빈도는 이 도시의 확률과 얼마나 다릅니까? 솔루션: 이벤트의 빈도를 찾으십시오: 51/1000=0.051. 그리고 확률은 0.045(조건부)와 같으며, 이는 이 도시에서 "보증 수리" 이벤트가 예상보다 더 자주 발생한다는 것을 의미합니다. ∆= 0.051- 0.045= 0.006의 차이를 찾아봅시다. 동시에, 우리는 차이의 부호가 우리에게 중요하지 않고 그 절대값만 중요하다는 점을 고려해야 합니다. 답: 0.006.

9 슬라이드

슬라이드 설명:

옵션 열거 문제("동전", "매치") k를 동전 던지기의 수로 하고 가능한 결과의 수: n = 2k. 예: 무작위 실험에서 대칭 동전을 두 번 던졌습니다. 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하십시오. 솔루션: 코인 드롭 옵션: OO; 또는; RR; 로. 따라서 n=4입니다. 유리한 결과: RR 및 RR. 즉, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0.5입니다. 답: 0.5.

10 슬라이드

슬라이드 설명:

예: 시작하기 전에 축구 경기주심은 어느 팀이 먼저 공을 가질지 결정하기 위해 동전을 던집니다. "Mercury"팀은 "Mars", "Jupiter", "Uranus"팀과 차례로 연주합니다. 모든 경기에서 "Mercury"팀이 공을 소유할 권리를 얻을 확률을 찾으십니까? 옵션("동전", "매치") 열거 문제 해결: 다른 세 팀 중 하나와 경기에서 "머큐리" 팀의 첫 번째 공의 소유권을 "꼬리"로 지정합시다. 그렇다면 이 팀의 두 번째 공의 소유권은 "독수리"입니다. 그래서, 동전을 세 번 던졌을 때 가능한 모든 결과를 적어봅시다. "O" - 머리, "R" - 꼬리. ; 즉, n=8; m=1. P=1/8=0.125. 답: 0.125 n = 23 "화성" "목성" "천왕성"

11 슬라이드

슬라이드 설명:

"주사위"(주사위)에 대한 문제 k를 주사위를 던진 횟수라고 하고 가능한 결과의 수를 n = 6k라고 합니다. 예: Dasha는 주사위를 두 번 굴립니다. 그녀의 합계가 8이 나올 확률을 구하십시오. 결과를 가장 가까운 100분의 1로 반올림합니다. 답: 0.14. 솔루션: 두 주사위의 합은 8점이어야 합니다. 다음 조합이 있는 경우 가능합니다. 2 및 6 6 및 2 3 및 5 5 및 3 4 및 4 m= 5 (5 적절한 조합) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0.13 (8)

12 슬라이드

슬라이드 설명:

독립 사건과 곱셈의 법칙 첫 번째, 두 번째, n번째 사건이 모두 발생할 확률은 다음 공식으로 구할 수 있습니다. Р= Р1*Р2*… 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 바이애슬론 선수가 처음 세 번 목표를 명중하고 마지막 두 번을 놓쳤을 확률을 찾으십시오. 결과를 가장 가까운 100분의 1로 반올림합니다. 답: 0.02. 솔루션: 각 다음 샷의 결과는 이전 샷에 의존하지 않습니다. 따라서 "첫 번째 샷에 적중", "두 번째 샷에 적중" 등의 이벤트가 발생합니다. 독립적 인. 각 히트의 확률은 0.8입니다. 따라서 놓칠 확률은 1 - 0.8 = 0.2입니다. 1발: 0.8 2발: 0.8 3발: 0.8 4발: 0.2 5발: 0.2 .8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 = 0.02048 ≈ 0.02.

13 슬라이드

슬라이드 설명:

"및" 법률 및 "또는" 법률의 조합 예: 사무실에서 3개의 다른 회사 직원을 위해 문구류를 구입합니다. 또한, 1사 제품은 전체 배송의 40%를 차지하고 나머지 2사 제품은 균등하게 배분된다. 2사 만년필 중 불량품은 2%로 밝혀졌다. 1, 3차 기업의 혼인율은 각각 1%, 3%이다. 직원 A는 새 배달에서 펜을 가져갔습니다. 맞을 확률을 구합니다. 솔루션: 2, 3차 기업의 제품은 (100%-40%):2=공급량의 30%입니다. P(결혼) \u003d 0.4 0.01 + 0.3 0.02 + 0.3 0.03 \u003d 0.019. P (서비스 가능한 펜) \u003d 1 - 0.019 \u003d 0.981. 답: 0.981.

쉬운 작업

테이블에는 25개의 파이가 있습니다: 7 - 잼, 9 - 감자, 나머지는 양배추. 무작위로 선택한 파이가 양배추와 함께 나올 확률은 얼마입니까?

0,36

택시에는 40대의 차량이 있습니다. 14대는 Lada 브랜드, 8대는 Renault 브랜드, 2대는 Mercedes 브랜드, 나머지는 Skoda 브랜드입니다. Mercedes가 당신의 전화를 받을 확률은 얼마입니까?

0,05

주사위를 던질 때 최소 3개의 숫자가 나올 확률을 구하십시오.

Ira, Dima, Vasya, Natasha 및 Andrey는 60미터에서 표준을 통과합니다. 소녀가 가장 빨리 달릴 확률은 얼마입니까?

지하도에서 구입한 전화기가 가짜일 확률은 0.83입니다. 전환기에 구입한 전화기가 가짜가 아닐 확률은 얼마입니까?

0,17

농구 토너먼트에는 '남자' 팀을 포함하여 20개 팀이 참가합니다. 모든 팀은 A, B, C, D의 4개 그룹으로 나뉩니다. "남자" 팀이 A 그룹에 포함될 확률은 얼마입니까?

0,25

복권 가방에는 5에서 94까지의 번호가 붙은 술통이 들어 있습니다. 가방에서 꺼낸 통에 두 자리 숫자가 들어 있을 확률은 얼마입니까? 가장 가까운 100분의 1 단위로 답을 반올림하십시오.

0,94

시험 전에 Igor는 마지막까지 버텼고 80장 중 5장만 배웠습니다. 그가 배운 티켓을 발견할 확률을 결정하십시오.

0,0625

Anya는 라디오를 켜고 무작위로 전파를 선택합니다. 그녀의 라디오 수신기는 총 20개의 전파를 수신하고 그 중 7개만 수신합니다. 이 순간음악이 재생됩니다. Anya가 음악적 파도에 빠질 확률을 찾으십시오.

0,35

20개의 소다 병마다 뚜껑 아래에 승리 코드가 숨겨져 있습니다. 구입한 병의 뚜껑 아래에 당첨 코드가 있을 확률을 결정하십시오.

0,05

작업이 더 어렵습니다

무작위로 선택한 3자리 숫자가 5로 나누어 떨어질 확률은 얼마입니까?

0,2

5명의 학생의 키(cm)가 166, 158, 132, 136, 170으로 기록됩니다. 이 숫자 집합의 산술 평균은 중앙값과 얼마나 다릅니까?

한 작은 나라의 통계에 따르면 아기가 남자로 태어날 확률은 0.507로 알려져 있습니다. 2017년에는 이 나라에서 태어난 아기 1,000명당 평균 486명의 소녀가 있었습니다. 이 나라의 2017년 여성 출생 빈도와 이 사건의 확률은 얼마나 다릅니까?

0,007

주사위는 두 번 던집니다. 두 숫자의 합이 3 또는 7일 확률을 구하십시오. 답을 100분의 1로 반올림하십시오.

0,22

무작위로 선택한 세 자리 숫자가 2로 나누어 떨어질 확률은 얼마입니까?

0,5

두 개의 동전 던지기가 정확히 한 번만 뒷면이 나올 확률을 구하십시오.

0,5

주사위를 두 번 던졌을 때 3보다 큰 숫자가 두 번 나올 확률을 구하십시오. 가장 가까운 100분의 1 단위로 답을 반올림하십시오.

0,31

한 작은 나라의 통계에 따르면 아기가 남자로 태어날 확률은 0.594로 알려져 있습니다. 2017년에는 이 나라에서 태어난 아기 1,000명당 평균 513명의 소녀가 있었습니다. 이 나라의 2017년 여성 출생 빈도와 이 사건의 확률은 얼마나 다릅니까?

0,107

5명의 학생의 키(cm)가 184, 145, 176, 192, 174로 기록됩니다. 이 숫자 집합의 산술 평균은 중앙값과 얼마나 다릅니까?

1,8

"자이언츠" 마을 주민의 평균 키는 194cm이고, Nikolai Petrovich의 키는 195cm입니다. 다음 설명 중 옳은 것은?

1) 주민 중 한 사람의 키는 194cm여야 합니다.

2) Nikolai Petrovich는 마을에서 가장 키가 큰 주민입니다.

3) Nikolai Petrovich 아래에 이 마을에서 적어도 한 사람은 분명히 있을 것입니다.

4) Nikolai Petrovich 아래에 이 마을에서 적어도 한 명의 주민이 분명히 있을 것입니다.

4

어려운 작업

저격수는 총으로 목표물을 4번 쏘았습니다. 한 발로 목표물에 정확히 명중할 확률은 0.5입니다. 저격수가 처음 두 번 목표물을 명중하고 마지막 두 번을 놓칠 확률을 찾으십시오.

0,0625

배터리에 결함이 있을 확률은 0.05입니다. 상점의 고객은 두 개의 배터리가 포함된 임의의 패키지를 선택합니다. 두 배터리가 모두 양호할 확률을 구하십시오.

0,9025

저격수는 목표물을 5회 연속으로 쏘습니다. 발사 시 대상이 명중할 확률은 0.7입니다. 저격수가 처음 4번 목표물을 명중하고 마지막에 놓쳤을 확률을 구하십시오. 결과를 가장 가까운 100분의 1로 반올림합니다.

현실이나 우리의 상상 속에서 일어나는 사건은 세 그룹으로 나눌 수 있습니다. 이것은 일어날 수밖에 없는 특정한 사건, 불가능한 사건, 무작위 사건이다. 확률 이론은 무작위 사건을 연구합니다. 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 사건. 이 기사는 요약확률 공식 이론 및 확률 이론의 문제 해결 예는 수학 시험의 네 번째 과제(프로파일 수준)에 포함될 것입니다.

확률 이론이 필요한 이유

역사적으로 이러한 문제에 대한 연구의 필요성은 개발 및 전문화와 관련하여 17 세기에 발생했습니다. 도박그리고 카지노의 등장. 연구와 연구가 필요한 실제 현상이었습니다.

카드 놀이, 주사위 놀이, 룰렛은 유한한 수의 동등하게 일어날 수 있는 사건이 발생할 수 있는 상황을 만들었습니다. 사건의 발생 가능성에 대한 수치적 추정치를 제공할 필요가 있었습니다.

20세기에 들어, 겉보기에 하찮아 보이는 이 과학이 소우주에서 일어나는 근본적인 과정을 이해하는 데 중요한 역할을 한다는 것이 분명해졌습니다. 생성됨 현대 이론확률.

확률 이론의 기본 개념

확률 이론의 연구 대상은 사건과 그 확률입니다. 이벤트가 복잡한 경우 간단한 구성 요소로 나눌 수 있으며 확률을 쉽게 찾을 수 있습니다.

사건 A와 사건 B의 합을 사건 C라고 하며, 사건 A나 사건 B, 또는 사건 A와 B가 동시에 일어났다는 사실로 구성됩니다.

사건 A와 사건 B의 곱은 사건 C이며, 사건 A와 사건 B가 모두 일어났다는 사실로 구성됩니다.

사건 A와 B는 동시에 일어날 수 없다면 양립할 수 없다고 한다.

사건 A는 일어날 수 없다면 불가능하다고 한다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.

이벤트 A는 확실히 발생할 경우 확실하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.

각 사건 A에 숫자 P(A)가 할당되도록 하십시오. 이 숫자 P(A)는 다음 조건이 그러한 대응에 만족되는 경우 사건 A의 확률이라고 합니다.

중요한 특별한 경우는 동일한 확률의 기본 결과가 있고 이러한 결과 중 임의적인 것이 사건 A를 형성하는 상황입니다. 이 경우 확률은 공식으로 도입될 수 있습니다. 이렇게 도입된 확률을 고전적 확률. 이 경우 속성 1-4가 유지됨을 증명할 수 있습니다.

수학 시험에서 출제되는 확률론의 문제는 주로 고전적 확률과 관련된다. 이러한 작업은 매우 간단할 수 있습니다. 확률 이론의 문제는 특히 간단합니다. 데모 버전. 유리한 결과의 수를 계산하기 쉽고, 모든 결과의 수가 조건에 직접 작성됩니다.

우리는 공식에 따라 답을 얻습니다.

확률을 결정하기 위한 수학 시험 작업의 예

테이블에는 20개의 파이가 있습니다. 5개는 양배추, 7개는 사과, 8개는 쌀입니다. 마리나는 파이를 먹고 싶어합니다. 그녀가 떡을 먹을 확률은 얼마입니까?

결정.

총 20개의 동등한 기본 결과가 있습니다. 즉, 마리나는 20개의 파이 중 아무거나 선택할 수 있습니다. 그러나 마리나가 쌀 패티를 선택할 확률, 즉 A가 쌀 패티를 선택할 확률을 추정해야 합니다. 이것은 우리가 총 8개의 유리한 결과를 얻었다는 것을 의미합니다.(쌀 파이 선택) 그 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

독립, 반대, 자의적 사건

그러나 열린 작업 은행에서는 그 이상 어려운 작업. 따라서 확률 이론에서 연구되는 다른 질문에 독자의 주의를 기울이도록 합시다.

사건 A와 B는 각각의 확률이 다른 사건이 발생했는지 여부에 의존하지 않는 경우 독립이라고 합니다.

사건 B는 사건 A가 발생하지 않았다는 사실로 구성됩니다. 사건 B는 사건 A와 반대입니다. 반대 사건의 확률은 1에서 직접 사건의 확률을 뺀 것과 같습니다. 즉, .

덧셈과 곱셈 정리, 공식

임의의 사건 A와 B의 경우 이러한 사건의 합 확률은 결합 사건의 확률이 없는 확률의 합과 같습니다. 즉, .

독립 사건 A와 B의 경우, 이러한 사건의 곱의 확률은 확률의 곱과 같습니다. 이 경우 .

마지막 2개의 진술을 확률의 덧셈과 곱셈의 정리라고 합니다.

항상 결과의 수를 계산하는 것은 그렇게 간단하지 않습니다. 어떤 경우에는 조합 공식을 사용해야 합니다. 가장 중요한 것은 특정 조건을 충족하는 이벤트의 수를 세는 것입니다. 때때로 그러한 계산은 독립적인 작업이 될 수 있습니다.

6명의 빈 자리에 6명의 학생이 앉는 방법의 수는? 첫 번째 학생은 6개 자리 중 하나를 선택합니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생을 배치하는 5가지 방법에 해당합니다. 세 번째 학생에게는 4개의 무료 자리가 있고 네 번째 학생은 3명, 다섯 번째 학생은 2명, 여섯 번째 학생은 유일하게 남은 자리를 차지합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 기호 6으로 표시된 제품을 찾아야 합니다! "6개의 계승"을 읽어보세요.

일반적으로 이 질문에 대한 답은 n개 원소의 순열수 공식으로 주어진다.

이제 우리 학생들의 또 다른 경우를 고려하십시오. 6개의 빈 자리에 2명의 학생이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6개 자리 중 하나를 선택합니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생을 배치하는 5가지 방법에 해당합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 제품을 찾아야 합니다.

일반적으로 이 질문에 대한 답은 n개 요소를 k개 요소로 배치하는 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

우리의 경우.

그리고 이 시리즈의 마지막 작품. 6명 중 3명을 뽑는 방법의 수는? 첫 번째 학생은 6가지 방법으로, 두 번째 학생은 5가지 방법으로, 세 번째 학생은 4가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 그러나 이러한 옵션 중에서 동일한 3명의 학생이 6번 발생합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 다음 값을 계산해야 합니다. 일반적인 경우 이 질문에 대한 답은 요소별 요소 조합 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

우리의 경우.

확률을 결정하기 위해 수학 시험에서 문제를 해결하는 예

작업 1. 컬렉션에서 ed. 야셴코.

접시에 30개의 파이가 있습니다. 3개는 고기, 18개는 양배추, 9개는 체리입니다. 사샤는 무작위로 하나의 파이를 선택합니다. 그가 체리로 끝날 확률을 찾으십시오.

.

답: 0.3.

문제 2. 컬렉션에서 ed. 야셴코.

1000개의 전구 배치에 평균 20개의 결함이 있습니다. 배치에서 무작위로 선택된 전구가 좋은 확률을 찾으십시오.

솔루션: 서비스 가능한 전구의 수는 1000-20=980입니다. 그러면 배치에서 무작위로 가져온 전구를 사용할 수 있는 확률은 다음과 같습니다.

답: 0.98.

학생 U.가 수학 시험에서 9개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.67입니다. U.가 8개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.73입니다. U.가 정확히 9개의 문제를 올바르게 풀 확률을 구하십시오.

숫자 선을 상상하고 그 위에 점 8과 9를 표시하면 조건 "U. 정확히 9개 문제를 정확하게 풀기"는 조건 "U. 8개 이상의 문제를 올바르게 풀기"를 요구하지만 "W. 9개 이상의 문제를 올바르게 풉니다.

그러나 조건 "U. 9개 이상의 문제를 올바르게 풀기"라는 조건이 "U. 8개 이상의 문제를 올바르게 풉니다. 따라서 이벤트를 지정하면 "W. 정확히 9개의 문제를 정확하게 풀기" - A, "U. 8개 이상의 문제를 정확하게 풀기" - B를 통해, "U. C를 통해 9개 이상의 문제를 올바르게 해결하십시오. 그러면 솔루션은 다음과 같습니다.

답: 0.06.

기하학 시험에서 학생은 시험 문제 목록에서 하나의 질문에 답합니다. 이것이 삼각법 문제일 확률은 0.2입니다. 이것이 외부 모서리 질문일 확률은 0.15입니다. 동시에 이 두 가지 주제와 관련된 질문이 없습니다. 학생이 시험에서 이 두 가지 주제 중 하나에 대해 질문을 받을 확률을 구하십시오.

어떤 이벤트가 있는지 생각해 봅시다. 두 가지 호환되지 않는 이벤트가 제공됩니다. 즉, 질문은 "삼각법" 주제 또는 "외부 각도" 주제와 관련됩니다. 확률 정리에 따르면 양립할 수 없는 사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같으므로 이러한 사건의 확률의 합을 찾아야 합니다. 즉,

답: 0.35.

방은 세 개의 램프가 있는 랜턴으로 비춰집니다. 1년에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.29입니다. 적어도 하나의 램프가 1년 내에 타지 않을 확률을 구하십시오.

가능한 이벤트를 고려합시다. 우리는 세 개의 전구를 가지고 있으며, 각 전구는 다른 전구와 독립적으로 타거나 타지 않을 수 있습니다. 이들은 독립적인 이벤트입니다.

그런 다음 그러한 이벤트의 변형을 표시합니다. 우리는 다음과 같은 표기법을 받아들입니다. - 전구가 켜져 있습니다, - 전구가 타버렸습니다. 그리고 바로 다음으로 우리는 사건의 확률을 계산합니다. 예를 들어, 세 개의 독립적인 이벤트 "전구가 타버렸습니다", "전구가 켜져 있습니다", "전구가 켜져 있습니다"가 발생한 이벤트의 확률: .

우리에게 유리한 양립할 수 없는 사건은 7개뿐입니다. 그러한 사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같습니다: .

답: 0.975608.

그림에서 또 다른 문제를 볼 수 있습니다.

따라서 당신과 나는 확률 이론이 무엇인지, 시험 버전에서 만날 수있는 문제 해결의 공식 및 예를 이해했습니다.

이 프레젠테이션은 확률 이론 시험에서 가장 자주 접하는 과제를 제시합니다. 기본 수준 작업. 프레젠테이션은 반복을 일반화하는 수업에서 교사와 학생 모두에게 도움이 될 것입니다. 자기 훈련시험에.

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슬라이드 캡션:

확률 이론 주요 과제 OGE 준비

동전 던지기

1. 동전을 두 번 던졌습니다. 머리와 꼬리가 하나씩 나올 확률은? 결정: 동전 하나를 던질 때 "앞면" 또는 "뒷면"의 두 가지 결과가 가능합니다. 두 개의 동전을 던질 때 - 4개의 결과(2 * 2 = 4): "eagle" - "tails" "tails" - "tails" "tails" - "eagles" "eagles" - "eagles" 하나의 "eagle"과 하나 " 꼬리"는 4가지 경우 중 2가지 경우에 빠집니다. P(A)=2:4=0.5. 답: 0.5.

2. 동전을 세 번 던집니다. 두 개의 머리와 한 개의 꼬리가 나올 확률은 얼마입니까? 해결책: 던질 때 세 개의 동전 8가지 결과가 가능합니다(2*2*2=8): "eagle" - "tails" - "tails" "tails" - "tails" - "tails" "tails" - "heads" - "tails" "heads" - "독수리" - "꼬리" "꼬리" - "꼬리" - "머리" "꼬리" - "독수리" - "독수리" "독수리" - "꼬리" - "독수리" "독수리" - "독수리" - " 독수리" » 두 개의 "독수리"와 하나의 "꼬리"가 떨어질 것입니다 세 가지 경우 8개 중. P(A)=3:8=0.375. 답: 0.375.

3. 무작위 실험에서 대칭 동전을 네 번 던졌습니다. 앞면이 나오지 않을 확률을 구하십시오. 솔루션: 4개의 동전을 던질 때 16개의 결과가 가능합니다. (2*2*2*2=16): 유리한 결과 - 1(4개의 꼬리가 빠질 것입니다). P(A)=1:16=0.0625. 답: 0.0625.

주사위 게임

4. 주사위를 던졌을 때 3개 이상의 점이 빠졌을 확률을 구하십시오. Solution: 가능한 결과는 총 6가지이며 큰 숫자는 3 - 4, 5, 6입니다. P(A)=3:6=0.5. 답: 0.5.

5. 주사위를 던졌습니다. 짝수 점을 얻을 확률을 구하십시오. 솔루션: 총 가능한 결과 - 6. 1, 3, 5 - 홀수; 2, 4, 6은 짝수입니다. 짝수 포인트를 얻을 확률은 3:6=0.5입니다. 답: 0.5.

6. 무작위 실험에서 두 개의 주사위를 던졌습니다. 총 8점을 얻을 확률을 구하세요. 결과를 가장 가까운 100분의 1로 반올림합니다. 솔루션: 이 동작 - 주사위 2개를 던지면 6² = 36이므로 총 36개의 가능한 결과가 있습니다. 유리한 결과: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 8점을 얻을 확률은 5:36 ≈ 0.14입니다. 답: 0.14.

7. 주사위를 두 번 던집니다. 총 6점이 떨어졌다. 하나의 주사위에서 5가 나올 확률을 구하십시오. 결정: 6점의 총 결과 - 5: 2 및 4; 4와 2; 3과 3; 1과 5; 5 및 1. 유리한 결과 - 2. P(A)=2:5=0.4. 답: 0.4.

8. 시험에 50장의 티켓이 있었고 Timofey는 그 중 5개를 배우지 못했습니다. 그가 학습 티켓을 얻을 확률을 찾으십시오. 솔루션: Timofey는 45장의 티켓을 배웠습니다. P(A)=45:50=0.9. 답: 0.9.

경쟁

9. 20명의 선수가 체조 선수권 대회에 참가합니다: 러시아 8명, 미국 7명, 나머지 중국. 공연 순서는 추첨으로 결정됩니다. 먼저 경쟁하는 선수가 중국인일 확률을 구하십시오. 솔루션: 전체 결과 20. 유리한 결과 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0.25. 답: 0.25.

10. 프랑스 선수 4명, 영국 선수 5명, 이탈리아 선수 3명이 투구 경기에 참가했다. 공연 순서는 추첨으로 결정됩니다. 다섯 번째 선수가 이탈리아 출신일 확률을 구하십시오. 솔루션: 가능한 모든 결과의 수는 12입니다(4 + 5 + 3 = 12). 유리한 결과의 수는 3입니다. P(A)=3:12=0.25. 답: 0.25.

11. 배드민턴 선수권 대회 1라운드 시작 전에 참가자를 추첨을 통해 무작위로 게임 페어로 나눕니다. 블라디미르 오를로프를 포함한 러시아 선수 12명을 포함해 총 26명의 배드민턴 선수가 대회에 참가한다. 첫 라운드에서 Vladimir Orlov가 러시아의 배드민턴 선수와 함께 플레이할 확률을 찾으십니까? 결정: 총 결과 - 25(25명의 배드민턴 선수가 있는 Vladimir Orlov). 유리한 결과 - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0.44. 답: 0.44.

12. 출연자 경연은 5일 동안 진행된다. 각 국가에서 하나씩 총 75개의 공연이 발표되었습니다. 첫날에는 27번의 공연이 있고 나머지는 나머지 날에 균등하게 배분됩니다. 공연 순서는 추첨으로 결정됩니다. 러시아 대표의 공연이 대회 셋째 날에 열릴 확률은 얼마입니까? 결정: 총 결과 - 75. 러시아 공연자는 3일차에 공연합니다. 유리한 결과 - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0.16. 답: 0.16.

13. Kolya는 두 자리 숫자를 선택합니다. 5로 나눌 수 있는 확률을 구하십시오. 해: 두 자리 숫자: 10;11;12;…;99. 총 결과 - 90. 5로 나눌 수 있는 숫자: 10; 열 다섯; 20; 25; …; 90; 95. 유리한 결과 - 18. P(A)=18:90=0.2. 답: 0.2.

확률 결정을 위한 다양한 작업

14. 공장에서 가방을 생산합니다. 평균적으로 170개의 고급 백마다 숨겨진 결함이 있는 백이 6개 있습니다. 구매한 가방이 고품질일 확률을 찾으십시오. 결과를 가장 가까운 100분의 1로 반올림합니다. 솔루션: 전체 결과 - 176. 유리한 결과 - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0.97. 답: 0.97.

15. 평균적으로 100개의 배터리를 판매할 때마다 94개의 배터리가 충전됩니다. 구입한 배터리가 충전되지 않을 확률을 구합니다. 솔루션: 총 결과 - 100. 유리한 결과 - 100-94=6. P(A)=6:100=0.06. 답: 0.06.

출처 http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru


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