Azonos bázisú logaritmusok különbsége. A logaritmusok tulajdonságai és megoldási példái

Mint tudod, a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b * a c = a b + c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus elkészítette az egész mutatók táblázatát. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol a nehézkes szorzást egyszerű összeadásig kell egyszerűsíteni. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és hozzáférhető nyelv.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz tetszőleges nem negatív szám (vagyis bármely pozitív) "b" logaritmusa az "a" bázis alapján tekinthető "c" hatványának. , amelyre az "a" alapot fel kell emelni, hogy a végén a "b" értéket kapja. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, tegyük fel, hogy van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan fokozatot kell találni, hogy 2-től a kívánt fokozatig 8-at kapjon. Gondolatban végzett számítások után megkapjuk a 3-as számot! És jogosan, mert a 2 a 3 hatványára a 8-as számot adja a válaszban.

A logaritmusok változatai

Sok diák és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. A logaritmikus kifejezéseknek három különböző fajtája van:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa az a>1 bázishoz.

Mindegyiket szabványos módon oldják meg, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egy logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékeinek meghatározásához emlékezni kell a tulajdonságaikra és a cselekvések sorrendjére a döntésekben.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több szabály-korlátozás létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vitathatóak és igazak. Például lehetetlen a számokat nullával osztani, és a negatív számokból sem lehet páros gyökeret venni. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatja, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• az "a" alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és ugyanakkor nem lehet egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az "1" és a "0" bármilyen mértékben mindig megegyezik az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b > 0, akkor kiderül, hogy "c"-nek nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például, ha az a feladat, hogy megtaláljuk a választ a 10 x \u003d 100 egyenletre. Nagyon egyszerű, ki kell választani egy ilyen hatványt a tízes szám emelésével, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 \u003d 100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikusként. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál ahhoz, hogy megtaláljuk, milyen mértékben kell megadni a logaritmus alapját egy adott szám megszerzéséhez.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni a foktáblázattal. Ez így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai gondolkodásmóddal és ismeri a szorzótáblát. A nagyobb értékekhez azonban teljesítménytáblázatra lesz szükség. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem értenek semmit a bonyolult matematikai témákhoz. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor a c hatvány értéke, amelyre az a számot emeljük. A cellák metszéspontjában meghatározzák a számok értékeit, amelyek a válasz (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazibb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenletként. Például a 3 4 =81 felírható 81 logaritmusaként a 3-as bázisra, ami négy (log 3 81 = 4). A negatív hatványokra ugyanazok a szabályok: 2 -5 = 1/32 logaritmusként írjuk, log 2 (1/32) = -5-öt kapunk. A matematika egyik leglenyűgözőbb része a „logaritmusok” témája. Az egyenletek példáit és megoldásait egy kicsit alacsonyabban fogjuk figyelembe venni, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

A következő formájú kifejezést adjuk meg: log 2 (x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen "x" érték a logaritmus előjele alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettes bázisban nagyobb, mint a három.

A legfontosabb különbség a logaritmikus egyenletek és az egyenlőtlenségek között az, hogy a logaritmusos egyenletek (például a 2 x = √9 logaritmusa) egy vagy több konkrét számértéket tartalmaznak a válaszban, míg az egyenlőtlenség megoldása során mindkét elfogadható értékeket és a funkciót megszakító pontokat. Ennek következtében a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenletre adott válaszban, hanem egy folytonos számsor vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy a tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt világosan meg kell értenünk és a gyakorlatban alkalmazniuk kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletekre a későbbiekben példákkal fogunk megismerkedni, először elemezzük az egyes tulajdonságokat részletesebben.

1. Az alapazonosító így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa a következő képlettel ábrázolható: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben az előfeltétel: d, s 1 és s 2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmusképletet példákkal és megoldással bizonyíthatod. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (foktulajdonságok ), és további definíció szerint: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit igazolni kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet "a logaritmus fokának tulajdonságának" nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika szabályos posztulátumokon nyugszik. Nézzük a bizonyítékot.

Hagyjuk naplózni a b \u003d t, kiderül, hogy a t \u003d b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, akkor log a q b n = n/q log a b. A tétel bizonyítást nyert.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusfeladatok leggyakoribb típusai az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatóak, és a matematikából a kötelező vizsgarészek között is szerepelnek. Az egyetemre való belépéshez vagy a matematikai felvételi vizsgák letételéhez tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, azonban minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre bizonyos szabályok alkalmazhatók. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés leegyszerűsíthető-e vagy általános formára redukálható-e. A hosszú logaritmikus kifejezéseket leegyszerűsítheti, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Hamarosan megismerjük őket.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határozni, hogy milyen logaritmus áll előttünk: egy kifejezés példája tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk abban áll, hogy meg kell határoznia, hogy a 10-es bázis milyen mértékben lesz egyenlő 100-mal, illetve 1026-tal. A természetes logaritmusok megoldásához logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a fő tételek logaritmusokon való használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol a b szám nagy értékét kell egyszerűbb tényezőkre bontani. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus fokszámának negyedik tulajdonságát alkalmazva első ránézésre egy összetett és feloldhatatlan kifejezést sikerült megoldanunk. Csak az alapot kell faktorizálni, majd a kitevő értékeket kivenni a logaritmus előjeléből.

Feladatok a vizsgáról

A felvételi vizsgákon gyakran megtalálhatók a logaritmusok, különösen az Egységes Államvizsgánál (államvizsga minden érettséginél) sok a logaritmus. Általában ezek a feladatok nem csak az A részben (a vizsga legkönnyebb tesztrésze), hanem a C részben is (a legnehezebb és legterjedelmesebb feladatok) vannak jelen. A vizsga a „Természetes logaritmusok” témakör pontos és tökéletes ismeretét jelenti.

A példák és a problémamegoldások a vizsga hivatalos verzióiból származnak. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2 , a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A logaritmusokat legjobb ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• A logaritmus előjele alatti kifejezések mindegyike pozitívnak van jelölve, ezért a logaritmus előjele alatt álló kifejezés kitevőjének kitevőjének kivonásakor a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

Ma arról fogunk beszélni logaritmus képletekés bemutatót tartanak megoldási példák.

Önmagukban a logaritmusok alapvető tulajdonságainak megfelelő megoldási mintákat implikálnak. Mielőtt a logaritmusképleteket alkalmaznánk a megoldásra, felidézzük az összes tulajdonságot:

Most ezen képletek (tulajdonságok) alapján megmutatjuk példák a logaritmusok megoldására.

Példák logaritmusok képletek alapján történő megoldására.

Logaritmus egy pozitív b szám az a bázisban (jelölése log a b) az a kitevő, amelyre a-t fel kell emelni, hogy b-t kapjunk, b > 0, a > 0 és 1.

A definíció szerint log a b = x, ami ekvivalens a x = b-vel, tehát log a a x = x.

Logaritmusok, példák:

log 2 8 = 3, mert 2 3 = 8

log 7 49 = 2 mert 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, mert 5 -1 = 1/5

Tizedes logaritmus egy közönséges logaritmus, melynek alapja 10. Jelölése lg.

log 10 100 = 2 mert 10 2 = 100

természetes logaritmus- szintén a szokásos logaritmus logaritmus, de e alappal (e \u003d 2,71828 ... - irracionális szám). ln.

Érdemes megjegyezni a logaritmusok képleteit vagy tulajdonságait, mert a későbbiekben a logaritmusok, logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során szükségünk lesz rájuk. Nézzük meg újra az egyes képleteket példákkal.

• Alapvető logaritmikus azonosság
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• A szorzat logaritmusa megegyezik a logaritmusok összegével
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• A hányados logaritmusa megegyezik a logaritmusok különbségével
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• A logaritizálható szám fokszámának és a logaritmusalapnak a tulajdonságai

  Egy logaritmusszám kitevője log a b m = mlog a b

  A logaritmus alapjának kitevője log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ha m = n, akkor log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Átállás egy új alapra
  log a b = log c b / log c a,

  ha c = b, akkor log b b = 1-et kapunk

  akkor log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Mint látható, a logaritmusképletek nem olyan bonyolultak, mint amilyennek tűnnek. Most, miután átgondoltuk a logaritmusok megoldására vonatkozó példákat, áttérhetünk a logaritmikus egyenletekre. A logaritmikus egyenletek megoldására vonatkozó példákat részletesebben megvizsgáljuk a cikkben: "". Ne hagyja ki!

Ha továbbra is kérdései vannak a megoldással kapcsolatban, írja meg őket a cikkhez fűzött megjegyzésekben.

Megjegyzés: úgy döntött, hogy opcióként egy másik osztályban tanul külföldön.

Egy szám logaritmusa N ésszel a kitevőnek nevezzük x , amire emelned kell a hogy megkapja a számot N

Feltéve, hogy
,
,

A logaritmus definíciójából következik, hogy
, azaz
- ez az egyenlőség az alapvető logaritmikus azonosság.

A 10-es alapú logaritmusokat decimális logaritmusoknak nevezzük. Ahelyett
ír
.

bázis logaritmusok e természetesnek nevezzük és jelöljük
.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai.

Az egység logaritmusa bármely bázis esetén nulla

A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével.

3) A hányados logaritmusa megegyezik a logaritmusok különbségével

Tényező
a bázison lévő logaritmusból való átmenet modulusának nevezzük a a bázison lévő logaritmusokhoz b .

A 2-5 tulajdonságok használatával gyakran lehetséges egy összetett kifejezés logaritmusát a logaritmusokon végzett egyszerű aritmetikai műveletek eredményére redukálni.

Például,

A logaritmus ilyen transzformációit logaritmusoknak nevezzük. A logaritmusok reciproka transzformációit potenciálásnak nevezzük.

2. fejezet A felsőbb matematika elemei.

1. Határok

funkciókorlát
véges A szám, ha törekedünk xx 0 minden előre meghatározott
, van egy szám
hogy amint
, azután
.

Egy határértékkel rendelkező függvény végtelenül kicsi mértékben tér el tőle:
, ahol - b.m.w., azaz
.

Példa. Vegye figyelembe a funkciót
.

Amikor törekszik
, funkció y nullára megy:

1.1. Alaptételek a határértékekről.

Egy állandó érték határa megegyezik ezzel az állandó értékkel

.

Véges számú függvény összegének (különbségének) határa egyenlő ezen függvények határainak összegével (különbségével).

Egy véges számú függvény szorzatának határértéke egyenlő ezen függvények határértékeinek szorzatával.

Két függvény hányadosának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek hányadosával, ha a nevező határa nem egyenlő nullával.

Figyelemre méltó határok

,
, ahol

1.2. Határszámítási példák

Azonban nem minden határt lehet ilyen könnyen kiszámítani. A limit kiszámítása gyakrabban a típusbizonytalanság közzétételére korlátozódik: vagy .

.

2. Függvény származéka

Legyen egy függvényünk
, folyamatos a szegmensen
.

Érv kapott némi lökést
. Ezután a függvény növekszik
.

Az érvelés értéke a függvény értékének felel meg
.

Az érvelés értéke
függvény értékének felel meg.

Ennélfogva, .

Keressük meg ennek az összefüggésnek a határát
. Ha ez a határ létezik, akkor az adott függvény deriváltjának nevezzük.

Adott függvény 3-származékának definíciója
érveléssel A függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az argumentum növekménye tetszőlegesen nullára hajlik.

Függvény derivált
a következőképpen jelölhető:

; ; ; .

4. definíció Egy függvény deriváltjának megtalálásának műveletét ún különbségtétel.

2.1. A származék mechanikai jelentése.

Tekintsük valamilyen merev test vagy anyagi pont egyenes vonalú mozgását.

Legyen valamikor mozgó pont
távol volt a kiinduló helyzetből
.

Egy bizonyos idő elteltével
távolabb lépett
. Hozzáállás =- egy anyagi pont átlagos sebessége
. Ennek figyelembevételével keressük meg ennek az aránynak a határát
.

Következésképpen egy anyagi pont pillanatnyi sebességének meghatározása az út időbeli deriváltjának meghatározására redukálódik.

2.2. A derivált geometriai értéke

Tegyük fel, hogy van egy grafikusan meghatározott függvényünk
.

Rizs. 1. A származék geometriai jelentése

Ha egy
, akkor a lényeg
, a görbe mentén mozog, közeledve a ponthoz
.

Ennélfogva
, azaz a derivált értéke adott az argumentum értékének számszerűen egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet az érintő egy adott pontban a tengely pozitív irányával alkot
.

2.3. Az alapvető differenciálási képletek táblázata.

Teljesítmény funkció

Exponenciális függvény

logaritmikus függvény

trigonometrikus függvény

Inverz trigonometrikus függvény

2.4. Differenciálási szabályok.

származéka

A függvények összegének (különbségének) származéka

Két függvény szorzatának származéka

Két függvény hányadosának deriváltja

2.5. Komplex függvény származéka.

Hagyja a függvényt
így ábrázolható

és
, ahol a változó akkor ez egy köztes érv

Egy komplex függvény deriváltja egyenlő az adott függvény deriváltjának a közbülső argumentumhoz viszonyított szorzatával a köztes argumentum x-re vonatkozó deriváltjával.

Példa1.

Példa2.

3. Funkció differenciál.

Legyen
, bizonyos intervallumon differenciálható
hadd menjen nál nél ennek a függvénynek van deriváltja

,

akkor írhatsz

(1),

ahol - végtelenül kicsi mennyiség,

mert at

Az egyenlőség minden tagját (1) megszorozva ezzel
nekünk van:

Ahol
- b.m.v. magasabb rendű.

Érték
függvény differenciáljának nevezzük
és jelöltük

.

3.1. A differenciál geometriai értéke.

Hagyja a függvényt
.

2. ábra. A differenciál geometriai jelentése.

.

Nyilvánvalóan a függvény különbsége
egyenlő az adott pontban lévő érintő ordinátájának növekedésével.

3.2. Különféle rendű származékok és differenciálok.

Ha itt
, azután
első származékának nevezzük.

Az első derivált származékát másodrendű deriváltnak nevezzük, és felírjuk
.

A függvény n-edik rendjének deriváltja
az (n-1) sorrend deriváltjának nevezzük, és felírjuk:

.

Egy függvény differenciáljának differenciálját másoddifferenciálnak vagy másodrendű differenciálnak nevezzük.

.

.

3.3 Biológiai problémák megoldása differenciálással.

1. feladat. Tanulmányok kimutatták, hogy a mikroorganizmusok kolóniájának növekedése megfelel a törvényeknek
, ahol N – mikroorganizmusok száma (ezerben), t – idő (nap).

b) Növekszik vagy csökken a telep lakossága ebben az időszakban?

Válasz. A kolónia mérete megnő.

2. feladat. A tó vizét időszakonként teszteljük a kórokozó baktériumok mennyiségének szabályozására. Keresztül t nappal a vizsgálat után a baktériumok koncentrációját az arány határozza meg

.

Mikor jön be a minimális baktériumkoncentráció a tóban és lehet benne úszni?

Megoldás Egy függvény akkor éri el a max-ot vagy min-et, ha a deriváltja nulla.

,

Határozzuk meg, hogy a maximum vagy a minimum 6 nap múlva lesz. Ehhez a második deriváltot vesszük.

Válasz: 6 nap múlva a baktériumok minimális koncentrációja lesz.

Kezdjük azzal Az egység logaritmusának tulajdonságai. Ennek megfogalmazása a következő: az egység logaritmusa egyenlő nullával, azaz log a 1=0 bármely a>0 esetén a≠1 . A bizonyítás egyszerű: mivel a 0 =1 minden olyan a esetén, amely teljesíti a fenti feltételeket a>0 és a≠1 , akkor a logaritmus definíciójából azonnal következik a bevált log a 1=0 egyenlőség.

Mondjunk példákat a vizsgált tulajdonság alkalmazására: log 3 1=0 , lg1=0 és .

Térjünk át a következő ingatlanra: az alappal egyenlő szám logaritmusa egyenlő eggyel, azaz log a a=1 a>0 esetén a≠1. Valóban, mivel bármely a esetén a 1 =a, akkor a logaritmus definíciója szerint log a a=1 .

Példák a logaritmus ezen tulajdonságának használatára: log 5 5=1 , log 5.6 5.6 és lne=1 .

Például log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 és .

Két pozitív szám szorzatának logaritmusa x és y egyenlő ezen számok logaritmusának szorzatával: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bizonyítsuk be a szorzat logaritmusának tulajdonságát. A fok tulajdonságai miatt a log a x+log a y =a log a x a log a y, és mivel a fő logaritmikus azonosság szerint egy log a x =x és egy log a y =y , akkor a log a x a log a y =x y . Így egy log a x+log a y =x y , ahonnan a logaritmus definíciója követi a szükséges egyenlőséget.

Mutassunk példákat a szorzat logaritmusának tulajdonságának használatára: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 és .

A szorzatlogaritmus tulajdonság általánosítható x 1 , x 2 , …, x n pozitív számok véges számú n szorzatára. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ez az egyenlőség könnyen bebizonyítható.

Például egy szorzat természetes logaritmusa helyettesíthető a 4 , e és számok három természetes logaritmusának összegével.

Két pozitív szám hányadosának logaritmusa x és y egyenlő ezeknek a számoknak a logaritmusa közötti különbséggel. A hányados logaritmus tulajdonság egy formájú képletnek felel meg, ahol a>0 , a≠1 , x és y néhány pozitív szám. Ennek a képletnek az érvényességét a szorzat logaritmusának képletéhez hasonlóan igazoljuk: mivel , akkor a logaritmus definíciója szerint.

Íme egy példa a logaritmus ezen tulajdonságának használatára: .

Menjünk tovább fok logaritmusának tulajdonsága. Egy fok logaritmusa egyenlő ennek a foknak a kitevőjének és a modulusának logaritmusával. A fokozat logaritmusának ezt a tulajdonságát képlet formájában írjuk le: log a b p =p log a |b|, ahol a>0, a≠1, b és p olyan számok, amelyeknél a b p mértéke értelmes, és b p >0.

Először igazoljuk ezt a tulajdonságot pozitív b -re. Az alapvető logaritmikus azonosság lehetővé teszi, hogy a b számot log a bként ábrázoljuk, ekkor b p =(a log a b) p, és az eredményül kapott kifejezés a hatványtulajdonság miatt egyenlő a p log a b -vel. Így jutunk el a b p =a p log a b egyenlőséghez, amelyből a logaritmus definíciójával arra a következtetésre jutunk, hogy log a b p =p log a b .

Ezt a tulajdonságot kell bizonyítani negatív b esetén. Itt jegyezzük meg, hogy a log a b p kifejezés negatív b-re csak páros p kitevő esetén értelmes (mivel a b p fok értékének nagyobbnak kell lennie nullánál, különben nem lesz értelme a logaritmusnak), és ebben az esetben b p =|b| o. Azután b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, honnan log a b p =p log a |b| .

Például, és ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Az előző tulajdonságból következik a logaritmus gyökér tulajdonsága: az n-edik fokú gyök logaritmusa egyenlő az 1/n tört és a gyökkifejezés logaritmusának szorzatával, azaz , ahol a>0, a≠1, n egynél nagyobb természetes szám, b>0.

A bizonyítás alapja a tetszőleges pozitív b -re érvényes egyenlőség (lásd ), valamint a fok logaritmusának tulajdonsága: .

Íme egy példa a tulajdonság használatára: .

Most bizonyítsuk be konverziós képletet a logaritmus új bázisára kedves . Ehhez elegendő az egyenlőség log c b=log a b log c a érvényességét bizonyítani. Az alapvető logaritmikus azonosság lehetővé teszi, hogy a b számot log a bként ábrázoljuk, majd log c b=log c a log a bként. Marad a fok logaritmusának tulajdonsága: log c a log a b = log a b log c a. Így igazolódik a log c b=log a b log c a egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a logaritmus új bázisára való átmenet képlete is bizonyítva van.

Mutassunk néhány példát a logaritmus ezen tulajdonságának alkalmazására: és .

Az új bázisra való átállás képlete lehetővé teszi, hogy továbblépjen a „kényelmes” alappal rendelkező logaritmusokkal való munkavégzésre. Használható például természetes vagy decimális logaritmusra váltáshoz, így a logaritmustáblázatból kiszámolhatja a logaritmus értékét. A logaritmus új bázisára való áttérés képlete bizonyos esetekben lehetővé teszi egy adott logaritmus értékének meghatározását is, ha bizonyos logaritmusok értékei más bázisokkal ismertek.

Gyakran használják a képlet egy speciális esetét a logaritmus új bázisára való áttéréskor az alak c=b esetén . Ez azt mutatja, hogy log a b és log b a – . Például, .

Szintén gyakran használják a képletet , ami hasznos a logaritmusértékek megtalálásához. Szavaink megerősítésére megmutatjuk, hogyan számítják ki az űrlap logaritmusának értékét a segítségével. Nekünk van . A képlet bizonyítására elég az a logaritmus új alapjára az átmenet képletét használni: .

A logaritmusok összehasonlítási tulajdonságainak bizonyítása van hátra.

Bizonyítsuk be, hogy bármely b 1 és b 2 pozitív számra b 1 log a b 2, a>1 esetén pedig a log a b 1 egyenlőtlenség

Végül a logaritmusok felsorolt ​​tulajdonságai közül az utolsót kell bizonyítanunk. Az első részének bizonyítására szorítkozunk, vagyis bebizonyítjuk, hogy ha egy 1 >1, a 2 >1 és egy 1 1 igaz log a 1 b>log a 2 b . A logaritmus ezen tulajdonságának fennmaradó állításait hasonló elv bizonyítja.

Használjuk az ellenkező módszert. Tegyük fel, hogy 1 >1 esetén 2 >1 és 1 esetén 1 log a 1 b≤log a 2 b igaz. A logaritmusok tulajdonságai alapján ezek az egyenlőtlenségek átírhatók és rendre, és belőlük az következik, hogy log b a 1 ≤log b a 2, illetve log b a 1 ≥log b a 2. Ekkor az azonos bázisú hatványok tulajdonságai alapján a b log b a 1 ≥b log b a 2 és a b log b a 1 ≥b log b a 2 egyenlőségnek teljesülnie kell, azaz a 1 ≥a 2 . Így az 1-es feltétel ellentmondásához érkeztünk

Bibliográfia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános nevelési-oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).

Kapcsolatban

beállítható az a feladat, hogy a másik kettő közül a három szám közül bármelyiket megtaláljuk. Adott a, majd N hatványozással található. Ha N adott, majd a-t az x hatvány gyökének (vagy hatványozás) kinyerésével találjuk meg. Tekintsük most azt az esetet, amikor a és N adott esetben meg kell találni x-et.

Legyen az N szám pozitív: az a szám pozitív és nem egyenlő eggyel: .

Meghatározás. Az N szám logaritmusa az a bázishoz az a kitevő, amelyre fel kell emelni a-t, hogy N számot kapjunk; a logaritmust jelöljük

Így a (26.1) egyenlőségben a kitevőt N logaritmusaként találjuk az a bázisra. Bejegyzés

ugyanaz a jelentésük. Az egyenlőséget (26.1) néha a logaritmuselmélet alapvető azonosságának is nevezik; valójában a logaritmus fogalmának meghatározását fejezi ki. E meghatározás szerint az a logaritmus alapja mindig pozitív és különbözik az egységtől; az N logaritizálható szám pozitív. A negatív számoknak és a nullának nincs logaritmusa. Bizonyítható, hogy bármely adott bázisú számnak jól definiált logaritmusa van. Ezért az egyenlőség magában foglalja. Vegyük észre, hogy a feltétel itt elengedhetetlen, különben a következtetés nem lenne indokolt, mivel az egyenlőség igaz x és y bármely értékére.

Példa 1. Find

Döntés. A szám megszerzéséhez a 2-es bázist fel kell emelni a Ezért hatványra.

Az ilyen példák megoldása során a következő formában rögzítheti:

2. példa Keresse meg.

Döntés. Nekünk van

Az 1. és 2. példában könnyen megtaláltuk a kívánt logaritmust, ha a logaritálható számot az alap fokaként ábrázoltuk racionális kitevővel. Általános esetben pl. stb. esetében ez nem tehető meg, mivel a logaritmusnak irracionális értéke van. Figyeljünk egy kérdésre ezzel a kijelentéssel kapcsolatban. A 12. §-ban megadtuk egy adott pozitív szám bármely valós hatványának meghatározásának lehetőségét. Erre a logaritmusok bevezetéséhez volt szükség, amelyek általában irracionális számok lehetnek.

Tekintsük a logaritmus néhány tulajdonságát.

Tulajdonság 1. Ha a szám és az alap egyenlő, akkor a logaritmus egyenlő eggyel, és fordítva, ha a logaritmus egyenlő eggyel, akkor a szám és az alap egyenlő.

Bizonyíték. Legyen A logaritmus definíciója szerint megvan és honnan

Fordítva, legyen Akkor definíció szerint

2. tulajdonság. Az egység logaritmusa bármely bázishoz egyenlő nullával.

Bizonyíték. A logaritmus definíciója szerint (bármely pozitív bázis nulla hatványa egyenlő eggyel, lásd (10.1)). Innen

Q.E.D.

A fordított állítás is igaz: ha , akkor N = 1. Valóban, van .

Mielőtt elmondanánk a logaritmusok következő tulajdonságát, egyetértünk abban, hogy két a és b szám egy harmadik c szám ugyanazon az oldalán fekszik, ha mindkettő nagyobb, mint c, vagy kisebb, mint c. Ha ezek közül az egyik nagyobb, mint c, a másik kisebb, mint c, akkor azt mondjuk, hogy c ellentétes oldalán helyezkednek el.

3. tulajdonság. Ha a szám és az alap az egységnek ugyanazon az oldalán van, akkor a logaritmus pozitív; ha a szám és az alap az egység ellentétes oldalán fekszik, akkor a logaritmus negatív.

A 3. tulajdonság bizonyítása azon alapul, hogy az a fokszáma nagyobb egynél, ha az bázis nagyobb egynél és a kitevő pozitív, vagy a bázis kisebb egynél és a kitevő negatív. A fokszám kisebb egynél, ha az bázis nagyobb egynél és a kitevő negatív, vagy a bázis kisebb egynél és a kitevő pozitív.

Négy esetet kell figyelembe venni:

Ezek közül az első elemzésére szorítkozunk, a többit önállóan mérlegeli az olvasó.

Legyen akkor az egyenlőségben a kitevő se negatív, se nulla, ezért pozitív, azaz amit bizonyítani kellett.

3. példa: Állapítsa meg, hogy az alábbi logaritmusok közül melyik pozitív és melyik negatív:

Megoldás, a) mivel a 15-ös szám és a 12-es alap az egység ugyanazon az oldalán található;

b) , mivel 1000 és 2 az egység ugyanazon oldalán találhatók; ugyanakkor nem lényeges, hogy az alap nagyobb legyen, mint a logaritmikus szám;

c), mivel a 3,1 és 0,8 az egység ellentétes oldalán helyezkednek el;

G) ; miért?

e) ; miért?

A következő 4-6 tulajdonságokat gyakran nevezik logaritmusszabályoknak: lehetővé teszik, hogy egyes számok logaritmusának ismeretében megtaláljuk mindegyikük szorzatának, hányadosának, fokának logaritmusát.

4. tulajdonság (a szorzat logaritmusának szabálya). Egy adott bázisban több pozitív szám szorzatának logaritmusa megegyezik ezen számok ugyanabban a bázisban lévő logaritmusainak összegével.

Bizonyíték. Legyenek pozitív számok.

A szorzatuk logaritmusához a logaritmust meghatározó (26.1) egyenlőséget írjuk:

Innen találjuk

Az első és az utolsó kifejezés kitevőit összehasonlítva megkapjuk a szükséges egyenlőséget:

Vegye figyelembe, hogy a feltétel elengedhetetlen; két negatív szám szorzatának logaritmusa értelmes, de ebben az esetben azt kapjuk

Általában, ha több tényező szorzata pozitív, akkor annak logaritmusa megegyezik ezen tényezők moduljainak logaritmusainak összegével.

5. tulajdonság (hányados logaritmusszabály). Pozitív számok hányadosának logaritmusa megegyezik az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel, ugyanabban az alapban. Bizonyíték. Következetesen találni

Q.E.D.

6. tulajdonság (a fokozat logaritmusának szabálya). Bármely pozitív szám hatványának logaritmusa megegyezik a szám kitevőjének szorzatával.

Bizonyíték. Ismét felírjuk a fő azonosságot (26.1) a számhoz:

Q.E.D.

Következmény. Egy pozitív szám gyökének logaritmusa egyenlő a gyökszám logaritmusával osztva a gyök kitevőjével:

Ennek a következménynek az érvényességét a hogyan bemutatásával és a 6. tulajdonság használatával tudjuk bizonyítani.

4. példa: Logaritmus a bázishoz:

a) (feltételezzük, hogy minden b, c, d, e érték pozitív);

b) (feltételezzük, hogy ).

Megoldás, a) Ebben a kifejezésben célszerű átadni a törthatványokat:

A (26,5)-(26,7) egyenlőségek alapján most ezt írhatjuk:

Észrevesszük, hogy a számok logaritmusain egyszerűbb műveleteket hajtanak végre, mint magukon a számokon: számok szorzásakor logaritmusukat összeadják, osztásakor kivonják stb.

Ezért használták a logaritmusokat a számítási gyakorlatban (lásd 29. fejezet).

A logaritmusra fordított műveletet potenciálásnak nevezzük, nevezetesen: a potenciálás az a művelet, amellyel magát ezt a számot megtaláljuk egy szám adott logaritmusával. Lényegében a potenciálás nem valami különleges művelet: az alapot egy hatványra emeljük (amely egyenlő a szám logaritmusával). A „potenciálás” kifejezés a „hatványosítás” szinonimájának tekinthető.

Potencírozáskor a logaritmus szabályaival fordított szabályokat kell alkalmazni: a logaritmusok összegét cserélje ki a szorzat logaritmusára, a logaritmusok különbségét a hányados logaritmusára stb. Különösen, ha van tetszőleges tényező a logaritmus előjele előtt, majd a potenciálás során át kell vinni a logaritmus előjele alatti indikátor fokokra.

5. példa Keresse meg N-t, ha ismert, hogy

Döntés. Az imént megfogalmazott potenciálási szabállyal kapcsolatban az egyenlőség jobb oldalán a logaritmusok előjele előtt álló 2/3 és 1/3 tényezők ezeknek a logaritmusoknak az előjelei alatt kerülnek át a kitevőkre; kapunk

Most a logaritmusok különbségét helyettesítjük a hányados logaritmusával:

hogy megkapjuk az egyenlőséglánc utolsó törtjét, megszabadítottuk az előző törtet a nevező irracionalitásától (25. szakasz).

Tulajdonság 7. Ha az alap nagyobb egynél, akkor a nagyobb szám logaritmusa nagyobb (a kisebbé pedig kisebb), ha az alap egynél kisebb, akkor a nagyobb szám logaritmusa kisebb (és a kisebbé az egyiknek nagyobb).

Ez a tulajdonság az egyenlőtlenségek logaritmusára is szabályként van megfogalmazva, amelynek mindkét része pozitív:

Ha az egyenlőtlenségek logaritmusát egynél nagyobb bázisra visszük, az egyenlőtlenség előjele megmarad, ha pedig egynél kisebb bázisra visszük, az egyenlőtlenség előjele megfordul (lásd még a 80. pontot).

A bizonyítás az 5. és 3. tulajdonságon alapul. Tekintsük azt az esetet, amikor If , akkor és a logaritmus figyelembevételével kapjuk

(a és N/M az egység ugyanazon az oldalán találhatók). Innen

Az a eset következik, az olvasó rájön magának.

Azt is ajánljuk

• Produktív és reproduktív gondolkodás
• Ésszerű egoizmus – mi az ésszerű egoizmus elmélete?
• Borisz Nyikolajevics Jelcin, Oroszország első elnöke
• Földalatti harcok. Földalatti királyok. Mi az, hogy „nem a tömegekért harcolni”? Hol lehet harcolni a pénzért?
• Yakov Pavlov és a többi sztálingrádi hős, akiket tudnod kell
• Túlélj túl egy tengeri balesetet álomban - a valóságban élj át egy új szerelmet