uy > Matematika

Ratsional ko'rsatkich varianti bilan daraja 3. Raqam darajasi: ta'riflar, belgilash, misollar

a sonining butun ko'rsatkichlaridan ratsional ko'rsatkichga o'tish o'zini ko'rsatadi. Quyida biz ratsional darajali darajani aniqlaymiz va uni butun ko'rsatkichli darajaning barcha xossalari saqlanib qoladigan tarzda qilamiz. Bu zarur, chunki butun sonlar ratsional sonlarning bir qismidir.

Ma'lumki, ratsional sonlar to'plami butun va kasr sonlardan iborat bo'lib, har biri kasr son ijobiy yoki salbiy ifodalanishi mumkin oddiy kasr. Oldingi paragrafda biz darajani butun ko'rsatkich bilan aniqlagan edik, shuning uchun darajani ratsional ko'rsatkich bilan ta'riflashni yakunlash uchun biz sonning darajasiga ma'no berishimiz kerak. a kasr bilan m/n, qayerda m butun sondir va n- tabiiy. Keling buni bajaramiz.

Shaklning kasr ko'rsatkichi bilan darajani ko'rib chiqing. Darajadagi daraja xususiyati amalda qolishi uchun tenglik amal qilishi kerak . Agar natijada paydo bo'lgan tenglikni hisobga olsak va n-darajaning ildizini qanday aniqlagan bo'lsak, unda ma'lumotlar bilan birga qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi. m, n Va a ifodasi mantiqiy.

Butun koʻrsatkichli darajaning barcha xossalari quyidagi kabilar uchun haqiqiyligini tekshirish oson (bu ratsional koʻrsatkichli daraja xossalari boʻlimida bajariladi).

Yuqoridagi mulohazalar bizga quyidagilarni qilish imkonini beradi chiqish: berilgan bo'lsa m, n Va a ifoda mantiqiy, keyin raqamning kuchi a kasr bilan m/n ildiz deb ataladi n ning darajasi a darajada m.

Ushbu bayonot bizni kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifiga yaqinlashtiradi. Bu faqat nima ostida tasvirlash uchun qoladi m, n Va a ifodasi mantiqiy. O'rnatilgan cheklovlarga qarab m, n Va a ikkita asosiy yondashuv mavjud.

1. Eng oson yo'li - cheklash a, qabul qilish a≥0 ijobiy uchun m Va a>0 salbiy uchun m(chunki da m≤0 daraja 0 m aniqlanmagan). Keyin biz kasr ko'rsatkichi bilan darajaning quyidagi ta'rifini olamiz.

Ta'rif.

Ijobiy raqam darajasi a kasr bilan m/n , qayerda m bir butundir va n natural son bo‘lib, ildiz deyiladi n- orasidan a darajada m, ya'ni, .



Nolning kasr darajasi ham eksponent ijobiy bo'lishi kerak bo'lgan yagona ogohlantirish bilan aniqlanadi.

Ta'rif.

Kasr musbat darajali nolning kuchi m/n , qayerda m musbat butun son, va n deb belgilangan natural sondir .
Agar daraja aniqlanmagan bo'lsa, ya'ni kasr manfiy ko'rsatkichli nol sonining darajasi mantiqiy emas.

Shuni ta'kidlash kerakki, darajaning kasr ko'rsatkichi bilan bunday ta'rifi bilan bitta nuance mavjud: ba'zi bir salbiylar uchun a va ba'zilari m Va n ifoda mantiqiy va biz shartni kiritish orqali bu holatlardan voz kechdik a≥0. Masalan, yozish mantiqiy yoki , va yuqoridagi ta'rif bizni darajalarni shaklning kasr ko'rsatkichi bilan aytishga majbur qiladi ma'nosiz, chunki asos salbiy bo'lmasligi kerak.

2. Kasr ko'rsatkichi bilan darajani aniqlashning yana bir usuli m/n ildizning juft va toq koʻrsatkichlarini alohida koʻrib chiqishdan iborat. Bu yondashuv talab qiladi qo'shimcha shart: darajasi a, ko'rsatkichi kamaytirilgan oddiy kasr bo'lsa, sonning darajasi hisoblanadi a, uning indikatori mos keladigan qaytarilmas kasr (bu shartning ahamiyati quyida tushuntiriladi). Ya'ni, agar m/n qaytarilmas kasr, u holda har qanday natural son uchun k daraja oldindan bilan almashtiriladi.

Bir tekis uchun n va ijobiy m ifoda har qanday salbiy bo'lmagan uchun ma'noga ega a(salbiy sonning juft darajasining ildizi mantiqiy emas), manfiy bilan m raqam a hali ham noldan farq qilishi kerak (aks holda u nolga bo'linish bo'ladi). Va g'alati uchun n va ijobiy m raqam a har qanday bo'lishi mumkin (toq darajaning ildizi har qanday haqiqiy son uchun aniqlanadi) va salbiy uchun m raqam a noldan farq qilishi kerak (nolga bo'linmaslik uchun).

Yuqoridagi mulohaza bizni kasr ko'rsatkichi bilan darajaning shunday ta'rifiga olib keladi.

Ta'rif.

Bo'lsin m/n- qaytarilmas kasr m bir butundir va n- natural son. Har qanday kamaytiriladigan oddiy kasr uchun daraja ga almashtiriladi. Darajasi a qaytarilmas kasr ko'rsatkichi bilan m/n- bu uchun

o har qanday haqiqiy raqam a, butun son musbat m va g'alati tabiiy n, misol uchun, ;

o har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son a, manfiy butun son m va g'alati n, masalan, ;

o har qanday manfiy bo'lmagan son a, butun son musbat m va hatto n, misol uchun, ;

o har qanday ijobiy a, manfiy butun son m va hatto n, masalan, ;

o boshqa hollarda kasr ko'rsatkichli daraja aniqlanmaydi, masalan, darajalar aniqlanmaydi. .a yozuvlari biz hech qanday ma'no qo'shmaymiz, biz musbat kasr ko'rsatkichlari uchun nol darajasini aniqlaymiz m/n Qanday , manfiy kasr ko'rsatkichlari uchun nol sonining darajasi aniqlanmagan.

Ushbu bandni yakunlab, kasr ko'rsatkichini o'nli kasr yoki aralash son sifatida yozish mumkinligiga e'tibor qarataylik, masalan, . Ushbu turdagi ifodalarning qiymatlarini hisoblash uchun siz ko'rsatkichni oddiy kasr sifatida yozishingiz kerak, keyin esa kasr ko'rsatkichi bilan daraja ta'rifidan foydalaning. Ushbu misollar uchun bizda bor Va


Raqamning darajasi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, son darajasining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajaning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, misollarni echishda bu xususiyatlar qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarning xossalari

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga ko'ra, n ning kuchi har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, va foydalanish ko'paytirish xususiyatlari haqiqiy raqamlar , biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin natural ko'rsatkichli daraja xossalari:

  1. a m ·a n =a m+n darajaning asosiy xossasi, uni umumlashtirish;
  2. bir xil asosli qisman darajalar xossasi a m:a n =a m−n ;
  3. mahsulot darajasi xossasi (a b) n =a n b n, uning kengayishi;
  4. natura bo'yicha ko'rsatkich xususiyati (a:b) n =a n:b n ;
  5. daraja (a m) n =a m n, uning umumlashtirilishi (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. darajani nolga solishtirish:
    • agar a>0 bo'lsa, har qanday natural n uchun a n >0;
    • a=0 bo'lsa, a n =0 ;
    • agar a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 agar a<0 и показатель степени есть toq raqam 2 m−1 , keyin esa 2 m−1<0 ;
  7. a va b musbat sonlar bo'lsa va a
  8. agar m va n natural sonlar m>n bo‘lsa, 0 da 0 a m >a n tengsizlik rost.

Biz darhol barcha yozma tenglik ekanligini ta'kidlaymiz bir xil belgilangan sharoitlarda va ularning o'ng va chap qismlarini almashtirish mumkin. Masalan, a m a n = a m + n bilan kasrning asosiy xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n = a m a n shaklida qo‘llaniladi.

Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

    Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xususiyatidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

    Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, a m a n ko'rinishdagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar mahsulotini ko'paytma sifatida yozish mumkin. Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin , va bu ko'paytma tabiiy ko'rsatkichli m+n, ya'ni m+n ning kuchidir. Bu dalilni to'ldiradi.

    Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va natural darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajaning asosiy xususiyatiga ko'ra 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. Keling, uning haqiqiyligini tekshirib ko'ramiz, buning uchun biz 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblaymiz. Eksponentsiyani bajaramiz, bizda bor 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 va 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, chunki teng qiymatlar olinganligi sababli, 2 2 2 3 \u003d 2 5 tengligi to'g'ri va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.

    Ko'paytirishning xossalariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va tabiiy ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun tenglik a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Misol uchun, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Tabiiy ko'rsatkich bilan darajalarning keyingi xususiyatiga o'tishingiz mumkin - bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman vakolatlarning mulki: har qanday nolga teng boʻlmagan haqiqiy son va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik toʻgʻri boʻladi.

    Ushbu mulkning isbotini berishdan oldin, keling, bayonotdagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. a≠0 sharti nolga boʻlinmaslik uchun zarur, chunki 0 n =0 va boʻlinish bilan tanishganimizda nolga boʻlinib boʻlmaydi degan fikrga keldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun ko'rsatkich a m−n bo'ladi natural son, aks holda u nol bo'ladi (bu m − n bo'lganda sodir bo'ladi) yoki manfiy son (bu m bo'lganda sodir bo'ladi)

    Isbot. Kasrning asosiy xossasi tenglikni yozishga imkon beradi a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Olingan tenglikdan a m−n ·a n =a m va undan kelib chiqadiki, a m−n a m va a n darajalar qismidir. Bu bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman kuchlarning xususiyatini isbotlaydi.

    Keling, bir misol keltiraylik. Asoslari bir xil p va natural ko‘rsatkichlari 5 va 2 bo‘lgan ikkita darajani olaylik, darajaning ko‘rib chiqilayotgan xossasi p 5 tengligiga mos keladi: p 2 = p 5−3 = p 3.

    Endi o'ylab ko'ring mahsulot darajasi xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural darajasi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a b) n =a n b n.

    Darhaqiqat, tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, biz bor . Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslangan oxirgi mahsulot sifatida qayta yozilishi mumkin , bu a n b n ga teng.

    Mana bir misol: .

    Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsuloti darajasiga qadar tarqaladi. Ya'ni, k omil ko'paytmasining n tabiiy kuch xossasi quyidagicha yoziladi (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning 7 ning kuchiga ko'paytmasi uchun bizda mavjud.

    Keyingi mulk tabiiy mulk: a va b , b≠0 haqiqiy sonlarning n natural darajaga bo‘lgan qismi a n va b n darajalarning ko‘rsatkichiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n .

    Tasdiqlash avvalgi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, va (a:b) n b n =a n tengligi (a:b) n a n ning b n ga bo‘lingan qismi ekanligini bildiradi.

    Keling, ushbu xususiyatni aniq raqamlar misolidan foydalanib yozamiz: .

    Endi ovoz beramiz eksponentatsiya xossasi: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural sonlar m va n uchun a m ning n darajali darajasi m·n darajali a ning kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n .

    Masalan, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Darajada quvvat xususiyatining isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: .

    Ko'rib chiqilgan xususiyat daraja ichida darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik . Aniqroq bo'lishi uchun ma'lum raqamlarga misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.

    Biz nol va kuchning taqqoslash xususiyatini tabiiy ko'rsatkich bilan isbotlashdan boshlaymiz.

    Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini asoslaylik.

    Ikki musbat sonning mahsuloti ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari bizga ijobiy sonlarning istalgan sonini ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'lishini ta'kidlashga imkon beradi. Tabiiy ko‘rsatkichi n bo‘lgan a ning kuchi esa, ta’rifiga ko‘ra, har biri a ga teng bo‘lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu argumentlar har qanday musbat a asosi uchun n ning darajasi musbat son ekanligini ta’kidlash imkonini beradi. Tasdiqlangan xususiyatga ko'ra 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 va .

    Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0 .

    Keling, salbiy asoslarga o'taylik.

    Keling, ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaylik, uni 2 m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin . a·a ko`rinishdagi mahsulotlarning har biri uchun a va a sonlari modullarining ko`paytmasiga teng, shuning uchun musbat son hisoblanadi. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi. va darajasi a 2 m. Mana misollar: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .

    Nihoyat, a ning asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda . Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xususiyat tufayli (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Biz darajalarni bir xil tabiiy ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyatiga murojaat qilamiz, u quyidagi formulaga ega: bir xil tabiiy ko'rsatkichlarga ega bo'lgan ikki daraja, n asosi kichik bo'lganidan kichik va asosi katta bo'lganidan ko'p. Keling, buni isbotlaylik.

    Tengsizlik a n tengsizliklar xossalari a n ko`rinishdagi isbotlanayotgan tengsizlik (2,2) 7 va .

    Tabiiy ko'rsatkichlar bilan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslarga ega bo'lgan ikkita darajadan birdan kam bo'lgan daraja kattaroq, ko'rsatkichi kamroq; va tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta bo'lgan ikki darajaning darajasi kattaroq, ko'rsatkichi kattaroqdir. Biz ushbu mulkning isbotiga murojaat qilamiz.

    m>n va 0 uchun buni isbotlaylik m>n boshlang'ich sharti tufayli 0, shundan kelib chiqadiki, 0 da

    Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n haqiqat ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma ijobiy, chunki a>1 uchun an darajasi musbat son, am−n−1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa am−n darajasi bir dan katta. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a m - a n >0 va a m >a n. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.

Butun sonli darajalar xossalari

Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun darajali darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab o‘tilgan va isbotlangan natural ko‘rsatkichli darajalarning xossalariga to‘liq mos keladi.

Manfiy butun koʻrsatkichli darajani, shuningdek, nol koʻrsatkichli darajani shunday aniqladikki, tenglik bilan ifodalangan natural koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari oʻz kuchida qoladi. Demak, bu xossalarning barchasi nol darajalar uchun ham, manfiy darajalar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalar asoslari nolga teng emas.

Demak, har qanday haqiqiy va nolga teng bo‘lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi. darajalarning butun ko‘rsatkichli xossalari:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m n;
  6. agar n musbat butun son bo'lsa, a va b musbat sonlar va a b-n;
  7. agar m va n butun sonlar va m>n bo'lsa, u holda 0 da 1 a m >a n tengsizlik bajariladi.

a=0 uchun a m va a n darajalar faqat m va n musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina ma’noga ega bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.

Bu xossalarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun natural va butun ko'rsatkichli daraja ta'riflaridan hamda haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya. Misol tariqasida, quvvat xossasi musbat butun sonlar uchun ham, nomusbat butun sonlar uchun ham amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q ekanligini ko'rsatishimiz kerak. , (ap ) −q =ap (−q) va (a−p)−q =a (−p) (−q). Keling buni bajaramiz.

Musbat p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi kichik bo'limda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va a 0 q =a 0 =1 ga ega bo'lamiz, bundan (a 0) q =a 0 q . Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, u holda (a p) 0 =1 va a p 0 =a 0 =1 , bundan (a p) 0 =a p 0 bo'ladi. Agar ikkala p=0 va q=0 bo'lsa, u holda (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0 0 =a 0 =1 , bundan (a 0) 0 =a 0 0 .

Endi (a −p) q =a (−p) q ekanligini isbotlaylik. Salbiy butun ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha, keyin . Darajada qismning xususiyatiga ko'ra, bizda mavjud . Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda, ta'rifiga ko'ra, a -(p q) ko'rinishining kuchi bo'lib, uni ko'paytirish qoidalariga ko'ra (−p) q shaklida yozish mumkin.

Xuddi shunday .

VA .

Xuddi shu printsipga ko'ra, siz darajaning boshqa barcha xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlashingiz mumkin.

Yozilgan xususiyatlarning oxirgi qismida a −n >b −n tengsizlikning isbotiga to‘xtalib o‘tish joiz, bu har qanday manfiy butun −n son va a sharti bo‘lgan har qanday musbat a va b uchun to‘g‘ri keladi. . Chunki shartga ko'ra a 0 . a n ·b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin olingan kasr b n - a n va a n b n musbat sonlar bo'limi sifatida musbat bo'ladi. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a −n >b −n qaerdan kelib chiqqan.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi tabiiy darajali darajalarning oʻxshash xossasi kabi isbotlanadi.

Ratsional darajali darajalar xossalari

Biz darajani kasr ko'rsatkichi bilan aniqladik, unga butun sonli darajaning xususiyatlarini kengaytirdik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:

Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani, butun ko'rsatkichli darajani va xususiyatlariga asoslanadi. Keling, dalil keltiraylik.

Kasr ko'rsatkichi bilan darajaning ta'rifi bo'yicha va , keyin . Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli daraja xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, bu erdan, kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali, biz , va olingan darajaning ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.

Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi xuddi shunday isbotlangan:

Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar bilan isbotlangan:

Biz keyingi mulkning isbotiga murojaat qilamiz. Har qanday musbat a va b , a uchun ekanligini isbotlaylik b p . Keling, yozamiz ratsional son p sifatida m/n , bu yerda m butun son va n natural son. Shartlar p<0 и p>0 bu holda m shartlariga ekvivalent bo'ladi<0 и m>mos ravishda 0. m>0 va a uchun

Xuddi shunday, m uchun<0 имеем a m >b m, qaerdan, ya'ni va a p >b p.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. p va q ratsional sonlar uchun 0 uchun p>q ekanligini isbotlaylik 0 – a p >a q tengsizlik. Biz har doim p va q ratsional sonlarini umumiy maxrajga keltira olamiz, oddiy kasrlarni olamiz va bu erda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti dan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. Keyin, 0 da bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlar bilan kuchlarni solishtirish xususiyatiga ko'ra 1 – a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xususiyatlari bo'yicha bu tengsizliklar, o'z navbatida, qayta yozilishi mumkin Va . Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi mos ravishda tengsizliklarga o'tishga imkon beradi. Bundan biz yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0 uchun 0 – a p >a q tengsizlik.

Irratsional darajali darajalarning xossalari

Irratsional ko'rsatkichli daraja qanday aniqlanganidan xulosa qilish mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xususiyatlariga ega. Shunday qilib, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi bilan darajalarning xossalari irratsional ko'rsatkichlar :

  1. a p a q = a p + q;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p;
  4. (a:b) p =a p:b p;
  5. (a p) q = a p q;
  6. har qanday musbat sonlar uchun a va b , a 0 tengsizlik a p b p ;
  7. irratsional sonlar uchun p va q , p>q 0 da 0 – a p >a q tengsizlik.

Bundan xulosa qilish mumkinki, a>0 uchun har qanday haqiqiy darajali p va q darajalar bir xil xususiyatlarga ega.

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 hujayralar uchun matematika Zh darslik. ta'lim muassasalari.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

MBOU "Sidorskaya

umumta'lim maktabi»

Reja-kontseptsiyani ishlab chiqish ochiq dars

11-sinfda algebra fanidan mavzu bo'yicha:

Tayyorlangan va olib borilgan

matematika o'qituvchisi

Isxakova E.F.

11-sinfda algebra fanidan ochiq dars konspekti.

Mavzu : "Ratsional ko'rsatkichli daraja".

Dars turi : Yangi materialni o'rganish

Dars maqsadlari:

    Talabalarni ilgari o‘rganilgan material (butun sonli ko‘rsatkichli daraja) asosida ratsional ko‘rsatkichli daraja tushunchasi va uning asosiy xossalari bilan tanishtirish.

    Hisoblash ko'nikmalarini va raqamlarni ratsional ko'rsatkichga aylantirish va taqqoslash qobiliyatini rivojlantirish.

    O'quvchilarda matematika savodxonligini, matematikaga qiziqishni rivojlantirish.

Uskunalar : Topshiriq kartochkalari, butun sonli indikatorli daraja bo‘yicha talabaning taqdimoti, ratsional ko‘rsatkichli daraja bo‘yicha o‘qituvchi taqdimoti, noutbuk, multimedia proyektori, ekran.

Darslar davomida:

    Tashkiliy vaqt.

Alohida topshiriq kartalari bilan o'tilgan mavzuning o'zlashtirilishini tekshirish.

Vazifa raqami 1.

=2;

B) = x + 5;

Tizimni hal qiling irratsional tenglamalar: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Vazifa raqami 2.

Irratsional tenglamani yeching: = - 3;

B) = x - 2;

Irratsional tenglamalar sistemasini yeching: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Darsning mavzusi va maqsadlari taqdimoti.

Bugungi darsimizning mavzusi Ratsional darajali daraja».

    Oldin o'rganilgan misolda yangi materialni tushuntirish.

Siz butun sonli daraja tushunchasi bilan allaqachon tanishsiz. Ularni eslab qolishimga kim yordam beradi?

Taqdimot bilan takrorlash Butun sonli daraja».

Har qanday a, b raqamlari va m va n butun sonlar uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Bugun biz sonning daraja tushunchasini umumlashtiramiz va kasr darajasiga ega bo'lgan iboralarga ma'no beramiz. Keling, tanishtiramiz ta'rifi ratsional ko'rsatkichli darajalar ("Ratsional ko'rsatkichli daraja" taqdimoti):

A darajasi > 0 ratsional ko'rsatkich bilan r = , qayerda m butun sondir va n - tabiiy ( n > 1), raqamni chaqirdi m .

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra, biz buni olamiz = m .

Keling, vazifani bajarishda ushbu ta'rifni qo'llashga harakat qilaylik.

№1 MISOL

Men sonning ildizi sifatida ifodani ifodalayman:

LEKIN) B) IN) .

Endi bu ta'rifni teskari yo'nalishda qo'llashga harakat qilaylik

II Ifodani ratsional darajali daraja sifatida ifodalang:

LEKIN) 2 B) IN) 5 .

0 ning kuchi faqat ijobiy ko'rsatkichlar uchun aniqlanadi.

0 r har qanday uchun = 0 r> 0.

Ushbu ta'rifdan foydalanib, Uylar# 428 va # 429 to'ldirasiz.

Keling, yuqoridagi ratsional ko'rsatkichli daraja ta'rifi har qanday daraja uchun to'g'ri bo'lgan darajalarning asosiy xususiyatlarini saqlab qolishini ko'rsatamiz.

Har qanday ratsional sonlar r va s va har qanday musbat a va b uchun tengliklar to'g'ri bo'ladi:

1 0 . a r a s =a r+s ;

MISOL: *

yigirma. a r: a s =a r-s ;

Misol: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

Misol: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

Misol: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

Bir vaqtning o'zida bir nechta xususiyatlardan foydalanishga misol: * : .

    Fizkultminutka.

Biz qalamlarni stolga qo'yamiz, orqa tomonni to'g'riladik va endi biz oldinga cho'zamiz, taxtaga tegmoqchimiz. Va endi biz ko'tardik va o'ngga, chapga, oldinga, orqaga egildik. Ular menga qalamlarni ko'rsatishdi, endi esa barmoqlaringiz qanday raqsga tushishini ko'rsating.

    Material ustida ishlash

Ratsional darajali darajalarning yana ikkita xususiyatini qayd etamiz:

60. Bo'lsin r - ratsional son va 0< a < b . Тогда

a r < b r da r> 0,

a r < b r da r< 0.

7 0 . Har qanday ratsional sonlar uchunr Va s tengsizlikdan r> s shunga amal qiladi

a r> a r a > 1 uchun,

a r < а r 0 da< а < 1.

Misol: Raqamlarni solishtiring:

VA ; 2 300 va 3 200 .

    Dars xulosasi:

Bugun darsda biz butun ko'rsatkichli darajaning xususiyatlarini esladik, ratsional darajali darajaning ta'rifi va asosiy xususiyatlarini o'rgandik, uni qo'llashni ko'rib chiqdik. nazariy material mashqlar paytida amalda. Men sizning e'tiboringizni "Ratsional ko'rsatkichli daraja" mavzusi majburiy ekanligiga qaratmoqchiman Topshiriqlardan FOYDALANISH. Tayyorgarlikda Uy vazifasi ( 428-son va 429-son

"Ratsional ko'rsatkichli daraja" video darsida ingl o'quv materiali ushbu mavzu bo'yicha dars berish. Videodarsda ratsional ko'rsatkichli daraja tushunchasi, xossalari, bunday darajalar haqida ma'lumotlar, shuningdek, amaliy muammolarni hal qilish uchun o'quv materialidan foydalanishni tavsiflovchi misollar mavjud. Ushbu videodarsning vazifasi o'quv materialini aniq va aniq taqdim etish, uni o'quvchilar tomonidan o'zlashtirish va esda saqlashga yordam berish, o'rganilgan tushunchalardan foydalangan holda muammolarni hal qilish qobiliyatini shakllantirishdir.

Videodarsning asosiy afzalliklari vizual o'zgarishlar va hisob-kitoblarni amalga oshirish qobiliyati, o'rganish samaradorligini oshirish uchun animatsiya effektlaridan foydalanish qobiliyatidir. Ovozli hamrohlik to'g'ri matematik nutqni rivojlantirishga yordam beradi, shuningdek, o'qituvchining tushuntirishini almashtirishga imkon beradi, uni individual ish uchun bo'shatadi.

Video dars mavzuni tanishtirishdan boshlanadi. O'rganishni bog'lash yangi mavzu Oldin o'rganilgan material bilan n √ a tabiiy n va musbat a uchun 1/n bilan aks holda belgilanishini esga olish taklif etiladi. n-ildizning bu tasviri ekranda ko'rsatiladi. Bundan tashqari, a m / n ifodasi nimani anglatishini ko'rib chiqish taklif etiladi, bunda a ijobiy son, m / n esa qandaydir kasrdir. Qutida ta'kidlangan darajaning ta'rifi m/n = n √ a m sifatida ratsional ko'rsatkich bilan berilgan. Ta'kidlanganidek, n ​​natural son, m esa butun son bo'lishi mumkin.

Ratsional ko'rsatkich bilan daraja aniqlangandan so'ng, uning ma'nosi misollar bilan ochiladi: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . O'nli kasr bilan ifodalangan daraja ildiz sifatida ifodalash uchun oddiy kasrga aylantirilishiga misol ham ko'rsatilgan: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 va dan misol salbiy qiymat darajalar: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Alohida-alohida, darajaning asosi nolga teng bo'lsa, ma'lum bir holatning xususiyati ko'rsatiladi. Ta'kidlanishicha, bu daraja faqat musbat kasr ko'rsatkichi bilan ma'noga ega. Bunda uning qiymati nolga teng: 0 m/n =0.

Ratsional darajali darajaning yana bir xususiyati qayd etilgan - kasr ko'rsatkichli darajani kasr ko'rsatkichi bilan ko'rib chiqish mumkin emas. Darajani noto'g'ri belgilashga misollar keltirilgan: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Keyinchalik videodarsda ratsional darajali darajaning xususiyatlari ko'rib chiqiladi. Qayd etilishicha, butun ko‘rsatkichli daraja xossalari ratsional ko‘rsatkichli daraja uchun ham amal qiladi. Bu holatda ham amal qiladigan xususiyatlar ro'yxatini esga olish taklif etiladi:

  1. Bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi: a p a q \u003d a p + q.
  2. Bir xil asosli darajalarning bo'linishi berilgan asos va ko'rsatkichlar farqi bilan darajaga qisqartiriladi: a p:a q =a p-q .
  3. Agar kuchni ma'lum bir darajaga ko'tarsak, natijada biz berilgan asos va ko'rsatkichlar ko'paytmasi bilan quvvatni olamiz: (a p) q =a pq .

Bu xossalarning barchasi ratsional darajalari p, q va musbat asosi a>0 bo‘lgan darajalar uchun amal qiladi. Bundan tashqari, qavslar ochilganda daraja o'zgarishlari haqiqiy bo'lib qoladi:

  1. (ab) p =a p b p - ikki sonning ko'paytmasini ratsional ko'rsatkich bilan ma'lum darajaga ko'tarish, har biri berilgan darajaga ko'tarilgan sonlar ko'paytmasiga keltiriladi.
  2. (a/b) p =a p /b p - kasrning ratsional ko'rsatkichi bo'lgan darajaga ayiruvchi va maxraji berilgan darajaga ko'tarilgan kasrga keltiriladi.

Video darslikda ratsional ko'rsatkichli darajalarning ko'rib chiqilgan xususiyatlaridan foydalanadigan misollar yechimi muhokama qilinadi. Birinchi misolda, x o'zgaruvchilari kasr darajasiga ega bo'lgan ifoda qiymatini topish taklif etiladi: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Ifodaning murakkabligiga qaramay, darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda, u juda oddiy hal qilinadi. Vazifani hal qilish ifodani soddalashtirish bilan boshlanadi, unda ratsional ko'rsatkich bilan darajani darajaga ko'tarish, shuningdek darajalarni ko'paytirish qoidasi qo'llaniladi. bir xil asos. Berilgan x=8 qiymatini soddalashtirilgan x 1/3 +48 ifodasiga almashtirgandan so'ng - 50 qiymatini olish oson.

Ikkinchi misolda, hisoblagichi va maxraji ratsional darajali darajalarni o'z ichiga olgan kasrni kamaytirish talab qilinadi. Darajaning xususiyatlaridan foydalanib, biz ayirmadan x 1/3 koeffitsientni tanlaymiz, keyin u pay va maxrajda kamaytiriladi va kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, hisoblagich omillarga parchalanadi, bu esa ko'proq qisqartirishni beradi. sanoqchi va maxrajdagi bir xil omillar. Bunday o'zgarishlarning natijasi qisqa kasr x 1/4 +3.

O‘qituvchining darsning yangi mavzusini tushuntirishi o‘rniga “Ratsional ko‘rsatkichli daraja” video darsidan foydalanish mumkin. Bundan tashqari, ushbu qo'llanma uchun etarli ma'lumot mavjud o'z-o'zini o'rganish talaba. Material masofaviy ta'limda foydali bo'lishi mumkin.

Biz ham tavsiya qilamiz

Yuklanmoqda...Yuklanmoqda...