Penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval. Memecahkan pertidaksamaan kuadrat dengan metode interval

Metode interval dianggap universal untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Terkadang metode ini disebut juga dengan metode gap. Ini dapat digunakan baik untuk memecahkan pertidaksamaan rasional dengan satu variabel dan untuk pertidaksamaan jenis lainnya. Dalam materi kami, kami mencoba memperhatikan semua aspek masalah.

Apa yang menanti Anda di bagian ini? Kami akan menganalisis metode kesenjangan dan mempertimbangkan algoritma untuk memecahkan ketidaksetaraan menggunakannya. Mari kita sentuh aspek teoretis yang menjadi dasar penerapan metode tersebut.

Kami memberikan perhatian khusus pada nuansa topik, yang biasanya tidak tercakup dalam kurikulum sekolah. Misalnya, pertimbangkan aturan untuk menempatkan tanda pada interval dan metode interval dalam pandangan umum tanpa menghubungkannya dengan ketidaksetaraan rasional.

Yandex.RTB R-A-339285-1

algoritma

Siapa yang ingat bagaimana metode gap diperkenalkan dalam kursus aljabar sekolah? Biasanya semuanya dimulai dengan menyelesaikan pertidaksamaan bentuk f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >atau ). Di sini f(x) dapat berupa polinomial atau rasio polinomial. Polinomial, pada gilirannya, dapat direpresentasikan sebagai:

produk binomial linier dengan koefisien 1 untuk variabel x;
produk dari trinomial persegi dengan koefisien terkemuka 1 dan dengan diskriminan negatif dari akar-akarnya.

Berikut adalah beberapa contoh ketidaksetaraan tersebut:

(x + 3) (x 2 x + 1) (x + 2) 3 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x 5) (x + 5) 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 0 .

Kami menulis algoritma untuk memecahkan ketidaksetaraan semacam ini, seperti yang telah kami berikan dalam contoh, menggunakan metode interval:

kami menemukan nol dari pembilang dan penyebut, untuk ini kami menyamakan pembilang dan penyebut dari ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan menjadi nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan;
tentukan titik-titik yang sesuai dengan nol yang ditemukan dan tandai dengan tanda hubung pada sumbu koordinat;
tentukan tanda ekspresi f(x) dari sisi kiri pertidaksamaan yang diselesaikan pada setiap interval dan letakkan pada grafik;
terapkan penetasan pada bagian grafik yang diinginkan, dipandu oleh aturan selanjutnya: jika pertidaksamaan memiliki tanda< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >atau , lalu kita pilih dengan mengarsir area yang bertanda “+”.

Gambar yang akan kita kerjakan mungkin memiliki tampilan skematis. Detail yang berlebihan dapat membebani gambar dan membuatnya sulit untuk diputuskan. Kami akan sedikit tertarik pada skala. Itu akan cukup untuk menempel lokasi yang benar poin saat nilai koordinatnya meningkat.

Saat bekerja dengan pertidaksamaan ketat, kami akan menggunakan notasi titik dalam bentuk lingkaran dengan pusat yang tidak terisi (kosong). Dalam kasus ketidaksetaraan yang tidak ketat, titik-titik yang sesuai dengan nol penyebut akan ditampilkan sebagai kosong, dan sisanya sebagai hitam biasa.

Titik-titik yang ditandai membagi garis koordinat menjadi beberapa interval numerik. Ini memungkinkan kita untuk mendapatkan representasi geometris dari himpunan bilangan, yang sebenarnya merupakan solusi dari pertidaksamaan yang diberikan.

Dasar ilmiah dari metode kesenjangan

Pendekatan yang mendasari metode interval didasarkan pada properti berikut dari fungsi kontinu: fungsi mempertahankan tanda konstan pada interval (a, b) di mana fungsi ini kontinu dan tidak hilang. Properti yang sama adalah tipikal untuk sinar bilangan(−∞ , a) dan (a , +∞).

Properti fungsi di atas dikonfirmasi oleh teorema Bolzano-Cauchy, yang diberikan dalam banyak manual untuk mempersiapkan ujian masuk.

Dimungkinkan juga untuk membenarkan keteguhan tanda pada interval berdasarkan sifat-sifat pertidaksamaan numerik. Misalnya, ambil pertidaksamaan x - 5 x + 1 > 0 . Jika kita menemukan nol dari pembilang dan penyebut dan meletakkannya pada garis bilangan, kita mendapatkan serangkaian celah: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) dan (5 , + ) .

Mari kita ambil salah satu interval dan tunjukkan bahwa pada seluruh interval ekspresi dari sisi kiri pertidaksamaan akan memiliki tanda konstan. Biarkan ini menjadi interval (− , 1) . Mari kita ambil nomor t dari interval ini. Ini akan memenuhi kondisi t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Dengan menggunakan kedua pertidaksamaan yang diperoleh dan sifat pertidaksamaan numerik, kita dapat mengasumsikan bahwa t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t pada interval (− , 1) .

Dengan menggunakan aturan pembagian bilangan negatif, kita dapat menyatakan bahwa nilai ekspresi t - 5 t + 1 akan positif. Ini berarti bahwa nilai ekspresi x - 5 x + 1 akan positif untuk nilai apa pun x dari celah (− ∞ , − 1) . Semua ini memungkinkan kita untuk menegaskan bahwa pada interval yang diambil sebagai contoh, ekspresi memiliki tanda konstan. Dalam kasus kami, ini adalah tanda "+".

Menemukan angka nol dari pembilang dan penyebut

Algoritme untuk menemukan nol sederhana: kami menyamakan ekspresi dari pembilang dan penyebut menjadi nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Jika Anda mengalami kesulitan, Anda dapat merujuk ke topik "Menyelesaikan Persamaan dengan Memfaktorkan". Di bagian ini, kami membatasi diri pada sebuah contoh.

Perhatikan pecahan x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Untuk mencari nol pembilang dan penyebut, kita samakan dengan nol untuk mendapatkan dan menyelesaikan persamaan: x (x 0, 6) = 0 dan x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Dalam kasus pertama, kita dapat pergi ke himpunan dua persamaan x = 0 dan x 0 , 6 = 0 , yang memberi kita dua akar 0 dan 0 , 6 . Ini adalah angka nol dari pembilangnya.

Persamaan kedua setara dengan himpunan tiga persamaan x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Kami melakukan serangkaian transformasi dan mendapatkan x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Akar persamaan pertama adalah 0, persamaan kedua tidak memiliki akar, karena memiliki diskriminan negatif, akar persamaan ketiga adalah 5. Ini adalah nol dari penyebut.

0 dalam hal ini adalah nol pembilang dan nol penyebut.

Pada umumnya, bila ada pecahan di ruas kiri pertidaksamaan yang belum tentu rasional, pembilang dan penyebutnya juga disamakan dengan nol untuk memperoleh persamaan. Memecahkan persamaan memungkinkan Anda menemukan nol pembilang dan penyebut.

Menentukan tanda interval itu sederhana. Untuk melakukan ini, Anda dapat menemukan nilai ekspresi dari sisi kiri pertidaksamaan untuk setiap titik yang dipilih secara sewenang-wenang dari interval yang diberikan. Tanda yang dihasilkan dari nilai ekspresi pada titik interval yang dipilih secara sewenang-wenang akan bertepatan dengan tanda seluruh interval.

Mari kita lihat pernyataan ini dengan sebuah contoh.

Ambil pertidaksamaan x 2 - x + 4 x + 3 0 . Ekspresi yang terletak di sisi kiri pertidaksamaan tidak memiliki nol di pembilangnya. Penyebut nol akan menjadi angka - 3 . Kami mendapatkan dua celah pada garis bilangan (− ∞ , − 3) dan (− 3 , + ) .

Untuk menentukan tanda-tanda interval, kami menghitung nilai ekspresi x 2 - x + 4 x + 3 untuk titik yang diambil secara sewenang-wenang pada setiap interval.

Dari interval pertama (− ∞ , − 3) ambil - 4 . Pada x = -4 kita memiliki (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Kita punya arti negatif, sehingga seluruh interval akan dengan tanda "-".

untuk rentang (− 3 , + ∞) mari kita melakukan perhitungan dengan titik yang memiliki koordinat nol. Untuk x = 0 kita memiliki 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Kami mendapat nilai positif, yang berarti bahwa seluruh interval akan memiliki tanda "+".

Anda dapat menggunakan cara lain untuk mendefinisikan tanda. Untuk melakukan ini, kita dapat menemukan tanda pada salah satu interval dan menyimpannya atau mengubahnya ketika melewati nol. Untuk melakukan semuanya dengan benar, Anda harus mengikuti aturan: ketika melewati nol penyebut, tetapi bukan pembilangnya, atau pembilangnya, tetapi bukan penyebutnya, kita dapat mengubah tanda sebaliknya jika derajatnya ekspresi yang memberikan nol ini ganjil, dan kita tidak dapat mengubah tandanya jika derajatnya genap. Jika kita mendapatkan titik yang pembilang dan penyebutnya nol, maka tandanya bisa diubah menjadi kebalikannya hanya jika jumlah pangkat dari ekspresi yang memberikan nol ini ganjil.

Jika kita mengingat pertidaksamaan yang kita bahas di awal paragraf pertama materi ini, maka pada interval paling kanan kita bisa memberi tanda “+”.

Sekarang mari kita beralih ke contoh.

Ambil pertidaksamaan (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) 0 dan selesaikan dengan metode interval. Untuk melakukan ini, kita perlu menemukan nol pembilang dan penyebut dan menandainya pada garis koordinat. Angka nol dari pembilang akan menjadi poin 2 , 3 , 4 , penyebut titik 1 , 3 , 4 . Kami menandainya pada sumbu koordinat dengan tanda hubung.

Angka nol penyebut ditandai dengan titik-titik kosong.

Karena kita berurusan dengan pertidaksamaan tidak ketat, kita ganti tanda hubung yang tersisa dengan titik biasa.

Sekarang mari kita tempatkan titik-titik pada interval. Rentang paling kanan (4, +∞) akan menjadi tanda +.

Bergerak dari kanan ke kiri, kami akan menandai celah yang tersisa. Kami melewati titik dengan koordinat 4 . Ini adalah nol dari pembilang dan penyebut. Singkatnya, nol ini memberikan ekspresi (x 4) 2 dan x 4. Kami menambahkan kekuatan mereka 2 + 1 = 3 dan mendapatkan angka ganjil. Artinya tanda dalam transisi dalam hal ini berubah menjadi kebalikannya. Pada interval (3, 4) akan ada tanda minus.

Kami melewati interval (2 , 3) melalui titik dengan koordinat 3 . Ini juga nol untuk pembilang dan penyebutnya. Kami mendapatkannya berkat dua ekspresi (x 3) 3 dan (x 3) 5, yang jumlah pangkatnya adalah 3 + 5 = 8 . Mendapatkan bilangan genap memungkinkan kita untuk membiarkan tanda interval tidak berubah.

Titik dengan koordinat 2 adalah nol pembilangnya. Derajat ekspresi x - 2 sama dengan 1 (ganjil). Artinya ketika melewati titik ini, tanda harus dibalik.

Kita dibiarkan dengan interval terakhir (− , 1) . Titik dengan koordinat 1 adalah penyebut nol. Itu berasal dari ekspresi (x 1) 4, dengan derajat genap 4 . Karena itu, tandanya tetap sama. Gambar akhir akan terlihat seperti ini:

Penggunaan metode interval sangat efektif dalam kasus di mana perhitungan nilai ekspresi dikaitkan dengan sejumlah besar pekerjaan. Contohnya adalah kebutuhan untuk mengevaluasi nilai ekspresi

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

pada setiap titik interval 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Sekarang mari kita terapkan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dalam praktik.

Contoh 1

Selesaikan pertidaksamaan (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 0 .

Keputusan

Disarankan untuk menerapkan metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Carilah angka nol dari pembilang dan penyebutnya. Pembilang nol adalah 1 dan - 5 , nol penyebut adalah 7 dan 1 . Mari kita tandai mereka di garis bilangan. Kami berurusan dengan pertidaksamaan yang tidak ketat, jadi kami akan menandai nol penyebut dengan titik-titik kosong, nol dari pembilang - 5 akan ditandai dengan titik yang diisi biasa.

Kami meletakkan tanda-tanda celah menggunakan aturan untuk mengubah tanda saat melewati nol. Mari kita mulai dengan interval paling kanan, di mana kita menghitung nilai ekspresi dari sisi kiri pertidaksamaan pada titik yang diambil secara acak dari interval. Kami mendapatkan tanda "+". Mari kita melewati semua titik pada garis koordinat secara berurutan, menempatkan tanda, dan mendapatkan:

Kami bekerja dengan pertidaksamaan tidak ketat yang memiliki tanda . Ini berarti bahwa kita perlu menandai celah yang ditandai dengan tanda “-” dengan bayangan.

Menjawab: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Solusi ketidaksetaraan rasional dalam banyak kasus membutuhkan transformasi awal mereka untuk jenis yang tepat. Hanya dengan demikian menjadi mungkin untuk menggunakan metode interval. Algoritma untuk melakukan transformasi semacam itu dipertimbangkan dalam materi "Pemecahan ketidaksetaraan rasional".

Perhatikan contoh mengubah trinomial persegi menjadi pertidaksamaan.

Contoh 2

Temukan solusi dari pertidaksamaan (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Keputusan

Mari kita lihat apakah diskriminan trinomial kuadrat dalam catatan pertidaksamaan benar-benar negatif. Ini akan memungkinkan kita untuk menentukan apakah bentuk pertidaksamaan ini memungkinkan kita untuk menerapkan metode interval ke solusi.

Hitung diskriminan untuk trinomial x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 4 1 3 = 3< 0 . Sekarang mari kita hitung diskriminan untuk trinomial x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Seperti yang Anda lihat, ketidaksetaraan membutuhkan transformasi awal. Untuk melakukan ini, kami mewakili trinomial x 2 + 2 x 8 sebagai (x + 4) (x 2), lalu terapkan metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Menjawab: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Metode kesenjangan umum digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk f (x)< 0 (≤ , >, ) , di mana f (x) adalah ekspresi arbitrer dengan satu variabel x.

Semua tindakan dilakukan sesuai dengan algoritma tertentu. Dalam hal ini, algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan metode interval umum akan sedikit berbeda dari apa yang telah kita analisis sebelumnya:

temukan domain dari fungsi f dan nol dari fungsi ini;
tandai titik batas pada sumbu koordinat;
plot nol fungsi pada garis bilangan;
menentukan tanda-tanda interval;
kami menerapkan penetasan;
tuliskan jawabannya.

Pada garis bilangan, juga perlu untuk menandai titik individu dari domain definisi. Misalnya, domain suatu fungsi adalah himpunan (− 5 , 1 ] ( 3 ) [ 4 , 7) ( 10 ) . Ini berarti bahwa kita perlu menandai titik dengan koordinat 5 , 1 , 3 , 4 , 7 dan 10 . poin − 5 dan 7 ditampilkan kosong, sisanya dapat disorot dengan pensil warna untuk membedakannya dari fungsi nol.

Angka nol dari fungsi dalam kasus pertidaksamaan tidak ketat ditandai dengan titik biasa (berbayang), dan untuk pertidaksamaan ketat, dengan titik kosong. Jika nol bertepatan dengan titik batas atau titik individu dari domain definisi, maka mereka dapat diwarnai kembali dengan warna hitam, membuatnya kosong atau terisi, tergantung pada jenis ketidaksetaraan.

Catatan tanggapan adalah kumpulan nomor yang mencakup:

celah yang menetas;
titik individu domain dengan tanda plus jika kita berhadapan dengan pertidaksamaan yang bertanda > atau atau dengan tanda minus jika ada tanda dalam pertidaksamaan< или ≤ .

Sekarang menjadi jelas bahwa algoritme yang kami sajikan di awal topik adalah kasus khusus dari algoritme untuk menerapkan metode interval umum.

Pertimbangkan contoh penerapan metode interval umum.

Contoh 3

Selesaikan pertidaksamaan x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Keputusan

Kami memperkenalkan fungsi f sedemikian rupa sehingga f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Temukan domain dari fungsi f:

x 2 + 2 x - 24 0 x 7 D (f) = (- , - 6 ] [ 4 , 7) (7 , + ) .

Sekarang mari kita cari nol dari fungsinya. Untuk melakukan ini, kita akan memecahkan persamaan irasional:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Kami mendapatkan akar x = 12 .

Untuk menentukan titik batas pada sumbu koordinat, kami menggunakan warna oranye. Poin - 6, 4 akan terisi, dan 7 akan dibiarkan kosong. Kita mendapatkan:

Kami menandai nol dari fungsi dengan titik hitam kosong, karena kami bekerja dengan ketidaksetaraan yang ketat.

Kami menentukan tanda-tanda pada interval terpisah. Untuk melakukan ini, ambil satu titik dari setiap interval, misalnya, 16 , 8 , 6 dan − 8 , dan hitung nilai fungsi di dalamnya f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Kami menempatkan tanda-tanda yang baru saja kami tentukan, dan menerapkan penetasan di atas celah dengan tanda minus:

Jawabannya adalah penyatuan dua celah dengan tanda "-": (− , 6 ] (7 , 12) .

Sebagai tanggapan, kami telah menyertakan titik dengan koordinat - 6 . Ini bukan nol dari fungsi, yang tidak akan kami sertakan dalam jawaban saat menyelesaikan pertidaksamaan ketat, tetapi titik batas domain definisi, yang termasuk dalam domain definisi. Nilai fungsi pada titik ini adalah negatif, yang berarti memenuhi pertidaksamaan.

Kami tidak memasukkan poin 4 dalam jawaban, sama seperti kami tidak memasukkan seluruh interval [4, 7] . Pada titik ini, seperti pada seluruh interval yang ditentukan, nilai fungsinya adalah positif, yang tidak memenuhi pertidaksamaan yang sedang diselesaikan.

Mari kita tuliskan lagi untuk pemahaman yang lebih jelas: titik-titik berwarna harus disertakan dalam jawaban dalam kasus-kasus berikut:

titik-titik ini adalah bagian dari celah yang menetas,
titik-titik ini adalah titik-titik terpisah dari domain fungsi, nilai-nilai fungsi yang memenuhi pertidaksamaan yang sedang diselesaikan.

Menjawab: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Metode Spasi adalah cara sederhana untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan. Ini adalah nama pertidaksamaan yang mengandung ekspresi rasional (atau fraksional-rasional) yang bergantung pada variabel.

1. Perhatikan, misalnya, pertidaksamaan berikut

Metode interval memungkinkan Anda untuk menyelesaikannya dalam beberapa menit.

Di sisi kiri pertidaksamaan ini adalah fungsi rasional pecahan. Rasional, karena tidak mengandung akar, sinus, atau logaritma - hanya ekspresi rasional. Di sebelah kanan adalah nol.

Metode interval didasarkan pada properti berikut dari fungsi rasional pecahan.

Fungsi rasional pecahan dapat berubah tanda hanya pada titik-titik yang sama dengan nol atau tidak ada.

Ingat cara memfaktorkan trinomial persegi, yaitu, ekspresi dari bentuk .

Di mana dan di mana akarnya? persamaan kuadrat.

Kami menggambar sumbu dan mengatur titik-titik di mana pembilang dan penyebut menghilang.

Angka nol dari penyebut dan adalah titik-titik tertusuk, karena pada titik-titik ini fungsi di sisi kiri pertidaksamaan tidak ditentukan (Anda tidak dapat membagi dengan nol). Angka nol dari pembilang dan - diarsir karena pertidaksamaannya tidak tegas. Untuk dan ketidaksamaan kita terpenuhi, karena kedua bagiannya sama dengan nol.

Titik-titik ini memecah sumbu menjadi interval.

Mari kita tentukan tanda fungsi pecahan-rasional di sisi kiri pertidaksamaan kita pada setiap interval ini. Kita ingat bahwa fungsi rasional pecahan dapat berubah tanda hanya pada titik-titik di mana ia sama dengan nol atau tidak ada. Ini berarti bahwa pada setiap interval antara titik-titik di mana pembilang atau penyebut menghilang, tanda ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan akan konstan - baik "plus" atau "minus".

Dan oleh karena itu, untuk menentukan tanda fungsi pada setiap interval tersebut, kami mengambil titik mana pun yang termasuk dalam interval ini. Yang cocok untuk kita.
. Ambil, misalnya, dan periksa tanda ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan. Setiap "tanda kurung" adalah negatif. Sisi kiri memiliki tanda.

Interval berikutnya: . Mari kita periksa tanda untuk . Kami mendapatkan bahwa sisi kiri telah berubah tanda menjadi .

Mari kita ambil . Ketika ekspresi positif - oleh karena itu, itu positif pada seluruh interval dari ke .

Untuk , ruas kiri pertidaksamaan adalah negatif.

Dan akhirnya class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Kami telah menemukan pada interval berapa ekspresi positif. Tetap menulis jawabannya:

Menjawab: .

Harap dicatat: tanda-tanda pada interval bergantian. Ini terjadi karena ketika melewati setiap titik, tepat satu faktor linier berubah tanda, dan sisanya tetap tidak berubah.

Kita melihat bahwa metode interval sangat sederhana. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan fraksional-rasional dengan metode interval, kami membawanya ke bentuk:

Atau class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, atau atau .

(di sisi kiri - fungsi pecahan-rasional, di sisi kanan - nol).

Kemudian - kami menandai pada garis bilangan titik-titik di mana pembilang atau penyebutnya hilang.
Titik-titik ini membagi seluruh garis bilangan menjadi interval-interval, yang masing-masingnya mempertahankan tandanya dengan fungsi pecahan-rasional.
Tetap hanya untuk mengetahui tandanya pada setiap interval.
Kami melakukan ini dengan memeriksa tanda ekspresi pada setiap titik dalam interval yang diberikan. Setelah itu, kami menuliskan jawabannya. Itu saja.

Tetapi muncul pertanyaan: apakah tanda-tanda itu selalu bergantian? Tidak, tidak selalu! Kita harus berhati-hati untuk tidak menempatkan tanda-tanda secara mekanis dan tanpa berpikir.

2. Mari kita lihat ketidaksetaraan lainnya.

Kelas="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \kiri(x-3\kanan))>0"> !}

Kami kembali menempatkan titik pada sumbu. Titik dan ditusuk karena mereka adalah nol dari penyebut. Titik juga tertusuk, karena ketidaksetaraannya sangat ketat.

Bila pembilangnya positif, maka kedua faktor penyebutnya negatif. Ini mudah untuk diperiksa dengan mengambil nomor apa pun dari interval tertentu, misalnya, . Sisi kiri memiliki tanda:

Bila pembilangnya positif; faktor pertama penyebutnya positif, faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:

Ketika situasinya sama! Pembilangnya positif, faktor pertama penyebutnya positif, faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:

Akhirnya, dengan class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Menjawab: .

Mengapa pergantian karakter rusak? Karena ketika melewati titik, pengganda "bertanggung jawab" untuk itu tidak berubah tanda. Akibatnya, seluruh ruas kiri pertidaksamaan kita juga tidak berubah tanda.

Kesimpulan: jika faktor linier dalam pangkat genap (misalnya, dalam bujur sangkar), maka ketika melewati suatu titik, tanda ekspresi di sisi kiri tidak berubah. Dalam kasus derajat ganjil, tandanya tentu saja berubah.

3. Pertimbangkan lebih banyak kasus yang sulit. Ini berbeda dari yang sebelumnya karena ketidaksetaraan tidak ketat:

Sisi kiri sama seperti pada soal sebelumnya. Gambar tanda akan sama:

Mungkin jawabannya akan sama? Bukan! Solusinya ditambahkan Ini karena di bagian kiri dan kanan pertidaksamaan sama dengan nol - oleh karena itu, titik ini adalah solusi.

Menjawab: .

Dalam masalah ujian matematika, situasi ini sering dijumpai. Di sini, pelamar jatuh ke dalam perangkap dan kehilangan poin. Hati-hati!

4. Bagaimana jika pembilang atau penyebut tidak dapat difaktorkan ke dalam faktor linier? Pertimbangkan ketidaksetaraan ini:

Trinomial kuadrat tidak dapat difaktorkan: diskriminannya negatif, tidak ada akar. Tapi ini bagus! Ini berarti bahwa tanda ekspresinya sama untuk semua, dan secara khusus, itu positif. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang ini di artikel properti. fungsi kuadrat.

Dan sekarang kita dapat membagi kedua sisi ketidaksetaraan kita dengan nilai yang positif untuk semua . Kami sampai pada ketidaksetaraan yang setara:

Yang mudah diselesaikan dengan metode interval.

Perhatikan - kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai, yang kami tahu pasti bahwa itu positif. Tentu saja, dalam kasus umum, Anda tidak boleh mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan variabel, yang tandanya tidak diketahui.

5 . Pertimbangkan ketidaksetaraan lain, yang tampaknya cukup sederhana:

Jadi saya ingin mengalikannya dengan . Tapi kami sudah pintar, dan kami tidak akan melakukan ini. Bagaimanapun, itu bisa positif dan negatif. Dan kita tahu bahwa jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan dengan nilai negatif, tanda pertidaksamaan berubah.

Kami akan bertindak secara berbeda - kami akan mengumpulkan semuanya dalam satu bagian dan membawanya ke penyebut yang sama. Nol akan tetap berada di sisi kanan:

Kelas="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Dan setelah itu - berlaku metode interval.

1. Perhatikan, misalnya, pertidaksamaan berikut

Metode interval memungkinkan Anda untuk menyelesaikannya dalam beberapa menit.

Di sisi kiri pertidaksamaan ini adalah fungsi rasional pecahan. Rasional, karena tidak mengandung akar, sinus, atau logaritma - hanya ekspresi rasional. Di sebelah kanan adalah nol.

Metode interval didasarkan pada properti berikut dari fungsi rasional pecahan.

Fungsi rasional pecahan dapat berubah tanda hanya pada titik-titik yang sama dengan nol atau tidak ada.

Ingat bagaimana sebuah trinomial persegi difaktorkan, yaitu, ekspresi dari bentuk .

Dimana dan adalah akar-akar persamaan kuadrat.

Kami menggambar sumbu dan mengatur titik-titik di mana pembilang dan penyebut menghilang.

Titik-titik ini memecah sumbu menjadi interval.

Interval berikutnya: . Mari kita periksa tanda untuk . Kami mendapatkan bahwa sisi kiri telah berubah tanda menjadi .

Mari kita ambil . Ketika ekspresi positif - oleh karena itu, itu positif pada seluruh interval dari ke .

Untuk , ruas kiri pertidaksamaan adalah negatif.

Kami telah menemukan pada interval berapa ekspresi positif. Tetap menulis jawabannya:

Menjawab: .

Harap dicatat: tanda-tanda pada interval bergantian. Ini terjadi karena ketika melewati setiap titik, tepat satu faktor linier berubah tanda, dan sisanya tetap tidak berubah.

Kita melihat bahwa metode interval sangat sederhana. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan fraksional-rasional dengan metode interval, kami membawanya ke bentuk:

Atau class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, atau atau .

(di sisi kiri - fungsi pecahan-rasional, di sisi kanan - nol).

Tetapi muncul pertanyaan: apakah tanda-tanda itu selalu bergantian? Tidak, tidak selalu! Kita harus berhati-hati untuk tidak menempatkan tanda-tanda secara mekanis dan tanpa berpikir.

2. Mari kita lihat ketidaksetaraan lainnya.

Kelas="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \kiri(x-3\kanan))>0"> !}

Kami kembali menempatkan titik pada sumbu. Titik dan ditusuk karena mereka adalah nol dari penyebut. Titik juga tertusuk, karena ketidaksetaraannya sangat ketat.

Bila pembilangnya positif, maka kedua faktor penyebutnya negatif. Ini mudah untuk diperiksa dengan mengambil nomor apa pun dari interval tertentu, misalnya, . Sisi kiri memiliki tanda:

Bila pembilangnya positif; faktor pertama penyebutnya positif, faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:

Ketika situasinya sama! Pembilangnya positif, faktor pertama penyebutnya positif, faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:

Akhirnya, dengan class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Menjawab: .

3. Mari kita pertimbangkan kasus yang lebih rumit. Ini berbeda dari yang sebelumnya karena ketidaksetaraan tidak ketat:

Sisi kiri sama seperti pada soal sebelumnya. Gambar tanda akan sama:

Mungkin jawabannya akan sama? Bukan! Solusinya ditambahkan Ini karena di bagian kiri dan kanan pertidaksamaan sama dengan nol - oleh karena itu, titik ini adalah solusi.

Menjawab: .

Dalam masalah ujian matematika, situasi ini sering dijumpai. Di sini, pelamar jatuh ke dalam perangkap dan kehilangan poin. Hati-hati!

4. Bagaimana jika pembilang atau penyebut tidak dapat difaktorkan ke dalam faktor linier? Pertimbangkan ketidaksetaraan ini:

Dan sekarang kita dapat membagi kedua sisi ketidaksetaraan kita dengan nilai yang positif untuk semua . Kami sampai pada ketidaksetaraan yang setara:

Yang mudah diselesaikan dengan metode interval.

5 . Pertimbangkan ketidaksetaraan lain, yang tampaknya cukup sederhana:

Kami akan bertindak secara berbeda - kami akan mengumpulkan semuanya dalam satu bagian dan membawanya ke penyebut yang sama. Nol akan tetap berada di sisi kanan:

Kelas="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Dan setelah itu - berlaku metode interval.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval (algoritma dengan contoh)

Contoh . (tugas dari OGE) Selesaikan pertidaksamaan dengan metode interval \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Keputusan:

Menjawab : \((7;7+\sqrt(11))\)

Contoh . Selesaikan pertidaksamaan dengan metode interval \(≥0\)
Keputusan:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Di sini, pada pandangan pertama, semuanya tampak normal, dan ketidaksetaraan pada awalnya direduksi menjadi bentuk yang diinginkan. Tapi ini tidak benar - lagi pula, di tanda kurung pertama dan ketiga pembilang, x dengan tanda minus. Kami mengubah tanda kurung, dengan mempertimbangkan fakta bahwa derajat keempat genap (yaitu, akan menghilangkan tanda minus), dan yang ketiga ganjil (yaitu, tidak akan menghapusnya). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Seperti ini. Sekarang kami mengembalikan tanda kurung "di tempat" yang sudah dikonversi.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Sekarang semua tanda kurung terlihat sebagaimana mestinya (pertama muncul setelan yang tidak ditandatangani, dan baru kemudian nomornya). Tapi ada minus di depan pembilangnya. Kami menghapusnya dengan mengalikan pertidaksamaan dengan \(-1\), jangan lupa untuk membalikkan tanda perbandingan
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Siap. Sekarang ketidaksetaraan terlihat benar. Anda dapat menggunakan metode interval.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		Mari tempatkan titik pada sumbu, tanda dan cat di atas celah yang diperlukan.
		Pada interval dari \(4\) ke \(6\), tanda tidak perlu diubah, karena tanda kurung \((x-6)\) berderajat genap (lihat paragraf 4 dari algoritma) . Bendera itu akan menjadi pengingat bahwa enam juga merupakan solusi ketidaksetaraan. Ayo tuliskan jawabannya.

Menjawab : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\kiri\(6\kanan\)\)

Contoh.(Tugas dari OGE) Selesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Keputusan:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Kiri dan kanan sama - ini jelas bukan kebetulan. Keinginan pertama adalah membagi dengan \(-x^2-64\), tetapi ini adalah kesalahan, karena ada kemungkinan kehilangan root. Alih-alih, pindahkan \(64(-x^2-64)\) ke sisi kiri
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Keluarkan minus di kurung pertama dan faktorkan yang kedua
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Perhatikan bahwa \(x^2\) adalah nol atau lebih besar dari nol. Ini berarti \(x^2+64\) unik positif untuk nilai x apa pun, yaitu, ekspresi ini tidak memengaruhi tanda sisi kiri dengan cara apa pun. Oleh karena itu, kita dapat dengan aman membagi kedua bagian pertidaksamaan dengan ekspresi ini. Mari kita juga membagi pertidaksamaan dengan \(-1\) untuk menghilangkan minusnya.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Sekarang Anda dapat menerapkan metode interval
\(x=8;\) \(x=-8\)		Ayo tuliskan jawabannya