Opća formula sinusa u trigonometriji. Sinus, kosinus, tangent i kotangens - sve što trebate znati na OGE i USE

Dani su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu pola kuta, itd.

U ovom članku navodimo redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Omogućuju vam da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju kroz bilo koju drugu.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Izlivene formule

Izlivene formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, a također i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam da prijeđete s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nule do 90 stupnjeva.

Obrazloženje ovih formula, mnemotehničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.

Formule zbrajanja

Trigonometrijske formule zbrajanja pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za dvostruko, trostruko itd. kutu

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (oni se također nazivaju i formule višestrukih kutova) pokazuju kako su trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. kutovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za dvostruko, trostruko itd. kut .

Formule pola kuta

Formule pola kuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju kroz kosinus cjelobrojnog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog kuta.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se pronaći u članku.

Formule redukcije

Trigonometrijske formule za opadajuće stupnjeve dizajnirani su kako bi olakšali prijelaz s prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse u prvom stupnju, ali više kutova. Drugim riječima, dopuštaju da se snage trigonometrijskih funkcija svedu na prvu.

Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija

Glavna svrha formule zbroja i razlike za trigonometrijske funkcije sastoji se u prijelazu na umnožak funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove formule također se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, jer omogućuju faktoriranje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se kroz formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 stanica. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Niti jedan dio www.site-a, uključujući interne materijale i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Započinjemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Definirajmo što su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangensa oštrog kuta. Ovo su osnove trigonometrije.

Prisjetite se toga pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva. Drugim riječima, polovica rasklopljenog kuta.

Oštar kut- manje od 90 stupnjeva.

Tup kut- veći od 90 stupnjeva. U odnosu na takav kut, "tupi" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravokutni trokut. Obično se označava pravi kut. Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je strana koja leži nasuprot kuta A.

Kut je označen odgovarajućim grčkim slovom.

Hipotenuza Pravokutni trokut je strana nasuprot pravog kuta.

Noge- strane suprotne oštrim kutovima.

Noga nasuprot kutu zove se suprotan(u odnosu na kut). Druga noga, koja leži na jednoj strani ugla, zove se susjedni.

Sinus Oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Kosinus oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Tangens oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer suprotne noge i susjedne:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangent oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

Kotangens oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka prema suprotnom (ili, ekvivalentno, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pažnju na osnovne omjere za sinus, kosinus, tangent i kotangens, koji su navedeni u nastavku. Oni će nam biti korisni u rješavanju problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i zapisane formule. Ali zašto su nam potrebni sinus, kosinus, tangent i kotangens?

Mi to znamo zbroj kutova bilo kojeg trokuta je.

Znamo odnos između stranke pravokutni trokut. Ovo je Pitagorin teorem: .

Ispada da znajući dva kuta u trokutu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. Dakle, za kutove - njihov omjer, za strane - svoj. Ali što učiniti ako su u pravokutnom trokutu poznati jedan kut (osim pravog) i jedna strana, ali morate pronaći druge strane?

S tim su se ljudi suočavali u prošlosti, praveći karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve strane trokuta.

Sinus, kosinus i tangenta - također se nazivaju trigonometrijske funkcije kuta- dati omjer između stranke i uglovima trokut. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" kutove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tablici. Za odgovarajuće vrijednosti kutova, tangenta i kotangens ne postoje.

Analizirajmo nekoliko problema u trigonometriji iz zadataka Banke FIPI.

1. U trokutu, kut je , . Pronaći .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Ukoliko , .

2. U trokutu, kut je , , . Pronaći .

Pronađimo po Pitagorinom teoremu.

Problem riješen.

Često u problemima postoje trokuti s kutovima i ili s kutovima i . Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!

Za trokut s kutovima i krak nasuprot kutu u jednak je polovica hipotenuze.

Trokut s kutovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.

Razmatrali smo probleme za rješavanje pravokutnih trokuta – odnosno za pronalaženje nepoznatih stranica ili kutova. Ali to nije sve! U varijantama ispita iz matematike postoji mnogo zadataka gdje se pojavljuje sinus, kosinus, tangent ili kotangens vanjskog kuta trokuta. Više o tome u sljedećem članku.

Neću te uvjeravati da ne pišeš varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su cheat sheets potrebne i kako su cheat sheets korisne. A ovdje - informacije o tome kako ne naučiti, već zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice!Za pamćenje koristimo asocijacije.

1. Formule za zbrajanje:

kosinus uvijek "ide u paru": kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Oni “sve nije u redu”, pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "miks": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek "ide u paru". Dodavanjem dva kosinusa - "buns", dobivamo par kosinusa - "koloboks". I oduzimanjem, definitivno nećemo dobiti koloboke. Dobivamo par sinusa. I dalje s minusom ispred.

Sinusi - "miks" :

3. Formule za pretvaranje proizvoda u zbroj i razliku.

Kada ćemo dobiti par kosinusa? Prilikom zbrajanja kosinusa. Tako

Kada ćemo dobiti par sinusa? Pri oduzimanju kosinusa. Odavde:

"Mješanje" se dobiva i zbrajanjem i oduzimanjem sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, preklopi. A za formulu uzmite zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli u zagradama - iznos. Od prestrojavanja mjesta pojmova zbroj se ne mijenja. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da se ne bismo zabunili, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prvim zagradama uzimamo razliku

i drugo, zbroj

Plahte za dječji krevetić u džepu pružaju mir: ako zaboravite formulu, možete je otpisati. I daju povjerenje: ako ne upotrijebite cheat sheet, formule se mogu lako zapamtiti.

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom Istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ti se proračuni odnose na sfernu trigonometriju, dok se u školskom kolegiju proučava omjer stranica i kuta ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom između stranica i kutova trokuta.

Za vrijeme procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću naše ere, znanje se proširilo od antičkog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncept sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Puno pažnje posvećeno je trigonometriji u djelima velikih antičkih likova poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangent i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorejske hlače, jednake u svim smjerovima", budući da je dokaz dan na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao umnožak sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, tada ćemo dobiti sljedeće formule za tangentu i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se omjer navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se vidi iz slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α bit će sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Kod α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje veličina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; pri izračunavanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije bitna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju radijanskim vrijednostima:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Za razmatranje i usporedbu osnovnih svojstava sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje smještene u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrimo usporednu tablicu svojstava za sinusni val i kosinusni val:

sinusoida	kosinusni val
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; jedan]	ODZ [-1; jedan]
sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, gdje je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. neparna funkcija	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
sin x › 0, pri čemu x pripada četvrtima I i II ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada četvrtima I i IV ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtima III i IV ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtima II i III ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
raste na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
opada na intervalima [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje se u intervalima
derivacija (sin x)' = cos x	derivacija (cos x)’ = - sin x

Odrediti je li funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na os OX. Ako su predznaci isti, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoidnog i kosinusnog vala omogućuju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može izvršiti gledanjem u tablice ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangenoida

Grafovi tangentne i kotangensne funkcije značajno se razlikuju od sinusoidnog i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

Y = tgx.
Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
Tg x = 0, za x = πk.
Funkcija se povećava.
Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangenoida u nastavku teksta.

Glavna svojstva kotangentoida:

Y = ctgx.
Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
Funkcija se smanjuje.
Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Popravi