Kvadrat ildiz deb ataladigan narsa. Raqamning kvadrat ildizini qo'lda qanday topish mumkin

Inson o'zini anglab, o'zini dunyoning avtonom birligi sifatida ko'rsata boshlaganida matematika tug'ilgan. Sizni o'rab turgan narsalarni o'lchash, taqqoslash, hisoblash istagi bizning kunlarimizdagi fundamental fanlardan biri hisoblanadi. Avvaliga bular boshlang'ich matematikaning bo'laklari bo'lib, raqamlarni ularning fizik ifodalari bilan bog'lash imkonini berdi, keyinchalik xulosalar faqat nazariy (mavhumligi tufayli) taqdim etila boshlandi, ammo bir muncha vaqt o'tgach, bir olim aytganidek, " matematika murakkablik cho'qqisiga barcha raqamlar erishganida erishdi." "Kvadrat ildiz" tushunchasi hisob-kitoblar tekisligidan tashqariga chiqib, empirik ma'lumotlar bilan osongina qo'llab-quvvatlanishi mumkin bo'lgan davrda paydo bo'ldi.

Hammasi qanday boshlandi

Ildiz haqida birinchi eslatma, qaysi on bu daqiqa√ deb belgilangan, zamonaviy arifmetikaga asos solgan Bobil matematiklarining asarlarida qayd etilgan. Albatta, ular hozirgi shaklga biroz o'xshardi - o'sha yillar olimlari birinchi marta katta hajmli planshetlardan foydalanganlar. Ammo miloddan avvalgi II ming yillikda. e. ular kvadrat ildizni qanday olish kerakligini ko'rsatadigan taxminiy hisoblash formulasini o'ylab topishdi. Quyidagi fotosuratda Bobil olimlari √2 chiqish jarayonini o'yib chiqqan tosh ko'rsatilgan va u shunchalik to'g'ri bo'lib chiqdiki, javobdagi nomuvofiqlik faqat o'ninchi kasrda topilgan.

Bundan tashqari, agar boshqa ikkitasi ma'lum bo'lsa, uchburchakning tomonini topish kerak bo'lsa, ildiz ishlatilgan. Xo'sh, kvadrat tenglamalarni yechishda, ildizni ajratib olishdan qutulib bo'lmaydi.

Bobil asarlari bilan bir qatorda maqolaning ob'ekti Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" asarida ham o'rganilgan va qadimgi yunonlar ildizi qoldiqsiz olinmagan har qanday son irratsional natija beradi degan xulosaga kelishgan. .

Bu atamaning kelib chiqishi raqamning arabcha ifodalanishi bilan bog'liq: qadimgi olimlar ixtiyoriy sonning kvadrati o'simlik kabi ildizdan o'sadi, deb hisoblashgan. Lotin tilida bu so'z radixga o'xshaydi (naqshni kuzatish mumkin - "ildiz" semantik yukiga ega bo'lgan hamma narsa undosh bo'ladi, u turp yoki siyatik).

Keyingi avlod olimlari bu fikrni qabul qilib, uni Rx deb belgilashdi. Misol uchun, XV asrda kvadrat ildiz ixtiyoriy a sonidan olinganligini ko'rsatish uchun R 2 a ni yozishgan. Odatiy zamonaviy ko'rinish"Shamil" √ faqat 17-asrda Rene Dekart tufayli paydo bo'lgan.

Bizning kunlarimiz

Matematik jihatdan y ning kvadrat ildizi kvadrati y bo'lgan z sonidir. Boshqacha aytganda, z 2 =y √y=z ga ekvivalentdir. Biroq, bu ta'rif faqat arifmetik ildiz uchun tegishli, chunki u ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, √y=z, bu erda z 0 dan katta yoki teng.

Umuman olganda, algebraik ildizni aniqlash uchun amal qiladi, ifodaning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, z 2 =y va (-z) 2 =y bo'lganligi sababli bizda: √y=±z yoki √y=|z|.

Matematikaga mehr-muhabbat ilm-fan rivoji bilan ortganligi sababli, unga bog'lanishning quruq hisob-kitoblarda ifodalanmaydigan turli ko'rinishlari mavjud. Masalan, Pi kuni kabi qiziqarli voqealar bilan bir qatorda kvadrat ildiz bayramlari ham nishonlanadi. Ular yuz yil ichida to'qqiz marta nishonlanadi va quyidagi tamoyilga muvofiq belgilanadi: kun va oyni tartib bilan bildiruvchi raqamlar yilning kvadrat ildizi bo'lishi kerak. Ha, ichida Keyingi safar Ushbu bayram 2016 yil 4 aprelda nishonlanadi.

R maydonidagi kvadrat ildizning xossalari

Deyarli barcha matematik ifodalar geometrik asosga ega, bu taqdir o'tmadi va √y maydoni y bo'lgan kvadratning tomoni sifatida belgilanadi.

Raqamning ildizini qanday topish mumkin?

Bir nechta hisoblash algoritmlari mavjud. Eng oddiy, ammo ayni paytda juda og'ir, odatiy arifmetik hisob-kitob bo'lib, u quyidagicha:

1) bizga ildizi kerak bo'lgan sondan toq raqamlar navbatma-navbat ayiriladi - natijaning qolgan qismi ayirilgandan kam yoki juft bo'lguncha. nol. Harakatlar soni oxir-oqibat kerakli raqamga aylanadi. Masalan, hisoblash kvadrat ildiz 25 dan:

Keyingi toq raqam 11, qolgani: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bunday holatlar uchun Teylor seriyasining kengayishi mavjud:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , bu yerda n 0 dan qiymatlarni oladi

+∞ va |y|≤1.

z=√y funksiyaning grafik tasviri

R haqiqiy sonlar maydonida z=√y elementar funksiyani ko'rib chiqaylik, bunda y noldan katta yoki teng. Uning jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Egri chiziq boshlang'ichdan o'sadi va shartli ravishda nuqtani kesib o'tadi (1; 1).

R haqiqiy sonlar maydonidagi z=√y funksiyaning xossalari

1. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyani aniqlash sohasi noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan oraliqdir (nol kiritilgan).

2. Ko'rib chiqilayotgan funktsiya qiymatlari diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol yana kiritilgan).

3. Funksiya minimal qiymatni (0) faqat (0; 0) nuqtada oladi. Maksimal qiymat yo'q.

4. z=√y funksiya juft ham, toq ham emas.

5. z=√y funksiya davriy emas.

6. z=√y funksiya grafigining koordinata o’qlari bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud: (0; 0).

7. z=√y funksiya grafigining kesishish nuqtasi ham shu funksiyaning nolga teng.

8. z=√y funksiya uzluksiz ortib bormoqda.

9. z=√y funksiya faqat musbat qiymatlarni oladi, shuning uchun uning grafigi birinchi koordinata burchagini egallaydi.

z=√y funksiyasini aks ettirish variantlari

Matematikada murakkab ifodalarni hisoblashni osonlashtirish uchun ular ba'zan kvadrat ildizni yozishning kuch shaklidan foydalanadilar: √y=y 1/2. Bu variant, masalan, funktsiyani quvvatga ko'tarishda qulaydir: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu usul, shuningdek, integratsiya bilan farqlash uchun yaxshi vakildir, chunki uning yordamida kvadrat ildiz oddiy quvvat funktsiyasi bilan ifodalanadi.

Dasturlashda esa √ belgisini almashtirish sqrt harflarining birikmasidir.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu sohada kvadrat ildiz katta talabga ega, chunki u hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan geometrik formulalarning aksariyat qismidir. Hisoblash algoritmining o'zi ancha murakkab va rekursiyaga (o'zini chaqiradigan funksiya) asoslangan.

Kompleks maydondagi kvadrat ildiz C

Umuman olganda, ushbu maqolaning mavzusi kompleks sonlar maydonining ochilishini rag'batlantirdi, chunki matematiklarni manfiy sondan juft darajali ildiz olish masalasi hayratda qoldirdi. Hayoliy birlik i shunday paydo bo'ldi, u juda qiziq xususiyat bilan ajralib turadi: uning kvadrati -1 ga teng. Buning yordamida kvadrat tenglamalar va manfiy diskriminant bilan yechim topildi. C da kvadrat ildiz uchun xuddi shu xususiyatlar R dagi kabi tegishli, yagona narsa shundaki, ildiz ifodasidagi cheklovlar olib tashlanadi.

Kvadrat er uchastkasining maydoni 81 dm². Uning tomonini toping. Faraz qilaylik, kvadrat tomonining uzunligi X dekimetr. Keyin uchastkaning maydoni X² kvadrat desimetr. Chunki, shartga ko'ra, bu maydon 81 dm² ni tashkil qiladi X² = 81. Kvadrat tomonining uzunligi musbat sondir. Kvadrati 81 bo'lgan musbat son 9 raqamidir. Masalani yechishda kvadrati 81 bo'lgan x sonini topish, ya'ni tenglamani yechish kerak edi. X² = 81. Bu tenglamaning ikkita ildizi bor: x 1 = 9 va x 2 \u003d - 9, chunki 9² \u003d 81 va (- 9)² \u003d 81. 9 va - 9 raqamlarining ikkalasi ham 81 raqamining kvadrat ildizlari deb ataladi.

Kvadrat ildizlardan biri ekanligini unutmang X= 9 - ijobiy son. U 81 ning arifmetik kvadrat ildizi deb ataladi va √81 bilan belgilanadi, shuning uchun √81 = 9.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi a kvadrati ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir a.

Masalan, 6 va - 6 raqamlari 36 sonining kvadrat ildizlaridir. Bu holda, 6 soni 36 ning arifmetik kvadrat ildizidir, chunki 6 manfiy bo'lmagan son va 6² \u003d 36. Raqam - 6 emas arifmetik ildiz.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi a quyidagicha ifodalanadi: √ a.

Belgi arifmetik kvadrat ildiz belgisi deb ataladi; a ildiz ifodasi deyiladi. Ifoda √ a o'qing shunga o'xshash: sonning arifmetik kvadrat ildizi a. Masalan, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Arifmetik ildiz haqida gapirayotganimiz aniq bo'lsa, ular qisqacha aytadilar: "kvadrat ildiz a«.

Sonning kvadrat ildizini topish harakati kvadrat ildiz olish deb ataladi. Bu harakat kvadratlashtirishning teskarisidir.

Har qanday raqam kvadrat bo'lishi mumkin, lekin har bir raqam kvadrat ildiz bo'lishi mumkin emas. Masalan, raqamning kvadrat ildizini chiqarib bo'lmaydi - 4. Agar shunday ildiz mavjud bo'lsa, uni harf bilan belgilab X, biz noto'g'ri tenglikni olamiz x² \u003d - 4, chunki chap tomonda manfiy bo'lmagan raqam va o'ng tomonda manfiy raqam mavjud.

Ifoda √ a faqat qachon mantiqiy bo'ladi a ≥ 0. Kvadrat ildizning ta'rifini qisqacha quyidagicha yozish mumkin: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Tenglik (√ a)² = a uchun amal qiladi a ≥ 0. Shunday qilib, manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildiziga ishonch hosil qilish a teng b, ya'ni, bu √ a =b, quyidagi ikkita shart bajarilganligini tekshirishingiz kerak: b ≥ 0, b² = a.

Kasrning kvadrat ildizi

Keling, hisoblaylik. √25 = 5, √36 = 6 ekanligini e'tiborga oling va tenglik mavjudligini tekshiring.

Sifatida va , u holda tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, .

Teorema: Agar a a≥ 0 va b> 0, ya'ni kasrning ildizi ildizga teng maxrajning ildiziga bo‘lingan sondan. Buni isbotlash talab qilinadi: va .

√ dan beri a≥0 va √ b> 0, keyin .

Kasrni darajaga ko'tarish va kvadrat ildizni aniqlash xususiyati bilan teorema isbotlangan. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

ni isbotlangan teorema bo'yicha hisoblang .

Ikkinchi misol: buni isbotlang , agar a ≤ 0, b < 0. .

Yana bir misol: Hisoblang.

.

Kvadrat ildiz transformatsiyasi

Ildiz belgisi ostidan ko'paytuvchini chiqarish. Bir ifoda berilsin. Agar a a≥ 0 va b≥ 0 bo'lsa, mahsulotning ildizi haqidagi teorema bo'yicha biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Bunday transformatsiya ildiz belgisini faktoring deb ataladi. Bir misolni ko'rib chiqing;

Hisoblang X= 2. To'g'ridan-to'g'ri almashtirish X Radikal ifodadagi = 2 murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar birinchi navbatda ildiz belgisi ostidagi omillarni olib tashlasak, bu hisoblarni soddalashtirish mumkin: . Endi x = 2 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:.

Demak, omilni ildiz belgisi ostidan chiqarganda, radikal ifoda bir yoki bir nechta omillar manfiy bo'lmagan sonlarning kvadratlari bo'lgan mahsulot sifatida ifodalanadi. Keyin ildiz hosilasi teoremasi qo'llaniladi va har bir omilning ildizi olinadi. Bir misolni ko'rib chiqaylik: A = √8 + √18 - 4√2 ifodasini dastlabki ikki atamadagi ildiz belgisi ostidagi omillarni chiqarib, soddalashtiramiz:. Biz tenglikni ta'kidlaymiz faqat qachon amal qiladi a≥ 0 va b≥ 0. agar a < 0, то .

Ko'rsatkich ma'lum bir sonning o'ziga ma'lum bir necha marta ko'paytirilishi kerakligini anglatadi. Masalan, 2 raqamini beshinchi darajaga ko'tarish quyidagicha ko'rinadi:

O'z-o'zidan ko'paytirilishi kerak bo'lgan son darajaning asosi deb ataladi va ko'paytmalar soni uning ko'rsatkichidir. Bir kuchga ko'tarish ikkita qarama-qarshi harakatga to'g'ri keladi: ko'rsatkichni topish va asosni topish.

ildiz chiqarish

Koʻrsatkich asosini topish ildiz chiqarish deyiladi. Bu shuni anglatadiki, berilganni olish uchun n ning darajasiga ko'tarilishi kerak bo'lgan sonni topish kerak.

Misol uchun, 16 raqamining 4- ildizini chiqarib olish kerak, ya'ni. aniqlash uchun 16 ni olish uchun 4 marta o'zini o'zi ko'paytirish kerak.Bu raqam 2 ga teng.

Bunday arifmetik amal maxsus belgi - radikal yordamida yoziladi: √, yuqorida chap tomonda ko'rsatkich ko'rsatilgan.

arifmetik ildiz

Agar ko'rsatkich bo'lsa juft son, keyin ildiz bir xil modulli ikkita raqam bo'lishi mumkin, lekin bilan - ijobiy va salbiy. Shunday qilib, berilgan misolda u 2 va -2 raqamlari bo'lishi mumkin.

Ifoda bir ma'noli bo'lishi kerak, ya'ni. bitta natija bor. Buning uchun faqat ijobiy raqam bo'lishi mumkin bo'lgan arifmetik ildiz tushunchasi kiritildi. Arifmetik ildiz noldan kichik bo'lishi mumkin emas.

Shunday qilib, yuqorida ko'rib chiqilgan misolda faqat 2 raqami arifmetik ildiz bo'ladi va ikkinchi javob - -2 - ta'rif bilan chiqarib tashlanadi.

Kvadrat ildiz

Boshqalarga qaraganda tez-tez ishlatiladigan ba'zi darajalar uchun dastlab geometriya bilan bog'liq bo'lgan maxsus nomlar mavjud. haqida ikkinchi va uchinchi vakolatlarga ko'tarish haqida.

Ikkinchi kuchga, uning maydonini hisoblash kerak bo'lganda kvadrat tomonining uzunligi. Agar kub hajmini topish kerak bo'lsa, uning chetining uzunligi uchinchi darajaga ko'tariladi. Shuning uchun u sonning kvadrati, uchinchisi esa kub deb ataladi.

Shunga ko'ra, ikkinchi darajali ildiz kvadrat deb ataladi va uchinchi darajali ildiz kub deb ataladi. Kvadrat ildiz - bu yozilayotganda radikaldan yuqori ko'rsatkichga ega bo'lmagan yagona ildiz:

Demak, berilgan sonning arifmetik kvadrat ildizi berilgan sonni olish uchun ikkinchi darajaga ko‘tarilishi kerak bo‘lgan musbat sondir.

Demontaj qilish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xossalariga, xususan, har qanday manfiy bo'lmagan b soniga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi.

Quyida biz o'z navbatida ildizlarni olishning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz.

Keling, eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. qo'lda emas, ildiz sonini oddiy omillarga ajratishni o'z ichiga olgan ildizni ajratib olish usulini qo'llash mantiqan to'g'ri.

Alohida-alohida, g'alati ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun mumkin bo'lgan to'xtashga arziydi.

Nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beruvchi usulni ko'rib chiqing.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng ko'p oddiy holatlar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni olish imkonini beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi kulrang fonda joylashgan bo'lib, u tanlovdan foydalanmoqda ma'lum qator va ma'lum bir ustun 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorni va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Uning har bir katakchasi ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va bittaning 3-ustunining kesishmasida 83 sonining kvadrati bo'lgan 6889 raqamli katakcha mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratchalar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni olish imkonini beradi, kub ildizlari, to'rtinchi ildizlar va boshqalar. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ularni qo'llash tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonidan n-darajali ildizni ajratib olishimiz kerak, a soni esa n-darajali jadvalda mavjud. Ushbu jadvalga ko'ra, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, kublar jadvali yordamida 19683 yil kub ildizi qanday olinishini ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19 683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ildizlarni olishda n-darajali jadvallar juda qulay ekanligi aniq. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularning kompilyatsiyasi ma'lum vaqtni talab qiladi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday hollarda, ildizlarni olishning boshqa usullariga murojaat qilish kerak.

Ildiz sonning tub omillarga parchalanishi

Yetarli qulay usul, bu ildizni natural sondan ajratib olishga imkon beradi (agar, albatta, ildiz ajratilgan bo'lsa) ildiz sonini tub omillarga ajratishdir. Uning mohiyati quyidagicha: keyin uni daraja sifatida kerakli ko'rsatkich bilan ifodalash juda oson, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrni tushuntirib beraylik.

n-darajali ildiz a natural sondan chiqarilsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. Har qanday b raqami natural son uning barcha tub omillari p 1, p 2, ..., p m ko'rinishida p 1 p 2 ... p m ko'paytmasi sifatida ifodalanishi mumkin va bu holda ildiz raqami a (p 1 p 2) sifatida ifodalanadi. ... p m) n. Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun a ildiz sonining tub omillarga ajralishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko‘rinishida bo‘ladi, bu esa ildizning qiymatini quyidagicha hisoblash imkonini beradi. .

E'tibor bering, agar a ildiz sonining koeffitsientlarga ajratilishini (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sondan n-darajali ildiz to'liq chiqarilmaydi.

Keling, misollarni echishda bu bilan shug'ullanamiz.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Qaror.

Agar oldingi bandda berilgan kvadratlar jadvaliga murojaat qilsak, 144=12 2 ekanligi yaqqol ko'rinadi, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ga teng ekanligi aniq bo'ladi.

Ammo bu nuqtadan kelib chiqqan holda, biz 144 sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2 2 2 2 3 3 . Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Demak, .

Ildizlarning darajasi va xossalari xususiyatlaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildiz qiymatini hisoblang.

Qaror.

243 ildiz sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ga teng. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildizning qiymati butun sonmi?

Qaror.

Bu savolga javob berish uchun, keling, ildiz sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kub shaklida tasvirlash mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Bizda 285 768=2 3 3 6 7 2 bor. Olingan parchalanish butun sonning kubi sifatida ko'rsatilmaydi, chunki 7-bosh omilning darajasi uchga karrali emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizi to'liq olinmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Ildiz qanday qilib olinganligini aniqlash vaqti keldi kasr son. Kasr ildiz raqami p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xususiyatiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasr ildiz qoidasi: Kasrning ildizi sonning ildizini maxrajning ildiziga boʻlish qismiga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Kvadrat ildiz nima oddiy kasr 25/169 .

Qaror.

Kvadratchalar jadvaliga ko'ra, biz dastlabki kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy fraksiyadan ildizni ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi ildiz raqamlari oddiy kasrlar bilan almashtirilgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 kasrning kub ildizini oling.

Qaror.

Asl kasrni oddiy kasr sifatida ifodalaymiz: 474,552=474552/1000 . Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Sifatida 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000=10 3 , keyin va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish uchun qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini ajratib olish

Alohida-alohida, manfiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida o'ylash kerak. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildizning ko'rsatkichi toq son bo'lsa, manfiy son ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bunday yozuvlarga quyidagi ma'noni berdik: manfiy son -a va 2 n-1 ildizning toq ko'rsatkichi uchun bizda . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini chiqarib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildiz qiymatini toping.

Qaror.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy raqam paydo bo'lishi uchun o'zgartiramiz: . Endi aralash sonni oddiy kasr bilan almashtiramiz: . Biz oddiy kasrdan ildiz olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Bit bo'yicha ildiz qiymatini topish

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajali darajasida ko'rsatib bo'lmaydigan raqam joylashgan. Ammo shu bilan birga, hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha berilgan ildizning qiymatini bilish zarurati tug'iladi. Bunday holda, ildizni ajratib olish uchun siz kerakli raqamning raqamlarining etarli miqdordagi qiymatlarini doimiy ravishda olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Birinchi qadamda bu algoritm ildiz qiymatining eng muhim qismi nima ekanligini bilib olishingiz kerak. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari ildiz sonidan kattaroq son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko‘tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n ning darajasiga ko'targan raqam mos keladigan yuqori tartibni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. Biz 0, 10, 100, ... raqamlarini olamiz va 5 dan katta raqamni olmaguncha ularni kvadratga aylantiramiz. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5 , ya'ni eng muhim raqam birliklar raqami bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, pastroqlari, ildizni ajratib olish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning istalgan qiymatining keyingi raqamlari qiymatlari topilganligi sababli, ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan, chunki ular eng yuqoridan boshlab va eng pastiga o'tadilar. . Misol uchun, birinchi bosqichda ildizning qiymati 2 , ikkinchisida - 2,2 , uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... . Keling, bitlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Raqamlarni topish ularni sanash orqali amalga oshiriladi mumkin bo'lgan qiymatlar 0, 1, 2, ..., 9. Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel hisoblab chiqiladi va ular ildiz soni bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi, agar bu sodir bo'lmasa, u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, ushbu fikrlarning barchasini beshning kvadrat ildizini olishning bir xil misolidan foydalanib tushuntiramiz.

Birinchidan, birliklar raqamining qiymatini toping. Biz 0, 1, 2, …, 9 qiymatlarini takrorlaymiz, mos ravishda 0 2, 1 2, …, 9 2 ni radikal raqam 5 dan kattaroq qiymatga ega bo'lmaguncha hisoblaymiz. Ushbu hisob-kitoblarning barchasi jadval shaklida qulay tarzda taqdim etiladi:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (chunki 2 2<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, biz olingan qiymatlarni 5 ildiz raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, keyin o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Shunday qilib topildi keyingi qiymat beshning ildizi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz boshqa qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Birinchidan, biz katta raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. 2,151,186 dan katta raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaymiz.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, keyin o'nlik raqamining qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar joyining qiymati 2 ga teng. Keling, o'nga o'tamiz.

Hatto 12,9 3 radikal soni 2 151,186 dan kichik bo'lgani uchun, o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish uchun qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida shuni aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).