Apa yang disebut akar kuadrat. Bagaimana menemukan akar kuadrat dari suatu angka secara manual

Matematika lahir ketika seseorang menjadi sadar akan dirinya dan mulai memposisikan dirinya sebagai unit otonom dunia. Keinginan untuk mengukur, membandingkan, menghitung apa yang mengelilingi Anda adalah apa yang mendasari salah satu ilmu dasar di zaman kita. Pada awalnya, ini adalah bagian dari matematika dasar, yang memungkinkan untuk mengaitkan angka dengan ekspresi fisiknya, kemudian kesimpulan mulai disajikan hanya secara teoritis (karena abstraksinya), tetapi setelah beberapa saat, seperti yang dikatakan oleh seorang ilmuwan, " matematika mencapai langit-langit kompleksitas ketika semua angka." Konsep "akar kuadrat" muncul pada saat itu dapat dengan mudah didukung oleh data empiris, melampaui bidang perhitungan.

Bagaimana semuanya dimulai

Penyebutan pertama dari akar, yang pada saat ini dilambangkan sebagai , tercatat dalam tulisan-tulisan matematikawan Babilonia, yang meletakkan dasar bagi aritmatika modern. Tentu saja, mereka terlihat sedikit seperti bentuk saat ini - para ilmuwan pada tahun-tahun itu pertama kali menggunakan tablet besar. Namun pada milenium kedua SM. e. mereka datang dengan rumus perhitungan perkiraan yang menunjukkan bagaimana mengambil akar kuadrat. Foto di bawah ini menunjukkan sebuah batu tempat para ilmuwan Babilonia mengukir proses keluaran 2, dan ternyata sangat benar sehingga perbedaan dalam jawaban hanya ditemukan di tempat desimal kesepuluh.

Selain itu, akar digunakan jika perlu untuk menemukan sisi segitiga, asalkan dua lainnya diketahui. Nah, saat menyelesaikan persamaan kuadrat, tidak ada jalan keluar untuk mengekstrak akarnya.

Seiring dengan karya Babilonia, objek artikel juga dipelajari dalam karya Cina "Matematika dalam Sembilan Buku", dan orang Yunani kuno sampai pada kesimpulan bahwa angka apa pun yang akarnya tidak diekstraksi tanpa sisa memberikan hasil yang tidak rasional. .

Asal usul istilah ini dikaitkan dengan representasi angka dalam bahasa Arab: para ilmuwan kuno percaya bahwa kuadrat dari angka yang berubah-ubah tumbuh dari akarnya, seperti tanaman. Dalam bahasa Latin, kata ini terdengar seperti radix (seseorang dapat melacak pola - segala sesuatu yang memiliki beban semantik "akar" adalah konsonan, baik itu lobak atau linu panggul).

Para ilmuwan dari generasi berikutnya mengambil ide ini, menetapkannya sebagai Rx. Misalnya, pada abad ke-15, untuk menunjukkan bahwa akar kuadrat diambil dari bilangan arbitrer a, mereka menulis R 2 a. Biasa tampilan modern"centang" hanya muncul di abad ke-17 berkat Rene Descartes.

Hari hari kita

Secara matematis, akar kuadrat dari y adalah bilangan z yang kuadratnya adalah y. Dengan kata lain, z 2 =y setara dengan y=z. Namun, definisi ini hanya relevan untuk akar aritmatika, karena ini menyiratkan nilai ekspresi non-negatif. Dengan kata lain, y=z, di mana z lebih besar dari atau sama dengan 0.

Secara umum, yang valid untuk menentukan akar aljabar, nilai ekspresi dapat berupa positif atau negatif. Jadi, karena z 2 =y dan (-z) 2 =y, kita memiliki: y=±z atau y=|z|.

Karena fakta bahwa cinta matematika hanya meningkat dengan perkembangan ilmu pengetahuan, ada berbagai manifestasi kasih sayang untuk itu, tidak diungkapkan dalam perhitungan kering. Misalnya, bersama dengan acara menarik seperti hari Pi, hari libur akar kuadrat juga dirayakan. Mereka dirayakan sembilan kali dalam seratus tahun, dan ditentukan menurut prinsip berikut: angka-angka yang menunjukkan hari dan bulan secara berurutan harus akar kuadrat dari tahun tersebut. Ya, masuk lain waktu Liburan ini akan dirayakan pada tanggal 4 April 2016.

Sifat-sifat akar kuadrat pada bidang R

Hampir semua ekspresi matematika memiliki basis geometris, nasib ini tidak berlalu dan y, yang didefinisikan sebagai sisi persegi dengan luas y.

Bagaimana cara menemukan akar suatu bilangan?

Ada beberapa algoritma perhitungan. Yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama cukup rumit, adalah perhitungan aritmatika biasa, yaitu sebagai berikut:

1) dari angka yang akarnya kita perlukan, angka ganjil dikurangi secara bergantian - hingga sisa keluaran lebih kecil dari yang dikurangi atau genap nol. Jumlah gerakan pada akhirnya akan menjadi jumlah yang diinginkan. Misalnya, perhitungan akar pangkat dua dari 25:

Bilangan ganjil berikutnya adalah 11, sisanya adalah: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Untuk kasus seperti itu, ada ekspansi deret Taylor:

(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , di mana n mengambil nilai dari 0 hingga

+∞, dan |y|≤1.

Representasi grafis dari fungsi z=√y

Pertimbangkan fungsi dasar z=√y pada bidang bilangan real R, di mana y lebih besar dari atau sama dengan nol. Bagan nya terlihat seperti ini:

Kurva tumbuh dari titik asal dan tentu saja melintasi titik (1; 1).

Sifat-sifat fungsi z=√y pada bidang bilangan real R

1. Domain definisi dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga ditambah tak terhingga (nol disertakan).

2. Rentang nilai dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga plus tak terhingga (nol dimasukkan lagi).

3. Fungsi mengambil nilai minimum (0) hanya pada titik (0; 0). Tidak ada nilai maksimal.

4. Fungsi z=√y bukan genap maupun ganjil.

5. Fungsi z=√y tidak periodik.

6. Hanya ada satu titik potong grafik fungsi z=√y dengan sumbu koordinat: (0; 0).

7. Titik potong grafik fungsi z=√y juga merupakan nol dari fungsi ini.

8. Fungsi z=√y terus bertambah.

9. Fungsi z=√y hanya mengambil nilai positif, oleh karena itu, grafiknya menempati sudut koordinat pertama.

Opsi untuk menampilkan fungsi z=√y

Dalam matematika, untuk memudahkan penghitungan ekspresi kompleks, bentuk pangkat dari penulisan akar kuadrat kadang-kadang digunakan: y=y 1/2. Opsi ini cocok, misalnya, dalam menaikkan fungsi ke pangkat: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Metode ini juga merupakan representasi yang baik untuk diferensiasi dengan integrasi, karena berkat itu akar kuadrat diwakili oleh fungsi pangkat biasa.

Dan dalam pemrograman, pengganti simbol adalah kombinasi dari huruf sqrt.

Perlu dicatat bahwa di area ini akar kuadrat sangat diminati, karena ini adalah bagian dari sebagian besar rumus geometris yang diperlukan untuk perhitungan. Algoritma penghitungan itu sendiri cukup rumit dan didasarkan pada rekursi (fungsi yang memanggil dirinya sendiri).

Akar kuadrat di bidang kompleks C

Pada umumnya, subjek artikel ini yang mendorong penemuan bidang bilangan kompleks C, karena matematikawan dihantui oleh pertanyaan untuk memperoleh akar derajat genap dari bilangan negatif. Ini adalah bagaimana unit imajiner i muncul, yang dicirikan oleh properti yang sangat menarik: kuadratnya adalah -1. Berkat ini, persamaan kuadrat dan dengan diskriminan negatif mendapat solusi. Di C, untuk akar kuadrat, properti yang sama relevan seperti di R, satu-satunya batasan pada ekspresi root dihilangkan.

Luas sebidang tanah berbentuk bujur sangkar adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas petak tersebut adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisinya, luas ini adalah 81 dm², maka X² = 81. Panjang sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan masalah, diperlukan untuk menemukan bilangan x, kuadratnya adalah 81, yaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: x 1 = 9 dan x 2 \u003d - 9, karena 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Kedua angka 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari angka 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dinotasikan 81, jadi 81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan sebuah.

Misalnya, angka 6 dan - 6 adalah akar kuadrat dari angka 36. Dalam hal ini, angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah angka non-negatif dan 6² \u003d 36. Angka - 6 bukan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah dilambangkan sebagai berikut: sebuah.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; sebuah disebut ekspresi akar. ekspresi sebuah Baca seperti ini: akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan sebuah. Misalnya, 36 = 6, 0 = 0, 0,49 = 0,7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: "akar kuadrat dari sebuah«.

Tindakan menemukan akar kuadrat dari suatu bilangan disebut mengambil akar kuadrat. Tindakan ini adalah kebalikan dari kuadrat.

Setiap angka dapat dikuadratkan, tetapi tidak setiap angka dapat menjadi akar kuadrat. Misalnya, tidak mungkin untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka - 4. Jika akar seperti itu ada, maka, yang menunjukkannya dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan yang salah x² \u003d - 4, karena ada angka non-negatif di sebelah kiri, dan angka negatif di sebelah kanan.

ekspresi sebuah hanya masuk akal ketika sebuah 0. Definisi akar kuadrat dapat ditulis secara singkat sebagai: sebuah 0, (√sebuah)² = sebuah. Kesetaraan ( sebuah)² = sebuah berlaku untuk sebuah 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif sebuah sama dengan b, yaitu, bahwa sebuah =b, Anda perlu memeriksa bahwa dua kondisi berikut terpenuhi: b 0, b² = sebuah.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa 25 = 5, 36 = 6, dan periksa apakah persamaannya berlaku.

Sebagai dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika sebuah sebuah 0 dan b> 0, yaitu akar dari pecahan sama dengan akar dari pembilang dibagi dengan akar penyebut. Harus dibuktikan bahwa: dan .

Sejak sebuah 0 dan b> 0, maka .

Dengan sifat menaikkan pecahan menjadi pangkat dan menentukan akar kuadrat teorema terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung , sesuai dengan teorema terbukti .

Contoh kedua: Buktikan bahwa , jika sebuah ≤ 0, b < 0. .

Contoh lain: Hitung .

.

Transformasi akar kuadrat

Mengambil pengganda dari bawah tanda akar. Biarkan ekspresi diberikan. Jika sebuah sebuah 0 dan b 0, maka dengan teorema pada akar produk, kita dapat menulis:

Transformasi seperti itu disebut memfaktorkan keluar tanda akar. Pertimbangkan sebuah contoh;

Hitung di X= 2. Substitusi langsung X= 2 dalam ekspresi radikal mengarah ke perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika pertama-tama kita menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang substitusikan x = 2, kita dapatkan:.

Jadi, ketika mengambil faktor dari bawah tanda akar, ekspresi radikal direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Teorema hasil kali akar kemudian diterapkan dan akar dari setiap faktor diambil. Perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan ekspresi A = 8 + 18 - 4√2 dengan mengambil faktor-faktor dari bawah tanda akar pada dua suku pertama, kita peroleh:. Kami menekankan bahwa kesetaraan hanya berlaku bila sebuah 0 dan b 0. jika sebuah < 0, то .

Eksponen menyiratkan bahwa suatu bilangan harus dikalikan dengan bilangan itu sendiri beberapa kali. Misalnya, menaikkan angka 2 ke kekuatan kelima akan terlihat seperti ini:

Angka yang perlu dikalikan dengan dirinya sendiri disebut basis derajat, dan jumlah perkalian adalah eksponennya. Menaikkan pangkat sesuai dengan dua tindakan yang berlawanan: menemukan eksponen dan menemukan basis.

ekstraksi akar

Menemukan basis eksponen disebut ekstraksi akar. Ini berarti Anda perlu menemukan bilangan yang perlu dinaikkan hingga pangkat n untuk mendapatkan bilangan yang diberikan.

Misalnya, perlu mengekstrak akar ke-4 dari angka 16, mis. untuk menentukan, Anda perlu mengalikan dengan dirinya sendiri 4 kali untuk mendapatkan 16 pada akhirnya.

Seperti operasi aritmatika ditulis menggunakan tanda khusus - radikal: , di atasnya eksponen ditunjukkan di sebelah kiri.

akar aritmatika

Jika eksponennya adalah bilangan genap, maka akarnya dapat berupa dua bilangan dengan modulus yang sama, tetapi dengan - positif dan negatif. Jadi, dalam contoh yang diberikan dapat berupa angka 2 dan -2.

Ekspresi harus jelas, mis. memiliki satu hasil. Untuk ini, konsep akar aritmatika diperkenalkan, yang hanya bisa berupa bilangan positif. Akar aritmatika tidak boleh kurang dari nol.

Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan di atas, hanya angka 2 yang akan menjadi akar aritmatika, dan jawaban kedua - -2 - dikecualikan menurut definisi.

Akar pangkat dua

Untuk beberapa derajat yang lebih sering digunakan daripada yang lain, ada nama khusus yang awalnya dikaitkan dengan geometri. Ini tentang tentang meningkatkan ke kekuatan kedua dan ketiga.

Untuk pangkat kedua, panjang sisi bujur sangkar saat Anda perlu menghitung luasnya. Jika Anda perlu mencari volume kubus, panjang rusuknya dinaikkan menjadi pangkat tiga. Oleh karena itu, disebut kuadrat dari angka, dan yang ketiga disebut kubus.

Dengan demikian, akar derajat kedua disebut kuadrat, dan akar derajat ketiga disebut kubik. Akar kuadrat adalah satu-satunya akar yang tidak memiliki pangkat di atas akar jika ditulis:

Jadi, akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan adalah bilangan positif yang harus dipangkatkan ke dua untuk mendapatkan bilangan tersebut.

Saatnya membongkar metode ekstraksi akar. Mereka didasarkan pada sifat-sifat akar, khususnya, pada kesetaraan, yang berlaku untuk setiap bilangan non-negatif b.

Di bawah ini kami akan mempertimbangkan secara bergantian metode utama mengekstraksi akar.

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - mengekstrak akar dari bilangan asli menggunakan tabel kuadrat, tabel kubus, dll.

Jika tabel kotak, kubus, dll. tidak di tangan, adalah logis untuk menggunakan metode mengekstraksi akar, yang melibatkan penguraian nomor akar menjadi faktor-faktor sederhana.

Secara terpisah, ada baiknya memikirkan, yang mungkin untuk akar dengan eksponen ganjil.

Terakhir, pertimbangkan metode yang memungkinkan Anda menemukan digit nilai akar secara berurutan.

Mari kita mulai.

Menggunakan tabel kotak, tabel kubus, dll.

paling banyak kasus sederhana tabel kotak, kubus, dll memungkinkan ekstraksi akar. Apa tabel-tabel ini?

Tabel kuadrat bilangan bulat dari 0 hingga 99 inklusif (ditunjukkan di bawah) terdiri dari dua zona. Zona pertama tabel terletak di latar belakang abu-abu, menggunakan pilihan string tertentu dan kolom tertentu memungkinkan Anda membuat angka dari 0 hingga 99 . Misalnya, mari kita pilih baris 8 puluhan dan kolom 3 satuan, dengan ini kita tetapkan angka 83. Zona kedua menempati sisa tabel. Setiap selnya terletak di persimpangan baris tertentu dan kolom tertentu, dan berisi kuadrat dari angka yang sesuai dari 0 hingga 99 . Di persimpangan baris 8 puluhan yang kami pilih dan kolom 3 satu, ada sel dengan angka 6889, yang merupakan kuadrat dari angka 83.

Tabel kubus, tabel pangkat empat angka dari 0 hingga 99 dan seterusnya mirip dengan tabel kotak, hanya saja berisi kubus, pangkat empat, dll. di zona kedua. nomor yang sesuai.

Tabel kotak, kubus, pangkat empat, dll. memungkinkan Anda untuk mengekstrak akar kuadrat, akar pangkat tiga, akar keempat, dll. masing-masing dari nomor dalam tabel ini. Mari kita jelaskan prinsip aplikasinya dalam mengekstraksi akar.

Misalkan kita perlu mengekstrak akar derajat ke-n dari bilangan a, sedangkan bilangan a terdapat pada tabel derajat ke-n. Menurut tabel ini, kami menemukan nomor b sedemikian rupa sehingga a=b n . Kemudian , oleh karena itu, angka b akan menjadi akar yang diinginkan dari derajat ke-n.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan bagaimana akar pangkat tiga 19683 diekstraksi menggunakan tabel kubus. Kami menemukan angka 19 683 dalam tabel kubus, darinya kami menemukan bahwa angka ini adalah pangkat tiga dari angka 27, oleh karena itu, .

Jelas bahwa tabel derajat ke-n sangat nyaman saat mengekstraksi akar. Namun, mereka sering tidak siap, dan kompilasi mereka membutuhkan waktu tertentu. Selain itu, seringkali diperlukan untuk mengekstrak akar dari angka yang tidak terdapat dalam tabel yang sesuai. Dalam kasus ini, seseorang harus menggunakan metode lain untuk mengekstrak akarnya.

Penguraian bilangan akar menjadi faktor prima

Cukup cara yang nyaman, yang memungkinkan ekstraksi akar dari bilangan asli (jika, tentu saja, akar diekstraksi) adalah dekomposisi bilangan akar menjadi faktor prima. Miliknya intinya adalah sebagai berikut: setelah itu cukup mudah untuk mewakilinya sebagai gelar dengan indikator yang diinginkan, yang memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai root. Mari kita jelaskan poin ini.

Biarkan akar derajat ke-n diekstraksi dari bilangan asli a, dan nilainya sama dengan b. Dalam hal ini, persamaan a=b n benar. Nomor b sebagai apapun bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai produk dari semua faktor primanya p 1 , p 2 , ..., p m dalam bentuk p 1 p 2 ... p m , dan bilangan akar a dalam hal ini direpresentasikan sebagai (p 1 p 2 ... p m) n. Karena penguraian bilangan menjadi faktor prima adalah unik, penguraian bilangan akar a menjadi faktor prima akan terlihat seperti (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , yang memungkinkan untuk menghitung nilai akar sebagai .

Perhatikan bahwa jika faktorisasi dari bilangan akar a tidak dapat dinyatakan dalam bentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , maka akar derajat ke-n dari bilangan a tersebut tidak terekstraksi sepenuhnya.

Mari kita tangani ini saat memecahkan contoh.

Contoh.

Ambil akar kuadrat dari 144 .

Keputusan.

Jika kita beralih ke tabel kuadrat yang diberikan pada paragraf sebelumnya, terlihat jelas bahwa 144=12 2 , dari mana jelas bahwa akar kuadrat dari 144 adalah 12 .

Tetapi mengingat poin ini, kami tertarik pada bagaimana akar diekstraksi dengan menguraikan nomor akar 144 menjadi faktor prima. Mari kita lihat solusi ini.

Mari kita terurai 144 ke faktor prima:

Yaitu, 144=2 2 2 2 3 3 . Berdasarkan dekomposisi yang dihasilkan, transformasi berikut dapat dilakukan: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Karena itu, .

Menggunakan sifat-sifat derajat dan sifat-sifat akar, solusinya dapat dirumuskan sedikit berbeda: .

Menjawab:

Untuk mengkonsolidasikan materi, pertimbangkan solusi dari dua contoh lagi.

Contoh.

Hitung nilai akarnya.

Keputusan.

Faktorisasi prima dari bilangan akar 243 adalah 243=3 5 . Dengan demikian, .

Menjawab:

Contoh.

Apakah nilai akar merupakan bilangan bulat?

Keputusan.

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita uraikan bilangan akar menjadi faktor prima dan lihat apakah bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat.

Kami memiliki 285 768=2 3 3 6 7 2 . Dekomposisi yang dihasilkan tidak direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat, karena derajat faktor prima 7 bukanlah kelipatan tiga. Oleh karena itu, akar pangkat tiga dari 285.768 tidak diambil seluruhnya.

Menjawab:

Tidak.

Mengekstrak akar dari bilangan pecahan

Saatnya mencari tahu bagaimana root diekstraksi bilangan pecahan. Biarkan nomor akar pecahan ditulis sebagai p/q . Menurut sifat akar hasil bagi, persamaan berikut adalah benar. Dari persamaan ini berikut aturan akar pecahan: Akar pecahan sama dengan hasil bagi membagi akar pembilang dengan akar penyebut.

Mari kita lihat contoh mengekstraksi akar dari pecahan.

Contoh.

Apa akar kuadrat dari pecahan biasa 25/169 .

Keputusan.

Berdasarkan tabel kuadrat, kita menemukan bahwa akar kuadrat dari pembilang dari pecahan asli adalah 5, dan akar kuadrat dari penyebutnya adalah 13. Kemudian . Ini melengkapi ekstraksi akar dari pecahan biasa 25/169.

Menjawab:

Akar pecahan desimal atau bilangan campuran diekstraksi setelah mengganti bilangan akar dengan pecahan biasa.

Contoh.

Ambil akar pangkat tiga dari desimal 474.552.

Keputusan.

Mari kita nyatakan desimal asli sebagai pecahan biasa: 474.552=474552/1000 . Kemudian . Tetap mengekstrak akar pangkat tiga yang ada di pembilang dan penyebut dari pecahan yang dihasilkan. Sebagai 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 dan 1 000=10 3 , maka dan . Tetap hanya untuk menyelesaikan perhitungan .

Menjawab:

.

Mengekstrak akar bilangan negatif

Secara terpisah, ada baiknya memikirkan mengekstraksi akar dari angka negatif. Saat mempelajari akar, kami mengatakan bahwa ketika eksponen akar adalah bilangan ganjil, maka angka negatif dapat berada di bawah tanda akar. Kami memberikan notasi tersebut arti berikut: untuk bilangan negatif a dan eksponen ganjil dari akar 2 n−1, kami memiliki . Kesetaraan ini memberikan aturan untuk mengekstrak akar ganjil dari bilangan negatif: untuk mengekstrak akar dari bilangan negatif, Anda perlu mengekstrak akar dari bilangan positif yang berlawanan, dan meletakkan tanda minus di depan hasilnya.

Mari kita pertimbangkan sebuah contoh solusi.

Contoh.

Temukan nilai akarnya.

Keputusan.

Mari kita ubah ekspresi aslinya sehingga angka positif muncul di bawah tanda akar: . Sekarang kita ganti bilangan campuran dengan pecahan biasa: . Kami menerapkan aturan mengekstraksi akar dari pecahan biasa: . Tetap menghitung akar pada pembilang dan penyebut dari pecahan yang dihasilkan: .

Berikut ringkasan solusinya: .

Menjawab:

.

Bitwise Menemukan Nilai Root

Dalam kasus umum, di bawah akar adalah angka yang, dengan menggunakan teknik yang dibahas di atas, tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari angka apa pun. Tetapi pada saat yang sama, ada kebutuhan untuk mengetahui nilai dari akar yang diberikan, setidaknya sampai tanda tertentu. Dalam hal ini, untuk mengekstrak root, Anda dapat menggunakan algoritme yang memungkinkan Anda untuk secara konsisten mendapatkan jumlah nilai yang cukup dari digit angka yang diinginkan.

Pada langkah pertama algoritma ini Anda perlu mencari tahu apa yang paling signifikan dari nilai akar. Untuk melakukan ini, angka 0, 10, 100, ... berturut-turut dipangkatkan ke n sampai diperoleh angka yang melebihi angka akar. Kemudian angka yang kita naikkan ke pangkat n pada langkah sebelumnya akan menunjukkan orde tinggi yang sesuai.

Misalnya, pertimbangkan langkah algoritme ini saat mengekstrak akar kuadrat dari lima. Kami mengambil angka 0, 10, 100, ... dan mengkuadratkannya sampai kami mendapatkan angka yang lebih besar dari 5 . Kami memiliki 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , yang berarti angka paling signifikan akan menjadi angka satuan. Nilai bit ini, serta yang lebih rendah, akan ditemukan pada langkah selanjutnya dari algoritma ekstraksi akar.

Semua langkah algoritma berikut ditujukan untuk penyempurnaan berturut-turut dari nilai root karena fakta bahwa nilai digit berikutnya dari nilai root yang diinginkan ditemukan, mulai dari yang tertinggi dan bergerak ke yang terendah . Misalnya, nilai akar pada langkah pertama adalah 2 , pada langkah kedua - 2.2 , pada langkah ketiga - 2.23 , dan seterusnya 2.236067977 ... . Mari kita jelaskan bagaimana nilai bit ditemukan.

Menemukan digit dilakukan dengan enumerasi mereka nilai yang mungkin 0, 1, 2, ..., 9 . Dalam hal ini, pangkat ke-n dari angka-angka yang sesuai dihitung secara paralel, dan mereka dibandingkan dengan angka akar. Jika pada tahap tertentu nilai derajat melebihi bilangan radikal, maka nilai digit yang sesuai dengan nilai sebelumnya dianggap ditemukan, dan transisi ke langkah berikutnya dari algoritma ekstraksi akar dibuat, jika ini tidak terjadi, maka nilai angka tersebut adalah 9 .

Mari kita jelaskan semua poin ini menggunakan contoh yang sama dalam mengekstrak akar kuadrat dari lima.

Pertama, cari nilai angka satuannya. Kami akan mengulangi nilai 0, 1, 2, …, 9 , menghitung masing-masing 0 2 , 1 2 , …, 9 2 sampai kami mendapatkan nilai yang lebih besar dari bilangan radikal 5 . Semua perhitungan ini disajikan dengan mudah dalam bentuk tabel:

Jadi nilai angka satuannya adalah 2 (karena 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Mari kita beralih ke mencari nilai tempat kesepuluh. Dalam hal ini, kami akan mengkuadratkan angka 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, membandingkan nilai yang diperoleh dengan angka root 5:

Sejak 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , maka nilai tempat kesepuluh adalah 2 . Anda dapat melanjutkan untuk menemukan nilai tempat perseratus:

Jadi ditemukan nilai berikutnya akar lima, sama dengan 2.23. Dan agar Anda dapat terus menemukan nilai lebih lanjut: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis ekstraksi root dengan akurasi seperseratus menggunakan algoritma yang dipertimbangkan.

Pertama, kita mendefinisikan digit senior. Untuk melakukan ini, kita kubus angka 0, 10, 100, dll. sampai kita mendapatkan angka yang lebih besar dari 2.151.186 . Kami memiliki 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , jadi angka terpenting adalah angka puluhan.

Mari kita tentukan nilainya.

Sejak 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151.186 , maka nilai bilangan puluhannya adalah 1 . Mari kita beralih ke unit.

Jadi, nilai tempat satuan adalah 2 . Mari kita beralih ke sepuluh.

Karena genap 12,9 3 lebih kecil dari bilangan radikal 2 151,186 , nilai tempat kesepuluh adalah 9 . Tetap melakukan langkah terakhir dari algoritma, itu akan memberi kita nilai root dengan akurasi yang diperlukan.

Pada tahap ini, nilai akar ditemukan hingga seperseratus: .

Sebagai penutup artikel ini, saya ingin mengatakan bahwa ada banyak cara lain untuk mengekstrak akar. Tetapi untuk sebagian besar tugas, yang kami pelajari di atas sudah cukup.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).