Primjeri najmanjeg zajedničkog višekratnika tri broja. Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika: metode, primjeri pronalaženja LCM-a

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo biste trebali odrediti značenje pojma "višestruko".

Višekratnik A je prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv s A. Dakle, 15, 20, 25 i tako dalje se mogu smatrati višekratnicima broja 5.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je njima djeljiv bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je jednako djeljiv sa svim tim brojevima.

Da biste pronašli NOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve prikladno je ispisati u red sve višekratnike tih brojeva dok se među njima ne pronađe zajednički. Višestruki su u zapisu označeni velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici od 4 mogu se napisati ovako:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj unos se izvodi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugi način za izračunavanje LCM-a.

Za izvršenje zadatka potrebno je predložene brojeve rastaviti na proste faktore.

Prvo morate napisati proširenje najvećeg broja u retku, a ispod njega - ostatak.

U proširenju svakog broja može postojati različit broj čimbenika.

Na primjer, razdijelimo brojeve 50 i 20 u proste faktore.

U proširenju manjeg broja treba podvući čimbenike koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim im ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možemo izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dakle, umnožak prostih čimbenika većeg broja i faktora drugog broja, koji nisu uključeni u dekompoziciju većeg broja, bit će najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, sve ih treba razložiti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz dekompozicije šesnaest nisu bile uključene u faktorizaciju većeg broja (jedna je u dekompoziciji dvadeset i četiri).

Stoga ih je potrebno dodati u razgradnju većeg broja.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od tih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, NOC-ovi od dvanaest i dvadeset četiri bili bi dvadeset četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva koji nemaju iste djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom umnošku.

Na primjer, LCM(10, 11) = 110.

Razmotrite tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Pronalaženje faktoringom

Prvi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik tako da zadane brojeve razložimo u proste faktore.

Pretpostavimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, svaki od ovih brojeva rastavljamo na proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv sa 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da uključuje sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću pojavnu moć i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije jednako djeljiv s 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, trebate ih rastaviti na proste faktore, zatim uzeti svaki prosti faktor s najvećim eksponentom s kojim se pojavljuje i pomnožiti te faktore zajedno.

Budući da koprosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov je najmanji zajednički višekratnik jednak umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su međusobno prosti. Tako

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Isto treba učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uklapanjem.

Primjer 1. Kada je najveći od zadanih brojeva jednako djeljiv s drugim danim brojevima, tada je LCM tih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika koristi se sljedeći postupak:

Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja, množeći ih prirodnim brojevima u rastućem redoslijedu i provjeravajući jesu li preostali zadani brojevi djeljivi s rezultirajućim umnoškom.

Primjer 2. Zadana su tri broja 24, 3 i 18. Odredite najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronađite višekratnike broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i s 3:

24 1 = 24 je djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 2 = 48 - djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 3 \u003d 72 - djeljivo s 3 i 18.

Dakle, LCM(24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim traženjem LCM

Treći način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.

LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljen s njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Pronađite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristi se sljedeći postupak:

Prvo se pronađe LCM bilo koja dva od zadanih brojeva.
Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg zadanog broja.
Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, i tako dalje.
Stoga se LCM pretraga nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Nađimo LCM tri zadana broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik od 24 i treći zadani broj - 9. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: gcd (24, 9) = 3. Pomnožite LCM s brojem 9:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8, 9) = 72.

Razmotrimo rješenje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm. Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj će oboje napraviti cijeli broj koraka.

Odluka. Cijeli put koji će dečki proći mora biti djeljiv sa 60 i 70 bez ostatka, jer svaki od njih mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo ispisati sve višekratnike za broj 75. Dobivamo:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zapišimo sada brojeve koji će biti višekratni od 60. Dobivamo:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada nalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

Uobičajeni višekratnici brojeva bit će brojevi, 300, 600 itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Da se vratimo na stanje problema, najmanja udaljenost na kojoj dečki naprave cijeli broj koraka bit će 300 cm. Dječak će ići ovim putem u 4 koraka, a djevojka će morati napraviti 5 koraka.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

Najmanji zajednički višekratnik dvaju prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva, nije potrebno za te brojeve u nizu zapisivati sve višekratnike.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo, trebate rastaviti ove brojeve na proste faktore.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Zapišimo sada sve čimbenike koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodajmo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobivamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Umnožak ovih brojeva bit će najmanji zajednički faktor za te brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

1. Rastaviti brojeve na proste faktore.
2. Zapišite osnovne čimbenike koji su dio jednog od njih.
3. Ovim čimbenicima dodajte sve one koji su u razgradnji ostatka, ali ne i u odabranom.
4. Pronađite umnožak svih zapisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.

Definicija. Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najveći zajednički djelitelj (gcd) ove brojke.

Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Djelitelji broja 24 bit će brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 bit će brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju koprimeran.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju koprimeran ako je njihov najveći zajednički djelitelj (gcd) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) može se pronaći bez ispisivanja svih djelitelja zadanih brojeva.

Faktorizirajući brojeve 48 i 36, dobivamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva, brišemo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Ostaju faktori 2 * 2 * 3. Njihov umnožak je 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Također se nalazi najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Pronaći najveći zajednički djelitelj

2) od faktora koji su uključeni u proširenje jednog od ovih brojeva precrtati one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) pronaći umnožak preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi s jednim od njih, onda je ovaj broj najveći zajednički djelitelj zadane brojeve.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj 15, 45, 75 i 180 je 15, jer dijeli sve ostale brojeve: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez ispisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, razlažemo 75 i 60 na jednostavne faktore: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Napišimo čimbenike uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im čimbenike koji nedostaju iz proširenja drugog broja (tj. kombiniramo faktore).
Dobivamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je umnožak 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Također pronađite najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

Do pronađite najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, trebate:
1) rastaviti ih na proste faktore;
2) napišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodaj im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) pronaći umnožak rezultirajućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, onda je taj broj najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik 12, 15, 20 i 60 bio bi 60, budući da je djeljiv sa svim danim brojevima.

Pitagora (VI st. pr. Kr.) i njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj jednak zbroju svih njegovih djelitelja (bez samog broja), nazvali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. stoljeću. n. e. Peti - 33 550 336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali do sada znanstvenici ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi, postoji li najveći savršeni broj.
Interes starih matematičara za proste brojeve je zbog činjenice da je bilo koji broj ili prost ili se može predstaviti kao umnožak prostih brojeva, odnosno prosti brojevi su poput cigli od kojih se grade ostali prirodni brojevi.
Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno – u nekim dijelovima niza ih je više, u drugima – manje. Ali što se dalje krećemo nizom brojeva, to su prosti brojevi rjeđi. Postavlja se pitanje: postoji li posljednji (najveći) prosti broj? Starogrčki matematičar Euklid (3. st. pr.n.e.) je u svojoj knjizi "Počeci", koja je dvije tisuće godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, odnosno da iza svakog prostog broja stoji paran broj. veći prost broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar iz istog vremena, Eratosten, smislio je takvu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedinicu, koja nije ni prost ni složeni broj, zatim kroz jedan precrtao sve brojeve iza 2 (brojeve koji su višekratnici 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi iza 3 su precrtani (brojevi koji su višekratnici 3, tj. 6, 9, 12, itd.). na kraju su ostali neprecrtani samo prosti brojevi.

Učenicima se daje puno matematičkih zadataka. Među njima se vrlo često nalaze zadaci sa sljedećom formulacijom: postoje dvije vrijednosti. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva? Potrebno je biti sposoban obavljati takve zadatke, budući da se stečene vještine koriste za rad s razlomcima s različitim nazivnicima. U članku ćemo analizirati kako pronaći LCM i osnovne koncepte.

Prije nego što pronađete odgovor na pitanje kako pronaći LCM, morate definirati pojam višestruka. Najčešće je ovaj koncept sljedeći: višekratnik neke vrijednosti A je prirodan broj koji će biti djeljiv s A bez ostatka. Dakle, za 4, 8, 12, 16, 20 i tako dalje, do potrebnu granicu.

U ovom slučaju, broj djelitelja za određenu vrijednost može biti ograničen i postoji beskonačno mnogo višekratnika. Ista vrijednost postoji i za prirodne vrijednosti. Ovo je pokazatelj koji je njima podijeljen bez ostatka. Nakon što smo se pozabavili konceptom najmanje vrijednosti za određene pokazatelje, prijeđimo na to kako ga pronaći.

Pronalaženje NOC-a

Najmanji višekratnik dva ili više eksponenata je najmanji prirodni broj koji je potpuno djeljiv sa svim danim brojevima.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje takve vrijednosti. Razmotrimo sljedeće metode:

Ako su brojevi mali, upišite sve djeljive s njime. Nastavite to raditi dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. U zapisu su označeni slovom K. Na primjer, za 4 i 3, najmanji višekratnik je 12.
Ako su oni veliki ili trebate pronaći višekratnik za 3 ili više vrijednosti, tada biste trebali koristiti drugu tehniku ovdje, koja uključuje razlaganje brojeva na proste faktore. Prvo postavite najveći od navedenih, a zatim sve ostalo. Svaki od njih ima svoj broj množitelja. Kao primjer, razložimo 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). Za manje od njih podcrtajte čimbenike i dodajte najvećem. Rezultat će biti 100, što će biti najmanji zajednički višekratnik gornjih brojeva.
Kod pronalaženja 3 broja (16, 24 i 36) principi su isti kao i za druga dva. Proširimo svaki od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. U dekompoziciju najvećeg nisu uključene samo dvije dvojke iz proširenja broja 16. Zbrajamo ih i dobivamo 144, što je najmanji rezultat za prethodno navedene brojčane vrijednosti.

Sada znamo koja je opća tehnika za pronalaženje najmanje vrijednosti za dvije, tri ili više vrijednosti. Međutim, postoje i privatne metode, pomaže u traženju NOO-a, ako prethodni ne pomažu.

Kako pronaći GCD i NOC.

Privatni načini pronalaženja

Kao i kod svakog matematičkog odjeljka, postoje posebni slučajevi pronalaženja LCM-a koji pomažu u određenim situacijama:

ako je jedan od brojeva djeljiv s ostalima bez ostatka, tada mu je jednak najmanji višekratnik tih brojeva (NOC 60 i 15 jednako je 15);
Koprosti brojevi nemaju zajedničke proste djelitelje. Njihova najmanja vrijednost jednaka je umnošku tih brojeva. Dakle, za brojeve 7 i 8, ovo će biti 56;
isto pravilo vrijedi i za druge slučajeve, uključujući posebne, o kojima se može čitati u stručnoj literaturi. To bi također trebalo uključivati slučajeve dekompozicije složenih brojeva, koji su predmet zasebnih članaka, pa čak i doktorskih disertacija.

Posebni slučajevi su rjeđi od standardnih primjera. Ali zahvaljujući njima, možete naučiti kako raditi s frakcijama različitog stupnja složenosti. To posebno vrijedi za razlomke., gdje postoje različiti nazivnici.

Neki primjeri

Pogledajmo nekoliko primjera, zahvaljujući kojima možete razumjeti princip pronalaženja najmanjeg višekratnika:

Nalazimo LCM (35; 40). Prvo postavljamo 35 = 5 * 7, zatim 40 = 5 * 8. Najmanjem broju dodamo 8 i dobijemo NOC 280.
NOO (45; 54). Polažemo svaki od njih: 45 = 3 * 3 * 5 i 54 = 3 * 3 * 6. Dodamo broj 6 na 45. Dobivamo NOC jednak 270.
Pa zadnji primjer. Postoji 5 i 4. Za njih ne postoje jednostavni višekratnici, pa će najmanji zajednički višekratnik u ovom slučaju biti njihov umnožak, jednak 20.

Zahvaljujući primjerima, možete razumjeti kako se NOC nalazi, koje su nijanse i koje je značenje takvih manipulacija.

Pronalaženje NOC-a mnogo je lakše nego što se na prvi pogled čini. Za to se koriste i jednostavno proširenje i množenje jednostavnih vrijednosti jedna na drugu.. Sposobnost rada s ovim dijelom matematike pomaže u daljnjem proučavanju matematičkih tema, posebno razlomaka različitog stupnja složenosti.

Ne zaboravite povremeno rješavati primjere različitim metodama, to razvija logički aparat i omogućuje vam da zapamtite brojne pojmove. Naučite metode za pronalaženje takvog pokazatelja i moći ćete dobro raditi s ostalim matematičkim dijelovima. Sretno učenje matematike!