Փոփոխական սահման. Հերթականության սահմանափակում

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ ԵՎ ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿՆԵՐ IX

§ 201. հաստատուններ և փոփոխականներ. Ֆունկցիայի հայեցակարգ

Մենք արդեն մեկ անգամ չէ, որ հանդիպել ենք ֆունկցիա հասկացությանը։ I մասում մենք նայեցինք գծային, քառակուսի, ուժային և եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Նախորդ գլուխը նվիրված էր էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ուսումնասիրությանը։ Հիմա մենք պետք է անենք ընդհանուր վերանայումայն, ինչ մենք արդեն գիտենք գործառույթների մասին և հաշվի առնենք որոշ նոր հարցեր:

Դիտարկելով զանազան գործընթացներ՝ կարելի է նկատել, որ դրանցում ներգրավված քանակներն այլ կերպ են վարվում՝ մի մասը փոխվում է, մյուսները մնում են անփոփոխ։ Եթե, օրինակ, ABC եռանկյան մեջ B գագաթը շարժվում է MN ուղիղ գծով AC հիմքին զուգահեռ (նկ. 263), ապա A, B և C անկյունների արժեքները շարունակաբար կփոխվեն, և դրանց գումարը՝ բարձրությունը հ իսկ եռանկյան մակերեսը կմնա անփոփոխ:

Մեկ այլ օրինակ. Եթե ​​որևէ գազ սեղմվում է հաստատուն ջերմաստիճանում, ապա դրա ծավալը ( Վ) և ճնշում ( Ռ) կփոխվի՝ ծավալը կնվազի, ճնշումը կմեծանա։ Այս քանակությունների արտադրյալը, ինչպես սահմանված է Բոյլ-Մարիոտի օրենքով, կմնա հաստատուն.

Vp=c ,

որտեղ -ից որոշակի հաստատուն է:

Բոլոր մեծությունները կարելի է բաժանել հաստատունների և փոփոխականների։

Ցանկացած գործընթացում ներգրավված փոփոխականները սովորաբար չեն փոխվում միմյանցից անկախ, այլ միմյանց հետ սերտ կապի մեջ: Օրինակ, գազի սեղմումը (հաստատուն ջերմաստիճանում) հանգեցնում է նրա ծավալի փոփոխության, իսկ դա, իր հերթին, առաջացնում է գազի ճնշման փոփոխություն։ Մխոցի հիմքի շառավիղի փոփոխությունը առաջացնում է այս բազայի տարածքի փոփոխություն. վերջինս հանգեցնում է մխոցի ծավալի փոփոխության և այլն։Այս կամ այն ​​գործընթացի մաթեմատիկական ուսումնասիրության սահուն խնդիրներից է պարզել, թե ինչպես է որոշ փոփոխականների փոփոխությունն ազդում այլ փոփոխականների փոփոխության վրա։

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։ Բոյլի օրենքը վերը նշված - Մարիոտն ասում է, որ մշտական ​​ջերմաստիճանում գազի ծավալը Վ փոխվում է հակադարձ ճնշման հետ Ռ : Վ = գ / էջ . Եթե ​​ճնշումը հայտնի է, ապա գազի ծավալը կարելի է հաշվարկել այս բանաձևով. Նմանապես, բանաձեւը S = π r 2-ը թույլ է տալիս որոշել S շրջանագծի տարածքը, եթե նրա շառավիղը հայտնի է r . Ըստ բանաձևի β = π / 2 - α գտնել սուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյուն, եթե հայտնի է այս եռանկյան մեկ այլ սուր անկյուն և այլն։

Երկու փոփոխականներ համեմատելիս հարմար է դրանցից մեկը դիտարկել որպես անկախփոփոխական, իսկ մյուսը՝ որպես կախյալփոփոխական արժեք. Օրինակ՝ շրջանագծի շառավիղը r բնական է այն համարել անկախ փոփոխական, իսկ շրջանագծի մակերեսը S = π r 2 - կախված փոփոխական: Նմանապես, գազի ճնշումը Ռ կարելի է համարել անկախ փոփոխական; ապա դրա ծավալը Վ = գ / էջ կլինի կախված փոփոխական:

Երկու փոփոխականներից ո՞րը պետք է ընտրվի որպես կախված, որը՝ անկախ: Այս հարցը լուծվում է տարբեր ձևերով՝ կախված նպատակից։ Եթե, օրինակ, մեզ հետաքրքրում է, թե ինչի է հանգեցնում գազի ճնշման փոփոխությունը մշտական ​​ջերմաստիճանում, ապա բնական է սղոցումը որպես անկախ փոփոխական, իսկ ծավալը՝ որպես կախյալ փոփոխական: Այս դեպքում V կախյալ փոփոխականը կարտահայտվի անկախ փոփոխականով Ռ ըստ բանաձևի. Վ = գ / էջ . Եթե ​​ուզում ենք պարզել գազի սեղմման հետևանքները, ապա ավելի լավ է ծավալը դիտարկել որպես անկախ փոփոխական, իսկ ճնշումը՝ որպես կախյալ փոփոխական։ Այնուհետև կախված փոփոխականը Ռ բանաձևով արտահայտվելու է V անկախ փոփոխականով Ռ = գ / Վ . Այս դեպքերից որևէ մեկում երկու մեծությունները կապված են միմյանց հետ այնպես, որ յուրաքանչյուրը հնարավոր արժեքըդրանցից մեկը համապատասխանում է մյուսի լավ սահմանված արժեքին:

Եթե ​​մեկ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք Xինչ-որ կերպ համապատասխանեցնել մեկ այլ քանակի լավ սահմանված արժեքին ժամը, ապա ասում ենք, որ տրված է ֆունկցիա։

արժեք ժամը միաժամանակ զանգում են կախյալփոփոխական կամ ֆունկցիանև արժեքը X - անկախփոփոխական կամ փաստարկ.

Արտահայտել ինչ ժամը ունեն արգումենտի ֆունկցիա X , սովորաբար օգտագործում են նշումը. ժամը = զ (X ), y = գ (x ) , ժամը = φ (X ) և այլն (կարդում է՝ y-ն x-ից էֆ-ին, y-ն x-ից նույնն է, y-ը x-ից phi-ին և այլն)։ Գործառույթ նշանակելու համար տառ ընտրելը ( զ,գ φ ), իհարկե, էական չէ։ Կարևորը քանակների միջև կապն է X Եվ ժամը արտահայտում է այս նամակը.

Արժեքը, որը վերցնում է ֆունկցիան զ (X ) ժամը x = a , նշվում է զ (ա ): Եթե, օրինակ, զ (X ) = x 2 + 1, ապա

զ (1) = 1 2 + 1 = 2;

զ (2) = 2 2 + 1 = 5;

զ (ա + 1) = (բայց + 1) 2 + 1 = բայց 2 + 2բայց + 2;

զ (2բայց ) = (2բայց ) 2 + 1 = 4բայց 2 + 1

Զորավարժություններ

1515. 2 մթնոլորտ ճնշման տակ գտնվող գազը սեղմվում է. Ինչպես է դա փոխվում. ա) գազի քաշը. բ) դրա ծավալը. գ) նրա ճնշումը.

1516. Էլեկտրական շղթայով հոսում է հոսանք. Ռեոստատի օգնությամբ մենք փոխում ենք շղթայի դիմադրությունը։ Արդյո՞ք սա փոխվում է՝ ա) հոսանքը միացումում; բ) լարման.

1517. ABC եռանկյան B գագաթը շարժվում է շրջանագծի երկայնքով, որի տրամագիծը համընկնում է այս եռանկյան AC հիմքի հետ: Ո՞ր քանակներն են մնում անփոփոխ այս գործընթացում և որո՞նք են փոխվում:

1518.

Գտեք. ա) զ (0); բ) զ (բայց 2); մեջ) զ ( 1 / ա ); է) զ (մեղ բայց ).

1519. Էքսպրես զ (2բայց ) երկայնքով զ (բայց ) գործառույթների համար.

բայց) զ (X ) = մեղք X ; բ) զ (X ) = տգ X ;

Փոփոխականների վարքագծի տարբեր եղանակներից ամենակարևորն այն է, երբ փոփոխականը ձգտում է որոշակի սահմանի: Այս դեպքում փոփոխականի կողմից ընդունված արժեքները X, դառնում են կամայականորեն մոտ ինչ-որ հաստատուն թվի ա-այս փոփոխականի սահմանը: Ասում են, որ փոփոխականը ձգտում է, անորոշ ժամանակով մոտենում է հաստատուն թվին բայց(ձեր սահմանին): Ավելի մանրամասն տանք համապատասխան սահմանումը։

x փոփոխականը ձգտում է դեպի a սահմանը (a -հաստատուն թիվ), եթե բացարձակ արժեքը x-ի և a-ի տարբերությունը կամայականորեն փոքր է դառնում փոփոխականը փոխելու գործընթացում։

Նույն սահմանումը կարելի է ասել այլ կերպ.

Սահմանում.Կոչվում է հաստատուն a թիվըփոփոխական սահմանաչափx եթե - x-ի և a-ի տարբերության բացարձակ արժեքը դառնում է կամայականորեն փոքր x փոփոխականի փոփոխման գործընթացում:

Այն փաստը, որ թիվը բայց, փոփոխականի սահմանն է, գրված է հետևյալ կերպ.

( - limes բառի առաջին տառերը - սահման) կամ X-> ա

Պարզաբանենք, թե ինչ պետք է հասկանալ «արժեքը դառնում է կամայականորեն փոքր» բառերը, որոնք առկա են սահմանաչափի սահմանման մեջ։ Վերցնենք կամայական դրական թիվ, ապա, եթե, սկսած փոփոխականի փոփոխության որոշակի պահից X,արժեքները կդառնան և սրանից պակաս կդառնան .

Փոփոխականը ձգտում է դեպի սահմանը, եթե որևէ դրական է: փոփոխականի փոփոխության ինչ-որ պահից սկսած անհավասարությունը կատարվում է .

Սահմանի սահմանումն ունի պարզ երկրաչափական նշանակություն՝ անհավասարություն նշանակում է, որ այն գտնվում է կետի հարևանությամբ, այսինքն. միջակայքում (նկ. 26): Այսպիսով, սահմանի սահմանումը մեջ երկրաչափական ձև: Թիվը փոփոխականի սահմանն է, եթե որևէ մեկը (կամայականորեն փոքր է)- կետի հարևանություն Դուք կարող եք նշել այնպիսի պահ փոփոխականի փոփոխության մեջ, որից սկսած նրա բոլոր արժեքները
ընկնել ա կետի նշված -հարևանություն.

Պետք է պատկերացնել դինամիկայի մեջ սահմանին մոտենալու գործընթացը։ վերցրեց մի քանիսը - կետի հարևանություն ա; սկսած փոփոխության ինչ-որ պահից , բոլոր արժեքները պատկանում են այս հարևանությանը: Հիմա եկեք ավելի մոտենանք - կետի հարևանություն ա; սկսած փոփոխության որոշ (առաջին համեմատ ավելի հեռավոր) պահից , նրա բոլոր արժեքները կընկնեն - կետի հարևանություն բայց և այլն: (նկ. 1):

Ներկայացնելով փոփոխականի սահմանի սահմանումը, մենք փորձեցինք մանրամասն քննարկել և վերծանել այն։ Այնուամենայնիվ, այս սահմանման մեջ չբացահայտված մնաց մի շատ կարևոր մանրամասն. ի՞նչ պետք է հասկանալ «փոփոխականի փոփոխության որոշակի պահից սկսած» բառերով։ Սա պարզ է, երբ փոփոխականի փոփոխման գործընթացը ժամանակի մեջ է ընթանում՝ սկսած որոշակի պահից (ժամանակից): Բայց մենք միշտ չէ, որ գործ ունենք ժամանակի ընթացքում փոփոխվող փոփոխականների հետ: Ինչպե՞ս լինել այս դեպքերում: Ելքը փոփոխականի սահմանի ընդհանուր սահմանման մեջ այս տեղը վերծանելն է յուրաքանչյուր տեսակի փոփոխականների համար հատուկ ձևով՝ հաջորդականությունների համար՝ իր ձևով, ֆունկցիաների համար՝ յուրովի և այլն։

Հերթականության սահմանափակում.Նախևառաջ անհրաժեշտ է հիշել հաջորդականության սահմանումը. եթե փոփոխականի կողմից վերցված բոլոր արժեքները. X, կարելի է համարակալել՝ օգտագործելով տարբեր բնական թվեր x), x 2,... x n,...,իսկ ավելի մեծ թվով արժեքը վերցվում է ավելի ցածր թվով արժեքից հետո, ապա ասում ենք, որ փոփոխականը Xանցնում է արժեքների հաջորդականությամբ x x, x 2 ,... x p...; կամ պարզապես, որ կա հաջորդականություն (թվերի հաջորդականություն):

Սահմանում. Թվային հաջորդականություն կոչվում է բնական արգումենտի իրական ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որի համար =Ն ԵվԷՐ.

Այն նշվում է նշանով, որտեղ, կամ կարճ ասած, . Այն թիվը, որը կախված է n-ից, կոչվում է n – հաջորդականության անդամ: Հերթականության արժեքները թվային կարգով դասավորելով՝ մենք ստանում ենք, որ հաջորդականությունը կարելի է նույնացնել հաշվելի բազմության հետ։ իրական թվեր, այսինքն.

Օրինակներ.

ա) Հերթականությունը հաստատուն է և բաղկացած է հավասար թվերից (միավորներից).

բ) . Նրա համար

է) .

Հերթականությունների համար «փոփոխության ինչ-որ պահից սկսած փոփոխականի սահմանի ընդհանուր սահմանման մեջ պարունակվող հայտարարությունը. " պետք է նշանակի «սկսած ինչ-որ թվից», քանի որ ավելի մեծ թվերով տերմինները հաջորդում են (հաջորդականության սահմանմամբ) ավելի ցածր թվով անդամին։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք հաջորդականության սահմանի հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում. Թիվբայց կանչեց սահմանհաջորդականություններ, եթե որևէ թվի համար կա այնպիսի թիվ, որ բոլոր թվերը բավարարում են անհավասարությունը:

Համապատասխան նշում

Անհավասարությունը կարելի է գրել նաև այսպես կամ . Այս գրառումներն ընդգծում են, որ արժեքը x nկամայականորեն քիչ է տարբերվում ա ,երբ անդամի թիվն անորոշ ժամանակով ավելանում է. Երկրաչափական առումով հաջորդականության սահմանի սահմանումը նշանակում է հետևյալը կամայականորեն փոքր - թվի հարևանություն բայցկա N այնպիսի թիվ, որ N-ից մեծ հաջորդականության բոլոր անդամները, թվերն ընկնում են այս թաղամասում,հարեւանությունից դուրս հաջորդականության սկզբնական անդամների միայն վերջավոր թիվը է (նկ. 2): Սա բոլորն են կամ անդամներից մի քանիսը .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Մեր սահմանման համարը կախված է : Ն= N(). Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, սահմանի սահմանումը պետք է հասկանալ զարգացման, դինամիկայի, շարժման մեջ. եթե մենք վերցնենք մեկ այլ, ավելի փոքր արժեք: , օրինակ, կա, ընդհանուր առմամբ, մեկ այլ թիվ N x > N,այնպիսին, որ անհավասարությունը , գոհ է բոլորի համար։

Սահմանի սահմանումը մենք կգրենք տրամաբանական նշանների (քանակիչների) միջոցով։ Քանակիչներ օգտագործող հաջորդականության սահմանի սահմանումն այսպիսի տեսք ունի.

Փոփոխականներն ու հաստատունները այնքան էլ հեշտ չեն

Դպրոցական մաթեմատիկան մեզ միշտ համոզել և շարունակում է համոզել, որ փոփոխականների և հաստատունների հարցը լուծվում է շատ պարզ: Փոփոխականները արժեքներ են, որոնք տվյալ առաջադրանքի պայմաններում կարող են վերցնել տարբեր իմաստներ. Այն արժեքները, որոնք չեն փոխում իրենց արժեքները տվյալ խնդրի պայմաններում, համարվում են հաստատուն:

Միաժամանակ հավելյալ հաղորդվում է, որ մեծությունների բաժանումը փոփոխականների և հաստատունների բավականին կամայական է և կախված է խնդրի լուծման գործընթացին ուղեկցող հանգամանքներից։ Միևնույն մեծությունը, որը որոշ պայմաններում համարվում էր հաստատուն, այլ պայմաններում պետք է դիտարկել որպես փոփոխական։ Դասական օրինակ․ հաղորդիչի դիմադրությունը ենթադրվում է մշտական, մինչև մենք ստիպված չենք լինի հաշվի առնել նրա դիմադրության արժեքի կախվածությունը շրջակա միջավայրի ջերմաստիճանից։

Բայց, ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, վերը նշված բոլորը որոշակի խնդրի ճիշտ լուծման համար բավարար չեն:

Ինչ արժեք է, դա բոլորին ինտուիտիվ պարզ է։ Եկեք պարզաբանենք այս հայեցակարգը.

Ընդհանուր դեպքում խնդրի լուծման գործընթացի բովանդակությունը մեծությունների փոխակերպումն է։ Միևնույն ժամանակ, պետք է հասկանալ, որ ընդհանուր փիլիսոփայական իմաստով խնդրի լուծման արդյունքը ներկայացնող արժեքն արդեն իսկ պարունակվում է դրա ձևակերպման մեջ անուղղակի ձևով։ Միայն անհրաժեշտ է ճիշտ կառուցել խնդրի արժեքների փոխակերպման գործընթացը՝ այս արդյունքը հստակ ներկայացնելու համար:

Սահմանում

Մենք արժեք կանվանենք ցանկացած մաթեմատիկական օբյեկտ, որը կրում է (կամ կարող է կրել) տեղեկատվություն որոշակի արժեքի մասին:

Մեծությունների ներկայացման ձևը կարող է տարբեր լինել. Օրինակ, իրականին հավասար թվային արժեք ունեցող արժեքը կարող է ներկայացվել 1.0 տասնորդական հաստատունով, Cos(0) ֆունկցիայով և 25.0 - 15.0 - 9.0 թվաբանական արտահայտությամբ:

Քանակների արժեքները կարող են փոփոխվել։ Այսպիսով, x = 1.0 գործողության արդյունքում x փոփոխականի տեսքով արժեքը պարզվում է իրական միավորի արժեքի կրողը։ Այս դեպքում x փոփոխականի նախորդ արժեքը կորչում է։ Բերված օրինակներն արդեն ցույց են տալիս մի փոքր այլ տեսանկյունից, որ մեծությունները կարող են փոփոխական և հաստատուն լինել:

Սահմանում

Փոփոխականներն ունեն այն հատկությունը, որ դրանց արժեքները կարող են փոխվել որոշակի գործողությունների արդյունքում: Իսկ դա նշանակում է, որ «փոփոխական արժեք» հասկացությունն արտացոլում է հնարավորությունը, բայց ոչ փոփոխության փաստը։

Հաստատուն արժեք (հաստատուն) պետք է համարել այն, որի արժեքը, ի տարբերություն փոփոխականի, սկզբունքորեն չի կարող փոխվել:

Օրինակ՝ 12+3 արտահայտության տեսքով հաստատունի արժեքը 15 է և չի կարող փոփոխվել։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է ամրագրել այն նշանների նշանակությունը, որոնցով ներկայացված է արժեքը։ Հակառակ դեպքում, եթե, օրինակ, այս արտահայտության նշանները համարենք թվեր 5 հիմքով թվային համակարգում, ապա դրա արժեքը հավասար կլինի 10-ի։

Սահմանում

Այսպիսով, մաթեմատիկական տեքստերում արժեքների, այսինքն՝ մեծությունների կրողներն են փոփոխականները, հաստատունները, ֆունկցիաների (կամ պարզապես ֆունկցիաների) կանչերը, ինչպես նաև արտահայտությունները։

Փոփոխականների առանձնահատկությունները

հետ կապված խորհրդանիշներ որոշակի արժեքներ, մաթեմատիկայում կոչվում են փոփոխականներ (տերմինը օգտագործվում է որպես գոյական)։

Օրինակ, x+1 փոփոխականի արժեքը կախված է x նշանի հետ կապված արժեքից: Այստեղ x նշումը օգտագործվում է որպես փոփոխական։ Փոխելով x փոփոխականի արժեքը՝ մենք դրանով փոխում ենք x+1 փոփոխականի արժեքը։

Այսպիսով, փոփոխականների արժեքները կախված են դրանց մաս կազմող փոփոխականների արժեքներից: Տարբերակիչ հատկությունփոփոխականն այն է, որ դրա հատուկ արժեքը պետք է պարզապես վերագրվի դրան (նշանակվի):

Մաթեմատիկական մոտեցումը, որը որոշում է փոփոխականների արժեքների հաշվարկման հնարավորությունը, պարզվում է, որ այս համատեքստում սխալ է: Մաթեմատիկայում կարելի է գնահատել միայն արտահայտությունների արժեքները։

Մաթեմատիկական տեքստերում փոփոխականն իր վերջնական ձևով օգտագործելու հիմնական պայմանը հետևյալն է. փոփոխականին անդրադառնալու համար բավական է նշել դրա նշանակումը։

հաստատունների առանձնահատկությունները

Մաթեմատիկական տեքստերում կարող են օգտագործվել երկու տեսակի հաստատուններ՝ նշանային հաստատուններ և անվանված հաստատուններ։

Ի դեպ, ծրագրավորողները լեզուներով բարձր մակարդակ, օգտագործել այն բավականին ֆորմալ (իրավական) հիմքերով։

Մշտական ​​նշանների օգնությամբ հաստատուն արժեքների արժեքները նշվում են ուղղակիորեն առանց որևէ գործողություն կատարելու: Օրինակ՝ 12+3 հաստատուն արժեքի արժեքը ստանալու համար, որը արտահայտություն է, անհրաժեշտ է ավելացնել երկու հաստատուն նշան՝ 12 և 3։

Սահմանում

Անվանված հաստատունը նշում է, որը կապված է որոշակի արժեքի հետ, որը նշված է որպես նշանային հաստատուն:

Այս մոտեցումը լայնորեն կիրառվում է բնական գիտություններֆիզիկական, քիմիական, մաթեմատիկական և այլ բանաձևերի գրանցման հարմարության նկատառումներով։ Օրինակ՝ g = 9,81523 - արագացում ազատ անկումՄոսկվայի լայնության վրա; π = 3,1415926 $ π$ թիվն է:

Բացի արտահայտությունների կոմպակտ նշումից, անվանված հաստատունները տալիս են հստակություն և զգալի հարմարավետություն մաթեմատիկական տեքստերի հետ աշխատելիս:

Անվանված հաստատունն իր արժեքը ձեռք է բերում նախնական պայմանավորվածության արդյունքում։

Ցանկացած անվանված հաստատունի կարևոր հատկությունն այն է, որ խորհուրդ չի տրվում փոխել դրա արժեքը որոշ մաթեմատիկական տեքստում:

Արտահայտությունները

Արտահայտություններն են բաղկացուցիչ մասերմաթեմատիկական տեքստերի ճնշող մեծամասնությունը։ Արտահայտությունների օգնությամբ նշվում է նախկինում հայտնի այլ արժեքների հիման վրա նոր արժեքների հաշվարկման հերթականությունը:

Ընդհանուր դեպքում օպերանդները, գործողության նշանները և կարգավորվող կլոր (քառակուսի, գանգուր) փակագծերը օգտագործվում են որպես արտահայտությունների մաս։

Սահմանում

Օպերանդներն են ընդհանուր անունօբյեկտներ, որոնց արժեքներն օգտագործվում են գործողություններ կատարելիս. Օպերանդները կարող են լինել փոփոխականներ, հաստատուններ և ֆունկցիաներ: Ի դեպ, այս տերմինը շատ տարածված է ծրագրավորողների շրջանում։ Փակագծերում փակված արտահայտչական հատվածը դիտարկվում է որպես առանձին բաղադրյալ օպերանդ:

Գործողության նշանը խորհրդանշում է գործողությունների հստակ սահմանված մի շարք, որոնք պետք է կատարվեն համապատասխան օպերանդների վրա: Վերահսկիչ փակագծերը սահմանում են գործողությունների ցանկալի հաջորդականությունը, որը կարող է տարբերվել գործողությունների գերակայությամբ նախատեսվածից:

Արտահայտության ամենապարզ դեպքը մեկ օպերանդ է: Այս արտահայտության մեջ գործողության նշաններ չկան:

Օպերանդի ֆունկցիան ունի իր առանձնահատկությունները: Որպես կանոն, նման օպերանդը ֆունկցիայի անունն է (կամ նշանը), որին հաջորդում է նրա արգումենտների ցանկը փակագծերում։ Այս դեպքում փակագծերը գործառույթների անբաժանելի մասն են և չեն վերաբերում կարգավորողներին։ Նկատի ունեցեք, որ շատ դեպքերում ֆունկցիայի օպերանդներն աշխատում են առանց փակագծերի (օրինակ՝ 5՛-ը 5-ի ամբողջ թվի ֆակտորիլի հաշվարկն է)։

Մաթեմատիկական գործողություններ

ԿԱՐԵՎՈՐ մասեր մաթեմատիկական գործողություններեն՝

• շահագործման նշանները կարող են նշվել հատուկ նիշերի միջոցով, ինչպես նաև հատուկ նախատեսված բառերի օգտագործմամբ.
• Գործողությունները կարող են լինել միատար (կատարվում է մեկ օպերանդի վրա) և երկուական (կատարվում է երկու օպերանդի վրա);
• Գործողությունները ունեն չորս առաջնահերթ մակարդակ, որոնք որոշում են արտահայտությունը գնահատելու հերթականությունը:

Կառավարման փակագծերի բացակայության դեպքում գործողությունների շղթա պարունակող բարդ արտահայտությունը գնահատելու կանոնները հետևյալն են.

1. նախ հաշվարկվում են բոլոր գործառույթների արժեքները.
2. այնուհետև գործողությունները կատարվում են մեկ առ մեկ իրենց առաջնահերթության նվազման կարգով.
3. հավասար առաջնահերթ գործողությունները կատարվում են ձախից աջ հերթականությամբ:

Երբ առկա են փակագծեր, արտահայտությունը պարունակում է բաղադրյալ օպերանդներ, որոնց արժեքները նախ պետք է գնահատվեն:

Մաթեմատիկական արտահայտություններ գրելու որոշ առանձնահատկություններ.

• խորհուրդ չի տրվում բաց թողնել գործողության նշանները, չնայած շատ դեպքերում հնարավոր է բաց թողնել բազմապատկման նշանը.
• ցանկալի է փակագծերում նշել ֆունկցիայի արգումենտները.
• Երկուական գործողությունների երկու կամ ավելի նշանների հաջորդական նշումն անընդունելի է. պաշտոնապես թույլատրվում է անընդմեջ օգտագործել մի քանի գործողությունների մի քանի նշաններ, ներառյալ երկուականի հետ միասին:

Փոփոխականների օրինակներն են՝ օդի ջերմաստիճանը, ֆունկցիայի պարամետրը և շատ ավելին:

Փոփոխականը բնութագրվում է միայն այն արժեքների հավաքածուով, որը կարող է վերցնել: Փոփոխականը նշվում է նրա յուրաքանչյուր արժեքի համար ընդհանուր նշանով:

Փոփոխականներ մաթեմատիկայի մեջ

Մաթեմատիկայի մեջ փոփոխականկարող է լինել և՛ իրական ֆիզիկական մեծություն, և՛ ինչ-որ վերացական մեծություն, որը չի արտացոլում իրական աշխարհի գործընթացները:

Դեկարտը փոփոխականների արժեքները համարել է միշտ ոչ բացասական, իսկ բացասական արժեքներն արտահայտել է նշանով, որն արտացոլվում է փոփոխականի դիմաց մինուս նշանով։ Եթե ​​գործակցի նշանն անհայտ էր, Դեկարտը դրեց էլիպսիս։ Հոլանդացի մաթեմատիկոս Յոհան Հադեն արդեն 1657 թվականին թույլ տվեց բառացի փոփոխականներին ընդունել ցանկացած նշանի արժեք:

Փոփոխականներ ծրագրավորման մեջ

Ծրագրավորման մեջ փոփոխականտվյալները նույնականացնող նույնացուցիչ է: Սա սովորաբար անուն է, որը թաքցնում է հիշողության տարածքը, որտեղ կարող են տեղադրվել մեկ այլ հիշողության տարածքում պահված տվյալները: Փոփոխականը կարող է ունենալ արժեքների մի տեսակ, որը կարող է վերցնել: Ծրագրավորման մեջ փոփոխականները սովորաբար նշվում են մեկ կամ մի քանի բառերով կամ նշաններով, ինչպիսիք են «ժամանակ», «x», «

Փոփոխականներ և հաստատուններ

քանակներ, որոնք ուսումնասիրվող հարցում ստանում են տարբեր արժեքներ կամ, համապատասխանաբար, պահպանում են նույն արժեքը։ Օրինակ՝ մարմնի անկումն ուսումնասիրելիս վերջինիս հեռավորությունը գետնից և անկման արագությունը փոփոխական մեծություններ են, մինչդեռ արագացումը (եթե անտեսենք օդի դիմադրությունը) հաստատուն արժեք է։ Տարրական մաթեմատիկան իր ուսումնասիրած բոլոր մեծությունները վերաբերվում էր որպես հաստատունների: Փոփոխական մեծության հասկացությունը մաթեմատիկայում առաջացել է 17-րդ դարում։ բնական գիտության պահանջների ազդեցությամբ, որն առաջին պլան մղեց շարժման՝ գործընթացների, և ոչ միայն վիճակների ուսումնասիրությունը։ Այս հայեցակարգը չէր տեղավորվում անտիկ և միջնադարի մաթեմատիկայի մշակած ձևերի մեջ և դրա արտահայտման համար պահանջում էր նոր ձևեր։ Այդպիսի նոր ձևերն էին բառացի հանրահաշիվը և վերլուծական երկրաչափությունը Ռ.Դեկարտ ա. Դեկարտյան հանրահաշվի տառերում, որոնք կարող են ընդունել կամայական թվային արժեքներ, փոփոխականները գտել են իրենց խորհրդանշական արտահայտությունը։ «Մաթեմատիկայում շրջադարձային կետը դեկարտյան փոփոխականն էր: Դրա շնորհիվ շարժումը և, հետևաբար, դիալեկտիկան մտան մաթեմատիկա, և դրա շնորհիվ անհապաղ անհրաժեշտ դարձավ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկը ...» (Էնգելս Ֆ., տե՛ս Մարքս Կ. և Էնգելս Ֆ., Սոչ., 2-րդ հրատ., հատ. 20, էջ 573)։ Այս շրջանում և մինչև 19-րդ դարի կեսերը։ Գերակշռում են փոփոխականների վերաբերյալ մեխանիկական տեսակետները: Դրանք առավել հստակ արտահայտվել են Ի.Նյուտոնի կողմից, ով փոփոխականներն անվանել է «սահուն», այսինքն՝ ընթացիկ և համարել դրանք «...ոչ թե չափազանց փոքր մասերից բաղկացած, այլ ինչպես նկարագրված է շարունակական շարժումով» («Մաթեմատիկական աշխատություններ» , Մ., 1937, էջ 167)։ Այս տեսակետները շատ բեղմնավոր ստացվեցին և, մասնավորապես, թույլ տվեցին Նյուտոնին բոլորովին նոր մոտեցում ցուցաբերել կորագիծ պատկերների տարածքները գտնելու հարցում։ Նյուտոնն առաջինն էր, ով դիտարկեց կորագիծ տրապիզոնի տարածքը ( ABNMվրա բրինձ. ) ոչ թե որպես հաստատուն արժեք (հաշվարկվում է դրա անվերջ փոքր մասերի գումարմամբ), այլ որպես փոփոխական, որն առաջանում է կորի օրդինատի շարժումից ( Ն.Մ); հաստատելով, որ դիտարկվող տարածքի փոփոխության արագությունը համաչափ է օրդինատին Նմ,նա այդպիսով նվազեցրեց տարածքների հաշվարկման խնդիրը մինչև փոփոխական որոշելու խնդիր հայտնի արագություննրա փոփոխությունները. Արագություն հասկացությունը մաթեմատիկա ներմուծելու օրինականությունը հիմնավորվել է 19-րդ դարի սկզբին։ տեսություն , որը տվել է արագության ճշգրիտ սահմանումը որպես ածանցյալ (տե՛ս Ածանցյալ)։ Սակայն 19-րդ դարի ընթացքում Փոփոխականների վերը նկարագրված տեսակետի սահմանափակումները աստիճանաբար պարզ են դառնում: Մաթեմատիկական վերլուծությունավելի ու ավելի է դառնում գործառույթների ընդհանուր տեսություն, որի զարգացումն անհնար է առանց դրա հիմնական հասկացությունների էության և շրջանակի ճշգրիտ վերլուծության: Պարզվում է, որ նույնիսկ շարունակական ֆունկցիայի հասկացությունն իրականում շատ ավելի բարդ է, քան դրան հանգեցրած տեսողական պատկերները: Հայտնաբերվում են շարունակական ֆունկցիաներ, որոնք որևէ կետում չունեն ածանցյալ; Նման գործառույթը որպես շարժման արդյունք հասկանալը կնշանակի ցանկացած պահի շարժում ընդունել առանց արագության: Անընդհատ ֆունկցիաների, ինչպես նաև շատ ավելի բարդ կառուցվածքի բազմությունների վրա սահմանված ֆունկցիաների ուսումնասիրությունը գնալով ավելի կարևոր է դառնում: Փոփոխականի Նյուտոնյան մեկնաբանությունը դառնում է անբավարար և, շատ դեպքերում, անօգուտ:

Մյուս կողմից, մաթեմատիկան սկսում է որպես փոփոխականներ դիտարկել ոչ միայն մեծությունները, այլև իր մյուս օբյեկտների ավելի ու ավելի բազմազան ու լայն դասերը։ Այս հիման վրա 19-րդ դարի երկրորդ կեսին. իսկ 20-րդ դ Մշակվում են բազմությունների տեսությունը, տոպոլոգիան և մաթեմատիկական տրամաբանությունը։ Այն մասին, թե որքանով է այն ընդարձակվել 20-րդ դարում։ Փոփոխականի հայեցակարգը վկայում է այն փաստի մասին, որ մաթեմատիկական տրամաբանությունը դիտարկում է ոչ միայն փոփոխականներ, որոնք անցնում են օբյեկտների կամայական բազմությունների միջով, այլև փոփոխականներ, որոնց արժեքներն են հայտարարությունները, պրեդիկատները (առարկաների միջև հարաբերությունները) և այլն: (տես Փոփոխական):

Խորհրդային մեծ հանրագիտարան. - Մ.: Խորհրդային հանրագիտարան. 1969-1978 .

Տեսեք, թե ինչ է «Փոփոխական և հաստատուն արժեքները» այլ բառարաններում.

Մաթեմատիկայի մեջ այն քանակները, որոնք ուսումնասիրվող հարցում տարբեր արժեքներ են ստանում կամ պահպանում են նույն արժեքը: Փոփոխականի և հաստատունի միջև տարբերությունը հարաբերական է. մեծությունը, որը հաստատուն է որոշ հարցում, կարող է փոփոխական լինել… Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

- (մաթ.), մեծություններ, որոնք ուսումնասիրվող հարցում տարբեր արժեքներ են ընդունում կամ պահպանում նույն արժեքը: Փոփոխականի և հաստատունի միջև տարբերությունը հարաբերական է. մեծությունը, որը հաստատուն է որոշ հարցում, կարող է փոփոխական լինել ... ... Հանրագիտարանային բառարան

Տես Constant, Variable: Փիլիսոփայական հանրագիտարան. 5 x t. M .: Սովետական ​​հանրագիտարան. Խմբագրվել է Ֆ.Վ.Կոնստանտինովի կողմից: 1960 1970 ... Փիլիսոփայական հանրագիտարան

- (մաթ.), քանակները, աշորայի մեջ ուսումնասիրված նոպրոսում վերցնել տարրալուծ. արժեքները կամ պահպանել նույն արժեքը: Փոփոխականի և հաստատունի միջև տարբերությունը հարաբերական է. մի հարցում հաստատուն մեծությունը կարող է փոփոխական լինել մեկ այլ հարցում… Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

I Փոփոխական աստղեր P. z. աստղեր, որոնց ակնհայտ պայծառությունը տատանվում է: Շատ P. z. ոչ անշարժ աստղեր են; Նման աստղերի պայծառության փոփոխականությունը կապված է դրանց ջերմաստիճանի և շառավիղի փոփոխության, նյութի արտահոսքի, ... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Տես Փոփոխականներ և հաստատուններ, Constant: * * * ՀԱՍՏԱՏԱԿԱՆ ԱՐԺԵՔ, տես Փոփոխականներ և հաստատուններ (տես ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐ ԵՎ ՀԱՍՏԱՏՈՒՆՆԵՐ), հաստատուն (տես ԿՈՆՍՏԱՆՏ)… Հանրագիտարանային բառարան