L'integrale e la sua applicazione pratica. Corsi di applicazione dell'integrale

Argomento di ricerca

Applicazione del calcolo integrale nella pianificazione delle spese familiari

Rilevanza del problema

Sempre più sociale e sfere economiche quando si calcola il grado di disuguaglianza nella distribuzione del reddito, viene utilizzata la matematica, vale a dire il calcolo integrale. studiando uso pratico otteniamo l'integrale:

In che modo l'integrale e il calcolo dell'area utilizzando l'integrale aiutano nell'allocazione dei costi dei materiali?

Come l'integrale aiuterà a risparmiare denaro per le vacanze.

Bersaglio

pianificare le spese familiari utilizzando il calcolo integrale

Compiti

Esplorare significato geometrico integrante.
Considerare i metodi di integrazione nella sfera sociale ed economica della vita.
Fare una previsione dei costi materiali della famiglia durante la riparazione di un appartamento utilizzando l'integrale.
Calcola il volume del consumo di energia della famiglia per un anno, tenendo conto del calcolo integrale.
Calcola l'importo di un deposito di risparmio in Sberbank per le vacanze.

Ipotesi

il calcolo integrale aiuta nei calcoli economici quando si pianificano entrate e spese familiari.

Fasi di ricerca

Abbiamo studiato il significato geometrico dell'integrale e le modalità di integrazione nella sfera sociale ed economica della vita.
Abbiamo calcolato i costi materiali necessari per la riparazione di un appartamento utilizzando l'integrale.
Abbiamo calcolato il volume del consumo di elettricità nell'appartamento e il costo dell'elettricità per la famiglia per un anno.
Abbiamo considerato una delle opzioni per raccogliere il reddito familiare attraverso i depositi in Sberbank utilizzando l'integrale.

Oggetto di studio

calcolo integrale nella sfera sociale ed economica della vita.

Metodi

Analisi della letteratura sul tema "Applicazione pratica del calcolo integrale"
Lo studio dei metodi di integrazione nella risoluzione di problemi sul calcolo di aree e volumi di figure mediante l'integrale.
Analisi delle spese e dei redditi familiari mediante calcolo integrale.

Processo lavorativo

Rassegna bibliografica sul tema "Applicazione pratica del calcolo integrale"
Risolvere un sistema di problemi per il calcolo delle aree e dei volumi delle figure utilizzando l'integrale.
Calcolo delle spese e delle entrate familiari utilizzando un calcolo integrale: ristrutturazione della stanza, volume di elettricità, depositi a Sberbank per le vacanze.

I nostri risultati

In che modo l'integrale e il calcolo del volume con l'aiuto dell'integrale aiutano a prevedere il volume del consumo di elettricità?

risultati

Il calcolo economico dei fondi necessari per la riparazione di un appartamento può essere eseguito in modo più rapido e accurato utilizzando un calcolo integrale.

È più facile e veloce calcolare il consumo di elettricità della famiglia utilizzando un calcolo integrale e Microsoft Office Excel, il che significa prevedere i costi dell'elettricità della famiglia per un anno.

Il profitto dai depositi a Sberbank può essere calcolato utilizzando un calcolo integrale, il che significa pianificare una vacanza in famiglia.

Elenco delle risorse

Edizioni stampate:

Manuale. L'algebra e l'inizio dell'analisi voto 10-11. AG Mordkovic. Mnemosine. M: 2007
Manuale. L'algebra e l'inizio dell'analisi voto 10-11. A. Kolmogorov Illuminismo. M: 2007
Matematica per sociologi ed economisti. Akhtyamov AM M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 pag.
Calcolo integrale Libro di riferimento Matematica Superiore M. Ya. Vygodsky, Illuminismo, 2000

Ivanov Sergey, studente gr.14-EOP-33D

Il lavoro può essere utilizzato in una lezione generalizzante sugli argomenti "Derivata", "Integrale".

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Didascalie delle diapositive:

GBPOU KNT loro. B. I. Kornilova Ricerca sul tema: "L'uso delle derivate e degli integrali in fisica, matematica e ingegneria elettrica". Studente gr. 2014-ep-33d Ivanov Sergey.

1. La storia dell'aspetto del derivato. Alla fine del XVII secolo, il grande scienziato inglese Isaac Newton dimostrò che il percorso e la velocità sono interconnessi dalla formula: V (t) \u003d S '(t) e tale relazione esiste tra le caratteristiche quantitative dei più diversi processi in studio: fisica, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , quantità di moto P = mV = mx ' , cinetica E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), chimica, biologia e ingegneria. Questa scoperta di Newton segnò una svolta nella storia delle scienze naturali.

1. La storia dell'aspetto del derivato. L'onore di scoprire le leggi fondamentali analisi matematica insieme a Newton appartiene al matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz è arrivato a queste leggi risolvendo il problema di disegnare una tangente a una curva arbitraria, cioè formulato il significato geometrico della derivata, che il valore della derivata nel punto di contatto è pendenza tangente o tg l'angolo di inclinazione della tangente con la direzione positiva dell'asse O X. Il termine derivato e le designazioni moderne y ' , f ' furono introdotte da J. Lagrange nel 1797.

2. La storia dell'apparenza dell'integrale. Il concetto di calcolo integrale e integrale nasce dalla necessità di calcolare l'area (quadratura) di eventuali figure e i volumi (cubatura) di corpi arbitrari. La preistoria del calcolo integrale risale all'antichità. Il primo metodo noto per il calcolo degli integrali è il metodo per studiare l'area o il volume delle figure curvilinee - il metodo dell'esaurimento di Eudosso (Eudosso di Cnido (408 a.C. circa - 355 a.C. circa) - matematico greco antico, meccanico e astronomo), che fu proposto intorno al 370 a.C. e. L'essenza di questo metodo è la seguente: la figura, di cui si è cercato di trovare l'area o il volume, è stata divisa in un numero infinito di parti, per le quali l'area o il volume è già noto.

"Il metodo dell'esaurimento" Supponiamo di dover calcolare il volume di un limone che ha forma irregolare, e quindi applicare qualsiasi formula nota il volume non è possibile. Usando la pesatura, è anche difficile trovare il volume, poiché la densità di un limone in parti differentiè diverso. Procediamo come segue. Tagliate il limone a fettine sottili. Ogni fetta può essere approssimativamente considerata un cilindro, il raggio della base, che può essere misurato. Il volume di un tale cilindro può essere facilmente calcolato da formula finita. Sommando i volumi dei cilindretti, otteniamo il valore approssimativo del volume dell'intero limone. L'approssimazione sarà tanto più precisa quanto più sottili possiamo tagliare il limone.

2. La storia dell'apparenza dell'integrale. Seguendo Eudosso, il metodo dell'"esaurimento" e le sue varianti per il calcolo dei volumi e delle aree furono utilizzati dall'antico scienziato Archimede. Sviluppando con successo le idee dei suoi predecessori, ha determinato la circonferenza, l'area del cerchio, il volume e la superficie della palla. Ha mostrato che la determinazione dei volumi di una sfera, un ellissoide, un iperboloide e un paraboloide di rivoluzione si riduce alla determinazione del volume di un cilindro.

La base della teoria delle equazioni differenziali era il calcolo differenziale creato da Leibniz e Newton. Il termine stesso "equazione differenziale" fu proposto nel 1676 da Leibniz. 3. La storia dell'aspetto delle equazioni differenziali. Inizialmente, le equazioni differenziali sono nate da problemi di meccanica, in cui era necessario determinare le coordinate dei corpi, le loro velocità e accelerazioni, considerate come funzioni del tempo sotto varie influenze. Alcuni dei problemi geometrici considerati a quel tempo portavano anche a equazioni differenziali.

3. La storia dell'aspetto delle equazioni differenziali. Tra l'enorme numero di opere del XVII secolo sulle equazioni differenziali, spiccano le opere di Eulero (1707-1783) e Lagrange (1736-1813). In questi lavori è stata prima sviluppata la teoria delle piccole oscillazioni e, di conseguenza, la teoria sistemi lineari equazioni differenziali; lungo il percorso sono emersi i concetti di base dell'algebra lineare ( autovalori e vettori nel caso n-dimensionale). Dopo Newton, Laplace e Lagrange, e poi Gauss (1777-1855), svilupparono anche i metodi della teoria delle perturbazioni.

4. Applicazione della derivata e dell'integrale in matematica: in matematica, la derivata è ampiamente utilizzata per risolvere molti problemi, equazioni, disuguaglianze, nonché nel processo di studio di una funzione. Esempio: Algoritmo per studiare una funzione per un estremo: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 e risolvere l'equazione. 3)O.O.F. scomporlo in intervalli. 4) Determiniamo il segno della derivata su ciascun intervallo. Se f ′(x)>0 , allora la funzione è crescente. Se f′(x)

4. Applicazione della derivata e dell'integrale in matematica: L'integrale (integrale definito) viene utilizzato in matematica (geometria) per trovare l'area di un trapezio curvilineo. Esempio: Algoritmo per trovare l'area di una figura piatta utilizzando un integrale definito: 1) Costruiamo un grafico delle funzioni indicate. 2) Indicare la figura delimitata da queste linee. 3) Trovare i limiti di integrazione, annotare l'integrale definito e calcolarlo.

5. Applicazione della derivata e dell'integrale in fisica. In fisica, la derivata viene utilizzata principalmente per risolvere problemi, ad esempio: trovare la velocità o l'accelerazione di qualsiasi corpo. Esempio: 1) La legge di spostamento di un punto lungo una retta è data dalla formula s(t)= 10t^2 , dove t è il tempo (in secondi), s(t) è la deviazione del punto in tempo t (in metri) dalla posizione iniziale. Trova la velocità e l'accelerazione al tempo t se: t=1,5 s. 2) Il punto materiale si muove rettilineo secondo la legge x(t)= 2+20t+5t2. Trova la velocità e l'accelerazione al tempo t=2s (x è la coordinata del punto in metri, t è il tempo in secondi).

Grandezza fisica Valore medio Valore istantaneo Velocità Accelerazione Velocità angolare Forza attuale Potenza

5. Applicazione della derivata e dell'integrale in fisica. L'integrale viene utilizzato anche in problemi come trovare velocità o distanza. Il corpo si muove con velocità v(t) = t + 2 (m/s). Trova il percorso che il corpo percorrerà in 2 secondi dopo l'inizio del movimento. Esempio:

6. Applicazione della derivata e dell'integrale in ingegneria elettrica. Il derivato ha trovato applicazione anche nell'ingegneria elettrica. In catena corrente elettrica carica elettrica cambia nel tempo secondo la legge q=q (t). La corrente I è la derivata della carica q rispetto al tempo. I=q ′(t) Esempio: 1) La carica che scorre attraverso il conduttore cambia secondo la legge q=sin(2t-10) Trovare l'intensità della corrente al tempo t=5 sec. L'integrale in ingegneria elettrica può essere utilizzato per risolvere problemi inversi, ad es. trovare la carica elettrica conoscendo l'intensità della corrente, ecc. 2) La carica elettrica che scorre attraverso il conduttore, a partire dal momento t \u003d 0, è data dalla formula q (t) \u003d 3t2 + t + 2. Trova la forza attuale al momento t \u003d 3 s. L'integrale in ingegneria elettrica può essere utilizzato per risolvere problemi inversi, ad es. trovare la carica elettrica conoscendo l'intensità della corrente, ecc.

Il concetto di integrale è ampiamente applicabile nella vita. Gli integrali sono usati in vari campi della scienza e della tecnologia. I compiti principali calcolati utilizzando gli integrali sono compiti per:

1. Trovare il volume del corpo

2. Trovare il centro di massa del corpo.

Consideriamo ciascuno di essi in modo più dettagliato. Qui e sotto, per denotare un integrale definito di qualche funzione f(x), con limiti di integrazione da a a b, useremo la seguente notazione ∫ a b f(x).

Trovare il volume di un corpo

Considera la figura seguente. Supponiamo che ci sia un corpo il cui volume è uguale a V. Esiste anche una retta tale che se prendiamo un certo piano perpendicolare a questa retta, sarà nota l'area della sezione trasversale S di questo corpo rispetto a questo piano.

Ciascuno di questi piani sarà perpendicolare all'asse x, e quindi lo intersecherà in un punto x. Cioè, a ciascun punto x del segmento verrà assegnato il numero S (x) - l'area della sezione trasversale del corpo, il piano che passa per questo punto.

Risulta che qualche funzione S(x) sarà data sul segmento. Se questa funzione è continua su questo segmento, sarà valida la seguente formula:

V = ∫ a b S(x)dx.

La prova di questa affermazione va oltre lo scopo del curriculum scolastico.

Calcolo del baricentro di un corpo

Il centro di massa è più spesso usato in fisica. Ad esempio, c'è un corpo che si muove a qualsiasi velocità. Ma è scomodo considerare un corpo grande, e quindi in fisica questo corpo è considerato come il movimento di un punto, partendo dal presupposto che questo punto abbia la stessa massa di tutto il corpo.

E il compito di calcolare il centro di massa del corpo è il principale in questa materia. Perché il corpo è grande e quale punto dovrebbe essere preso come centro di massa? Forse quello al centro del corpo? O forse il punto più vicino al bordo d'attacco? È qui che entra in gioco l'integrazione.

Le seguenti due regole vengono utilizzate per trovare il centro di massa:

1. Coordinata x' del baricentro di un sistema di punti materiali A1, A2,A3, … An con masse rispettivamente m1, m2, m3, … mn, posti su una retta in punti di coordinate x1, x2, x3, … xn si trova con la seguente formula:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Quando si calcolano le coordinate del centro di massa, è possibile sostituire qualsiasi parte della figura in esame con punto materiale, ponendolo nel centro di massa di questa parte separata della figura, e prendere la massa uguale alla massa di questa parte della figura.

Ad esempio, se una massa di densità p(x) è distribuita lungo l'asta - un segmento dell'asse Ox, dove p(x) è una funzione continua, la coordinata del centro di massa x' sarà uguale a.

Immagina di avere una sorta di funzione di dipendenza di qualcosa da qualcosa.

Ad esempio, ecco come puoi rappresentare approssimativamente la velocità del mio lavoro a seconda dell'ora del giorno sul grafico:

Misuro la velocità in righe di codice al minuto, in vita reale Sono un programmatore di computer.

La quantità di lavoro è il tasso di lavoro moltiplicato per il tempo. Cioè, se scrivo 3 righe al minuto, ne ottengo 180 all'ora.Se abbiamo un programma del genere, puoi scoprire quanto lavoro ho fatto in un giorno: questa è l'area sotto il programma. Ma come lo calcoli?

Dividiamo il grafico in colonne di uguale larghezza, ogni ora. E faremo l'altezza di queste colonne uguale alla velocità di lavoro nel mezzo di quest'ora.

L'area di ciascuna colonna individualmente è facile da calcolare, è necessario moltiplicare la sua larghezza per la sua altezza. Si scopre che l'area della colonna della spiaggia è approssimativamente quanto lavoro ho fatto per ogni ora. E se sommi tutte le colonne, ottieni un'approssimazione del mio lavoro per la giornata.

Il problema è che il risultato sarà approssimativo, ma ci serve numero esatto. Rompiamo il grafico in colonne per mezz'ora:

L'immagine mostra che questo è già molto più vicino a ciò che stiamo cercando.

Quindi puoi ridurre i segmenti sul grafico all'infinito e ogni volta ci avvicineremo sempre più all'area sotto il grafico. E quando la larghezza delle colonne tende a zero, la somma delle loro aree tenderà all'area sotto il grafico. Questo è chiamato integrale ed è indicato come segue:

In questa formula, f(x) indica una funzione che dipende dal valore di x, e le lettere aeb sono il segmento su cui vogliamo trovare l'integrale.

Perché è necessario?

Gli scienziati cercano di esprimere tutti i fenomeni fisici sotto forma di una formula matematica. Una volta che abbiamo una formula, possiamo usarla per calcolare qualsiasi cosa. E l'integrale è uno degli strumenti principali per lavorare con le funzioni.

Ad esempio, se abbiamo la formula per un cerchio, possiamo usare l'integrale per calcolarne l'area. Se abbiamo la formula per una sfera, possiamo calcolarne il volume. Con l'aiuto dell'integrazione si trovano energia, lavoro, pressione, massa, carica elettrica e molte altre grandezze.

No, perché ne ho bisogno?

Sì, niente - proprio così, per curiosità. Infatti, gli integrali sono inclusi anche in curriculum scolastico, ma non molte persone in giro ricordano di cosa si tratta.

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