Kvadrat ildizni qanday yechish mumkin. Kvadrat ildizlarni qanday tezda olish mumkin

Savodlilik belgisi bo'lgan ko'plab bilimlar orasida alifbo birinchi o'rinda turadi. Keyingi, xuddi shu "belgi" elementi - qo'shish-ko'paytirish va ularga qo'shni, lekin ma'nosi teskari, ayirish-bo'lishning arifmetik amallari. Uzoq maktab bolaligida o'rganilgan ko'nikmalar kechayu kunduz sadoqat bilan xizmat qiladi: televizor, gazeta, SMS, Va hamma joyda biz o'qiymiz, yozamiz, hisoblaymiz, qo'shamiz, ayitamiz, ko'paytiramiz. Va ayting-chi, siz mamlakatdan tashqari hayotda tez-tez ildiz otishingiz kerak bo'lganmi? Masalan, 12345 raqamining kvadrat ildizi kabi qiziqarli muammo ... Kukunli idishlarda porox bormi? Biz qila olamizmi? Ha, osonroq narsa yo'q! Mening kalkulyatorim qayerda ... Va u holda, qo'l-qo'l, zaif?

Birinchidan, nima ekanligini aniqlab olaylik - Kvadrat ildiz raqamlar. Umuman olganda, "sondan ildiz chiqarish" degani, kuchga ko'tarishga qarama-qarshi arifmetik amalni bajarishni anglatadi - bu erda hayotda qo'llaniladigan qarama-qarshiliklarning birligi mavjud. aytaylik, kvadrat sonni o'z-o'zidan ko'paytirish, ya'ni ular maktabda o'rgatganidek, X * X = A yoki boshqa yozuvda X2 = A, va so'zlarda - "X kvadrat A ga teng". Shunda teskari masala shunday eshitiladi: A sonining kvadrat ildizi X soni bo'lib, kvadrati A ga teng bo'ladi.

Kvadrat ildizni ajratib olish

Maktab arifmetika kursidan birinchi to'rttadan foydalanib har qanday hisob-kitoblarni bajarishga yordam beradigan "ustundagi" hisoblash usullari ma'lum. arifmetik amallar. Afsuski ... Kvadrat uchun, va faqat kvadrat uchun, bunday algoritmlarning ildizlari mavjud emas. Va bu holda, kvadrat ildizni kalkulyatorsiz qanday chiqarish mumkin? Kvadrat ildizning ta'rifiga asoslanib, faqat bitta xulosa mavjud - natijaning qiymatini raqamlarni ketma-ket sanab o'tish orqali tanlash kerak, ularning kvadrati ildiz ifodasi qiymatiga yaqinlashadi. Faqat va hamma narsa! Bir yoki ikki soat o'tmasdan oldin, uni "ustun" ga, har qanday kvadrat ildizga ko'paytirishning taniqli usuli yordamida hisoblash mumkin. Agar sizda mahorat bo'lsa, buning uchun bir necha daqiqa kifoya qiladi. Hatto unchalik ilg'or bo'lmagan kalkulyator yoki shaxsiy kompyuter foydalanuvchisi ham buni bir zarbada bajaradi - taraqqiyot.

Ammo jiddiy tarzda, kvadrat ildizni hisoblash ko'pincha "artilleriya vilkalari" texnikasi yordamida amalga oshiriladi: birinchidan, ular kvadrati taxminan ildiz ifodasiga mos keladigan raqamni oladilar. "Bizning kvadrat" bu ifodadan bir oz kamroq bo'lsa yaxshi bo'ladi. Keyin ular raqamni o'zlarining mahorat-tushunishlariga ko'ra tuzatadilar, masalan, ikkiga ko'paytiradilar va ... yana kvadrat. Agar natija ildiz ostidagi raqamdan kattaroq bo'lsa, asl raqamni ketma-ket sozlash, ildiz ostidagi "hamkasbi" ga asta-sekin yaqinlashadi. Ko'rib turganingizdek - kalkulyator yo'q, faqat "ustunda" hisoblash qobiliyati. Albatta, kvadrat ildizni hisoblash uchun ko'plab ilmiy asoslangan va optimallashtirilgan algoritmlar mavjud, ammo "uyda foydalanish" uchun yuqoridagi texnika natijaga 100% ishonch beradi.

Ha, men deyarli unutdim, savodxonligimiz oshganligini tasdiqlash uchun biz ilgari ko'rsatilgan 12345 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Biz buni bosqichma-bosqich bajaramiz:

1. Sof intuitiv ravishda X=100 qabul qiling. Keling, hisoblab chiqamiz: X * X = 10000. Sezgi tepada - natija 12345 dan kam.

2. Keling, harakat qilaylik, shuningdek, sof intuitiv ravishda, X = 120. Keyin: X * X = 14400. Va yana, sezgi bilan, tartib - natija 12345 dan ortiq.

3. Yuqorida 100 va 120 "vilka" olinadi. Keling, yangi raqamlarni tanlaymiz - 110 va 115. Biz mos ravishda 12100 va 13225 ni olamiz - vilka torayadi.

4. Biz "balki" X = 111 ga harakat qilamiz. Biz X * X = 12321 ni olamiz. Bu raqam allaqachon 12345 ga yaqin. Kerakli aniqlikka muvofiq, olingan natijada "o'rnatish" davom ettirilishi yoki to'xtatilishi mumkin. Hammasi shu. Va'da qilinganidek - hamma narsa juda oddiy va kalkulyatorsiz.

Bir oz tarix ...

Foydalanish haqida o'ylash kvadrat ildizlar hali ham Pifagorchilar, maktab o'quvchilari va Pifagor izdoshlari, miloddan avvalgi 800 yil davomida. va o'sha erda raqamlar sohasidagi yangi kashfiyotlar "yugurib ketdi". Va u qaerdan paydo bo'ldi?

1. Ildizni ajratib olish masalasini yechish, natijani yangi sinf raqamlari shaklida beradi. Ularni irratsional, boshqacha qilib aytganda, "aqlsiz" deb atashgan, chunki. ular to'liq son sifatida yozilmagan. Bu turdagi eng klassik misol kvadrat ildiz 2. Bu holat 1 ga teng tomoni bo'lgan kvadratning diagonalini hisoblashga mos keladi - bu erda Pifagor maktabining ta'siri. Ma'lum bo'lishicha, tomonlarning o'ziga xos birlik o'lchamiga ega bo'lgan uchburchakda gipotenuzaning "oxiri yo'q" son bilan ifodalanadigan o'lcham bor. Shunday qilib, matematikada paydo bo'ldi

2. Ma'lum bo'lishicha, bu matematik operatsiya boshqa tutqichni o'z ichiga oladi - ildizni ajratib olish, biz raqamning qaysi kvadrati, ijobiy yoki salbiy, ildiz ifodasi ekanligini bilmaymiz. Bu noaniqlik, ya'ni bitta operatsiyaning qo'sh natijasi yoziladi.

Bu hodisa bilan bog`liq masalalarni o`rganish matematikada murakkab o`zgaruvchi nazariyasi deb ataladigan yo`nalishga aylandi, bu matematik fizikada katta amaliy ahamiyatga ega.

Qizig'i shundaki, ildiz belgisi - radikal - o'zining "Universal arifmetika" da xuddi shu hamma joyda tarqalgan I. Nyuton tomonidan ishlatilgan, lekin aynan shu. zamonaviy ko'rinish Ildiz yozuvi 1690 yildan beri frantsuz roligining "Algebra bo'yicha qo'llanma" kitobidan ma'lum.

Inson o'zini anglab, o'zini dunyoning avtonom birligi sifatida ko'rsata boshlaganida matematika tug'ilgan. Sizni o'rab turgan narsalarni o'lchash, taqqoslash, hisoblash istagi bizning kunlarimizdagi fundamental fanlardan biri hisoblanadi. Avvaliga bular boshlang'ich matematikaning zarralari bo'lib, bu raqamlarni ularning fizik ifodalari bilan bog'lash imkonini berdi, keyinchalik xulosalar faqat nazariy (mavhumligi sababli) taqdim etila boshlandi, ammo bir muncha vaqt o'tgach, bir olim aytganidek, " matematika murakkablik cho'qqisiga barcha raqamlar erishganida erishdi." "Kvadrat ildiz" tushunchasi hisob-kitoblar tekisligidan tashqariga chiqib, empirik ma'lumotlar bilan osongina qo'llab-quvvatlanishi mumkin bo'lgan davrda paydo bo'ldi.

Hammasi qanday boshlandi

Ildiz haqida birinchi eslatma, qaysi on bu daqiqa√ deb belgilangan, zamonaviy arifmetikaga asos solgan Bobil matematiklarining asarlarida qayd etilgan. Albatta, ular hozirgi shaklga biroz o'xshardi - o'sha yillar olimlari birinchi marta katta hajmli planshetlardan foydalanganlar. Ammo miloddan avvalgi II ming yillikda. e. ular kvadrat ildizni qanday olish kerakligini ko'rsatadigan taxminiy hisoblash formulasini o'ylab topishdi. Quyidagi fotosuratda Bobil olimlari √2 chiqish jarayonini o'yib chizgan tosh ko'rsatilgan va u shunchalik to'g'ri bo'lib chiqdiki, javobdagi nomuvofiqlik faqat o'ninchi kasrda topilgan.

Bundan tashqari, agar boshqa ikkitasi ma'lum bo'lsa, uchburchakning tomonini topish kerak bo'lsa, ildiz ishlatilgan. Xo'sh, kvadrat tenglamalarni yechishda, ildizni ajratib olishdan qutulib bo'lmaydi.

Bobil asarlari bilan bir qatorda maqolaning ob'ekti Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" asarida ham o'rganilgan va qadimgi yunonlar ildizi qoldiqsiz olinmagan har qanday son irratsional natija beradi degan xulosaga kelishgan. .

Bu atamaning kelib chiqishi raqamning arabcha ifodalanishi bilan bog'liq: qadimgi olimlar ixtiyoriy sonning kvadrati o'simlik kabi ildizdan o'sadi, deb hisoblashgan. Lotin tilida bu so'z radixga o'xshaydi (naqshni kuzatish mumkin - "ildiz" semantik yukiga ega bo'lgan hamma narsa undosh bo'ladi, u turp yoki siyatik).

Keyingi avlod olimlari bu fikrni qabul qilib, uni Rx deb belgilashdi. Misol uchun, XV asrda kvadrat ildiz ixtiyoriy a sonidan olinganligini ko'rsatish uchun R 2 a ni yozishgan. Odatiy zamonaviy ko'rinish"Shamil" √ faqat 17-asrda Rene Dekart tufayli paydo bo'lgan.

Bizning kunlarimiz

Matematik jihatdan y ning kvadrat ildizi kvadrati y bo'lgan z sonidir. Boshqacha aytganda, z 2 =y √y=z ga ekvivalentdir. Biroq, bu ta'rif faqat arifmetik ildiz uchun tegishli, chunki u ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, √y=z, bu erda z 0 dan katta yoki teng.

Umuman olganda, algebraik ildizni aniqlash uchun amal qiladi, ifodaning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, z 2 =y va (-z) 2 =y bo'lganligi sababli bizda: √y=±z yoki √y=|z|.

Matematikaga bo'lgan mehr-muhabbat ilm-fan rivoji bilan ortganligi sababli, unga bo'lgan mehrning quruq hisob-kitoblarda ifodalanmaydigan turli ko'rinishlari mavjud. Masalan, Pi kuni kabi qiziqarli voqealar bilan bir qatorda kvadrat ildiz bayramlari ham nishonlanadi. Ular yuz yil ichida to'qqiz marta nishonlanadi va quyidagi tamoyilga muvofiq belgilanadi: kun va oyni tartib bilan bildiruvchi raqamlar yilning kvadrat ildizi bo'lishi kerak. Ha, ichida Keyingi safar Ushbu bayram 2016 yil 4 aprelda nishonlanadi.

R maydonidagi kvadrat ildizning xossalari

Deyarli barcha matematik ifodalar geometrik asosga ega, bu taqdir o'tmadi va √y maydoni y bo'lgan kvadratning tomoni sifatida belgilanadi.

Raqamning ildizini qanday topish mumkin?

Bir nechta hisoblash algoritmlari mavjud. Eng oddiy, ammo ayni paytda juda og'ir, odatiy arifmetik hisob-kitob bo'lib, u quyidagicha:

1) bizga ildizi kerak bo'lgan sondan toq raqamlar navbatma-navbat ayiriladi - natijaning qolgan qismi ayirilgandan kam yoki juft bo'lguncha. nol. Harakatlar soni oxir-oqibat kerakli raqamga aylanadi. Masalan, 25 ning kvadrat ildizini hisoblash:

Keyingi toq raqam 11, qolgani: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bunday holatlar uchun Teylor seriyasining kengayishi mavjud:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , bu yerda n 0 dan qiymatlarni oladi

+∞ va |y|≤1.

z=√y funksiyaning grafik tasviri

R haqiqiy sonlar maydonida z=√y elementar funksiyani ko'rib chiqaylik, bunda y noldan katta yoki teng. Uning jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Egri chiziq boshlang'ichdan o'sadi va nuqtani kesib o'tadi (1; 1).

R haqiqiy sonlar maydonidagi z=√y funksiyaning xossalari

1. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyani aniqlash sohasi noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol kiritilgan).

2. Ko'rib chiqilayotgan funktsiya qiymatlari diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol yana kiritilgan).

3. Funksiya minimal qiymatni (0) faqat (0; 0) nuqtada oladi. Maksimal qiymat yo'q.

4. z=√y funksiya juft ham, toq ham emas.

5. z=√y funksiya davriy emas.

6. z=√y funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud: (0; 0).

7. z=√y funksiya grafigining kesishish nuqtasi ham shu funksiyaning nolga teng.

8. z=√y funksiya uzluksiz ortib bormoqda.

9. z=√y funksiya faqat musbat qiymatlarni oladi, shuning uchun uning grafigi birinchi koordinata burchagini egallaydi.

z=√y funksiyasini aks ettirish variantlari

Matematikada murakkab ifodalarni hisoblashni osonlashtirish uchun baʼzan kvadrat ildizni yozishning kuch shakli qoʻllaniladi: √y=y 1/2. Bu variant, masalan, funktsiyani quvvatga ko'tarishda qulaydir: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu usul, shuningdek, integratsiya bilan farqlash uchun yaxshi vakildir, chunki uning yordamida kvadrat ildiz oddiy quvvat funktsiyasi bilan ifodalanadi.

Dasturlashda esa √ belgisini almashtirish sqrt harflarining birikmasidir.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu sohada kvadrat ildiz katta talabga ega, chunki u hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan geometrik formulalarning aksariyat qismidir. Hisoblash algoritmining o'zi ancha murakkab va rekursiyaga (o'zini chaqiradigan funksiya) asoslangan.

Kompleks maydondagi kvadrat ildiz C

Umuman olganda, ushbu maqolaning mavzusi kompleks sonlar maydonining ochilishini rag'batlantirdi, chunki matematiklarni manfiy sondan juft darajali ildiz olish masalasi hayratda qoldirdi. Hayoliy birlik i shunday paydo bo'ldi, u juda qiziq xususiyat bilan ajralib turadi: uning kvadrati -1 ga teng. Buning yordamida kvadrat tenglamalar va manfiy diskriminant bilan yechim topildi. C da kvadrat ildiz uchun xuddi shu xususiyatlar R dagi kabi tegishli, yagona narsa shundaki, ildiz ifodasidagi cheklovlar olib tashlanadi.

Kvadrat er uchastkasining maydoni 81 dm². Uning tomonini toping. Faraz qilaylik, kvadrat tomonining uzunligi X dekimetr. Keyin uchastkaning maydoni X² kvadrat desimetr. Chunki, shartga ko'ra, bu maydon 81 dm² ni tashkil qiladi X² = 81. Kvadrat tomonining uzunligi musbat sondir. Kvadrati 81 bo'lgan musbat son 9 raqamidir. Masalani yechishda kvadrati 81 bo'lgan x sonini topish, ya'ni tenglamani yechish kerak edi. X² = 81. Bu tenglamaning ikkita ildizi bor: x 1 = 9 va x 2 \u003d - 9, chunki 9² \u003d 81 va (- 9)² \u003d 81. 9 va - 9 raqamlarining ikkalasi ham 81 raqamining kvadrat ildizlari deb ataladi.

Kvadrat ildizlardan biri ekanligini unutmang X= 9 - ijobiy son. U 81 ning arifmetik kvadrat ildizi deb ataladi va √81 bilan belgilanadi, shuning uchun √81 = 9.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi lekin kvadrati ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir lekin.

Masalan, 6 va -6 raqamlari 36 ning kvadrat ildizlaridir. 6 soni 36 ning arifmetik kvadrat ildizidir, chunki 6 manfiy bo'lmagan son va 6² = 36. -6 soni arifmetik ildiz emas.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi lekin quyidagicha ifodalanadi: √ lekin.

Belgi arifmetik kvadrat ildiz belgisi deb ataladi; lekin ildiz ifodasi deyiladi. Ifoda √ lekin o'qing shunga o'xshash: sonning arifmetik kvadrat ildizi lekin. Masalan, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Bu aniq bo'lgan hollarda gaplashamiz arifmetik ildiz haqida ular qisqacha aytadilar: "kvadrat ildiz lekin«.

Sonning kvadrat ildizini topish harakati kvadrat ildiz olish deb ataladi. Bu harakat kvadratlashtirishning teskarisidir.

Har qanday raqam kvadrat bo'lishi mumkin, lekin har bir raqam kvadrat ildiz bo'lishi mumkin emas. Masalan, raqamning kvadrat ildizini chiqarib bo'lmaydi - 4. Agar shunday ildiz mavjud bo'lsa, uni harf bilan belgilab X, biz noto'g'ri tenglikni olamiz x² \u003d - 4, chunki chap tomonda manfiy bo'lmagan raqam va o'ng tomonda manfiy raqam mavjud.

Ifoda √ lekin faqat qachon mantiqiy bo'ladi a ≥ 0. Kvadrat ildizning ta'rifini qisqacha quyidagicha yozish mumkin: √ a ≥ 0, (√lekin)² = lekin. Tenglik (√ lekin)² = lekin uchun amal qiladi a ≥ 0. Shunday qilib, manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildiziga ishonch hosil qilish lekin teng b, ya'ni, bu √ lekin =b, quyidagi ikkita shart bajarilganligini tekshirishingiz kerak: b ≥ 0, b² = lekin.

Kasrning kvadrat ildizi

Keling, hisoblaylik. √25 = 5, √36 = 6 ekanligini e'tiborga oling va tenglik mavjudligini tekshiring.

Chunki va , u holda tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, .

Teorema: Agar lekin≥ 0 va b> 0, ya'ni kasrning ildizi ildizga teng maxrajning ildiziga bo‘lingan sondan. Buni isbotlash talab qilinadi: va .

√ dan beri lekin≥0 va √ b> 0, keyin .

Kasrni darajaga ko'tarish va kvadrat ildizni aniqlash xususiyati bilan teorema isbotlangan. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

ni isbotlangan teorema bo'yicha hisoblang .

Ikkinchi misol: buni isbotlang , agar lekin ≤ 0, b < 0. .

Yana bir misol: Hisoblang.

Kvadrat ildiz transformatsiyasi

Ildiz belgisi ostidan ko'paytuvchini chiqarish. Bir ifoda berilsin. Agar lekin≥ 0 va b≥ 0 bo'lsa, mahsulotning ildizi haqidagi teorema bo'yicha biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Bunday transformatsiya ildiz belgisini faktoring deb ataladi. Bir misolni ko'rib chiqing;

Hisoblang X= 2. To'g'ridan-to'g'ri almashtirish X Radikal ifodadagi = 2 murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar birinchi navbatda ildiz belgisi ostidagi omillarni olib tashlasak, bu hisoblarni soddalashtirish mumkin: . Endi x = 2 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:.

Demak, omilni ildiz belgisi ostidan chiqarganda, radikal ifoda bir yoki bir nechta omillar manfiy bo'lmagan sonlarning kvadratlari bo'lgan mahsulot sifatida ifodalanadi. Keyin ildiz hosilasi teoremasi qo'llaniladi va har bir omilning ildizi olinadi. Bir misolni ko'rib chiqaylik: A = √8 + √18 - 4√2 ifodasini dastlabki ikki hadda ildiz belgisi ostidagi omillarni chiqarib, soddalashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:. Biz tenglikni ta'kidlaymiz faqat qachon amal qiladi lekin≥ 0 va b≥ 0. agar lekin < 0, то .

Ko'pincha, muammolarni hal qilishda biz katta raqamlarga duch kelamiz, ulardan olishimiz kerak Kvadrat ildiz. Ko'pgina talabalar bu xato deb qaror qilishadi va butun misolni hal qilishni boshlaydilar. Hech qanday holatda buni qilmaslik kerak! Buning ikkita sababi bor:

dan ildizlar katta raqamlar aslida vazifalarda uchraydi. Ayniqsa matnda;
Bu ildizlar deyarli og'zaki ko'rib chiqiladigan algoritm mavjud.

Bugun biz ushbu algoritmni ko'rib chiqamiz. Ehtimol, ba'zi narsalar sizga tushunarsiz bo'lib tuyuladi. Ammo agar siz ushbu darsga e'tibor qaratsangiz, siz eng kuchli qurolga ega bo'lasiz kvadrat ildizlar.

Shunday qilib, algoritm:

Yuqoridagi va pastdagi kerakli ildizni 10 ning ko'paytmalari bilan cheklang. Shunday qilib, biz qidiruv oralig'ini 10 raqamga qisqartiramiz;
Ushbu 10 ta raqamdan ildiz bo'la olmaydiganlarni olib tashlang. Natijada, 1-2 raqam qoladi;
Ushbu 1-2 raqamni kvadratga aylantiring. Ularning kvadrati asl songa teng bo'lganlari ildiz bo'ladi.

Ushbu algoritmni amalda qo'llashdan oldin, keling, har bir alohida bosqichni ko'rib chiqaylik.

Ildizlarni cheklash

Avvalo, ildizimiz qaysi sonlar orasida joylashganligini aniqlashimiz kerak. Raqamlar o'nga karrali bo'lishi juda ma'qul:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Biz bir qator raqamlarni olamiz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu raqamlar bizga nima beradi? Hammasi oddiy: biz chegaralarni olamiz. Masalan, 1296 raqamini olaylik. U 900 dan 1600 gacha boʻladi. Shuning uchun uning ildizi 30 dan kam va 40 dan katta boʻlishi mumkin emas:

[Rasm sarlavhasi]

Kvadrat ildizni topishingiz mumkin bo'lgan har qanday boshqa raqam bilan ham xuddi shunday. Masalan, 3364:

[Rasm sarlavhasi]

Shunday qilib, tushunarsiz raqam o'rniga biz asl ildiz yotadigan juda aniq diapazonni olamiz. Qidiruv doirasini yanada toraytirish uchun ikkinchi bosqichga o'ting.

Aniq ortiqcha raqamlarni yo'q qilish

Shunday qilib, bizda 10 ta raqam bor - ildiz uchun nomzodlar. Biz ularni juda tez, murakkab fikrlash va ustunda ko'paytirmasdan oldik. Davom etish vaqti keldi.

Xoh ishoning, xoh ishonmang, endi biz nomzodlar sonini ikkitaga kamaytiramiz - va yana hech qanday murakkab hisob-kitoblarsiz! bilish kifoya maxsus qoida. Mana:

Kvadratning oxirgi raqami faqat oxirgi raqamga bog'liq asl raqam.

Boshqacha qilib aytganda, kvadratning oxirgi raqamiga qarash kifoya - va biz asl raqam qaerda tugashini darhol tushunamiz.

Faqat 10 ta raqam turishi mumkin oxirgi joy. Keling, ular kvadratga aylantirilganda nimaga aylanishini aniqlashga harakat qilaylik. Jadvalga qarang:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ushbu jadval ildizni hisoblash uchun yana bir qadamdir. Ko'rib turganingizdek, ikkinchi qatordagi raqamlar beshga nisbatan nosimmetrik bo'lib chiqdi. Misol uchun:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Ko'rib turganingizdek, oxirgi raqam ikkala holatda ham bir xil. Va bu shuni anglatadiki, masalan, 3364 ning ildizi majburiy ravishda 2 yoki 8 bilan tugaydi. Boshqa tomondan, biz oldingi paragrafdagi cheklovni eslaymiz. Biz olamiz:

[Rasm sarlavhasi]

Qizil kvadratlar bu raqamni hali bilmasligimizni ko'rsatadi. Axir, ildiz 50 dan 60 gacha bo'lib, unda 2 va 8 bilan tugaydigan faqat ikkita raqam mavjud:

[Rasm sarlavhasi]

Hammasi shu! Barcha mumkin bo'lgan ildizlardan faqat ikkita variantni qoldirdik! Va bu eng qiyin holatda, chunki oxirgi raqam 5 yoki 0 bo'lishi mumkin. Va keyin ildizlar uchun yagona nomzod qoladi!

Yakuniy hisob-kitoblar

Demak, bizda 2 ta nomzod raqami qoldi. Qaysi biri ildiz ekanligini qanday bilasiz? Javob aniq: ikkala raqamni kvadratga aylantiring. Kvadrat bo'lgan raqam asl raqamni beradi va ildiz bo'ladi.

Masalan, 3364 raqami uchun biz ikkita nomzod raqamini topdik: 52 va 58. Keling, ularni kvadratga aylantiramiz:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Hammasi shu! Ildiz 58 ekanligi ma'lum bo'ldi! Shu bilan birga, hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun yig'indi va ayirma kvadratlari formulasidan foydalandim. Buning yordamida siz ustundagi raqamlarni ko'paytirishingiz shart emas edi! Bu hisob-kitoblarni optimallashtirishning yana bir darajasi, lekin, albatta, bu mutlaqo ixtiyoriy :)

Ildizlarni hisoblash misollari

Albatta, nazariya yaxshi. Ammo keling, buni amalda sinab ko'raylik.

[Rasm sarlavhasi]

Birinchidan, 576 raqami qaysi raqamlar orasida joylashganligini aniqlaymiz:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Endi oxirgi raqamga qaraylik. Bu 6 ga teng. Bu qachon sodir bo'ladi? Faqat ildiz 4 yoki 6 bilan tugasa. Biz ikkita raqamni olamiz:

Har bir raqamni kvadratga solish va asl raqam bilan solishtirish qoladi:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Yaxshi! Birinchi kvadrat asl raqamga teng bo'lib chiqdi. Demak, bu ildiz.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:
[Rasm sarlavhasi]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

1369 → 9;
33; 37.

Keling, uni kvadratga aylantiramiz:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Mana javob: 37.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:
[Rasm sarlavhasi]

Biz raqamni cheklaymiz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

2704 → 4;
52; 58.

Keling, uni kvadratga aylantiramiz:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Biz javob oldik: 52. Ikkinchi raqamni endi kvadratga solish kerak bo'lmaydi.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:
[Rasm sarlavhasi]

Biz raqamni cheklaymiz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

4225 → 5;
65.

Ko'rib turganingizdek, ikkinchi bosqichdan keyin faqat bitta variant qoladi: 65. Bu kerakli ildiz. Ammo keling, uni kvadratga aylantiramiz va tekshiramiz:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Hammasi to'g'ri. Javobni yozamiz.

Xulosa

Afsuski, yaxshiroq emas. Keling, sabablarni ko'rib chiqaylik. Ulardan ikkitasi bor:

Har qanday oddiy matematik imtihonda kalkulyatordan foydalanish taqiqlanadi, xoh u GIA yoki Yagona davlat imtihonida. Va kalkulyatorni sinfga olib kirish uchun ularni imtihondan osongina haydash mumkin.
Ahmoq amerikaliklar kabi bo'lmang. Ular ildizlarga o'xshamaydi - ular ikkita tub sonni qo'sha olmaydi. Va kasrlarni ko'rganda, ular odatda histerik bo'lib qoladilar.

Ushbu maqolada biz tanishtiramiz sonning ildizi haqidagi tushuncha. Biz ketma-ket harakat qilamiz: kvadrat ildizdan boshlaymiz, undan tavsifga o'tamiz kub ildizi, shundan keyin n-darajali ildizni aniqlab, ildiz tushunchasini umumlashtiramiz. Shu bilan birga, ta'riflar, belgilar bilan tanishamiz, ildizlarga misollar keltiramiz va kerakli tushuntirishlar va sharhlar beramiz.

Kvadrat ildiz, arifmetik kvadrat ildiz

Raqamning ildizi va xususan kvadrat ildizning ta'rifini tushunish uchun bo'lishi kerak. Bu vaqtda biz ko'pincha sonning ikkinchi darajasi - sonning kvadratiga duch kelamiz.

dan boshlaylik kvadrat ildiz ta'riflari.

Ta'rif

a ning kvadrat ildizi kvadrati a bo'lgan sondir.

Olib kelish uchun kvadrat ildizlarga misollar, bir nechta raqamlarni oling, masalan, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 va ularning kvadratini olamiz, biz mos ravishda 25 , 0.09 , 0.09 va 0 raqamlarini olamiz (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 va 0 2 =0 0=0 ). Keyin yuqoridagi ta'rifga ko'ra, 5 - 25 ning kvadrat ildizi, -0,3 va 0,3 - 0,09 ning kvadrat ildizi va 0 - nolning kvadrat ildizi.

Shuni ta'kidlash kerakki, kvadrati a ga teng bo'lgan har qanday raqam uchun a mavjud emas. Ya'ni, har qanday manfiy a soni uchun yo'q haqiqiy raqam b , uning kvadrati a ga teng bo'ladi. Darhaqiqat, a=b 2 tengligi har qanday manfiy a uchun mumkin emas, chunki b 2 har qanday b uchun manfiy bo'lmagan sondir. Shunday qilib, haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning kvadrat ildizi yo'q. Boshqacha qilib aytganda, haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning kvadrat ildizi aniqlanmagan va hech qanday ma'noga ega emas.

Bu mantiqiy savolga olib keladi: "Har qanday salbiy bo'lmagan a uchun kvadrat ildiz bormi?" Javob ha. Ushbu faktning asosini kvadrat ildizning qiymatini topish uchun ishlatiladigan konstruktiv usul deb hisoblash mumkin.

Shunda quyidagi mantiqiy savol tug'iladi: "Belgilangan manfiy bo'lmagan a sonining barcha kvadrat ildizlari soni qancha - bir, ikki, uch yoki undan ko'p"? Mana unga javob: a nol bo'lsa, nolning yagona kvadrat ildizi nolga teng; agar a qandaydir musbat son bo'lsa, u holda a sonidan kvadrat ildizlar soni ikkitaga teng, ildizlari esa . Keling, buni asoslab beraylik.

a=0 ishi bilan boshlaylik. Keling, avval nolning haqiqatan ham nolning kvadrat ildizi ekanligini ko'rsatamiz. Bu aniq tenglik 0 2 =0·0=0 va kvadrat ildizning ta'rifidan kelib chiqadi.

Endi 0 nolning yagona kvadrat ildizi ekanligini isbotlaylik. Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Faraz qilaylik, nolning kvadrat ildizi bo'lgan nolga teng bo'lmagan b soni bor. U holda b 2 =0 shartni bajarish kerak, bu mumkin emas, chunki har qanday nolga teng bo'lmagan b uchun b 2 ifodaning qiymati musbat bo'ladi. Biz qarama-qarshilikka keldik. Bu 0 nolning yagona kvadrat ildizi ekanligini isbotlaydi.

Keling, a ijobiy son bo'lgan holatlarga o'tamiz. Yuqorida biz har qanday manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi borligini aytdik, b a ning kvadrat ildizi bo'lsin. Aytaylik, c soni bor, u ham a ning kvadrat ildizi hisoblanadi. U holda, kvadrat ildizning ta'rifiga ko'ra, b 2 =a va c 2 =a tengliklari o'rinli bo'lib, bundan b 2 −c 2 =a−a=0, lekin b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , keyin (b−c) (b+c)=0 . Natijada tenglik kuchga kiradi haqiqiy sonlar bilan amallar xossalari faqat b−c=0 yoki b+c=0 bo‘lgandagina mumkin. Shunday qilib, b va c raqamlari teng yoki qarama-qarshidir.

Agar a sonining yana bir kvadrat ildizi bo'lgan d soni bor deb faraz qilsak, u holda berilganlarga o'xshash mulohaza yuritish orqali d soni b soniga yoki c soniga teng ekanligi isbotlanadi. Demak, musbat sonning kvadrat ildizlari soni ikkita, kvadrat ildizlari esa qarama-qarshi sonlardir.

Kvadrat ildizlar bilan ishlash qulayligi uchun salbiy ildiz ijobiydan ajralib turadi. Shu maqsadda u tanishtiradi arifmetik kvadrat ildizning ta'rifi.

Ta'rif

Manfiy bo'lmagan sonning arifmetik kvadrat ildizi kvadrati a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir.

a sonining arifmetik kvadrat ildizi uchun yozuv qabul qilinadi. Belgi arifmetik kvadrat ildiz belgisi deb ataladi. U radikalning belgisi deb ham ataladi. Shuning uchun, siz qisman ikkala "ildiz" va "radikal" ni eshitishingiz mumkin, bu bir xil ob'ektni anglatadi.

Arifmetik kvadrat ildiz belgisi ostidagi raqam chaqiriladi ildiz raqami, va ildiz belgisi ostidagi ifoda - radikal ifoda, "radikal son" atamasi ko'pincha "radikal ifoda" bilan almashtiriladi. Masalan, yozuvda 151 soni radikal son, yozuvda a ifodasi radikal ifodadir.

O'qish paytida "arifmetika" so'zi ko'pincha o'tkazib yuboriladi, masalan, yozuv "etti nuqta yigirma to'qqiz yuzdan birining kvadrat ildizi" deb o'qiladi. "Arifmetika" so'zi faqat sonning musbat kvadrat ildizi haqida gapirayotganimizni ta'kidlamoqchi bo'lganida talaffuz qilinadi.

Kiritilgan belgidan kelib chiqqan holda, arifmetik kvadrat ildizning ta'rifidan kelib chiqadiki, har qanday manfiy bo'lmagan a soni uchun.

Musbat a sonining kvadrat ildizlari va arifmetik kvadrat ildiz belgisi yordamida yoziladi. Masalan, 13 ning kvadrat ildizlari va. Nolning arifmetik kvadrat ildizi nolga teng, ya'ni . Salbiy a raqamlari uchun biz o'rganmagunimizcha yozuvlarga ma'no qo'shmaymiz murakkab sonlar. Masalan, va iboralari ma'nosiz.

Kvadrat ildizning ta'rifiga asoslanib, amalda ko'pincha ishlatiladigan kvadrat ildizlarning xususiyatlari isbotlangan.

Ushbu kichik bo'limni yakunlash uchun shuni ta'kidlaymizki, sonning kvadrat ildizlari x o'zgaruvchisiga nisbatan x 2 =a ko'rinishdagi yechimlardir.

kub ildizi

Kub ildizining ta'rifi a soni kvadrat ildizning ta'rifiga o'xshash tarzda berilgan. Faqat u kvadrat emas, balki sonning kubi tushunchasiga asoslanadi.

Ta'rif

a ning kub ildizi kubi a ga teng bo'lgan son deyiladi.

olib kelamiz misollar kub ildizlari . Buning uchun bir nechta raqamlarni oling, masalan, 7 , 0 , −2/3 va ularni kubga aylantiring: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Keyin kub ildizining ta'rifiga asoslanib aytishimiz mumkinki, 7 soni 343 ning kub ildizi, 0 - nolning kub ildizi, -2/3 esa -8/27 ning kub ildizi.

Ko'rsatish mumkinki, a sonining kub ildizi kvadrat ildizdan farqli o'laroq, faqat manfiy bo'lmagan a uchun emas, balki har qanday haqiqiy a soni uchun ham doimo mavjud bo'ladi. Buning uchun kvadrat ildizni o'rganishda biz aytib o'tgan usuldan foydalanishingiz mumkin.

Bundan tashqari, berilgan a sonining faqat bitta kub ildizi mavjud. Keling, oxirgi fikrni isbotlaylik. Buning uchun uchta holatni alohida ko'rib chiqing: a - musbat son, a=0 va a - manfiy son.

Ijobiy a uchun a ning kub ildizi manfiy ham, nol ham bo'lishi mumkin emasligini ko'rsatish oson. Haqiqatan ham, b a ning kub ildizi bo'lsin, u holda ta'rif bo'yicha b 3 =a tengligini yozishimiz mumkin. Bu tenglik manfiy b va b=0 uchun to'g'ri bo'lishi mumkin emasligi aniq, chunki bu holatlarda b 3 =b·b·b mos ravishda manfiy son yoki nolga teng bo'ladi. Demak, a musbat sonning kub ildizi musbat sondir.

Endi deylik, b sonidan tashqari a sonidan yana bitta kub ildiz bor, uni c deb belgilaymiz. Keyin c 3 =a. Demak, b 3 −c 3 =a−a=0, lekin b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi kublarning farqi), bundan (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Olingan tenglik faqat b−c=0 yoki b 2 +b c+c 2 =0 bo‘lgandagina mumkin bo‘ladi. Birinchi tenglikdan biz b=c ga ega bo'lamiz, ikkinchi tenglikning yechimlari yo'q, chunki uning chap tomoni har qanday musbat b va c sonlar uchun b 2, b c va c 2 musbat hadlarining yig'indisi sifatidagi musbat sondir. Bu a musbat sonning kub ildizining yagonaligini isbotlaydi.

a=0 uchun a ning yagona kub ildizi nolga teng. Haqiqatan ham, nolga teng bo'lmagan kub ildizi bo'lgan b soni bor deb faraz qilsak, u holda b 3 =0 tengligi amal qilishi kerak, bu faqat b=0 bo'lganda mumkin bo'ladi.

Salbiy a uchun, ijobiy a uchun vaziyatga o'xshash bahslashish mumkin. Birinchidan, manfiy sonning kub ildizi musbat songa ham, nolga ham teng bo'lishi mumkin emasligini ko'rsatamiz. Ikkinchidan, manfiy sonning ikkinchi kub ildizi bor deb hisoblaymiz va u birinchisi bilan albatta mos kelishini ko'rsatamiz.

Demak, har qanday berilgan haqiqiy a sonining kub ildizi doimo mavjud va faqat bitta.

beraylik arifmetik kub ildizining ta'rifi.

Ta'rif

Manfiy bo'lmagan sonning arifmetik kub ildizi a kubi a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son deyiladi.

Manfiy bo'lmagan a sonning arifmetik kub ildizi quyidagicha belgilanadi, belgisi arifmetik kub ildizning belgisi deb ataladi, bu yozuvdagi 3 raqami deyiladi. ildiz ko'rsatkichi. Ildiz belgisi ostidagi raqam ildiz raqami, ildiz belgisi ostidagi ifoda hisoblanadi radikal ifoda.

Arifmetik kub ildizi faqat manfiy bo'lmagan a sonlar uchun aniqlangan bo'lsa-da, manfiy sonlar arifmetik kub ildiz belgisi ostida joylashgan yozuvlardan foydalanish ham qulaydir. Biz ularni quyidagicha tushunamiz: , bu yerda a musbat son. Misol uchun, .

Kub ildizlarning xususiyatlari haqida ildizlarning umumiy maqola xususiyatlarida gaplashamiz.

Kub ildizining qiymatini hisoblash kub ildizini olish deb ataladi, bu harakat ildizlarni olish maqolasida muhokama qilinadi: usullar, misollar, echimlar.

Ushbu kichik bo'limni yakunlash uchun a ning kub ildizi x 3 =a ko'rinishdagi yechim deb aytamiz.

N ning ildizi, n ning arifmetik ildizi

Biz sondan ildiz tushunchasini umumlashtiramiz - kiritamiz n- ildizni aniqlash n uchun.

Ta'rif

a ning n- ildizi n-darajali a ga teng bo'lgan son.

Bu ta'rifdan ko'rinib turibdiki, a sonidan birinchi darajaning ildizi a sonining o'zi, chunki natural ko'rsatkich bilan darajani o'rganishda biz 1 = a ni oldik.

Yuqorida n=2 va n=3 - kvadrat ildiz va kub ildiz uchun n-darajali ildizning maxsus holatlarini ko'rib chiqdik. Ya'ni, kvadrat ildiz ikkinchi darajali ildiz, kub ildiz esa uchinchi daraja ildizidir. n=4, 5, 6, ... uchun n-darajali ildizlarni oʻrganish uchun ularni ikki guruhga boʻlish qulay: birinchi guruh – juft darajali ildizlar (yaʼni n=4, 6 uchun). , 8, ...), ikkinchi guruh - toq darajalar ildizlari (ya'ni n=5, 7, 9, ... uchun). Buning sababi, juft darajalarning ildizlari kvadrat ildizga, toq darajalarning ildizlari esa kub ildizga o'xshashdir. Keling, ular bilan o'z navbatida shug'ullanamiz.

Biz kuchlari bo'lgan ildizlardan boshlaymiz juft raqamlar 4, 6, 8, ... Yuqorida aytib o'tganimizdek, ular a ning kvadrat ildiziga o'xshashdir. Ya'ni, a sonidan har qanday juft darajaning ildizi faqat manfiy bo'lmagan a uchun mavjud. Bundan tashqari, agar a=0 bo'lsa, a ning ildizi yagona va nolga teng, a>0 bo'lsa, a sonidan ikkita juft darajali ildiz bor va ular qarama-qarshi sonlardir.

Keling, oxirgi fikrni oqlaylik. b juft darajali ildiz bo'lsin (uni 2 m deb belgilaymiz, bu erda m ba'zi natural son) a raqamidan. Faraz qilaylik, c soni bor - a ning yana 2 m ildizi. U holda b 2 m −c 2 m =a−a=0. Lekin biz b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) shaklini bilamiz. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), keyin (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Bu tenglikdan kelib chiqadiki, b−c=0, yoki b+c=0, yoki b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Birinchi ikkita tenglik b va c raqamlari teng yoki b va c raqamlari qarama-qarshi ekanligini bildiradi. Va oxirgi tenglik faqat b=c=0 uchun amal qiladi, chunki uning chap tomonida har qanday b va c uchun manfiy bo'lmagan sonlar yig'indisi sifatida manfiy bo'lmagan ifoda mavjud.

Toq n uchun n-darajali ildizlarga kelsak, ular kub ildizga o'xshaydi. Ya'ni, a sonidan har qanday toq darajaning ildizi har qanday haqiqiy a soni uchun mavjud va berilgan a soni uchun u yagonadir.

a sonidan 2·m+1 toq darajali ildizning yagonaligi a dan kub ildizning yagonaligini isbotlash bilan analogiya orqali isbotlanadi. Faqat bu erda tenglik o'rniga a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = ko‘rinishdagi tenglik (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Oxirgi qavsdagi ifodani shunday yozish mumkin b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Masalan, m=2 uchun bizda mavjud b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Agar a va b ikkalasi ham musbat yoki ikkalasi ham manfiy bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi musbat son bo‘lsa, u holda eng yuqori darajadagi qavs ichida joylashgan b 2 +c 2 +b·c ifodasi musbat miqdorlarning yig‘indisi sifatida ijobiy bo‘ladi. raqamlar. Endi oldingi darajali qavs ichidagi iboralarga ketma-ket o'tsak, biz ular ham ijobiy sonlar yig'indisi sifatida ijobiy ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Natijada b 2 m+1 −c 2 m+1 = tengligiga erishamiz (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 faqat b−c=0 bo‘lganda, ya’ni b soni c soniga teng bo‘lgandagina mumkin.

n-darajali ildizlarning yozuvlari bilan shug'ullanish vaqti keldi. Buning uchun u beriladi n-darajali arifmetik ildizni aniqlash.

Ta'rif

Manfiy bo'lmagan sonning n-darajali arifmetik ildizi a manfiy bo'lmagan son deyiladi, n-darajali a ga teng.