Salbiy ildizlarni qo'shish. Kvadrat ildizlar nima va ular qanday qo'shiladi?

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Kuchli bo'lganlar uchun "juda emas. »
Va "juda teng" bo'lganlar uchun. "")

Oldingi darsda biz kvadrat ildiz nima ekanligini aniqladik. Nima ekanligini aniqlash vaqti keldi ildizlar uchun formulalar, nima ildiz xususiyatlari va bularning barchasi haqida nima qilish mumkin.

Ildiz formulalari, ildiz xossalari va ildizlar bilan amal qilish qoidalari mohiyatan bir xil narsadir. Kvadrat ildizlar uchun juda kam formulalar mavjud. Bu, albatta, mamnun! Aksincha, siz juda ko'p har xil formulalarni yozishingiz mumkin, ammo ildizlar bilan amaliy va ishonchli ishlash uchun faqat uchtasi etarli. Qolganlarning hammasi shu uchtasidan kelib chiqadi. Garchi ko'pchilik ildizlarning uchta formulasida adashgan bo'lsa-da, ha.

Eng oddiyidan boshlaylik. Mana u:

Sizga eslataman (oldingi darsdan): a va b - manfiy bo'lmagan sonlar! Aks holda, formulaning ma'nosi yo'q.

Bu ildizlarning xossasi , Ko'rib turganingizdek, oddiy, qisqa va zararsiz. Ammo bu ildiz formulasi bilan siz juda ko'p foydali narsalarni qilishingiz mumkin! Keling, bir ko'rib chiqaylik misollar bu barcha foydali narsalar.

Foydali narsa birinchi. Bu formula bizga imkon beradi ildizlarni ko'paytirish.

Qanday qilib ildizlarni ko'paytirish kerak?

Ha, juda oddiy. To'g'ridan-to'g'ri formulaga. Misol uchun:

Ular ko'payganga o'xshaydi, xo'sh, nima? Ko'p quvonch bormi? Men roziman, bir oz. Lekin bu sizga qanday yoqadi misol?

Ildizlar omillardan aniq olinmaydi. Va natija ajoyib! Allaqachon yaxshiroq, to'g'rimi? Har holda, men sizga shuni ma'lum qilamanki, siz xohlagancha ko'paytirgichlar bo'lishi mumkin. Ildizni ko'paytirish formulasi hali ham ishlaydi. Misol uchun:

Shunday qilib, ko'paytirish bilan, nima uchun bu kerakligi hamma narsa aniq ildizlarning xossasi- ham tushunarli.

Foydali narsa ikkinchi. Ildiz belgisi ostidagi raqamni kiritish.

Raqamni ildiz ostida qanday kiritish mumkin?

Aytaylik, bizda shunday ifoda bor:

Ildiz ichidagi deuceni yashirish mumkinmi? Osonlik bilan! Agar siz ikkitadan ildiz yasasangiz, ildizlarni ko'paytirish formulasi ishlaydi. Va qanday qilib deuce dan ildiz qilish kerak? Ha, bu ham savol emas! Ikkilik to'rtning kvadrat ildizi!

Aytgancha, ildiz har qanday manfiy bo'lmagan raqamdan tuzilishi mumkin! Bu raqam kvadratining kvadrat ildizi bo'ladi. 3 - 9 ning ildizi. 8 - 64 ning ildizi. 11 - 121 sonining ildizi. Xo'sh, va hokazo.

Albatta, bunday tafsilotlarni bo'yashning hojati yo'q. Yangi boshlanuvchilar bundan mustasno. Ildiz bilan ko'paytiriladigan har qanday manfiy bo'lmagan sonni ildiz ostiga olib kelish mumkinligini tushunish kifoya. Lekin unutmang! - ildiz ostida bu raqam bo'ladi kvadrat o'zi. Ushbu harakat - raqamni ildiz ostida kiritish - raqamni ildizga ko'paytirish deb ham atash mumkin. Umuman olganda, quyidagilarni yozish mumkin:

Ko'rib turganingizdek, jarayon oddiy. Nega u kerak?

Har qanday transformatsiya singari, bu protsedura bizning imkoniyatlarimizni kengaytiradi. Shafqatsiz va noqulay ifodani yumshoq va yumshoq iboraga aylantirish imkoniyatlari). Mana siz uchun oddiy misol:

Ko'rib turganingizdek ildiz xususiyati, ildiz belgisi ostida omilni kiritish imkonini beradigan, soddalashtirish uchun juda mos keladi.

Bundan tashqari, ildiz ostiga ko'paytirgichni qo'shish turli xil ildizlarning qiymatlarini solishtirishni oson va sodda qiladi. Hech qanday hisob va kalkulyatorsiz! Uchinchi foydali narsa.

Ildizlarni qanday solishtirish mumkin?

Bu mahorat mustahkam missiyalarda, modullarni ochishda va boshqa ajoyib narsalarni bajarishda juda muhimdir.

Ushbu ifodalarni solishtiring. Qaysi biri ko'proq? Kalkulyatorsiz! Har birida kalkulyator mavjud. uh-uh. Qisqasi, hamma buni qila oladi!)

Siz buni darhol aytmaysiz. Va agar siz raqamlarni ildiz belgisi ostida kiritsangiz?

Esingizda bo'lsin (birdan, bilmadim?): agar ildiz belgisi ostidagi raqam kattaroq bo'lsa, unda ildizning o'zi kattaroqdir! Shunday qilib, hech qanday murakkab hisob-kitoblar va hisob-kitoblarsiz darhol to'g'ri javob:

Bu ajoyib, to'g'rimi? Lekin bu hammasi emas! Eslatib o'tamiz, barcha formulalar chapdan o'ngga va o'ngdan chapga ishlaydi. Biz shu paytgacha ildizlarni chapdan o'ngga ko'paytirish formulasidan foydalanganmiz. Keling, bu ildiz xususiyatini orqaga, o'ngdan chapga ishga tushiramiz. Mana bunday:

Va qanday farq bor? Bu sizga nimadir beradi!? Albatta! Endi o'zingiz ko'rasiz.

Aytaylik, biz chiqarib olishimiz kerak (kalkulyatorsiz!) 6561 raqamining kvadrat ildizi. Bu bosqichda ba'zi odamlar vazifa bilan teng bo'lmagan kurashga tushib qolishadi. Lekin biz o'jarmiz, taslim bo'lmaymiz! To'rtinchi foydali narsa.

Katta sonlardan ildizlarni qanday olish mumkin?

Biz mahsulotdan ildizlarni olish formulasini eslaymiz. Men yuqorida e'lon qilgan. Ammo bizning ishimiz qayerda? Bizda 6561 juda katta raqam bor va bu ham. Ha, san'at yo'q. Ammo agar kerak bo'lsa, biz qilaylik! Keling, bu raqamni koeffitsientga olaylik. Bizning huquqimiz bor.

Birinchidan, bu raqam nimaga bo'linishini aniqlaylik? Nima, bilmaysizmi!? Bo'linish belgilarini unutdingizmi!? Bekordan bekorga. ga boring Maxsus bo'lim 555, mavzu "Kasrlar", ular bor. Bu raqam 3 va 9 ga bo'linadi. Chunki (6+5+6+1=18) raqamlar yig‘indisi shu sonlarga bo‘linadi. Bu bo'linish belgilaridan biridir. Biz uchga bo'lishning hojati yo'q (endi nima uchun ekanligini tushunasiz), lekin biz 9 ga bo'lamiz. Hech bo'lmaganda burchakda. Biz 729 ni olamiz. Shunday qilib, biz ikkita omil topdik! Birinchisi - to'qqiz (o'zimiz tanladik), ikkinchisi - 729 (shunday bo'ldi). Siz allaqachon yozishingiz mumkin:

Fikrni tushundingizmi? Keling, 729 raqami bilan ham xuddi shunday qilaylik. U 3 va 9 ga ham bo'linadi. Yana 3 ga bo'linmaymiz, 9 ga bo'lamiz. Biz 81 ni olamiz. Va biz bu raqamni bilamiz! Biz yozamiz:

Hammasi oson va oqlangan bo'lib chiqdi! Ildizni parcha-parcha olib tashlash kerak edi, yaxshi, mayli. Bu har qanday bilan amalga oshirilishi mumkin katta raqamlar. Ularni ko'paytiring va boring!

Aytgancha, nega siz 3 ga bo'lishingiz shart emas edi, taxmin qildingizmi? Ha, chunki uchtaning ildizi aniq chiqarilmaydi! Hech bo'lmaganda bitta ildizni yaxshi ajratib olish mumkin bo'lgan bunday omillarga ajralish mantiqan. Bu 4, 9, 16 quduq va boshqalar. O'zingizning ulkan raqamingizni navbat bilan shu raqamlarga bo'ling, ko'rasiz va omadingiz bor!

Lekin shart emas. Balki omadli emas. Aytaylik, 432 raqami faktorlarga ajratilganda va mahsulotning ildiz formulasidan foydalanganda quyidagi natijani beradi:

Ha mayli. Biz baribir ifodani soddalashtirdik. Matematikada eng ko'p qoldirish odatiy holdir kichik raqam mumkin bo'lganidan. Yechish jarayonida hamma narsa misolga bog'liq (ehtimol, hamma narsa soddalashtirilmasdan qisqartiriladi), lekin javobda yanada soddalashtirib bo'lmaydigan natijani berish kerak.

Aytgancha, 432 ning ildizi bilan nima qilganimizni bilasizmi?

Biz ildiz belgisi ostidagi omillarni chiqarib tashlaydi ! Bu operatsiya shunday deyiladi. Va keyin vazifa tushadi - " omilni ildiz belgisi ostidan chiqaring"Ammo erkaklar buni bilishmaydi ham.) Mana siz uchun yana bir foydalanish ildiz xususiyatlari. Foydali narsa beshinchi.

Ko'paytirgichni ildiz ostidan qanday chiqarish mumkin?

Osonlik bilan. Ildiz ifodasini faktorlarga ajrating va olingan ildizlarni ajratib oling. Biz qaraymiz:

Hech qanday g'ayritabiiy narsa yo'q. To'g'ri multiplikatorlarni tanlash muhimdir. Bu erda biz 72 ni 36 2 deb ajratdik. Va hamma narsa yaxshi chiqdi. Yoki ular uni boshqacha parchalashlari mumkin edi: 72 = 6 12. Nima bo `pti!? 6 dan ham, 12 dan ham ildiz olinmaydi. Nima qilish kerak?!

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Yoki parchalanishning boshqa variantlarini qidiring yoki hamma narsani to'xtatib turishni davom eting! Mana bunday:

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa muvaffaqiyatli bo'ldi. Aytgancha, bu eng tez emas, balki eng ko'p ishonchli yo'l. Raqamni eng kichik omillarga ajrating va keyin bir xillarni qoziqlarga to'plang. Usul noqulay ildizlarni ko'paytirishda ham muvaffaqiyatli qo'llaniladi. Masalan, siz hisoblashingiz kerak:

Hamma narsani ko'paytiring - siz aqldan ozgan raqamni olasiz! Va undan qanday qilib ildizni olish mumkin ?! Yana ko'paytirilsinmi? Yo'q, bizga qo'shimcha ish kerak emas. Biz zudlik bilan omillarga ajratamiz va ularni qoziqlarga yig'amiz:

Hammasi shu. Albatta, to'xtash joyiga yotish shart emas. Hamma narsa sizning shaxsiy qobiliyatingiz bilan belgilanadi. Misol keltirgan davlatga senga hammasi ayon shuning uchun siz allaqachon hisoblashingiz mumkin. Asosiysi, xato qilmaslik. Matematika uchun odam emas, balki erkak uchun matematika!)

Keling, bilimlarni amaliyotda qo'llaylik? Oddiydan boshlaylik:

Kvadrat ildizlarni qo'shish qoidasi

Kvadrat ildizlarning xossalari

Hozirgacha biz raqamlar ustida beshta arifmetik amalni bajardik: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish va darajaga ko'tarish va bu amallarning turli xossalari hisob-kitoblarda faol foydalanilgan, masalan, a + b = b + a va n -b n = (ab) n va boshqalar.

Ushbu bobda yangi amal - manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizini olish kiradi. Uni muvaffaqiyatli ishlatish uchun siz ushbu operatsiyaning xususiyatlari bilan tanishishingiz kerak, biz ushbu bo'limda buni qilamiz.

Isbot. Keling, quyidagi belgini kiritamiz:
Manfiy bo'lmagan x, y, z sonlar uchun x = yz tengligi to'g'ri ekanligini isbotlashimiz kerak.

Demak, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Keyin x 2 \u003d y 2 z 2, ya'ni x 2 \u003d (yz) 2.

Agar kvadratlar ikkita manfiy bo'lmagan sonlar teng bo'lsa, raqamlarning o'zlari teng bo'ladi, ya'ni x 2 \u003d (yz) 2 tengligidan x \u003d yz kelib chiqadi va buni isbotlash kerak edi.

Teoremaning isboti haqida qisqacha ma'lumot beramiz:

Izoh 1. Radikal ifoda ikkitadan ortiq manfiy bo'lmagan omillarning ko'paytmasi bo'lgan holatda teorema o'z kuchida qoladi.

Izoh 2. Teorema 1 ni “if” yordamida yozish mumkin. , keyin” (matematikada teoremalar uchun odatiy hol). Tegishli formulani beramiz: agar a va b manfiy bo'lmagan sonlar bo'lsa, unda tenglik .

Quyidagi teoremani shunday shakllantiramiz.

(Amalda foydalanish uchun qulayroq bo'lgan qisqa formula: kasrning ildizi kasrga teng ildizlardan yoki qismning ildizi ildizlarning qismiga teng.)

Bu safar biz dalilning qisqacha bayonini keltiramiz va siz 1-teorema isbotining mohiyatini tashkil etganlarga o'xshash tegishli izohlar berishga harakat qilishingiz mumkin.

Misol 1. Hisoblang.
Yechim. Birinchi xususiyatdan foydalanish kvadrat ildizlar(1-teorema), biz olamiz

Izoh 3. Albatta, bu misolni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, ayniqsa sizning qo'lingizda kalkulyator bo'lsa: 36, 64, 9 raqamlarini ko'paytiring va natijada olingan mahsulotning kvadrat ildizini oling. Biroq, yuqorida taklif qilingan yechim madaniyroq ko'rinishiga rozi bo'lasiz.

Izoh 4. Birinchi usulda biz hisob-kitoblarni boshdan kechirdik. Ikkinchi usul yanada oqlangan:
murojaat qildik formula a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) va kvadrat ildizlar xususiyatidan foydalangan.

Izoh 5. Ba'zi "issiq boshlar" ba'zan 3-misol uchun quyidagi "yechim" ni taklif qilishadi:

Bu, albatta, to'g'ri emas: ko'rdingizmi - natija bizning misolimizdagidek emas 3. Gap shundaki, mulk yo'q. yo'q va xususiyatlar sifatida Kvadrat ildizlarni ko'paytirish va bo'lish bilan bog'liq faqat xususiyatlar mavjud. Ehtiyot va ehtiyot bo'ling, orzularni qabul qilmang.

4-misol. Hisoblang: a)
Yechim. Algebradagi har qanday formuladan nafaqat "o'ngdan chapga", balki "chapdan o'ngga" ham qo'llaniladi. Demak, kvadrat ildizlarning birinchi xossasi shuni bildiradiki, agar kerak bo'lsa, uni sifatida ifodalash mumkin va aksincha, ifoda bilan almashtirilishi mumkin Kvadrat ildizlarning ikkinchi xususiyatiga ham xuddi shunday. Buni hisobga olib, taklif qilingan misolni hal qilaylik.

Bo'limni yakunlab, biz yana bir oddiy va ayni paytda ta'kidlaymiz muhim mulk:
a > 0 va n bo'lsa - natural son , keyin

5-misol Hisoblash , raqamlar kvadratlari jadvali va kalkulyatordan foydalanmasdan.

Yechim. Ildiz sonini tub omillarga ajratamiz:

Izoh 6. Bu misolni § 15 dagi o'xshash misol bilan bir xil tarzda hal qilish mumkin. Javob "dumli 80" bo'lishini taxmin qilish oson, chunki 80 2 2 . Keling, "quyruq" ni, ya'ni kerakli raqamning oxirgi raqamini topamiz. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо только два числа: 84 и 86, поскольку только они при возведении в квадрат дадут Natijada to'rt raqamli 6 bilan tugaydigan raqam, ya'ni. 7056 raqami bilan tugaydigan bir xil raqam. Bizda 84 2 \u003d 7056 bor - bu bizga kerak bo'lgan narsa. Ma'nosi,

Mordkovich A.G., Algebra. 8-sinf: Proc. umumiy ta'lim uchun muassasalar - 3-nashr, yakunlangan. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 b.: kasal.

Kitoblar, matematika darsliklari yuklab olish, o'qituvchi va talabalarga yordam berish uchun konspekt, onlayn o'rganish

Agar sizda ushbu dars bo'yicha tuzatishlar yoki takliflaringiz bo'lsa, bizga yozing.

Agar siz darslar bo'yicha boshqa tuzatishlar va takliflarni ko'rishni istasangiz, bu yerga qarang - Ta'lim forumi.

Kvadrat ildizlarni qanday qo'shish kerak

Raqamning kvadrat ildizi X raqam chaqirdi A, bu o'z-o'zidan ko'payish jarayonida ( A*A) raqam berishi mumkin X.
Bular. A * A = A 2 = X, Va √X = A.

Kvadrat ildizlar ustida ( √x), boshqa raqamlarda bo'lgani kabi, ayirish va qo'shish kabi arifmetik amallarni bajarishingiz mumkin. Ildizlarni ayirish va qo'shish uchun ular ushbu harakatlarga mos keladigan belgilar yordamida ulanishi kerak (masalan √x - √y ).
Va keyin ularga ildizlarni olib keling eng oddiy shakl- agar ular orasida o'xshashlar bo'lsa, gips qilish kerak. Bu shunga o'xshash atamalarning koeffitsientlari mos keladigan atamalar belgilari bilan olinadi, keyin ular qavslar ichiga olinadi va umumiy ildiz ko'paytiruvchi qavslar tashqarisida ko'rsatiladi. Biz olgan koeffitsient odatiy qoidalarga muvofiq soddalashtirilgan.

Qadam 1. Kvadrat ildizlarni chiqarish

Birinchidan, kvadrat ildizlarni qo'shish uchun birinchi navbatda bu ildizlarni chiqarib olishingiz kerak. Agar ildiz belgisi ostidagi raqamlar mukammal kvadratlar bo'lsa, buni qilish mumkin. Masalan, berilgan ifodani oling √4 + √9 . Birinchi raqam 4 sonning kvadratidir 2 . Ikkinchi raqam 9 sonning kvadratidir 3 . Shunday qilib, quyidagi tenglikni olish mumkin: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Hamma narsa, misol hal qilindi. Lekin bu har doim ham shunday bo'lavermaydi.

Qadam 2. Ildiz ostidan sonning ko'paytuvchisini chiqarish

Agar ildiz belgisi ostida to'liq kvadratchalar bo'lmasa, siz raqamning ko'paytiruvchisini ildiz belgisi ostidan chiqarishga harakat qilishingiz mumkin. Misol uchun, ifodani oling √24 + √54 .

Raqamlarni faktorlarga ajratamiz:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Ro'yxatda 24 bizda multiplikator bor 4 , u kvadrat ildiz belgisi ostidan chiqarilishi mumkin. Ro'yxatda 54 bizda multiplikator bor 9 .

Biz tenglikni olamiz:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ushbu misolni ko'rib chiqsak, biz omilni ildiz belgisi ostidan olib tashlashni olamiz va shu bilan berilgan ifodani soddalashtiramiz.

Qadam 3. Maxrajni qisqartirish

Quyidagi vaziyatni ko'rib chiqing: ikkita kvadrat ildizning yig'indisi kasrning maxrajidir, masalan, A / (√a + √b).
Endi oldimizda “maxrajdagi mantiqsizlikdan qutulish” vazifasi turibdi.
Keling, quyidagi usuldan foydalanamiz: kasrning soni va maxrajini ifoda bilan ko'paytiramiz √a - √b.

Endi biz maxrajdagi qisqartirilgan ko'paytirish formulasini olamiz:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Xuddi shunday, agar maxrajda ildizlar farqi bo'lsa: √a - √b, kasrning soni va maxraji ifodaga ko'paytiriladi √a + √b.

Misol tariqasida kasrni olaylik:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Kompleks maxrajni qisqartirishga misol

Endi yetarlicha hisoblaylik murakkab misol maxrajdagi mantiqsizlikdan qutulish.

Misol tariqasida kasrni olaylik: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Uning soni va maxrajini olib, ifoda bilan ko'paytirish kerak √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Qadam 4. Kalkulyatorda taxminiy qiymatni hisoblang

Agar sizga faqat taxminiy qiymat kerak bo'lsa, bu kvadrat ildizlarning qiymatini hisoblash orqali kalkulyatorda amalga oshirilishi mumkin. Alohida-alohida, har bir raqam uchun qiymat o'nli kasrlar soni bilan belgilanadigan kerakli aniqlik bilan hisoblab chiqiladi va qayd etiladi. Bundan tashqari, oddiy raqamlarda bo'lgani kabi, barcha kerakli operatsiyalar bajariladi.

Taxminiy hisoblash misoli

Bu ifodaning taxminiy qiymatini hisoblash kerak √7 + √5 .

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

E'tibor bering: hech qanday holatda kvadrat ildizlarni tub sonlar sifatida qo'shmaslik kerak, bu mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Ya'ni, agar siz besh va uchta kvadrat ildizni qo'shsangiz, sakkizning kvadrat ildizini ololmaymiz.

Foydali maslahat: agar siz raqamni faktorlarga ajratishga qaror qilsangiz, ildiz belgisi ostidan kvadrat hosil qilish uchun siz teskari tekshirishni amalga oshirishingiz kerak, ya'ni hisob-kitoblar natijasida yuzaga kelgan barcha omillarni va buning yakuniy natijasini ko'paytirishingiz kerak. matematik hisob bizga dastlab berilgan raqam bo'lishi kerak.

Ildizlar bilan harakat: qo'shish va ayirish

Raqamning kvadrat ildizini chiqarish bu matematik hodisa bilan bajarilishi mumkin bo'lgan yagona operatsiya emas. Oddiy raqamlar kabi kvadrat ildizlar qo'shish va ayirish.

Kvadrat ildizlarni qo'shish va ayirish qoidalari

Kvadrat ildizni qo‘shish va ayirish kabi amallar faqat ildiz ifodasi bir xil bo‘lsagina amalga oshiriladi.

Siz ifodalarni qo'shishingiz yoki ayirishingiz mumkin 2 3 va 6 3, lekin 5 6 emas Va 9 4 . Agar ifodani soddalashtirish va uni bir xil ildiz raqami bilan ildizlarga olib kelish mumkin bo'lsa, soddalashtiring va keyin qo'shing yoki ayiring.

Ildiz harakatlar: asoslar

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Ildiz ifodasini soddalashtiring. Buning uchun ildiz ifodasini 2 ta omilga ajratish kerak, ulardan biri kvadrat son (butun kvadrat ildiz olinadigan raqam, masalan, 25 yoki 9).
2. Keyin ildizni ajratib olishingiz kerak kvadrat raqami va olingan qiymatni ildiz belgisi oldiga yozing. E'tibor bering, ikkinchi omil ildiz belgisi ostida kiritiladi.
3. Soddalashtirish jarayonidan so'ng, bir xil radikal iboralar bilan ildizlarning tagiga chizish kerak - faqat ularni qo'shish va ayirish mumkin.
4. Bir xil radikal ifodalarga ega bo'lgan ildizlar uchun ildiz belgisidan oldingi omillarni qo'shish yoki ayirish kerak. Ildiz ifodasi o'zgarishsiz qoladi. Ildiz raqamlarini qo'shmang yoki ayiratmang!

Agar sizda misol bo'lsa katta miqdor bir xil radikal iboralar, so'ngra hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun bunday iboralarni bitta, qo'sh va uch qator bilan chizing.

Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Avval siz 50 ni 25 va 2 omilga ajratishingiz kerak, keyin 25 ning ildizini oling, bu 5 ga teng va ildiz ostidan 5 ni oling. Shundan so'ng, siz 5 ni 6 ga ko'paytirishingiz kerak (ildizdagi ko'paytiruvchi) va 30 2 ni olishingiz kerak.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Birinchidan, siz 8 ni 2 omilga ajratishingiz kerak: 4 va 2. Keyin, 4 dan, 2 ga teng bo'lgan ildizni ajratib oling va ildiz ostidan 2 ni oling. Shundan so'ng, siz 2 ni 2 ga ko'paytirishingiz kerak (ildizdagi omil) va 4 2 ni olishingiz kerak.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Birinchidan, siz 12 ni 2 omilga ajratishingiz kerak: 4 va 3. Keyin 4 dan ildizni ajratib oling, ya'ni 2, va uni ildiz ostidan chiqarib oling. Shundan so'ng siz 2 ni 5 ga ko'paytirishingiz kerak (ildizdagi omil) va 10 3 ni olishingiz kerak.

Soddalashtirish natijasi: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Natijada biz qancha bir xil radikal iboralar mavjudligini ko'rdik bu misol. Endi boshqa misollar bilan mashq qilaylik.

• Soddalashtiring (45). 45 ni faktorlarga ajratamiz: (45) = (9 × 5) ;
• Biz ildiz ostidan 3 tasini chiqaramiz (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Biz omillarni ildizlarga qo'shamiz: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• 6 40 soddalashtirish. Biz 40 ni faktorlarga ajratamiz: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Biz ildiz ostidan 2 tasini chiqaramiz (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Ildiz oldida turgan omillarni ko'paytiramiz: 12 10;
• Biz ifodani soddalashtirilgan shaklda yozamiz: 12 10 - 3 10 + 5;
• Birinchi ikkita atama bir xil ildiz raqamlariga ega bo'lganligi sababli, biz ularni ayirishimiz mumkin: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Ko'rib turganimizdek, radikal sonlarni soddalashtirish mumkin emas, shuning uchun biz misolda bir xil radikal raqamlarga ega bo'lgan a'zolarni qidiramiz, matematik amallarni bajaramiz (qo'shish, ayirish va hokazo) va natijani yozamiz:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Maslahat:

• Qo'shish yoki ayirishdan oldin, radikal iboralarni (agar iloji bo'lsa) soddalashtirish kerak.
• Turli xil ildiz ifodalari bilan ildizlarni qo'shish va ayirish qat'iyan man etiladi.
• Butun son yoki kvadrat ildizni qo'shmang yoki ayiratmang: 3 + (2 x) 1/2 .
• Kasrlar bilan amallarni bajarishda siz har bir maxrajga to'liq bo'linadigan sonni topishingiz kerak, keyin kasrlarni umumiy maxrajga keltiring, so'ngra hisoblagichlarni qo'shing va maxrajlarni o'zgarishsiz qoldiring.

Arifmetik kvadrat ildizning xossalari. Arifmetik kvadrat ildizning kuchi

Arifmetik kvadrat ildizlarni aylantirish. Arifmetik kvadrat ildizlarni konvertatsiya qilish

Chiqarish uchun polinomning kvadrat ildizi, ko'phadni hisoblash va olingan sondan ildizni chiqarish kerak.

Diqqat! Har bir atamadan (kamaytirilgan va ayirilgan) ildizni alohida ajratib olish mumkin emas.

Shchob g'alaba qozonish uchun polinomning kvadrat ildizi, talab boy muddatni hisoblash va ayirilgan raqamdan ildiz olishdir.

Hurmat! Teri qo'shimchasidan (o'zgartirilgan va ko'rinadigan) OKremo ildizidan chiqarib olish mumkin emas.

Mahsulotning kvadrat ildizini olish uchun (bo'lim), siz har bir omilning kvadrat ildizini hisoblashingiz mumkin (dividend va bo'linuvchi) va natijada olingan qiymatlarni mahsulot (bo'lim) bo'yicha olishingiz mumkin.

Dobutkaning kvadrat ildizini yutish uchun (qismlar), teri multiplikatorining kvadrat ildizini hisoblashingiz mumkin (bo'lingan va dilnik), va qo'shimcha (tez-tez) olib, qiymatni olib tashlashingiz mumkin.

Kasrning kvadrat ildizini olish uchun, siz hisoblagich va maxrajning kvadrat ildizini alohida ajratib olishingiz va olingan qiymatlarni kasr sifatida qoldirishingiz yoki qism sifatida hisoblashingiz kerak (agar shart bo'lsa).

Kasrning kvadrat ildizini yutish uchun, sonlar kitobining kvadrat ildizini va okremo bannerini olish va kasrning qiymatini kasr bilan mahrum qilish yoki uni bir qism sifatida hisoblash talab qilinadi (aql uchun mumkin bo'lgan).

Ildiz belgisi ostidan omil chiqarib tashlanishi mumkin va omil ildiz belgisi ostida kiritilishi mumkin. Faktor chiqarilganda undan ildiz olinadi va kiritilganda u mos keladigan quvvatga ko'tariladi.

3-chi ildiz belgisini ko'paytirish va ildiz belgisini ko'paytirish mumkin. Ko'paytirgichning aybi bilan ildizlar burishadi va kirish bilan ildizlar yuqori oyoqlarda quriladi.

Misollar. Murojaat qiling

Kvadrat ildizlarning yig'indisini (farqini) aylantirish uchun ildiz ifodalarini darajaning bir asosiga olib kelish kerak, agar iloji bo'lsa, darajalardan ildizlarni ajratib oling va ularni ildizlarning belgilaridan oldin, qolgan kvadrat ildizlarni esa bilan yozing. bir xil ildiz ifodalarini qo'shish mumkin, ular uchun koeffitsientlar belgi ildizidan oldin qo'shiladi va bir xil kvadrat ildiz qo'shiladi.

Kvadrat ildizlarning yig'indisini (narxi) qayta tuzish uchun, iloji boricha, ildiz ildizlarini qadam asoslaridan biriga olib kelish, qadamlarning ildizini olish va ularni belgilaridan oldin yozish kerak. ildizlar va kvadrat ildizlarning bir xil ildiz so'zlari bilan yechimi, men qo'shishim va bir xil kvadrat ildizni qo'shishim mumkin bo'lgan narsalar uchun birlashtira olaman.

Biz barcha radikal iboralarni 2-bazaga keltiramiz.

Juft darajadan ildiz butunlay chiqariladi, toq darajadan 1-darajali asosning ildizi ildiz belgisi ostida qoladi.

Biz shunga o'xshash butun sonlarni beramiz va bir xil ildizli koeffitsientlarni qo'shamiz. Biz binomni sonning ko'paytmasi va yig'indining binomialini yozamiz.

Virazining barcha pastki ildizlarini 2-bazaga keltiring.

Juftlashgan bosqichdan ildizlar bir qatorga chiziladi, juftlashtirilmagan bosqichdan 1-bosqichdagi asosning ildizlari ildiz belgisi ostida to'ldiriladi.

Xuddi shu ildizlarga o'xshash raqamlar va koeffitsientlarni qo'shish taklif etiladi. Biz binomni sumi binomining i sonining to'ldiruvchisi sifatida yozamiz.

Biz radikal iboralarni eng kichik bazaga yoki eng kichik asosli kuchlar mahsulotiga keltiramiz. Radikal ifodalarning juft darajalaridan ildizni ajratib olamiz, qoldiqlarni indikator 1 bo'lgan daraja asosi yoki ildiz belgisi ostida shunday asoslarning ko'paytmasi shaklida qoldiramiz. Biz shunga o'xshash shartlarni beramiz (bir xil ildizlarning koeffitsientlarini qo'shing).

Biz virazining ildizini eng kichik bazaga yoki eng kichik asoslar bilan qadamlar qo'shilishiga olib boramiz. Virazning ildizlari ostidagi egizak pog'onadan ildiz olinadi, 1-ko'rsatkichli pog'ona tagidagi ortiqchalar yoki bunday asoslarning qo'shilishi ildiz belgisi ostida to'ldiriladi. Biz shunga o'xshash shartlarni taklif qilamiz (biz bir xil ildizlarning koeffitsientlarini qo'shamiz).

Kasrlarning bo'linishini ko'paytirish bilan almashtiramiz (ikkinchi kasrni o'zaro almashtirish bilan). Numeratorlar va maxrajlarni alohida ko'paytiring. Ildizning har bir belgisi ostida biz darajalarni ta'kidlaymiz. Keling, pay va maxrajdagi bir xil omillarni bekor qilaylik. Biz ildizlarni teng kuchlardan chiqaramiz.

Biz kasrlarning bo'linishini ko'paytirish bilan almashtiramiz (boshqa kasrni qaytish bilan almashtirish bilan). Okremo raqamlari va kasrlarning bannerlarini ko'paytiring. Ildizning teri belgisi ostida qadamlar ko'rinadi. Biz raqamlar kitobida va bannerda bir xil ko'paytirgichlarni tezlashtiramiz. Egizak qadamlarning ildizini ayblang.

Ikki kvadrat ildizni solishtirish uchun, ularning radikal ifodalari bir xil asos bilan darajalarga qisqartirilishi kerak, keyin radikal ifodaning darajalarini qanchalik ko'p ko'rsatsangiz, kvadrat ildizning qiymati shunchalik katta bo'ladi.

Ushbu misolda radikal iboralarni bitta asosga qisqartirish mumkin emas, chunki birinchisida asos 3, ikkinchisida esa 3 va 7.

Taqqoslashning ikkinchi usuli - radikal ifodaga ildiz koeffitsientini kiritish va radikal ifodalarning raqamli qiymatlarini solishtirish. Kvadrat ildiz uchun ildiz ifodasi qanchalik katta bo'lsa, ildizning qiymati shunchalik katta bo'ladi.

Ikki kvadrat ildizga mos kelish uchun, ularning pastki ildizlari bir xil asos bilan darajaga keltirilishi kerak, virusning pastki ildiz darajasining ko'rsatkichi qanchalik katta bo'lsa, kvadrat ildizning qiymati shunchalik katta bo'ladi.

Bunday holda, virazning ildiz ildizlarini bir asosga keltirish mumkin emas, chunki birinchisida asos 3, ikkinchisida esa - 3 va 7.

Tenglashning yana bir usuli - ildiz virusiga ildiz koeffitsientini qo'shish va ildiz virusining raqamli qiymatlarini tenglashtirish. Kvadrat ildiz ko'proq pastki ildiz viraziga ega, ildizning qiymati qanchalik ko'p.

Ko'paytirishning distributiv qonuni va ildizlarni bir xil ko'rsatkichlari (bizning holatlarimizda, kvadrat ildizlar) bilan ko'paytirish qoidasidan foydalanib, biz ildiz belgisi ostidagi mahsulot bilan ikkita kvadrat ildizning yig'indisini oldik. Biz 91 ni asosiy omillarga ajratamiz va umumiy radikal omillar (13 * 5) bilan qavslardan ildiz chiqaramiz.

Biz monomlardan biri butun son (1) bo'lgan ildiz va binomning ko'paytmasini oldik.

Vikoristovuyuchi rozpodilny ko'paytirish qonuni va ildizlarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish qoidasi (bizning holimizda - kvadrat ildizlar), ildiz belgisi ostida qo'shimcha ildiz bilan ikkita kvadrat ildizning yig'indisini oldi. Biz oddiy so'zlar bilan 91 ko'paytirgichni yotqizishimiz va ildiz ko'paytirgichlardan (13 * 5) arklar uchun ildiz olishimiz mumkin.

Biz butun sondagi mononomlardan biriga ega bo'lgan ildiz va ikkilik qo'shimchasini oldik (1).

9-misol:

Radikal ifodalarda biz butun kvadrat ildizni ajratib olishimiz mumkin bo'lgan raqamlarni omillar bo'yicha tanlaymiz. Quvvatlardan kvadrat ildizlarni chiqaramiz va raqamlarni kvadrat ildizlarning koeffitsientlari bilan qo'yamiz.

Ushbu ko'phadning hadlari umumiy koeffitsient √3 ga ega bo'lib, uni qavsdan chiqarish mumkin. Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik.

Ildiz osti viruslarida u sonni ko'paytiruvchisi sifatida ko'riladi, ulardan kvadrat ildiz olish mumkin. Biz qadamlarning kvadrat ildizlarini ayblaymiz va raqamlarni kvadrat ildizlarning koeffitsientlari bilan qo'yamiz.

Ushbu polinomning shartlari umumiy ko'paytiruvchi √3 ga ega bo'lib, uni qo'llar uchun ayblash mumkin. Biz shunga o'xshash qo'shimchalarni taklif qilamiz.

Ikkining yig'indisi va ayirmasining ko'paytmasi bir xil asoslar(3 va √5) qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, asoslar kvadratlarining farqi sifatida yozilishi mumkin.

Kvadrat ildiz kvadrati har doim radikal ifodaga teng, shuning uchun biz ifodadagi radikal (ildiz belgisi) dan xalos bo'lamiz.

Dobutok yig'indisi va ikkita bir xil asosning (3 í √5) tez ko'paytirish formulasidan farqini kvadrat asoslar farqi sifatida yozish mumkin.

Kvadrat zavzhdning kvadrat ildizi pastki ildiz virusiga teng, shuning uchun biz virazning radikal (ildiz belgisi) deb nomlaymiz.

Maktabga qaytish. Ildiz qo'shilishi

Bizning davrimizda zamonaviy elektron kompyuterlar, sonning ildizini hisoblash ifodalanmagan qiyin vazifa. Masalan, √2704=52, har qanday kalkulyator buni siz uchun hisoblab chiqadi. Yaxshiyamki, kalkulyator nafaqat Windows-da, balki oddiy, hatto eng oddiy telefonda ham mavjud. To'g'ri, agar to'satdan (kichik darajadagi ehtimollik bilan, hisob-kitob, aytmoqchi, ildizlarni qo'shishni o'z ichiga oladi) siz o'zingizni hech qanday holatda topasiz. mavjud mablag'lar, keyin, afsuski, siz faqat miyangizga tayanishingiz kerak bo'ladi.

Aqlni tarbiyalash hech qachon muvaffaqiyatsizlikka uchramaydi. Ayniqsa, raqamlar bilan tez-tez ishlamaydigan va hatto ildizlar bilan ishlamaydiganlar uchun. Ildizlarni qo'shish va ayirish zerikkan aql uchun yaxshi mashqdir. Va men sizga bosqichma-bosqich ildizlarni qo'shishni ko'rsataman. Quyidagi ifodalarga misollar keltirish mumkin.

Soddalashtiriladigan tenglama:

Bu mantiqsiz ifoda. Buni soddalashtirish uchun siz barcha radikal iboralarni qisqartirishingiz kerak umumiy ko'rinish. Biz buni bosqichma-bosqich qilamiz:

Birinchi raqamni endi soddalashtirish mumkin emas. Keling, ikkinchi muddatga o'tamiz.

3√48 48 ni koeffitsientlarga ajratamiz: 48=2×24 yoki 48=3×16. 24 ning kvadrat ildizi butun son emas, ya'ni. kasr qoldiqga ega. Chunki bizga kerak aniq qiymat, keyin taxminiy ildizlar bizga mos kelmaydi. 16 ning kvadrat ildizi 4 ga teng, uni ildiz belgisi ostidan chiqaring. Biz olamiz: 3×4×√3=12×√3

Bizning keyingi ifodamiz salbiy, ya'ni. minus belgisi bilan yozilgan -4×√(27.) Faktoring 27. Biz 27 = 3 × 9 ni olamiz. Biz kasr omillaridan foydalanmaymiz, chunki kvadrat ildizni kasrlardan hisoblash qiyinroq. Biz belgi ostidan 9 ni chiqaramiz, ya'ni. kvadrat ildizni hisoblang. Quyidagi ifodani olamiz: -4×3×√3 = -12×√3

Keyingi √128 atamasi ildiz ostidan olinishi mumkin bo'lgan qismni hisoblab chiqadi. 128=64×2 bu yerda √64=8. Agar bu sizga osonroq bo'lsa, bu ifodani quyidagicha ifodalashingiz mumkin: √128=√(8^2×2)

Biz ifodani soddalashtirilgan shartlar bilan qayta yozamiz:

Endi biz bir xil radikal ifoda bilan raqamlarni qo'shamiz. Turli radikal iboralar bilan ifodalarni qo'shish yoki ayirish mumkin emas. Ildizlarning qo'shilishi ushbu qoidaga rioya qilishni talab qiladi.

Biz quyidagi javobni olamiz:

√2=1×√2 - Umid qilamanki, algebrada bunday elementlarni tashlab qo'yish odat tusiga kiradi, siz uchun yangilik bo'lmaydi.

Ifodalar faqat kvadrat ildizlar bilan emas, balki kub yoki n-chi ildizlar bilan ham ifodalanishi mumkin.

Turli darajali, lekin ekvivalent ildiz ifodasi bilan ildizlarni qo'shish va ayirish quyidagicha sodir bo'ladi:

Agar √a+∛b+∜b kabi ifodaga ega bo'lsak, bu ifodani quyidagicha soddalashtirishimiz mumkin:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Biz ikkita o'xshash atamani ildizning umumiy ko'rsatkichiga qisqartirdik. Bu erda ildizlarning xossasidan foydalanilgan, unda aytilishicha: agar radikal ifoda darajasining soni va ildiz ko'rsatkichi soni bir xil songa ko'paytirilsa, uni hisoblash o'zgarishsiz qoladi.

Eslatma: ko'rsatkichlar faqat ko'paytirilganda qo'shiladi.

Ifodada kasrlar mavjud bo'lgan misolni ko'rib chiqing.

Keling, buni bosqichma-bosqich hal qilaylik:

5√8=5*2√2 - olingan qismini ildiz ostidan chiqaramiz.

Agar ildizning tanasi kasr bilan ifodalangan bo'lsa, dividend va bo'luvchining kvadrat ildizi olinsa, ko'pincha bu kasr o'zgarmaydi. Natijada, biz yuqorida tavsiflangan tenglikni oldik.

Mana javob.

Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, manfiy sonlardan juft darajali ildiz chiqarilmaydi. Agar juft darajali radikal ifoda manfiy bo'lsa, u holda ifoda yechilmaydi.

Ildizlarni qo'shish faqat radikal iboralar mos keladigan bo'lsa, mumkin, chunki ular o'xshash atamalardir. Xuddi shu narsa farqga ham tegishli.

Turli sonli darajali ildizlarni qo'shish ikkala atamani umumiy ildiz darajasiga kamaytirish orqali amalga oshiriladi. Bu qonun kasrlarni qo'shish yoki ayirishda umumiy maxrajga qisqartirish bilan bir xil ishlaydi.

Agar radikal ifoda bir darajaga ko'tarilgan sonni o'z ichiga olgan bo'lsa, unda ildiz va daraja o'rtasida umumiy maxraj mavjud bo'lganda bu ifoda soddalashtirilishi mumkin.

Mahsulot va kasrning kvadrat ildizi

a ning kvadrat ildizi kvadrati a bo'lgan sondir. Misol uchun, -5 va 5 raqamlari 25 sonining kvadrat ildizlari. Ya'ni x^2=25 tenglamaning ildizlari 25 sonining kvadrat ildizlari.Endi siz bilan ishlashni o'rganishingiz kerak. Kvadrat ildiz operatsiyasi: uning asosiy xususiyatlarini o'rganish.

Mahsulotning kvadrat ildizi

√(a*b)=√a*√b

Ikki manfiy bo'lmagan sonning ko'paytmasining kvadrat ildizi bu sonlarning kvadrat ildizlarining ko'paytmasiga teng. Masalan, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Shuni tushunish kerakki, bu xususiyat radikal ifoda uch, to'rt va boshqalarning mahsuloti bo'lgan holatlarga ham tegishli. manfiy bo'lmagan ko'paytiruvchilar.

Ba'zida bu xususiyatning boshqa formulasi mavjud. Agar a va b manfiy bo'lmagan sonlar bo'lsa, u holda quyidagi tenglik bajariladi: √(a*b) =√a*√b. Ularning o'rtasida mutlaqo farq yo'q, siz bitta yoki boshqa so'z birikmasidan foydalanishingiz mumkin (qaysi biri eslash qulayroq).

Kasrning kvadrat ildizi

Agar a>=0 va b>0 bo'lsa, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi:

√(a/b)=√a/√b.

Masalan, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Bu mulk ham boshqa formulaga ega, menimcha, eslash uchun qulayroqdir.
Bo'limning kvadrat ildizi ildizlarning qismiga teng.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu formulalar chapdan o'ngga ham, o'ngdan chapga ham ishlaydi. Ya'ni, agar kerak bo'lsa, biz ildizlarning mahsulotini mahsulotning ildizi sifatida ifodalashimiz mumkin. Xuddi shu narsa ikkinchi mulk uchun ham amal qiladi.

Ko'rib turganingizdek, bu xususiyatlar juda qulay va men qo'shish va ayirish uchun bir xil xususiyatlarga ega bo'lishni xohlayman:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Ammo, afsuski, bunday xususiyatlar kvadratdir ildizlari yo'q, va hokazo hisob-kitoblarda amalga oshirib bo'lmaydi..

• 13. Harakat chorrahalari orqali haydash 2018 Onlayn sharhlar bilan 13.1. O'ngga yoki chapga burilishda haydovchi piyodalar va velosipedchilarning o'tish joyiga yo'l berishi kerak qatnov qismi u aylanadigan yo'l. Ushbu ko'rsatma hamma uchun amal qiladi […]
• Ota-onalar yig'ilishi "Ota-onalarning huquqlari, burchlari va majburiyatlari" Dars uchun taqdimot Taqdimotni yuklab olish (536,6 kB) Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va barcha [...]
• Orel viloyatidagi mintaqaviy tug'ruq poytaxti Orel va Orel viloyatidagi viloyat tug'ruq poytaxti (MC) 2011 yilda tashkil etilgan. Endi bu qo'shimcha chora ijtimoiy qo'llab-quvvatlash katta oilalar bir martalik naqd pul shaklida [...]
• Ro'yxatdan o'tish paytida bir martalik nafaqa miqdori erta sanalar 2018 yilda Siz soʻragan sahifa topilmadi. Siz noto'g'ri manzilni kiritgan bo'lishingiz mumkin yoki sahifa o'chirilgan. Foydalanish […]
• Iqtisodiy ishlar bo'yicha advokat iqtisodiy soha ancha keng tushunchadir. Ushbu harakatlar firibgarlik, noqonuniy biznes, qonuniylashtirish Pul noqonuniy yo'l bilan olingan, noqonuniy bank [...]
• Markaziy bank matbuot xizmati Rossiya Federatsiyasi(Rossiya Banki) Matbuot xizmati 107016, Moskva, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Muvaqqat ma'muriyatni tayinlash to'g'risida Rossiya Bankining Tashqi va jamoatchilik bilan aloqalar departamenti ma'lum qiladiki, 2-bandga muvofiq [...]
• umumiy xususiyatlar Va qisqa sharh suv yo'llari Suv havzalarining tasnifi Rossiya GIMS tomonidan nazorat qilinadigan zavq (kichik o'lchamli) kemalar navigatsiyasi uchun suv havzalarining tasnifi [...]
• Kucherena = Viktor Tsoyning advokati Va bu eksklyuziv: Anatoliy Kucherenaning bugungi maktubi. Mavzuning davomida. Bu xatni hali hech kim nashr etmagan. Va shunday bo'lishi kerak, menimcha. Hozircha 1-qism. Tez orada mashhur huquqshunos imzosi bilan ikkinchi qismini nashr etaman. Nima uchun bu muhim? […]

Salom mushukchalar! Oxirgi marta biz ildizlarning nima ekanligini batafsil tahlil qildik (agar eslamasangiz, o'qishni tavsiya etaman). Ushbu darsning asosiy xulosasi: ildizlarning faqat bitta universal ta'rifi bor, siz bilishingiz kerak. Qolganlari bema'nilik va vaqtni behuda sarflashdir.

Bugun biz oldinga boramiz. Biz ildizlarni ko'paytirishni o'rganamiz, ko'paytirish bilan bog'liq ba'zi muammolarni o'rganamiz (agar bu muammolar hal etilmasa, ular imtihonda halokatli bo'lishi mumkin) va biz to'g'ri mashq qilamiz. Shunday qilib, popkornni zaxiralang, o'zingizni qulay his qiling - va biz boshlaymiz. :)

Siz hali chekmagansiz, shunday emasmi?

Dars juda katta bo'lib chiqdi, shuning uchun men uni ikki qismga ajratdim:

1. Birinchidan, biz ko'paytirish qoidalarini ko'rib chiqamiz. Qopqoq ishora qilayotganga o'xshaydi: bu ikkita ildiz bo'lganda, ular orasida "ko'paytirish" belgisi bor - va biz u bilan biror narsa qilishni xohlaymiz.
2. Keyin biz teskari vaziyatni tahlil qilamiz: bitta katta ildiz bor va biz uni ikki ildizning mahsuli sifatida soddaroq tarzda taqdim etishga sabrsizlik qildik. Qanday qo'rquv bilan bu kerak - bu alohida savol. Biz faqat algoritmni tahlil qilamiz.

To'g'ridan-to'g'ri 2-qismga o'tishni kuta olmaydiganlar uchun xush kelibsiz. Qolganlarini tartibda boshlaylik.

Ko'paytirishning asosiy qoidasi

Keling, eng oddiy - klassik kvadrat ildizlardan boshlaylik. $\sqrt(a)$ va $\sqrt(b)$ bilan belgilanadiganlar. Ular uchun hamma narsa odatda aniq:

ko'paytirish qoidasi. Bir kvadrat ildizni boshqasiga ko'paytirish uchun siz ularning radikal ifodalarini ko'paytirishingiz va natijani umumiy radikal ostida yozishingiz kerak:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

O'ng yoki chapdagi raqamlarga qo'shimcha cheklovlar qo'yilmaydi: agar ko'paytiruvchi ildizlar mavjud bo'lsa, unda mahsulot ham mavjud.

Misollar. Bir vaqtning o'zida raqamlar bilan to'rtta misolni ko'rib chiqing:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end (tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, bu qoidaning asosiy ma'nosi irratsional ifodalarni soddalashtirishdir. Va agar birinchi misolda biz yangi qoidalarsiz 25 va 4 dan ildizlarni ajratib olgan bo'lsak, unda qalay boshlanadi: $\sqrt(32)$ va $\sqrt(2)$ o'z-o'zidan hisoblanmaydi, lekin ularning ko'paytmasi aniq kvadrat bo'lib chiqadi, shuning uchun uning ildizi ratsional songa teng.

Alohida, men oxirgi qatorni ta'kidlamoqchiman. U erda ikkala radikal ifoda ham kasrdir. Mahsulot tufayli ko'plab omillar bekor qilinadi va butun ifoda etarli raqamga aylanadi.

Albatta, har doim ham hamma narsa juda chiroyli bo'lmaydi. Ba'zan ildizlar ostida to'liq axlat bo'ladi - u bilan nima qilish kerakligi va ko'paytirilgandan keyin qanday o'zgarishi aniq emas. Birozdan keyin, o'qishni boshlaganingizda irratsional tenglamalar va tengsizliklar, odatda har xil o'zgaruvchilar va funktsiyalar bo'ladi. Va juda tez-tez, muammolarni tuzuvchilar faqat siz ba'zi shartnoma shartlari yoki omillarni topasiz, deb hisoblashadi, shundan so'ng vazifa sezilarli darajada soddalashtiriladi.

Bundan tashqari, aniq ikkita ildizni ko'paytirish kerak emas. Siz bir vaqtning o'zida uchta, to'rttani ko'paytirishingiz mumkin - ha, hatto o'nta! Bu qoidani o'zgartirmaydi. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end (tekislash)\]

Va yana ikkinchi misol bo'yicha kichik bir izoh. Ko'rib turganingizdek, uchinchi multiplikatorda ildiz ostida o'nlik kasr mavjud - hisob-kitoblar jarayonida biz uni oddiy bilan almashtiramiz, shundan so'ng hamma narsa osonlik bilan kamayadi. Shunday qilib: Men har qanday irratsional iboralarda (ya'ni kamida bitta radikal belgini o'z ichiga olgan) o'nli kasrlardan xalos bo'lishni tavsiya qilaman. Bu kelajakda sizga ko'p vaqt va asablarni tejaydi.

Lekin bu lirik chekinish edi. Keling, umumiy holatni ko'rib chiqaylik - ildiz ko'rsatkichi faqat "klassik" ikkitani emas, balki ixtiyoriy $n$ raqamini o'z ichiga olganida.

Ixtiyoriy indikatorning holati

Shunday qilib, biz kvadrat ildizlarni aniqladik. Va kublar bilan nima qilish kerak? Yoki umuman $n$ ixtiyoriy darajadagi ildizlar bilanmi? Ha, hammasi bir xil. Qoida bir xil bo'lib qoladi:

$n$ darajali ikkita ildizni ko'paytirish uchun ularning radikal ifodalarini ko'paytirish kifoya qiladi, shundan so'ng natija bitta radikal ostida yoziladi.

Umuman olganda, hech qanday murakkab narsa yo'q. Agar hisob-kitoblar hajmi ko'proq bo'lishi mumkin bo'lmasa. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

Misollar. Mahsulotlarni hisoblash:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= beshta; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end (tekislash)\]

Va yana ikkinchi ifodaga e'tibor. Biz kub ildizlarini ko'paytiramiz, o'nli kasrdan xalos bo'lamiz va natijada maxrajdagi 625 va 25 sonlarining ko'paytmasini olamiz. katta raqam- Shaxsan men bu nimaga teng ekanligini darhol hisoblamayman.

Shuning uchun biz shunchaki hisoblagich va maxrajdagi aniq kubni tanladik va keyin $n$-chi daraja ildizining asosiy xususiyatlaridan birini (yoki xohlasangiz, ta'rifini) ishlatdik:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\chap| a\to'g'ri|. \\ \end (tekislash)\]

Bunday "firibgarliklar" sizni imtihonda yoki ko'p vaqtingizni tejashga yordam beradi nazorat ishlari shuning uchun esda tuting:

Radikal ifodadagi raqamlarni ko'paytirishga shoshilmang. Birinchidan, tekshiring: agar u erda biron bir ifodaning aniq darajasi "shifrlangan" bo'lsa-chi?

Ushbu mulohazaning barcha ravshanligi bilan tan olishim kerakki, ko'pchilik tayyor bo'lmagan talabalar aniq darajalarni ko'rmaydilar. Buning o'rniga, ular hamma narsani oldinga ko'paytiradilar va keyin hayron bo'lishadi: nega ular bunday shafqatsiz raqamlarni olishdi? :)

Biroq, bularning barchasi biz hozir o'rganadigan narsalarga nisbatan bolalar o'yinidir.

Turli darajali ildizlarni ko'paytirish

Xo'sh, endi biz bir xil ko'rsatkichlar bilan ildizlarni ko'paytirishimiz mumkin. Agar ballar boshqacha bo'lsa-chi? Ayting-chi, oddiy $\sqrt(2)$ ni $\sqrt(23)$ kabi ahmoqqa qanday ko'paytirasiz? Hatto buni qilish mumkinmi?

Ha, albatta mumkin. Hammasi ushbu formula bo'yicha amalga oshiriladi:

Ildizni ko'paytirish qoidasi. $\sqrt[n](a)$ ni $\sqrt[p](b)$ ga koʻpaytirish uchun quyidagi oʻzgartirishni bajaring:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Biroq, bu formula faqat agar ishlaydi radikal ifodalar manfiy emas. Bu juda muhim eslatma, biz unga biroz keyinroq qaytamiz.

Hozircha bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt (5625). \\ \end (tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q. Keling, salbiy bo'lmaganlik talabi qaerdan kelib chiqqanini va agar biz uni buzsak nima bo'lishini aniqlaylik. :)

Ildizlarni ko'paytirish oson.

Nima uchun radikal iboralar salbiy bo'lmasligi kerak?

Albatta, siz kabi bo'lishingiz mumkin maktab o'qituvchilari va darslikdan oqilona iqtibos keltiring:

Salbiy bo'lmaslik talabi juft va toq darajadagi ildizlarning turli xil ta'riflari bilan bog'liq (mos ravishda ularning ta'rif sohalari ham har xil).

Xo'sh, aniqroq bo'ldimi? Shaxsan men 8-sinfda bu bema'ni gapni o'qiganimda o'zim uchun shunday tushundim: "Negativlik talabi *#&^@(*#@^#)~% bilan bog'liq" - qisqasi, men O'sha paytda hech narsani tushunmadim. :)

Shunday qilib, endi men hamma narsani oddiy tarzda tushuntiraman.

Birinchidan, yuqoridagi ko'paytirish formulasi qaerdan kelganligini bilib olaylik. Buning uchun sizga ildizning bir muhim xususiyatini eslatib o'taman:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz ildiz ifodasini har qanday tabiiy quvvatga xavfsiz ko'tarishimiz mumkin $k$ - bu holda, ildiz indeksini bir xil kuchga ko'paytirish kerak bo'ladi. Shuning uchun, biz har qanday ildizni umumiy ko'rsatkichga osongina kamaytirishimiz mumkin, shundan keyin biz ko'payamiz. Ko'paytirish formulasi bu erdan keladi:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ammo bu formulalarning barchasini qo'llashni keskin cheklaydigan bitta muammo bor. Ushbu raqamni ko'rib chiqing:

Hozirgina berilgan formula bo'yicha biz istalgan darajani qo'shishimiz mumkin. Keling, $k=2$ qoʻshishga harakat qilaylik:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \o'ng))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Biz minusni aniq olib tashladik, chunki kvadrat minusni yoqib yuboradi (har qanday boshqa teng daraja kabi). Va endi teskari o'zgartirishni amalga oshiramiz: ikkalasini ko'rsatkich va darajada "kamaytiring". Axir, har qanday tenglikni ham chapdan o'ngga, ham o'ngdan chapga o'qish mumkin:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\O'ng strelka \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\O'ng strelka \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end (tekislash)\]

Ammo keyin aqldan ozgan narsa sodir bo'ladi:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Buning sababi $\sqrt(-5) \lt 0$ va $\sqrt(5) \gt 0$ boʻlishi mumkin emas. Bu shuni anglatadiki, hatto kuchlar va manfiy raqamlar uchun formulamiz endi ishlamaydi. Shundan so'ng bizda ikkita variant bor:

1. Matematika ahmoq fan ekanligini aytish uchun devorga qarshi kurashish, bu erda "ba'zi qoidalar mavjud, ammo bu noto'g'ri";
2. Formula 100% ishlay oladigan qo'shimcha cheklovlarni kiriting.

Birinchi variantda biz doimiy ravishda "ishlamaydigan" holatlarni ushlashimiz kerak - bu qiyin, uzoq va umuman fu. Shuning uchun matematiklar ikkinchi variantni afzal ko'rishdi. :)

Lekin tashvishlanmang! Amalda, bu cheklov hech qanday tarzda hisob-kitoblarga ta'sir qilmaydi, chunki barcha tasvirlangan muammolar faqat g'alati darajadagi ildizlarga taalluqlidir va ulardan minuslarni olib tashlash mumkin.

Shuning uchun biz ildizlarga ega bo'lgan barcha harakatlar uchun umumiy amal qiladigan yana bir qoidani shakllantiramiz:

Ildizlarni ko'paytirishdan oldin, radikal iboralar manfiy emasligiga ishonch hosil qiling.

Misol. $\sqrt(-5)$ raqamida siz ildiz belgisi ostidan minusni olib tashlashingiz mumkin - keyin hamma narsa yaxshi bo'ladi:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Farqni his qilyapsizmi? Agar siz ildiz ostida minus qoldirsangiz, unda radikal ifoda kvadratga aylanganda, u yo'qoladi va axlat boshlanadi. Va agar siz avval minusni chiqarsangiz, yuzingizda ko'k bo'lguningizcha kvadratni ko'tarishingiz / olib tashlashingiz mumkin - raqam salbiy bo'lib qoladi. :)

Shunday qilib, ildizlarni ko'paytirishning eng to'g'ri va ishonchli usuli quyidagicha:

1. Radikallar ostidagi barcha minuslarni olib tashlang. Minuslar faqat g'alati ko'plikning ildizlarida - ular ildizning oldiga joylashtirilishi mumkin va agar kerak bo'lsa, qisqartirilishi mumkin (masalan, bu minuslardan ikkitasi bo'lsa).
2. Bugungi darsda yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq ko'paytirishni bajaring. Agar ildizlarning indekslari bir xil bo'lsa, oddiygina ildiz ifodalarini ko'paytiring. Va agar ular boshqacha bo'lsa, biz yovuz formuladan foydalanamiz \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) ^(n) ))\].
3. 3. Bizga natija va yaxshi baholar yoqadi. :)

Nima bopti? Mashq qilaylikmi?

Misol 1. Ifodani soddalashtiring:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(tuzalash)\]

Bu eng oddiy variant: ildizlarning ko'rsatkichlari bir xil va g'alati, muammo faqat ikkinchi multiplikatorning minusida. Biz bu minus nafigga dosh beramiz, shundan keyin hamma narsa osongina ko'rib chiqiladi.

Misol 2. Ifodani soddalashtiring:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \o'ng))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \o'ng))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( tekislash)\]

Bu erda ko'pchilik chiqdi nima bo'lganidan chalkashardi irratsional son. Ha, shunday bo'ladi: biz ildizdan butunlay qutulolmadik, lekin hech bo'lmaganda biz ifodani sezilarli darajada soddalashtirdik.

Misol 3. Ifodani soddalashtiring:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \o'ng))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Bu sizning e'tiboringizni qaratmoqchiman. Bu erda ikkita nuqta bor:

1. Ildiz ostida ma'lum bir raqam yoki daraja emas, balki $a$ o'zgaruvchisi mavjud. Bir qarashda, bu biroz g'ayrioddiy, lekin aslida, matematik muammolarni hal qilishda siz ko'pincha o'zgaruvchilar bilan shug'ullanishingiz kerak bo'ladi.
2. Oxir-oqibat, biz radikal ifodada ildiz ko'rsatkichi va darajani "kamaytirishga" muvaffaq bo'ldik. Bu juda tez-tez sodir bo'ladi. Va bu shuni anglatadiki, agar siz asosiy formuladan foydalanmasangiz, hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirish mumkin edi.

Masalan, siz buni qilishingiz mumkin:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9))))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(tekislash)\]

Aslida, barcha transformatsiyalar faqat ikkinchi radikal bilan amalga oshirildi. Va agar siz barcha oraliq bosqichlarni batafsil tasvirlamasangiz, oxirida hisob-kitoblar miqdori sezilarli darajada kamayadi.

Haqiqatan ham, biz $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ misolini echishda yuqorida shunga o'xshash vazifaga duch kelganmiz. Endi buni ancha oson yozish mumkin:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \o'ng))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \o'ng))^(2))) =\sqrt(75). \end(tuzalash)\]

Xo'sh, biz ildizlarning ko'payishini aniqladik. Endi teskari operatsiyani ko'rib chiqing: ildiz ostida ish bo'lganda nima qilish kerak?

Matematikada ildizlar kvadrat, kub yoki boshqa ko'rsatkichga (kuchga) ega bo'lishi mumkin, bu ildiz belgisining chap tomonida yoziladi. Ildiz belgisi ostidagi ifoda ildiz ifodasi deyiladi. Ildiz qo'shish atama qo'shishga o'xshaydi. algebraik ifoda, ya'ni o'xshash ildizlarning ta'rifini talab qiladi.

Qadamlar

2-qism 1: Ildizlarni topish

Ildiz belgilash. Ildiz belgisi () ostidagi ifoda bu ifodadan ma'lum darajadagi ildizni ajratib olish zarurligini bildiradi.

• Ildiz belgi bilan belgilanadi.
• Ildizning indeksi (darajasi) ildiz belgisining chap tomonida yoziladi. Masalan, 27 ning kub ildizi quyidagicha yoziladi: (27)
• Agar ildizning ko'rsatkichi (darajasi) bo'lmasa, u holda ko'rsatkich 2 ga teng deb hisoblanadi, ya'ni u kvadrat ildiz (yoki ikkinchi darajali ildiz).
• Ildiz belgisidan oldin yozilgan son ko'paytma deb ataladi (ya'ni bu raqam ildizga ko'paytiriladi), masalan 5 (2)
• Agar ildiz oldida hech qanday omil bo'lmasa, u 1 ga teng bo'ladi (esda tutingki, har qanday raqam 1 ga ko'paytiriladi).
• Agar siz ildizlar bilan birinchi marta ishlayotgan bo'lsangiz, chalkashmaslik va ularning maqsadini yaxshiroq tushunish uchun ildizning ko'paytmasi va ko'rsatkichiga tegishli eslatmalarni yozing.

Qaysi ildizlarni yig'ish mumkin va qaysi biri mumkin emasligini unutmang. 2a + 2b 4ab kabi iboraning turli shartlarini qo'sha olmaganingizdek, siz ham turli ildizlarni qo'sha olmaysiz.

Siz turli xil ildiz ifodalari bilan ildiz qo'sha olmaysiz, masalan, (2) + (3) (5). Ammo siz bir xil ildiz ostida raqamlarni qo'shishingiz mumkin, masalan, (2 + 3) = (5) (2 ning kvadrat ildizi taxminan 1,414, 3 ning kvadrat ildizi taxminan 1,732 va 5 ning kvadrat ildizi taxminan 2,236 ni tashkil qiladi. ).

Siz bir xil ildiz ifodalari bilan ildizlarni qo'sha olmaysiz, lekin turli ko'rsatkichlar, masalan, (64) + (64) (bu yig'indi (64) ga teng emas, chunki 64 ning kvadrat ildizi 8 ga teng, 64 ning kub ildizi 4, 8 + 4 = 12, bu 64 ning beshinchi ildizidan ancha katta, bu taxminan 2,297).

2-qism 2: Ildizlarni soddalashtirish va qo'shish

O'xshash ildizlarni aniqlang va guruhlang. O'xshash ildizlar bir xil darajali va bir xil ildiz ifodalariga ega bo'lgan ildizlardir. Misol uchun, ifodani ko'rib chiqing:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Birinchidan, bir xil ko'rsatkichli ildizlar ketma-ket bo'lishi uchun ifodani qayta yozing.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Keyin ifodani shunday yozingki, bir xil darajali va bir xil ildiz ifodali ildizlar ketma-ket bo'ladi.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Ildizlaringizni soddalashtiring. Buning uchun (iloji bo'lsa) radikal iboralarni ikkita omilga ajrating, ulardan biri ildiz ostidan chiqariladi. Bunday holda, ko'rsatilgan raqam va ildiz omili ko'paytiriladi.

Yuqoridagi misolda 2*25 ga 50 sonini va 2*16 ga 32 sonini koʻpaytiring. 25 va 16 dan kvadrat ildizlarni ajratib olishingiz mumkin (mos ravishda 5 va 4) va ildiz ostidan 5 va 4 ni mos ravishda 2 va 1 omillarga ko'paytirishingiz mumkin. Shunday qilib, siz soddalashtirilgan ifodani olasiz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

81 raqamini 3 * 27 soniga ko'paytirish mumkin va 3 ning kub ildizini 27 raqamidan olish mumkin. Bu 3 raqamini ildiz ostidan chiqarish mumkin. Shunday qilib, siz yanada soddalashtirilgan ifodaga ega bo'lasiz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

O'xshash ildizlarning omillarini qo'shing. Bizning misolimizda 2 ning o'xshash kvadrat ildizlari (ularni qo'shish mumkin) va 3 ning o'xshash kvadrat ildizlari mavjud (ular ham qo'shilishi mumkin). Da kub ildizi 3 tadan bunday ildizlar yo'q.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Yakuniy soddalashtirilgan ifoda: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Ifodada ildizlarning yozilish tartibining umumiy qabul qilingan qoidalari yo'q. Shuning uchun siz ildizlarni ko'rsatkichlarining o'sish tartibida va radikal ifodalarning o'sish tartibida yozishingiz mumkin.

Diqqat, faqat BUGUN!

Hammasi qiziq

Ildiz belgisi ostida bo'lgan raqam ko'pincha tenglamaning yechimiga xalaqit beradi, u bilan ishlash noqulay. Agar u kasr darajasiga ko'tarilgan bo'lsa yoki ma'lum darajada butun son sifatida ko'rsatilmasa ham, uni ...

X sonining ildizi - bu ildiz darajasiga ko'tarilganda, x ga teng bo'ladigan son. Ko'paytiruvchi ko'paytirilayotgan sondir. Ya'ni, x*ª-&radic-y kabi ifodada siz ildiz ostiga x qo'shishingiz kerak. Ko'rsatma 1 Darajani aniqlang ...

Agar ildiz ifodasi o'zgaruvchilar bilan matematik amallar to'plamini o'z ichiga olgan bo'lsa, unda ba'zan uni soddalashtirish natijasida nisbatan oddiy qiymatni olish mumkin, uning bir qismini ildiz ostidan olish mumkin. Ushbu soddalashtirish foydalidir ...

Turli darajadagi ildizlarga ega bo'lgan arifmetik amallar fizika va texnologiyada hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirishi va ularni aniqroq qilishi mumkin. Ko'paytirish va bo'lishda har bir omil yoki dividend va bo'luvchidan ildizni ajratib olmaslik qulayroqdir, lekin birinchi navbatda ...

X sonining kvadrat ildizi a soni bo'lib, u o'ziga ko'paytirilganda x sonini beradi: a * a = a^2 = x, x = a. Har qanday sonda bo'lgani kabi, kvadrat ildizlarda ham qo'shish va ayirishning arifmetik amallarini bajarishingiz mumkin. Ko'rsatma...

Matematikada ildiz ikki ma'noga ega bo'lishi mumkin: bu arifmetik amal va tenglamaning har bir yechimi, algebraik, parametrik, differentsial yoki boshqa har qanday. 1-ko'rsatma a sonining n-darajali ildizi shunday sonki, ...

Har xil ishlarni bajarayotganda arifmetik amallar ildizlar bilan, ko'pincha radikal iboralarni o'zgartirish imkoniyatiga ega bo'lish kerak. Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun omilni radikal belgisidan olib tashlash yoki uning ostiga qo'yish kerak bo'lishi mumkin. Bu harakat mumkin ...

Ildiz ifodalovchi belgidir matematik operatsiya bunday raqamni topish, uning ildiz belgisidan oldin ko'rsatilgan kuchga ko'tarilishi aynan shu belgi ostida ko'rsatilgan raqamni berishi kerak. Ko'pincha, mavjud muammolarni hal qilish uchun ...

Matematik fanlarda ildiz belgisi deyiladi ramzi ildizlar uchun. Ildiz belgisi ostidagi songa radikal ifoda deyiladi. Ko'rsatkich bo'lmasa, ildiz kvadratdir, aks holda bu raqam ...

Arifmetika n-ning ildizi dan daraja haqiqiy raqam a - manfiy bo'lmagan son x, n-daraja a soniga teng. Bular. (n) a = x, x^n = a. Mavjud turli yo'llar bilan qo'shimchalar arifmetik ildiz va ratsional son ...

Haqiqiy a sonining n-chi ildizi b^n = a tengligi to‘g‘ri bo‘lgan b sondir. Manfiy va musbat sonlar uchun toq ildizlar, hattoki ildizlar esa faqat musbat raqamlar uchun mavjud.…

X sonining kvadrat ildizi a soni bo'lib, u o'ziga ko'paytirilganda x sonini beradi: a * a = a^2 = x, √x = a. Har qanday sonda bo'lgani kabi, kvadrat ildizlarda ham qo'shish va ayirishning arifmetik amallarini bajarishingiz mumkin.

Ko'rsatma

• Birinchidan, kvadrat ildizlarni qo'shganda, bu ildizlarni ajratib olishga harakat qiling. Agar ildiz belgisi ostidagi raqamlar mukammal kvadratlar bo'lsa, bu mumkin bo'ladi. Masalan, √4 + √9 ifodasi berilsin. Birinchi raqam 4 2 sonining kvadrati. Ikkinchi 9 soni 3 sonining kvadrati. Shunday qilib, shunday chiqadi: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Agar ildiz belgisi ostida to'liq kvadratchalar bo'lmasa, u holda raqamning ko'paytiruvchisini ildiz belgisi ostidan chiqarishga harakat qiling. Masalan, √24 + √54 berilgan deylik. Raqamlarni ko'paytiring: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 24 raqami 4 koeffitsientga ega, uni kvadrat ildiz belgisidan olib tashlash mumkin. 54 raqami 9 koeffitsientiga ega. Shunday qilib, ma'lum bo'lishicha: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Bu misolda ko'paytuvchini ildiz belgisidan chiqarish natijasida berilgan ifoda soddalashtirilganligi ma'lum bo'ldi.
• Ikki kvadrat ildizning yig'indisi kasrning maxraji bo'lsin, masalan, A / (√a + √b). Va sizning vazifangiz "maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish" bo'lsin. Keyin quyidagi usuldan foydalanishingiz mumkin. Kasrning soni va maxrajini √a - √b ifodasiga ko'paytiring. Shunday qilib, denominatorda qisqartirilgan ko'paytirish formulasi olinadi: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Analogiya bo'yicha, agar ildizlarning ayirmasi maxrajda berilgan bo'lsa: √a - √b, u holda kasrning soni va maxraji √a + √b ifodasiga ko'paytirilishi kerak. Masalan, 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 -) kasr berilgan. √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishning yanada murakkab misolini ko'rib chiqing. 12 / (√2 + √3 + √5) kasr berilsin. Kasrning soni va maxrajini √2 + √3 - √5 ifodasiga ko'paytirish kerak:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Va nihoyat, agar sizga faqat taxminiy qiymat kerak bo'lsa, unda siz kvadrat ildizlarni kalkulyatorda hisoblashingiz mumkin. Har bir raqam uchun qiymatlarni alohida hisoblang va kerakli aniqlik bilan yozing (masalan, ikkita kasr). Va keyin oddiy raqamlardagi kabi kerakli arifmetik amallarni bajaring. Masalan, siz √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 ifodaning taxminiy qiymatini bilmoqchisiz deylik.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot siz bilan bog'lanish va sizni xabardor qilish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va/yoki jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.