Comment soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs. Addition et soustraction de fractions

Dans cette leçon, nous allons considérer l'addition et la soustraction de fractions algébriques avec les mêmes dénominateurs. Nous savons déjà additionner et soustraire des fractions communes avec les mêmes dénominateurs. Il s'avère que les fractions algébriques suivent les mêmes règles. La capacité de travailler avec des fractions ayant les mêmes dénominateurs est l'une des pierres angulaires de l'apprentissage des règles de travail avec des fractions algébriques. En particulier, la compréhension de ce sujet facilitera la maîtrise d'un sujet plus complexe - l'addition et la soustraction de fractions avec différents dénominateurs. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons les règles d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec les mêmes dénominateurs, ainsi qu'analyser un certain nombre d'exemples typiques

Règle pour additionner et soustraire des fractions algébriques avec les mêmes dénominateurs

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey avec tête-à-tête - mi-savoir-on-te-la-mi (c'est co-pa-oui-et avec le pouce droit ana-logique pour ordinaire-mais-ven-nyh-dr-bay): C'est pour l'addition ou you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey avec one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi est nécessaire -ho-di-mo avec -stand with-from-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum of the number of-li-te-lei, and the sign-me-on-tel leave without iz-me- non-ny.

Nous analyserons ce droit-vi-lo à la fois sur l'exemple des battements ordinaires mais veinés, et sur l'exemple de al-geb-ra-et-che-drobey.

Exemples d'application de la règle pour les fractions ordinaires

Exemple 1. Additionner des fractions :.

Décision

Ajoutons le nombre-si-ils-s'il-y-a-t-il un battement, et laissons le sign-me-on-tel de la même façon. Après cela, nous divisons le numer-li-tel et le sign-me-on-tel en simples multiplicateurs et so-kra-tim. Allons s'en approprier: .

Remarque : erreur standard, je vais démarrer quelque chose lors de la résolution dans un bon type d'exemple, pour -key-cha-et-sya dans la suite-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . C'est une erreur grossière, puisque le sign-on-tel reste le même que dans les fractions d'origine.

Exemple 2. Additionner des fractions :.

Décision

Ce za-da-cha n'est rien de-si-cha-et-sya du précédent :.

Exemples d'application de la règle pour les fractions algébriques

De l'habituel-mais-vein-nyh dro-bay per-rey-dem à al-geb-ra-i-che-skim.

Exemple 3. Additionner des fractions :.

Solution : comme déjà indiqué ci-dessus, l'ajout de al-geb-ra-et-che-dro-bey n'est rien de-is-cha-is-sya du zhe-niya habituellement-mais-vein-nyh dro-bay. Par conséquent, la méthode de résolution est la même :.

Exemple 4. Vous honorez les fractions :.

Décision

You-chi-ta-nie al-geb-ra-et-che-dro-bey de-si-cha-et-sya de la complication uniquement par le fait que dans le nombre de pi-sy-va-et-sya différence dans le nombre de-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Alors .

Exemple 5. Vous honorez les fractions :.

Décision: .

Exemple 6. Simplifiez :.

Décision: .

Exemples d'application de la règle suivie de réduction

Dans une fraction, quelqu'un-paradis est dans un ajout re-zul-ta-ceux ou vous-chi-ta-nia, il est possible de co-magnifiquement niya. De plus, vous ne devez pas oublier l'ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Exemple 7. Simplifiez :.

Décision: .

Où . En général, si l'ODZ des hiboux hors de la baie chaude-pa-oui-et avec l'ODZ du total-go-howl, alors vous ne pouvez pas l'indiquer (après tout, une fraction, dans un lu-chen-naya dans de-ve-ceux, n'existera pas non plus avec co-de-vet-stu-u-s-savoir-che-no-yah-re-men-nyh). Mais si l'ODZ est la source du dro-bay en cours d'exécution et de-ve-qui ne co-pa-oui-et, alors l'ODZ indique le besoin-ho-di-mo.

Exemple 8. Simplifiez :.

Décision: . Dans le même temps, y (ODZ du travée de tirage sortant ne coïncide pas avec l'ODZ de re-zul-ta-ta).

Addition et soustraction de fractions ordinaires avec différents dénominateurs

Pour stocker et you-chi-tat al-geb-ra-and-che-fractions avec different-we-know-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu de l'habituel- but-ven-ny-mi dro-bya-mi et re-re-not-sem en al-geb-ra-and-che-fractions.

Ras-regardez l'exemple le plus simple pour les injections veineuses ordinaires.

Exemple 1. Ajouter des fractions :.

Décision:

Rappelons-nous le right-vi-lo-slo-drow-bay. Pour les fractions na-cha-la, il faut ajouter-ve-sti au signe commun-me-to-te-lu. Dans le rôle d'un général sign-me-on-te-la pour des rythmes ordinaires mais veineux, you-stu-pa-et multiple moins commun(NOK) la source des signes-moi-sur-le-lei.

Définition

Le plus petit-cou-à-tu-ral-nombre, quelqu'un-essaim est de-lit en même temps en chiffres et.

Pour trouver le NOC, vous devez de-lo-live savoir-moi-sur-le-si en multiplicateurs simples, puis choisir de tout prendre pro- il y en a beaucoup, beaucoup, certains d'entre eux sont inclus dans la différence entre les deux signe-moi-sur-le-lei.

; . Ensuite, le LCM des nombres devrait inclure deux deux et deux trois :.

Après avoir trouvé le sign-on-te-la général, il faut que chacun des dro-bays trouve un multi-zhi-tel supplémentaire (fak-ti-che-ski, en déversant un sign-me-commun). on-tel on sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th fraction).

Ensuite, chaque fraction est multipliée par un multiplicateur semi-chen-ny à demi-no-tel-ny. Fractions avec le même-sur-tu-me-connais-sur-te-la-mi, les entrepôts et tu-chi-tat quelqu'un sur qui nous sommes - étudiées dans les leçons précédentes.

Par-lu-cha-eat : .

Répondre:.

Ras-look-rim maintenant le pli d'al-geb-ra-and-che-dro-bey avec différents signes-me-on-te-la-mi. Dormez-cha-la, nous-regardons les fractions, sachez-moi-sur-le-si certaines d'entre elles sont-la-yut-sya nombre-la-mi.

Addition et soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs

Exemple 2. Ajouter des fractions :.

Décision:

Al-go-rythme de re-she-niya ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen precedent-du-sche-mu p-me-ru. Il est facile de prendre un dénominateur commun sur les fractions données : et des multiplicateurs complets pour chacune d'entre elles.

Répondre:.

Alors, sfor-mu-li-ru-em al-go-rhythm of complication and you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-beats with different-we-know-me-on-te-la-mi:

1. Trouvez la plus petite travée de connexion par téléphone commune.

2. Trouvez des multiplicateurs supplémentaires pour chacune des fractions de baie de tirage).

3. Ne-multipliez-les-numéros-vivants-si-le-si sur le co-ot-vet-stu-u-s-up-half-no-tel-nye-multiple-those.

4. Ajoutez à vivre ou vous honorez les fractions, utilisez le right-wi-la-mi du pli et you-chi-ta-niya draw-bay avec one-to-you-know -me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim maintenant un exemple avec dro-bya-mi, dans le know-me-on-the-le-there-are-there-are-there-are-beech-ven-nye you-ra-same - tion.

Les mathématiques sont l'une des sciences les plus importantes, dont l'application peut être observée dans des disciplines telles que la chimie, la physique et même la biologie. L'étude de cette science vous permet de développer certaines qualités mentales, d'améliorer la capacité de concentration. L'un des sujets qui méritent une attention particulière dans le cours "Mathématiques" est l'addition et la soustraction de fractions. Beaucoup d'étudiants ont du mal à étudier. Peut-être que notre article aidera à mieux comprendre ce sujet.

Comment soustraire des fractions dont les dénominateurs sont les mêmes

Les fractions sont les mêmes nombres avec lesquels vous pouvez effectuer diverses actions. Leur différence avec les nombres entiers réside dans la présence d'un dénominateur. C'est pourquoi, lorsque vous effectuez des actions avec des fractions, vous devez étudier certaines de leurs caractéristiques et règles. Le cas le plus simple est la soustraction de fractions ordinaires, dont les dénominateurs sont représentés par le même nombre. Il ne sera pas difficile d'effectuer cette action si vous connaissez une règle simple :

Pour soustraire une seconde fraction de un, il faut soustraire le numérateur de la fraction à soustraire du numérateur de la fraction réduite. Nous écrivons ce nombre au numérateur de la différence et laissons le dénominateur le même : k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemples de soustraction de fractions dont les dénominateurs sont les mêmes

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Du numérateur de la fraction réduite "7", nous soustrayons le numérateur de la fraction soustraite "3", nous obtenons "4". Nous écrivons ce nombre au numérateur de la réponse et mettons au dénominateur le même nombre qui était dans les dénominateurs des première et deuxième fractions - "19".

L'image ci-dessous montre quelques autres exemples de ce type.

Prenons un exemple plus complexe où des fractions avec les mêmes dénominateurs sont soustraites :

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Du numérateur de la fraction réduite "29" en soustrayant tour à tour les numérateurs de toutes les fractions suivantes - "3", "8", "2", "7". En conséquence, nous obtenons le résultat "9", que nous écrivons au numérateur de la réponse, et au dénominateur, nous écrivons le nombre qui se trouve dans les dénominateurs de toutes ces fractions - "47".

Additionner des fractions avec le même dénominateur

L'addition et la soustraction de fractions ordinaires s'effectuent selon le même principe.

Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner les numérateurs. Le nombre résultant est le numérateur de la somme, et le dénominateur reste le même : k/m + b/m = (k + b)/m.

Voyons à quoi cela ressemble dans un exemple :

1/4 + 2/4 = 3/4.

Au numérateur du premier terme de la fraction - "1" - nous ajoutons le numérateur du deuxième terme de la fraction - "2". Le résultat - "3" - est écrit au numérateur du montant, et le dénominateur reste le même que celui présent dans les fractions - "4".

Fractions avec différents dénominateurs et leur soustraction

Nous avons déjà considéré l'action avec des fractions qui ont le même dénominateur. Comme vous pouvez le voir, connaître des règles simples, résoudre de tels exemples est assez facile. Mais que se passe-t-il si vous devez effectuer une action avec des fractions qui ont des dénominateurs différents ? Beaucoup d'élèves du secondaire sont troublés par de tels exemples. Mais même ici, si vous connaissez le principe de la solution, les exemples ne vous seront plus difficiles. Il y a aussi une règle ici, sans laquelle la solution de telles fractions est tout simplement impossible.

Pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, elles doivent être réduites au même plus petit dénominateur.

Nous parlerons plus en détail de la façon de procéder.

Propriété fractionnaire

Afin de réduire plusieurs fractions au même dénominateur, vous devez utiliser la propriété principale de la fraction dans la solution : après avoir divisé ou multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre, vous obtenez une fraction égale à celle donnée.

Ainsi, par exemple, la fraction 2/3 peut avoir des dénominateurs tels que "6", "9", "12", etc., c'est-à-dire qu'elle peut ressembler à n'importe quel nombre multiple de "3". Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par "2", nous obtenons une fraction de 4/6. Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par "3", nous obtenons 6/9, et si nous effectuons une action similaire avec le nombre "4", nous obtenons 8/12. Dans une équation, cela peut s'écrire :

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Comment ramener plusieurs fractions au même dénominateur

Considérez comment réduire plusieurs fractions au même dénominateur. Par exemple, prenez les fractions indiquées dans l'image ci-dessous. Vous devez d'abord déterminer quel nombre peut devenir le dénominateur de chacun d'eux. Pour simplifier, décomposons les dénominateurs disponibles en facteurs.

Le dénominateur de la fraction 1/2 et de la fraction 2/3 ne peut pas être factorisé. Le dénominateur de 7/9 a deux diviseurs 7/9 = 7/(3 x 3), le dénominateur de la fraction 5/6 = 5/(2 x 3). Vous devez maintenant déterminer quels facteurs seront les plus petits pour ces quatre fractions. Puisque la première fraction a le nombre "2" au dénominateur, cela signifie qu'elle doit être présente dans tous les dénominateurs, dans la fraction 7/9 il y a deux triplets, ce qui signifie qu'ils doivent également être présents dans le dénominateur. Compte tenu de ce qui précède, nous déterminons que le dénominateur est composé de trois facteurs : 3, 2, 3 et est égal à 3 x 2 x 3 = 18.

Considérez la première fraction - 1/2. Son dénominateur contient "2", mais il n'y a pas un seul "3", mais il devrait y en avoir deux. Pour ce faire, on multiplie le dénominateur par deux triplets, mais, selon la propriété de la fraction, il faut multiplier le numérateur par deux triplets :
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

De même, nous effectuons des actions avec les fractions restantes.

2/3 - un trois et un deux manquent au dénominateur :
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 ou 7/(3 x 3) - il manque deux au dénominateur :
7/9 = (7x2)/(9x2) = 14/18.
5/6 ou 5/(2 x 3) - il manque un triple au dénominateur :
5/6 = (5x3)/(6x3) = 15/18.

Tout ensemble ça ressemble à ça :

Comment soustraire et additionner des fractions avec différents dénominateurs

Comme mentionné ci-dessus, pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur, puis utiliser les règles de soustraction des fractions avec le même dénominateur, qui ont déjà été décrites.

Considérez ceci avec un exemple : 4/18 - 3/15.

Trouver des multiples de 18 et 15 :

Le nombre 18 est composé de 3 x 2 x 3.
Le nombre 15 est composé de 5 x 3.
Le multiple commun sera composé des facteurs suivants 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Une fois le dénominateur trouvé, il est nécessaire de calculer un facteur qui sera différent pour chaque fraction, c'est-à-dire le nombre par lequel il faudra multiplier non seulement le dénominateur, mais également le numérateur. Pour ce faire, nous divisons le nombre que nous avons trouvé (multiple commun) par le dénominateur de la fraction pour laquelle des facteurs supplémentaires doivent être déterminés.

90 divisé par 15. Le nombre résultant "6" sera un multiplicateur pour 3/15.
90 divisé par 18. Le nombre résultant "5" sera un multiplicateur pour 4/18.

La prochaine étape de notre solution consiste à amener chaque fraction au dénominateur "90".

Nous avons déjà expliqué comment cela se fait. Voyons comment cela s'écrit dans un exemple :

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

S'il s'agit de fractions avec de petits nombres, vous pouvez déterminer le dénominateur commun, comme dans l'exemple illustré dans l'image ci-dessous.

Produit de la même manière et ayant des dénominateurs différents.

Soustraction et avoir des parties entières

Soustraction de fractions et leur addition, nous avons déjà analysé en détail. Mais comment soustraire si la fraction a une partie entière ? Encore une fois, utilisons quelques règles :

Convertissez toutes les fractions qui ont une partie entière en fractions impropres. En termes simples, supprimez toute la partie. Pour ce faire, le nombre de la partie entière est multiplié par le dénominateur de la fraction, le produit résultant est ajouté au numérateur. Le nombre qui sera obtenu après ces actions est le numérateur d'une fraction impropre. Le dénominateur reste inchangé.
Si les fractions ont des dénominateurs différents, elles doivent être réduites au même.
Effectuez des additions ou des soustractions avec les mêmes dénominateurs.
Lors de la réception d'une fraction impropre, sélectionnez la partie entière.

Il existe un autre moyen d'additionner et de soustraire des fractions avec des parties entières. Pour cela, les actions sont effectuées séparément avec des parties entières et séparément avec des fractions, et les résultats sont enregistrés ensemble.

L'exemple ci-dessus se compose de fractions qui ont le même dénominateur. Dans le cas où les dénominateurs sont différents, ils doivent être réduits au même, puis suivre les étapes comme indiqué dans l'exemple.

Soustraire des fractions d'un nombre entier

Une autre des variétés d'actions avec des fractions est le cas où la fraction doit être soustraite de À première vue, un tel exemple semble difficile à résoudre. Cependant, tout est assez simple ici. Pour le résoudre, il faut convertir un entier en une fraction, et avec un tel dénominateur, qui est dans la fraction à soustraire. Ensuite, nous effectuons une soustraction similaire à la soustraction avec les mêmes dénominateurs. Par exemple, cela ressemble à ceci :

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

La soustraction de fractions donnée dans cet article (6e année) est la base pour résoudre des exemples plus complexes, qui sont considérés dans les classes suivantes. La connaissance de ce sujet est utilisée par la suite pour résoudre des fonctions, des dérivées, etc. Par conséquent, il est très important de comprendre et de comprendre les actions avec les fractions décrites ci-dessus.

Additionner et soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
Additionner et soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Le concept du CNO
Ramener des fractions au même dénominateur
Comment additionner un nombre entier et une fraction

1 Additionner et soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le même dénominateur, par exemple :

Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laissez le même dénominateur, par exemple :

Pour ajouter des fractions mixtes, vous devez ajouter séparément leurs parties entières, puis ajouter leurs parties fractionnaires, et écrire le résultat sous forme de fraction mixte,

Si, lors de l'addition des parties fractionnaires, une fraction impropre est obtenue, nous en sélectionnons la partie entière et l'ajoutons à la partie entière, par exemple:

2 Additionner et soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez d'abord les amener au même dénominateur, puis procéder comme indiqué au début de cet article. Le dénominateur commun de plusieurs fractions est le PPCM (plus petit commun multiple). Pour le numérateur de chacune des fractions, des facteurs supplémentaires sont trouvés en divisant le LCM par le dénominateur de cette fraction. Nous verrons un exemple plus tard, après avoir compris ce qu'est un LCM.

3 Plus petit commun multiple (LCM)

Le plus petit commun multiple de deux nombres (LCM) est le plus petit nombre naturel divisible par ces deux nombres sans reste. Parfois, le LCM peut être trouvé oralement, mais le plus souvent, surtout lorsque vous travaillez avec de grands nombres, vous devez trouver le LCM par écrit, en utilisant l'algorithme suivant :

Pour trouver le LCM de plusieurs nombres, il vous faut :

Décomposer ces nombres en facteurs premiers
Prenez la plus grande expansion et écrivez ces nombres sous forme de produit
Sélectionnez dans d'autres extensions les nombres qui n'apparaissent pas dans l'extension la plus grande (ou qui y apparaissent un plus petit nombre de fois) et ajoutez-les au produit.
Multipliez tous les nombres du produit, ce sera le LCM.

Par exemple, trouvons le LCM des nombres 28 et 21 :

4Réduire des fractions au même dénominateur

Revenons à l'addition de fractions avec des dénominateurs différents.

Lorsque nous réduisons des fractions au même dénominateur, égal au PPCM des deux dénominateurs, nous devons multiplier les numérateurs de ces fractions par multiplicateurs supplémentaires. Vous pouvez les trouver en divisant le LCM par le dénominateur de la fraction correspondante, par exemple :

Ainsi, pour amener des fractions à un indicateur, vous devez d'abord trouver le LCM (c'est-à-dire le plus petit nombre divisible par les deux dénominateurs) des dénominateurs de ces fractions, puis mettre des facteurs supplémentaires sur les numérateurs des fractions. Vous pouvez les trouver en divisant le dénominateur commun (LCD) par le dénominateur de la fraction correspondante. Ensuite, vous devez multiplier le numérateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire et mettre le LCM comme dénominateur.

5Comment additionner un nombre entier et une fraction

Pour additionner un nombre entier et une fraction, il suffit d'ajouter ce nombre devant la fraction, et on obtient par exemple une fraction mixte.

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Comment additionner des décimales

Il est plus pratique d'ajouter des fractions décimales dans une colonne. Pour ajouter des décimales, vous devez suivre une règle simple :

Le chiffre doit être sous le chiffre, la virgule sous la virgule.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, les unités entières sont les unes sous les autres, les dixièmes et les centièmes sont les unes sous les autres. Maintenant, nous additionnons les nombres, en ignorant la virgule. Que faire d'une virgule ? La virgule est transférée à l'endroit où elle se trouvait dans la décharge des nombres entiers.

Additionner des fractions avec des dénominateurs égaux

Pour effectuer une addition avec un dénominateur commun, vous devez garder le dénominateur inchangé, trouver la somme des numérateurs et obtenir une fraction, qui sera la somme totale.

Additionner des fractions avec des dénominateurs différents en trouvant un multiple commun

La première chose à laquelle il faut faire attention est les dénominateurs. Les dénominateurs sont différents, que l'un soit divisible par l'autre, qu'il s'agisse de nombres premiers. Vous devez d'abord vous rapprocher d'un dénominateur commun, il y a plusieurs façons de le faire :

1/3 + 3/4 = 13/12, pour résoudre cet exemple, nous devons trouver le plus petit commun multiple (LCM) qui sera divisible par 2 dénominateurs. Pour désigner le plus petit multiple de a et b - LCM (a; b). Dans cet exemple LCM (3;4)=12. Vérifier : 12:3=4 ; 12:4=3.
Nous multiplions les facteurs et effectuons l'addition des nombres résultants, nous obtenons 13/12 - une fraction impropre.

Afin de convertir une fraction impropre en fraction propre, nous divisons le numérateur par le dénominateur, nous obtenons l'entier 1, le reste 1 est le numérateur et 12 est le dénominateur.

Additionner des fractions en utilisant la multiplication croisée

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, il existe un autre moyen selon la formule « croix par croix ». C'est un moyen garanti d'égaliser les dénominateurs, pour cela, vous devez multiplier les numérateurs avec le dénominateur d'une fraction et vice versa. Si vous n'êtes qu'au stade initial de l'apprentissage des fractions, cette méthode est le moyen le plus simple et le plus précis d'obtenir le bon résultat lors de l'addition de fractions avec différents dénominateurs.

Dans cette leçon, nous allons considérer l'addition et la soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs. Nous savons déjà additionner et soustraire des fractions communes avec des dénominateurs différents. Pour ce faire, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Il s'avère que les fractions algébriques suivent les mêmes règles. En même temps, nous savons déjà réduire des fractions algébriques à un dénominateur commun. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs est l'un des sujets les plus importants et les plus difficiles du cours de 8e année. De plus, ce sujet se retrouvera dans de nombreux sujets du cours d'algèbre, que vous étudierez dans le futur. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons les règles d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs, ainsi qu'analyser un certain nombre d'exemples typiques.

Prenons l'exemple le plus simple pour les fractions ordinaires.

Exemple 1 Ajouter des fractions : .

Décision:

Rappelez-vous la règle d'addition des fractions. Pour commencer, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Le dénominateur commun des fractions ordinaires est multiple moins commun(LCM) des dénominateurs originaux.

Définition

Le plus petit nombre naturel divisible par les nombres et .

Pour trouver le LCM, il est nécessaire de décomposer les dénominateurs en facteurs premiers, puis de sélectionner tous les facteurs premiers qui sont inclus dans l'expansion des deux dénominateurs.

; . Ensuite, le LCM des nombres doit comprendre deux 2 et deux 3 : .

Après avoir trouvé le dénominateur commun, il faut pour chacune des fractions trouver un facteur supplémentaire (en fait, diviser le dénominateur commun par le dénominateur de la fraction correspondante).

Ensuite, chaque fraction est multipliée par le facteur supplémentaire résultant. Nous obtenons des fractions avec les mêmes dénominateurs, que nous avons appris à additionner et à soustraire dans les leçons précédentes.

On a: .

Répondre:.

Considérons maintenant l'addition de fractions algébriques avec différents dénominateurs. Considérons d'abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres.

Exemple 2 Ajouter des fractions : .

Décision:

L'algorithme de résolution est absolument similaire à l'exemple précédent. Il est facile de trouver un dénominateur commun pour ces fractions : et des facteurs supplémentaires pour chacune d'entre elles.

Répondre:.

Alors formulons algorithme pour additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs:

1. Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.

2. Trouver des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions (en divisant le dénominateur commun par le dénominateur de cette fraction).

3. Multipliez les numérateurs par les facteurs supplémentaires appropriés.

4. Additionnez ou soustrayez des fractions en utilisant les règles d'addition et de soustraction de fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Considérons maintenant un exemple avec des fractions dans le dénominateur dont il y a des expressions littérales.

Exemple 3 Ajouter des fractions : .

Décision:

Étant donné que les expressions littérales des deux dénominateurs sont les mêmes, vous devriez trouver un dénominateur commun pour les nombres. Le dénominateur commun final ressemblera à : . Donc la solution à cet exemple est :

Répondre:.

Exemple 4 Soustraire des fractions : .

Décision:

Si vous ne pouvez pas "tricher" lors du choix d'un dénominateur commun (vous ne pouvez pas le factoriser ou utiliser les formules de multiplication abrégées), alors vous devez prendre le produit des dénominateurs des deux fractions comme dénominateur commun.

Répondre:.

En général, lors de la résolution de tels exemples, la tâche la plus difficile est de trouver un dénominateur commun.

Prenons un exemple plus complexe.

Exemple 5 Simplifier: .

Décision:

Lorsque vous trouvez un dénominateur commun, vous devez d'abord essayer de factoriser les dénominateurs des fractions d'origine (pour simplifier le dénominateur commun).

Dans ce cas particulier :

Il est alors facile de déterminer le dénominateur commun : .

Nous déterminons des facteurs supplémentaires et résolvons cet exemple :

Répondre:.

Nous allons maintenant fixer les règles d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs différents.

Exemple 6 Simplifier: .

Décision:

Répondre:.

Exemple 7 Simplifier: .

Décision:

Répondre:.

Considérons maintenant un exemple dans lequel non pas deux, mais trois fractions sont ajoutées (après tout, les règles d'addition et de soustraction pour plus de fractions restent les mêmes).

Exemple 8 Simplifier: .