Calculatrice d'ingénierie en ligne

Nous nous empressons de présenter à chacun une calculatrice d'ingénierie gratuite. Avec lui, n'importe quel étudiant peut rapidement et, surtout, effectuer facilement divers types de calculs mathématiques en ligne.

La calculatrice est extraite du site - calculatrice scientifique web 2.0

Une calculatrice d'ingénierie simple et facile à utiliser avec une interface discrète et intuitive sera vraiment utile au plus large éventail d'utilisateurs d'Internet. Maintenant, lorsque vous avez besoin d'une calculatrice, rendez-vous sur notre site Web et utilisez la calculatrice d'ingénierie gratuite.

Une calculatrice d'ingénierie peut effectuer à la fois des opérations arithmétiques simples et des calculs mathématiques plutôt complexes.

Web20calc est une calculatrice d'ingénierie qui a un grand nombre de fonctions, par exemple, comment calculer toutes les fonctions élémentaires. La calculatrice prend également en charge les fonctions trigonométriques, les matrices, les logarithmes et même le traçage.

Sans aucun doute, Web20calc intéressera ce groupe de personnes qui, à la recherche de solutions simples, tapent une requête dans les moteurs de recherche : une calculatrice mathématique en ligne. L'application Web gratuite vous aidera à calculer instantanément le résultat de toute expression mathématique, par exemple, soustraire, additionner, diviser, extraire la racine, élever à une puissance, etc.

Dans l'expression, vous pouvez utiliser les opérations d'exponentiation, d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, de pourcentage, de constante PI. Les parenthèses doivent être utilisées pour les calculs complexes.

Caractéristiques de la calculatrice d'ingénierie :

1. opérations arithmétiques de base ;
2. travailler avec des nombres sous une forme standard ;
3. calcul des racines trigonométriques, fonctions, logarithmes, exponentiation ;
4. calculs statistiques : addition, moyenne arithmétique ou écart-type ;
5. application d'une cellule mémoire et fonctions utilisateur de 2 variables ;
6. travailler avec des angles en radians et en degrés.

La calculatrice d'ingénierie permet l'utilisation d'une variété de fonctions mathématiques :

Extraction des racines (racine carrée, racine cubique, ainsi que la racine du n-ième degré);
ex (puissance e à x), exposant ;
fonctions trigonométriques : sinus - sin, cosinus - cos, tangente - tan ;
fonctions trigonométriques inverses : arc sinus - sin-1, arc cosinus - cos-1, arc tangente - tan-1 ;
fonctions hyperboliques : sinus - sinh, cosinus - cosh, tangente - tanh ;
logarithmes : le logarithme binaire en base deux est log2x, le logarithme en base dix en base dix est log, le logarithme népérien est ln.

Cette calculatrice d'ingénierie comprend également une calculatrice de quantités avec la possibilité de convertir des quantités physiques pour divers systèmes de mesure - unités informatiques, distance, poids, temps, etc. Avec cette fonction, vous pouvez convertir instantanément des miles en kilomètres, des livres en kilogrammes, des secondes en heures, etc.

Pour effectuer des calculs mathématiques, entrez d'abord une séquence d'expressions mathématiques dans le champ approprié, puis cliquez sur le signe égal et voyez le résultat. Vous pouvez saisir des valeurs directement depuis le clavier (pour cela, la zone calculatrice doit être active, il sera donc utile de placer le curseur dans le champ de saisie). Entre autres choses, les données peuvent être saisies à l'aide des boutons de la calculatrice elle-même.

Pour construire des graphiques dans le champ de saisie, écrivez la fonction comme indiqué dans le champ exemple ou utilisez la barre d'outils spécialement conçue à cet effet (pour y accéder, cliquez sur le bouton avec l'icône en forme de graphique). Pour convertir des valeurs, appuyez sur Unit, pour travailler avec des matrices - Matrix.

Premier niveau

Conversion d'expressions. Théorie détaillée (2019)

On entend souvent cette phrase désagréable : "simplifier l'expression." Habituellement, dans ce cas, nous avons une sorte de monstre comme celui-ci :

"Oui, beaucoup plus facile", disons-nous, mais une telle réponse ne fonctionne généralement pas.

Maintenant, je vais vous apprendre à ne pas avoir peur de telles tâches.

De plus, à la fin de la leçon, vous simplifierez vous-même cet exemple en un nombre (juste !) ordinaire (oui, au diable ces lettres).

Mais avant de commencer cette leçon, vous devez être capable de gérer les fractions Et factoriser des polynômes.

Par conséquent, si vous ne l'avez pas encore fait, assurez-vous de maîtriser les rubriques "" et "".

Lire? Si oui, alors vous êtes prêt.

Allons-y allons-y!)

Note importante!Si au lieu de formules vous voyez du charabia, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sur Mac)

Opérations de simplification d'expression de base

Nous allons maintenant analyser les principales techniques utilisées pour simplifier les expressions.

Le plus simple d'entre eux est

1. Apporter du similaire

Qu'est-ce qui est similaire ? Vous avez vécu cela en 7e année, lorsque les lettres sont apparues pour la première fois en mathématiques à la place des chiffres.

Similaire sont des termes (monômes) avec la même partie de lettre.

Par exemple, dans la somme, les termes semblables sont et.

Rappelé ?

Apportez similaire- signifie ajouter plusieurs termes similaires les uns aux autres et obtenir un terme.

Mais comment pouvons-nous assembler des lettres? - tu demandes.

C'est très facile à comprendre si vous imaginez que les lettres sont une sorte d'objets.

Par exemple, la lettre est une chaise. Quelle est alors l'expression ?

Deux chaises plus trois chaises, combien cela coûtera-t-il ? C'est vrai, les chaises : .

Essayez maintenant cette expression :

Afin de ne pas se confondre, laissez différentes lettres désigner différents objets.

Par exemple, - c'est (comme d'habitude) une chaise, et - c'est une table.

chaises tables chaises tables chaises chaises tables

Les nombres par lesquels les lettres de ces termes sont multipliées sont appelés coefficients.

Par exemple, dans le monôme le coefficient est égal. Et il est égal.

Donc, la règle pour apporter similaire:

Exemples:

Apportez similaire :

Réponses:

2. (et sont similaires, puisque, par conséquent, ces termes ont la même partie alphabétique).

2. Factorisation

C'est généralement la partie la plus importante dans la simplification des expressions.

Après avoir donné des expressions similaires, le plus souvent l'expression résultante est nécessaire factoriser, c'est-à-dire représenter comme un produit.

Surtout ce important dans les fractions : car pour réduire la fraction, le numérateur et le dénominateur doivent être exprimés sous forme de produit.

Vous avez parcouru les méthodes détaillées de factorisation des expressions dans le sujet "", donc ici, vous n'avez qu'à vous souvenir de ce que vous avez appris.

Pour ce faire, résolvez quelques exemples (vous devez factoriser)

Exemples:

Solutions:

3. Réduction des fractions.

Eh bien, quoi de plus agréable que de rayer une partie du numérateur et du dénominateur, et de les jeter hors de votre vie ?

C'est la beauté de l'abréviation.

C'est simple:

Si le numérateur et le dénominateur contiennent les mêmes facteurs, ils peuvent être réduits, c'est-à-dire supprimés de la fraction.

Cette règle découle de la propriété de base d'une fraction :

Autrement dit, l'essence de l'opération de réduction est que On divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre (ou par la même expression).

Pour réduire une fraction, il vous faut :

1) numérateur et dénominateur factoriser

2) si le numérateur et le dénominateur contiennent les facteurs communs, ils peuvent être supprimés.

Exemples:

Le principe, je pense, est clair ?

Je voudrais attirer votre attention sur une erreur typique d'abréviation. Bien que ce sujet soit simple, mais beaucoup de gens font tout de travers, sans se rendre compte que couper- ça signifie diviser numérateur et dénominateur par le même nombre.

Pas d'abréviations si le numérateur ou le dénominateur est la somme.

Par exemple : vous avez besoin de simplifier.

Certains font ceci : ce qui est absolument faux.

Autre exemple : réduire.

Le "plus intelligent" fera ceci :

Dites-moi ce qui ne va pas ici? Il semblerait: - c'est un multiplicateur, donc vous pouvez réduire.

Mais non : - c'est un facteur d'un seul terme au numérateur, mais le numérateur lui-même dans son ensemble n'est pas décomposé en facteurs.

Voici un autre exemple : .

Cette expression est décomposée en facteurs, ce qui signifie que vous pouvez réduire, c'est-à-dire diviser le numérateur et le dénominateur par, puis par :

Vous pouvez immédiatement diviser par :

Pour éviter de telles erreurs, souvenez-vous d'un moyen simple de déterminer si une expression est factorisée :

L'opération arithmétique qui est effectuée en dernier lors du calcul de la valeur de l'expression est la "principale".

Autrement dit, si vous substituez des nombres (n'importe lesquels) au lieu de lettres et essayez de calculer la valeur de l'expression, alors si la dernière action est la multiplication, alors nous avons un produit (l'expression est décomposée en facteurs).

Si la dernière action est une addition ou une soustraction, cela signifie que l'expression n'est pas factorisée (et donc ne peut pas être réduite).

Pour y remédier vous-même, quelques exemples :

Exemples:

Solutions:

1. J'espère que vous ne vous êtes pas immédiatement précipité pour couper et? Il ne suffisait toujours pas de "réduire" des unités comme celle-ci :

La première étape consiste à factoriser :

4. Addition et soustraction de fractions. Ramener des fractions à un dénominateur commun.

L'addition et la soustraction de fractions ordinaires est une opération bien connue : on cherche un dénominateur commun, on multiplie chaque fraction par le facteur manquant et on additionne/soustrait les numérateurs.

Souvenons-nous:

Réponses:

1. Les dénominateurs et sont premiers entre eux, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de facteurs communs. Par conséquent, le PPCM de ces nombres est égal à leur produit. Ce sera le dénominateur commun :

2. Ici, le dénominateur commun est :

3. Ici, tout d'abord, nous transformons les fractions mixtes en fractions impropres, puis - selon le schéma habituel:

Il en va tout autrement si les fractions contiennent des lettres, par exemple :

Commençons simplement :

a) Les dénominateurs ne contiennent pas de lettres

Ici tout est pareil qu'avec les fractions numériques ordinaires : on trouve un dénominateur commun, on multiplie chaque fraction par le facteur manquant et on additionne/soustrait les numérateurs :

maintenant, dans le numérateur, vous pouvez en apporter des similaires, le cas échéant, et les factoriser :

Essayez-le vous-même :

Réponses:

b) Les dénominateurs contiennent des lettres

Rappelons-nous le principe de trouver un dénominateur commun sans lettres :

Tout d'abord, nous déterminons les facteurs communs ;

Ensuite, nous écrivons tous les facteurs communs une fois ;

et multipliez-les par tous les autres facteurs, non communs.

Pour déterminer les facteurs communs des dénominateurs, on les décompose d'abord en facteurs simples :

Nous soulignons les facteurs communs :

Maintenant, nous écrivons les facteurs communs une fois et leur ajoutons tous les facteurs non communs (non soulignés) :

C'est le dénominateur commun.

Revenons aux lettres. Les dénominateurs sont donnés exactement de la même manière :

Nous décomposons les dénominateurs en facteurs ;

déterminer des multiplicateurs communs (identiques);

écrire tous les facteurs communs une fois ;

Nous les multiplions par tous les autres facteurs, pas les communs.

Donc, dans l'ordre :

1) décomposer les dénominateurs en facteurs :

2) déterminer les facteurs communs (identiques) :

3) écrivez une fois tous les facteurs communs et multipliez-les par tous les autres facteurs (non soulignés) :

Le dénominateur commun est donc ici. La première fraction doit être multipliée par, la seconde - par :

Au fait, il y a une astuce :

Par exemple: .

Nous voyons les mêmes facteurs dans les dénominateurs, mais tous avec des indicateurs différents. Le dénominateur commun sera :

dans la mesure où

dans la mesure où

dans la mesure où

en degré.

Compliquons la tâche :

Comment faire en sorte que des fractions aient le même dénominateur ?

Rappelons-nous la propriété de base d'une fraction :

Nulle part il n'est dit que le même nombre peut être soustrait (ou ajouté) au numérateur et au dénominateur d'une fraction. Parce que ce n'est pas vrai !

Voyez par vous-même : prenez n'importe quelle fraction, par exemple, et ajoutez un nombre au numérateur et au dénominateur, par exemple, . Qu'est-ce qui a été appris ?

Donc, une autre règle inébranlable :

Lorsque vous ramenez des fractions à un dénominateur commun, n'utilisez que l'opération de multiplication !

Mais que devez-vous multiplier pour obtenir?

Ici et multipliez. Et multiplier par :

Les expressions qui ne peuvent pas être factorisées seront appelées "facteurs élémentaires".

Par exemple, est un facteur élémentaire. - aussi. Mais - non : il se décompose en facteurs.

Qu'en est-il de l'expression ? Est-ce élémentaire ?

Non, car il peut être factorisé :

(vous avez déjà lu sur la factorisation dans le sujet "").

Ainsi, les facteurs élémentaires en lesquels vous décomposez une expression avec des lettres sont analogues aux facteurs simples en lesquels vous décomposez des nombres. Et nous ferons de même avec eux.

Nous voyons que les deux dénominateurs ont un facteur. Il ira au dénominateur commun de la puissance (rappelez-vous pourquoi ?).

Le multiplicateur est élémentaire, et ils ne l'ont pas en commun, ce qui signifie que la première fraction devra simplement être multipliée par celui-ci :

Un autre exemple:

Solution:

Avant de multiplier ces dénominateurs en panique, faut-il réfléchir à comment les factoriser ? Les deux représentent :

Amende! Puis:

Un autre exemple:

Solution:

Comme d'habitude, nous factorisons les dénominateurs. Au premier dénominateur, nous le mettons simplement entre parenthèses; dans le second - la différence des carrés:

Il semblerait qu'il n'y ait pas de facteurs communs. Mais si vous regardez de près, ils sont déjà si similaires ... Et la vérité est que :

Alors écrivons :

C'est-à-dire que cela s'est passé comme suit: à l'intérieur de la parenthèse, nous avons échangé les termes et, en même temps, le signe devant la fraction a changé pour le contraire. Attention, vous devrez le faire souvent.

On ramène maintenant à un dénominateur commun :

J'ai compris? Vérifions maintenant.

Tâches pour une solution indépendante :

Réponses:

Ici, nous devons nous rappeler encore une chose - la différence des cubes :

Attention, le dénominateur de la seconde fraction ne contient pas la formule "carré de la somme" ! Le carré de la somme ressemblerait à ceci :

A est le carré dit incomplet de la somme : le second terme qu'il contient est le produit du premier et du dernier, et non leur double produit. Le carré incomplet de la somme est l'un des facteurs du développement de la différence des cubes :

Et s'il y a déjà trois fractions ?

Oui, pareil ! Tout d'abord, nous nous assurerons que le nombre maximum de facteurs dans les dénominateurs est le même :

Attention : si vous changez les signes à l'intérieur d'une parenthèse, le signe devant la fraction passe à l'opposé. Lorsque nous changeons les signes dans la deuxième parenthèse, le signe devant la fraction est à nouveau inversé. En conséquence, il (le signe devant la fraction) n'a pas changé.

Nous écrivons le premier dénominateur en entier dans le dénominateur commun, puis nous y ajoutons tous les facteurs qui n'ont pas encore été écrits, du deuxième, puis du troisième (et ainsi de suite, s'il y a plus de fractions). C'est-à-dire que ça se passe comme ça :

Hmm ... Avec les fractions, on sait quoi faire. Mais qu'en est-il des deux ?

C'est simple : vous savez additionner des fractions, n'est-ce pas ? Donc, vous devez vous assurer que le deux devient une fraction ! Rappelez-vous : une fraction est une opération de division (le numérateur est divisé par le dénominateur, au cas où vous auriez soudainement oublié). Et il n'y a rien de plus facile que de diviser un nombre par. Dans ce cas, le nombre lui-même ne changera pas, mais se transformera en une fraction :

Exactement ce qu'il faut !

5. Multiplication et division de fractions.

Bon, le plus dur est maintenant passé. Et devant nous se trouve le plus simple, mais en même temps le plus important :

Procédure

Quelle est la procédure pour calculer une expression numérique ? Rappelez-vous, compte tenu de la valeur d'une telle expression :

Avez-vous compté?

Cela devrait fonctionner.

Alors, je vous rappelle.

La première étape consiste à calculer le degré.

La seconde est la multiplication et la division. S'il y a plusieurs multiplications et divisions en même temps, vous pouvez les faire dans n'importe quel ordre.

Et enfin, nous effectuons l'addition et la soustraction. Encore une fois, dans n'importe quel ordre.

Mais : l'expression entre parenthèses est évaluée dans le désordre !

Si plusieurs parenthèses sont multipliées ou divisées les unes par les autres, nous évaluons d'abord l'expression dans chacune des parenthèses, puis nous les multiplions ou les divisons.

Que faire s'il y a d'autres parenthèses à l'intérieur des crochets ? Eh bien, réfléchissons : une expression est écrite entre parenthèses. Quelle est la première chose à faire lors de l'évaluation d'une expression ? C'est vrai, calculez les parenthèses. Eh bien, nous avons compris: nous calculons d'abord les parenthèses intérieures, puis tout le reste.

Ainsi, l'ordre des actions pour l'expression ci-dessus est le suivant (l'action actuelle est surlignée en rouge, c'est-à-dire l'action que j'effectue en ce moment) :

D'accord, tout est simple.

Mais ce n'est pas la même chose qu'une expression avec des lettres, n'est-ce pas ?

Non, c'est pareil ! Seulement au lieu d'opérations arithmétiques, il est nécessaire de faire des opérations algébriques, c'est-à-dire les opérations décrites dans la section précédente : apportant similaire, ajouter des fractions, réduire des fractions, etc. La seule différence sera l'action de factoriser les polynômes (nous l'utilisons souvent lorsque nous travaillons avec des fractions). Le plus souvent, pour la factorisation, vous devez utiliser i ou simplement retirer le facteur commun des parenthèses.

Habituellement, notre objectif est de représenter une expression sous la forme d'un produit ou d'un quotient.

Par exemple:

Simplifions l'expression.

1) On simplifie d'abord l'expression entre parenthèses. Là, nous avons la différence des fractions, et notre objectif est de la représenter sous la forme d'un produit ou d'un quotient. Donc, on ramène les fractions à un dénominateur commun et on ajoute :

Il est impossible de simplifier davantage cette expression, tous les facteurs ici sont élémentaires (vous souvenez-vous encore de ce que cela signifie ?).

2) On obtient :

Multiplication de fractions : quoi de plus simple.

3) Vous pouvez maintenant raccourcir :

Eh bien voilà tout. Rien de compliqué, non ?

Un autre exemple:

Simplifiez l'expression.

Essayez d'abord de le résoudre vous-même, puis examinez la solution.

Solution:

Tout d'abord, définissons la procédure.

Ajoutons d'abord les fractions entre parenthèses, au lieu de deux fractions, une seule se révélera.

Ensuite, nous ferons la division des fractions. Eh bien, nous ajoutons le résultat avec la dernière fraction.

Je vais schématiquement numéroter les étapes :

Maintenant, je vais montrer l'ensemble du processus, en teintant l'action en cours de rouge :

Enfin, je vais vous donner deux conseils utiles :

1. S'il y en a des similaires, ils doivent être apportés immédiatement. Quel que soit le moment où nous en avons des similaires, il est conseillé de les apporter tout de suite.

2. Il en va de même pour la réduction des fractions : dès qu'une opportunité se présente de réduire, il faut l'utiliser. L'exception concerne les fractions que vous additionnez ou soustrayez : si elles ont maintenant les mêmes dénominateurs, la réduction doit être laissée pour plus tard.

Voici quelques tâches à résoudre par vous-même :

Et promis au tout début :

Réponses:

Solutions (brève):

Si vous avez traité au moins les trois premiers exemples, alors vous, considérez, avez maîtrisé le sujet.

Passons maintenant à l'apprentissage !

CONVERSION D'EXPRESSIONS. RÉSUMÉ ET FORMULE DE BASE

Opérations de simplification de base :

• Apporter similaire: pour ajouter (réduire) des termes similaires, vous devez ajouter leurs coefficients et attribuer la partie lettre.
• Factorisation : en retirant le facteur commun des parenthèses, en appliquant, etc.
• Réduction des fractions: le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre non nul, à partir duquel la valeur de la fraction ne change pas.
  1) numérateur et dénominateur factoriser
  2) s'il y a des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ils peuvent être barrés.

  IMPORTANT : seuls les multiplicateurs peuvent être réduits !

• Addition et soustraction de fractions :
  ;
• Multiplication et division de fractions :
  ;

Remarque 1

Une fonction logique peut être écrite à l'aide d'une expression logique, puis vous pouvez accéder au circuit logique. Il est nécessaire de simplifier les expressions logiques afin d'obtenir un circuit logique aussi simple que possible (et donc moins cher). En fait, une fonction logique, une expression logique et un circuit logique sont trois langages différents qui parlent de la même entité.

Pour simplifier les expressions logiques, utilisez lois de l'algèbre de la logique.

Certaines transformations sont similaires aux transformations de formules en algèbre classique (mise entre parenthèses du facteur commun, utilisation des lois commutatives et associatives, etc.), tandis que d'autres transformations sont basées sur des propriétés que les opérations d'algèbre classique n'ont pas (utilisation de la loi de distribution pour la conjonction, lois de l'absorption, du collage, règles de Morgan, etc.).

Les lois de l'algèbre de la logique sont formulées pour les opérations logiques de base - "NON" - inversion (négation), "ET" - conjonction (multiplication logique) et "OU" - disjonction (addition logique).

La loi de la double négation signifie que l'opération « NON » est réversible : si vous l'appliquez deux fois, alors au final la valeur logique ne changera pas.

La loi du tiers exclu stipule que toute expression logique est vraie ou fausse ("il n'y a pas de tiers"). Donc, si $A=1$, alors $\bar(A)=0$ (et vice versa), ce qui signifie que la conjonction de ces quantités est toujours égale à zéro, et la disjonction est égale à un.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Simplifions cette formule :

figure 3

Cela implique que $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Répondre: les élèves $B$, $C$ et $D$ jouent aux échecs, mais l'élève $A$ ne joue pas.

Lors de la simplification d'expressions logiques, vous pouvez effectuer la séquence d'actions suivante :

1. Remplacez toutes les opérations "non fondamentales" (équivalence, implication, OU exclusif, etc.) par leurs expressions à travers les opérations de base d'inversion, de conjonction et de disjonction.
2. Développez les inversions d'expressions complexes selon les règles de de Morgan de telle manière que seules les variables individuelles aient des opérations de négation.
3. Ensuite, simplifiez l'expression en utilisant l'expansion des parenthèses, la mise entre parenthèses des facteurs communs et d'autres lois de l'algèbre de la logique.

Exemple 2

Ici, la règle de Morgan, la loi distributive, la loi du tiers exclu, la loi commutative, la loi de répétition, la loi à nouveau commutative et la loi d'absorption sont utilisées successivement.

Avec l'aide de n'importe quelle langue, vous pouvez exprimer la même information dans différents mots et phrases. Le langage mathématique ne fait pas exception. Mais la même expression peut être écrite de manière équivalente de différentes manières. Et dans certaines situations, l'une des entrées est plus simple. Nous parlerons de la simplification des expressions dans cette leçon.

Les gens communiquent dans différentes langues. Pour nous, une comparaison importante est le couple "langue russe - langage mathématique". Les mêmes informations peuvent être rapportées dans différentes langues. Mais, en plus de cela, il peut être prononcé différemment dans une langue.

Par exemple : « Peter est ami avec Vasya », « Vasya est ami avec Petya », « Peter et Vasya sont amis ». Dit différemment, mais une seule et même chose. Par n'importe laquelle de ces phrases, nous comprendrions ce qui est en jeu.

Regardons cette phrase: "Le garçon Petya et le garçon Vasya sont amis." Nous comprenons ce qui est en jeu. Cependant, nous n'aimons pas la façon dont cette phrase sonne. Ne peut-on pas simplifier, dire la même chose, mais en plus simple ? "Garçon et garçon" - vous pouvez dire une fois: "Les garçons Petya et Vasya sont amis."

"Boys" ... N'est-il pas clair d'après leurs noms qu'ils ne sont pas des filles. Nous supprimons les "garçons": "Petya et Vasya sont amis." Et le mot "amis" peut être remplacé par "amis": "Petya et Vasya sont amis." En conséquence, la première phrase longue et laide a été remplacée par une déclaration équivalente plus facile à dire et à comprendre. Nous avons simplifié cette expression. Simplifier signifie dire plus facilement, mais ne pas perdre, ne pas déformer le sens.

La même chose se produit dans le langage mathématique. La même chose peut être dite différemment. Que signifie simplifier une expression ? Cela signifie que pour l'expression originale, il existe de nombreuses expressions équivalentes, c'est-à-dire celles qui signifient la même chose. Et de toute cette multitude, nous devons choisir le plus simple, à notre avis, ou le plus approprié à nos fins ultérieures.

Par exemple, considérons une expression numérique. Ce sera équivalent à .

Il sera également équivalent aux deux premiers : .

Il s'avère que nous avons simplifié nos expressions et trouvé l'expression équivalente la plus courte.

Pour les expressions numériques, vous devez toujours faire tout le travail et obtenir l'expression équivalente sous la forme d'un nombre unique.

Prenons un exemple d'expression littérale . Évidemment, ce sera plus simple.

Lors de la simplification d'expressions littérales, vous devez effectuer toutes les actions possibles.

Est-il toujours nécessaire de simplifier une expression ? Non, parfois une notation équivalente mais plus longue nous conviendra mieux.

Exemple: Soustrayez le nombre du nombre.

Il est possible de calculer, mais si le premier nombre était représenté par sa notation équivalente : , alors les calculs seraient instantanés : .

Autrement dit, une expression simplifiée n'est pas toujours bénéfique pour nous pour des calculs ultérieurs.

Néanmoins, très souvent, nous sommes confrontés à une tâche qui ressemble à "simplifier l'expression".

Simplifiez l'expression : .

Solution

1) Effectuez les actions dans les première et deuxième parenthèses : .

2) Calculez les produits : .

Évidemment, la dernière expression a une forme plus simple que la première. Nous l'avons simplifié.

Afin de simplifier l'expression, il faut la remplacer par un équivalent (égal).

Pour déterminer l'expression équivalente, vous devez :

1) effectuer toutes les actions possibles,

2) utiliser les propriétés de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division pour simplifier les calculs.

Propriétés de l'addition et de la soustraction :

1. Propriété commutative de l'addition : la somme ne change pas du réarrangement des termes.

2. Propriété associative de l'addition : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux nombres, vous pouvez ajouter la somme des deuxième et troisième nombres au premier nombre.

3. La propriété de soustraire une somme d'un nombre : pour soustraire la somme d'un nombre, vous pouvez soustraire chaque terme individuellement.

Propriétés de la multiplication et de la division

1. La propriété commutative de la multiplication : le produit ne change pas d'une permutation de facteurs.

2. Propriété associative : pour multiplier un nombre par le produit de deux nombres, vous pouvez d'abord le multiplier par le premier facteur, puis multiplier le produit obtenu par le deuxième facteur.

3. La propriété distributive de la multiplication : pour multiplier un nombre par une somme, vous devez le multiplier par chaque terme séparément.

Voyons comment nous effectuons réellement des calculs mentaux.

Calculer:

Solution

1) Imaginez comment

2) Représentons le premier multiplicateur comme la somme des termes de bit et effectuons la multiplication :

3) vous pouvez imaginer comment et effectuer la multiplication :

4) Remplacez le premier facteur par une somme équivalente :

La loi distributive peut également être utilisée dans le sens inverse : .

Suivez ces étapes:

1) 2)

Solution

1) Pour plus de commodité, vous pouvez utiliser la loi de distribution, utilisez-la simplement dans le sens opposé - retirez le facteur commun des parenthèses.

2) Prenons le facteur commun entre parenthèses

Il est nécessaire d'acheter du linoléum dans la cuisine et le couloir. Coin cuisine - dégagement -. Il existe trois types de linoléums: pour et roubles pour. Combien coûtera chacun des trois types de linoléum? (Fig. 1)

Riz. 1. Illustration de l'état du problème

Solution

Méthode 1. Vous pouvez trouver séparément combien d'argent il faudra pour acheter du linoléum dans la cuisine, puis l'ajouter au couloir et additionner les travaux qui en résultent.

§ 1 Le concept de simplification d'une expression littérale

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec le concept de « termes similaires » et, à l'aide d'exemples, nous apprendrons comment effectuer la réduction de termes similaires, simplifiant ainsi les expressions littérales.

Découvrons la signification du concept de "simplification". Le mot "simplification" est dérivé du mot "simplifier". Simplifier signifie rendre simple, plus simple. Par conséquent, simplifier une expression littérale revient à la rendre plus courte, avec un nombre minimum d'actions.

Considérez l'expression 9x + 4x. C'est une expression littérale qui est une somme. Les termes sont ici présentés comme des produits d'un nombre et d'une lettre. Le facteur numérique de ces termes s'appelle le coefficient. Dans cette expression, les coefficients seront les nombres 9 et 4. Veuillez noter que le multiplicateur représenté par la lettre est le même dans les deux termes de cette somme.

Rappelons la loi distributive de la multiplication :

Pour multiplier la somme par un nombre, vous pouvez multiplier chaque terme par ce nombre et ajouter les produits résultants.

En général, il s'écrit comme suit : (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Cette loi est valable dans les deux sens ac + bc = (a + b) ∙ c

Appliquons-le à notre expression littérale : la somme des produits de 9x et 4x est égale au produit dont le premier facteur est la somme de 9 et 4, le second facteur est x.

9 + 4 = 13 fait 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Au lieu de trois actions dans l'expression, une action est restée - la multiplication. Nous avons donc simplifié notre expression littérale, c'est-à-dire l'a simplifié.

§ 2 Réduction des termes similaires

Les termes 9x et 4x ne diffèrent que par leurs coefficients - ces termes sont appelés similaires. La partie lettre des termes similaires est la même. Les termes similaires incluent également les nombres et les termes égaux.

Par exemple, dans l'expression 9a + 12 - 15, les nombres 12 et -15 seront des termes similaires, et dans la somme des produits de 12 et 6a, les nombres 14 et les produits de 12 et 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), les termes égaux seront similaires, représentés par le produit de 12 et 6a.

Il est important de noter que les termes avec des coefficients égaux et des facteurs littéraux différents ne sont pas similaires, bien qu'il soit parfois utile de leur appliquer la loi distributive de la multiplication, par exemple, la somme des produits de 5x et 5y est égale au produit du nombre 5 et la somme de x et y

5x + 5y = 5(x + y).

Simplifions l'expression -9a + 15a - 4 + 10.

Dans ce cas, les termes -9a et 15a sont des termes similaires, puisqu'ils ne diffèrent que par leurs coefficients. Ils ont le même multiplicateur de lettres, et les termes -4 et 10 sont également similaires, car ce sont des nombres. Nous ajoutons des termes similaires :

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a ;

On obtient : 6a + 6.

En simplifiant l'expression, nous avons trouvé les sommes de termes semblables, en mathématiques cela s'appelle la réduction de termes semblables.

Si apporter de tels termes est difficile, vous pouvez trouver des mots pour eux et ajouter des objets.

Par exemple, considérons l'expression :

Pour chaque lettre, nous prenons notre propre objet: b-pomme, c-poire, puis il s'avérera: 2 pommes moins 5 poires plus 8 poires.

Peut-on soustraire les poires des pommes ? Bien sûr que non. Mais on peut ajouter 8 poires à moins 5 poires.

Nous donnons comme termes -5 poires + 8 poires. Les termes similaires ont la même partie littérale, par conséquent, lors de la réduction des termes similaires, il suffit d'ajouter les coefficients et d'ajouter la partie littérale au résultat :

(-5 + 8) poires - vous obtenez 3 poires.

Revenant à notre expression littérale, nous avons -5s + 8s = 3s. Ainsi, après réduction des termes similaires, on obtient l'expression 2b + 3c.

Ainsi, dans cette leçon, vous vous êtes familiarisé avec le concept de "termes similaires" et avez appris à simplifier des expressions littérales en apportant des termes similaires.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques. 6e année : plans de cours pour le manuel de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // auteur-compilateur L.A. Topiline. Mnémosyne 2009.
2. Mathématiques. 6e année: un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement. II Zubareva, A.G. Mordkovich.- M. : Mnemozina, 2013.
3. Mathématiques. 6e année: manuel pour les établissements d'enseignement / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov et autres / édité par G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin ; Académie russe des sciences, Académie russe de l'éducation. M. : "Lumières", 2010.
4. Mathématiques. 6e année: manuel pour les établissements d'enseignement général / N.Ya. Vilenkin, V.I. Jokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M. : Mnémozina, 2013.
5. Mathématiques. 6e année: manuel / G.K. Muravin, O.V. Fourmi. – M. : Outarde, 2014.

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