Irratsional tenglamalar va ularni yechish usullari. Irratsional tenglamalar

Javob: x = 3.

8 usul. Irratsional tenglamalarni yechishda hosilaning qo‘llanilishi

Ko'pincha, hosila usuli yordamida tenglamalarni echishda baholash usuli qo'llaniladi.

15-Misol:

Tenglamani yeching: (1)

Yechim: https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> yoki (2) dan beri. Funktsiyani ko'rib chiqing. ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> umuman va shuning uchun ortib bormoqda. Shuning uchun tenglama asl tenglamaning ildizi bo'lgan ildizga ega bo'lgan tenglamaga teng.

Javob:

16-Misol:

Irratsional tenglamani yeching:

Funktsiyani aniqlash sohasi segmentdir. Eng kattasini toping va eng kichik qiymat intervaldagi ushbu funktsiyaning qiymatlari. Buning uchun funksiyaning hosilasini topamiz f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Funktsiya qiymatlarini topamiz f(x) segmentning oxirida va nuqtada : Shunday qilib, Lekin va shuning uchun tenglik faqat https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" sharti ostida mumkin. height="19 src=" > Tekshirish shuni ko'rsatadiki, 3 raqami bu tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob: x = 3.

9 usul. Funktsional

Imtihonlarda ular ba'zan shaklda yozilishi mumkin bo'lgan tenglamalarni echishni taklif qilishadi , bu erda ma'lum bir funktsiya.

Masalan, ba'zi tenglamalar: 1) 2) . Darhaqiqat, birinchi holatda , ikkinchi holatda . Shuning uchun, quyidagi bayonot yordamida irratsional tenglamalarni yeching: agar funktsiya to'plamda qat'iy ortib borayotgan bo'lsa X va har qanday uchun, u holda tenglamalar va boshqalar to'plamda ekvivalent bo'ladi X .

Irratsional tenglamani yeching: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> to'plamda qat'iy ravishda ortib bormoqda R, va https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src="" > yagona ildizga ega bo'lgan shuning uchun (1) ekvivalent tenglama ham yagona ildizga ega

Javob: x = 3.

18-Misol:

Irratsional tenglamani yeching: (1)

Kvadrat ildizning ta'rifi tufayli, agar (1) tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular DIV_ADBLOCK166"> to'plamga tegishli ekanligini aniqlaymiz.

. (2)

Funktsiyani ko'rib chiqing https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> har qanday ..gif" width="100" uchun ushbu to'plamda qat'iy ravishda ortib boradi. balandligi ="41"> qaysi bir ildiz Shuning uchun, va to'plamda unga ekvivalent X(1) tenglama bitta ildizga ega

Javob: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Yechish: Bu tenglama aralash sistemaga teng

Agar tenglamada kvadrat ildiz belgisi ostida o'zgaruvchi bo'lsa, u holda tenglama irratsional deb ataladi.
Irratsional tenglamani ko'rib chiqing

Bu tenglik, kvadrat ildizning ta'rifiga ko'ra, 2x + 1 = 32 degan ma'noni anglatadi. Aslida berilgan irratsional tenglamadan 2x + 1 = 9 ratsional tenglamaga irratsional tenglamaning har ikki tomonini kvadratiga aylantirdik. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga solish usuli irratsional tenglamalarni yechishning asosiy usuli hisoblanadi. Biroq, bu tushunarli: kvadrat ildiz belgisidan yana qanday qutulish mumkin? 2x + 1 = 9 tenglamasidan x = 4 ni topamiz.
Bu ham 2x + 1 = 9 tenglamaning ildizi, ham berilgan irratsional tenglamadir.
Kvadrat usuli texnik jihatdan oddiy, lekin ba'zida muammoga olib keladi. Masalan, irratsional tenglamani ko'rib chiqaylik

Ikkala tomonni kvadratga aylantirib, biz olamiz

Keyin bizda:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
Ammo x - 1 qiymati 2x - 5 = 4x - 7 ratsional tenglamaning ildizi bo'lib, berilgan irratsional tenglamaning ildizi emas. Nega? Berilgan irratsional tenglamada x o‘rniga 1 ni qo‘yib, hosil bo‘ladi . Agar uning chap va o'ng qismlarida mantiqiy bo'lmagan iboralar mavjud bo'lsa, qanday qilib sonli tenglikning bajarilishi haqida gapirish mumkin? Bunday hollarda ular aytadilar: x \u003d 1 - berilgan irratsional tenglama uchun begona ildiz. Ma’lum bo‘lishicha, berilgan irratsional tenglamaning ildizi yo‘q.
Keling, irratsional tenglamani yechamiz

-
Bu tenglamaning ildizlarini oldingi bandning oxirida qilganimizdek og'zaki topish mumkin: ularning ko'paytmasi - 38, yig'indisi esa - 17; bu raqamlar 2 ekanligini taxmin qilish oson
va - 19. Shunday qilib, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
Berilgan irratsional tenglamadagi x o‘rniga 2 qiymatini qo‘yib, hosil bo‘ladi

Bu haqiqat emas.
Berilgan irratsional tenglamadagi x o‘rniga - 19 qiymatini qo‘ysak, hosil bo‘ladi

Bu ham noto'g'ri.
Xulosa nima? Ikkala topilgan qiymat ham begona ildizlardir. Boshqacha qilib aytganda, berilgan irratsional tenglama ham avvalgisi kabi ildizga ega emas.
Chet ildiz siz uchun yangi tushuncha emas, ratsional tenglamalarni yechishda begona ildizlar allaqachon uchragan, tekshirish ularni aniqlashga yordam beradi. Irratsional tenglamalar uchun tekshirish tenglamani echishda majburiy qadam bo'lib, agar mavjud bo'lsa, begona ildizlarni aniqlashga yordam beradi va ularni yo'q qiladi (odatda ular "o'tlarni olib tashlash" deyishadi).

Demak, irratsional tenglama uning ikkala qismini ham kvadratga solish orqali yechiladi; Olingan ratsional tenglamani yechib, mumkin bo'lgan begona ildizlarni yo'q qilib, tekshirish kerak.

Ushbu hosiladan foydalanib, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol tenglamani yeching

Yechim. (1) tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

Keyingi, biz ketma-ket bor

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Imtihon. (1) tenglamaga x \u003d 5 ni almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz. (1) tenglamaga x \u003d 4 ni almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz. Demak, topilgan ikkala qiymat ham (1) tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
O n e t: 4; besh.

2-misol tenglamani yeching
(biz bu tenglamani 22-§da uchratdik va biz uning yechimini yaxshiroq vaqtlargacha “kechiktirdik”.) irratsional tenglamani olamiz.
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Keyin bizda bor
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Imtihon. Berilgan irratsional tenglamaga x = 80 ni almashtirsak, hosil bo‘ladi

Shubhasiz, bu noto'g'ri tenglik, chunki uning o'ng tomonida manfiy raqam, chap tomonida esa ijobiy raqam mavjud. Demak, x = 80 bu tenglama uchun begona ildizdir.

Berilgan irratsional tenglamaga x = 12 ni almashtirsak, olamiz

ya'ni. = 20, to'g'ri tenglik. Demak, x = 12 bu tenglamaning ildizidir.
Javob: 12.

Oxirgi tenglamaning ikkala qismini had bo'yicha 2 ga ajratamiz:

Imtihon. (2) tenglamaga x = 14 qiymatini qo'yib, biz hosil bo'lamiz noto'g'ri tenglik, shuning uchun x = 14 begona ildizdir.
(2) tenglamaga x = -1 qiymatini qo'yib, olamiz
- haqiqiy tenglik. Demak, x = - 1 tenglamaning ildizi (2).
A n t e t : - 1.

4-misol tenglamani yeching

Yechim. Albatta, siz bu tenglamani oldingi misollarda qo'llaganimizdek hal qilishingiz mumkin: tenglamani quyidagicha qayta yozing.

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiring, natijada olingan ratsional tenglamani yeching va topilgan ildizlarni ularni o'rniga qo'yib tekshiring.
asl irratsional tenglama.

Lekin biz yanada oqlangan usuldan foydalanamiz: biz yangi y = o'zgaruvchisini kiritamiz. Keyin biz 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - y o'zgaruvchisiga nisbatan kvadrat tenglamani olamiz. Uning ildizlarini topamiz: y 1 = 1, y 2 = -. Shunday qilib, vazifa ikkita hal qilish uchun qisqartirildi

Birinchi tenglamadan biz x \u003d 1 ni topamiz, ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q (siz u faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni olishini eslaysiz).
Javob: 1.
Biz ushbu bo'limni jiddiy nazariy munozara bilan yakunlaymiz. Gap shundaki. Siz allaqachon turli xil tenglamalarni echishda biroz tajribaga ega bo'ldingiz: chiziqli, kvadrat, ratsional, irratsional. Bilasizki, tenglamalarni echishda turli xil o'zgarishlar amalga oshiriladi,
masalan: tenglama a'zosi qarama-qarshi belgili tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkaziladi; tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladi yoki bo'linadi; maxrajdan qutulish, ya'ni = 0 tenglamasini p (x) = 0 tenglama bilan almashtiring; Tenglamaning ikkala tomoni ham kvadratdir.

Albatta, siz ba'zi o'zgarishlar natijasida begona ildizlar paydo bo'lishi mumkinligini payqadingiz va shuning uchun siz hushyor bo'lishingiz kerak edi: barcha topilgan ildizlarni tekshiring. Endi biz bularning barchasini nazariy nuqtai nazardan tushunishga harakat qilamiz.

Ta'rif. Ikki tenglama f (x) = g (x) va r (x) = s (x) bir xil ildizga ega bo'lsa (yoki, xususan, ikkala tenglamaning ham ildizi bo'lmasa) ekvivalent deb ataladi.

Odatda, tenglamani yechishda ular bu tenglamani oddiyroq, lekin unga ekvivalenti bilan almashtirishga harakat qilishadi. Bunday o'zgarish tenglamaning ekvivalent o'zgarishi deyiladi.

Quyidagi o'zgarishlar tenglamaning ekvivalent o'zgarishi hisoblanadi:

1. Tenglama a'zolarini qarama-qarshi belgilar bilan tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkazish.
Masalan, 2x + 5 = 7x - 8 tenglamasini 2x - 7x = - 8 - 5 tenglama bilan almashtirish tenglamaning ekvivalent o'zgarishi hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki

2x + 5 = 7x -8 va 2x - 7x = -8 - 5 tenglamalari ekvivalentdir.

2. Tenglamaning ikkala tomonini bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirish yoki bo‘lish.
Masalan, 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 tenglamasini 5x 2 - Zx \u003d 20 tenglama bilan almashtirish
(tenglamaning ikkala qismi ham hadga 10 ga ko'paytirildi) tenglamaning ekvivalent o'zgarishi.

Tenglamaning ekvivalent bo'lmagan o'zgarishlari quyidagi o'zgarishlardir:

1. O'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan maxrajlardan ozod qilish.
Masalan, tenglamani x 2 \u003d 4 tenglama bilan almashtirish tenglamaning ekvivalent bo'lmagan o'zgarishi hisoblanadi. Gap shundaki, x 2 \u003d 4 tenglama ikkita ildizga ega: 2 va - 2, va berilgan tenglama x = 2 qiymatini qondira olmaydi (maxraj yo'qoladi). Bunday hollarda biz shunday dedik: x \u003d 2 - bu begona ildiz.

2. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga solish.
Biz misollar keltirmaymiz, chunki bu paragrafda ularning ko'pi bor edi.
Agar tenglamani yechish jarayonida ko'rsatilgan ekvivalent bo'lmagan o'zgarishlardan biri ishlatilgan bo'lsa, unda barcha topilgan ildizlarni dastlabki tenglamaga almashtirish orqali tekshirish kerak, chunki ular orasida begona ildizlar bo'lishi mumkin.

Mavzu: “Shaklning irratsional tenglamalari , .»

(Uslubiy ishlanma.)

Asosiy tushunchalar

Irratsional tenglamalar o'zgaruvchi ildiz (radikal) belgisi yoki kasr darajasiga ko'tarilish belgisi ostida joylashgan tenglamalar deb ataladi.

f(x)=g(x) ko‘rinishdagi tenglama, f(x) yoki g(x) ifodalardan kamida bittasi irratsional bo‘ladi. irratsional tenglama.

Radikallarning asosiy xossalari:

• Barcha radikallar hatto daraja bor arifmetika, bular. agar radikal ifoda salbiy bo'lsa, unda radikal ma'noga ega emas (mavjud emas); agar ildiz ifodasi nolga teng bo'lsa, u holda radikal ham nol; agar radikal ifoda ijobiy bo'lsa, unda radikalning qiymati mavjud va ijobiy bo'ladi.
• Barcha radikallar g'alati daraja radikal ifodaning istalgan qiymati uchun aniqlanadi. Bundan tashqari, agar radikal ifoda salbiy bo'lsa, radikal salbiy; agar ildiz ifodasi nolga teng bo'lsa, nolga teng; bo'ysundirilgan ifoda ijobiy bo'lsa ijobiy bo'ladi.

Irratsional tenglamalarni yechish usullari

Irratsional tenglamani yeching - o'zgaruvchining barcha haqiqiy qiymatlarini topish, ularni asl tenglamaga almashtirganda, u to'g'ri sonli tenglikka aylanadi yoki bunday qiymatlar mavjud emasligini isbotlashni anglatadi. Irratsional tenglamalar R haqiqiy sonlar to‘plamida yechiladi.

Tenglamaning haqiqiy qiymatlari diapazoni o'zgaruvchining o'sha qiymatlaridan iborat bo'lib, ular uchun teng darajadagi radikallar belgisi ostidagi barcha ifodalar manfiy bo'lmagan.

Irratsional tenglamalarni yechishning asosiy usullari quyidagilar:

a) tenglamaning ikkala qismini bir xil darajaga ko'tarish usuli;

b) yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli (almashtirish usuli);

v) irratsional tenglamalarni yechishning sun'iy usullari.

Ushbu maqolada biz yuqorida aniqlangan shakldagi tenglamalarni ko'rib chiqishga e'tibor qaratamiz va bunday tenglamalarni yechishning 6 ta usulini taqdim etamiz.

1 usul. Kub.

Ushbu usul qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishni talab qiladi va "tuzoqlar" ni o'z ichiga olmaydi, ya'ni. begona ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelmaydi.

1-misol tenglamani yeching

Yechim:

Biz tenglamani shaklda qayta yozamiz va uning ikkala tomonini kub shaklida kesib oling. Biz bu tenglamaga ekvivalent tenglamani olamiz,

Javob: x=2, x=11.

2-misol. Tenglamani yeching.

Yechim:

Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz va uning ikkala tomonini kub shaklida ko'taramiz. Bu tenglamaga ekvivalent tenglamani olamiz

va olingan tenglamani ildizlardan biriga nisbatan kvadratik deb hisoblang

shuning uchun diskriminant 0 ga teng va tenglama x=-2 yechimga ega bo'lishi mumkin.

Imtihon:

Javob: x=-2.

Izoh: Agar kvadrat tenglama to'ldirilgan bo'lsa, tekshiruv o'tkazib yuborilishi mumkin.

2 usul. Formuladan foydalanib kub.

Biz tenglamani kublashtirishni davom ettiramiz, lekin ayni paytda qisqartirilgan ko'paytirish uchun o'zgartirilgan formulalardan foydalanamiz.

Keling, formulalardan foydalanamiz:

(kichik o'zgartirish ma'lum formula), keyin

Misol 3. tenglamani yeching .

Yechim:

Yuqorida berilgan formulalar yordamida tenglamani kubga aylantiramiz.

Ammo ifoda o'ng tomoniga teng bo'lishi kerak. Shuning uchun bizda:

.

Endi kub shaklida biz odatdagi kvadrat tenglamani olamiz:

, va uning ikkita ildizi

Sinovda ko'rsatilganidek, ikkala qiymat ham to'g'ri.

Javob: x=2, x=-33.

Ammo bu erda barcha o'zgarishlar ekvivalentmi? Bu savolga javob berishdan oldin yana bitta tenglamani yechamiz.

4-misol. Tenglamani yeching.

Yechim:

Avvalgidek ikkala qismni ham uchinchi darajaga ko'tarib, bizda:

Qayerdan (qavs ichidagi ifoda ekanligini hisobga olsak), biz quyidagilarni olamiz:

Biz olamiz, .Tekshiramiz va x=0 begona ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

Javob: .

Keling, savolga javob beraylik: "Nima uchun begona ildizlar paydo bo'ldi?"

Tenglik tenglikka olib keladi . ni -s bilan almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Shaxsni tekshirish oson

Demak, agar , u holda yo , yoki . Tenglama quyidagicha ifodalanishi mumkin , .

dan -lar bilan almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: agar , keyin yo, yoki

Shuning uchun, ushbu yechim usulidan foydalanganda, tekshirish va begona ildizlar yo'qligiga ishonch hosil qilish kerak.

3 usul. Tizim usuli.

5-misol tenglamani yeching .

Yechim:

Bo'lsin,. Keyin:

Qanday qilib bu aniq

Tizimning ikkinchi tenglamasi shunday olinadiki, radikal ifodalarning chiziqli birikmasi dastlabki o'zgaruvchiga bog'liq bo'lmaydi.

Tizimning yechimi yo'qligini ko'rish oson, shuning uchun dastlabki tenglamaning yechimi yo'q.

Javob: Ildizlari yo'q.

6-misol tenglamani yeching .

Yechim:

Tenglamalar tizimini almashtirish, tuzish va yechish bilan tanishamiz.

Bo'lsin,. Keyin

Asl o'zgaruvchiga qaytsak, bizda:

Javob: x=0.

4 usul. Funktsiyalarning monotonligidan foydalanish.

Ushbu usuldan foydalanishdan oldin nazariyaga murojaat qilaylik.

Bizga quyidagi xususiyatlar kerak bo'ladi:

7-misol tenglamani yeching .

Yechim:

Tenglamaning chap tomoni ortib boruvchi funktsiya, o'ng tomoni esa raqam, ya'ni. doimiy, shuning uchun tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas, biz uni tanlaymiz: x \u003d 9. Ildiz mos kelishini tekshirish.

Tenglamalar irratsional deyiladi, agar ularda ildiz belgisi ostida noma'lum miqdor bo'lsa. Bu, masalan, tenglamalar

Ko'p hollarda tenglamaning ikkala qismining darajaga ko'tarilishini bir marta yoki qayta-qayta qo'llash orqali irratsional tenglamani u yoki bu darajadagi algebraik tenglamaga qisqartirish mumkin (bu dastlabki tenglamaning natijasidir). Tenglamani bir darajaga ko'tarishda begona echimlar paydo bo'lishi mumkinligi sababli, biz ushbu irratsional tenglamani qisqartirgan algebraik tenglamani yechib, topilgan ildizlarni dastlabki tenglamaga almashtirish orqali tekshirishimiz va faqat uni qanoatlantiradiganlarini saqlashimiz kerak, va qolganlarini tashlang - begona.

Irratsional tenglamalarni yechishda biz faqat ularning haqiqiy ildizlari bilan cheklanamiz; tenglamalar yozuvidagi barcha juft darajali ildizlar arifmetik ma’noda tushuniladi.

Ba'zilarini ko'rib chiqing tipik misollar irratsional tenglamalar.

A. Kvadrat ildiz belgisi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar. Agar bu tenglama faqat bitta bo'lsa Kvadrat ildiz, belgisi ostida noma'lum mavjud bo'lsa, u holda bu ildiz ajratilishi kerak, ya'ni tenglamaning bir qismiga joylashtirilishi va boshqa barcha atamalar boshqa qismga o'tkazilishi kerak. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirganimizdan so'ng, biz allaqachon irratsionallikdan xalos bo'ldik va algebraik tenglamani olamiz.

Misol 1. Tenglamani yeching.

Yechim. Tenglamaning chap tomonida ildizni ajratamiz;

Olingan tenglamani kvadratga aylantiramiz:

Ushbu tenglamaning ildizlarini topamiz:

Tekshirish shuni ko'rsatadiki, faqat dastlabki tenglamani qondiradi.

Agar tenglamada x ni o'z ichiga olgan ikki yoki undan ortiq ildiz bo'lsa, kvadratni bir necha marta takrorlash kerak.

2-misol. Quyidagi tenglamalarni yeching:

Yechish, a) tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

Biz ildizni ajratamiz:

Olingan tenglama yana kvadratga aylanadi:

O'zgartirishlardan so'ng biz quyidagi kvadrat tenglamani olamiz:

hal qiling:

Dastlabki tenglamani almashtirib, biz uning ildizi borligiga ishonch hosil qilamiz, lekin bu uning uchun begona ildizdir.

b) misolni a) misolida yechish mumkin. Biroq, bu tenglamaning o'ng tomonida noma'lum miqdor mavjud emasligidan foydalanib, biz boshqacha harakat qilamiz. Tenglamani chap tomoniga konjugat ifodasi bilan ko'paytiramiz; olamiz

O'ng tomonda yig'indi va ayirmaning ko'paytmasi, ya'ni kvadratlarning farqi. Bu yerdan

Ushbu tenglamaning chap tomonida kvadrat ildizlarning yig'indisi bor edi; Endi olingan tenglamaning chap tomonida bir xil ildizlarning farqi mavjud. Berilgan va olingan tenglamalarni yozamiz:

Ushbu tenglamalarning yig'indisini olib, biz olamiz

Biz oxirgi tenglamani kvadratga aylantiramiz va soddalashtirilgandan so'ng, biz olamiz

Bu erdan topamiz. Tekshirish orqali biz faqat raqam ushbu tenglamaning ildizi bo'lib xizmat qilishiga amin bo'lamiz. Misol 3. Tenglamani yeching

Bu erda, allaqachon radikal belgi ostida, bizda kvadrat trinomiallar mavjud.

Yechim. Biz tenglamani chap tomoni bilan konjugatsiyalangan ifodaga ko'paytiramiz:

Berilgan tenglamadan oxirgi tenglamani ayiring:

Keling, bu tenglamani kvadratga aylantiramiz:

Oxirgi tenglamadan biz topamiz. Tekshirish orqali biz faqat x \u003d 1 raqami ushbu tenglamaning ildizi bo'lib xizmat qilishiga amin bo'lamiz.

B. Uchinchi darajali ildizlarni o'z ichiga olgan tenglamalar. Irratsional tenglamalar sistemalari. Biz bunday tenglamalar va tizimlarning alohida misollari bilan cheklanamiz.

4-misol. Tenglamani yeching

Yechim. (70.1) tenglamani yechishning ikkita usulini ko'rsatamiz. Birinchi yo'l. Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini kub qilaylik (20.8 formulaga qarang):

(bu erda biz summani almashtirdik kub ildizlari 4 raqami, tenglamadan foydalangan holda).

Demak, bizda bor

ya'ni, soddalashtirilgandan so'ng,

bu erdan ikkala ildiz ham asl tenglamani qanoatlantiradi.

Ikkinchi yo'l. Keling, qo'ying

(70.1) tenglama quyidagicha yoziladi. Bundan tashqari, bu aniq. (70.1) tenglamadan biz tizimga o'tdik

Tizim a'zolarining birinchi tenglamasini ikkinchi songa bo'lib, topamiz

Irratsional tenglama - bu ildiz belgisi ostida funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tenglama. Misol uchun:

Bunday tenglamalar har doim 3 bosqichda yechiladi:

1. Ildizni ajrating. Boshqacha qilib aytganda, agar tenglik belgisining chap tomonida ildizdan tashqari boshqa raqamlar yoki funktsiyalar mavjud bo'lsa, bularning barchasi belgini o'zgartirish orqali o'ngga o'tkazilishi kerak. Shu bilan birga, faqat radikal chapda qolishi kerak - hech qanday koeffitsientsiz.
2. 2. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz. Shu bilan birga, ildiz diapazoni barcha manfiy bo'lmagan raqamlar ekanligini unutmang. Demak, o'ngdagi funksiya irratsional tenglama manfiy bo'lmasligi ham kerak: g (x) ≥ 0.
3. Uchinchi bosqich mantiqiy ravishda ikkinchisidan kelib chiqadi: siz tekshirishni amalga oshirishingiz kerak. Gap shundaki, ikkinchi bosqichda biz qo'shimcha ildizlarga ega bo'lishimiz mumkin. Va ularni kesib tashlash uchun, natijada olingan nomzod raqamlarini asl tenglamaga almashtirish va tekshirish kerak: to'g'ri raqamli tenglik haqiqatan ham olinganmi?

Irratsional tenglamani yechish

Keling, darsning boshida berilgan irratsional tenglamamiz bilan shug'ullanamiz. Bu erda ildiz allaqachon tanho: tenglik belgisining chap tomonida ildizdan boshqa hech narsa yo'q. Keling, ikkala tomonni kvadratga aylantiramiz:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Olingan kvadrat tenglamani diskriminant orqali yechamiz:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Faqat bu raqamlarni asl tenglamada almashtirish qoladi, ya'ni. tekshirishni amalga oshiring. Lekin bu erda ham siz yakuniy qarorni soddalashtirish uchun to'g'ri ish qilishingiz mumkin.

Yechimni qanday soddalashtirish kerak

O'ylab ko'raylik: nega biz irratsional tenglamani yechish oxirida tekshiramiz? Biz ildizlarimizni almashtirganda, tenglik belgisining o'ng tomonida manfiy bo'lmagan raqam bo'lishiga ishonch hosil qilishni xohlaymiz. Axir, biz bu chap tomonda manfiy bo'lmagan son ekanligini allaqachon aniq bilamiz, chunki arifmetik kvadrat ildiz (buning uchun tenglamamiz irratsional deb ataladi) ta'rifi bo'yicha noldan kam bo'lishi mumkin emas.

Shuning uchun, biz tekshirishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, tenglik belgisining o'ng tomonida joylashgan g ( x ) = 5 − x funktsiyasi manfiy emas:

g(x) ≥ 0

Biz ildizlarimizni ushbu funktsiyaga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Olingan qiymatlardan kelib chiqadiki, x 1 = 6 ildiz bizga mos kelmaydi, chunki asl tenglamaning o'ng tomoniga almashtirilganda biz manfiy raqam olamiz. Ammo x 2 \u003d −2 ildizi biz uchun juda mos keladi, chunki:

1. Bu ildiz ikki tomonni ko'tarish orqali olingan kvadrat tenglamaning yechimidir irratsional tenglama kvadratga.
2. Asl irratsional tenglamaning o'ng tomoni, ildiz x 2 = -2 o'rniga qo'yilganda, musbat songa aylanadi, ya'ni. diapazon arifmetik ildiz buzilmagan.

Bu butun algoritm! Ko'rib turganingizdek, radikallar bilan tenglamalarni yechish unchalik qiyin emas. Asosiysi, olingan ildizlarni tekshirishni unutmaslikdir, aks holda qo'shimcha javob olish ehtimoli katta.