HAQIQIY SONLAR II

§ 44 Haqiqiy sonlarning geometrik tasviri

Ratsional sonlar kabi geometrik haqiqiy sonlar ham to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar bilan ifodalanadi.

Bo'lsin l - ixtiyoriy to'g'ri chiziq va O - uning ba'zi nuqtalari (58-rasm). Har bir ijobiy haqiqiy raqam α masofada O ning o'ng tomonida yotgan A nuqtasini yozishmalarga qo'ying α uzunlik birliklari.

Agar, masalan, α = 2.1356..., keyin

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

va hokazo. Ko'rinib turibdiki, bu holda A nuqta chiziq ustida bo'lishi kerak l raqamlarga mos keladigan nuqtalarning o'ng tomonida

2; 2,1; 2,13; ... ,

lekin raqamlarga mos keladigan nuqtalarning chap tomonida

3; 2,2; 2,14; ... .

Bu shartlar chiziqda aniqlanishini ko'rsatish mumkin l biz haqiqiy sonning geometrik tasviri deb hisoblaydigan yagona A nuqta α = 2,1356... .

Xuddi shunday, har bir manfiy haqiqiy son β O ning chap tomonida | masofada joylashgan B nuqtasini yozishmalarga qo'ying β | uzunlik birliklari. Nihoyat, biz O nuqtasini "nol" raqamiga beramiz.

Shunday qilib, 1 raqami to'g'ri chiziqda ko'rsatiladi l O ning o'ng tomonida bir uzunlik birligi masofada joylashgan A nuqta (59-rasm), raqam - √2 - B nuqta, O ning chap tomonida √2 uzunlik birligi masofasida yotgan va hokazo.

Keling, to'g'ri chiziqda qanday qilib ko'rsatamiz l sirkul va o‘lchagich yordamida √2, √3, √4, √5 va hokazo haqiqiy sonlarga mos nuqtalarni topish mumkin.Buning uchun birinchi navbatda uzunliklari bilan ifodalangan segmentlarni yasashni ko‘rsatamiz. bu raqamlar. AB uzunlik birligi sifatida olingan segment bo'lsin (60-rasm).

A nuqtada biz ushbu segmentga perpendikulyarni tiklaymiz va unga AB segmentiga teng bo'lgan AC segmentini chetga surib qo'yamiz. Keyin, Pifagor teoremasini ABC to'g'ri burchakli uchburchakka qo'llash orqali biz olamiz; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Demak, BC segmenti uzunligi √2 ga ega. Endi C nuqtada BC segmentiga perpendikulyarni tiklaymiz va undagi D nuqtani tanlaymiz, shunda CD segmenti bo'ladi. birga teng AB uzunligi. Keyin dan to'g'ri uchburchak BCD topadi:

VD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Demak, BD segmenti uzunligi √3 ga ega. Ta'riflangan jarayonni davom ettirsak, biz uzunliklari √4, √5 va hokazo raqamlar bilan ifodalangan BE, BF, ... segmentlarini olishimiz mumkin.

Endi chiziqda l √2, √3, √4, √5 va hokazo raqamlarning geometrik tasviri bo'lib xizmat qiladigan nuqtalarni topish oson.

Masalan, O nuqtaning o'ng tomoniga BC segmentini qo'yib (61-rasm), biz √2 sonining geometrik tasviri bo'lib xizmat qiladigan S nuqtani olamiz. Xuddi shu tarzda, BD segmentini O nuqtaning o'ng tomoniga qo'yib, biz √3 sonining geometrik tasviri bo'lgan D nuqtasini olamiz va hokazo.

Biroq, raqam chizig'ida sirkul va o'lchagich yordamida deb o'ylamaslik kerak l har qanday berilgan haqiqiy songa mos keladigan nuqtani topish mumkin. Misol uchun, sizning ixtiyoringizda faqat kompas va o'lchagich bo'lsa, uzunligi raqam bilan ifodalangan segmentni qurish mumkin emasligi isbotlangan. π = 3.14 ... . Shunday qilib, raqamlar qatorida l bunday konstruktsiyalardan foydalanib, bu raqamga mos keladigan nuqtani ko'rsatish mumkin emas.Biroq, bunday nuqta mavjud.

Shunday qilib, har bir haqiqiy raqam uchun α chiziqning qandaydir aniq belgilangan nuqtasini bog'lash mumkin l . Bu nuqta boshlang'ich O dan | masofada ajratiladi α | uzunlik birliklari va agar O ning o'ng tomonida bo'ling α > 0 va O ning chap tomonida if α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две turli nuqtalar Streyt l . Haqiqatan ham, raqamga ruxsat bering α A nuqtaga va raqamga mos keladi β - nuqta B. Keyin, agar α > β , keyin A B ning o'ng tomonida bo'ladi (62-rasm, a); agar α < β , keyin A B ning chap tomonida yotadi (62-rasm, b).

37-§da ratsional sonlarning geometrik tasviri haqida gapirganda, biz savolni qo'ydik: to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasini qandaydir geometrik tasvir sifatida ko'rib chiqish mumkinmi? oqilona raqamlar? O'shanda biz bu savolga javob bera olmadik; Endi biz bunga aniq javob bera olamiz. To'g'ri chiziqda geometrik tasvir bo'lib xizmat qiladigan nuqtalar mavjud irratsional sonlar(masalan, √2 ). Shuning uchun to'g'ri chiziqdagi har bir nuqta ratsional sonni bildirmaydi. Ammo bu holatda yana bir savol tug'iladi: haqiqiy chiziqning istalgan nuqtasini ba'zilarning geometrik tasviri deb hisoblash mumkinmi? yaroqli raqamlar? Bu masala allaqachon ijobiy hal etilgan.

Haqiqatan ham, A chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin l , O ning o'ng tomonida yotgan (63-rasm).

OA segmentining uzunligi qandaydir musbat haqiqiy son bilan ifodalanadi α (Qarang: § 41). Shuning uchun A nuqta sonning geometrik tasviridir α . Xuddi shunday, O ning chap tomonida joylashgan har bir B nuqtasini manfiy haqiqiy sonning geometrik tasviri sifatida ko'rib chiqish mumkinligi aniqlandi. β , qayerda β - VO segmentining uzunligi. Nihoyat, O nuqta nol sonining geometrik tasviri sifatida xizmat qiladi. Chiziqning ikkita aniq nuqtasi aniq l bir xil haqiqiy sonning geometrik tasviri bo'la olmaydi.

Yuqorida aytib o'tilgan sabablarga ko'ra, ba'zi O nuqtasi "boshlang'ich" nuqta sifatida (ma'lum uzunlik birligi uchun) ko'rsatilgan to'g'ri chiziq deyiladi. raqamlar qatori.

Chiqish. Barcha haqiqiy sonlar to'plami va haqiqiy chiziqning barcha nuqtalari to'plami birma-bir yozishmalarda bo'ladi.

Bu shuni anglatadiki, har bir haqiqiy son sonlar chizig'ining bitta aniq belgilangan nuqtasiga mos keladi va aksincha, son chizig'ining har bir nuqtasiga bunday moslik bilan bitta aniq aniqlangan haqiqiy son mos keladi.

Mashqlar

320. Ikki nuqtadan qaysi biri sonlar chizig‘ining chap va qaysi o‘ng tomonida joylashganligini aniqlang, agar bu nuqtalar sonlarga to‘g‘ri keladi?

a) 1,454545... va 1,455454...; c) 0 va - 1,56673...;

b) - 12,0003... va - 12,0002...; d) 13.24... va 13.00....

321. Ikki nuqtadan qaysi biri sonlar chizig‘ining boshlang‘ich O nuqtasidan uzoqroqda joylashganligini aniqlang, agar bu nuqtalar sonlarga to‘g‘ri kelsa?

a) 5,2397... va 4,4996...; .. c) -0,3567... va 0,3557... .

d) - 15,0001 va - 15,1000...;

322. Ushbu bo'limda √ uzunlikdagi segmentni qurish ko'rsatilgan n kompas va to'g'ri chiziq yordamida siz quyidagilarni qilishingiz mumkin: birinchi navbatda uzunligi √ 2 bo'lgan segmentni, so'ngra uzunligi √ 3 bo'lgan segmentni va boshqalarni, uzunligi √ bo'lgan segmentga etgunimizcha qurishingiz mumkin. n . Lekin har bir sobit uchun P > 3 bu jarayonni tezlashtirish mumkin. Masalan, √10 uzunlikdagi segmentni qanday qurishni boshlaysiz?

323*. 1 raqamiga mos keladigan raqam chizig'idagi nuqtani topish uchun kompas va o'lchagichdan qanday foydalanish kerak. α , agar raqamga mos keladigan nuqtaning pozitsiyasi α , ma'lum?

Raqam chizig'i, son o'qi - haqiqiy sonlar tasvirlangan chiziq. To'g'ri chiziqda koordinata - O nuqta (O nuqta 0 ni bildiradi) va birlikni ifodalovchi L nuqta tanlanadi. L nuqta odatda O nuqtaning o'ng tomonida turadi. OL segmenti birlik segmenti deb ataladi.

O nuqtaning o'ng tomonidagi nuqtalar ijobiy sonlarni ifodalaydi. Nuqtaning chap tomonidagi nuqtalar. Oh, salbiy raqamlarni tasvirlang. Agar X nuqta musbat x sonini ifodalasa, u holda OX = x masofasi. Agar X nuqta manfiy x sonni ifodalasa, u holda OX = - x masofa.

Nuqtaning to‘g‘ri chiziqdagi o‘rnini ko‘rsatuvchi songa shu nuqtaning koordinatasi deyiladi.

Rasmda ko'rsatilgan V nuqtaning koordinatasi 2 ga, H nuqtaning koordinatasi -2,6 ga teng.

Haqiqiy sonning moduli - bu songa mos keladigan nuqtadan boshlang'ich nuqtagacha bo'lgan masofa. X sonining modulini belgilang, shuning uchun: | x |. Shubhasiz, | 0 | = 0.

Agar x soni 0 dan katta bo'lsa, u holda | x | = x, va agar x 0 dan kichik bo'lsa, u holda | x | = - x. Modulning ana shu xossalariga ko'p tenglamalar va tengsizliklarni modul bilan yechish asoslanadi.

Misol: Tenglamani yechish | x - 3 | = 1.

Yechish: Ikkita holatni ko'rib chiqaylik - birinchi holat, x -3 > 0 bo'lganda va ikkinchi holat, x - 3 0 bo'lganda.

1. x - 3 > 0, x > 3.

Bu holda | x - 3 | = x - 3.

Tenglama x - 3 \u003d 1, x \u003d 4 ko'rinishini oladi. 4\u003e 3 - birinchi shartni qondirish.

2. x -3 0, x 3.

Bu holda | x - 3 | = - x + 3

Tenglama x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2 ko'rinishini oladi. -2 3 - ikkinchi shartni qondiradi.

Javob: x = 4, x = -2.

Raqamli ifodalar.

Raqamli ifoda arifmetik operatorlar va qavslar orqali bog'langan bir yoki bir nechta raqamlar va funktsiyalar to'plamidir.
Raqamli ifodalarga misollar:

Raqamli ifodaning qiymati sondir.
Raqamli ifodadagi amallar quyidagi ketma-ketlikda bajariladi:

1. Qavs ichidagi amallar.

2. Funksiyalarni hisoblash.

3. Ko‘rsatkichlar

4. Ko‘paytirish va bo‘lish.

5. Qo‘shish va ayirish.

6. Bir xil turdagi operatsiyalar chapdan o'ngga amalga oshiriladi.

Shunday qilib, birinchi ifodaning qiymati raqamning o'zi 12.3 bo'ladi
Ikkinchi ifodaning qiymatini hisoblash uchun amallarni quyidagi ketma-ketlikda bajaramiz:

1. Qavslar ichidagi amallarni quyidagi ketma-ketlikda bajaring - avval uchinchi darajaga 2 ni ko'taramiz, so'ngra hosil bo'lgan sondan 11 ni ayiramiz:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. 3 ni 4 ga ko‘paytiring:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Amallarni chapdan o'ngga ketma-ket bajaring:

12 + (-3) = 9.
O'zgaruvchilarga ega ifoda arifmetik operatorlar va qavslar bilan bog'langan bir yoki bir nechta raqamlar, o'zgaruvchilar va funktsiyalar to'plamidir. O'zgaruvchilar bilan ifodalarning qiymatlari unga kiritilgan o'zgaruvchilarning qiymatlariga bog'liq. Bu yerda amallar ketma-ketligi sonli ifodalar bilan bir xil. Baʼzan oʻzgaruvchili ifodalarni turli amallarni bajarish orqali soddalashtirish foydali boʻladi – qavslar, qavslarni kengaytirish, guruhlash, kasrlarni qisqartirish, oʻxshashlarini qisqartirish va hokazo. Shuningdek, ifodalarni soddalashtirish uchun ko'pincha turli formulalar qo'llaniladi, masalan, qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, turli funktsiyalarning xususiyatlari va boshqalar.

Algebraik ifodalar.

Algebraik ifoda - bu algebraik amallarning belgilari bilan o'zaro bog'langan bir yoki bir nechta algebraik miqdorlar (raqamlar va harflar): qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish, shuningdek, ildizni ajratib olish va butun son darajaga ko'tarish (bundan tashqari, ildiz va ko'rsatkich majburiy bo'lishi kerak) butun sonlar) va bu harakatlar ketma-ketligining belgilari (odatda qavslar turli xil). Kiritilgan miqdorlar soni algebraik ifoda yakuniy bo'lishi kerak.

Algebraik ifodaga misol:

“Algebraik ifoda” sintaktik tushunchadir, yaʼni biror narsa maʼlum grammatik qoidalarga boʻysunsagina algebraik ifoda hisoblanadi (qarang Formal grammatika ). Agar algebraik ifodadagi harflar o‘zgaruvchan deb hisoblansa, algebraik ifoda algebraik funksiya ma’nosini oladi.

Keng xilma-xilligidan to'plamlar deb ataladiganlar alohida qiziqish uyg'otadi raqamlar to'plami, ya'ni elementlari sonlar bo'lgan to'plamlar. Ular bilan qulay ishlash uchun siz ularni yozib olishingiz kerakligi aniq. Raqamli to'plamlarni yozish va yozish tamoyillari bilan biz ushbu maqolani boshlaymiz. Keyin koordinata chizig'ida sonli to'plamlar qanday tasvirlanganligini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Raqamli to'plamlarni yozish

Qabul qilingan belgidan boshlaylik. Ma'lumki, lotin alifbosining bosh harflari to'plamlarni belgilash uchun ishlatiladi. Raqamli to'plamlar kabi maxsus holat to'plamlar ham belgilanadi. Masalan, A , H , W va hokazo sonli to'plamlar haqida gapirishimiz mumkin. Tabiiy, butun, ratsional, haqiqiy, murakkab sonlar va boshqalar to'plamlari alohida ahamiyatga ega bo'lib, ular uchun o'z belgilari qabul qilingan:

• N - barcha natural sonlar to'plami;
• Z - butun sonlar to'plami;
• Q - ratsional sonlar to'plami;
• J - irratsional sonlar to'plami;
• R - haqiqiy sonlar to'plami;
• C - kompleks sonlar to'plami.

Bundan ko'rinib turibdiki, masalan, ikkita 5 va -7 raqamlaridan iborat to'plamni Q deb belgilash shart emas, bu belgi noto'g'ri bo'ladi, chunki Q harfi odatda barcha ratsional sonlar to'plamini bildiradi. Belgilangan raqamli to'plamni belgilash uchun boshqa "neytral" harfdan foydalanish yaxshiroqdir, masalan, A.

Belgilash haqida gap ketayotganligi sababli, bu erda bo'sh to'plamning, ya'ni elementlari bo'lmagan to'plamning yozuvini ham eslaymiz. U ∅ belgisi bilan belgilanadi.

To'plamdagi elementning a'zolik va a'zo bo'lmaganlik belgilarini ham eslaylik. Buning uchun ∈ - tegishli va ∉ - tegishli emas belgilaridan foydalaning. Masalan, 5∈N yozuvi 5 raqami natural sonlar to'plamiga tegishli ekanligini, 5,7∉Z - o'nlik kasr 5,7 butun sonlar to'plamiga tegishli emasligini bildiradi.

Keling, bir to'plamni boshqasiga kiritish uchun qabul qilingan belgini ham eslaylik. Ko'rinib turibdiki, N to'plamning barcha elementlari Z to'plamga kiritilgan, shuning uchun raqam to'plami N Z tarkibiga kiradi, bu N⊂Z sifatida belgilanadi. Z⊃N yozuvidan ham foydalanishingiz mumkin, ya'ni Z barcha butun sonlar to'plami N to'plamini o'z ichiga oladi. Kirilmagan va kiritilmagan munosabatlar mos ravishda ⊄ va belgilari bilan belgilanadi. ⊆ va ⊇ shakllarining qat'iy bo'lmagan qo'shilish belgilari ham qo'llaniladi, ular mos ravishda kiritilgan yoki mos keladi va o'z ichiga oladi yoki mos keladi.

Belgilanish haqida gapirdik, keling, sonli to'plamlarning tavsifiga o'tamiz. Bunday holda, biz faqat amaliyotda eng ko'p qo'llaniladigan asosiy holatlarga to'xtalamiz.

Cheklangan va kichik sonli elementlarni o'z ichiga olgan sonli to'plamlardan boshlaylik. Cheklangan sonli elementlardan tashkil topgan sonli to'plamlarni ularning barcha elementlarini sanab o'tish orqali qulay tasvirlash mumkin. Barcha raqam elementlari vergul bilan ajratilgan va ichiga yoziladi, bu umumiy bilan mos keladi tavsif qoidalarini belgilang. Masalan, 0, −0,25 va 4/7 uchta sondan iborat to‘plamni (0, −0,25, 4/7) deb ta’riflash mumkin.

Ba'zan, sonli to'plamning elementlari soni etarlicha katta bo'lsa, lekin elementlar qandaydir naqshga bo'ysunsa, tasvirlash uchun ellipsis ishlatiladi. Masalan, 3 dan 99 gacha bo'lgan barcha toq sonlar to'plamini (3, 5, 7, ..., 99) shaklida yozish mumkin.

Shunday qilib, biz elementlari soni cheksiz bo'lgan sonli to'plamlarning tavsifiga muammosiz yaqinlashdik. Ba'zan ularni bir xil ellips yordamida tasvirlash mumkin. Masalan, barcha natural sonlar to'plamini tasvirlaymiz: N=(1, 2. 3, …) .

Shuningdek, ular sonli to'plamlarning tavsifini uning elementlarining xususiyatlarini ko'rsatish orqali ishlatadilar. Bunda (x| xossalari) yozuvidan foydalaniladi. Masalan, yozuv (n| 8 n+3, n∈N) shunday natural sonlar to‘plamini belgilaydi, ular 8 ga bo‘linganda 3 ning qoldig‘ini beradi. Xuddi shu to'plamni (11,19, 27, ...) deb ta'riflash mumkin.

Maxsus holatlarda cheksiz sonli elementlarga ega sonli toʻplamlar maʼlum N , Z , R va boshqalar toʻplamlardir. yoki raqamli bo'shliqlar. Va umuman, sonli to'plamlar sifatida ifodalanadi ittifoq ularni tashkil etuvchi individual raqamli intervallar va cheklangan sonli elementlarga ega sonli to'plamlar (bu haqda biz biroz yuqoriroq gaplashdik).

Keling, misol keltiraylik. Raqamlar to'plami −10 , −9 , −8,56 , 0 sonlari, [−5, −1,3] oraliqning barcha raqamlari va ochiq sonlar nurining raqamlari (7, +∞) bo‘lsin. To'plamlar birligining ta'rifi tufayli ko'rsatilgan sonlar to'plamini quyidagicha yozish mumkin {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Bunday belgi aslida to‘plamlarning barcha elementlarini o‘z ichiga olgan to‘plamni bildiradi (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] va (7, +∞) .

Xuddi shunday, turli sonli diapazonlar va individual sonlar to'plamini birlashtirib, har qanday sonlar to'plamini (haqiqiy sonlardan iborat) tasvirlash mumkin. Bu erda nima uchun oraliq, yarim interval, segment, ochiq kabi sonli intervallar turlari aniq bo'ladi raqamli nur va son nuri: ularning barchasi individual sonlar to'plamining yozuvi bilan birgalikda har qanday sonlar to'plamini ularning birlashuvi orqali tasvirlash imkonini beradi.

E'tibor bering, sonlar to'plamini yozishda uning tashkil etuvchi raqamlari va son oraliqlari o'sish tartibida tartiblanadi. Bu majburiy emas, lekin kerakli shart, chunki tartiblangan sonlar to'plamini koordinata chizig'ida tasvirlash va tasvirlash osonroq. Shuni ham yodda tutingki, bunday yozuvlar bilan raqamli intervallar ishlatilmaydi umumiy elementlar, chunki bunday yozuvlar umumiy elementlarsiz sonli intervallarni birlashmasi bilan almashtirilishi mumkin. Masalan, umumiy elementlar [−10, 0] va (−5, 3) boʻlgan sonli toʻplamlarning birlashuvi yarim oraliq [−10, 3) hisoblanadi. Xuddi shu narsa sonli intervallarni bir xil chegara raqamlari bilan birlashtirish uchun ham amal qiladi, masalan, birlashma (3, 5]∪(5, 7] to'plamdir (3, 7] , biz buni o'rganganimizda alohida to'xtalib o'tamiz. sonli to'plamlarning kesishuvi va birlashmasini toping.

Koordinata chizig'idagi raqamlar to'plamining tasviri

Amalda, sonli to'plamlarning geometrik tasvirlaridan foydalanish qulay - ularning tasvirlari . Masalan, qachon tengsizliklarni yechish, unda ODZni hisobga olish kerak, ularning kesishishi va / yoki birlashishini topish uchun raqamli to'plamlarni tasvirlash kerak. Shunday qilib, sonli to'plamlarni koordinata chizig'ida tasvirlashning barcha nuanslarini yaxshi tushunish foydali bo'ladi.

Ma'lumki, koordinata chizig'i nuqtalari bilan haqiqiy sonlar o'rtasida birma-bir moslik mavjud, ya'ni koordinata chizig'ining o'zi R barcha haqiqiy sonlar to'plamining geometrik modelidir. Shunday qilib, barcha haqiqiy raqamlar to'plamini tasvirlash uchun uning butun uzunligi bo'ylab lyuk bilan koordinata chizig'ini chizish kerak:

Va ko'pincha ular kelib chiqishi va bitta segmentni ham ko'rsatmaydi:

Keling, ayrim sonli individual sonlar bo'lgan sonli to'plamlar tasviri haqida gapiraylik. Masalan, raqamlar to'plamini chizamiz (−2, −0,5, 1,2) . Ushbu to'plamning uchta -2, -0,5 va 1,2 raqamlaridan iborat geometrik tasviri mos keladigan koordinatali koordinata chizig'ining uchta nuqtasi bo'ladi:

E'tibor bering, odatda amaliyot ehtiyojlari uchun chizmani aniq bajarishga hojat yo'q. Ko'pincha sxematik chizma etarli bo'ladi, ya'ni o'lchovni saqlab qolish shart emas, faqat uni saqlash muhimdir. o'zaro tartibga solish bir-biriga nisbatan nuqtalar: kichikroq koordinatali har qanday nuqta kattaroq koordinatali nuqtaning chap tomonida bo'lishi kerak. Oldingi chizma sxematik tarzda quyidagicha ko'rinadi:

Alohida, barcha mumkin bo'lgan sonli to'plamlardan ularning geometrik tasvirlarini ifodalovchi sonli intervallar (intervallar, yarim intervallar, nurlar va boshqalar) ajralib turadi, biz bo'limda batafsil ko'rib chiqdik. Biz bu erda o'zimizni takrorlamaymiz.

Va faqat bir nechta sonli intervallar va individual raqamlardan iborat to'plamlarning birlashmasi bo'lgan sonli to'plamlar tasviri ustida to'xtash qoladi. Bu erda hech qanday qiyin narsa yo'q: birlashmaning ma'nosiga ko'ra, bu hollarda koordinata chizig'ida siz berilgan sonlar to'plamining barcha tarkibiy qismlarini tasvirlashingiz kerak. Misol tariqasida raqamlar to'plamining tasvirini ko'rsatamiz (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Va keling, bir yoki bir nechta nuqtadan tashqari, tasvirlangan sonlar to'plami haqiqiy raqamlarning butun to'plami bo'lgan juda keng tarqalgan holatlarga to'xtalib o'tamiz. Bunday to'plamlar odatda x≠5 yoki x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 va boshqalar kabi shartlar bilan belgilanadi. Bunday hollarda, geometrik jihatdan, ular mos keladigan nuqtalar bundan mustasno, butun koordinata chizig'ini ifodalaydi. Boshqacha qilib aytganda, bu nuqtalar koordinata chizig'idan "teshilgan" bo'lishi kerak. Ular markazi bo'sh doiralar sifatida tasvirlangan. Aniqlik uchun raqamlar to'plamini chizamiz, shartlarga mos kelishi (bu to'plam asosan):

Xulosa qiling. Ideal holda, oldingi paragraflarning ma'lumotlari raqamli to'plamlarni yozish va tasvirlashning alohida raqamli intervallarning ko'rinishi bilan bir xil ko'rinishini shakllantirishi kerak: raqamli to'plamni yozib olish darhol koordinata chizig'ida o'z tasvirini berishi kerak va rasmdan koordinata chizig'i, biz individual bo'shliqlar va individual raqamlardan iborat to'plamlar birlashmasi orqali mos keladigan raqamli to'plamni osongina tasvirlashga tayyor bo'lishimiz kerak.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9-sinf 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-nashr, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01752-3.

Raqamlarni shakllantirish

Raqamli qurilmalarda raqamlar tasvirining ikki shakli mavjud: belgilangan bilan і suzuvchi koma.

Old paragrafda faqat bir nechta ijobiy raqamlar ko'rindi. Formula (1.14) qo'sh sonni butun va kasr qismi va qat'iy koma bilan ko'rsatish imkoniyatini beradi. Ruxsat etilgan koma bilan ikki xonali sonning belgisi raqamlar oldiga qo'yilgan qo'shimcha daraja bilan beriladi. Qo'shimcha raqamlar uchun qo'shimcha buyurtmaning qiymati teng " 0 ”, vizuallar uchun - “ 1 ”.

Stolda 1.3 oxirgi va ikkinchi raqamlarni juft kod bilan kodlashning uchta varianti mavjud.

1.3-jadval.

Birinchi variantda, jadvallardan ma'lum bo'lishicha, kodlangan qo'sh ketma-ketlikda qo'shimcha va yakuniy nollarning o'rni bo'lishi mumkin, bu esa vikonann arifmetik operatsiyalarni bajarishda muammolarga olib kelishi mumkin.

Berilgan raqamlarning darvoza kodida ko'rsatilishi ham yuqoridagi masalani hal qilmaydi. Agar raqamlarni ko'rsangiz, faqat bir marta xato qilmaysiz qo'shimcha kod, bu formula bo'yicha hisoblanadi:

Shaklda. 1.12 to'g'ridan-to'g'ri va bir-birini to'ldiruvchi kodlarning muqobil variantlariga nolga o'xshash musbat va salbiy sonlar tasvirining grafik talqinini ko'rsatadi. Keyinchalik ko'rsatilgandek, o'ninchi raqamlarni ko'rsatishning bunday shakli arifmetik amallarni soddalashtiradi.

1.10-misol. O'ninchi raqamlarning to'ldiruvchi kodini biling: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya. Biz berilgan raqamlarning ikkita ekvivalentini bilamiz:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Biz kodni bilamiz, zvorotny dvyykovim - vydpovídno: 11111111; 11101110; 01111110.

Berilgan raqamlarning kodlarini to'ldirish ma'lum: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Endi biz sobit koma bilan raqamlarni yozishning mohiyatini tushuntiramiz. Raqamli tizimlardagi raqam maxsus xotira qurilmalari tomonidan qabul qilinadimi, qat'iy elementlar sonidan terilar qatori hosil bo'ladi. Otishmalar soniga zarbalar sonining bir qismini o'z ichiga olgan koma, xotira qatorida qat'iy pozitsiyani egallaydi - yuqori martaba oldida yoki yoshdan keyin.

Birinchi tur uchun raqamning mutlaq qiymati birdan kichik - masalan, 0,110101 2 . 1.13, yakuniy leviy darajasi raqamning belgisini va reshta - modul darajasini ko'rsatadi. Vilni yosh razryadlari nol bilan to'ldiriladi. Ko'rib chiqilgan vipadkudagi Oskylki xotira qatorida raqamning faqat kasr qismini yozib olish uchun uzatiladi, keyin barcha operatsiyalar natijalari mutlaq qiymatlarga bog'liq, birdan kam. Wikonnannya tsíêí tashqi ma'lumotlar ko'paytiriladi tegishli ko'lamli omillar, tanlash uchun ishonch hosil qiling. Agar tebranishlar shkalasi koeffitsienti noto'g'ri bo'lsa, u holda chiqindilarni qayta tartiblash va butun qismning ko'rinishi bo'lishi mumkin, go'yo u sarflanadi, razryadlar panjarasidagi parchalar vv ko'rinishiga o'tmaydi. Shunga qaramay, men sizni do'zaxga olib boraman, natijada bunday usul kam.

Boshqa kayfiyatda, agar koma eng yosh tartibdan keyin tuzatilgan bo'lsa, u butun sonlar bilan to'g'ri bo'lishi mumkin. Shunday qilib, masalan, xotira qatoridagi 10011 2 raqami rasmdagi ko'rinishga joylashtirilgan. 1.14, de livy darajasi belgisi va undan keyin o'ng tomonda bo'sh raqamlar nol bilan to'ldiriladi. Shunday qilib, modulning qiymati o'ralgan xotira qatoridir.

Suzuvchi koma bilan raqamlar raqamning tasvirini mantisga o'tkazadi, bu tartib bilan o'rnatiladigan bosqichda sanoq tizimining asosiga ko'paytiriladi. Masalan, 200 raqami 0,2 × 10 3, 0,000312 soni esa 0,312 × 10 -3 sifatida yoziladi. Vidpovidno zapisyutsya va dvyykoví raqamlari. Mantis va tartib juft kodda ko'rsatiladi va asos ikkitadir. Masalan, o'ninchi tizimdagi 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 raqami 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10 sifatida ko'rsatiladi. Xotiraning bir qatorida bunday raqamlar ikkita raqamlar guruhidan olinadi: birinchi guruh - mantis - raqamning o'zi, ikkinchisi - tartib - raqamdagi Komi o'rnini belgilaydi (1.15-rasm).

Xotira qatorining nol elementida raqamning belgisi ko'rsatiladi (xotira qatorida yozilgan qo'sh raqam uchun - " 0 ”). Masofalar raqamning o'zi tartibida o'rnatiladi (1...8 to'xtash joylari). Agar u kamroq qatorlar bilan berilgan bo'lsa, u holda raqamning o'ng tomonidagi xotira elementlari nollar bilan to'ldiriladi. To'qqizinchi tartibda tartibning belgisi ko'rsatiladi, reshtda esa mantisga o'xshab - tartibni bildiruvchi raqam. Bunday yozuv bilan raqamning qiymati mantisning birinchi muhim raqami teng bo'lmaydigan tarzda o'rnatiladi " 0 ". Ushbu kirish shakli deyiladi normal.

Xotira qatorida oddiy shaklda yozilishi mumkin bo'lgan minimal qo'shimcha raqam minimal mantis 0.1000..0 2 va maksimal vizual tartib 111..1 2 bilan belgilanadi. Miqdor bilan k Minimal o'nlik tartibida yozilishi mumkin bo'lgan raqam quyidagi formula bilan aniqlanadi:

. (1.15)

Mantisning maksimal qiymatida matimemoslarning maksimal soni (0,111 ... 1) 2 va maksimal qo'shimcha buyurtma (111 ... 1 2) = 2 k- 1, keyin

Diapazon D Oddiy shaklda berilgan raqamlar (1.15) va (1.16) formulalardan ko'rinib turibdiki, faqat raqamni bildiradi. k. Masalan, uchun k= 6 ma'lum:

; .

Raqamni ro'yxatga olishning aniqligi buyurtmalar soni bilan belgilanadi m mantici. Agar raqamning darajalari soni mantisga kiritilgan darajalar sonini teskarisiga aylantirsa, u holda raqam kerakli raqamga yaxlitlanadi. Ikkita sonni shu tarzda yaxlitlash qoidasi quyidagicha: agar so‘zning ko‘rinayotgan qismining katta tartibi bitta bo‘lsa, mantisning eng yosh tartibiga bitta qo‘shiladi. Bunday yumaloq mutlaq raqam bilan mantisning tasviri yosh mantis toifasining koeffitsientining yarmidan oshmaydi, tobto:

Vraxovuchi, mantis yozuvining normal shaklida 0,5 dan kam bo'lmasligi aniq xato ē:

Masalan, qachon m= 24 oy:

.

Hozirgi vaqtda suzuvchi koma bilan raqamlarni ko'rsatish uchun raqamli tizimlarda dojinoy chotiri baytlari qatoridan foydalaniladi. 23 ta tushirish bilan mantisni, 7 tasini esa buyurtmaning kattaligini o'rnating. Ko'rsatilgan raqamlar diapazoni ± 2 127 dan ± 2 -127 gacha katlanadi.

Suzuvchi koma bilan raqamlarning o'zgarishi raqamlarning ko'rinishini kengaytiradi va soddalashtiradi, ammo bunday raqamlar bo'yicha operatsiyalarning ko'p qirraliligi ko'proq hamkorlikda, qattiq koma bilan raqamlarda pastroqdir.

Ratsional sonlar sistemasining ifodali geometrik tasvirini quyidagicha olish mumkin.

Guruch. 8. Raqamlar o'qi

Ba'zi bir to'g'ri chiziqda, "raqamli o'q", biz segmentni 0 dan 1 gacha belgilaymiz (8-rasm). Bu, umuman olganda, o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin bo'lgan birlik segmentining uzunligini belgilaydi. Keyin musbat va manfiy butun sonlar sonlar o‘qida teng oraliqda joylashgan nuqtalar to‘plami sifatida tasvirlanadi, ya’ni musbat sonlar 0 nuqtasining o‘ng tomoniga, manfiylari esa chap tomoniga belgilanadi. Raqamlarni maxraj bilan tasvirlash uchun har birini ajratamiz. olingan birlik uzunlikdagi segmentlarni teng qismlarga bo'lish; bo'linish nuqtalari maxrajli kasrlarni ifodalaydi.Agar buni barcha natural sonlarga mos keladigan qiymatlar uchun qilsak, har bir ratsional son raqamli o'qdagi biron bir nuqta bilan tasvirlangan bo'ladi. Biz bu fikrlarni "ratsional" deb atashga rozi bo'lamiz; umuman olganda, "ratsional son" va "ratsional nuqta" atamalari sinonim sifatida ishlatiladi.

I bobning 1-bandida natural sonlar uchun tengsizlik munosabati aniqlangan. Raqamlar o'qida bu nisbat quyidagicha aks ettiriladi: agar natural son A natural B sonidan kichik bo'lsa, u holda A nuqta B nuqtaning chap tomonida yotadi. Ko'rsatilgan geometrik munosabat har qanday ratsional nuqtalar juftligi uchun o'rnatilganligi sababli, bunday nisbatda arifmetik tengsizlik munosabatini umumlashtirishga harakat qilish tabiiydir. Ko'rib chiqilayotgan nuqtalar uchun ushbu geometrik tartibni saqlab qolish usuli. Agar biz quyidagi ta'rifni qabul qilsak, bu mumkin bo'ladi: biz A ratsional sonini kichikroq deb aytamiz ratsional son yoki agar farq ijobiy bo'lsa, B soni raqamdan kattaroqdir. Bundan kelib chiqadiki (for ) orasidagi nuqtalar (raqamlar) o'shalardir

bir vaqtning o'zida Har bir bunday nuqta juftligi, ular orasidagi barcha nuqtalar bilan birgalikda segment (yoki segment) deb ataladi va belgilanadi (va oraliq nuqtalar to'plamining o'zi oraliq (yoki interval) deb ataladi).

Ixtiyoriy A nuqtaning musbat son sifatida qabul qilingan 0 boshdan uzoqligi A ning mutlaq qiymati deyiladi va belgi bilan belgilanadi.

"Absolyut qiymat" tushunchasiga quyidagicha ta'rif beriladi: agar , agar u holda bo'lsa, agar raqamlar bir xil belgiga ega bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'lishi aniq. turli belgilar, keyin. Ushbu ikkita natijani birlashtirib, biz umumiy tengsizlikka erishamiz

belgilaridan qat'iy nazar amal qiladi

Prinsipial ahamiyatga ega bo'lgan fakt quyidagi taklif bilan ifodalanadi: ratsional nuqtalar hamma joyda raqamlar chizig'ida zich joylashgan. Ushbu bayonotning ma'nosi shundaki, har qanday intervalning ichida, qanchalik kichik bo'lmasin, ratsional nuqtalar mavjud. Ko'rsatilgan bayonotning to'g'riligini tekshirish uchun shunchalik katta raqamni olish kifoya qiladiki, interval ( berilgan oraliqdan kichik bo'ladi; u holda shaklning hech bo'lmaganda bitta nuqtasi shu oraliq ichida bo'ladi. Demak, mavjud. raqamlar o'qida (tasavvur qilish mumkin bo'lgan eng kichik bo'lgan) bunday interval bo'lmaydi, uning ichida ratsional nuqtalar bo'lmaydi.Bundan keyingi xulosa kelib chiqadi: har bir oraliq cheksiz sonli ratsional nuqtalarni o'z ichiga oladi. faqat cheklangan miqdordagi ratsional nuqtalar bo'lsa, u holda ikkita qo'shni bunday nuqtalar hosil qilgan oraliq ichida endi ratsional nuqtalar bo'lmaydi va bu hozirgina isbotlangan narsaga zid keladi.