Tört kockává emelése. Algebrai tört hatványra emelése

Ideje megismerkedni erekció algebrai tört bizonyos mértékig. Ez az algebrai törtekkel végzett művelet a fok tekintetében szorzásra redukálódik azonos törtek. Ebben a cikkben megadjuk a megfelelő szabályt, és példákat tekintünk az algebrai törtek természetes hatványokká emelésére.

Oldalnavigáció.

Az algebrai tört hatványra emelésének szabálya, annak bizonyítása

Mielőtt egy algebrai tört hatványra emeléséről beszélnénk, nem árt megjegyezni, hogy mi a szorzata ugyanazoknak a tényezőknek, amelyek a fokszám alapján állnak, és számukat a mutató határozza meg. Például 2 3 = 2 2 2 = 8 .

És most emlékezzünk a közönséges tört hatványára való emelés szabályára - ehhez külön kell emelni a számlálót a jelzett hatványra, és külön a nevezőt. Például, . Ez a szabály egy algebrai tört természetes hatványra való emelésére vonatkozik.

Algebrai tört felemelése természetes hatványraúj törtet ad, amelynek számlálójában az eredeti tört számlálójának megadott mértéke, a nevezőben pedig a nevező foka. Szó szerinti formában ez a szabály az egyenlőségnek felel meg, ahol a és b tetszőleges polinomok (adott esetben monomok vagy számok), b pedig nem nulla polinom, n pedig .

Az algebrai tört hatványra emelésének hangos szabályának bizonyítása a természetes kitevővel rendelkező fok meghatározásán és azon alapul, hogy miként határoztuk meg az algebrai törtek szorzását: .

Példák, megoldások

Az előző bekezdésben kapott szabály az algebrai tört hatványra való emelését az eredeti tört számlálójának és nevezőjének erre a hatványra való emelésére csökkenti. És mivel az eredeti algebrai tört számlálója és nevezője polinomok (adott esetben monomiumok vagy számok), az eredeti feladat a polinomok hatványra emelésére redukálódik. Ennek a műveletnek a végrehajtása után egy új algebrai törtet kapunk, amely megegyezik az eredeti algebrai tört meghatározott hatványával.

Nézzünk néhány példát.

Példa.

Egy algebrai tört négyzetére.

Döntés.

Írjuk meg a diplomát. Most rátérünk az algebrai tört hatványra emelésének szabályára, amely egyenlőséget ad . Marad a kapott törtet algebrai törtté alakítani úgy, hogy a monomokat hatványra emeljük. Így .

Általában egy algebrai tört hatványra emelésekor nem magyarázzák el a megoldás menetét, hanem röviden írják le a megoldást. Példánk megfelel a rekordnak .

Válasz:

Ha a polinomok, különösen a binomiumok egy algebrai tört számlálójában és/vagy nevezőjében szerepelnek, akkor hatványra emelésekor célszerű a megfelelő rövidített szorzóképleteket használni.

Példa.

Emelj fel egy algebrai törtet másodfokra.

Döntés.

Az a szabály, hogy egy törtet hatványra emelünk, megvan .

A kapott kifejezés átalakításához a számlálóban használjuk különbség négyzetes képlet, és a nevezőben - a három tag összegének négyzetének képlete:

Válasz:

Végezetül megjegyezzük, hogy ha egy irreducibilis algebrai törtet természetes hatványra emelünk, akkor az eredmény is irreducibilis tört lesz. Ha az eredeti tört redukálható, akkor hatványra emelés előtt célszerű csökkenteni az algebrai törtet, hogy ne hajtsuk végre a csökkentést hatványra emelés után.

Bibliográfia.

Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 14 órakor 1. rész Tanulói tankönyv oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Okos diákok szerzői joga

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Nem része a www.webhelynek, beleértve belső anyagokés külső kialakítás a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül semmilyen formában nem reprodukálható és nem használható fel.

A szám fokáról szóló beszélgetés folytatásaként logikus a fokozat értékének megtalálásával foglalkozni. Ezt a folyamatot elnevezték hatványozás. Ebben a cikkben csak azt tanulmányozzuk, hogyan történik a hatványozás, miközben érintjük az összes lehetséges kitevőt - természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különböző mértékű emelésének példáinak megoldásait.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a "hatványosítás"?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.

Meghatározás.

Hatványozás az, hogy megtaláljuk egy szám hatványának értékét.

Így az a hatvány értékét r kitevővel megkeresni és az a számot r hatványára emelni ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány értékét (0,5) 5”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5-öt 5 hatványára”.

Most közvetlenül léphet a szabályokhoz, amelyek szerint a hatványozás történik.

Egy szám természetes hatványra emelése

A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz, amikor az a számot m / n törthatványra emeljük, először az a szám n-edik fokának gyökét vonjuk ki, majd az eredményt m egész hatványra emeljük.

Tekintsünk megoldásokat a törthatványra emelés példáira.

Példa.

Számítsa ki a fokozat értékét!

Döntés.

Két megoldást mutatunk be.

Első út. A fok definíciója szerint törtkitevővel. Kiszámoljuk a fok értékét a gyök jele alatt, majd kivonjuk köbgyök: .

A második út. A tört kitevővel rendelkező fok meghatározása és a gyökök tulajdonságai alapján az egyenlőségek igazak . Most vonja ki a gyökeret Végül egész hatványra emeljük .

Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.

Válasz:

Figyeljük meg, hogy a tört kitevő felírható tizedes törtként vagy vegyes számként is, ezekben az esetekben helyettesítsük a megfelelő közönséges törttel, majd végezzük el a hatványozást.

Példa.

Számítsd ki (44,89) 2,5 .

Döntés.

A kitevőt közönséges tört formájában írjuk (ha szükséges, lásd a cikket): . Most törthatványra emelünk:

Válasz:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a tört kitevő számlálója és nevezője elegendő mennyiséget tartalmaz nagy számok), amelyet általában számítógépes technológia alkalmazásával hajtanak végre.

Ennek a bekezdésnek a végén a nulla szám törthatványra való felépítésénél fogunk elidőzni. Az alak nulla törtfokának a következő jelentést adtuk: mert van , míg az m/n hatvány nulla nincs megadva. Tehát nullától pozitív törthatványig nulla, Például, . És a nullának egy tört negatív hatványban nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.

Irracionális hatalommá emelés

Néha szükségessé válik egy irracionális kitevővel rendelkező szám fokszámának kiderítése. Ilyenkor gyakorlati célból általában elég egy bizonyos előjelig megkapni a fokozat értékét. Rögtön megjegyezzük, hogy ezt az értéket a gyakorlatban elektronikus számítástechnikával számítják ki, mivel az ir-ra emelve racionális fok manuálisan megköveteli egy nagy szám nehézkes számítások. Azonban leírjuk általánosságban cselekvés lényege.

Ahhoz, hogy hozzávetőleges értéket kapjunk az a hatványáról irracionális mutató, akkor a kitevő valamilyen decimális közelítését veszik, és kiszámítják a kitevő értékét. Ez az érték az a szám fokszámának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb egy szám tízes közelítését veszik kezdetben, annál többet pontos érték diplomát a végén szereznek.

Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük egy irracionális mutató következő decimális közelítését: . Most felemeljük a 2-t 1,17-es racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈ 2,250116-ot kapunk. És így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha pontosabb decimális közelítést veszünk egy irracionális kitevőhöz, például, akkor az eredeti fok pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliográfia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika Zh tankönyv 5 cellához. oktatási intézmények.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7 cellához. oktatási intézmények.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8 cellához. oktatási intézmények.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9 cellához. oktatási intézmények.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános nevelési-oktatási intézmények 10-11.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).

A leckében a törtek szorzásának egy általánosabb változatát vizsgáljuk meg - ez a hatványozás. Mindenekelőtt a tört természetes fokáról és a törtekkel végzett hasonló műveleteket bemutató példákról fogunk beszélni. Az óra elején megismételjük az egész kifejezések természetes hatványára emelését is, és meglátjuk, hogy ez mennyire hasznos további példák megoldásához.

Téma: Algebrai törtek. Aritmetikai műveletek algebrai törtekkel

Lecke: Algebrai tört hatványra emelése

1. Törtek és egész kifejezések természetes hatványokká emelésének szabályai elemi példákkal

A közönséges és algebrai törtek természetes hatványokká emelésének szabálya:

Vonhat analógiát egy egész kifejezés mértékével, és emlékezhet arra, hogy mit jelent a hatványra emelés:

1. példa .

Amint a példából látható, egy tört hatványra emelése az különleges eset törtek szorzása, amelyet az előző leckében tanulmányoztunk.

2. példa a), b) - a mínusz elmegy, mert a kifejezést egyenletes hatványra emeltük.

A fokozatokkal végzett munka kényelme érdekében felidézzük a természetes erőre emelés alapvető szabályait:

- fokok szorzata;

- fokozatok felosztása;

Fokozat hatalommá emelése;

A munka mértéke.

Példa 3. - ezt az "Egész kifejezések erejéig emelés" téma óta ismerjük, egy eset kivételével: nem létezik.

2. A legegyszerűbb példák algebrai törtek természetes hatványokká emelésére

4. példa: Emelj egy törtet hatványra.

Döntés. Egyenletes hatványra emelve a mínusz eltűnik:

5. példa: Emelj egy törtet hatványra.

Döntés. Most a fokozat azonnali hatalomra emelésének szabályait használjuk külön ütemezés nélkül:

Most nézzük meg azokat a kombinált feladatokat, amelyekben a törteket hatványra kell emelnünk, és meg kell szoroznunk és osztanunk.

6. példa: Műveletek végrehajtása.

Döntés. . Ezután csökkentést kell végrehajtania. Egyszer leírjuk részletesen, hogyan tesszük ezt, majd analógia útján azonnal jelezzük az eredményt:. Hasonlóan (vagy a fokozatok felosztásának szabálya szerint). Nekünk van: .

7. példa: Műveletek végrehajtása.

Döntés. . A redukciót a korábban tárgyalt példával analóg módon hajtjuk végre.

8. példa: Műveletek végrehajtása.

Döntés. . NÁL NÉL ezt a példát ismételten részletesebben ismertettük a hatványok törtszámos csökkentésének folyamatát, hogy ezt a módszert megszilárdítsuk.

3. Bonyolultabb példák algebrai törtek természetes hatványokká emelésére (előjelek figyelembevételével és zárójelben lévő kifejezésekkel)

9. példa: Műveletek végrehajtása .

Döntés. Ebben a példában már kihagyjuk a törtek külön szorzását, és azonnal a szorzásukra használjuk a szabályt, és írjuk le egy nevező alá. Ugyanakkor követjük a jeleket - ilyenkor a törtek páros hatványra emelkednek, így a mínuszok eltűnnek. Csináljunk egy csökkentést a végén.

10. példa: Műveletek végrehajtása .

Döntés. Ebben a példában a törtek felosztása van, ne feledje, hogy ebben az esetben az első törtet megszorozzuk a másodikkal, de fordítva.

A téma abból adódik, hogy azonos törteket kell szoroznunk. Ebből a cikkből megtudhatja, hogy milyen szabályt kell használnia az algebrai törtek természetes hatványra emeléséhez.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az algebrai tört hatványra emelésének szabálya, annak bizonyítása

Mielőtt elkezdené a hatványra emelést, elmélyítenie kell tudását egy természetes mutatójú diplomáról szóló cikk segítségével, ahol ugyanazoknak a tényezőknek a szorzata van, amelyek a fokozat alapján vannak, és ezek száma mutató határozza meg. Például a 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 szám.

Hatványra emeléskor leggyakrabban a szabályt használjuk. Ehhez külön emelje fel a számlálót és a nevezőt külön-külön. Tekintsük a 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 példát. A szabály a tört természetes hatványra való emelésére vonatkozik.

Nál nél algebrai tört természetes hatványra emelése kapunk egy újat, ahol a számláló az eredeti tört fokát, a nevező pedig a nevező fokát. Ez mind az a b n = a n b n alakú, ahol a és b tetszőleges polinomok, b értéke nem nulla, és n egy természetes szám.

Ennek a szabálynak a bizonyítása törtként van felírva, amelyet hatványra kell emelni, maga a definíció alapján egy természetes mutatóval. Ekkor megkapjuk az a b n = a b · a b · alakú törtek szorzatát. . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Példák, megoldások

Az algebrai tört hatványra emelésének szabályát szekvenciálisan hajtjuk végre: először a számlálót, majd a nevezőt. Ha a számlálóban és a nevezőben polinom van, akkor maga a feladat lesz az adott polinom hatványra emelése. Ezt követően egy új tört jelenik meg, amely megegyezik az eredetivel.

1. példa

A tört x 2 3 y z 3 négyzetre emelése

Döntés

Az x 2 3 · y · z 3 2 fokszám rögzítése szükséges. Az algebrai tört hatványra emelésének szabálya szerint x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 alakú egyenlőséget kapunk. Most a kapott törtet hatványozással algebrai formává kell alakítani. Ekkor megkapjuk a forma kifejezését

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

A hatványozás minden esete nem igényel részletes magyarázatot, így maga a megoldás is rövid ideig tart. Vagyis ezt kapjuk

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Válasz: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6.

Ha a számlálónak és a nevezőnek polinomja van, akkor a teljes törtet hatványra kell emelni, majd a rövidített szorzási képleteket alkalmazni az egyszerűsítés érdekében.

2. példa

Tegye négyzetre a 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y törtet.

Döntés

A szabályból ez van

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

A kifejezés konvertálásához a nevezőben három tag összegének négyzetének képletét kell használni, a számlálóban pedig a különbség négyzetét, ami leegyszerűsíti a kifejezést. Kapunk:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Válasz: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Vegyük észre, hogy ha olyan törtet emelünk fel, amelyet nem tudunk természetes hatványra redukálni, akkor egy irreducibilis törtet is kapunk. Ez nem könnyíti meg a további megoldást. Ha egy adott tört redukálható, akkor hatványozva azt tapasztaljuk, hogy szükséges az algebrai tört redukciója, hogy elkerüljük a hatványra emelés utáni redukciót.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Rájöttünk, hogy általában mekkora egy szám fokszáma. Most meg kell értenünk, hogyan kell helyesen kiszámítani, pl. a számokat hatványokra emelni. Ebben az anyagban a fokszámítás alapvető szabályait elemezzük egész, természetes, tört, racionális és irracionális kitevő esetén. Minden definíciót példákkal illusztrálunk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A hatványozás fogalma

Kezdjük az alapvető definíciók megfogalmazásával.

1. definíció

Hatványozás valamely szám hatványértékének kiszámítása.

Vagyis a „fokozat értékének kiszámítása” és a „hatványozás” szavak ugyanazt jelentik. Tehát, ha a feladat „Emelje fel a 0 , 5 számot az ötödik hatványra”, akkor ezt úgy kell érteni, hogy „számítsa ki a (0 , 5) 5 hatvány értékét.

Most megadjuk azokat az alapvető szabályokat, amelyeket az ilyen számításoknál be kell tartani.

Emlékezzünk vissza, mekkora hatványa egy természetes kitevővel rendelkező számnak. Egy a bázisú és n kitevővel rendelkező hatvány esetén ez az n-edik tényező szorzata lesz, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezt így lehet írni:

A fok értékének kiszámításához el kell végezni a szorzás műveletét, vagyis meg kell szorozni a fokszám alapjait a megadott számú alkalommal. A természetes mutatójú diploma fogalma a gyors szorzás képességén alapul. Mondjunk példákat.

1. példa

Feltétel: Emelje a 2-t 4-es hatványra.

Döntés

A fenti definíciót használva a következőket írjuk: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ezután már csak követnünk kell ezeket a lépéseket, és megkapjuk a 16-ot.

Vegyünk egy bonyolultabb példát.

2. példa

Számítsa ki a 3 2 7 2 értéket!

Döntés

Ez a bejegyzés átírható a következőre: 3 2 7 · 3 2 7 . Korábban megvizsgáltuk, hogyan lehet helyesen szorozni a feltételben említett vegyes számokat.

Hajtsa végre az alábbi lépéseket, és kapja meg a választ: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ha a feladat azt jelzi, hogy az irracionális számokat természetes hatványra kell emelni, akkor először az alapjaikat kell kerekíteni egy számjegyre, amely lehetővé teszi a kívánt pontosságú választ. Vegyünk egy példát.

3. példa

Végezzük el a π szám négyzetre emelését.

Döntés

Először kerekítsük fel századokra. Ekkor π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ha π ≈ 3 . 14159, akkor pontosabb eredményt kapunk: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vegyük észre, hogy a gyakorlatban viszonylag ritkán merül fel az irracionális számok hatványainak kiszámítása. Ezután felírhatjuk a választ magának a hatványnak (ln 6) 3, vagy ha lehetséges átváltjuk: 5 7 = 125 5 .

Külön meg kell adni, hogy mi egy szám első hatványa. Itt emlékezhet arra, hogy az első hatványra emelt szám önmaga marad:

Ez egyértelműen kiderül a jegyzőkönyvből. .

Nem a végzettségtől függ.

4. példa

Tehát (− 9) 1 = − 9 , és az első hatványra emelt 7 3 egyenlő marad 7 3 -al.

Az egyszerűség kedvéért három esetet külön elemezünk: ha a kitevő pozitív egész szám, ha nulla és ha negatív egész szám.

Az első esetben ez ugyanaz, mint a természetes hatványra emelés: elvégre pozitív egész számok tartoznak a természetes számok halmazához. Fentebb már leírtuk, hogyan kell ilyen végzettséggel dolgozni.

Most lássuk, hogyan kell megfelelően emelni a nulla teljesítményre. Nem nulla bázis esetén ez a számítás mindig 1-es kimenetet ad. Korábban már kifejtettük, hogy a 0. hatványa bármelyikre definiálható valós szám, nem egyenlő 0-val, és a 0 = 1.

5. példa

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nincs meghatározva.

Csak a negatív egész kitevővel rendelkező fok esete marad. Korábban már tárgyaltuk, hogy az ilyen fokok felírhatók 1 a z törtként, ahol a tetszőleges szám, z pedig negatív egész szám. Látjuk, hogy ennek a törtnek a nevezője nem más, mint rendes diploma pozitív egész számmal, és már megtanultuk, hogyan kell kiszámítani. Mondjunk példákat a feladatokra!

6. példa

Emelje fel a 3-at a -2 hatványra.

Döntés

A fenti definíciót használva ezt írjuk: 2 - 3 = 1 2 3

Kiszámoljuk ennek a törtnek a nevezőjét, és 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 kapjuk.

Ekkor a válasz: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. példa

Emelje fel az 1, 43-at a -2 hatványra.

Döntés

Átfogalmazd: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kiszámoljuk a négyzetet a nevezőben: 1,43 1,43. A tizedesjegyeket a következőképpen lehet szorozni:

Ennek eredményeként (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Ezt az eredményt közönséges tört formájában kell felírnunk, amelyhez meg kell szorozni 10 ezerrel (lásd a törtek átszámításáról szóló anyagot).

Válasz: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Külön eset egy szám emelése a mínusz első hatványra. Egy ilyen fokozat értéke megegyezik az alap eredeti értékével ellentétes számmal: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8. példa

Példa: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hogyan emeljünk egy számot tört hatványra

Egy ilyen művelet végrehajtásához fel kell idéznünk a törtkitevővel rendelkező fok alapvető definícióját: a m n \u003d a m n bármely pozitív a, egész m és természetes n esetén.

2. definíció

Így a törtfok számítását két lépésben kell elvégezni: egész hatványra emelni és megkeresni az n-edik fok gyökerét.

Megvan az a m n = a m n egyenlőség, amelyet a gyökök tulajdonságainak ismeretében általában a m n = a n m alakban használunk feladatok megoldására. Ez azt jelenti, hogy ha az a számot m / n törthatványra emeljük, akkor először az n-edik fokú gyökét vonjuk ki a-ból, majd az eredményt m egész kitevőjű hatványra emeljük.

Illusztráljuk egy példával.

9. példa

Számíts ki 8 - 2 3 .

Döntés

1. módszer. Az alapdefiníció szerint ezt a következőképpen ábrázolhatjuk: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Most számítsuk ki a gyökér alatti fokot, és vegyük ki a harmadik gyökért az eredményből: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. módszer. Alakítsuk át az alapegyenlőséget: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Ezután kivonjuk a 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 gyökért, és az eredményt négyzetre emeljük: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Látjuk, hogy a megoldások azonosak. Bármilyen módon használhatod.

Vannak esetek, amikor a fokozatnak van egy vegyes számmal vagy tizedes törttel kifejezett mutatója. A számítás megkönnyítése érdekében jobb, ha egy közönséges törtre cseréljük, és a fentiek szerint számolunk.

10. példa

Emelje fel 44,89-et 2,5 hatványára.

Döntés

Átalakítsa a mutató értékét erre közönséges tört - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

És most végre kell hajtani az összes fent jelzett műveletet sorrendben: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 51050 = 201070 13 501, 25107

Válasz: 13501, 25107.

Ha egy törtkitevő számlálójában és nevezőjében nagy számok vannak, akkor az ilyen kitevők racionális kitevőkkel való kiszámítása meglehetősen nehéz feladat. Általában számítástechnikát igényel.

Külön-külön a nullabázisú és a törtkitevővel rendelkező fokon időzünk. Egy 0 m n alakú kifejezés a következő jelentéssel bírhat: ha m n > 0, akkor 0 m n = 0 m n = 0 ; ha m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hogyan emeljünk egy számot irracionális hatványra

A fokozat értékének kiszámításának szükségessége, amelynek mutatójában irracionális szám szerepel, nem olyan gyakran merül fel. A gyakorlatban a feladat általában egy közelítő érték kiszámítására korlátozódik (bizonyos számú tizedesjegyig). Ezt az ilyen számítások bonyolultsága miatt általában számítógépen számolják ki, ezért ebben nem térünk ki részletesen, csak a főbb rendelkezéseket jelezzük.

Ha az a fok értékét irracionális a kitevővel kell kiszámítanunk, akkor a kitevő decimális közelítését vesszük, és abból számolunk. Az eredmény hozzávetőleges válasz lesz. Minél pontosabb a decimális közelítés, annál pontosabb a válasz. Mutassuk meg egy példával:

11. példa

Számítson ki egy hozzávetőleges értéket: 21 , 174367 ....

Döntés

Korlátozzuk magunkat a n = 1, 17 decimális közelítésre. Végezzük el a számításokat ezzel a számmal: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ha vesszük például az a n = 1 , 1743 közelítést, akkor a válasz egy kicsit pontosabb lesz: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt