A fokozat egy egyszerű tört. Algebrai tört hatványra emelése: szabály, példák

A leckében a törtek szorzásának egy általánosabb változatát vizsgáljuk meg - ez a hatványozás. Mindenekelőtt a tört természetes fokáról és olyan példákról fogunk beszélni, amelyek hasonló műveleteket mutatnak be törtekkel. Az óra elején megismételjük az egész kifejezések természetes hatványára emelését is, és meglátjuk, hogy ez mennyire hasznos további példák megoldásához.

Téma: Algebrai törtek. Aritmetikai műveletek algebrai törtekkel

Tanulság: Építés algebrai tört bizonyos mértékig

1. Törtek és egész kifejezések természetes hatványokká emelésének szabályai elemi példákkal

A közönséges és algebrai törtek természetes hatványokká emelésének szabálya:

Vonhat analógiát egy egész kifejezés mértékével, és emlékezhet arra, hogy mit jelent a hatványra emelés:

1. példa .

Amint a példából látható, egy tört hatványra emelése az különleges eset törtek szorzása, amelyet az előző leckében tanulmányoztunk.

2. példa a), b) - a mínusz elmegy, mert a kifejezést egyenletes hatványra emeltük.

A fokozatokkal végzett munka kényelme érdekében felidézzük a természetes erőre emelés alapvető szabályait:

- fokok szorzata;

- fokozatok felosztása;

Fokozat hatalommá emelése;

A munka mértéke.

Példa 3. - ezt az "Egész kifejezések erejéig emelés" téma óta ismerjük, egy eset kivételével: nem létezik.

2. A legegyszerűbb példák algebrai törtek természetes hatványokká emelésére

4. példa: Emelj egy törtet hatványra.

Megoldás. Egyenletes hatványra emelve a mínusz eltűnik:

5. példa: Emelj egy törtet hatványra.

Megoldás. Most a fokozat azonnali hatalomra emelésének szabályait használjuk külön ütemezés nélkül:

Most nézzük meg azokat a kombinált feladatokat, amelyekben a törteket hatványra kell emelnünk, és meg kell szoroznunk és osztanunk.

6. példa: Műveletek végrehajtása.

Megoldás. . Ezután csökkentést kell végrehajtania. Egyszer leírjuk részletesen, hogyan tesszük ezt, majd analógia útján azonnal jelezzük az eredményt:. Hasonlóan (vagy a fokozatok felosztásának szabálya szerint). Nekünk van: .

7. példa: Műveletek végrehajtása.

Megoldás. . A redukciót a korábban tárgyalt példával analóg módon hajtjuk végre.

8. példa: Műveletek végrehajtása.

Megoldás. . BAN BEN ezt a példát ismételten részletesebben ismertettük a hatványok törtszámos csökkentésének folyamatát, hogy ezt a módszert megszilárdítsuk.

3. Bonyolultabb példák algebrai törtek természetes hatványokká emelésére (előjelek figyelembevételével és zárójelben lévő kifejezésekkel)

9. példa: Műveletek végrehajtása .

Megoldás. Ebben a példában már kihagyjuk a törtek külön szorzását, és azonnal a szorzásukra használjuk a szabályt, és írjuk le egy nevező alá. Ugyanakkor követjük a jeleket - ilyenkor a törtek páros hatványra emelkednek, így a mínuszok eltűnnek. Csináljunk egy csökkentést a végén.

10. példa: Műveletek végrehajtása .

Megoldás. Ebben a példában a törtek felosztása van, ne feledje, hogy ebben az esetben az első törtet megszorozzuk a másodikkal, de fordítva.

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám többszöri szorzásának eredménye önmagában. Képzeljük el a képletet: a1 * a2 * ... * an = an.

Például a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Általában a hatványozást gyakran használják a matematika és a fizika különféle képleteiben. Ennek a funkciónak tudományosabb célja van, mint a négy alapfunkciónak: összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Szám hatványra emelése

Egy szám hatványra emelése nem nehéz művelet. A szorzáshoz kapcsolódik, mint például a szorzás és az összeadás kapcsolatához. Rögzítsen egy - az "a" számok n-edik számának rövid feljegyzését, szorozva egymással.

Fontolja meg legfeljebb a hatványozást egyszerű példákáttérve az összetettekre.

Például 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Négy négyzet (a második hatványhoz) tizenhat. Ha nem érti a 4 * 4 szorzást, akkor olvassa el a szorzásról szóló cikkünket.

Nézzünk egy másik példát: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Öt kocka (a harmadik hatványhoz) százhuszonötnek felel meg.

Egy másik példa: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Kilenc kocka hétszázhuszonkilencnek felel meg.

Hatványozási képletek

A hatványra való helyes emeléshez emlékeznie kell és ismernie kell az alábbi képleteket. Ebben nincs semmi természetesen túl, a lényeg, hogy megértsük a lényeget, és akkor nem csak emlékezni fognak rájuk, de könnyűnek is tűnnek.

Egy monom hatványra emelése

Mi az a monomiális? Ez a számok és változók szorzata bármilyen mennyiségben. Például a kettő egy monom. Ez a cikk pedig az ilyen monomok hatalommá emeléséről szól.

Hatványozási képletekkel nem lesz nehéz kiszámítani a monom hatványozását a hatványra.

Például, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ha egy monomit hatványra emel, akkor a monom minden komponense hatványra lesz emelve.

Ha olyan változót emelünk hatványra, amelynek már van foka, a fokok megszorozódnak. Például (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Negatív hatalommá emelés

A negatív kitevő egy szám reciproka. Mi az a kölcsönösség? Bármely X szám reciprok értéke 1/X. Ez X-1=1/X. Ez a negatív fokozat lényege.

Tekintsük a (3Y)^-3 példát:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miert van az? Mivel a fokban mínusz van, egyszerűen átvisszük ezt a kifejezést a nevezőbe, majd emeljük a harmadik hatványra. Pont jó?

Törthatványra emelés

Kezdjük a vitát konkrét példa. 43/2. Mit jelent a teljesítmény 3/2? 3 - számláló, egy szám (jelen esetben 4) kockává emelését jelenti. A 2-es szám a nevező, ez a szám második gyökének (jelen esetben 4) kinyerése.

Ekkor megkapjuk a 43 = 2^3 = 8 négyzetgyökét. Válasz: 8.

Tehát egy tört fok nevezője lehet 3 vagy 4, és a végtelenségig tetszőleges szám, és ez a szám határozza meg a fokot négyzetgyök kivonva valamiből adott szám. Természetesen a nevező nem lehet nulla.

Gyökért hatalommá emelni

Ha a gyököt olyan hatványra emeljük, mint magának a gyökérnek a hatványa, akkor a válasz a radikális kifejezés. Például (√x)2 = x. És így minden esetben egyenlő a gyökér foka és a gyökéremelés mértéke.

Ha (√x)^4. Ekkor (√x)^4=x^2. A megoldás ellenőrzéséhez a kifejezést tört fokú kifejezéssé fordítjuk. Mivel a gyök négyzet, a nevező 2. Ha pedig a gyököt a negyedik hatványra emeljük, akkor a számláló 4. 4/2=2-t kapunk. Válasz: x = 2.

Egyébként is a legjobb mód csak alakítsa át a kifejezést törthatékonyságú kifejezéssé. Ha a törtet nem csökkentjük, akkor ilyen válasz lesz, feltéve, hogy az adott szám gyökere nincs kiosztva.

Komplex szám hatványozása

Mi az a komplex szám? A komplex szám olyan kifejezés, amelynek képlete a + b * i; a, b valós számok. i az a szám, amely négyzetre vetve a -1 számot adja.

Vegyünk egy példát. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Iratkozzon fel a „Fejtesd fel a fejben számolást, NEM a fejszámolást” kurzusra, hogy megtanulja, hogyan kell gyorsan és helyesen összeadni, kivonni, szorozni, osztani, négyzetszámokat venni, sőt még gyökeret is venni. 30 nap alatt megtanulja, hogyan kell egyszerű trükköket használni az aritmetikai műveletek egyszerűsítésére. Minden lecke új technikákat, világos példákat és hasznos feladatokat tartalmaz.

Hatványozás online

Számológépünk segítségével kiszámolhatja egy szám hatványozását a hatványra:

Hatványozás 7. fokozat

A hatalomra emelés csak a hetedik osztályban kezdődik az iskolások előtt.

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám többszöri szorzásának eredménye önmagában. Képzeljük el a képletet: a1 * a2 * … * an=an .

Például, a=2, n=3: 2*2*2=2^3=8.

Megoldási példák:

Hatványozás bemutatása

Prezentáció a hatványozásról, hetedikesek számára készült. Az előadás talán tisztáz néhány érthetetlen pontot, de valószínűleg cikkünknek köszönhetően nem lesznek ilyenek.

Eredmény

Csak a jéghegy csúcsát vettük figyelembe, hogy jobban megértsük a matematikát - iratkozzon fel tanfolyamunkra: Fejszámolás felgyorsítása - NEM fejszámolás.

A tanfolyamon nemcsak tucatnyi trükköt tanulsz meg az egyszerűsített és gyors szorzáshoz, összeadáshoz, szorzáshoz, osztáshoz, százalékszámításhoz, hanem speciális feladatokban, oktatójátékokban is kidolgozhatod! A mentális számolás is nagy figyelmet és koncentrációt igényel, amelyeket aktívan képeznek az érdekes problémák megoldásában.

Utasítás

Ha a forrásban közönséges tört formátumban van megadva, akkor a műveletet két lépésben kell végrehajtani. Sorrendjük semmilyen módon nem befolyásolja az eredményt - kezdje például azzal, hogy kivonja a tört nevezőjében feltüntetett fok gyökének számából. Például, hogy emelje fokozat⅔ ebből a lépésből ki kell vonni a 64-es számot: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Emelje az első lépésben kapott értéket értékre fokozat egyenlő a tört számlálójában szereplő számmal. Ennek a műveletnek az eredménye a szám törtre emelésének eredménye fokozat. Az előző lépés példájában a teljes számítási folyamat a következőképpen írható fel: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

A fent leírt műveletek sorrendjének meghatározásakor, a gyökér kinyerésekor és a fokozat. Például, ha ugyanabban az kellene fokozat⅔ a 8-as szám emeléséhez, akkor a nyolc kockagyökének felvételével kezdve a következő lenne: , mivel az eredmény egy tört. Ebben az esetben jobb, ha a 8-at négyzetesen kezdi, majd felveszi a 64 harmadik gyökét, így elkerülheti a tört köztes értékeket: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Ha a forrásadatokban a kitevő decimális formátumban van megadva, akkor először konvertálja azt közönséges törtté, majd kövesse a fent leírt algoritmust. Például egy szám emelésére fokozat 0,75 alakítsa át ezt a számot egy közönséges törtté ¾, majd vegye ki a negyedik gyökért, és emelje az eredményt kockává.

Használja bármelyiket, ha a számítás menete nem számít, de csak az eredmény a fontos. Ez lehet egy beágyazott szkript is Google kereső- az ő segítségével kívánt értéket még egyszerűbb, mint a szabványos Windows számológép használata. Például a 15-ös szám emeléséhez fokozat⅗ menj ide kezdőlap webhelyet, és írja be a 15^(3/5) értéket a keresőmezőbe. A Google legfeljebb 8 karakter pontossággal jeleníti meg a számítások eredményét a küldési kérés gomb megnyomása nélkül is: 15 ^ (3 / 5) = 5,07755639.

Források:

hogyan lehet törthatványra emelni

Fokozat számok rendezve az iskolában algebra órákon. Az életben ritkán hajtanak végre ilyen műveletet. Például egy négyzet területének vagy egy kocka térfogatának kiszámításakor a fokokat használják, mivel a hosszúság, a szélesség, valamint a kockánál és a magasságban egyenlő értékek. Egyébként a hatványozás leggyakrabban alkalmazott ipari jellegű.

Szükséged lesz

Papír, toll, mérnöki számológép, fokozattáblázatok, szoftvertermékek (például Excel táblázatszerkesztő).

Utasítás

Ha negatív számokkal dolgozik, óvatosnak kell lennie a jelekkel. Emlékeztetni kell arra, hogy a páros fokozat (n) pluszjelet ad, a páratlan pedig jelet.
Például
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Nulla fok (n = 0) bármely számok mindig egyenlő lesz eggyel.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Ha n = 1, akkor a számot nem kell szorozni önmagával.
Akarat
7^1 = 7
329^1 = 329

Ha n = 2, akkor a fokszám négyzet, ha n = 3, akkor a fokot kockának nevezzük. A négyzet és a kocka kiszámítása az első tíz számából meglehetősen egyszerű. De növekedéssel számok hatványra emelik, és ahogy maga a hatalom növekszik, a számítások fáradságossá válnak. Az ilyen számításokhoz speciális táblázatokat fejlesztettek ki. Vannak speciális mérnöki és online számológépek, szoftvertermékek is. A műveletekhez a legegyszerűbb szoftverként használhatja az Excel táblázatkezelőt.

Források:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Egyes technikai problémák megoldása során szükség lehet számításra gyökér harmadik fokon. Néha ezt a számot kockagyöknek is nevezik. gyökér harmadik fokon adott számból olyan számot hívunk, amelynek kockája (harmadik foka) megegyezik az adott számmal. Vagyis ha y gyökér harmadik fokon x számok, akkor a következő feltételnek kell teljesülnie: y?=x (x egyenlő y kockával).

Szükséged lesz

számológép vagy számítógép

Utasítás

Számolni gyökér fokon használja a számológépet. Kívánatos, hogy ez ne egy közönséges, hanem egy mérnöki számításokhoz használt számológép. Azonban még ezen sem talál speciális gombot a gyökér kinyerésére. harmadik fokon. Tehát egy függvény segítségével emeljünk egy számot hatványra. A gyökér kivonása harmadik fokon az 1/3 (egyharmad) hatványra való emelésnek felel meg.

Ha egy számot 1/3-ra szeretne emelni, írja be magát a számot a számológép billentyűzetén. Ezután nyomja meg a "hatványozás" gombot. Egy ilyen gomb a számológép típusától függően xy-nek tűnhet (y - felső index formájában). Mivel a legtöbb számológép nem képes közönséges (nem decimális) számokkal dolgozni, az 1/3 helyett írja be a hozzávetőleges értékét: 0,33. A számítások nagyobb pontossága érdekében növelni kell a „hármasok” számát, például tárcsázza a 0,33333333333333 számot. Ezután nyomja meg a "=" gombot.

Számolni gyökér harmadik fokon be, használja a szabványos Windows számológépet. Az eljárás teljesen hasonló az utasítás előző bekezdésében leírtakhoz. Az egyetlen dolog a hatványozó gombok. A "számítógépes" számológépen úgy néz ki, mint x ^ y.

Ha gyökér harmadik fokon Ha szisztematikusan kell csinálnia, akkor használja az MS Excelt. Számolni gyökér harmadik fokon az Excelben írja be az „=” jelet bármelyik cellába, majd válassza az „fx” lehetőséget – szúrjon be egy függvényt. A megjelenő ablakban a "Funkció kiválasztása" listában válassza ki a "FOK" sort. Kattintson az OK gombra. Az újonnan megjelenő ablakban írja be a "Szám" sorba annak a számnak az értékét, amelyből ki szeretné bontani gyökér. A "Fokozat" sorba írja be az "1/3" számot, és kattintson az "OK" gombra. A kocka gyökér kívánt értéke az eredeti számból fog megjelenni a táblázatban.

A műszaki számításoknál és számos probléma megoldásánál néha szükség van rá gyökér, azaz keressünk egy számot, amelynek kockája megegyezik az eredetivel. A kockagyök értékének kiszámításához elegendő egy műszaki számológép. Azonban még egy ilyen számológépen sincs speciális kulcs a kockagyök kiszámításához. De néhány egyszerű trükk segítségével megteheti egy ilyen gomb nélkül.

Szükséged lesz

mérnöki számológép vagy számítógép

Utasítás

A kockagyök számológép segítségével történő megtalálásához vegye ki a mérnöki számot, és írja be az eredeti számot. Ezután kattintson a hatványozás gombra. Most adja meg az indikátor értékét. Ebben az esetben (elméletileg) 1/3-nak kell lennie. De mivel a közönséges törtek használata még egy mérnöki számológépen is nehéz, akkor tárcsázza az 1/3 szám kerekített értékét, azaz: 0,33. Ezután kattintson a "=" gombra. A kívánt érték megjelenik a számológép kijelzőjén. Többet szerezni pontos érték, ne két hármast tárcsázzon, hanem például 0,333333333333.

A kockagyök számítógépen történő kiszámításához futtassa a számolóprogramot. Ha a megfelelő ikon nincs az asztalon, tegye a következőket:
- nyomja meg a "Start" gombot;
- válassza ki a "Futtatás" menüpontot;
- a megjelenő ablakba írja be a „calc” sort Ha az asztalon megjelenő számológép normál kinézetű ("számviteli számológépre" hasonlít), akkor kapcsolja át számítási módba. Ehhez válassza ki a "Nézet" sort, és válassza a "Műszaki" elemet Most adja meg azt a számot, amelyből ki szeretné bontani a kocka gyökerét. Ezután nyomja meg az "x^y" gombot a számológépen. Ezután tárcsázza például a 0,33-at. A pontosabb eredmény érdekében beírhatja a kitevő nagyobb értékét, például 0,333333333333. A pontos eredmény érdekében adja meg az "1/3" kitevőt zárójelben. Azaz nyomja meg egymás után az "(1/3)" gombokat.

Számítás Excelben. Futtassa magát a programot, nyomja meg a "=" gombot és válassza ki a "DEGREE" funkciót. Ezután adja meg azt a számot, amelyből ki szeretné bontani a fokozat gyökerét. Ezután a következő megjelenő ablakban írja be az "1/3" törtrészt, és kattintson az "OK" gombra.

Kapcsolódó videók

Források:

hogyan kell kiszámítani kockagyökerek

Az aritmetikai és algebrai feladatok megoldásánál időnként építeni kell töredék ban ben négyzet. Ennek legegyszerűbb módja, hogy mikor töredék decimális - egy közönséges számológép elég. Ha azonban töredék közönséges vagy vegyes, majd az ilyen szám emelésekor négyzet bizonyos nehézségek adódhatnak.

Rájöttünk, hogy általában mekkora egy szám fokszáma. Most meg kell értenünk, hogyan kell helyesen kiszámítani, pl. a számokat hatványokra emelni. Ebben az anyagban a fokszámítás alapvető szabályait elemezzük egész, természetes, tört, racionális és irracionális kitevő esetén. Minden definíciót példákkal illusztrálunk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A hatványozás fogalma

Kezdjük az alapvető definíciók megfogalmazásával.

1. definíció

Hatványozás valamely szám hatványértékének kiszámítása.

Vagyis a „fokozat értékének kiszámítása” és a „hatványozás” szavak ugyanazt jelentik. Tehát, ha a feladat "Emelje fel a 0 , 5 számot az ötödik hatványra", ezt úgy kell érteni, hogy "számítsa ki a (0 , 5) 5 hatvány értékét.

Most megadjuk azokat az alapvető szabályokat, amelyeket az ilyen számításoknál be kell tartani.

Emlékezzünk vissza, mekkora hatványa egy természetes kitevővel rendelkező számnak. Egy a bázisú és n kitevővel rendelkező hatvány esetén ez az n-edik tényező szorzata lesz, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezt így lehet írni:

A fok értékének kiszámításához el kell végezni a szorzás műveletét, azaz a fok alapjait meg kell szorozni a megadott számú alkalommal. A természetes mutatójú diploma fogalma a gyors szorzás képességén alapul. Mondjunk példákat.

1. példa

Feltétel: Emelje a 2-t 4-es hatványra.

Megoldás

A fenti definíciót használva a következőket írjuk: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ezután már csak követnünk kell ezeket a lépéseket, és megkapjuk a 16-ot.

Vegyünk egy bonyolultabb példát.

2. példa

Számítsa ki a 3 2 7 2 értéket!

Megoldás

Ez a bejegyzés átírható a következőre: 3 2 7 · 3 2 7 . Korábban megvizsgáltuk, hogyan lehet helyesen szorozni a feltételben említett vegyes számokat.

Hajtsa végre az alábbi lépéseket, és kapja meg a választ: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ha a feladat azt jelzi, hogy az irracionális számokat természetes hatványra kell emelni, akkor először az alapjaikat kell kerekíteni egy számjegyre, amely lehetővé teszi a kívánt pontosságú választ kapni. Vegyünk egy példát.

3. példa

Végezzük el a π szám négyzetre emelését.

Megoldás

Először kerekítsük fel századokra. Ekkor π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ha π ≈ 3 . 14159, akkor pontosabb eredményt kapunk: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vegyük észre, hogy a gyakorlatban viszonylag ritkán merül fel az irracionális számok hatványainak kiszámítása. Ezután felírhatjuk a választ magának a hatványnak (ln 6) 3, vagy ha lehetséges átváltjuk: 5 7 = 125 5 .

Külön meg kell adni, hogy mi egy szám első hatványa. Itt emlékezhet arra, hogy az első hatványra emelt szám önmaga marad:

Ez egyértelműen kiderül a jegyzőkönyvből. .

Nem a végzettségtől függ.

4. példa

Tehát (− 9) 1 = − 9 , és az első hatványra emelt 7 3 egyenlő marad 7 3 -al.

Az egyszerűség kedvéért három esetet külön elemezünk: ha a kitevő pozitív egész szám, ha nulla és ha negatív egész szám.

Az első esetben ez ugyanaz, mint a természetes hatványra emelés: elvégre pozitív egész számok tartoznak a természetes számok halmazához. Fentebb már leírtuk, hogyan kell ilyen végzettséggel dolgozni.

Most lássuk, hogyan kell megfelelően emelni a nulla teljesítményre. Nem nulla bázis esetén ez a számítás mindig 1-es kimenetet ad. Korábban már kifejtettük, hogy a 0. hatványa bármelyikre definiálható valós szám, nem egyenlő 0-val, és a 0 = 1.

5. példa

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nincs meghatározva.

Csak a negatív egész kitevővel rendelkező fok esete marad. Korábban már tárgyaltuk, hogy az ilyen fokok felírhatók 1 a z törtként, ahol a tetszőleges szám, z pedig negatív egész szám. Látjuk, hogy ennek a törtnek a nevezője nem más, mint egy közönséges fok pozitív egész számmal, és már megtanultuk, hogyan kell kiszámítani. Mondjunk példákat a feladatokra!

6. példa

Emelje fel a 3-at a -2 hatványra.

Megoldás

A fenti definíciót használva ezt írjuk: 2 - 3 = 1 2 3

Kiszámoljuk ennek a törtnek a nevezőjét, és 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 kapjuk.

Ekkor a válasz: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. példa

Emelje fel az 1, 43-at a -2 hatványra.

Megoldás

Átfogalmazd: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kiszámoljuk a négyzetet a nevezőben: 1,43 1,43. A tizedesjegyeket a következőképpen lehet szorozni:

Ennek eredményeként (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Ezt az eredményt közönséges tört formájában kell felírnunk, amelyhez meg kell szorozni 10 ezerrel (lásd a törtek átszámításáról szóló anyagot).

Válasz: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Külön eset egy szám emelése a mínusz első hatványra. Egy ilyen fokozat értéke megegyezik az alap eredeti értékével ellentétes számmal: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8. példa

Példa: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hogyan emeljünk egy számot tört hatványra

Egy ilyen művelet végrehajtásához fel kell idéznünk a törtkitevővel rendelkező fok alapvető definícióját: a m n \u003d a m n bármely pozitív a, egész m és természetes n esetén.

2. definíció

Így a törtfok számítását két lépésben kell elvégezni: egész hatványra emelni és megkeresni az n-edik fok gyökerét.

Megvan az a m n = a m n egyenlőség, amelyet a gyökök tulajdonságainak ismeretében általában a m n = a n m alakban használunk feladatok megoldására. Ez azt jelenti, hogy ha az a számot m / n tört hatványra emeljük, akkor először az n-edik fok gyökét vonjuk ki a-ból, majd az eredményt m egész kitevőjű hatványra emeljük.

Illusztráljuk egy példával.

9. példa

Számíts ki 8 - 2 3 .

Megoldás

1. módszer. Az alapdefiníció szerint ezt a következőképpen ábrázolhatjuk: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Most számítsuk ki a fokot a gyökér alatt, és vonjuk ki a harmadik gyökért az eredményből: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. módszer. Alakítsuk át az alapegyenlőséget: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Ezután kivonjuk a 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 gyökért, és az eredményt négyzetre emeljük: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Látjuk, hogy a megoldások azonosak. Bármilyen módon használhatod.

Vannak esetek, amikor a fokozatnak van egy vegyes számmal vagy tizedes törttel kifejezett mutatója. A számítás megkönnyítése érdekében jobb, ha egy közönséges törtre cseréljük, és a fentiek szerint számolunk.

10. példa

Emelje fel 44,89-et 2,5 hatványára.

Megoldás

A mutató értékét alakítsuk át közönséges törtté - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

És most végre kell hajtani az összes fent jelzett műveletet sorrendben: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 51050 = 201070 13 501, 25107

Válasz: 13501, 25107.

Ha egy törtkitevő számlálója és nevezője az nagy számok, akkor az ilyen teljesítmények kiszámítása -val racionális mutatók- elég nehéz munka. Általában számítástechnikát igényel.

Külön-külön a nullabázisú és a törtkitevővel rendelkező fokon időzünk. Egy 0 m n alakú kifejezés a következő jelentéssel bírhat: ha m n > 0, akkor 0 m n = 0 m n = 0 ; ha m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hogyan emeljünk egy számot irracionális hatványra

A fokozat értékének kiszámításának szükségessége, amelynek mutatójában irracionális szám szerepel, nem olyan gyakran merül fel. A gyakorlatban a feladat általában egy közelítő érték kiszámítására korlátozódik (bizonyos számú tizedesjegyig). Ezt az ilyen számítások bonyolultsága miatt általában számítógépen számolják ki, ezért ebben nem térünk ki részletesen, csak a főbb rendelkezéseket jelezzük.

Ha az a fok értékét irracionális a kitevővel kell kiszámítanunk, akkor a kitevő decimális közelítését vesszük, és abból számolunk. Az eredmény hozzávetőleges válasz lesz. Minél pontosabb a decimális közelítés, annál pontosabb a válasz. Mutassuk meg egy példával:

11. példa

Számítson ki egy hozzávetőleges értéket: 21 , 174367 ....

Megoldás

Korlátozzuk magunkat a n = 1, 17 decimális közelítésre. Végezzük el a számításokat ezzel a számmal: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ha vesszük például az a n = 1 , 1743 közelítést, akkor a válasz egy kicsit pontosabb lesz: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Szükséged lesz

számológép, számítógép, excel alkalmazás.

Utasítás

Tizedesjegy emeléséhez töredék ban ben négyzet, vegyél egy mérnököt, tárcsázd beépítve négyzet töredékés nyomja meg a hatványozó gombot. A legtöbb számológépen ez a gomb "x²" felirattal van ellátva. Szabványos Windows-kalkulátoron az emelés -ra négyzetúgy néz ki, mint "x^2". Például, négyzet tizedes tört 3,14 egyenlő lesz: 3,14² = 9,8596.

Emelni, hogy négyzet decimális töredék normál (számviteli) számológépen szorozza meg ezt a számot önmagával. Mellesleg, a számológépek egyes modelljeiben lehetőség van a szám növelésére négyzet még ha nincs is dedikált gomb. Ezért először olvassa el egy adott számológép utasításait. Néha „trükkös” hatványozást adnak meg a hátlapon vagy a számológépen. Például sok számológépen számok emelésére négyzet csak nyomja meg az "x" és "="" gombot.

Az erekcióhoz négyzet közönséges tört (amely a számlálóból és a nevezőből áll), emelés -ra négyzet külön ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét. Vagyis használja a következő szabályt: (h / s)² = h² / s², ahol h a tört számlálója, s a tört nevezője. Példa: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Ha benne van felállítva négyzet töredék- vegyes (egész részből és közönséges törtből áll), majd először hozzák hétköznapi megjelenés. Azaz alkalmazza a következő képletet: (ch / s)² \u003d ((c * w + h) / s) ² \u003d (c * w + h) ² / s², ahol c a vegyes egész része Példa: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Ha be négyzet a (nem) törtek állandóak, akkor használja az MS Excelt. Ehhez írja be a következő képletet az egyik táblázatba: \u003d DEGREE (A2; 2) ahol A2 annak a cellának a címe, amelybe az emelendő értéket beírjuk négyzet töredék.A programnak megmondani, hogy a bemeneti számot úgy kell kezelni töredék yu (azaz ne konvertálja decimálisra), írja be előtte töredék a „0” számjegy és a „szóköz” jel. Vagyis például a 2/3 tört megadásához be kell írnia: "0 2/3" (és nyomja meg az Entert). Ebben az esetben a beviteli sorban a beírt tört decimális ábrázolása jelenik meg. A közvetlenül benne lévő tört értéke és ábrázolása eredeti formájában megmarad. Ráadásul használatkor matematikai függvények, amelynek argumentumai közönséges törtek, az eredmény is közönséges törtként jelenik meg. Következésképpen négyzet a 2/3 tört 4/9-ként jelenik meg.