Koji su brojevi iracionalni. Racionalni i iracionalni brojevi

Definicija iracionalnog broja

Iracionalni brojevi su oni brojevi koji su u decimalnom zapisu beskonačni neperiodični decimalni razlomci.

Na primjer, brojevi dobiveni uzimanjem kvadratnog korijena od prirodni brojevi, iracionalni su i nisu kvadrati prirodnih brojeva. Ali ne dobivaju se svi iracionalni brojevi ekstrahiranjem kvadratni korijeni, jer je broj "pi" dobiven dijeljenjem također iracionalan, a malo je vjerojatno da ćete ga dobiti kada pokušate izvući kvadratni korijen prirodnog broja.

Svojstva iracionalnih brojeva

Za razliku od brojeva napisanih beskonačnim decimalnim razlomcima, samo iracionalni brojevi su zapisani neperiodskim beskonačnim decimalnim razlomcima.
Zbroj dvaju nenegativnih iracionalnih brojeva na kraju može biti racionalan broj.
Iracionalni brojevi definirati Dedekindove dijelove u skupu racionalnih brojeva, u nižoj klasi koji nemaju veliki broj, a u gornjem nema manjeg.
Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.
Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
Skup iracionalnih brojeva na liniji je gusto zbijen, a između bilo koja dva njegova broja nužno postoji ir racionalni broj.
Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, nebrojiv i skup je 2. kategorije.
Prilikom izvođenja bilo koje aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima, osim dijeljenja s 0, rezultat će biti racionalan broj.
Kada se iracionalnom broju dodaje racionalan broj, rezultat je uvijek iracionalan broj.
Prilikom zbrajanja iracionalnih brojeva kao rezultat možemo dobiti racionalni broj.
Skup iracionalnih brojeva nije paran.

Brojevi nisu iracionalni

Ponekad je prilično teško odgovoriti na pitanje je li broj iracionalan, posebno u slučajevima kada je broj u obliku decimalnog razlomka ili u obliku brojčanog izraza, korijena ili logaritma.

Stoga neće biti suvišno znati koji brojevi nisu iracionalni. Ako slijedimo definiciju iracionalnih brojeva, tada već znamo da racionalni brojevi ne mogu biti iracionalni.

Iracionalni brojevi nisu:

Prvo, svi prirodni brojevi;
Drugo, cijeli brojevi;
Treće, obične frakcije;
Četvrto, različiti mješoviti brojevi;
Peto, to su beskonačni periodični decimalni razlomci.

Uz sve navedeno, bilo koja kombinacija racionalnih brojeva koju izvode predznaci aritmetičkih operacija, kao što su +, -, , :, ne može biti iracionalan broj, jer će u ovom slučaju rezultat dva racionalna broja također biti racionalan broj.

Sada da vidimo koji su brojevi iracionalni:

Znate li za postojanje kluba obožavatelja u kojem obožavatelji ovog tajanstvenog matematičkog fenomena traže nove informacije o Pi, pokušavajući razotkriti njegovu misteriju. Članom ovog kluba može postati svaka osoba koja zna napamet određeni broj Pi brojeva nakon decimalne točke;

Jeste li znali da u Njemačkoj, pod zaštitom UNESCO-a, postoji palača Castadel Monte, zahvaljujući čijim omjerima možete izračunati Pi. Tom broju posvetio je čitavu palaču kralj Fridrik II.

Ispada da su pokušali upotrijebiti broj Pi u izgradnji Babilonske kule. No, na našu veliku žalost, to je dovelo do propasti projekta, budući da u to vrijeme točan izračun vrijednosti Pi nije bio dovoljno proučavan.

Pjevačica Kate Bush na svom novom disku snimila je pjesmu pod nazivom "Pi", u kojoj su zvučala sto dvadeset i četiri broja iz poznate serije brojeva 3, 141 ... ..

Skup svih prirodnih brojeva označava se slovom N. Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojenje objekata: 1,2,3,4, ... U nekim izvorima broj 0 se također odnosi na prirodne brojeve.

Skup svih cijelih brojeva označen je slovom Z. Cijeli brojevi su svi prirodni brojevi, nula i negativni brojevi:

1,-2,-3, -4, …

Sada skupu svih cijelih brojeva dodajemo skup svih obični razlomci: 2/3, 18/17, -4/5 i tako dalje. Tada dobivamo skup svih racionalnih brojeva.

Skup racionalnih brojeva

Skup svih racionalnih brojeva označava se slovom Q. Skup svih racionalnih brojeva (Q) je skup koji se sastoji od brojeva oblika m/n, -m/n i broja 0. U kao n,m može biti bilo koji prirodan broj. Treba napomenuti da se svi racionalni brojevi mogu predstaviti kao konačni ili beskonačni PERIODIČNI decimalni razlomak. Također vrijedi i obrnuto, da se svaki konačni ili beskonačan periodični decimalni razlomak može zapisati kao racionalni broj.

Ali što je s, na primjer, brojem 2.0100100010...? To je beskonačno NEPERIODIČNA decimala. I to se ne odnosi na racionalne brojeve.

U školskom kolegiju algebre proučavaju se samo realni (ili realni) brojevi. Mnogi od svih realni brojevi označen slovom R. Skup R se sastoji od svih racionalnih i svih iracionalnih brojeva.

Pojam iracionalnih brojeva

Iracionalni brojevi su svi beskonačni decimalni neperiodični razlomci. Iracionalni brojevi nemaju posebnu oznaku.

Na primjer, svi brojevi dobiveni izvlačenjem kvadratnog korijena prirodnih brojeva koji nisu kvadrati prirodnih brojeva bit će iracionalni. (√2, √3, √5, √6, itd.).

Ali nemojte misliti da se iracionalni brojevi dobivaju samo vađenjem kvadratnih korijena. Na primjer, broj "pi" je također iracionalan, a dobiva se dijeljenjem. I koliko god se trudili, ne možete ga dobiti uzimajući kvadratni korijen bilo kojeg prirodnog broja.

Sa segmentom jedinične duljine stari su matematičari već znali: znali su, na primjer, nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Korijen od 2

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

.

Iz ovoga proizlazi da je čak, dakle, čak i . Neka gdje cjelina. Zatim

Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da i su čak, što proturječi ireducibilnosti razlomka . Stoga je izvorna pretpostavka bila pogrešna i iracionalan je broj.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: to je racionalno, to jest, predstavljeno je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Zatim

Ali jasno je, čudno je. Dobivamo kontradikciju.

e

Priča

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću prije Krista, kada je Manawa (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) otkrio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.

Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pr. Kr.), Pitagorejcu koji je ovaj dokaz pronašao proučavajući duljine stranica pentagrama. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica duljine, budući da pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. Pokazao je da ako je hipotenuza jednakokrake pravokutni trokut sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, tada taj broj mora biti paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:

• Omjer duljine hipotenuze i duljine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a i b odabrana kao najmanja moguća.
• Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
• Kao a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
• Ukoliko a:b nesvodiv b mora biti čudno.
• Kao ačak, označiti a = 2y.
• Zatim a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², dakle b pa je onda bčak.
• Međutim, dokazano je da b neparan. Kontradikcija.

Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesumjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipazu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipa stavilo je ispred pitagorejske matematike ozbiljan problem, uništavajući pretpostavku koja je u osnovi cijele teorije da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

vidi također

Bilješke

Numerički sustavi
Brojanje skupova	Prirodni brojevi () Cijeli brojevi ()

Racionalni broj je broj koji se može predstaviti kao razlomak, gdje . Q je skup svih racionalnih brojeva.

Racionalni brojevi se dijele na: pozitivne, negativne i nulte.

Svaki racionalni broj može se povezati s jednom točkom na koordinatnoj liniji. Relacija "lijevo" za točke odgovara odnosu "manje od" za koordinate tih točaka. Može se vidjeti da je svaki negativan broj manji od nule i svaki pozitivan broj; od dva negativna broja manji je onaj čiji je modul veći. Dakle, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao decimalni periodični razlomak. Na primjer, .

Algoritmi za operacije nad racionalnim brojevima slijede iz pravila predznaka za odgovarajuće operacije nad nulom i pozitivnim razlomcima. Q obavlja dijeljenje osim dijeljenja s nulom.

Bilo koji Linearna jednadžba, tj. jednadžba oblika ax+b=0, gdje je , rješiva ​​na skupu Q, ali ne bilo koja kvadratna jednadžba ljubazan , rješivo je u racionalnim brojevima. Nema svaka točka na koordinatnoj liniji racionalnu točku. Još krajem 6. st. pr. n. e u Pitagorinoj školi, dokazano je da dijagonala kvadrata nije razmjerna njegovoj visini, što je jednako tvrdnji: "Jednadžba nema racionalne korijene." Sve navedeno dovelo je do potrebe proširenja skupa Q, uveden je koncept iracionalnog broja. Skup iracionalnih brojeva označiti slovom J .

Na koordinatnoj liniji sve točke koje nemaju racionalne koordinate imaju iracionalne koordinate. , gdje su r skupovi realnih brojeva. na univerzalan način dodjele realnih brojeva su decimale. Periodične decimale definiraju racionalne brojeve, a neperiodične decimale definiraju iracionalne brojeve. Dakle, 2,03 (52) je racionalan broj, 2,03003000300003 ... (period svake sljedeće znamenke "3" upisuje se još jedna nula) je iracionalan broj.

Skupovi Q i R imaju svojstva pozitivnosti: između bilo koja dva racionalna broja nalazi se racionalni broj, na primjer, ecoi a

Za svaki iracionalan broj α može se odrediti racionalna aproksimacija i s manjkom i s viškom s bilo kojom točnošću: a< α

Operacija vađenja korijena iz nekih racionalnih brojeva dovodi do iracionalnih brojeva. Izdvajanje korijena prirodnog stupnja je algebarska operacija, t.j. njegovo je uvođenje povezano s rješenjem algebarske jednadžbe oblika . Ako je n neparan, t.j. n=2k+1, gdje je , tada jednadžba ima jedan korijen. Ako je n paran, n=2k, gdje je , tada za a=0 jednadžba ima jedan korijen x=0, za<0 корней нет, при a>0 ima dva korijena koji su suprotni jedan drugome. Vađenje korijena je obrnuta operacija podizanja na prirodnu snagu.

Aritmetički korijen (radi kratkoće, korijen) n-tog stupnja nenegativnog broja a je nenegativan broj b, koji je korijen jednadžbe. Korijen n-tog stupnja iz broja a označava se simbolom. Za n=2, stupanj korijena 2 nije naznačen: .

Na primjer, , jer 2 2 =4 i 2>0; , jer 3 3 =27 i 3>0; ne postoji jer -4<0.

Za n=2k i a>0, korijeni jednadžbe (1) su zapisani kao i . Na primjer, korijeni jednadžbe x 2 \u003d 4 su 2 i -2.

Za n neparan, jednadžba (1) ima jedan korijen za bilo koji . Ako je a≥0, tada - korijen ove jednadžbe. Ako je a<0, то –а>0 i - korijen jednadžbe. Dakle, jednadžba x 3 \u003d 27 ima korijen.

Što su iracionalni brojevi? Zašto se tako zovu? Gdje se koriste i što su? Malo tko može bez oklijevanja odgovoriti na ova pitanja. No zapravo su odgovori na njih prilično jednostavni, iako nisu potrebni svima i to u vrlo rijetkim situacijama.

Bit i oznaka

Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični Potreba za uvođenjem ovog koncepta je zbog činjenice da za rješavanje novih problema koji se pojavljuju, prethodno postojeći koncepti realnih ili realnih, cjelobrojnih, prirodnih i racionalnih brojeva više nisu bili dovoljni. Na primjer, da biste izračunali koliki je kvadrat od 2, trebate koristiti beskonačne decimale koje se ne ponavljaju. Osim toga, mnoge od najjednostavnijih jednadžbi također nemaju rješenja bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.

Ovaj skup je označen kao I. I, kao što je već jasno, ove vrijednosti se ne mogu predstaviti kao jednostavan razlomak, u čijem će brojniku biti cijeli broj, a u nazivniku -

Prvi put, na ovaj ili onaj način, indijski matematičari susreli su se s ovim fenomenom u 7. stoljeću, kada je otkriveno da se kvadratni korijeni nekih veličina ne mogu eksplicitno naznačiti. A prvi dokaz postojanja takvih brojeva pripisuje se pitagorejskom Hipasu, koji je to učinio u procesu proučavanja jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa dali su i neki drugi znanstvenici koji su živjeli prije naše ere. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva podrazumijevalo je reviziju postojećeg matematičkog sustava, zbog čega su oni toliko važni.

porijeklo imena

Ako je omjer na latinskom "razlomak", "omjer", onda prefiks "ir"
daje riječi suprotno značenje. Dakle, naziv skupa ovih brojeva ukazuje da se oni ne mogu povezati s cijelim ili razlomkom, oni imaju zasebno mjesto. To proizlazi iz njihove prirode.

Mjesto u generalnoj klasifikaciji

Iracionalni brojevi, uz racionalne, spadaju u skupinu realnih ili realnih brojeva, koji su pak složeni. Ne postoje podskupovi, međutim, postoje algebarske i transcendentalne varijante, o kojima će biti riječi u nastavku.

Svojstva

Budući da su iracionalni brojevi dio skupa realnih brojeva, na njih vrijede sva njihova svojstva koja se proučavaju u aritmetici (nazivaju se i osnovnim algebarskim zakonima).

a + b = b + a (komutativnost);

(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);

a + (-a) = 0 (postojanje suprotnog broja);

ab = ba (zakon pomaka);

(ab)c = a(bc) (distributivnost);

a(b+c) = ab + ac (distributivni zakon);

a x 1/a = 1 (postojanje inverznog broja);

Usporedba se također provodi u skladu s općim zakonima i načelima:

Ako je a > b i b > c, tada je a > c (tranzitivnost relacije) i. itd.

Naravno, svi iracionalni brojevi mogu se transformirati pomoću osnovnog aritmetičke operacije. Za to ne postoje posebna pravila.

Osim toga, djelovanje Arhimedovog aksioma proteže se na iracionalne brojeve. Kaže da je za bilo koje dvije veličine a i b točna tvrdnja da je uzimanjem a kao pojma dovoljno puta moguće nadmašiti b.

Korištenje

Unatoč činjenici da u uobicajen život ne tako često morate imati posla s njima, iracionalni brojevi se ne mogu prebrojiti. Ima ih puno, ali su gotovo nevidljivi. Posvuda smo okruženi iracionalnim brojevima. Primjeri poznati svima su pi, što je 3,1415926... ili e, što je u biti baza prirodni logaritam, 2.718281828... U algebri, trigonometriji i geometriji morate ih stalno koristiti. Inače, poznato značenje "zlatnog presjeka", odnosno omjera većeg dijela prema manjem, i obrnuto, također

pripada ovom skupu. Manje poznato "srebro" - također.

Na brojevnoj liniji nalaze se vrlo gusto, tako da između bilo koje dvije veličine koje se odnose na skup racionalnih nužno se javlja iracionalna.

Još uvijek postoje mnogi neriješeni problemi povezani s ovim skupom. Postoje kriteriji kao što su mjera iracionalnosti i normalnost broja. Matematičari nastavljaju ispitivati ​​najznačajnije primjere njihove pripadnosti jednoj ili drugoj skupini. Na primjer, smatra se da je e normalan broj, odnosno da je vjerojatnost pojavljivanja različitih znamenki u njegovom unosu ista. Što se tiče pi, istraživanja su još u tijeku. Mjera iracionalnosti je vrijednost koja pokazuje koliko dobro se određeni broj može aproksimirati racionalnim brojevima.

Algebarski i transcendentalni

Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi uvjetno se dijele na algebarske i transcendentalne. Uvjetno, budući da se, strogo govoreći, ova klasifikacija koristi za dijeljenje skupa C.

Pod ovom oznakom skriveni su kompleksni brojevi, koji uključuju stvarne ili realne brojeve.

Dakle, algebarska vrijednost je vrijednost koja je korijen polinoma koji nije identično jednak nuli. Na primjer, kvadratni korijen od 2 bio bi u ovoj kategoriji jer je rješenje jednadžbe x 2 - 2 = 0.

Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet nazivaju se transcendentalnimi. Ova raznolikost također uključuje najpoznatije i već spomenute primjere - broj pi i bazu prirodnog logaritma e.

Zanimljivo je da ni jedno ni drugo matematičari nisu izvorno zaključili u tom svojstvu, njihova iracionalnost i transcendentnost dokazani su mnogo godina nakon njihovog otkrića. Za pi je dokaz dat 1882., a pojednostavljen 1894., čime je stavljena točka na 2500-godišnju polemiku o problemu kvadrature kružnice. Još uvijek nije u potpunosti shvaćeno, pa moderni matematičari imaju na čemu raditi. Usput, prvi dovoljno točan izračun ove vrijednosti proveo je Arhimed. Prije njega su svi izračuni bili prepribližni.

Za e (Eulerov ili Napierov broj), dokaz njegove transcendentnosti pronađen je 1873. godine. Koristi se u rješavanju logaritamskih jednadžbi.

Drugi primjeri uključuju sinusne, kosinusne i tangentne vrijednosti za sve algebarske vrijednosti različite od nule.