Bir xil asosli logarifmlarning farqi. Logarifmlarning xossalari va ularni yechishga misollar
Ma'lumki, ifodalarni darajalar bilan ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari har doim qo'shiladi (a b * a c = a b + c). Bu matematik qonun Arximed tomonidan olingan bo'lib, keyinchalik 8-asrda matematik Virasen butun son ko'rsatkichlari jadvalini yaratdi. Aynan ular logarifmlarning keyingi kashfiyoti uchun xizmat qilganlar. Ushbu funktsiyadan foydalanish misollarini oddiy qo'shishga og'ir ko'paytirishni soddalashtirish kerak bo'lgan deyarli hamma joyda topish mumkin. Agar siz ushbu maqolani o'qishga 10 daqiqa vaqt ajratsangiz, biz sizga logarifm nima ekanligini va ular bilan qanday ishlashni tushuntiramiz. Oddiy va tushunarli til.
Matematikada ta'rif
Logarifm quyidagi ko‘rinishdagi ifodadir: log ab=c, ya’ni har qanday manfiy bo‘lmagan (ya’ni har qanday musbat) “b”ning “a” asosi bo‘yicha logarifmi “c” ning kuchi hisoblanadi. , "a" bazasini ko'tarish kerak, natijada "b" qiymatini olish uchun. Logarifmni misollar yordamida tahlil qilamiz, deylik log 2 ifodasi bor 8. Javobni qanday topish mumkin? Bu juda oddiy, siz shunday darajani topishingiz kerakki, 2 dan kerakli darajaga qadar siz 8 ball olasiz. O'zingizning fikringizcha hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz 3 raqamini olamiz! Va to'g'ri, chunki 2 ning 3 kuchiga javobda 8 raqamini beradi.
Logarifmlarning turlari
Ko'pgina o'quvchilar va talabalar uchun bu mavzu murakkab va tushunarsiz bo'lib tuyuladi, lekin aslida logarifmlar unchalik qo'rqinchli emas, asosiysi ularning umumiy ma'nosini tushunish va ularning xususiyatlarini va ba'zi qoidalarini eslab qolishdir. Logarifmik ifodalarning uch xil turi mavjud:
- Natural logarifm ln a, bu yerda asos Eyler soni (e = 2,7).
- O'nlik a, bu erda asos 10 ga teng.
- Har qanday b sonining a>1 asosiga logarifmi.
Ularning har biri logarifmik teoremalardan foydalangan holda soddalashtirish, qisqartirish va keyinchalik bitta logarifmga qisqartirishni o'z ichiga olgan standart usulda hal qilinadi. Logarifmlarning to'g'ri qiymatlarini olish uchun ularning xususiyatlarini va qarorlarida harakatlar ketma-ketligini esga olish kerak.
Qoidalar va ba'zi cheklovlar
Matematikada aksioma sifatida qabul qilingan bir qancha qoida-cheklovlar mavjud, ya'ni ular muhokamaga tortilmaydi va haqiqatdir. Masalan, sonlarni nolga bo'lish mumkin emas, manfiy sonlardan juft ildiz olish ham mumkin emas. Logarifmlarning o'z qoidalari ham bor, ularga rioya qilgan holda siz hatto uzoq va sig'imli logarifmik ifodalar bilan qanday ishlashni osongina o'rganishingiz mumkin:
- "a" asosi har doim noldan katta bo'lishi kerak va shu bilan birga 1 ga teng bo'lmasligi kerak, aks holda ifoda o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki "1" va "0" har qanday darajada har doim ularning qiymatlariga teng;
- a > 0 bo'lsa, a b > 0 bo'lsa, "c" noldan katta bo'lishi kerakligi ma'lum bo'ladi.
Logarifmlarni qanday yechish mumkin?
Misol uchun, 10 x \u003d 100 tenglamasiga javob topish vazifasi berilgan. Bu juda oson, biz 100 ni oladigan o'n sonini ko'tarish orqali bunday quvvatni tanlashingiz kerak. Bu, albatta, 10 2. \u003d 100.
Endi bu ifodani logarifmik ko‘rinishda ifodalaylik. Biz log 10 100 = 2 ni olamiz. Logarifmlarni yechishda barcha amallar amalda berilgan sonni olish uchun logarifm asosini kiritish darajasini topishga yaqinlashadi.
Noma'lum darajaning qiymatini aniq aniqlash uchun siz darajalar jadvali bilan ishlashni o'rganishingiz kerak. Bu shunday ko'rinadi:
Ko'rib turganingizdek, ba'zi eksponentlarni intuitiv ravishda taxmin qilish mumkin, agar sizda texnik fikrlash va ko'paytirish jadvalini bilishingiz mumkin. Biroq, kattaroq qiymatlar quvvat jadvalini talab qiladi. Bu murakkab matematik mavzularda umuman hech narsani tushunmaydiganlar ham foydalanishi mumkin. Chap ustunda raqamlar mavjud (a asosi), raqamlarning yuqori qatori c kuchining qiymati bo'lib, a soni ko'tariladi. Hujayralarning kesishmasida javob bo'lgan raqamlarning qiymatlari aniqlanadi (a c = b). Masalan, 10 raqami bo'lgan birinchi katakchani olaylik va uning kvadratini olamiz, biz ikkita katakchamizning kesishmasida ko'rsatilgan 100 qiymatini olamiz. Hammasi shunchalik sodda va osonki, hatto eng haqiqiy gumanist ham tushunadi!
Tenglamalar va tengsizliklar
Ma'lum bo'lishicha, ma'lum sharoitlarda ko'rsatkich logarifmdir. Shuning uchun har qanday matematik sonli ifodalarni logarifmik tenglama sifatida yozish mumkin. Masalan, 3 4 =81 ni 81 ning 3 ta asosiga logarifmi sifatida yozish mumkin, bu esa to'rt (log 3 81 = 4). Salbiy kuchlar uchun qoidalar bir xil: 2 -5 = 1/32 biz logarifm sifatida yozamiz, log 2 (1/32) = -5 ni olamiz. Matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biri "logarifmlar" mavzusidir. Biz misollar va tenglamalarning yechimlarini ularning xususiyatlarini o'rgangandan so'ng, biroz pastroq ko'rib chiqamiz. Endi tengsizliklar qanday ko‘rinishini va ularni tenglamalardan qanday ajratish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Quyidagi ko'rinishdagi ifoda berilgan: log 2 (x-1) > 3 - bu logarifmik tengsizlikdir, chunki noma'lum qiymat "x" logarifma belgisi ostidadir. Shuningdek, ifodada ikkita miqdor solishtiriladi: ikkinchi asosdagi kerakli sonning logarifmi uch sonidan katta.
Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar o'rtasidagi eng muhim farq shundaki, logarifmli tenglamalar (masalan, 2 x = √9 logarifmi) javobda bir yoki bir nechta o'ziga xos sonli qiymatlarni nazarda tutadi, tengsizlikni yechishda ikkala diapazon ham mavjud. qabul qilinadigan qiymatlar va ushbu funktsiyani buzadigan nuqtalar. Natijada, javob tenglamaning javobidagi kabi oddiy raqamlar to'plami emas, balki uzluksiz qator yoki raqamlar to'plamidir.
Logarifmlar haqidagi asosiy teoremalar
Logarifmning qiymatlarini topish bo'yicha ibtidoiy vazifalarni hal qilishda uning xususiyatlari noma'lum bo'lishi mumkin. Biroq, logarifmik tenglamalar yoki tengsizliklar haqida gap ketganda, birinchi navbatda, logarifmlarning barcha asosiy xususiyatlarini aniq tushunish va amalda qo'llash kerak. Tenglamalar misollari bilan keyinroq tanishamiz, avvalo har bir xususiyatni batafsil tahlil qilamiz.
- Asosiy identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi: a logaB =B. Bu faqat a 0 dan katta, birga teng emas va B noldan katta bo'lsa amal qiladi.
- Hosilning logarifmini quyidagi formulada ifodalash mumkin: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu holda zaruriy shart: d, s 1 va s 2 > 0; a≠1. Siz logarifmlarning ushbu formulasini misollar va yechim bilan isbotlashingiz mumkin. 1 = f 1 va log 2 = f 2 bo'lsin, keyin a f1 = s 1, a f2 = s 2. Biz s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (daraja xossalari)ni olamiz. ), va keyinchalik ta'rifi bo'yicha: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log 2 sifatida isbotlanishi kerak edi.
- Bo'limning logarifmi quyidagicha ko'rinadi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formula ko'rinishidagi teorema quyidagi shaklni oladi: log a q b n = n/q log a b.
Bu formula "logarifm darajasining xossasi" deb ataladi. Bu oddiy darajalarning xususiyatlariga o'xshaydi va bu ajablanarli emas, chunki barcha matematika muntazam postulatlarga tayanadi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik.
Log a b \u003d t bo'lsin, a t \u003d b chiqadi. Ikkala qismni m quvvatiga ko'tarsangiz: a tn = b n ;
lekin a tn = (a q) nt/q = b n bo‘lgani uchun log a q b n = (n*t)/t bo‘ladi, keyin log a q b n = n/q log a b bo‘ladi. Teorema isbotlangan.
Muammolar va tengsizliklarga misollar
Logarifm masalalarining eng keng tarqalgan turlari tenglamalar va tengsizliklarga misollardir. Ular deyarli barcha muammoli kitoblarda uchraydi, shuningdek, matematikadan imtihonlarning majburiy qismiga kiritilgan. Universitetga kirish yoki matematikadan kirish testlaridan o'tish uchun siz bunday vazifalarni qanday to'g'ri hal qilishni bilishingiz kerak.
Afsuski, logarifmning noma'lum qiymatini echish va aniqlashning yagona rejasi yoki sxemasi mavjud emas, ammo har bir matematik tengsizlik yoki logarifmik tenglamaga ma'lum qoidalar qo'llanilishi mumkin. Avvalo, ifodani soddalashtirish yoki umumiy shaklga qisqartirish mumkinligini aniqlashingiz kerak. Uzoq logarifmik ifodalarni ularning xossalaridan to‘g‘ri foydalansangiz, soddalashtirishingiz mumkin. Keling, tez orada ular bilan tanishamiz.
Logarifmik tenglamalarni yechishda oldimizda qanday logarifm borligini aniqlash kerak: ifoda misolida natural logarifm yoki kasr bo‘lishi mumkin.
Mana ln100, ln1026 misollar. Ularning yechimi shundan iboratki, siz 10-bazasi mos ravishda 100 va 1026 ga teng bo'lish darajasini aniqlashingiz kerak. Tabiiy logarifmlarning yechimlari uchun logarifmik identifikatsiyalar yoki ularning xossalarini qo'llash kerak. Keling, har xil turdagi logarifmik masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqaylik.
Logarifm formulalarini qanday ishlatish kerak: misollar va echimlar bilan
Shunday qilib, keling, logarifmlar bo'yicha asosiy teoremalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.
- Mahsulot logarifmining xossasi b sonining katta qiymatini oddiyroq omillarga ajratish zarur bo'lgan vazifalarda qo'llanilishi mumkin. Masalan, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Javob 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ko'rib turganingizdek, logarifm darajasining to'rtinchi xossasini qo'llash orqali biz bir qarashda murakkab va yechilmaydigan ifodani echishga muvaffaq bo'ldik. Faqat bazani faktorlarga ajratish va keyin ko'rsatkich qiymatlarini logarifm belgisidan chiqarish kerak.
Imtihondan topshiriqlar
Logarifmlar ko'pincha kirish imtihonlarida uchraydi, ayniqsa Yagona davlat imtihonidagi ko'plab logarifmik muammolar (barcha maktab bitiruvchilari uchun davlat imtihoni). Odatda bu vazifalar nafaqat A qismida (imtihonning eng oson test qismi), balki C qismida ham (eng qiyin va hajmli vazifalar) mavjud. Imtihon "Tabiiy logarifmlar" mavzusini aniq va mukammal bilishni nazarda tutadi.
Misollar va muammolarni hal qilish imtihonning rasmiy versiyalaridan olingan. Keling, bunday vazifalar qanday hal qilinishini ko'rib chiqaylik.
Berilgan log 2 (2x-1) = 4. Yechish:
keling, ifodani biroz soddalashtirib, qayta yozamiz log 2 (2x-1) = 2 2 , logarifmning ta'rifi bo'yicha biz 2x-1 = 2 4 ni olamiz, shuning uchun 2x = 17; x = 8,5.
- Yechim og'ir va chalkash bo'lmasligi uchun barcha logarifmlarni bir xil asosga qisqartirish yaxshiroqdir.
- Logarifm belgisi ostidagi barcha iboralar musbat deb ko'rsatiladi, shuning uchun logarifm belgisi ostidagi va uning asosi sifatidagi ifoda darajasining ko'rsatkichini olishda logarifm ostida qolgan ifoda musbat bo'lishi kerak.
Bugun biz bu haqda gaplashamiz logarifm formulalari va namoyish qilish yechim misollari.
O'z-o'zidan ular logarifmlarning asosiy xususiyatlariga ko'ra yechim naqshlarini nazarda tutadi. Yechimga logarifm formulalarini qo'llashdan oldin biz siz uchun birinchi navbatda barcha xususiyatlarni eslaymiz:
Endi ushbu formulalar (xususiyatlar) asosida biz ko'rsatamiz logarifmlarni yechishga misollar.
Formulalar asosida logarifmlarni yechishga misollar.
Logarifm a asosidagi musbat b soni (log a b bilan belgilanadi) b ni olish uchun a ko'rsatkichini ko'tarish kerak, b > 0, a > 0 va 1.
Ta'rifga ko'ra log a b = x, bu a x = b ga teng, shuning uchun log a a x = x.
Logarifmlar, misollar:
log 2 8 = 3, chunki 2 3 = 8
log 7 49 = 2 chunki 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, chunki 5 -1 = 1/5
O'nlik logarifm oddiy logarifm bo'lib, asosi 10. lg deb belgilanadi.
log 10 100 = 2 chunki 10 2 = 100
tabiiy logarifm- shuningdek, odatiy logarifm logarifmi, lekin e bazasi bilan (e \u003d 2.71828 ... - irratsional son). ln deb ataladi.
Logarifmlarning formulalari yoki xossalarini eslab qolish maqsadga muvofiqdir, chunki ular bizga keyinroq logarifmlar, logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda kerak bo'ladi. Keling, har bir formulani misollar bilan qayta ishlaymiz.
- Asosiy logarifmik identifikatsiya
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Mahsulotning logarifmi logarifmalar yig'indisiga teng
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Bo'limning logarifmi logarifmlarning ayirmasiga teng
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logarifmlanadigan sonning daraja xossalari va logarifm asosi
Logarifm sonining ko'rsatkichi log a b m = mlog a b
Log a n b =1/n*log a b logarifm asosining ko‘rsatkichi
log a n b m = m/n*log a b,
agar m = n, log a n b n = log a b ni olamiz
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Yangi poydevorga o'tish
log a b = log c b / log c a,c = b bo'lsa, log b b = 1 ni olamiz
keyin log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Ko'rib turganingizdek, logarifm formulalari ko'rinadigan darajada murakkab emas. Endi logarifmlarni echish misollarini ko'rib chiqsak, biz logarifmik tenglamalarga o'tishimiz mumkin. Logarifmik tenglamalarni echish misollarini maqolada batafsil ko'rib chiqamiz: "". O'tkazib yuborma!
Agar sizda hali ham yechim haqida savollaringiz bo'lsa, ularni maqolaga sharhlarda yozing.
Eslatma: variant sifatida chet elda boshqa sinfda ta'lim olishga qaror qildi.
Raqamning logarifmi N sabab bilan lekin ko'rsatkich deyiladi X , siz oshirishingiz kerak bo'lgan lekin raqamni olish uchun N
Shu sharti bilan 
,
,
Logarifmning ta'rifidan kelib chiqadiki 
, ya'ni.
- bu tenglik asosiy logarifmik identifikatsiyadir.
10-sonli logarifmlar oʻnlik logarifmlar deyiladi. O'rniga 
yozish 
.
asosiy logarifmlar e
tabiiy deyiladi va belgilanadi 
.
Logarifmlarning asosiy xossalari.
Har qanday asos uchun birlik logarifmi nolga teng
Mahsulotning logarifmi omillarning logarifmlari yig'indisiga teng.
3) Bo'limning logarifmi logarifmlarning ayirmasiga teng
Faktor 
bazadagi logarifmlardan o'tish moduli deyiladi a
asosdagi logarifmlarga b
.
2-5 xossalardan foydalanib, ko'pincha murakkab ifodaning logarifmini logarifmlar ustidagi oddiy arifmetik amallar natijasiga qisqartirish mumkin.
Misol uchun, 
Logarifmning bunday o'zgarishlariga logarifmlar deyiladi. Logarifmlarning o'zaro o'zgarishiga potentsiallanish deyiladi.
2-bob. Oliy matematika elementlari.
1. Limitlar
funktsiya chegarasi 
intilish paytida chekli A soni bo'lsa xx
0
har bir oldindan belgilangan uchun 
, raqam bor 
shu bilanoq 
, keyin 
.
Cheklangan funksiya undan cheksiz kichik miqdor bilan farq qiladi: 
, bu erda - b.m.w., ya'ni. 
.
Misol. Funktsiyani ko'rib chiqing 
.
Intilish paytida 
, funktsiyasi y
nolga tushadi: 
1.1. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar.
Doimiy qiymatning chegarasi bu doimiy qiymatga teng
.
Cheklangan sonli funksiyalar yig‘indisining (farqining) chegarasi bu funksiyalar chegaralarining yig‘indisiga (farqiga) teng.
Chekli sonli funksiyalar ko‘paytmasining chegarasi bu funksiyalar chegaralarining ko‘paytmasiga teng.
Agar maxraj chegarasi nolga teng bo'lmasa, ikkita funktsiyaning bo'linmasining chegarasi bu funktsiyalarning chegaralari bo'linmasiga teng.
Ajoyib chegaralar
,
, qayerda 
1.2. Limit hisoblash misollari
Biroq, barcha chegaralar shunchalik sodda hisoblanmaydi. Ko'pincha, limitni hisoblash noaniqlik turini oshkor qilish uchun qisqartiriladi: 
yoki .
.
2. Funksiyaning hosilasi
Bizda funktsiya bo'lsin 
, segmentda uzluksiz 
.
Dalil 
biroz kuchaydi 
. Shundan so'ng, funktsiya ortib boradi 
.
Argument qiymati 
funksiya qiymatiga mos keladi 
.
Argument qiymati 
funksiyaning qiymatiga mos keladi.
Binobarin, .
Bu munosabatning chegarasini topamiz 
. Agar bu chegara mavjud bo'lsa, u berilgan funktsiyaning hosilasi deyiladi.
Berilgan funksiyaning 3 hosilasining ta’rifi 
argument bilan 
argumentning o'sishi ixtiyoriy ravishda nolga moyil bo'lganda, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deb ataladi.
Funktsiya hosilasi 
quyidagicha ifodalanishi mumkin:
;
;
;
.
Ta'rif 4Funksiyaning hosilasini topish amali deyiladi farqlash.
2.1. Hosilning mexanik ma'nosi.
Ba'zi bir qattiq jism yoki moddiy nuqtaning to'g'ri chiziqli harakatini ko'rib chiqing.
Bir vaqtning o'zida ruxsat bering 
harakatlanuvchi nuqta 
masofada edi 
boshlang'ich pozitsiyasidan 
.
Biroz vaqt o'tgach 
u uzoqqa ko'chdi 
. Munosabat 
=
- moddiy nuqtaning o'rtacha tezligi 
. Shuni hisobga olib, bu nisbatning chegarasini topamiz 
.
Binobarin, moddiy nuqtaning oniy tezligini aniqlash vaqtga nisbatan yo‘l hosilasini topishga qisqartiriladi.
2.2. Hosilning geometrik qiymati
Faraz qilaylik, bizda grafik jihatdan aniqlangan funksiya bor 
.
Guruch. 1. Hosilning geometrik ma’nosi
Agar 
, keyin nuqta 
, nuqtaga yaqinlashib, egri chiziq bo'ylab harakatlanadi 
.
Natijada 
, ya'ni. argumentning qiymati berilgan hosilaning qiymati 
o'qning musbat yo'nalishi bilan berilgan nuqtada tangens hosil qilgan burchakning tangensiga son jihatdan tengdir. 
.
2.3. Asosiy farqlash formulalari jadvali.
Quvvat funktsiyasi
|
|
|
|
|
|
|
Eksponensial funktsiya
|
|
|
|
|
logarifmik funktsiya
|
|
|
|
|
trigonometrik funktsiya
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Teskari trigonometrik funktsiya
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Farqlash qoidalari.
ning hosilasi 
Funktsiyalar yig'indisining (farqining) hosilasi
Ikki funktsiyaning hosilasi
Ikki funktsiya bo'limining hosilasi
2.5. Murakkab funktsiyaning hosilasi.
Funktsiyaga ruxsat bering 
sifatida ifodalanishi mumkin
Va 
, bu erda o'zgaruvchi 
demak, oraliq dalildir 
Murakkab funktsiyaning hosilasi berilgan funksiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasining x ga nisbatan oraliq argument hosilasi bilan teng.
Misol 1. 
2-misol. 
3. Funksiya differensiali.
Bo'lsin 
, ba'zi bir intervalda differentsiallanadi 
qo'yib yubor da
bu funksiya hosilaga ega
,
keyin yozishingiz mumkin
(1),
qayerda 
- cheksiz kichik miqdor,
chunki da 
Barcha tenglik shartlarini (1) ga ko'paytirish 
bizda ... bor:
Qayerda 
- b.m.v. yuqori tartib.
Qiymat 
funksiyaning differensiali deyiladi 
va belgilandi 
.
3.1. Differensialning geometrik qiymati.
Funktsiyaga ruxsat bering 
.
2-rasm. Differensialning geometrik ma'nosi.
.
Shubhasiz, funktsiyaning differensialligi 
berilgan nuqtadagi tangens ordinatasining ortishiga teng.
3.2. Turli tartibli hosilalar va differentsiallar.
Agar bo'lsa 
, keyin 
birinchi hosila deyiladi.
Birinchi hosilaning hosilasi ikkinchi tartibli hosila deyiladi va yoziladi 
.
Funksiyaning n-tartibning hosilasi 
(n-1) tartibning hosilasi deyiladi va shunday yoziladi:
.
Funksiya differensialining differensialiga ikkinchi differensial yoki ikkinchi tartibli differensial deyiladi.
.
.
3.3 Differensiallash yordamida biologik masalalarni yechish.
Vazifa 1. Tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, mikroorganizmlar koloniyasining o'sishi qonunga bo'ysunadi 
, qayerda N
- mikroorganizmlar soni (minglab); t
- vaqt (kun).
b) Bu davrda koloniya aholisi ko'payadimi yoki kamayadimi?
Javob. Koloniya kattalashib boradi.
Vazifa 2. Ko'ldagi suv patogen bakteriyalar tarkibini nazorat qilish uchun vaqti-vaqti bilan tekshiriladi. Bo'ylab t sinovdan bir necha kun o'tgach, bakteriyalar kontsentratsiyasi nisbati bilan aniqlanadi
.
Ko'lda bakteriyalarning minimal kontsentratsiyasi qachon keladi va unda suzish mumkin bo'ladi?
Yechish Funksiya hosilasi nolga teng bo‘lganda max yoki min ga etadi.
,
6 kundan keyin maksimal yoki min bo'lishini aniqlaymiz. Buning uchun biz ikkinchi hosilani olamiz.
Javob: 6 kundan keyin bakteriyalarning minimal konsentratsiyasi bo'ladi.
dan boshlaylik birlik logarifmining xossalari. Uning formulasi quyidagicha: birlikning logarifmi nolga teng, ya'ni log a 1=0 har qanday a>0, a≠1 uchun. Isbot oddiy: yuqoridagi a>0 va a≠1 shartlarini qanoatlantiradigan har qanday a uchun 0 =1 bo‘lganligi sababli, loggarifm ta’rifidan darhol tasdiqlangan log a 1=0 tengligi kelib chiqadi.
Ko'rib chiqilayotgan xossaning qo'llanilishiga misollar keltiramiz: log 3 1=0 , lg1=0 va .
Keling, keyingi mulkka o'tamiz: asosiga teng sonning logarifmi birga teng, ya'ni, log a a=1 a>0, a≠1 uchun. Haqiqatan ham, har qanday a uchun a 1 =a bo'lgani uchun, logarifm ta'rifi bo'yicha log a a=1 bo'ladi.
Logarifmlarning bu xossasidan foydalanish misollari log 5 5=1 , log 5.6 5.6 va lne=1 ni keltirish mumkin.
Masalan, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 va 
.
Ikki musbat sonning ko'paytmasining logarifmi x va y bu raqamlarning logarifmlarining ko'paytmasiga teng: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Mahsulot logarifmining xossasini isbotlaylik. Darajaning xususiyatlari tufayli a log a x+log a y =a log a x a log a y, va asosiy logarifmik identifikatsiyaga ko'ra log a x =x va log a y =y bo'lgani uchun log a x a log a y =x y bo'ladi. Shunday qilib, log a x+log a y =x y , buning uchun logarifmning ta'rifi talab qilinadigan tenglik kelib chiqadi.
Mahsulotning logarifmi xossasidan foydalanishga misollarni ko‘rsatamiz: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 va 
.
Mahsulot logarifmi xossasini x 1 , x 2 , …, x n musbat sonlarning chekli n sonining mahsulotiga umumlashtirish mumkin: log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Bu tenglik osongina isbotlanadi.
Masalan, mahsulotning natural logarifmini 4, e va sonlarining uchta natural logarifmi yig‘indisi bilan almashtirish mumkin.
Ikki musbat sonning qismining logarifmi x va y bu sonlarning logarifmlari orasidagi farqga teng. Bo'lim logarifmi xossasi a>0, a≠1, x va y ba'zi musbat sonlar bo'lgan shakldagi formulaga mos keladi. Ushbu formulaning haqiqiyligi mahsulotning logarifmi formulasi kabi isbotlangan: beri 
, keyin logarifmning ta'rifi bilan.
Logarifmning ushbu xususiyatidan foydalanishga misol: 
.
Keling, davom etaylik daraja logarifmining xossasi. Darajaning logarifmi ko'rsatkichning ko'paytmasiga va ushbu daraja asosining modulining logarifmiga teng. Darajaning logarifmining bu xossasini formula ko‘rinishida yozamiz: log a b p =p log a |b|, bu yerda a>0, a≠1, b va p shunday raqamlarki, b p darajasi mantiqiy va b p >0.
Bu xususiyatni birinchi navbatda musbat b uchun isbotlaymiz. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b sonini log a b, so'ngra b p =(a log a b) p ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi va natijada paydo bo'lgan ifoda kuch xususiyati tufayli a p log a b ga teng bo'ladi. Shunday qilib, biz b p =a p log a b tengligiga kelamiz, undan logarifmning ta'rifi bilan log a b p =p log a b degan xulosaga kelamiz.
Bu xususiyatni salbiy b uchun isbotlash uchun qoladi. Bu yerda manfiy b uchun log a b p ifodasi faqat p juft ko‘rsatkichlari uchun ma’noli ekanligini ta’kidlaymiz (chunki b p darajaning qiymati noldan katta bo‘lishi kerak, aks holda logarifm ma’noga ega bo‘lmaydi) va bu holda b p =|b| p . Keyin b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, qayerdan log a b p =p log a |b| .
Misol uchun, 
va ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Bu avvalgi mulkdan kelib chiqadi ildizdan logarifmning xossasi: n-darajali ildizning logarifmi 1/n kasr va ildiz ifodasining logarifmi ko'paytmasiga teng, ya'ni. 
, bu yerda a>0 , a≠1 , n birdan katta natural son, b>0 .
Isbot har qanday musbat b uchun amal qiladigan tenglikka (qarang) va daraja logarifmi xossasiga asoslanadi: 
.
Bu xususiyatdan foydalanishga misol: 
.
Endi isbot qilaylik logarifmning yangi bazasiga aylantirish formulasi mehribon 
. Buning uchun tenglik logi c b=log a b log c a ning haqiqiyligini isbotlash kifoya. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b, keyin esa log c b=log c a log a b ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi. Darajaning logarifmi xususiyatidan foydalanish qoladi: log c a log a b = log a b log c a. Shunday qilib, log c b=log a b log c a tengligi isbotlangan, demak, logarifmning yangi asosiga o‘tish formulasi ham isbotlangan.
Keling, logarifmlarning ushbu xususiyatini qo'llashga bir nechta misollarni ko'rsatamiz: va 
.
Yangi bazaga o'tish formulasi sizga "qulay" asosga ega bo'lgan logarifmlar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi. Masalan, undan natural yoki o'nlik logarifmlarga o'tish uchun foydalanish mumkin, shunda siz logarifmlar jadvalidan logarifmning qiymatini hisoblashingiz mumkin. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi, shuningdek, ba'zi hollarda, ba'zi logarifmlarning boshqa asoslar bilan qiymatlari ma'lum bo'lganda, berilgan logarifmning qiymatini topishga imkon beradi.
Ko'pincha c=b ko'rinishi uchun logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasining maxsus holati ishlatiladi. 
. Bu log a b va log b a – ekanligini ko'rsatadi. Masalan, 
.
Ko'pincha formuladan ham foydalaniladi 
, bu logarifm qiymatlarini topish uchun foydalidir. So'zlarimizni tasdiqlash uchun biz shaklning logarifmining qiymati uning yordamida qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Bizda ... bor 
. Formulani isbotlash uchun 
a logarifmining yangi bazasiga o'tish formulasidan foydalanish kifoya: 
.
Logarifmlarning taqqoslash xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi.
Har qanday musbat sonlar uchun b 1 va b 2, b 1 ekanligini isbotlaylik log a b 2, a>1 uchun esa log a b 1 tengsizlik Va nihoyat, logarifmlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash qoladi. Biz uning birinchi qismini isbotlash bilan cheklanamiz, ya’ni a 1 >1, a 2 >1 va 1 bo‘lishini isbotlaymiz. 1 rost log a 1 b>log a 2 b . Logarifmlarning ushbu xossasining qolgan bayonotlari shunga o'xshash printsip bilan isbotlangan. Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Aytaylik, 1 >1, a 2 >1 va 1 uchun 1 log a 1 b≤log a 2 b rost. Logarifmlarning xususiyatlariga ko'ra, bu tengsizliklarni qayta yozish mumkin 
Va 
mos ravishda va ulardan kelib chiqadiki, log b a 1 ≤log b a 2 va log b a 1 ≥log b a 2. U holda bir xil asosli darajalarning xossalari bo'yicha b log b a 1 ≥b log b a 2 va b log b a 1 ≥b log b a 2 tengliklari, ya'ni a 1 ≥a 2 qanoatlantirilishi kerak. Shunday qilib, biz a 1 shartiga qarama-qarshilikka erishdik
Adabiyotlar ro'yxati.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).
ga nisbatan
berilgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Berilgan a va keyin N ko'rsatkich bilan topiladi. Agar N berilgan bo'lsa va u holda a x darajaning (yoki ko'rsatkichning) ildizini chiqarib topilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda, x topish kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqing.
N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .
Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi
Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich N ning a asosiga logarifmi sifatida topiladi. Yozuvlar
bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; aslida u logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. Ushbu ta'rifga ko'ra, a logarifmning asosi har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmlanadigan N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosli har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim, aks holda xulosa oqlanmaydi, chunki tenglik x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri.
1-misol. Toping
Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani kuchga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.
Bunday misollarni yechishda quyidagi shaklda yozib olishingiz mumkin:
2-misol. Toping.
Yechim. Bizda ... bor
1 va 2-misollarda logarifmlanadigan sonni ratsional darajali asos darajasi sifatida ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. Umumiy holatda, masalan, boshqalar uchun, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir savolga e'tibor qaratamiz. 12-§da biz berilgan ijobiy sonning har qanday haqiqiy kuchini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.
Logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqing.
Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.
Isbot. Logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz bor va qaerdan bo'lsin
Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin
2- xossa. Har qanday asosga birlik logarifmi nolga teng.
Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, qarang (10.1)). Bu yerdan
Q.E.D.
Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar bo'lsa, N = 1. Haqiqatan ham, bizda .
Logarifmlarning quyidagi xossasini aytishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘lamiz. Agar bu sonlarning biri c dan katta, ikkinchisi esa c dan kichik bo lsa, u holda ular c ning qarama-qarshi tomonlarida yotadi deymiz.
Xossa 3. Agar son va asos birlikning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; agar son va asos birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotsa, u holda logarifm manfiy hisoblanadi.
3-xususiyatning isboti asosi birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat bo‘lsa, a ning darajasi birdan katta bo‘lishi yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy bo'lsa yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich ijobiy bo'lsa, daraja birdan kichik bo'ladi.
Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:
Biz ulardan birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.
Demak, tenglikdagi ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lsin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.
3-misol. Quyidagi logarifmlarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:
Yechim, a) 15 raqami va 12 ta asosi birlikning bir tomonida joylashganligi uchun;
b) , chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; shu bilan birga, asos logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;
c), chunki 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;
G) ; nega?
e) ; nega?
Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifm qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilib, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi, darajasining logarifmlarini topishga imkon beradi.
4-xususiyat (mahsulotning logarifmi uchun qoida). Berilgan asosdagi bir nechta musbat sonlar ko‘paytmasining logarifmi shu asosdagi bu sonlarning logarifmlari yig‘indisiga teng.
Isbot. Ijobiy raqamlar berilsin.
Ularning hosilasining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:
Bu erdan topamiz
Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:
E'tibor bering, shart juda muhim; ikkita manfiy sonning mahsulotining logarifmi mantiqiy, ammo bu holda biz olamiz
Umuman olganda, agar bir nechta omillarning ko'paytmasi ijobiy bo'lsa, unda uning logarifmi ushbu omillar modullarining logarifmlari yig'indisiga teng bo'ladi.
5-xususiyat (bo'lim logarifmi qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosda olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Doimiy ravishda toping
Q.E.D.
6-xossa (darajaning logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi shu sonning logarifmini ko‘rsatkichni ko‘paytirishga teng.
Isbot. Raqam uchun yana asosiy identifikatorni (26.1) yozamiz:
Q.E.D.
Natija. Musbat sonning ildizining logarifmi ildiz sonining logarifmini ildizning ko'rsatkichiga bo'linganiga teng:
Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va foydalanishni taqdim etish orqali isbotlashimiz mumkin.
Misol 4. A asosi uchun logarifm:
a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);
b) (deb taxmin qilinadi).
Yechim, a) Bu ifodani kasr darajalariga o‘tkazish qulay:
(26.5) - (26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:
E'tibor qilamizki, raqamlarning o'ziga qaraganda, raqamlarning logarifmlari ustida oddiyroq amallar bajariladi: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'linganda ayiriladi va hokazo.
Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llanilgan (qarang. 29-sek.).
Logarifmga teskari harakat potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsial - bu sonning o'zi berilgan logarifm orqali topilgan harakat. Aslida, potentsiallash hech qanday maxsus harakat emas: bu bazani quvvatga (sonning logarifmiga teng) ko'tarishdan iborat. “Potensiatsiya” atamasini “eksponentsiya” atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.
Potentsiyalashda logarifm qoidalariga teskari bo'lgan qoidalardan foydalanish kerak: logarifmlar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar mavjud bo'lsa. logarifm belgisi oldida har qanday omil, keyin potentsiallash paytida u logarifm belgisi ostidagi indikator darajalariga o'tkazilishi kerak.
5-misol. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping
Yechim. Hozirgina aytilgan potensiyalash qoidasi bilan bog'liq holda, bu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida joylashgan 2/3 va 1/3 ko'rsatkichlari ushbu logarifmlarning belgilari ostidagi darajalarga o'tkaziladi; olamiz
Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:
bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-bo'lim).
Xossa 7. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda katta son kattaroq logarifmaga ega (kichikroq esa kichikroq), agar asos birdan kichik bo'lsa, katta son kichikroq logarifmaga ega bo'ladi (va kichikroq). bittasi kattaroq).
Bu xususiyat, shuningdek, ikkala qismi ham ijobiy bo'lgan tengsizliklar logarifmi uchun qoida sifatida tuzilgan:
Tengsizliklar logarifmini birdan katta asosga olishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, birdan kichik asosga logarifm olishda esa tengsizlik belgisi teskari bo'ladi (80-bandga ham qarang).
Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmni oladigan bo'lsak, buni ko'rib chiqing.
(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan
Keyingi holat bo'lsa, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.
Yuklanmoqda...