Ce qu'on appelle une fraction. Fractions communes
Le numérateur et le dénominateur d'une fraction. Types de fractions. Continuons avec les fractions. Tout d'abord, une petite mise en garde - nous, en considérant les fractions et les exemples correspondants avec eux, pour l'instant nous ne travaillerons qu'avec sa représentation numérique. Il existe aussi des fractions expressions littérales(avec et sans chiffres).Cependant, tous les "principes" et règles s'appliquent également à eux, mais nous parlerons de ces expressions séparément à l'avenir. Je recommande de visiter et d'étudier (se souvenir) le sujet des fractions étape par étape.
La chose la plus importante est de comprendre, de se souvenir et de réaliser qu'une FRACTION est un NOMBRE !!!
Fraction commune est un nombre de la forme :
Le nombre situé "en haut" (dans ce cas m) est appelé le numérateur, le nombre situé en dessous (nombre n) est appelé le dénominateur. Ceux qui viennent d'aborder le sujet sont souvent confus - quel est le nom.
Voici une astuce pour vous, comment vous souvenir pour toujours - où est le numérateur et où est le dénominateur. Cette technique est associée à l'association verbal-figuratif. Imaginez un pot d'eau trouble. Il est connu que lorsque l'eau se dépose, l'eau propre reste sur le dessus et la turbidité (saleté) se dépose, rappelez-vous :
Eau de fonte CHISSS CI-DESSUS (verseur CHISSS sur le dessus)
boue ZZZNNN ème fond d'eau (ZZZNN Amenator ci-dessous)
Ainsi, dès qu'il devient nécessaire de se rappeler où se trouve le numérateur et où se trouve le dénominateur, ils présentent immédiatement visuellement un pot d'eau décantée, dans lequel Eau pure, et plus bas eau sale. Il y a d'autres astuces à retenir, si elles vous aident, tant mieux.
Exemples de fractions ordinaires :
Que signifie la ligne horizontale entre les chiffres ? Ce n'est rien de plus qu'un signe de division. Il s'avère qu'une fraction peut être considérée comme un exemple avec l'action de division. Cette action est simplement enregistrée dans ce formulaire. Autrement dit, le nombre supérieur (numérateur) est divisé par le nombre inférieur (dénominateur) :
De plus, il existe une autre forme d'enregistrement - une fraction peut être écrite comme ceci (à travers une barre oblique):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 et ainsi de suite...
Nous pouvons écrire les fractions ci-dessus comme suit :
Le résultat de la division, comme vous le savez, est le nombre.
Clarifié - FRACTION CE NOMBRE !!!
Comme vous l'avez déjà remarqué, dans une fraction ordinaire, le numérateur peut être inférieur au dénominateur, supérieur au dénominateur et égal à celui-ci. Ici il y a beaucoup les points importants, compréhensibles intuitivement, sans fioritures théoriques. Par exemple:
1. Les fractions 1 et 3 peuvent s'écrire 0,5 et 0,01. Allons un peu plus loin - ce sont des fractions décimales, nous en parlerons un peu plus bas.
2. Les fractions 4 et 6 donnent un entier 45:9=5, 11:1 = 11.
3. La fraction 5 donne en conséquence une unité 155:155 = 1.
Quelles conclusions s'imposent ? Ce qui suit:
1. Le numérateur, lorsqu'il est divisé par le dénominateur, peut donner un nombre fini. Cela peut ne pas fonctionner, divisez par une colonne 7 par 13 ou 17 par 11 - pas question ! Vous pouvez diviser indéfiniment, mais nous en reparlerons également un peu plus bas.
2. Une fraction peut résulter en un nombre entier. Par conséquent, on peut représenter n'importe quel entier comme une fraction, ou plutôt une suite infinie de fractions, regardez, toutes ces fractions sont égales à 2 :
Encore! Nous pouvons toujours écrire n'importe quel nombre entier sous forme de fraction - ce nombre lui-même est au numérateur, un au dénominateur :
3. On peut toujours représenter une unité comme une fraction avec n'importe quel dénominateur :
*Les points indiqués sont extrêmement importants pour travailler avec des fractions dans les calculs et les conversions.
Types de fractions.
Et maintenant sur la division théorique des fractions ordinaires. Ils sont divisés en vrai et faux.
Une fraction dont le numérateur est inférieur au dénominateur est appelée fraction propre. Exemples:
Une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur est appelée fraction impropre. Exemples:
fraction mixte(nombre mixte).
Une fraction mixte est une fraction écrite sous la forme d'un nombre entier et d'une fraction propre et s'entend comme la somme de ce nombre et de sa partie fractionnaire. Exemples:
Une fraction mixte peut toujours être représentée comme une fraction impropre et vice versa. Allons plus loin !
Décimales.
Nous les avons déjà abordés ci-dessus, ce sont les exemples (1) et (3), maintenant plus en détail. Voici des exemples de décimales : 0,3 0,89 0,001 5,345.
Une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, telle que 10, 100, 1000, etc., est appelée un nombre décimal. Il n'est pas difficile d'écrire les trois premières fractions indiquées comme des fractions ordinaires :
Le quatrième est une fraction mixte (nombre mixte):
Une fraction décimale a la notation suivante - avecla partie entière commence, puis le séparateur des parties entière et décimale est un point ou une virgule puis la partie décimale, le nombre de chiffres de la partie décimale est strictement déterminé par la dimension de la partie décimale : si ce sont des dixièmes, le la partie fractionnaire est écrite sous la forme d'un chiffre ; si millièmes - trois; dix millièmes - quatre, etc.
Ces fractions sont finies et infinies.
Exemples décimaux de fin : 0,234 ; 0,87 ; 34.00005 ; 5.765.
Les exemples sont innombrables. Par exemple, le nombre Pi est une fraction décimale infinie, mais - 0,333333333333…... 0,16666666666…. et d'autres. Aussi le résultat de l'extraction de la racine des nombres 3, 5, 7, etc. sera une fraction infinie.
La partie fractionnaire peut être cyclique (il y a un cycle dedans), les deux exemples ci-dessus sont exactement les mêmes, plus d'exemples :
0.123123123123…... cycle 123
0.781781781718…... cycle 781
0.0250102501…. cycle 02501
Ils peuvent être écrits comme 0, (123) 0, (781) 0, (02501).
Le nombre Pi n'est pas une fraction cyclique, comme, par exemple, la racine de trois.
Ci-dessous dans les exemples, des mots tels que "retourner" la fraction sonneront - cela signifie que le numérateur et le dénominateur sont interchangés. En fait, une telle fraction a un nom - la fraction réciproque. Exemples de fractions réciproques :
Petit résumé ! Les fractions sont :
Ordinaire (correct et incorrect).
Décimales (fini et infini).
Mixte (nombres mixtes).
C'est tout!
Cordialement, Alexandre.
Le numérateur, et ce par quoi il est divisé est le dénominateur.
Pour écrire une fraction, écrivez d'abord son numérateur, puis tracez une ligne horizontale sous ce nombre et écrivez le dénominateur sous la ligne. La ligne horizontale séparant le numérateur et le dénominateur s'appelle une barre fractionnaire. Parfois, il est représenté par un "/" ou un "∕" oblique. Dans ce cas, le numérateur est écrit à gauche de la ligne et le dénominateur à droite. Ainsi, par exemple, la fraction "deux tiers" s'écrira 2/3. Pour plus de clarté, le numérateur est généralement écrit en haut de la ligne et le dénominateur en bas, c'est-à-dire qu'au lieu de 2/3, vous pouvez trouver : ⅔.
Pour calculer le produit de fractions, multipliez d'abord le numérateur de un fractionsà un autre numérateur. Ecrire le résultat au numérateur du nouveau fractions. Puis multipliez également les dénominateurs. Spécifiez la valeur finale dans le nouveau fractions. Par exemple, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1 ; 3 × 5 = 15).
Pour diviser une fraction par une autre, multipliez d'abord le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde. Faites de même avec la deuxième fraction (diviseur). Ou, avant d'effectuer toutes les étapes, commencez par "retourner" le diviseur, si cela vous convient mieux : le dénominateur doit être à la place du numérateur. Multipliez ensuite le dénominateur du dividende par le nouveau dénominateur du diviseur et multipliez les numérateurs. Par exemple, 1/3 : 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5 ; 3 × 1 = 3).
Sources:
- Tâches de base pour les fractions
Les nombres fractionnaires permettent d'exprimer en forme différente valeur exacte quantités. Vous pouvez faire la même chose avec des fractions. opérations mathématiques, comme pour les entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, il est nécessaire de rappeler certaines de leurs caractéristiques. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, un dénominateur commun. Quelques opérations arithmétiques après exécution, ils nécessitent la réduction de la partie fractionnaire du résultat.
Tu auras besoin de
- - calculatrice
Instruction
Regardez bien les chiffres. S'il y a des fractions décimales et irrégulières parmi les fractions, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des actions avec des décimales, puis de les convertir dans la mauvaise forme. Peux-tu traduire fractions sous cette forme initialement, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres au-dessus et au-dessous par un diviseur. Les fractions dans lesquelles la partie entière se détache, conduisent à la mauvaise forme en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au résultat. Valeurs données deviendra le nouveau numérateur fractions. Pour extraire toute la partie de l'initialement incorrect fractions, diviser le numérateur par le dénominateur. Ecrire le résultat entier de fractions. Et le reste de la division devient le nouveau numérateur, le dénominateur fractions tout en ne changeant pas. Pour les fractions avec une partie entière, il est possible d'effectuer des actions séparément, d'abord pour l'entier puis pour les parties fractionnaires. Par exemple, la somme de 1 2/3 et 2 ¾ peut être calculée :
- Conversion de fractions sous la mauvaise forme :
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ;
- Sommation séparée des parties entières et fractionnaires des termes :
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Pour avec des fractions. Faites de même pour les dénominateurs. Lors de la division d'un fractionsécrivez une fraction sur l'autre, puis multipliez son numérateur par le dénominateur de la seconde. Dans le même temps, le dénominateur du premier fractions multiplié en conséquence par le numérateur de la seconde. En même temps, une sorte de renversement de la seconde fractions(séparateur). La fraction finale proviendra des résultats de la multiplication des numérateurs et des dénominateurs des deux fractions. Facile à apprendre fractions, écrit dans l'état sous la forme d'un "quatre étages" fractions. S'il sépare deux fractions, réécrivez-les avec un délimiteur ":" et continuez avec la division normale.
Pour obtenir le résultat final, réduisez la fraction résultante en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier, le plus grand possible dans ce cas. Dans ce cas, il doit y avoir des nombres entiers au-dessus et au-dessous de la ligne.
Remarque
Ne faites pas d'arithmétique avec des fractions qui ont des dénominateurs différents. Choisissez un nombre tel que lorsque le numérateur et le dénominateur de chaque fraction sont multipliés par celui-ci, les dénominateurs des deux fractions sont égaux.
Lors de l'écriture de nombres fractionnaires, le dividende est écrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est appelée le numérateur d'une fraction. Sous la ligne, le diviseur, ou le dénominateur, de la fraction est écrit. Par exemple, un kilogramme et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ½ kg de riz. Si le dénominateur d'une fraction est 10, on parle de fraction décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière séparée par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour la commodité des calculs, une telle fraction peut toujours être écrite sous la mauvaise forme : 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour simplifier, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un seul nombre entier. À cet exemple il est possible de diviser par 2. Le résultat sera 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez faire des calculs sont sous la même forme.
Actions d'une unité et est représenté comme \frac(a)(b).
Numérateur de fraction (a)- le nombre situé au-dessus de la ligne du fraction et indiquant le nombre d'actions composant la part.
Dénominateur de fraction (b)- le nombre sous la ligne de la fraction et indiquant en combien d'actions la part a été divisée.
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Propriété de base d'une fraction
Si ad=bc , alors deux fractions \frac(a)(b) et \frac(c)(d) sont considérés comme égaux. Par exemple, les fractions seront égales \frac35 et \frac(9)(15), puisque 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) et \frac(24)(14), puisque 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
De la définition de l'égalité des fractions, il s'ensuit que les fractions seront égales \frac(a)(b) et \frac(am)(bm), puisque a(bm)=b(am) est un exemple clair de l'utilisation des propriétés associatives et commutatives de la multiplication nombres naturels En action.
Moyens \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- ressemble à ça propriété de base d'une fraction.
En d'autres termes, nous obtenons une fraction égale à celle donnée en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction d'origine par le même nombre naturel.
Réduction des fractions est le processus de remplacement d'une fraction, dans lequel la nouvelle fraction est égale à l'original, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Il est d'usage de réduire les fractions en fonction de la propriété principale d'une fraction.
Par exemple, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(le numérateur et le dénominateur sont divisibles par le nombre 3) ; la fraction résultante peut à nouveau être réduite en divisant par 5, c'est-à-dire \frac(15)(20)=\frac 34.
fraction irréductible est une fraction de la forme \frac 34, où le numérateur et le dénominateur sont des nombres relativement premiers. Le but principal de la réduction de fraction est de rendre la fraction irréductible.
Ramener des fractions à un dénominateur commun
Prenons deux fractions comme exemple : \frac(2)(3) et \frac(5)(8) avec des dénominateurs différents 3 et 8 . Afin d'amener ces fractions à un dénominateur commun et d'abord multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction \frac(2)(3) par 8. Nous obtenons le résultat suivant : \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Multipliez ensuite le numérateur et le dénominateur de la fraction \frac(5)(8) par 3. On obtient comme résultat : \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Ainsi, les fractions originales sont réduites à un dénominateur commun 24.
Opérations arithmétiques sur les fractions ordinaires
Addition de fractions ordinaires
a) Quand mêmes dénominateurs Le numérateur de la première fraction est ajouté au numérateur de la deuxième fraction, laissant le dénominateur le même. Comme on le voit dans l'exemple :
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) Quand différents dénominateurs les fractions sont d'abord réduites à un dénominateur commun, puis les numérateurs sont additionnés selon la règle a) :
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Soustraction de fractions ordinaires
a) Avec les mêmes dénominateurs, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, en laissant le même dénominateur :
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Si les dénominateurs des fractions sont différents, alors d'abord les fractions sont réduites à un dénominateur commun, puis répétez les étapes comme au paragraphe a).
Multiplication de fractions ordinaires
La multiplication des fractions obéit à la règle suivante :
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
c'est-à-dire multiplier les numérateurs et les dénominateurs séparément.
Par exemple:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Division de fractions ordinaires
Les fractions sont divisées de la manière suivante :
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
c'est une fraction \frac(a)(b) multiplié par une fraction \frac(d)(c).
Exemple: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Nombres réciproques
Si ab=1 , alors le nombre b est numéro inversé pour le numéro a.
Exemple : pour le chiffre 9, l'inverse est \frac(1)(9), car 9 \cdot \frac(1)(9)=1, pour le nombre 5 - \frac(1)(5), car 5 \cdot \frac(1)(5)=1.
Décimales
Décimal est une fraction propre dont le dénominateur est 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .
Par exemple: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.
De la même manière, des nombres incorrects avec un dénominateur 10 ^ n ou des nombres mixtes sont écrits.
Par exemple: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.
Sous forme de fraction décimale, toute fraction ordinaire dont le dénominateur est un diviseur d'une certaine puissance du nombre 10 est représentée.
Exemple : 5 est un diviseur de 100 donc la fraction \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.
Opérations arithmétiques sur les fractions décimales
Additionner des décimales
Pour ajouter deux fractions décimales, vous devez les disposer de manière à ce que les mêmes chiffres et une virgule sous une virgule apparaissent l'un sous l'autre, puis additionner les fractions sous forme de nombres ordinaires.
Soustraction de nombres décimaux
Cela fonctionne de la même manière que l'addition.
Multiplication décimale
Lors de la multiplication Nombres décimaux il suffit de multiplier nombres donnés, sans faire attention aux virgules (en tant que nombres naturels), et dans la réponse reçue, la virgule à droite sépare autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans les deux facteurs au total.
Faisons la multiplication de 2,7 par 1,3. Nous avons 27 \cdot 13=351 . Nous séparons deux chiffres à partir de la droite par une virgule (le premier et le deuxième nombre ont un chiffre après la virgule ; 1+1=2). En conséquence, nous obtenons 2,7 \cdot 1,3=3,51 .
Si le résultat contient moins de chiffres qu'il n'est nécessaire de séparer par une virgule, alors les zéros manquants sont écrits devant, par exemple :
Pour multiplier par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule décimale 1, 2, 3 chiffres vers la droite en fraction décimale (si nécessaire, certain nombre zéros).
Par exemple : 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .
Division décimale
La division d'une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière que la division d'un nombre naturel par un nombre naturel. Une virgule dans le privé est placée une fois la division de la partie entière terminée.
Si la partie entière du dividende est inférieure au diviseur, alors la réponse est zéro entier, par exemple :
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Pensez à diviser un nombre décimal par un nombre décimal. Disons que nous devons diviser 2,576 par 1,12. Tout d'abord, on multiplie le dividende et le diviseur de la fraction par 100, c'est-à-dire qu'on déplace la virgule vers la droite dans le dividende et le diviseur d'autant de caractères qu'il y a dans le diviseur après la virgule (dans cet exemple , deux). Ensuite, vous devez diviser la fraction 257,6 par le nombre naturel 112, c'est-à-dire que le problème est réduit au cas déjà considéré :
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Il arrive que la fraction décimale finale ne soit pas toujours obtenue lors de la division d'un nombre par un autre. Le résultat est un nombre décimal infini. Dans de tels cas, passez aux fractions ordinaires.
2.8 : 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).
Cet article est à propos de fractions communes. Ici, nous nous familiariserons avec le concept de fraction d'un tout, ce qui nous conduira à la définition d'une fraction ordinaire. Ensuite, nous nous attarderons sur la notation acceptée pour les fractions ordinaires et donnerons des exemples de fractions, par exemple sur le numérateur et le dénominateur d'une fraction. Après cela, nous donnerons les définitions des fractions correctes et incorrectes, positives et négatives, et considérerons également la position des nombres fractionnaires sur le rayon de coordonnées. En conclusion, nous énumérons les principales actions avec des fractions.
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Partage de l'ensemble
Nous introduisons d'abord notion de partage.
Supposons que nous ayons un objet composé de plusieurs parties absolument identiques (c'est-à-dire égales). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer, par exemple, une pomme coupée en plusieurs parts égales, ou une orange, composée de plusieurs tranches égales. Chacune de ces parties égales qui composent l'objet entier est appelée part de l'ensemble ou simplement actions.
Notez que les parts sont différentes. Expliquons cela. Disons que nous avons deux pommes. Coupez la première pomme en deux parts égales, et la seconde en 6 parts égales. Il est clair que la part de la première pomme sera différente de la part de la deuxième pomme.
Selon le nombre de parts qui composent l'ensemble de l'objet, ces parts ont leur propre nom. analysons partager des noms. Si l'objet se compose de deux parties, l'une d'elles est appelée une seconde partie de l'objet entier ; si l'objet se compose de trois parties, alors l'une d'entre elles est appelée une troisième partie, et ainsi de suite.
Un deuxième temps a un nom spécial - demi. Un tiers s'appelle troisième, et un quadruple - trimestre.
Par souci de brièveté, ce qui suit désignations d'actions. Une seconde part est désignée comme ou 1/2, une troisième part - comme ou 1/3 ; un quart de part - comme ou 1/4, et ainsi de suite. Notez que la notation avec une barre horizontale est utilisée plus souvent. Pour consolider le matériel, donnons encore un exemple : l'entrée désigne le cent soixante-septième de l'ensemble.
Le concept de part s'étend naturellement des objets aux grandeurs. Par exemple, l'une des mesures de longueur est le mètre. Pour mesurer des longueurs inférieures à un mètre, des fractions de mètre peuvent être utilisées. Vous pouvez donc utiliser, par exemple, un demi-mètre ou un dixième ou un millième de mètre. Les parts des autres quantités sont appliquées de la même manière.
Fractions courantes, définition et exemples de fractions
Pour décrire le nombre d'actions sont utilisés fractions communes. Donnons un exemple qui nous permettra d'aborder la définition des fractions ordinaires.
Soit une orange composée de 12 parties. Chaque action dans ce cas représente un douzième d'une orange entière, c'est-à-dire . Désignons deux temps par , trois temps par , et ainsi de suite, 12 temps par . Chacune de ces entrées est appelée une fraction ordinaire.
Donnons maintenant un général définition des fractions communes.
La définition voisée des fractions ordinaires nous permet d'apporter exemples de fractions courantes: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Et voici les enregistrements 
ne correspondent pas à la définition exprimée des fractions ordinaires, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas des fractions ordinaires.
Numérateur et dénominateur
Pour plus de commodité, dans les fractions ordinaires, nous distinguons numérateur et dénominateur.
Définition.
Numérateur fraction ordinaire (m/n) est un entier naturel m.
Définition.
Dénominateur fraction ordinaire (m/n) est un entier naturel n.
Ainsi, le numérateur est situé au-dessus de la barre de fraction (à gauche de la barre oblique) et le dénominateur est en dessous de la barre de fraction (à droite de la barre oblique). Par exemple, prenons une fraction ordinaire 17/29, le numérateur de cette fraction est le nombre 17 et le dénominateur est le nombre 29.
Il reste à discuter de la signification contenue dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction ordinaire. Le dénominateur de la fraction indique le nombre de parts d'un élément, le numérateur, à son tour, indique le nombre de ces parts. Par exemple, le dénominateur 5 de la fraction 12/5 signifie qu'un élément se compose de cinq parties, et le numérateur 12 signifie que 12 de ces parties sont prises.
Nombre naturel sous forme de fraction avec dénominateur 1
Le dénominateur d'une fraction commune peut être égal à un. Dans ce cas, on peut supposer que l'objet est indivisible, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un tout. Le numérateur d'une telle fraction indique combien d'éléments entiers sont pris. Ainsi, une fraction ordinaire de la forme m/1 a le sens d'un entier naturel m. C'est ainsi que nous avons justifié l'égalité m/1=m .
Réécrivons la dernière égalité comme ceci : m=m/1 . Cette égalité nous permet de représenter tout nombre naturel m comme une fraction ordinaire. Par exemple, le nombre 4 est la fraction 4/1 et le nombre 103498 est la fraction 103498/1.
Alors, tout nombre naturel m peut être représenté comme une fraction ordinaire avec le dénominateur 1 comme m/1 , et toute fraction ordinaire de la forme m/1 peut être remplacée par un nombre naturel m.
Barre de fraction comme signe de division
La représentation de l'objet originel sous la forme de n parts n'est rien d'autre qu'une division en n parts égales. Une fois l'article divisé en n parts, nous pouvons le diviser également entre n personnes - chacune recevra une part.
Si nous avons initialement m objets identiques, dont chacun est divisé en n parts, alors nous pouvons répartir également ces m objets entre n personnes, en donnant à chaque personne une part de chacun des m objets. Dans ce cas, chaque personne aura m parts 1/n, et m parts 1/n donne une fraction ordinaire m/n. Ainsi, la fraction commune m/n peut être utilisée pour représenter la répartition de m éléments entre n personnes.
Nous avons donc obtenu un lien explicite entre les fractions ordinaires et la division (voir l'idée générale de la division des nombres naturels). Cette relation s'exprime comme suit : La barre d'une fraction peut être comprise comme un signe de division, c'est-à-dire m/n=m:n.
À l'aide d'une fraction ordinaire, vous pouvez écrire le résultat de la division de deux nombres naturels pour lesquels la division n'est pas effectuée par un nombre entier. Par exemple, le résultat de la division de 5 pommes par 8 personnes peut s'écrire 5/8, c'est-à-dire que chacun recevra cinq huitièmes de pomme : 5:8=5/8.
Fractions ordinaires égales et inégales, comparaison de fractions
Une action assez naturelle est comparaison de fractions communes, car il est clair que 1/12 d'une orange est différent de 5/12, et 1/6 d'une pomme est le même que l'autre 1/6 de cette pomme.
À la suite de la comparaison de deux fractions ordinaires, l'un des résultats est obtenu: les fractions sont soit égales, soit non égales. Dans le premier cas nous avons fractions communes égales, et dans la seconde fractions communes inégales. Donnons une définition des fractions ordinaires égales et inégales.
Définition.
égal, si l'égalité a d=b c est vraie.
Définition.
Deux fractions communes a/b et c/d inégal, si l'égalité a d=b c n'est pas satisfaite.
Voici quelques exemples de fractions égales. Par exemple, la fraction commune 1/2 est égale à la fraction 2/4, puisque 1 4=2 2 (voir si nécessaire les règles et exemples de multiplication des nombres naturels). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer deux pommes identiques, la première est coupée en deux et la seconde - en 4 parts. Il est évident que les deux quarts d'une pomme valent 1/2 part. D'autres exemples de fractions communes égales sont les fractions 4/7 et 36/63, et la paire de fractions 81/50 et 1620/1000.
Et les fractions ordinaires 4/13 et 5/14 ne sont pas égales, puisque 4 14=56, et 13 5=65, soit 4 14≠13 5. Un autre exemple de fractions communes inégales sont les fractions 17/7 et 6/4.
Si, en comparant deux fractions ordinaires, il s'avère qu'elles ne sont pas égales, vous devrez peut-être savoir laquelle de ces fractions ordinaires moins un autre, et qui Suite. Pour le savoir, la règle de comparaison des fractions ordinaires est utilisée, dont l'essence est d'amener les fractions comparées à un dénominateur commun, puis de comparer les numérateurs. Des informations détaillées sur ce sujet sont rassemblées dans l'article comparaison de fractions: règles, exemples, solutions.
Nombres fractionnaires
Chaque fraction est un enregistrement nombre fractionnaire. Autrement dit, une fraction n'est qu'une "coquille" d'un nombre fractionnaire, son apparence, et toute la charge sémantique est contenue précisément dans un nombre fractionnaire. Cependant, pour des raisons de brièveté et de commodité, les concepts de fraction et de nombre fractionnaire sont combinés et simplement appelés fraction. Il convient ici de paraphraser le dicton bien connu : nous disons une fraction - nous voulons dire nombre fractionnaire, nous disons un nombre fractionnaire - nous voulons dire une fraction.
Fractions sur le faisceau de coordonnées
Tous les nombres fractionnaires correspondant aux fractions ordinaires ont leur propre endroit unique sur , c'est-à-dire qu'il existe une correspondance biunivoque entre les fractions et les points du rayon de coordonnées.
Pour arriver au point correspondant à la fraction m / n sur le rayon de coordonnées, il est nécessaire de reporter m segments de l'origine dans la direction positive, dont la longueur est de 1 / n du segment unitaire. De tels segments peuvent être obtenus en divisant un seul segment en n parties égales, ce qui peut toujours être fait à l'aide d'un compas et d'une règle.
Par exemple, montrons le point M sur le rayon de coordonnées, correspondant à la fraction 14/10. La longueur du segment avec des extrémités au point O et au point le plus proche de celui-ci, marqué d'un petit tiret, est de 1/10 du segment unitaire. Le point de coordonnée 14/10 est retiré de l'origine par 14 de ces segments.
Des fractions égales correspondent au même nombre fractionnaire, c'est-à-dire fractions égales sont les coordonnées d'un même point sur le rayon de coordonnées. Par exemple, un point correspond aux coordonnées 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 sur le rayon de coordonnées, puisque toutes les fractions écrites sont égales (il est situé à une distance de la moitié du segment unitaire, reporté de l'origine dans le sens positif).
Sur un rayon de coordonnées horizontal et dirigé vers la droite, le point dont la coordonnée est une grande fraction est situé à droite du point dont la coordonnée est une plus petite fraction. De même, le point avec la plus petite coordonnée se trouve à gauche du point avec la plus grande coordonnée.
Fractions propres et impropres, définitions, exemples
Parmi les fractions ordinaires, il y a fractions propres et impropres. Cette division a essentiellement une comparaison du numérateur et du dénominateur.
Donnons une définition des fractions ordinaires propres et impropres.
Définition.
Fraction propre est une fraction ordinaire dont le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est-à-dire si m Définition.
Fraction impropre est une fraction ordinaire dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, c'est-à-dire que si m≥n, alors la fraction ordinaire est impropre. Voici quelques exemples de fractions propres : 1/4 , , 32 765/909 003 . En effet, dans chacune des fractions ordinaires écrites, le numérateur est inférieur au dénominateur (voir si nécessaire l'article comparaison des nombres naturels), elles sont donc correctes par définition. Et voici des exemples de fractions impropres : 9/9, 23/4,. En effet, le numérateur de la première des fractions ordinaires écrites est égal au dénominateur, et dans les fractions restantes le numérateur est supérieur au dénominateur. Il existe également des définitions de fractions appropriées et impropres basées sur la comparaison de fractions avec une. Définition. corriger s'il est inférieur à un. Définition. La fraction commune est appelée mauvais, s'il est égal à un ou supérieur à 1 . Donc la fraction ordinaire 7/11 est correcte, puisque 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 , et 27/27=1 . Réfléchissons à la façon dont les fractions ordinaires avec un numérateur supérieur ou égal au dénominateur méritent un tel nom - "faux". Prenons l'exemple de la fraction impropre 9/9. Cette fraction signifie que neuf parties d'un objet sont prises, qui se compose de neuf parties. C'est-à-dire qu'à partir des neuf actions disponibles, nous pouvons constituer un sujet entier. Autrement dit, la fraction impropre 9/9 donne essentiellement un objet entier, c'est-à-dire 9/9=1. En général, les fractions impropres avec un numérateur égal au dénominateur désignent un objet entier, et une telle fraction peut être remplacée par un nombre naturel 1. Considérons maintenant les fractions impropres 7/3 et 12/4. Il est bien évident qu'à partir de ces sept tiers on peut faire deux objets entiers (un objet entier c'est 3 parts, alors pour composer deux objets entiers il faut 3 + 3 = 6 parts) et il y aura toujours un tiers part. Autrement dit, la fraction impropre 7/3 signifie essentiellement 2 éléments et même 1/3 de la part d'un tel élément. Et à partir de douze quarts, nous pouvons faire trois objets entiers (trois objets avec quatre parties chacun). Autrement dit, la fraction 12/4 signifie essentiellement 3 objets entiers. Les exemples considérés nous amènent à la conclusion suivante : les fractions impropres peuvent être remplacées soit par des nombres naturels, lorsque le numérateur est divisé entièrement par le dénominateur (par exemple, 9/9=1 et 12/4=3), soit par la somme de un nombre naturel et une fraction propre, lorsque le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur (par exemple, 7/3=2+1/3 ). C'est peut-être précisément ce que les fractions impropres méritent un tel nom - «faux». La représentation d'une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre (7/3=2+1/3) est particulièrement intéressante. Ce processus s'appelle l'extraction d'une partie entière d'une fraction impropre et mérite un examen séparé et plus attentif. Il convient également de noter qu'il existe une relation très étroite entre les fractions impropres et les nombres fractionnaires. Chaque fraction ordinaire correspond à un nombre fractionnaire positif (voir l'article nombres positifs et négatifs). Autrement dit, les fractions ordinaires sont fractions positives. Par exemple, les fractions ordinaires 1/5, 56/18, 35/144 sont des fractions positives. Lorsqu'il est nécessaire de souligner la positivité d'une fraction, un signe plus est placé devant celle-ci, par exemple +3/4, +72/34. Si vous mettez un signe moins devant une fraction ordinaire, alors cette entrée correspondra à un nombre fractionnaire négatif. Dans ce cas, on peut parler de fractions négatives. Voici quelques exemples de fractions négatives : −6/10 , −65/13 , −1/18 . Les fractions positives et négatives m/n et -m/n sont des nombres opposés. Par exemple, les fractions 5/7 et -5/7 sont des fractions opposées. Les fractions positives, comme les nombres positifs en général, dénotent une augmentation, un revenu, une variation de certaines valeurs vers le haut, etc. Les fractions négatives correspondent aux dépenses, à la dette, à un changement de toute valeur dans le sens d'une diminution. Par exemple, une fraction négative -3/4 peut être interprétée comme une dette dont la valeur est de 3/4. Sur les fractions négatives horizontales et dirigées vers la droite sont situées à gauche du point de référence. Les points de la droite de coordonnées dont les coordonnées sont la fraction positive m/n et la fraction négative -m/n sont situés à la même distance de l'origine, mais de part et d'autre du point O . Ici, il convient de mentionner les fractions de la forme 0/n. Ces fractions sont égales au nombre zéro, c'est-à-dire 0/n=0 . Les fractions positives, les fractions négatives et les fractions 0/n se combinent pour former des nombres rationnels. Une action avec des fractions ordinaires - comparer des fractions - que nous avons déjà considérée ci-dessus. Quatre autres arithmétiques sont définies opérations avec des fractions- addition, soustraction, multiplication et division de fractions. Arrêtons-nous sur chacun d'eux. L'essence générale des actions avec des fractions est similaire à l'essence des actions correspondantes avec des nombres naturels. Faisons une analogie. Multiplication de fractions peut être considérée comme une action dans laquelle une fraction est trouvée à partir d'une fraction. Pour clarifier, prenons un exemple. Supposons que nous ayons 1/6 de pomme et que nous devions en prendre 2/3. La partie dont nous avons besoin est le résultat de la multiplication des fractions 1/6 et 2/3. Le résultat de la multiplication de deux fractions ordinaires est une fraction ordinaire (qui, dans un cas particulier, est égale à un nombre naturel). En outre, nous vous recommandons d'étudier les informations de l'article multiplication des fractions - règles, exemples et solutions. Bibliographie. Une partie d'une unité ou plusieurs de ses parties est appelée fraction simple ou ordinaire. Le nombre de parties égales en lesquelles l'unité est divisée s'appelle le dénominateur, et le nombre de parties prises s'appelle le numérateur. La fraction s'écrit : Dans ce cas, a est le numérateur, b est le dénominateur. Si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors la fraction est inférieure à 1 et est appelée fraction propre. Si le numérateur est supérieur au dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1, alors la fraction est appelée fraction impropre. Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont égaux, alors la fraction est égale. 1. Si le numérateur peut être divisé par le dénominateur, alors cette fraction est égale au quotient de division : Si la division est effectuée avec un reste, alors cette fraction impropre peut être représentée par un nombre fractionnaire, par exemple : Alors 9 est un quotient incomplet (la partie entière du nombre fractionnaire), Pour convertir un nombre fractionnaire en fraction, multipliez la partie entière du nombre fractionnaire par le dénominateur et ajoutez le numérateur de la partie fractionnaire. Le résultat obtenu sera le numérateur d'une fraction ordinaire, et le dénominateur restera le même. Expansion des fractions. La valeur d'une fraction ne change pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre non nul. Réduction des fractions. La valeur d'une fraction ne change pas si son numérateur et son dénominateur sont divisés par le même nombre non nul. Comparaison de fractions. De deux fractions avec le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur : De deux fractions avec les mêmes dénominateurs, celle avec le plus grand numérateur est plus grande : Pour comparer des fractions qui ont des numérateurs et des dénominateurs différents, il est nécessaire de les développer, c'est-à-dire de les amener à un dénominateur commun. Considérons, par exemple, les fractions suivantes : Addition et soustraction de fractions. Si les dénominateurs des fractions sont les mêmes, alors pour additionner les fractions, il faut ajouter leurs numérateurs, et pour soustraire les fractions, il faut soustraire leurs numérateurs. La somme ou la différence résultante sera le numérateur du résultat, tandis que le dénominateur restera le même. Si les dénominateurs des fractions sont différents, vous devez d'abord réduire les fractions à un dénominateur commun. Lors de l'ajout de nombres mixtes, leurs parties entières et fractionnaires sont ajoutées séparément. Lors de la soustraction de nombres fractionnaires, vous devez d'abord les convertir sous la forme de fractions impropres, puis soustraire les unes des autres, puis à nouveau amener le résultat, si nécessaire, sous la forme d'un nombre fractionnaire. Multiplication de fractions. Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et leurs dénominateurs séparément et diviser le premier produit par le second. Division de fractions. Pour diviser un nombre par une fraction, il faut multiplier ce nombre par son inverse. Décimal est le résultat de la division de un par dix, cent, mille, etc. les pièces. Tout d'abord, la partie entière du nombre est écrite, puis la virgule décimale est placée à droite. Le premier chiffre après la virgule signifie le nombre de dixièmes, le second - le nombre de centièmes, le troisième - le nombre de millièmes, etc. Les nombres après la virgule sont appelés décimales. Par exemple: Propriétés: Un nombre décimal périodique contient un groupe de chiffres se répétant à l'infini appelé un point : 0,321321321321…=0,(321) L'addition et la soustraction de décimales se fait de la même manière que l'addition et la soustraction de nombres entiers, il vous suffit d'écrire les décimales correspondantes les unes sous les autres. La multiplication des fractions décimales s'effectue en plusieurs étapes : Par exemple: La somme des nombres de décimales dans les facteurs est : 2+1=3. Vous devez maintenant compter 3 chiffres à partir de la fin du nombre résultant et mettre un point décimal : 0,675. Division de décimaux. Diviser un nombre décimal par un nombre entier : si le dividende est inférieur au diviseur, vous devez écrire zéro dans la partie entière du quotient et mettre un point décimal après. Ensuite, sans tenir compte de la virgule décimale du dividende, ajoutez le chiffre suivant de la partie fractionnaire à sa partie entière et comparez à nouveau la partie entière résultante du dividende avec le diviseur. Si le nouveau nombre est à nouveau inférieur au diviseur, l'opération doit être répétée. Ce processus est répété jusqu'à ce que le dividende résultant soit supérieur au diviseur. Après cela, la division est effectuée comme pour les nombres entiers. Si le dividende est supérieur ou égal au diviseur, nous divisons d'abord sa partie entière, écrivons le résultat de la division dans le quotient et mettons un point décimal. Après cela, la division continue, comme dans le cas des nombres entiers. Diviser une fraction décimale en une autre: d'abord, les décimales du dividende et du diviseur sont transférées par le nombre de décimales dans le diviseur, c'est-à-dire que nous transformons le diviseur en entier et les actions décrites ci-dessus sont effectuées. Afin de convertir une fraction décimale en fraction ordinaire, il est nécessaire de prendre le nombre après la virgule décimale comme numérateur et de prendre la puissance k-ième de dix comme dénominateur (k est le nombre de décimales). La partie entière non nulle est conservée dans la fraction commune ; la partie entière nulle est omise. Pour convertir une fraction ordinaire en nombre décimal, il est nécessaire de diviser le numérateur par le dénominateur conformément aux règles de division. Un pourcentage est un centième d'unité, par exemple : 5 % signifie 0,05. Un ratio est le quotient de la division d'un nombre par un autre. La proportion est l'égalité de deux rapports. Par exemple: La propriété principale de la proportion : le produit des membres extrêmes de la proportion est égal au produit de ses membres intermédiaires, soit 5x30 = 6x25. Deux grandeurs interdépendantes sont dites proportionnelles si le rapport de leurs grandeurs reste inchangé (coefficient de proportionnalité). Ainsi, les opérations arithmétiques suivantes sont révélées. L'ensemble des nombres rationnels comprend des nombres positifs et négatifs (entiers et fractionnaires) et zéro. Une définition plus précise des nombres rationnels, adoptée en mathématiques, est la suivante : un nombre est dit rationnel s'il peut être représenté comme une fraction irréductible ordinaire de la forme :, où a et b sont des entiers. Pour un nombre négatif, la valeur absolue (module) est un nombre positif obtenu en changeant son signe de "-" à "+" ; pour un nombre positif et zéro, le nombre lui-même. Pour désigner le module d'un nombre, on utilise deux droites à l'intérieur desquelles ce nombre est écrit, par exemple : |–5|=5. Donnons le module d'un nombre Un monôme est le produit de deux ou plusieurs facteurs, dont chacun est soit un nombre, soit une lettre, soit la puissance d'une lettre : 3 x a x b. Le coefficient est le plus souvent appelé uniquement un facteur numérique. Les monômes sont dits similaires s'ils sont identiques ou ne diffèrent que par des coefficients. Le degré d'un monôme est la somme des exposants de toutes ses lettres. S'il y en a des similaires parmi la somme des monômes, alors la somme peut être réduite à une forme plus simple: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Cette opération est appelée coercition de termes similaires ou de parenthèses. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Le degré d'un polynôme est le plus grand des degrés des monômes inclus dans le polynôme donné. Il existe les formules suivantes pour la multiplication abrégée : Méthodes de factorisation : Une fraction algébrique est une expression de la forme , où A et B peuvent être un nombre, un monôme, un polynôme. Si deux expressions (numérique et alphabétique) sont reliées par le signe "=", alors on dit qu'elles forment l'égalité. Toute véritable égalité, valable pour toutes les valeurs numériques admissibles des lettres qui y sont incluses, s'appelle une identité. Une équation est une égalité littérale valable pour certaines valeurs des lettres qu'elle contient. Ces lettres sont appelées inconnues (variables) et leurs valeurs, auxquelles l'équation donnée devient une identité, sont appelées les racines de l'équation. Résoudre une équation signifie trouver toutes ses racines. Deux ou plusieurs équations sont dites équivalentes si elles ont les mêmes racines. Principaux types d'équations algébriques : L'équation linéaire a ax + b = 0 : Équation xn = a, n N : Transformations identiques de base : remplacement d'une expression par une autre, identiquement égale à elle ; transfert des termes de l'équation d'un côté à l'autre avec des signes opposés; multiplication ou division des deux parties de l'équation par la même expression (nombre) autre que zéro. Une équation linéaire à une inconnue est une équation de la forme : ax+b=0, où a et b sont des nombres connus, et x est une valeur inconnue. Les systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues ont la forme : Où a, b, c, d, e, f sont des nombres donnés ; x, y sont inconnus. Nombres a, b, c, d - coefficients pour les inconnues ; e, f - membres libres. La solution de ce système d'équations peut être trouvée par deux méthodes principales : la méthode de substitution : à partir d'une équation, nous exprimons l'une des inconnues par les coefficients et l'autre inconnue, puis nous la substituons dans la deuxième équation, en résolvant la dernière équation. , nous trouvons d'abord une inconnue, puis nous substituons la valeur trouvée dans la première équation et trouvons la seconde inconnue ; méthode d'addition ou de soustraction d'une équation à une autre. Opérations avec les racines : La racine arithmétique du degré n d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a. La racine algébrique du nième degré d'un nombre donné est l'ensemble de toutes les racines de ce nombre. Les nombres irrationnels, contrairement aux rationnels, ne peuvent pas être représentés comme une fraction irréductible ordinaire de la forme m/n, où m et n sont des entiers. Ce sont des nombres d'un nouveau type qui peuvent être calculés avec n'importe quelle précision, mais ne peuvent pas être remplacés par un nombre rationnel. Ils peuvent apparaître à la suite de mesures géométriques, par exemple : le rapport de la longueur de la diagonale d'un carré à la longueur de son côté est égal. Une équation quadratique est une équation algébrique du second degré ax2+bx+c=0, où a, b, c sont donnés par des coefficients numériques ou alphabétiques, x est une inconnue. Si nous divisons tous les termes de cette équation par a, nous obtenons x2+px+q=0 - l'équation réduite p=b/a, q=c/a. Ses racines se trouvent par la formule : Si b2-4ac>0 alors il y a deux racines distinctes, b2-4ac=0 alors il y a deux racine égale; b2-4ac Équations contenant des modules Principaux types d'équations contenant des modules : Fractions positives et négatives
Actions avec fractions
1 - reste (numérateur de la partie fractionnaire),
5 est le dénominateur.Actions avec fractions
Par exemple:
Par exemple: 
Propriétés décimales
Opérations avec des décimaux
Par exemple:
Par exemple: 
Par exemple:
Propriétés de valeur absolue
, pour lequel les propriétés sont valides : 
1) |f(x)| = |g(x)| ;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, où f(x), g(x), fk(x), gk(x) sont des fonctions données.
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