Algebrai törtek redukciója: szabály, példák. Hogyan kell megoldani az algebrai törteket? Elmélet és gyakorlat

A törtek és kicsinyítésük egy másik téma, amely az 5. osztályban kezdődik. Itt alakul ki ennek a cselekvésnek az alapja, majd ezeket a képességeket egy szál húzza a magasabb matematikába. Ha a tanuló nem tanult, akkor algebrával problémái lehetnek. Ezért jobb, ha egyszer s mindenkorra megértünk néhány szabályt. És emlékezzen egy tilalomra, és soha ne szegje meg.

Tört és redukciója

Hogy mi az, azt minden diák tudja. A vízszintes sáv között elhelyezkedő két számjegy azonnal törtként jelenik meg. Azonban nem mindenki érti, hogy bármilyen szám válhat belőle. Ha egész szám, akkor mindig osztható eggyel, akkor kap egy helytelen törtet. De erről majd később.

A kezdet mindig egyszerű. Először ki kell találnia, hogyan csökkentheti a megfelelő törtet. Vagyis olyat, amelynek a számlálója kisebb, mint a nevező. Ehhez emlékeznie kell a tört fő tulajdonságára. Azt állítja, hogy ha a számlálóját és a nevezőjét is megszorozzuk (valamint elosztjuk) ugyanazzal a számmal, akkor kiderül, hogy az eredeti tört ekvivalens.

Az ezen a tulajdonságon végrehajtott felosztási műveletek csökkentést eredményeznek. Vagyis a maximális leegyszerűsítése. Egy töredék csökkenthető mindaddig, amíg vannak közös tényezők a vonal felett és alatt. Ha már nem léteznek, a csökkentés lehetetlen. És azt mondják, hogy ez a tört redukálhatatlan.

két út

1.Lépésről lépésre csökkentése. Találgatási módszert használ, amikor mindkét számot elosztjuk a tanuló által észlelt minimális közös tényezővel. Ha az első csökkentés után egyértelmű, hogy ez még nem a vég, akkor a felosztás folytatódik. Amíg a tört redukálhatatlanná válik.

2. A számláló és a nevező legnagyobb közös osztójának megtalálása. Ez a legracionálisabb módja a törtek csökkentésének. Ez magában foglalja a számláló és a nevező prímtényezőkbe való beszámítását. Közülük akkor ugyanazt kell választania. A szorzatuk adja a legnagyobb közös tényezőt, amellyel a tört csökken.

Mindkét módszer egyenértékű. A tanulót felkérik, hogy sajátítsa el őket, és használja azt, amelyik a legjobban tetszett.

Mi van, ha vannak betűk és összeadás és kivonás műveletei?

A kérdés első részével többé-kevésbé minden világos. A betűket ugyanúgy lehet rövidíteni, mint a számokat. A lényeg az, hogy multiplikátorként működjenek. De a másodikkal sokaknak vannak problémái.

Fontos emlékezni! Csak azokat a számokat csökkentheti, amelyek tényezők. Ha ezek kifejezések, akkor lehetetlen.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan csökkenthetjük az algebrai kifejezésnek tűnő törteket, meg kell tanulnunk a szabályt. Először fejezze ki a számlálót és a nevezőt szorzatként. Ezután csökkentheti, ha vannak közös tényezők. A szorzóként való ábrázoláshoz a következő trükkök hasznosak:

• csoportosítás;
• konzolozás;
• a rövidített szorzási azonosságok alkalmazása.

Sőt, az utóbbi módszer lehetővé teszi, hogy azonnal megkapjuk a kifejezéseket faktorok formájában. Ezért mindig akkor kell használni, ha ismert minta látható.

De ez még nem ijesztő, majd megjelennek a végzettségű és gyökerű feladatok. Ilyenkor kell összeszedned a bátorságot, és meg kell tanulnod néhány új szabályt.

Erő kifejezés

Töredék. A szorzat a számlálóban és a nevezőben. Vannak betűk és számok. És szintén olyan hatalommá emelik őket, amely szintén kifejezésekből vagy tényezőkből áll. Van mitől félni.

Ahhoz, hogy rájöjjön, hogyan csökkentheti a törteket hatványokkal, meg kell tanulnia két pontot:

• ha a kitevőben összeg van, akkor az faktorokra bontható, amelyek hatványai az eredeti tagok lesznek;
• ha a különbség, akkor az osztalékba és az osztóba a fokozat első részét csökkentjük, a másodikat levonjuk.

Ezen lépések elvégzése után láthatóvá válnak a közös szorzók. Ilyen példákban nem szükséges az összes teljesítményt kiszámítani. Elegendő egyszerűen csökkenteni a fokokat ugyanazokkal a mutatókkal és alapokkal.

Ahhoz, hogy végre elsajátíthasd, hogyan csökkentsd a törteket a hatványokkal, sok gyakorlásra van szükséged. Több azonos típusú példa után a műveletek automatikusan végrehajtásra kerülnek.

Mi van akkor, ha a kifejezés gyökérrel rendelkezik?

Le is lehet rövidíteni. Ismét csak kövesse a szabályokat. Ráadásul a fent leírtak mind igazak. Általánosságban elmondható, hogy ha a kérdés az, hogyan lehet csökkenteni a töredéket a gyökerekkel, akkor osztania kell.

Irracionális kifejezésekre is felosztható. Vagyis ha a számlálóban és a nevezőben ugyanazok a tényezők szerepelnek a gyökjel alatt, akkor biztonságosan csökkenthetők. Ez leegyszerűsíti a kifejezést, és elvégzi a munkát.

Ha a redukció után az irracionalitás a tört vonala alatt marad, akkor meg kell szabadulnia tőle. Más szóval, szorozd meg vele a számlálót és a nevezőt. Ha a művelet után közös tényezők jelentek meg, akkor ezeket ismét csökkenteni kell.

Ez talán csak arról szól, hogyan csökkentsük a törteket. Kevés szabály, de egy tilalom. Soha ne csökkentse a feltételeket!

Ebben a cikkben arra fogunk összpontosítani algebrai törtek csökkentése. Először is nézzük meg, mit jelent az "algebrai tört redukciója", és derítsük ki, hogy egy algebrai tört mindig redukálható-e. Ezután adunk egy szabályt, amely lehetővé teszi számunkra ennek az átalakításnak a végrehajtását. Végül vegye figyelembe a tipikus példák megoldásait, amelyek lehetővé teszik a folyamat összes finomságának megértését.

Oldalnavigáció.

Mit jelent egy algebrai tört redukálása?

Tanulmányozva a csökkentésükről beszéltünk. számlálójának és nevezőjének közös tényezővel való osztását neveztük. Például a 30/54 közönséges tört 6-tal csökkenthető (azaz elosztjuk 6-tal a számlálóját és a nevezőjét), ami az 5/9 törthez vezet.

Az algebrai tört redukálása hasonló műveletnek minősül. Az algebrai tört csökkentése az, hogy a számlálóját és a nevezőjét el kell osztani egy közös tényezővel. De ha egy közönséges tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője csak egy szám lehet, akkor az algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője lehet polinom, különösen egy monom vagy egy szám.

Például egy algebrai tört csökkenthető a 3-as számmal, amely megadja a törtet . Lehetőség van az x változó csökkentésére is, ami a kifejezést eredményezi . Az eredeti algebrai tört csökkenthető a 3 x monommal, valamint az x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y vagy 3 x 2 +6 x y polinomok bármelyikével.

Az algebrai tört csökkentésének végső célja egy egyszerűbb formájú tört, legjobb esetben is redukálhatatlan tört elérése.

Van-e redukciónak alávetve bármely algebrai tört?

Tudjuk, hogy a közönséges törtek . Az irreducibilis törteknek a számlálóban és a nevezőben az egységen kívül nincs közös tényezője, ezért nem redukálhatók.

Az algebrai törteknek lehetnek közös számláló- és nevezőtényezői, de nem is. Közös tényezők jelenlétében lehetőség van az algebrai tört csökkentésére. Ha nincsenek közös tényezők, akkor az algebrai tört leegyszerűsítése redukciójával lehetetlen.

Általában egy algebrai tört megjelenésével meglehetősen nehéz meghatározni, hogy lehetséges-e a redukálása. Kétségtelen, hogy bizonyos esetekben a számláló és a nevező közös tényezői nyilvánvalóak. Például jól látható, hogy egy algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője 3. Az is könnyen belátható, hogy egy algebrai tört csökkenthető x-szel, y-vel vagy azonnal x·y-vel. De sokkal gyakrabban, az algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője nem azonnal látható, sőt gyakrabban egyszerűen nem létezik. Például egy tört csökkenthető x−1 -gyel, de ez a közös tényező nyilvánvalóan nincs jelen a jelölésben. És egy algebrai tört nem csökkenthető, mert számlálójának és nevezőjének nincs közös tényezője.

Általában egy algebrai tört összehúzhatóságának kérdése nagyon nehéz. És néha könnyebb megoldani egy problémát egy algebrai törttel az eredeti formájában, mint megtudni, hogy ez a tört előzetesen csökkenthető-e. Ennek ellenére vannak olyan transzformációk, amelyek bizonyos esetekben lehetővé teszik, hogy viszonylag kis erőfeszítéssel megtaláljuk a számláló és a nevező közös tényezőit, ha van ilyen, vagy arra a következtetésre jutunk, hogy az eredeti algebrai tört irreducibilis. Ezt az információt a következő bekezdésben tesszük közzé.

Algebrai tört redukciós szabály

Az előző bekezdések információi lehetővé teszik a következők természetes észlelését algebrai törtredukciós szabály, amely két lépésből áll:

• először megtaláljuk az eredeti tört számlálójának és nevezőjének közös tényezőit;
• ha van ilyen, akkor ezekkel a tényezőkkel csökkentjük.

A bejelentett szabály ezen lépései pontosításra szorulnak.

A közösek megtalálásának legkényelmesebb módja az olyan polinomok faktorizálása, amelyek az eredeti algebrai tört számlálójában és nevezőjében szerepelnek. Ilyenkor azonnal láthatóvá válnak a számláló és a nevező közös tényezői, vagy kiderül, hogy nincsenek közös tényezők.

Ha nincsenek közös tényezők, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az algebrai tört irreducibilis. Ha megtaláljuk a közös tényezőket, akkor a második lépésben csökkentjük azokat. Az eredmény egy egyszerűbb forma új töredéke.

Az algebrai törtek redukciójának szabálya egy algebrai tört fő tulajdonságán alapul, amelyet az egyenlőség fejez ki, ahol a , b és c néhány polinom, b és c pedig nem nulla. Az első lépésben az eredeti algebrai tört alakra redukálódik, amelyből láthatóvá válik a közös c tényező, a második lépésben pedig a redukciót hajtják végre - az átmenetet a törtre.

Térjünk tovább a példák megoldására ennek a szabálynak a segítségével. Ezeken elemezzük az összes lehetséges árnyalatot, amely egy algebrai tört számlálójának és nevezőjének tényezőkre bontása és az azt követő redukció során felmerül.

Tipikus példák

Először is meg kell mondani az algebrai törtek redukciójáról, amelyek számlálója és nevezője megegyezik. Az ilyen törtek azonosak a benne szereplő változók teljes ODZ-jén lévő eggyel, pl.
stb.

Most nem árt megjegyezni, hogyan történik a közönséges törtek redukciója - elvégre ezek az algebrai törtek speciális esetei. Természetes számok a közönséges tört számlálójában és nevezőjében, ami után a közös tényezőket csökkentjük (ha vannak). Például, . Azonos prímtényezők szorzata felírható fokok formájában, redukálva pedig használja. Ebben az esetben a megoldás így nézne ki: , itt elosztottuk a számlálót és a nevezőt egy közös tényezővel 2 2 3 . Illetve a nagyobb érthetőség kedvéért a szorzás és osztás tulajdonságai alapján a megoldást a formában mutatjuk be.

Abszolút hasonló elvek szerint történik az algebrai törtek redukciója, amelyek számlálójában és nevezőjében egész együtthatós monomiumok találhatók.

Példa.

Az algebrai tört csökkentése .

Megoldás.

Az eredeti algebrai tört számlálóját és nevezőjét ábrázolhatja egyszerű tényezők és változók szorzataként, majd végrehajthatja a redukciót:

De racionálisabb, ha a megoldást olyan kifejezésként írjuk le, amely hatványokkal rendelkezik:

Válasz:

.

Ami a számlálóban és a nevezőben tört numerikus együtthatót tartalmazó algebrai törtek csökkentését illeti, két dolgot tehet: vagy külön osztja el ezeket a törtegyütthatókat, vagy először megszabadul a törtegyütthatóktól úgy, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozza valamilyen természetes számmal. A cikkben beszéltünk arról, hogy az utolsó transzformáció egy algebrai törtet új nevezőre hozott, az algebrai tört fő tulajdonsága miatt végrehajtható. Foglalkozzunk ezzel egy példával.

Példa.

Hajtsa végre a frakciócsökkentést.

Megoldás.

A törtet így csökkentheti: .

A törtegyütthatóktól pedig először úgy lehetett megszabadulni, hogy a számlálót és a nevezőt megszoroztuk ezen együtthatók nevezőivel, azaz LCM(5, 10)=10 . Ebben az esetben van .

Válasz:

.

Továbbléphet egy általános alak algebrai törteire, amelyekben a számláló és a nevező egyaránt tartalmazhat számokat és monomokat, valamint polinomokat.

Az ilyen törtek redukálásakor a fő probléma az, hogy a számláló és a nevező közös tényezője nem mindig látható. Ráadásul nem mindig létezik. Ahhoz, hogy megtaláljon egy közös tényezőt, vagy megbizonyosodjon arról, hogy nem létezik, faktorizálnia kell egy algebrai tört számlálóját és nevezőjét.

Példa.

Csökkentse a racionális törtet .

Megoldás.

Ehhez a számlálóban és a nevezőben szereplő polinomokat faktorizáljuk. Kezdjük a zárójelekkel: . Nyilvánvalóan a zárójelben lévő kifejezések konvertálhatók a használatával

Fő tulajdonságuk alapján: ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla polinommal osztjuk el, akkor ezzel megegyező törtet kapunk.

Csak a szorzót csökkentheti!

A polinomok tagjai nem redukálhatók!

Az algebrai tört csökkentéséhez először a számlálóban és a nevezőben lévő polinomokat kell faktorálni.

Tekintsünk példákat a frakciócsökkentésre.

A tört számlálója és nevezője monomiális. Ők képviselik munka(számok, változók és fokuk), szorzók csökkenthetjük.

A számokat a legnagyobb közös osztójukkal csökkentjük, vagyis azzal a legnagyobb számmal, amellyel az egyes számok oszthatók. 24 és 36 esetében ez 12. A 24-ről való csökkentés után 2 marad, 36-ról 3.

A fokokat a legkisebb mutatójú fokkal csökkentjük. A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk ugyanazzal az osztóval, és kivonjuk a kitevőket.

a² és a⁷ a²-vel csökken. Ugyanakkor az a²-ből egy marad a számlálóban (1-et csak akkor írunk, ha a redukció után nem marad más tényező. A 24-ből 2 marad, tehát az a²-ből megmaradt 1-et nem írjuk). A7-ből a redukció után a5 marad.

b-t és b-t b-vel rövidítjük, a kapott egységeket nem írjuk le.

c3º és c5 c5-vel redukálódnak. A c³º-ból c²⁵ marad, c⁵-ből - egység (nem írjuk). Ily módon

Ennek az algebrai törtnek a számlálója és nevezője polinomok. Lehetetlen redukálni a polinomok tagjait! (nem csökkenthető pl. 8x² és 2x!). Ennek a frakciónak a csökkentése érdekében szükséges. A számláló közös tényezője 4x. Vegyük ki a zárójelből:

A számlálónak és a nevezőnek is ugyanaz a tényezője (2x-3). Ezzel a tényezővel csökkentjük a törtet. A számlálóban 4x, a nevezőben 1. Az algebrai törtek 1 tulajdonsága szerint a tört 4x.

Csak a tényezőket csökkentheti (egy adott törtet nem csökkentheti 25x²-el!). Ezért a tört számlálójában és nevezőjében lévő polinomokat figyelembe kell venni.

A számláló az összeg teljes négyzete, a nevező pedig a négyzetek különbsége. A rövidített szorzás képleteivel való bővítés után a következőt kapjuk:

Csökkentjük a törtet (5x + 1) (ehhez a számlálóban kitevőként húzzuk ki a kettőt, (5x + 1) ²-ből ez (5x + 1) marad):

A számláló közös tényezője 2, ezt vegyük ki a zárójelből. A nevezőben - a kockák különbségének képlete:

A számláló és a nevező bővítésének eredményeként ugyanazt a tényezőt kaptuk (9 + 3a + a²). Csökkentjük a törtet rajta:

A számlálóban lévő polinom 4 tagból áll. az első tagot a másodikkal, a harmadikat a negyedikkel, és az első zárójelekből kivesszük az x² közös tényezőt. A nevezőt a kockaösszeg képlete szerint bontjuk:

A számlálóban a közös tényezőt (x + 2) kivesszük a zárójelekből:

A törtet (x + 2)-vel csökkentjük:

Ez a cikk az algebrai törtek transzformációjának témáját folytatja: tekintsünk egy olyan műveletet, mint az algebrai törtek redukálása. Határozzuk meg magát a fogalmat, fogalmazzuk meg a rövidítési szabályt és elemezzünk gyakorlati példákat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az algebrai tört rövidítés jelentése

A közönséges frakción lévő anyagoknál a redukciót vettük figyelembe. Egy közös tört redukcióját úgy határoztuk meg, hogy a számlálóját és a nevezőjét elosztjuk egy közös tényezővel.

Az algebrai tört redukálása hasonló művelet.

1. definíció

Algebrai törtcsökkentés számlálójának és nevezőjének közös tényezővel való osztása. Ebben az esetben, ellentétben a közönséges tört redukciójával (csak egy szám lehet közös nevező), egy polinom, különösen egy monom vagy egy szám, az algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezőjeként szolgálhat.

Például a 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 algebrai tört lecsökkenthető a 3-as számmal, ennek eredményeként a következőt kapjuk: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. Ugyanezt a törtet csökkenthetjük az x változóval, és így a 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 kifejezést kapjuk. Lehetőség van egy adott tört monomiális csökkentésére is 3 x vagy bármelyik polinom x + 2 év, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ill 3 x 2 + 6 x y.

Az algebrai tört csökkentésének végső célja egy egyszerűbb alak törtrésze, legfeljebb egy irreducibilis tört.

Minden algebrai tört redukálható?

Ismét a közönséges törtek anyagaiból tudjuk, hogy vannak redukálható és nem redukálható törtek. Irreducibilis – ezek olyan törtek, amelyeknek nincs közös számlálója és nevezője az 1-en kívül.

Az algebrai törtekkel minden ugyanaz: lehet, hogy van közös számláló és nevező tényezője, de lehet, hogy nem. A közös tényezők jelenléte lehetővé teszi az eredeti tört egyszerűsítését redukcióval. Ha nincsenek közös tényezők, lehetetlen egy adott törtet redukciós módszerrel optimalizálni.

Általában egy adott típusú tört esetében meglehetősen nehéz megérteni, hogy redukálható-e. Természetesen bizonyos esetekben nyilvánvaló a számláló és a nevező közös tényezőjének jelenléte. Például a 3 · x 2 3 · y algebrai törtben teljesen egyértelmű, hogy a közös tényező a 3.

Az - x · y 5 · x · y · z 3 törtben azt is azonnal megértjük, hogy lehet csökkenteni x-szel, y-val vagy x · y-val. És mégis, az algebrai törtek példái sokkal gyakoribbak, amikor a számláló és a nevező közös tényezőjét nem olyan könnyű látni, sőt gyakrabban - egyszerűen hiányzik.

Például csökkenthetjük az x 3 - 1 x 2 - 1 törtet x - 1-gyel, miközben a megadott közös tényező nem szerepel a rekordban. De az x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 tört nem csökkenthető, mivel a számlálónak és a nevezőnek nincs közös tényezője.

Így egy algebrai tört összehúzhatóságának megállapítása nem olyan egyszerű, és gyakran könnyebb egy adott alak törtével dolgozni, mint megpróbálni kideríteni, hogy összehúzható-e. Ebben az esetben vannak olyan transzformációk, amelyek bizonyos esetekben lehetővé teszik a számláló és a nevező közös tényezőjének meghatározását, vagy arra a következtetésre, hogy a tört irreducibilis. Ezt a kérdést a cikk következő bekezdésében részletesen elemezzük.

Algebrai tört redukciós szabály

Algebrai tört redukciós szabály két egymást követő lépésből áll:

• a számláló és a nevező közös tényezőinek megtalálása;
• ilyen megtalálása esetén a törtcsökkentés közvetlen akciójának végrehajtása.

A közös nevezők megtalálásának legkényelmesebb módja, ha egy adott algebrai tört számlálójában és nevezőjében szereplő polinomokat faktorizáljuk. Ez lehetővé teszi, hogy azonnal vizuálisan láthassa a közös tényezők jelenlétét vagy hiányát.

Az algebrai tört redukálásának művelete egy algebrai tört fő tulajdonságán alapul, amelyet az undefined egyenlőség fejez ki, ahol a , b , c néhány polinom, b és c pedig nem nulla. Első lépésként a törtet redukáljuk a c b c alakra, amelyben azonnal észrevesszük a c közös tényezőt. A második lépés a redukció végrehajtása, azaz. átmenet az a b alak törtrészére.

Tipikus példák

Némi nyilvánvalóság ellenére tisztázzuk azt a speciális esetet, amikor egy algebrai tört számlálója és nevezője egyenlő. A hasonló törtek azonosak 1-gyel ennek a törtnek a változóinak teljes ODZ-jén:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Mivel a közönséges törtek az algebrai törtek speciális esetei, emlékezzünk vissza, hogyan redukáljuk őket. A számlálóba és nevezőbe írt természetes számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a közös tényezőket (ha vannak) töröljük.

Például 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Egyszerű azonos tényezők szorzata felírható fokokként, és a törtredukció során használjuk a fokozatok azonos alapokkal való osztásának tulajdonságát. Akkor a fenti megoldás a következő lenne:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(a számláló és a nevező osztva egy közös tényezővel 2 2 3). Vagy az érthetőség kedvéért a szorzás és osztás tulajdonságai alapján a következő formát adjuk a megoldásnak:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analógia útján az algebrai törtek redukcióját hajtjuk végre, amelyben a számlálónak és a nevezőnek egész együtthatós monomija van.

1. példa

Adott egy algebrai tört - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Csökkenteni kell.

Megoldás

Egy adott tört számlálóját és nevezőjét felírhatjuk prímtényezők és változók szorzataként, majd redukálhatjuk:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Racionálisabb módszer azonban az lenne, ha a megoldást olyan kifejezésként írnánk le, amely hatványokkal rendelkezik:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 cc 7 zz = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Válasz:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ha egy algebrai tört számlálójában és nevezőjében tört numerikus együtthatók vannak, két lehetséges további lépés lehetséges: vagy külön osztja el ezeket a törtegyütthatókat, vagy először megszabadul a törtegyütthatóktól úgy, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozza valamilyen természetes számmal. . Az utolsó transzformációt egy algebrai tört fő tulajdonsága miatt hajtják végre (erről olvashat az „Algebrai tört redukálása új nevezőre” című cikkben).

2. példa

Adott egy tört 2 5 x 0 , 3 x 3 . Csökkenteni kell.

Megoldás

A tört csökkentése a következő módon lehetséges:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Próbáljuk meg másképpen megoldani a problémát, miután korábban megszabadultunk a törtegyütthatóktól - a számlálót és a nevezőt megszorozzuk ezen együtthatók nevezőinek legkisebb közös többszörösével, azaz. LCM(5, 10) = 10. Akkor kapjuk:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Válasz: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Ha csökkentjük az általános algebrai törteket, amelyekben a számlálók és a nevezők lehetnek monomiumok és polinomok is, akkor probléma léphet fel, ha a közös tényező nem mindig látható azonnal. Vagy ennél is több, egyszerűen nem létezik. Ezután a közös tényező meghatározásához vagy a hiánya tényének rögzítéséhez az algebrai tört számlálóját és nevezőjét faktorizálják.

3. példa

Adott egy racionális tört 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Le kell rövidíteni.

Megoldás

Tényezőzzük a polinomokat a számlálóban és a nevezőben. Tegyük a zárójeleket:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Látjuk, hogy a zárójelben lévő kifejezés a rövidített szorzási képletekkel konvertálható:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jól látható, hogy a tört egy közös tényezővel csökkenthető b 2 (a + 7). Csináljunk egy csökkentést:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Írunk egy rövid, magyarázat nélküli megoldást egyenlőségek láncolataként:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Válasz: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Előfordul, hogy a közös tényezőket numerikus együtthatók rejtik el. Ekkor a törtek redukálásakor optimális a numerikus tényezőket a számláló és a nevező nagyobb hatványain kivenni.

4. példa

Adott egy 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 algebrai tört. Lehetőleg csökkenteni kell.

Megoldás

Első pillantásra a számlálónak és a nevezőnek nincs közös nevezője. Azonban próbáljuk meg átváltani a megadott törtet. Vegyük ki a számlálóból az x tényezőt:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 év - 3 1 2

Most már láthat némi hasonlóságot a zárójelben lévő kifejezés és a nevezőben lévő kifejezés között x 2 y miatt . Vegyük ki ezeknek a polinomoknak a nagyobb hatványú numerikus együtthatóit:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Most láthatóvá válik a közös szorzó, végrehajtjuk a csökkentést:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Válasz: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Hangsúlyozzuk, hogy a racionális törtek redukálásának készsége a polinomok faktorizálásának képességétől függ.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Első pillantásra az algebrai törtek nagyon bonyolultnak tűnnek, és egy felkészületlen tanuló azt gondolhatja, hogy nem lehet velük mit kezdeni. A változók, számok, sőt erők halmozódása félelmet kelt. A törtek (például 15/25) és az algebrai törtek csökkentésére azonban ugyanazok a szabályok vonatkoznak.

Lépések

Frakciócsökkentés

Tanuljon meg egyszerű törtekkel dolgozni. A közönséges és az algebrai törtekkel végzett műveletek hasonlóak. Vegyük például a 15/35 törtet. Ennek a törtnek az egyszerűsítése érdekében közös osztót találni. Mindkét szám osztható öttel, így a számlálóban és a nevezőben 5-öt vonhatunk ki:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Most már tudod csökkenti a közös tényezőket, azaz húzd át az 5-öt a számlálóban és a nevezőben. Ennek eredményeként egy egyszerűsített törtet kapunk 3/7 . Az algebrai kifejezésekben a közös tényezőket ugyanúgy megkülönböztetjük, mint a közönségesekben. Az előző példában könnyen ki tudtunk kinyerni 5-öt a 15-ből - ugyanez az elv vonatkozik az összetettebb kifejezésekre is, mint például a 15x - 5. Keressük meg a közös tényezőt. Ebben az esetben 5 lesz, mivel mindkét tag (15x és -5) osztható 5-tel. Mint korábban, most is kiválasztjuk a közös tényezőt és átadjuk balra.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Annak ellenőrzéséhez, hogy minden helyes-e, elegendő a zárójelben lévő kifejezést megszorozni 5-tel - az eredmény ugyanazok a számok lesznek, mint az elején. Az összetett kifejezések ugyanúgy megkülönböztethetők, mint az egyszerűek. Az algebrai törtekre ugyanazok az elvek vonatkoznak, mint a közönséges törtekre. Ez a legegyszerűbb módja a töredék csökkentésének. Tekintsük a következő törtszámot:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Vegye figyelembe, hogy a számlálónak (fent) és a nevezőnek (alul) is van egy tagja (x+2), így ez ugyanúgy csökkenthető, mint a 15/35 közös 5-ös tényezője:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Ennek eredményeként egy egyszerűsített kifejezést kapunk: (x-3)/(x+10)

Algebrai törtek redukciója

Keresse meg a közös tényezőt a számlálóban, vagyis a tört tetején. Egy algebrai tört redukálásakor az első lépés mindkét részének egyszerűsítése. Kezdje a számlálóval, és próbálja meg a lehető legtöbb tényezőt figyelembe venni. Tekintsük ebben a részben a következő törtszámot:

9x-3 15x+6

Kezdjük a számlálóval: 9x - 3. 9x és -3 esetén a közös tényező a 3. Vegyük ki a 3-at a zárójelekből, mint a közönséges számoknál: 3 * (3x-1). Ennek az átalakításnak az eredményeként a következő törtet kapjuk:

3 (3x-1) 15x+6

Keresse meg a közös tényezőt a számlálóban. Folytassuk a fenti példa végrehajtását, és írjuk ki a nevezőt: 15x+6. A korábbiakhoz hasonlóan most is megtudjuk, hogy hány számmal osztható mindkét rész. És ebben az esetben a közös tényező 3, így írhatjuk: 3 * (5x +2). Írjuk át a törtet a következő alakba:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Csökkentse az azonos kifejezéseket. Ebben a lépésben leegyszerűsítheti a törtet. Törölje ugyanazokat a kifejezéseket a számlálóban és a nevezőben. Példánkban ez a szám 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Határozza meg, hogy a tört alakja a legegyszerűbb! A tört teljesen leegyszerűsödik, ha a számlálóban és a nevezőben nem maradnak közös tényezők. Vegye figyelembe, hogy a zárójelben lévő kifejezéseket nem lehet lerövidíteni – a fenti példában nem lehet x-et kivonni a 3x-ból és az 5x-ből, mivel (3x -1) és (5x + 2) teljes jogú tagok. Így a tört nem alkalmas további egyszerűsítésre, és a végső válasz a következő:

(3x-1)(5x+2)

Gyakorolja a törtek csökkentését saját maga. A módszer elsajátításának legjobb módja, ha önállóan oldja meg a problémákat. A helyes válaszokat a példák alatt közöljük.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Válasz:(x=13)

2x 2-x 5x

Válasz:(2x-1)/5

Különleges mozdulatok

Helyezze ki a negatív előjelet a törtből. Tegyük fel, hogy a következő törtet kapjuk:

3 (x-4) 5 (4x)

Ne feledje, hogy (x-4) és (4-x) „majdnem” azonos, de nem törölhetők azonnal, mert „átfordítva” vannak. Azonban (x - 4) felírható -1 * (4 - x), ahogy (4 + 2x) 2 * (2 + x). Ezt hívják "előjel megfordításnak".

-1*3(4-x) 5 (4x)

Most csökkentheti ugyanazokat a kifejezéseket (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Tehát itt a végső válasz: -3/5 . Tanuld meg felismerni a négyzetek különbségét. A négyzetek különbsége az, ha egy szám négyzetét kivonjuk egy másik szám négyzetéből, mint az (a 2 - b 2) kifejezésben. A tökéletes négyzetek különbsége mindig két részre bontható - a megfelelő négyzetgyökök összegére és különbségére. Ekkor a kifejezés a következő formában jelenik meg:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ez a trükk nagyon hasznos, amikor általános kifejezéseket keresünk algebrai törtekben.

• Ellenőrizze, hogy helyesen faktorálta-e ezt vagy azt a kifejezést. Ehhez szorozza meg a tényezőket - az eredménynek ugyanannak a kifejezésnek kell lennie.
• A tört teljes leegyszerűsítéséhez mindig a legnagyobb tényezőket válassza ki.