Les équations quadratiques ne sont pas égales à zéro. Équations du second degré

Seulement. Selon des formules et des règles simples claires. Au premier stade

il est nécessaire de mettre l'équation donnée sous la forme standard, c'est-à-dire à la vue :

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape. La chose la plus importante est juste

déterminer tous les coefficients un, b et c.

Formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant . Comme vous pouvez le voir, pour trouver x, nous

utiliser seulement a, b et c. Ceux. chances de équation quadratique. Insérez juste soigneusement

valeurs un, b et c dans cette formule et compter. Remplacer par leur panneaux!

par exemple, dans l'équation :

un =1; b = 3; c = -4.

Remplacez les valeurs et écrivez :

Exemple presque résolu :

C'est la réponse.

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les signes de valeurs un B et avec. Plutôt, avec substitution

valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ici, la formule détaillée enregistre

avec des numéros spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, faites-le !

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Nous peignons tout en détail, avec soin, sans rien manquer avec tous les signes et supports :

Souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d'erreurs.

Première réception. Ne soyez pas paresseux avant résoudre une équation quadratique amenez-le à la forme standard.

Qu'est-ce que ça veut dire?

Supposons qu'après toutes les transformations, vous obteniez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule des racines ! Vous mélangerez presque certainement les chances a, b et c.

Construisez l'exemple correctement. D'abord x au carré, puis sans carré, puis un membre libre. Comme ça:

Débarrassez-vous du moins. Comment? Nous devons multiplier l'équation entière par -1. On a:

Et maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et compléter l'exemple.

Décidez vous-même. Vous devriez vous retrouver avec les racines 2 et -1.

Deuxième réception. Vérifiez vos racines ! Par Théorème de Vieta.

Pour résoudre les équations quadratiques données, c'est-à-dire si le coefficient

x2+bx+c=0,

alorsx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pour une équation quadratique complète dans laquelle a≠1:

x2 +bx+c=0,

diviser toute l'équation par un:

→ →

où x1 et X 2 - racines de l'équation.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multiplier

équation pour un dénominateur commun.

Conclusion. Conseils pratiques :

1. Avant de résoudre, nous apportons l'équation quadratique à la forme standard, la construisons à droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant le x dans le carré, on l'élimine en multipliant tout

équations pour -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, nous éliminons les fractions en multipliant l'équation entière par le

facteur.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par

Formules pour les racines d'une équation quadratique. Les cas de racines réelles, multiples et complexes sont considérés. Factorisation d'un trinôme carré. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de factorisation.

Formules de base

Considérez l'équation quadratique:
(1) .
Les racines d'une équation quadratique(1) sont déterminés par les formules :
; .
Ces formules peuvent être combinées comme ceci :
.
Lorsque les racines de l'équation quadratique sont connues, alors le polynôme du second degré peut être représenté comme un produit de facteurs (factorisé):
.

De plus, nous supposons que sont des nombres réels.
Considérer discriminant d'une équation quadratique:
.
Si le discriminant est positif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles différentes :
; .
Alors la factorisation du trinôme carré a la forme :
.
Si le discriminant est nul, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles multiples (égales) :
.
Factorisation :
.
Si le discriminant est négatif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines complexes conjuguées :
;
.
Voici l'unité imaginaire, ;
et sont les parties réelles et imaginaires des racines :
; .
Puis

.

Interprétation graphique

Si on représente graphiquement la fonction
,
qui est une parabole, alors les points d'intersection du graphique avec l'axe seront les racines de l'équation
.
Lorsque , le graphique coupe l'axe des abscisses (axe) en deux points.
Lorsque , le graphique touche l'axe des x en un point.
Lorsque , le graphique ne croise pas l'axe des x.

Vous trouverez ci-dessous des exemples de tels graphiques.

Formules utiles liées à l'équation quadratique

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

On effectue des transformations et on applique les formules (f.1) et (f.3) :




,
où
; .

Ainsi, nous avons obtenu la formule du polynôme du second degré sous la forme :
.
De là, on peut voir que l'équation

effectué à
et .
Autrement dit, et sont les racines de l'équation quadratique
.

Exemples de détermination des racines d'une équation quadratique

Exemple 1

(1.1) .

Décision

.
En comparant avec notre équation (1.1), on trouve les valeurs des coefficients :
.
Trouver le discriminant :
.
Le discriminant étant positif, l'équation a deux racines réelles :
;
;
.

De là on obtient la décomposition du trinôme carré en facteurs :

.

Graphique de la fonction y = 2 x 2 + 7 x + 3 coupe l'axe des abscisses en deux points.

Traçons la fonction
.
Le graphe de cette fonction est une parabole. Il croise l'axe des x (axe) en deux points :
et .
Ces points sont les racines de l'équation originale (1.1).

Répondre

;
;
.

Exemple 2

Trouver les racines d'une équation quadratique :
(2.1) .

Décision

On écrit l'équation quadratique sous forme générale :
.
En comparant avec l'équation originale (2.1), on trouve les valeurs des coefficients :
.
Trouver le discriminant :
.
Puisque le discriminant est nul, l'équation a deux racines multiples (égales) :
;
.

Alors la factorisation du trinôme a la forme :
.

Graphique de la fonction y = x 2 - 4 fois + 4 touche l'axe des x en un point.

Traçons la fonction
.
Le graphe de cette fonction est une parabole. Il touche l'axe des x (axe) en un point :
.
Ce point est la racine de l'équation originale (2.1). Puisque cette racine est factorisée deux fois :
,
alors une telle racine est appelée un multiple. C'est-à-dire qu'ils considèrent qu'il y a deux racines égales :
.

Répondre

;
.

Exemple 3

Trouver les racines d'une équation quadratique :
(3.1) .

Décision

On écrit l'équation quadratique sous forme générale :
(1) .
Réécrivons l'équation originale (3.1):
.
En comparant avec (1), on trouve les valeurs des coefficients :
.
Trouver le discriminant :
.
Le discriminant est négatif, . Par conséquent, il n'y a pas de véritables racines.

Vous pouvez trouver des racines complexes :
;
;
.

Puis


.

Le graphique de la fonction ne croise pas l'axe des abscisses. Il n'y a pas de vraies racines.

Traçons la fonction
.
Le graphe de cette fonction est une parabole. Il ne croise pas l'abscisse (axe). Par conséquent, il n'y a pas de véritables racines.

Répondre

Il n'y a pas de vraies racines. Racines complexes :
;
;
.

Équation quadratique - facile à résoudre ! *Plus loin dans le texte "KU". Amis, il semblerait qu'en mathématiques, cela puisse être plus facile que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens avaient des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions Yandex donne par demande et par mois. Voici ce qui s'est passé, jetez un oeil:

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes par mois recherchent ces informations, et c'est l'été, et ce qui se passera pendant l'année scolaire - il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car ces gars et ces filles qui ont longtemps obtenu leur diplôme et se préparent à l'examen recherchent ces informations, et les écoliers essaient également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui expliquent comment résoudre cette équation, j'ai également décidé de contribuer et de publier le matériel. Tout d'abord, je veux que les visiteurs viennent sur mon site sur cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le discours «KU» apparaîtra, je donnerai un lien vers cet article; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est généralement indiqué sur d'autres sites. Commençons! Le contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients a,bet avec des nombres arbitraires, avec a≠0.

Dans le cours scolaire, le matériel est donné sous la forme suivante - la division des équations en trois classes se fait conditionnellement:

1. Avoir deux racines.

2. * Avoir une seule racine.

3. N'ont pas de racines. Il convient de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment les racines sont-elles calculées ? Seulement!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot "terrible" se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Ces formules doivent être connues par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et résoudre:

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

A cette occasion, lorsque le discriminant est nul, le cours de l'école dit qu'une racine est obtenue, ici elle est égale à neuf. C'est vrai, ça l'est, mais...

Cette représentation est quelque peu erronée. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne soyez pas surpris, il s'avère que deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, alors deux racines doivent être écrites dans la réponse :

x 1 = 3 x 2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l'école, vous pouvez écrire et dire qu'il n'y a qu'une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d'un nombre négatif n'est pas extraite, il n'y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Voici à quoi ressemble la solution géométriquement. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution d'une inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c sont des nombres donnés, où a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s'avère qu'en résolvant une équation quadratique avec "y" égal à zéro, nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Il peut y avoir deux de ces points (le discriminant est positif), un (le discriminant est nul) ou aucun (le discriminant est négatif). En savoir plus sur la fonction quadratique Vous pouvez voir article d'Inna Feldman.

Prenons des exemples :

Exemple 1 : Décider 2x 2 +8 X–192=0

un=2 b=8 c= -192

ré = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = -12

* Vous pouvez immédiatement diviser les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

un=1 b=-22 c=121

ré = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons obtenu que x 1 \u003d 11 et x 2 \u003d 11

Dans la réponse, il est permis d'écrire x = 11.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x 2 –8x+72 = 0

un=1 b= -8 c=72

ré = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n'y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Ici, nous parlerons de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Savez-vous quelque chose sur les nombres complexes ? Je n'entrerai pas dans les détails ici sur pourquoi et où ils sont apparus et quel est leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques, c'est un sujet pour un grand article séparé.

Notion de nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est l'unité dite imaginaire.

un+bi est un NOMBRE UNIQUE, pas une addition.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

Obtenez deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient "b" ou "c" est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils sont résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation prend la forme :

Transformons :

Exemple:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation prend la forme :

Transformer, factoriser :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l'équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

unX 2 + boîte+ c=0 égalité

un + b+ c = 0, alors

— si pour les coefficients de l'équation unX 2 + boîte+ c=0 égalité

un+ avec =b, alors

Ces propriétés aident à résoudre un certain type d'équation.

Exemple 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somme des coefficients est 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, donc

Exemple 2 : 2501 X 2 +2507 X+6=0

Égalité un+ avec =b, moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c \u003d 0 le coefficient "b" est (a 2 +1) et que le coefficient "c" est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 + (une 2 +1) ∙ X + une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a X 2 \u003d -1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 - bx + c \u003d 0, le coefficient "b" est (a 2 +1) et le coefficient "c" est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 - (une 2 + 1) ∙ X + une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d une X 2 \u003d 1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation ax 2 + bx - c = 0 coefficient "b" est égal à (a 2 – 1), et le coefficient « c » numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 -1) ∙ X - une \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d - une X 2 \u003d 1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 - bx - c \u003d 0, le coefficient "b" est égal à (a 2 - 1) et que le coefficient c est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 - (une 2 -1) ∙ X - une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d une X 2 \u003d - 1 / une.

Exemple. Considérez l'équation 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta porte le nom du célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, on peut exprimer la somme et le produit des racines d'un KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

En somme, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont les racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre de nombreuses équations quadratiques immédiatement oralement.

Théorème de Vieta, d'ailleurs. pratique car après avoir résolu l'équation quadratique de la manière habituelle (par le discriminant), les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de le faire tout le temps.

MÉTHODE DE TRANSFERT

Avec cette méthode, le coefficient "a" est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était "transféré", c'est pourquoi on l'appelle méthode de transfert. Cette méthode est utilisée lorsqu'il est facile de trouver les racines d'une équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si un un± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Selon le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Les racines obtenues de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été "jetées" de x 2), on obtient

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Quelle est la justification? Voyez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont :

Si vous regardez les racines des équations, seuls différents dénominateurs sont obtenus et le résultat dépend précisément du coefficient en x 2:

Les deuxièmes racines (modifiées) sont 2 fois plus grandes.

Nous divisons donc le résultat par 2.

*Si nous obtenons un brelan, nous divisons le résultat par 3, et ainsi de suite.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

m² ur-ie et l'examen.

Je parlerai brièvement de son importance - VOUS DEVRIEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et du discriminant. De nombreuses tâches faisant partie des tâches USE consistent à résoudre une équation quadratique (y compris géométrique).

Ce qui vaut la peine d'être noté !

1. La forme de l'équation peut être "implicite". Par exemple, l'entrée suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez l'amener sous une forme standard (afin de ne pas vous tromper lors de la résolution).

2. Rappelez-vous que x est une valeur inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.

Ce sujet peut sembler compliqué au premier abord en raison des nombreuses formules pas si simples. Non seulement les équations quadratiques elles-mêmes ont de longues entrées, mais les racines se trouvent également à travers le discriminant. Il y a trois nouvelles formules au total. Pas très facile à retenir. Ceci n'est possible qu'après la résolution fréquente de telles équations. Ensuite, toutes les formules seront mémorisées par elles-mêmes.

Vue générale de l'équation quadratique

Ici, leur notation explicite est proposée, lorsque le plus grand degré est écrit en premier, puis - dans l'ordre décroissant. Il y a souvent des situations où les termes sont distincts. Il est alors préférable de réécrire l'équation dans l'ordre décroissant du degré de la variable.

Introduisons la notation. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Si l'on accepte ces notations, toutes les équations quadratiques se réduisent à la notation suivante.

De plus, le coefficient a ≠ 0. Soit cette formule désignée par le numéro un.

Lorsque l'équation est donnée, le nombre de racines dans la réponse n'est pas clair. Parce qu'une des trois options est toujours possible :

• la solution aura deux racines;
• la réponse sera un chiffre ;
• L'équation n'a aucune racine.

Et tant que la décision n'est pas prise à son terme, il est difficile de comprendre laquelle des options tombera dans un cas particulier.

Types d'enregistrements d'équations quadratiques

Les tâches peuvent avoir des entrées différentes. Ils ne ressembleront pas toujours à la formule générale d'une équation quadratique. Parfois, il manquera certains termes. Ce qui a été écrit ci-dessus est l'équation complète. Si vous supprimez le deuxième ou le troisième terme, vous obtenez quelque chose de différent. Ces enregistrements sont également appelés équations quadratiques, uniquement incomplètes.

De plus, seuls les termes pour lesquels les coefficients "b" et "c" peuvent disparaître. Le nombre "a" ne peut en aucun cas être égal à zéro. Parce que dans ce cas, la formule se transforme en une équation linéaire. Les formules pour la forme incomplète des équations seront les suivantes :

Ainsi, il n'y a que deux types, en plus des équations complètes, il existe également des équations quadratiques incomplètes. Soit la première formule numéro deux et la seconde numéro trois.

Le discriminant et la dépendance du nombre de racines à sa valeur

Ce nombre doit être connu afin de calculer les racines de l'équation. Elle peut toujours être calculée, quelle que soit la formule de l'équation quadratique. Pour calculer le discriminant, vous devez utiliser l'égalité écrite ci-dessous, qui aura le nombre quatre.

Après avoir remplacé les valeurs des coefficients dans cette formule, vous pouvez obtenir des nombres avec des signes différents. Si la réponse est oui, alors la réponse à l'équation sera deux racines différentes. Avec un nombre négatif, les racines de l'équation quadratique seront absentes. S'il est égal à zéro, la réponse sera un.

Comment résoudre une équation quadratique complète ?

En fait, l'examen de cette question a déjà commencé. Parce que vous devez d'abord trouver le discriminant. Après avoir clarifié qu'il existe des racines de l'équation quadratique et que leur nombre est connu, vous devez utiliser les formules pour les variables. S'il y a deux racines, vous devez appliquer une telle formule.

Puisqu'il contient le signe "±", il y aura deux valeurs. L'expression sous le signe de la racine carrée est le discriminant. Par conséquent, la formule peut être réécrite d'une manière différente.

Formule cinq. À partir du même enregistrement, on peut voir que si le discriminant est nul, alors les deux racines prendront les mêmes valeurs.

Si la solution des équations quadratiques n'a pas encore été élaborée, il est préférable d'écrire les valeurs de tous les coefficients avant d'appliquer les formules discriminantes et variables. Plus tard, ce moment ne causera pas de difficultés. Mais au tout début, il y a confusion.

Comment résoudre une équation quadratique incomplète ?

Tout est beaucoup plus simple ici. Même il n'y a pas besoin de formules supplémentaires. Et vous n'aurez pas besoin de ceux qui ont déjà été écrits pour le discriminant et l'inconnu.

Considérons d'abord l'équation incomplète numéro deux. Dans cette égalité, il est supposé sortir la valeur inconnue de la parenthèse et résoudre l'équation linéaire, qui restera entre parenthèses. La réponse aura deux racines. Le premier est nécessairement égal à zéro, car il existe un facteur constitué de la variable elle-même. La seconde est obtenue en résolvant une équation linéaire.

L'équation incomplète au numéro trois est résolue en transférant le nombre du côté gauche de l'équation vers la droite. Ensuite, vous devez diviser par le coefficient devant l'inconnu. Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée et n'oubliez pas de l'écrire deux fois avec des signes opposés.

Voici quelques actions qui vous aideront à apprendre à résoudre toutes sortes d'équations qui se transforment en équations quadratiques. Ils aideront l'élève à éviter les erreurs dues à l'inattention. Ces lacunes sont la cause de mauvaises notes lors de l'étude du vaste sujet "Équations quadriques (8e année)". Par la suite, ces actions n'auront pas besoin d'être constamment effectuées. Parce qu'il y aura une habitude stable.

• Vous devez d'abord écrire l'équation sous une forme standard. C'est-à-dire d'abord le terme avec le plus grand degré de la variable, puis - sans le degré et le dernier - juste un nombre.

• Si un moins apparaît avant le coefficient "a", cela peut compliquer le travail d'un débutant pour étudier les équations quadratiques. Il vaut mieux s'en débarrasser. A cet effet, toute égalité doit être multipliée par "-1". Cela signifie que tous les termes changeront de signe en sens contraire.

• De la même manière, il est recommandé de se débarrasser des fractions. Multipliez simplement l'équation par le facteur approprié pour que les dénominateurs s'annulent.

Exemples

Il est nécessaire de résoudre les équations quadratiques suivantes :

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0 ;

12x + x 2 + 36 = 0 ;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La première équation: x 2 - 7x \u003d 0. Elle est incomplète, elle est donc résolue comme décrit pour la formule numéro deux.

Après mise entre parenthèses, il s'avère: x (x - 7) \u003d 0.

La première racine prend la valeur : x 1 \u003d 0. La seconde se trouvera à partir de l'équation linéaire : x - 7 \u003d 0. Il est facile de voir que x 2 \u003d 7.

Deuxième équation : 5x2 + 30 = 0. Encore une fois incomplète. Seulement, il est résolu comme décrit pour la troisième formule.

Après avoir transféré 30 sur le côté droit de l'équation : 5x 2 = 30. Maintenant, vous devez diviser par 5. Il s'avère : x 2 = 6. Les réponses seront des nombres : x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Troisième équation : 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ici et ci-dessous, la solution des équations quadratiques commencera par les réécrire sous une forme standard : - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Il est maintenant temps d'utiliser la seconde astuce utile et multipliez tout par moins un. Il s'avère x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Selon la quatrième formule, vous devez calculer le discriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. C'est un nombre positif. D'après ce qui a été dit ci-dessus, il s'avère que l'équation a deux racines. Ils doivent être calculés selon la cinquième formule. Selon lui, il s'avère que x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Puis x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quatrième équation x 2 + 8 + 3x \u003d 0 est convertie en ceci : x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Son discriminant est égal à cette valeur : -23. Puisque ce nombre est négatif, la réponse à cette tâche sera l'entrée suivante : "Il n'y a pas de racines."

La cinquième équation 12x + x 2 + 36 = 0 doit être réécrite comme suit : x 2 + 12x + 36 = 0. Après application de la formule du discriminant, le nombre zéro est obtenu. Cela signifie qu'il aura une racine, à savoir: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sixième équation (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) nécessite des transformations, qui consistent dans le fait qu'il faut apporter des termes semblables, avant d'ouvrir les parenthèses. A la place de la première, il y aura une telle expression : x 2 + 2x + 1. Après l'égalité, cette entrée apparaîtra : x 2 + 3x + 2. Après le décompte des termes similaires, l'équation prendra la forme : x 2 - x \u003d 0. Il est devenu incomplet . Semblable à cela a déjà été considéré un peu plus haut. Les racines de ceci seront les nombres 0 et 1.

Dans la société moderne, la capacité de fonctionner avec des équations contenant une variable au carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée en pratique dans les développements scientifiques et techniques. Cela peut être démontré par la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. À l'aide de tels calculs, les trajectoires du mouvement de divers corps, y compris des objets spatiaux, sont déterminées. Des exemples avec la solution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais aussi dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de voyages de camping, lors d'événements sportifs, dans les magasins lors de vos achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en facteurs composants

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression donnée. S'il est égal à 2, alors une telle équation est appelée une équation quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors ces expressions, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être amenées à la forme lorsque le côté gauche de l'expression se compose de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme n'a pas l'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on l'appelle une équation quadratique incomplète. Des exemples avec la solution de tels problèmes, dans lesquels la valeur des variables n'est pas difficile à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l'expression semble avoir deux termes sur le côté droit de l'expression, plus précisément ax 2 et bx, il est plus facile de trouver x en mettant la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). De plus, il devient évident que soit x=0, soit le problème se réduit à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par une des propriétés de la multiplication. La règle dit que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l'un d'eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement des corps sous l'action de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point, pris comme origine. Ici, la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps écoulé entre le moment où le corps se lève et le moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes dans des cas plus complexes. Considérons des exemples avec la solution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme carré est complet. Premièrement, nous transformons l'expression et la décomposons en facteurs. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. En conséquence, nous avons deux racines 8 et 25.

Des exemples avec la solution d'équations quadratiques en 9e année permettent à cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même des troisième et quatrième ordres.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, c'est-à-dire (x + 1), (x-3) et (x + 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -une; 3.

Extraction de la racine carrée

Un autre cas d'équation incomplète du second ordre est une expression écrite dans le langage des lettres de telle manière que le côté droit est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré sur le côté droit, puis la racine carrée est extraite des deux côtés de l'égalité. Il convient de noter que dans ce cas, il y a généralement deux racines de l'équation. Les seules exceptions sont les égalités qui ne contiennent pas du tout le terme c, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, car les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions aux équations quadratiques de ce type doivent être considérés.

Dans ce cas, les racines de l'équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine était en grande partie dû à la nécessité de déterminer les surfaces et les périmètres des parcelles avec la plus grande précision.

Nous devrions également considérer des exemples avec la solution d'équations quadratiques compilées sur la base de problèmes de ce genre.

Donc, disons qu'il y a un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez trouver la longueur, la largeur et le périmètre du site, si l'on sait que sa superficie est de 612 m 2.

En passant aux affaires, nous ferons d'abord l'équation nécessaire. Notons la largeur de la section comme x, alors sa longueur sera (x + 16). Il résulte de ce qui a été écrit que l'aire est déterminée par l'expression x (x + 16), qui, selon la condition de notre problème, est 612. Cela signifie que x (x + 16) \u003d 612.

La solution d'équations quadratiques complètes, et cette expression n'est que cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche de celui-ci contienne toujours deux facteurs, leur produit n'est pas du tout égal à 0, donc d'autres méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, nous ferons les transformations nécessaires, puis l'apparence de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous la forme correspondant à la norme précédemment spécifiée, où a=1, b=16, c= -612.

Cela peut être un exemple de résolution d'équations quadratiques à travers le discriminant. Ici, les calculs nécessaires sont effectués selon le schéma: D = b 2 - 4ac. Cette valeur auxiliaire permet non seulement de trouver les valeurs souhaitées dans l'équation du second ordre, mais elle détermine le nombre d'options possibles. Dans le cas D>0, il y en a deux ; pour D=0 il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est : 256 - 4(-612) = 2704. Cela indique que notre problème a une réponse. Si vous savez, à, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il vous permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option de ce dilemme ne peut pas être une solution, car la taille de la parcelle de terrain ne peut pas être mesurée en valeurs négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur de la parcelle) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18+16=34, et le périmètre 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons l'étude des équations quadratiques. Des exemples et une solution détaillée de plusieurs d'entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Transférons tout sur le côté gauche de l'égalité, effectuons une transformation, c'est-à-dire que nous obtenons la forme de l'équation, qui est généralement appelée standard, et l'assimile à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Après avoir ajouté des similaires, nous déterminons le discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Notre équation aura donc deux racines. Nous les calculons selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Nous allons maintenant révéler des énigmes d'un genre différent.

Découvrons s'il y a des racines x 2 - 4x + 5 = 1 ici du tout ? Pour obtenir une réponse exhaustive, on ramène le polynôme à la forme familière correspondante et on calcule le discriminant. Dans cet exemple, il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation quadratique, car l'essentiel du problème n'est pas du tout là-dedans. Dans ce cas, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ce qui signifie qu'il n'y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est commode de résoudre des équations quadratiques grâce aux formules ci-dessus et au discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n'arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Il porte le nom d'un homme qui a vécu dans la France du XVIe siècle et a eu une brillante carrière grâce à son talent mathématique et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma que le célèbre Français a remarqué était le suivant. Il a prouvé que la somme des racines de l'équation est égale à -p=b/a, et leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant des tâches spécifiques.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pour simplifier, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

En utilisant le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs des variables correspondent vraiment à l'expression.

Graphique et équation d'une parabole

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés précédemment. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques un peu plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle dépendance, tracée sous forme de graphe, s'appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où partent ses branches. Si a>0, ils vont haut jusqu'à l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est appelée graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée d'abscisse aux points d'intersection de la ligne du graphique avec 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées par la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b / 2a. Et, en remplaçant la valeur résultante dans l'équation d'origine de la fonction, vous pouvez trouver y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole appartenant à l'axe y.

L'intersection des branches de la parabole avec l'axe des abscisses

Il y a beaucoup d'exemples avec la solution d'équations quadratiques, mais il y a aussi des modèles généraux. Considérons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si y 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique d'une parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de tracer.

De l'histoire

À l'aide d'équations contenant une variable au carré, autrefois, non seulement effectuaient des calculs mathématiques et déterminaient l'aire de formes géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour des découvertes grandioses dans le domaine de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est passé quatre siècles avant l'avènement de notre ère. Bien sûr, leurs calculs étaient fondamentalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont avérés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n'avaient aucune idée de l'existence des nombres négatifs. Ils étaient également peu familiers avec d'autres subtilités de celles connues de tout étudiant de notre temps.

Peut-être même plus tôt que les savants de Babylone, le sage indien Baudhayama a adopté la solution des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'avènement de l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. En plus de lui, les mathématiciens chinois s'intéressaient également à des questions similaires dans l'ancien temps. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais plus tard, elles ont été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.