Transformation d'expressions rationnelles : types de transformations, exemples. expression rationnelle

Dans un passé lointain, quand le système de calcul n'avait pas encore été inventé, les gens comptaient tout sur leurs doigts. Avec l'avènement de l'arithmétique et des bases des mathématiques, il est devenu beaucoup plus facile et plus pratique de tenir des registres des biens, des produits et des articles ménagers. Cependant, à quoi ressemble-t-il système moderne calcul : en quels types les nombres existants sont-ils divisés et que signifie la « forme rationnelle des nombres » ? Essayons de comprendre.

Combien de types de nombres existe-t-il en mathématiques ?

Le concept même de "nombre" désigne une certaine unité de tout objet, qui caractérise ses indicateurs quantitatifs, comparatifs ou ordinaux. Afin de bien compter le nombre de certaines choses ou d'effectuer certaines opérations mathématiques avec les nombres (additionner, multiplier, etc.), vous devez tout d'abord vous familiariser avec les variétés de ces mêmes nombres.

Ainsi, les nombres existants peuvent être divisés dans les catégories suivantes :

Les nombres naturels sont les nombres avec lesquels on compte le nombre d'objets (le plus petit nombre naturel est 1, il est logique que la série nombres naturels est infini, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de plus grand nombre naturel). L'ensemble des nombres naturels est généralement désigné par la lettre N.
Nombres entiers. Cet ensemble comprend tout, alors qu'il est ajouté et valeurs négatives, y compris le nombre "zéro". La notation de l'ensemble des nombres entiers s'écrit lettre latine Z
Les nombres rationnels sont ceux que nous pouvons convertir mentalement en une fraction dont le numérateur appartiendra à l'ensemble des nombres entiers et le dénominateur appartiendra aux nombres naturels. Ci-dessous, nous analyserons plus en détail ce que signifie "nombre rationnel" et donnerons quelques exemples.
- un ensemble qui comprend tous les rationnels et Cet ensemble est désigné par la lettre R.
Les nombres complexes contiennent une partie du réel et une partie de la variable. Ils sont utilisés pour résoudre diverses équations cubiques, qui, à leur tour, peuvent avoir une expression négative dans les formules (i 2 = -1).

Que veut dire "rationnel": nous l'analysons avec des exemples

Si les nombres rationnels sont ceux que l'on peut représenter sous la forme fraction commune, il s'avère que tous les entiers positifs et négatifs sont également inclus dans l'ensemble des rationnels. Après tout, tout nombre entier, par exemple 3 ou 15, peut être représenté sous la forme d'une fraction, où le dénominateur sera un.

Fractions : -9/3 ; 7/5, 6/55 sont des exemples nombres rationnels.

Que signifie « expression rationnelle » ?

Passez. Nous avons déjà discuté de ce que signifie la forme rationnelle des nombres. Imaginons maintenant une expression mathématique composée d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient divers numéros et variables. Voici un exemple : une fraction, dont le numérateur est la somme de deux entiers ou plus, et le dénominateur contient à la fois un entier et une variable. C'est cette expression qu'on appelle rationnelle. Sur la base de la règle "vous ne pouvez pas diviser par zéro", vous pouvez deviner que la valeur de cette variable ne peut pas être telle que la valeur du dénominateur devienne zéro. Par conséquent, lors de la résolution d'une expression rationnelle, vous devez d'abord déterminer la plage de la variable. Par exemple, si le dénominateur contient l'expression suivante : x+5-2, alors il s'avère que "x" ne peut pas être égal à -3. En effet, dans ce cas, l'expression entière se transforme en zéro, donc, lors de la résolution, il est nécessaire d'exclure l'entier -3 pour cette variable.

Comment résoudre correctement les équations rationnelles ?

Les expressions rationnelles peuvent contenir plusieurs un grand nombre de nombres et même 2 variables, donc parfois leur solution devient difficile. Pour faciliter la résolution d'une telle expression, il est recommandé d'effectuer certaines opérations de manière rationnelle. Alors, que signifie "de manière rationnelle" et quelles règles appliquer pour décider ?

Le premier type, lorsqu'il suffit juste de simplifier l'expression. Pour ce faire, vous pouvez recourir à l'opération consistant à réduire le numérateur et le dénominateur à une valeur irréductible. Par exemple, si le numérateur contient l'expression 18x et le dénominateur 9x, alors, en réduisant les deux indicateurs de 9x, nous obtenons juste un entier égal à 2.
La deuxième méthode est pratique lorsque nous avons un monôme au numérateur et un polynôme au dénominateur. Prenons un exemple : au numérateur, nous avons 5x, et au dénominateur - 5x + 20x 2 . Dans ce cas, il est préférable de prendre la variable au dénominateur hors parenthèses, on obtient la forme suivante du dénominateur : 5x(1+4x). Et maintenant, vous pouvez utiliser la première règle et simplifier l'expression en réduisant de 5x le numérateur et le dénominateur. En conséquence, nous obtenons une fraction de la forme 1/1+4x.

Quelles opérations peut-on effectuer avec les nombres rationnels ?

L'ensemble des nombres rationnels a un certain nombre de ses propres particularités. Beaucoup d'entre eux sont très similaires à la caractéristique présente dans les nombres entiers et les nombres naturels, compte tenu du fait que ces derniers sont toujours inclus dans l'ensemble rationnel. Voici quelques propriétés des nombres rationnels, sachant lesquelles, vous pouvez facilement résoudre n'importe quelle expression rationnelle.

La propriété de commutativité vous permet de sommer deux nombres ou plus, quel que soit leur ordre. Autrement dit, la somme ne change pas à partir d'un changement dans les lieux des termes.
La propriété de distributivité permet de résoudre des problèmes en utilisant la loi distributive.
Et enfin, les opérations d'addition et de soustraction.

Même les écoliers savent ce que signifie le "type rationnel de nombres" et comment résoudre des problèmes basés sur de telles expressions, donc un adulte instruit doit simplement se rappeler au moins les bases de l'ensemble des nombres rationnels.

expression rationnelle expression algébrique ne contenant aucun radical. Autrement dit, il s'agit d'une ou plusieurs quantités algébriques (chiffres et lettres) reliées par des signes opérations arithmétiques: addition, soustraction, multiplication ... ... Wikipedia

Une expression algébrique qui ne contient pas de radicaux et comprend uniquement les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Par exemple, a2 + b, x/(y z2). * * * EXPRESSION RATIONNELLE EXPRESSION RATIONNELLE, une expression algébrique qui ne contient pas ... ... Dictionnaire encyclopédique

Une expression algébrique qui ne contient pas de radicaux, telle que a2 + b, x/(y z3). Si inclus dans R. siècle. les lettres sont considérées comme des variables, puis R. in. définit une fonction rationnelle (Voir Fonction rationnelle) de ces variables ... Grande Encyclopédie soviétique

Une expression algébrique qui ne contient pas de radicaux et comprend uniquement les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Par exemple, a2 + b, x/(y z2) ... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

EXPRESSION- le concept mathématique primaire, c'est-à-dire un enregistrement de lettres et de chiffres reliés par des signes d'opérations arithmétiques, tandis que des parenthèses, des symboles de fonction, etc. peuvent être utilisés ; habituellement B est la formule million qui en fait partie. Distinguer dans (1) ... ... Grande Encyclopédie Polytechnique

RATIONNEL- (Rationnel ; Rationnel) un terme utilisé pour décrire des pensées, des sentiments et des actions compatibles avec l'esprit ; une attitude basée sur des valeurs objectives obtenues à la suite d'une expérience pratique. "Les valeurs objectives sont établies dans l'expérience ... ... Dictionnaire de psychologie analytique

CONNAISSANCE RATIONNELLE- une image subjective du monde objectif, obtenue à l'aide de la pensée. Pensée - processus actif réflexion généralisée et médiatisée de la réalité, qui assure la découverte de ses connexions régulières sur la base de données sensorielles et de leur expression ... Philosophie des sciences et techniques : dictionnaire thématique

ÉQUATION RATIONNELLE- Une expression logique ou mathématique basée sur des hypothèses (rationnelles) sur les processus. Ces équations diffèrent des équations empiriques en ce que leurs paramètres sont obtenus à la suite de conclusions déductives à partir de théories ... ... Dictionnaire en psychologie

RATIONNEL, rationnel, rationnel ; rationnel, rationnel, rationnel. 1. adj. au rationalisme (livre). philosophie rationnelle. 2. Tout à fait raisonnable, justifié, opportun. Il a fait une suggestion rationnelle. Rationnel ... ... Dictionnaire explicatif d'Ouchakov

1) R. équation algébrique f (x) = 0 degré p équation algébrique g(y)=0 équation donnée… … Encyclopédie mathématique

Une expression entière est une expression mathématique composée de nombres et de variables littérales utilisant les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication. Les nombres entiers incluent également des expressions qui incluent une division par un nombre autre que zéro.

Exemples d'expressions entières

Voici quelques exemples d'expressions entières :

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1 ;

Expressions fractionnaires

Si l'expression contient une division par une variable ou par une autre expression contenant une variable, alors une telle expression n'est pas un entier. Une telle expression est appelée expression fractionnaire. Donnons une définition complète d'une expression fractionnaire.

Une expression fractionnaire est une expression mathématique qui, outre les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication effectuées avec des nombres et des variables alphabétiques, ainsi que la division par un nombre, ne zéro, contient également une division en expressions avec des variables littérales.

Exemples d'expressions fractionnaires :

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1 ;

Les expressions fractionnaires et entières constituent deux grands ensembles d'expressions mathématiques. Si ces ensembles sont combinés, nous obtenons un nouvel ensemble, appelé expressions rationnelles. Autrement dit, les expressions rationnelles sont toutes des expressions entières et fractionnaires.

Nous savons que les expressions entières ont un sens pour toutes les valeurs des variables qui y sont incluses. Cela vient du fait que pour trouver la valeur d'une expression entière, il faut effectuer des actions toujours possibles : addition, soustraction, multiplication, division par un nombre autre que zéro.

Les expressions fractionnaires, contrairement aux expressions entières, peuvent ne pas avoir de sens. Puisqu'il y a une opération de division par une variable ou une expression contenant des variables, et que cette expression peut virer à zéro, la division par zéro est impossible. Valeurs des variables pour lesquelles expression fractionnaire aura du sens, appelez les valeurs valides des variables.

fraction rationnelle

Un des cas particuliers expressions rationnelles sera une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Pour une telle fraction en mathématiques, il y a aussi un nom - une fraction rationnelle.

Une fraction rationnelle aura un sens si son dénominateur n'est pas égal à zéro. Autrement dit, toutes les valeurs de variables pour lesquelles le dénominateur de la fraction est différent de zéro seront valides.

Cette leçon couvrira les informations de base sur les expressions rationnelles et leurs transformations, ainsi que des exemples de transformation d'expressions rationnelles. Ce sujet résume les sujets que nous avons étudiés jusqu'à présent. Les transformations d'expression rationnelle comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'exponentiation fractions algébriques, réduction, factorisation, etc. Dans le cadre de la leçon, nous verrons ce qu'est une expression rationnelle, et nous analyserons également des exemples pour leur transformation.

Matière:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Cours:Informations de base sur les expressions rationnelles et leurs transformations

Définition

expression rationnelle est une expression composée de nombres, de variables, d'opérations arithmétiques et d'exponentiation.

Prenons un exemple d'expression rationnelle :

Cas particuliers d'expressions rationnelles :

1er degré : ;

2. monôme : ;

3. fraction : .

Transformation d'expression rationnelle est une simplification d'une expression rationnelle. L'ordre des opérations lors de la conversion d'expressions rationnelles : d'abord, il y a des actions entre parenthèses, puis des opérations de multiplication (division), puis d'addition (soustraction).

Considérons quelques exemples sur la transformation d'expressions rationnelles.

Exemple 1

Décision:

Résolvons cet exemple étape par étape. L'action entre parenthèses est effectuée en premier.

Répondre:

Exemple 2

Décision:

Répondre:

Exemple 3

Décision:

Répondre: .

Noter: peut-être quand tu verras cet exemple une idée a surgi : réduire la fraction avant d'aboutir à un dénominateur commun. En effet, c'est tout à fait correct : d'abord, il est souhaitable de simplifier au maximum l'expression, puis de la transformer. Essayons de résoudre le même exemple de la deuxième manière.

Comme vous pouvez le voir, la réponse s'est avérée absolument similaire, mais la solution s'est avérée un peu plus simple.

Dans cette leçon, nous avons regardé expressions rationnelles et leurs transformations, ainsi que plusieurs exemples concrets données de transformation.

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Du cours d'algèbre programme scolaire Venons-en aux détails. Dans cet article, nous étudierons en détail type particulier expressions rationnelles - fractions rationnelles, et aussi analyser quelle caractéristique identique transformations de fractions rationnelles prend place.

Notons tout de suite que les fractions rationnelles au sens où nous les définissons ci-dessous sont appelées fractions algébriques dans certains manuels d'algèbre. Autrement dit, dans cet article, nous comprendrons la même chose sous les fractions rationnelles et algébriques.

Comme d'habitude, nous commençons par une définition et des exemples. Parlons ensuite de l'apport d'une fraction rationnelle à un nouveau dénominateur et de la modification des signes des membres de la fraction. Après cela, nous analyserons comment la réduction des fractions est effectuée. Enfin, arrêtons-nous sur la représentation d'une fraction rationnelle comme somme de plusieurs fractions. Nous fournirons toutes les informations avec des exemples avec descriptions détaillées solutions.

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Définition et exemples de fractions rationnelles

Les fractions rationnelles sont étudiées dans les leçons d'algèbre en 8e année. Nous utiliserons la définition d'une fraction rationnelle, qui est donnée dans le manuel d'algèbre pour les années 8 par Yu. N. Makarychev et d'autres.

Cette définition ne précise pas si les polynômes du numérateur et du dénominateur d'une fraction rationnelle doivent être des polynômes vue générale ou pas. Par conséquent, nous supposerons que les fractions rationnelles peuvent contenir à la fois des polynômes standard et non standard.

Voici quelques-uns exemples de fractions rationnelles. Donc , x/8 et - fractions rationnelles. Et les fractions et ne correspondent pas à la définition sonore d'une fraction rationnelle, car dans le premier d'entre eux, le numérateur n'est pas un polynôme, et dans le second, le numérateur et le dénominateur contiennent des expressions qui ne sont pas des polynômes.

Conversion du numérateur et du dénominateur d'une fraction rationnelle

Le numérateur et le dénominateur de toute fraction sont des expressions mathématiques autosuffisantes, dans le cas des fractions rationnelles ce sont des polynômes, dans un cas particulier ce sont des monômes et des nombres. Par conséquent, avec le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle, comme avec toute expression, des transformations identiques peuvent être effectuées. En d'autres termes, l'expression au numérateur d'une fraction rationnelle peut être remplacée par une expression qui lui est identiquement égale, tout comme le dénominateur.

Dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle, des transformations identiques peuvent être effectuées. Par exemple, au numérateur, vous pouvez regrouper et réduire des termes similaires, et au dénominateur, le produit de plusieurs nombres peut être remplacé par sa valeur. Et comme le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle sont des polynômes, il est possible d'effectuer avec eux des transformations caractéristiques des polynômes, par exemple une réduction à une forme standard ou une représentation sous forme de produit.

Pour plus de clarté, considérons les solutions de plusieurs exemples.

Exemple.

Convertir fraction rationnelle de sorte que le numérateur est un polynôme de la forme standard et le dénominateur est le produit de polynômes.

Décision.

La réduction des fractions rationnelles à un nouveau dénominateur est principalement utilisée lors de l'addition et de la soustraction de fractions rationnelles.

Changement de signe devant une fraction, ainsi que dans son numérateur et son dénominateur

La propriété de base d'une fraction peut être utilisée pour changer les signes des termes de la fraction. En effet, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle par -1 revient à changer leurs signes, et le résultat est une fraction identiquement égale à celle donnée. Une telle transformation doit être utilisée assez souvent lorsque l'on travaille avec des fractions rationnelles.

Ainsi, si vous modifiez simultanément les signes du numérateur et du dénominateur d'une fraction, vous obtiendrez une fraction égale à celle d'origine. Cette affirmation correspond à l'égalité.

Prenons un exemple. Une fraction rationnelle peut être remplacée par une fraction identiquement égale avec des signes inversés du numérateur et du dénominateur de la forme.

Avec les fractions, vous pouvez en faire une de plus transformation identitaire, où le signe change soit au numérateur, soit au dénominateur. Passons en revue la règle appropriée. Si vous remplacez le signe d'une fraction par le signe du numérateur ou du dénominateur, vous obtenez une fraction identique à l'original. L'énoncé écrit correspond aux égalités et .

Il n'est pas difficile de prouver ces égalités. La preuve est basée sur les propriétés de la multiplication des nombres. Prouvons le premier d'entre eux : . A l'aide de transformations similaires, l'égalité est également prouvée.

Par exemple, une fraction peut être remplacée par une expression ou .

Pour conclure cette sous-section, nous présentons deux égalités plus utiles et . Autrement dit, si vous modifiez uniquement le signe du numérateur ou uniquement le dénominateur, la fraction changera de signe. Par example, et .

Les transformations considérées, qui permettent de changer le signe des termes d'une fraction, sont souvent utilisées lors de la transformation d'expressions fractionnellement rationnelles.

Réduction des fractions rationnelles

La transformation suivante de fractions rationnelles, appelée réduction de fractions rationnelles, est basée sur la même propriété de base d'une fraction. Cette transformation correspond à l'égalité , où a , b et c sont des polynômes, et b et c sont non nuls.

De l'égalité ci-dessus, il devient clair que la réduction d'une fraction rationnelle implique de se débarrasser du facteur commun dans son numérateur et son dénominateur.

Exemple.

Réduire la fraction rationnelle.

Décision.

Le facteur commun 2 est immédiatement visible, réduisons-le (lors de l'écriture, il convient de barrer les facteurs communs par lesquels la réduction est faite). Nous avons . Puisque x 2 \u003d x x et y 7 \u003d y 3 y 4 (voir si nécessaire), il est clair que x est un facteur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction résultante, comme y 3 . Réduisons par ces facteurs: . Ceci termine la réduction.

Ci-dessus, nous avons effectué la réduction d'une fraction rationnelle de manière séquentielle. Et il était possible d'effectuer la réduction en une étape, en réduisant immédiatement la fraction de 2·x·y 3 . Dans ce cas, la solution ressemblerait à ceci : .

Répondre:

Lors de la réduction de fractions rationnelles, le principal problème est que le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas toujours visible. De plus, il n'existe pas toujours. Afin de trouver un facteur commun ou de s'assurer qu'il n'existe pas, vous devez factoriser le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle. S'il n'y a pas de facteur commun, la fraction rationnelle d'origine n'a pas besoin d'être réduite, sinon la réduction est effectuée.

Dans le processus de réduction des fractions rationnelles, il peut survenir diverses nuances. Les principales subtilités avec exemples et détails sont abordées dans l'article réduction de fractions algébriques.

Concluant la conversation sur la réduction des fractions rationnelles, nous notons que cette transformation est identique, et la principale difficulté dans sa mise en œuvre réside dans la factorisation des polynômes au numérateur et au dénominateur.

Représentation d'une fraction rationnelle comme une somme de fractions

Tout à fait spécifique, mais dans certains cas très utile, est la transformation d'une fraction rationnelle, qui consiste en sa représentation comme la somme de plusieurs fractions, ou la somme d'une expression entière et d'une fraction.

Une fraction rationnelle, dans le numérateur de laquelle il y a un polynôme, qui est la somme de plusieurs monômes, peut toujours être écrite comme la somme de fractions avec mêmes dénominateurs, dont les numérateurs contiennent les monômes correspondants. Par example, . Cette représentation s'explique par la règle d'addition et de soustraction de fractions algébriques de mêmes dénominateurs.

En général, toute fraction rationnelle peut être représentée comme une somme de fractions de différentes manières. Par exemple, la fraction a/b peut être représentée comme la somme de deux fractions - une fraction arbitraire c/d et une fraction égale à la différence entre les fractions a/b et c/d. Cette affirmation est vraie puisque l'égalité . Par exemple, une fraction rationnelle peut être représentée comme une somme de fractions différentes façons: Nous représentons la fraction originale comme la somme d'une expression entière et d'une fraction. Après avoir divisé le numérateur par le dénominateur par une colonne, on obtient l'égalité . La valeur de l'expression n 3 +4 pour tout entier n est un entier. Et la valeur d'une fraction est un entier si et seulement si son dénominateur est 1, −1, 3 ou −3. Ces valeurs correspondent respectivement aux valeurs n=3, n=1, n=5 et n=-1.

Répondre:

−1 , 1 , 3 , 5 .

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