Élever une fraction à un cube. Élever une fraction algébrique à une puissance

Il est temps de vous familiariser avec érection fraction algébriqueà un degré. Cette action avec des fractions algébriques, en termes de degré, se réduit à la multiplication fractions identiques. Dans cet article, nous donnerons la règle correspondante et considérerons des exemples d'élévation de fractions algébriques à des puissances naturelles.

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La règle d'élever une fraction algébrique à une puissance, sa preuve

Avant de parler d'élever une fraction algébrique à une puissance, il ne fait pas de mal de se rappeler quel est le produit des mêmes facteurs qui se trouvent à la base du degré, et leur nombre est déterminé par l'indicateur. Par exemple, 2 3 =2 2 2=8 .

Et maintenant, rappelons-nous la règle d'élever à la puissance d'une fraction ordinaire - pour cela, vous devez élever séparément le numérateur à la puissance indiquée, et séparément le dénominateur. Par exemple, . Cette règle s'applique à l'élévation d'une fraction algébrique à une puissance naturelle.

Élever une fraction algébrique à une puissance naturelle donne une nouvelle fraction, au numérateur dont est le degré spécifié du numérateur de la fraction d'origine, et au dénominateur - le degré du dénominateur. Sous forme littérale, cette règle correspond à l'égalité , où a et b sont des polynômes arbitraires (dans des cas particuliers, des monômes ou des nombres), et b est un polynôme non nul, et n est .

La preuve de la règle vocale pour élever une fraction algébrique à une puissance est basée sur la définition d'un degré avec un exposant naturel et sur la façon dont nous avons défini la multiplication des fractions algébriques : .

Exemples, Solutions

La règle obtenue au paragraphe précédent réduit l'élévation d'une fraction algébrique à une puissance à élever le numérateur et le dénominateur de la fraction d'origine à cette puissance. Et puisque le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique d'origine sont des polynômes (dans le cas particulier, des monômes ou des nombres), la tâche initiale se réduit à élever les polynômes à une puissance. Après avoir effectué cette action, une nouvelle fraction algébrique sera obtenue, identiquement égale au degré spécifié de la fraction algébrique d'origine.

Jetons un coup d'œil à quelques exemples.

Exemple.

Mettre au carré une fraction algébrique.

Solution.

Écrivons le diplôme. Passons maintenant à la règle pour élever une fraction algébrique à une puissance, elle nous donne l'égalité . Il reste à convertir la fraction résultante sous la forme d'une fraction algébrique en élevant les monômes à une puissance. Alors .

Habituellement, lors de l'élévation d'une fraction algébrique à une puissance, le cours de la solution n'est pas expliqué et la solution est écrite brièvement. Notre exemple correspond à l'enregistrement .

Répondre:

.

Lorsque des polynômes, en particulier des binômes, sont au numérateur et / ou au dénominateur d'une fraction algébrique, alors lors de son élévation à une puissance, il est conseillé d'utiliser les formules de multiplication abrégées correspondantes.

Exemple.

Élever une fraction algébrique au second degré.

Solution.

Par la règle d'élever une fraction à une puissance, on a .

Pour transformer l'expression résultante au numérateur, on utilise formule de la différence au carré, et au dénominateur - la formule du carré de la somme de trois termes :

Répondre:

En conclusion, notons que si nous élevons une fraction algébrique irréductible à une puissance naturelle, alors le résultat sera également une fraction irréductible. Si la fraction d'origine est réductible, alors avant de l'élever à une puissance, il convient de réduire la fraction algébrique pour ne pas effectuer la réduction après élévation à une puissance.

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour 8 cellules. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; éd. S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019243-9.
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• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques): Proc. indemnité.- M.; Plus haute scolaire, 1984.-351 p., ill.

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Dans la continuité de la conversation sur le degré d'un nombre, il est logique de s'occuper de trouver la valeur du degré. Ce procédé a été nommé exponentiation. Dans cet article, nous allons juste étudier comment s'effectue l'exponentiation, en abordant tous les exposants possibles - naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et par tradition, nous examinerons en détail les solutions aux exemples d'augmentation des nombres à divers degrés.

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Que signifie "exponentiation" ?

Commençons par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition pertinente.

Définition.

Exponentation est de trouver la valeur de la puissance d'un nombre.

Ainsi, trouver la valeur de la puissance de a avec l'exposant r et élever le nombre a à la puissance de r revient au même. Par exemple, si la tâche est « calculer la valeur de la puissance (0,5) 5 », alors elle peut être reformulée comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».

Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.

Élever un nombre à une puissance naturelle

En pratique, l'égalité basée sur s'applique généralement sous la forme . Autrement dit, lors de l'élévation du nombre a à une puissance fractionnaire m / n, la racine du nième degré du nombre a est d'abord extraite, après quoi le résultat est élevé à une puissance entière m.

Envisagez des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.

Exemple.

Calculez la valeur du degré.

Solution.

Nous montrons deux solutions.

Première voie. Par définition de degré avec un exposant fractionnaire. Nous calculons la valeur du degré sous le signe de la racine, après quoi nous extrayons racine cubique: .

La deuxième façon. Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et sur la base des propriétés des racines, les égalités sont vraies . Maintenant, extrayez la racine Enfin, on élève à une puissance entière .

Évidemment, les résultats obtenus de l'élévation à une puissance fractionnaire coïncident.

Répondre:

Notez que l'exposant fractionnaire peut être écrit sous la forme d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire, dans ces cas, il doit être remplacé par la fraction ordinaire correspondante, puis l'exponentiation doit être effectuée.

Exemple.

Calculer (44,89) 2,5 .

Solution.

Nous écrivons l'exposant sous la forme d'une fraction ordinaire (si nécessaire, voir l'article): . Maintenant, nous effectuons une élévation à une puissance fractionnaire :

Répondre:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Il faut également dire que l'élévation des nombres à des puissances rationnelles est un processus assez laborieux (surtout lorsque le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire contiennent suffisamment gros chiffres), qui est généralement effectuée à l'aide de la technologie informatique.

En conclusion de ce paragraphe, nous nous attarderons sur la construction du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné la signification suivante au degré fractionnaire de zéro de la forme : car nous avons , tandis que zéro à la puissance m/n n'est pas défini. Donc zéro à une puissance fractionnaire positive zéro, par exemple, . Et zéro dans une puissance négative fractionnaire n'a pas de sens, par exemple, les expressions et 0 -4,3 n'ont pas de sens.

Élever à une puissance irrationnelle

Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur du degré d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, à des fins pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du diplôme jusqu'à un certain signe. Notons d'emblée que cette valeur est calculée en pratique à l'aide de la technologie informatique électronique, puisque portant à ir degré rationnel nécessite manuellement un grand nombre calculs fastidieux. Cependant, nous décrirons de façon générale essence de l'action.

Pour obtenir une valeur approximative de la puissance de a avec indicateur irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de l'exposant est calculée. Cette valeur est la valeur approchée du degré du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l'approximation décimale d'un nombre est précise au départ, plus valeur exacte diplôme sera obtenu à la fin.

A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1.174367... . Prenons l'approximation décimale suivante d'un indicateur irrationnel : . Maintenant, nous élevons 2 à une puissance rationnelle de 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈ 2,250116. De cette façon, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si nous prenons une approximation décimale plus précise d'un exposant irrationnel, par exemple, , alors nous obtenons une valeur plus précise du degré d'origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Manuel de mathématiques Zh pour 5 cellules. les établissements d'enseignement.
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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques).

La leçon considérera une version plus généralisée de la multiplication des fractions - c'est l'exponentiation. Tout d'abord, nous parlerons du degré naturel de la fraction et d'exemples qui démontrent des actions similaires avec des fractions. Au début de la leçon, également, nous répéterons l'élévation à une puissance naturelle des expressions entières et verrons comment cela est utile pour résoudre d'autres exemples.

Sujet : Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon : Elever une fraction algébrique à une puissance

1. Règles pour élever des fractions et des expressions entières à des puissances naturelles avec des exemples élémentaires

La règle pour élever des fractions ordinaires et algébriques à des puissances naturelles :

Vous pouvez faire une analogie avec le degré d'une expression entière et vous rappeler ce que signifie l'élever à une puissance :

Exemple 1 .

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, élever une fraction à une puissance est cas particulier multiplication de fractions, qui a été étudiée dans la leçon précédente.

Exemple 2. a), b) - moins s'en va, car nous avons élevé l'expression à une puissance paire.

Pour la commodité de travailler avec des degrés, nous rappelons les règles de base pour élever à une puissance naturelle :

- produit de degrés ;

- division des diplômes;

Élever un degré à une puissance;

Le degré du travail.

Exemple 3. - cela nous est connu depuis le sujet "Elever à la puissance des expressions entières", sauf un cas : il n'existe pas.

2. Les exemples les plus simples pour élever des fractions algébriques à des puissances naturelles

Exemple 4. Elever une fraction à une puissance.

Solution. Lorsqu'il est élevé à une puissance paire, moins s'en va :

Exemple 5. Élever une fraction à une puissance.

Solution. Maintenant, nous utilisons les règles pour élever un degré à une puissance immédiatement sans calendrier séparé :

.

Considérons maintenant les tâches combinées dans lesquelles nous devrons élever des fractions à une puissance, les multiplier et les diviser.

Exemple 6 : Effectuer des actions.

Solution. . Ensuite, vous devez faire une réduction. Nous décrirons une fois en détail comment nous allons procéder, puis nous indiquerons immédiatement le résultat par analogie :. De même (ou selon la règle de division des degrés). Nous avons: .

Exemple 7 : Effectuer des actions.

Solution. . La réduction s'effectue par analogie avec l'exemple évoqué précédemment.

Exemple 8 : Effectuer des actions.

Solution. . DANS cet exemple nous avons à nouveau décrit plus en détail le processus de réduction des puissances en fractions afin de consolider cette méthode.

3. Exemples plus complexes pour élever des fractions algébriques à des puissances naturelles (en tenant compte des signes et avec des termes entre parenthèses)

Exemple 9 : Effectuer des actions .

Solution. Dans cet exemple, nous allons déjà ignorer la multiplication séparée des fractions et utiliser immédiatement la règle pour leur multiplication et l'écrire sous un dénominateur. En même temps, nous suivons les signes - dans ce cas, les fractions sont élevées à des puissances paires, donc les moins disparaissent. Faisons une réduction à la fin.

Exemple 10 : Effectuer des actions .

Solution. Dans cet exemple, il y a une division de fractions, rappelons que dans ce cas la première fraction est multipliée par la seconde, mais inversée.

Le sujet se résume au fait que nous devons multiplier des fractions identiques. Cet article vous indiquera quelle règle vous devez utiliser pour élever correctement des fractions algébriques à des puissances naturelles.

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La règle pour élever une fraction algébrique à une puissance, sa preuve

Avant de commencer à élever à une puissance, vous devez approfondir vos connaissances à l'aide d'un article sur un diplôme avec un indicateur naturel, où il existe un produit des mêmes facteurs qui sont à la base du diplôme, et leur nombre est déterminée par l'indicateur. Par exemple, le nombre 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Lors d'une élévation à une puissance, on utilise le plus souvent la règle. Pour ce faire, augmentez séparément le numérateur et le dénominateur séparément. Prenons l'exemple 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . La règle s'applique à l'élévation d'une fraction à une puissance naturelle.

À élever une fraction algébrique à une puissance naturelle nous en obtenons un nouveau, où le numérateur a le degré de la fraction originale et le dénominateur a le degré du dénominateur. Tout cela est de la forme a b n = a n b n , où a et b sont des polynômes arbitraires, b est non nul et n est un nombre naturel.

La preuve de cette règle s'écrit sous la forme d'une fraction, qui doit être élevée à une puissance, basée sur la définition elle-même avec un indicateur naturel. Ensuite, nous obtenons la multiplication de fractions de la forme a b n = a b · a b · . . . · une b = une · une · . . . · un b · b · . . . b = une n b n

Exemples, Solutions

La règle pour élever une fraction algébrique à une puissance est exécutée séquentiellement : d'abord le numérateur, puis le dénominateur. Lorsqu'il y a un polynôme dans le numérateur et le dénominateur, la tâche elle-même sera réduite à élever le polynôme donné à une puissance. Après cela, une nouvelle fraction sera indiquée, qui est égale à celle d'origine.

Exemple 1

Quadrature de la fraction x 2 3 y z 3

Solution

Il faut fixer le degré x 2 3 · y · z 3 2 . Selon la règle d'élever une fraction algébrique à une puissance, on obtient une égalité de la forme x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Il faut maintenant convertir la fraction résultante en une forme algébrique par exponentiation. On obtient alors une expression de la forme

X 2 2 3 y z 3 2 = X 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = X 4 9 y 2 z 6

Tous les cas d'exponentiation ne nécessitent pas d'explication détaillée, de sorte que la solution elle-même a un court enregistrement. C'est-à-dire que nous obtenons que

X 2 3 y z 3 2 = X 2 2 3 y z 3 2 = X 4 9 y 2 z 6

Répondre: X 2 3 y z 3 2 = X 4 9 y 2 z 6 .

Si le numérateur et le dénominateur ont des polynômes, il est alors nécessaire d'élever la fraction entière à une puissance, puis d'appliquer les formules de multiplication abrégées pour la simplifier.

Exemple 2

Mettez au carré la fraction 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Solution

De la règle, nous avons que

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Pour convertir l'expression, vous devez utiliser la formule du carré de la somme de trois termes au dénominateur et au numérateur - le carré de la différence, ce qui simplifiera l'expression. On a:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 xy + 2 x 2 (- y ) + 2 3 xy - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Répondre: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Notez qu'en élevant une fraction que nous ne pouvons pas réduire à une puissance naturelle, nous obtenons également une fraction irréductible. Cela ne facilite pas la résolution ultérieure. Lorsqu'une fraction donnée peut être réduite, puis lorsqu'elle est exponentielle, on trouve qu'il est nécessaire d'effectuer la réduction de la fraction algébrique, afin d'éviter d'effectuer la réduction après élévation à la puissance.

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Nous avons compris ce qu'est le degré d'un nombre en général. Maintenant, nous devons comprendre comment le calculer correctement, c'est-à-dire élever les nombres aux puissances. Dans ce matériel, nous analyserons les règles de base pour calculer le degré dans le cas d'un exposant entier, naturel, fractionnaire, rationnel et irrationnel. Toutes les définitions seront illustrées par des exemples.

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Le concept d'exponentiation

Commençons par la formulation des définitions de base.

Définition 1

Exponentation est le calcul de la valeur de la puissance d'un certain nombre.

C'est-à-dire que les mots "calcul de la valeur du degré" et "exponentiation" signifient la même chose. Ainsi, si la tâche est "Élever le nombre 0 , 5 à la puissance cinq", cela doit être compris comme "calculer la valeur de la puissance (0 , 5) 5 .

Nous donnons maintenant les règles de base qui doivent être suivies dans de tels calculs.

Rappelez-vous ce qu'est une puissance d'un nombre avec un exposant naturel. Pour une puissance de base a et d'exposant n, ce sera le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal à a. Cela peut être écrit comme ceci :

Pour calculer la valeur du degré, vous devez effectuer l'opération de multiplication, c'est-à-dire multiplier les bases du degré le nombre de fois spécifié. Le concept même d'un diplôme avec un indicateur naturel est basé sur la capacité à se multiplier rapidement. Donnons des exemples.

Exemple 1

Condition : Relancez - 2 à la puissance 4 .

Solution

En utilisant la définition ci-dessus, on écrit : (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ensuite, nous avons juste besoin de suivre ces étapes et d'obtenir 16 .

Prenons un exemple plus compliqué.

Exemple 2

Calculer la valeur 3 2 7 2

Solution

Cette entrée peut être réécrite sous la forme 3 2 7 · 3 2 7 . Plus tôt, nous avons vu comment multiplier correctement les nombres mixtes mentionnés dans la condition.

Effectuez ces étapes et obtenez la réponse : 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Si la tâche indique la nécessité d'élever des nombres irrationnels à une puissance naturelle, nous devrons d'abord arrondir leurs bases à un chiffre qui nous permettra d'obtenir une réponse de la précision souhaitée. Prenons un exemple.

Exemple 3

Effectuez la quadrature du nombre π .

Solution

Commençons par arrondir au centième supérieur. Alors π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Si π ≈ 3 . 14159, alors nous obtiendrons un résultat plus précis : π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Notez que la nécessité de calculer les puissances des nombres irrationnels dans la pratique se pose relativement rarement. On peut alors écrire la réponse sous la forme de la puissance elle-même (ln 6) 3 ou convertir si possible : 5 7 = 125 5 .

Séparément, il convient d'indiquer quelle est la première puissance d'un nombre. Ici, vous pouvez simplement vous rappeler que tout nombre élevé à la première puissance restera lui-même :

Cela ressort clairement du dossier. .

Cela ne dépend pas de la base du diplôme.

Exemple 4

Ainsi, (− 9) 1 = − 9 , et 7 3 élevé à la première puissance reste égal à 7 3 .

Par commodité, nous analyserons séparément trois cas : si l'exposant est un entier positif, s'il est nul et s'il est un entier négatif.

Dans le premier cas, cela revient à élever à une puissance naturelle : après tout, les entiers positifs appartiennent à l'ensemble des nombres naturels. Nous avons déjà décrit comment travailler avec de tels diplômes ci-dessus.

Voyons maintenant comment monter correctement à la puissance zéro. Avec une base non nulle, ce calcul produit toujours une sortie de 1 . Nous avons expliqué précédemment que la puissance 0 de a peut être définie pour tout nombre réel, non égal à 0 , et a 0 = 1 .

Exemple 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - non défini.

Il ne nous reste plus que le cas d'un degré avec un exposant entier négatif. Nous avons déjà expliqué que ces degrés peuvent être écrits sous la forme d'une fraction 1 a z, où a est un nombre quelconque et z est un entier négatif. On voit que le dénominateur de cette fraction n'est autre que diplôme ordinaire avec un entier positif, et nous avons déjà appris à le calculer. Donnons des exemples de tâches.

Exemple 6

Élevez 3 à la puissance -2.

Solution

En utilisant la définition ci-dessus, on écrit : 2 - 3 = 1 2 3

Nous calculons le dénominateur de cette fraction et obtenons 8 : 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Alors la réponse est : 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemple 7

Élevez 1, 43 à la puissance -2.

Solution

Reformuler : 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

On calcule le carré au dénominateur : 1,43 1,43. Les décimales peuvent être multipliées de cette façon :

En conséquence, nous avons obtenu (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Il nous reste à écrire ce résultat sous la forme d'une fraction ordinaire, pour laquelle il faut le multiplier par 10 mille (voir le matériel sur la conversion des fractions).

Réponse : (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un cas distinct élève un nombre à la première puissance moins. La valeur d'un tel degré est égale au nombre opposé à la valeur d'origine de la base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemple 8

Exemple : 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Comment élever un nombre à une puissance fractionnaire

Pour effectuer une telle opération, nous devons rappeler la définition de base d'un degré avec un exposant fractionnaire: a m n \u003d a m n pour tout a positif, entier m et n naturel.

Définition 2

Ainsi, le calcul d'un degré fractionnaire doit être effectué en deux étapes : élever à une puissance entière et trouver la racine du nième degré.

Nous avons l'égalité a m n = a m n , qui, compte tenu des propriétés des racines, est généralement utilisée pour résoudre des problèmes sous la forme a m n = a n m . Cela signifie que si nous élevons le nombre a à une puissance fractionnaire m / n, alors nous extrayons d'abord la racine du nième degré de a, puis nous élevons le résultat à une puissance avec un exposant entier m.

Illustrons par un exemple.

Exemple 9

Calculez 8 - 2 3 .

Solution

Méthode 1. Selon la définition de base, nous pouvons représenter cela comme suit : 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Calculons maintenant le degré sous la racine et extrayons la troisième racine du résultat : 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Méthode 2. Transformons l'égalité de base: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Après cela, nous extrayons la racine 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 et mettons le résultat au carré : 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

On voit que les solutions sont identiques. Vous pouvez utiliser comme vous le souhaitez.

Il existe des cas où le degré a un indicateur exprimé sous la forme d'un nombre fractionnaire ou d'une fraction décimale. Pour faciliter le calcul, il est préférable de le remplacer par une fraction ordinaire et de compter comme indiqué ci-dessus.

Exemple 10

Élevez 44,89 à la puissance de 2,5.

Solution

Convertir la valeur de l'indicateur en fraction commune - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Et maintenant nous effectuons toutes les actions indiquées ci-dessus dans l'ordre : 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Réponse : 13501, 25107.

S'il y a de grands nombres dans le numérateur et le dénominateur d'un exposant fractionnaire, le calcul de ces exposants avec des exposants rationnels est une tâche plutôt difficile. Cela nécessite généralement une technologie informatique.

Séparément, nous nous attardons sur le degré avec une base nulle et un exposant fractionnaire. Une expression de la forme 0 m n peut avoir la signification suivante : si m n > 0, alors 0 m n = 0 m n = 0 ; si m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Comment élever un nombre à une puissance irrationnelle

La nécessité de calculer la valeur du degré, dans l'indicateur duquel il y a un nombre irrationnel, ne se pose pas si souvent. En pratique, la tâche se limite généralement à calculer une valeur approchée (jusqu'à un certain nombre de décimales). Celui-ci est généralement calculé sur ordinateur en raison de la complexité de tels calculs, nous ne nous attarderons donc pas sur cela en détail, nous indiquerons uniquement les principales dispositions.

Si nous devons calculer la valeur du degré a avec un exposant irrationnel a , nous prenons l'approximation décimale de l'exposant et comptons à partir de celui-ci. Le résultat sera une réponse approximative. Plus l'approximation décimale prise est précise, plus la réponse est précise. Montrons avec un exemple :

Exemple 11

Calculez une valeur approximative de 21 , 174367 ....

Solution

Nous nous limitons à l'approximation décimale a n = 1 , 17 . Faisons les calculs en utilisant ce nombre : 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Si nous prenons, par exemple, l'approximation a n = 1 , 1743 , alors la réponse sera un peu plus précise : 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

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